Circuitos Elétricos 2
Circuitos Elétricos Aplicados
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
de Brasília
Homepage:Universidade
http://www.pgea.unb.br/~lasp
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1
Circuitos Ressonantes (1)


Ressonância:
 todo corpo possui uma freqüência natural própria
 ao se produzir vibrações na mesma freqüência da freqüênca natural, o
corpo vai vibrar mais forte
Em diversas áreas da ciência a ressonância é importante
 Motor de dois estágios com escapamento ressonante (Resonanzauspuff)
• Fonte: http://de.wikipedia.org/wiki/Resonanzauspuff
 Mecânica, hidromecânica, acústica, engenharia elétrica, física atômica
e física nuclear.
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Circuitos Ressonantes (2)

Circuitos ressonantes
Circuito RLC em paralelo
1
Y ( j )  G  jC 
jL
Circuit o RLC em série
1
Z ( j  )  R  j L 
jC
A reatânciade cada circuitoé zero quando
1
1
L 
 0 
C
LC
 Na freqüência de ressonância, o circuito é puramente resistivo.
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3
Propriedades dos Circuitos Ressonantes (1)

Na ressonância, a impedância (série)/admitância (paralelo) é mínima
Z ( j )  R  jL 
| Z |2  R 2  (L 
1
jC
Y ( j )  G 
1 2
)
C
jL
| Y |2  G 2  (C 
 impedância série
Fatorde qualidade : Q 
1

0 L
R

 jC
1 2
)
L
admitância paralelo
1
0CR
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Propriedades dos Circuitos Ressonantes (2)

O fator de potência é unitário

VR


VC   j

j L
I
C
CIRCUITO
SÉRIE
PARALELO
ABAIXO RESSONÂNCIA ACIMA DA RESONÂNCIA
CAPACITIVO
INDUTIVO
INDUTIVO
CAPACITIVO


 Diagrama fasorial
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Propriedades dos Circuitos Ressonantes (3)

O fator de potência é unitário
j
GV1
CIRCUITO
SÉRIE
CIRCUITO
PARALELO
SÉRIE
PARALELO
V1
L
jCV1
ABAIXO RESSONÂNCIA ACIMA DA RESONÂNCIA
CAPACITIVO
ABAIXO
RESSONÂNCIA ACIMA INDUTIVO
DA RESONÂNCIA
INDUTIVO
CAPACITIVO
CAPACITIVO
INDUTIVO
INDUTIVO
CAPACITIVO
 Diagrama fasorial
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Exemplo de Circuitos Ressonantes (1)

Determinar a freqüência de ressonância, tensão em cada elemento na
ressonância e o valor do fator de qualidade
I
0 L  (2 103 )(25 103 )  50
VL  j0 LI  j50  5  25090 (V )
1
  0 L  50
 0C
VC 
1
1

 2000rad / s
0 
3
6
( 25 10 H )(10 10 F )
LC
Na ressonância, Z  2
V 100
I S 
 5A
Z
2
1
j 0 C
Q
I   j 50  5  250  90
0 L
R
Na ressonância

50
 25
2
VS
 Q | VS |
R
| VC | Q | VS |
| VL | 0 L
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Exemplo de Circuitos Ressonantes (2)

Dado L = 0,02H com um fator de qualidade 200, determine o capacitor
necessário para formar um circuito ressonante em 1000 Hz
1
1
 C  1.27  F
 2 1000 
0.02C
LC
L
2 1000  0.02
L com Q  200  200  0  R 
 1.59
R
200
0 
O que acontece com o capacitor se o circuito
é testado com uma tensão de 10 V?
Na ressonância
VS
 Q | VS |
R
| VC | Q | VS |
| VL | 0 L
I
| VC | 2000V
10
 6.28 A
1.59
A potência reativa do capacitor é 12,56 kVA
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Exemplo de Circuitos Ressonantes (3)

Ache a capacitância para o circuito ficar em ressonância em 1800 rad/s, o
fator Q e a magnitude da tensão no capacitor
0 
1
1
1
1800 
C 
0.1( H )  C
LC
0.1 18002
C  3.86  F
Q
0 L
R
Q
1800  0.1
 60
3
Na ressonância
VS
 Q | VS |
R
| VC | 600V
| VC | Q | VS |
| VL | 0 L
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Ressonância para o circuito em série (1)
Z ( j )  R  jL 
| Z |2  R 2  (L 
Gv 
Gv 
1
jC
1 2
)
C
R
Z
R
R  jL 
1
jC

R
Z ( j )
Na ressonância :
1
QR
Gan h oe m te n sãoé
0 L  QR, 0C 
Gv 
VR

V1
1
1  jQ(
 0
 )
0 
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Ressonância para o circuito em série (2)
Z ( j )  R  j


QR  j 0 QR
0


  
 R 1  jQ (  0 )
0  

M ( ) | Gv |,  ( ) | Gv
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Ressonância para o circuito em série (3)
M ( ) 
1
1/ 2

0 2 
2 
1

Q
(

)

0  

BW 
 ( )   tan 1 Q (
 0
 )
0 
 HI / LO
0
Q
2




1
1
  1 
 0 
 
 2Q

 2Q 


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Exemplo de aplicação de fator de qualidade (1)

Determine a freqüência de ressonância, fator de qualidade e largura de
banda quando R = 2  e quando R = 0,2 .
2
0 
0 
5 F
2mH
1
LC
R
2
0.2
Q
Q
0 L
R

1
 0CR
1
( 2  10 3 )(5  10 6 )
Q
10
100
10000 0.002
R
R
2
0,2
BW 
0
Q
 104 rad / s
Q
10
100
BW(rad/s)
1000
100
BW  10000 / Q
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Exemplo de aplicação de fator de qualidade (2)

Dado um circuito RLC com as seguintes especificações: R = 4 ,
0 = 4000 rad/s e BW = 100 rad/s. Determine os valores de L e C.
0 
1
LC
Q
0 L
R

1
 0CR
BW 
0
Q
1. Dada uma freq de ressonância e largura de faixa, determine Q.
2. Dado R, freqüência de ressonância e Q, determine L, C.
Q
0
BW

4000
 40
100
40  4
 0.040 H
4000
L
QR
C
1
1

 1.56 10 6 F
2
6
0 RQ 4  10  16 10
0

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Exemplo de aplicação de fator de qualidade (3)

Dado um circuito RLC operando como filtro passa-baixa com a
seguinte especificações: 0 = 1000 rad/s e BW = 100 rad/s.
Gv 
R
R  jL 
0 
1
LC
1
jC
Q

R
Z ( j )
0 L
R

1
 0CR
BW 
0
Q
Estratégia:
1. Determinar Q
2. Usar freq. de ressonância e Q para encontrar duas equações com 3 incógnitas
3. Arbitrar um valor para uma das incógnitas
Q
0

1000
 10
100
BW
1
1
0 
 (103 )2 
LC
LC
 L
1000 L
Q  0  10 
R
R
Por exemplo C  1 F  106 F
L  1H
R 100
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Tensão no capacitor em circuito série RLC (1)
Na ressonância
| V0 | Q | VR |
Mas esta NÃO é a máxima tensão no capacitor
Vamos ver...
1
jC
V0
1


2
1
VS
1


LC  jCR
R  jL 
jC
1
0 
LC
g ( u) 
0 L
1

V0
Q

u

;
g

R
 0CR
0
VS
1
2


2
u


2
 1 u    
 Q  



2
dg
2(1  u2 )( 2u)  2(u / Q )(1 / Q )
1
2
0

2
(
1

u
)

2
2
2
du
Q


2
u


2
 1 u    
 Q  



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Tensão no capacitor em circuito série RLC (2)

1
umax  max  1  2
0
2Q

1
Q2
Q | VS |
gmax 

|
V
|

0
 1
1
1  1 1
1
  2  4 
2
4
1

4Q
4Q  Q 2Q 
4Q 2
Exemplo: Determine0 e max dado que L = 50 mH e C = 5F para os
casos de R = 50  e R = 1 .
0 
Q
1
1

 2000rad / s
2
6
LC
(5 10 )(5 10 )
2000 0.050
R
 max  2000  1  1
2Q 2
R
50
1
Q Wmax
2
1871
100 2000
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Tensão no capacitor em circuito série RLC (3)
R=50
Baixo Q
Baixa seletividade
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Tensão no capacitor em circuito série RLC (4)
R=1
Alto Q
Boa seletividade
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Circuito ressonante RLC em paralelo (1)
Impedância do circuito RLC em série
Admitância em paralelo RLC
1
1
Y ( j )  G 
 jC
jC Noteequivalências
jL
1 2 R  G, L  C , C  L
1 2
| Z |2  R 2  (L 
)
| Y |2  G 2  (C 
)
Z  Y ,V  I
C
L
Z ( j )  R  jL 
RLC em série
0 
I S  YVS
1
LC
Q
0 L

R
1
 0CR
RLC em paralelo
0 
1
LC
Q
 0C
G

BW 
0
RLC paralelo BW 
0
RLC série
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1
 0 LG
Q
Q
20
Circuito ressonante RLC em paralelo (2)
I S  YVS
Na ressonância
G
IS
Y
jC
I C  jCVS 
IS
Y
1
1
jL
IL 
VS 
IS
jL
Y
IG  GVS 
0 C 
1
Y G
0 L
IG  I S
IC  I L
| I C |
0 C
| IS |
G
1
| I L |
| IS |
0 LG
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 Q | IS |
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Circuito ressonante RLC em paralelo (3)

Assumindo que a fonte opera na freqüência de ressonância da rede,
ache todas as correntes nos ramos.
IG  0.011200  1.20( A)  I S
1
1
0 

 117.85rad / s

4
LC
0.120  (6 10 )
VS  1200, G  0.01S
C  600 F ,
IC  (190)  (117.85)  (600 106 ) 1200  8.4990( A)
L  120mH
I L  8.49  90( A)
Na ressonância
I x  _______
G
1
IG  GVS  I S
0 C 
Y G

L
Y
0
I I
jC
I C  jCVS 
IS G S
IC  I L
Y
0 C
1
 Q | IS |
|
I
|

| IS |
1
C
jL
G
IL 
VS 
IS
jL
Y
1
| I L |
0 LG
| IS |
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Exemplo de circuitos ressonantes RLC em paralelo (1)

Derive expressões para a freqüência de ressonância, freqüência de
meia potência, BW e Q.
2
G
1
G 
h  
 


2C
 2C  LC
Vout
YT  G  jC 
I
V
1
 in  H  out 
YT
I in YT
| H |
1
1
1
jL
BW   HI   LO 
Q
0
BW

G
C
1 C
C
R
G L
L
1

2
1 

G  jC 
G


C



jL
L 

1
1
Freqüênciade ressonância : 0 
| H max |  R
LC
G
2
Freqüênciade meia potência| H ( jh ) |2  0.5 | H |2max
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Exemplo de circuitos ressonantes RLC em paralelo (2)

Derive expressões para a freqüência de ressonância, freqüência de
meia potência, BW e Q.
Freqüênciade ressonância : 0 
1
LC
| H max |
1
R
G
Freqüênciade meia potência| H ( jh ) |2  0.5 | H |2max
2
1

1 
 G
  2G 2   hC 
G    hC 

L
h L 
h

2
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Exemplo de circuitos ressonantes RLC em paralelo (3)

Determine a freqüência de ressonância, fator Q e BW para o circuito abaixo
R  2k, L  20mH , C  150 F
RLC em paralelo
1
0 
LC
0 
0
1
BW

Q

Q
G
 0 LG
 0C
1
3
6
(20 10 )(150 10 )
 577rad / s
577  150  106
Q
 173
1/ 2000
BW 
577
 3.33rad / s
173
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Exemplo de circuitos ressonantes RLC em paralelo (4)
R  6k, BW  1000rad / s, Q  120
Determine L, C, 0
RLC em paralelo
1
0 
LC
Q
 0C
G


1
BW  0
Q
 0 LG
0  Q  BW  120 1000  1.2 105 rad / s
C
Q
120

 0.167  F
5
R 0 6000  1.2  10
L
R
6000

 417  H
Q 0 120  1.2  105
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Exemplo de circuitos ressonantes (1)
Y ( j )  jC 
1
R  j L

R  j L R  j  L
Y ( j )  jC 
R  jL
R 2  (L) 2
Y ( j ) 


R
L



j
C

2
2
2
2

R  (L)
R  (L) 

L
1  R
Y real  C  2

0



 
R
2
LC  L 
R  (L)
0 
2
1
1
 L
, Q0  0   R  0 1  2
Q0
LC
R
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Exemplo de circuitos ressonantes (2)
Determine 0 , R para R  50, 5
1
1
 L
, Q0  0   R  0 1  2
Q0
LC
R
1
0 
 2000rad / s
3
6
(50 10 H )(5 10 F )
0 
Q0 
2000  0.050
1
,  R  2000 1  2
R
Q0
R
50
5
Q0
2
20
Wr(rad/s) f(Hz)
1732
275.7
1997
317.8
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Exemplo de circuitos ressonantes (3)
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