Ângulos entre Planos
Sejam os planos 1 :a1 x  b1 y  c1 z  d1  0
e  2 :a 2 x  b2 y  c2 z  d2  0assim os seus
vetores normais são:
n1  (a1 , b1 , c1 )
n2  (a 2 , b2 , c2 )
Chamamos de ângulo entre dois planos o
menor ângulo formado entre seus respectivos vetores normais.
Representação Geométrica
1

n2
n1

2
Ângulo entre Planos em
Coordenadas Cartesianas
Desta maneira temos que:
n1. n2

cos( ) 
, 0  
n1 n2
2
cos( ) 
a1a2  b1b2  c1c2
a b c
2
1
2
1
2
1
a b c
2
2
2
2
2
2
, 0  

2
Paralelismo e Perpendicularismo
entre Planos
Paralelismo:
1  2  n1 n2
a1 b1 c1
 
a2 b2 c2
Perpendicularismo:
1   2  n1  n2
a1a2  b1b2  c1c2  0
Observações
a1 b1 c1 d1
  
Se
a2 b2 c2 d 2
os planos são
coincidentes, pois uma equação é obtida da
outra por uma multiplicação por escalar.
a1 b1 c1
d1
  e p
Se p 
então os
a2 b2 c2
d2
planos são paralelos não coincidentes.
Ângulo entre uma Reta e um
Plano
O ângulo entre uma reta r e um plano dado é o
complemento do ângulo que a reta r forma
com a reta normal ao plano, isto é:
n
 v



2


r
v.n

sen( )  cos( ) 
, 0  
v n
2
Observações
Paralelismo: r   v  n
Perpendicularismo: r    v n
A reta está contida no plano dado se:
v n
e
A  r  A 
Exercício
Determinar o ângulo que a reta r forma
com o plano, sendo dados:
 x  1  2t

r :  y  t , t 
 z  3t

 : x  y 5  0