RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE TOPOLOGIA PARA 23/2
Munkres 13.3: Vejamos que Tc = {U ⊂ X : X \ U é contável ou todo o X} verifica os axiomas para uma topologia em X:
(1) ∅ ∈ Tc porque X \ ∅ é todo o X; X ∈ Tc porque X \ X = ∅ é contável.
(2) Seja {Uα } uma famı́lia não vazia de elementos de Tc . Se todos os Uα
são vazios, então a sua união também é e portanto pertence a Tc . Caso
contrário, seja β tal que Uβ é não vazio de forma a que X \ Uβ é contável.
Temos
X \ ∪α Uα = ∩α (X \ Uα ) ⊂ X \ Uβ
logo X\∪α Uα , sendo um subconjunto de um conjunto contável, é contável.
Concluı́mos que, em qualquer caso, ∪α Uα ∈ Tc .
(3) Seja {U1 , . . . , Un } uma famı́lia finita e não vazia de elementos de Tc . Se
algum dos Ui é vazio então ∩ni=1 Ui = ∅ pelo que pertence a Tc . Caso
contrário temos que X \ Ui é contável para cada i e então X \ ∩ni=1 Ui =
∪ni=1 X \ Ui é contável pois é uma união finita de conjuntos contáveis. Em
qualquer caso obtemos que ∩ni=1 Ui ∈ Tc .
A colecção T∞ = {U | X \ U é infinito ou vazio ou todo o X} não é em
geral uma topologia. Por exemplo, tomando X = R, temos ]−∞, 0[, ]0, +∞[∈
T∞ (têm complementar infinito) mas ] − ∞, 0[∪]0, +∞[6∈ T∞ uma vez que o
seu complementar {0} não é infinito nem vazio nem todo o X.
Munkres 13.4: (a) Seja {Tα } uma famı́lia (não vazia) de topologias em X e seja T = ∩α Tα .
Vejamos que T satisfaz os axiomas de uma topologia em X.
(1) Como ∅, X ∈ Tα para todo o α temos que ∅, X ∈ T .
(2) Seja {Uβ } uma famı́lia não vazia de elementos de T . Dado α, temos
T ⊂ Tα e logo Uβ ∈ Tα para todo o β. Sendo Tα uma topologia
temos ∪β Uβ ∈ Tα . Como isto acontece para todo o α conclui-se que
∪β Uβ ∈ T .
(3) Seja {U1 , . . . , Un } uma famı́lia finita e não vazia de elementos de T .
Dado α, temos que Ui ∈ Tα para todo o i logo ∩ni=1 Ui ∈ Tα . Como
isto acontece para todo o α conclui-se que ∩ni=1 Ui ∈ T .
A união de topologias não é em geral uma topologia. Por exemplo a união
das topologias T1 e T2 da alı́nea c) abaixo não é uma topologia uma vez
que {a, b}, {b, c} ∈ T1 ∪ T2 mas {a, b} ∩ {b, c} = {b} 6∈ T1 ∪ T2 .
(b) Seja {Tα } uma famı́lia de topologias em X. Pela alı́nea anterior, ∩α Tα é
uma topologia em X e claramente está contida em todos os Tα . Por outro
lado, se T 0 é uma topologia em X que está contida em todos os Tα então
T 0 ⊂ ∩α Tα e portanto T 0 é menos fina que ∩α Tα . Conclui-se que ∩α Tα
é a mais fina das topologias que está contida em todos os Tα .
O conjunto S das topologias em X que contêm cada uma das topologias
Tα é não vazio uma vez que a topologia discreta pertence a S. Seja T a
intersecção de todas as topologias em S (que é uma topologia pela alı́nea
(a)). Como todas os elementos de S contêm ∪α Tα , temos que ∪α Tα ⊂ T .
Por outro lado, se T 0 é uma topologia em X tal que ∪α Tα ⊂ T 0 então
T 0 ∈ S e portanto T ⊂ T 0 pelo que T é a menos fina de todas as
topologias que contêm ∪α Tα .
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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE TOPOLOGIA PARA 23/2
Notas: Alternativamente podemos ver que a menor, ou menos fina, das
topologias que contém todas os Tα é a topologia que tem ∪α Tα por subbase.
A razão porque se insiste na unicidade da menor (respectivamente maior)
topologia no enunciado deste problema é que a relação de inclusão entre
as topologias é apenas uma relação de ordem parcial. Dada uma famı́lia S
de subconjuntos de X, poderia haver várias topologias distintas (não comparáveis) T contendo S e com a propriedade de não haverem topologias
T 0 tais que S ⊂ T 0 ⊂ T . A demonstração acima mostra que não é esse o
caso uma vez que a menor topologia descrita é comparável com todas as
topologias contendo S = ∪α Tα .
(c) A maior topologia contida em T1 e T2 é como vimos T1 ∩T2 = {∅, X, {a}}.
A menor topologia que contém T1 ∪T2 é T = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}}.
De facto, é imediato verificar que T satisfaz os axiomas de uma topologia
calculando todas as intersecções e uniões possı́veis de elementos de T e
claramente T1 ∪ T2 ⊂ T . Por outro lado, se T 0 é uma topologia contendo
T1 e T2 , {b} = {a, b} ∩ {b, c} terá de pertencer a T 0 pelo que T ⊂ T 0 .
Munkres 13.6: Para ver que a topologia de R` não está contida em RK vamos mostrar que
[0, 1[ não é um aberto em RK . Se tal acontecesse, teria de haver um elemento
B da base de RK com 0 ∈ B ⊂ [0, 1[. Mas os elementos da base de RK são
da forma ]a, b[ ou ]a, b[\K. Em qualquer dos dois casos x ∈ B ⇒ a < 0 e
então a2 ∈ B mas a2 6∈ [0, 1[ pelo que nenhum elemento da base contendo 0 está
contido em [0, 1[. Conclui-se que [0, 1[ não é um aberto de RK . Vejamos agora
que a topologia de RK também não está contida na topologia de R` . Basta
ver que ] − 1, 1[\K não é aberto em R` . Se fosse, teria de haver um elemento
[a, b[ da base de Rl com 0 ∈ [a, b[⊂]−1, 1[\K. Mas 0 ∈ [a, b[⇒ a ≤ 0 e b > 0.
Seja N um natural tal que N1 < b. Então N1 ∈ [a, b[ mas N1 6∈] − 1, 1[\K.
Concluı́mos que as topologias de R` e RK não são comparáveis.
Munkres 13.7: As relações de inclusão entre as topologias são determinadas pela propriedade
transitiva e pelas seguintes afirmações:
(i) T1 ⊂ T2 ⊂ T4
(ii) T3 , T5 ⊂ T1
(iii) T3 e T5 não são comparáveis.
Para ver (i) note-se que, uma vez que a base para T2 contém a base para T1
temos que T1 ⊂ T2 . Para ver que T2 ⊂ T4 basta ver que os abertos da base de
1
T2 são abertos de T4 . Ora ]a, b[= ∪∞
n=1 ]a, b− n ]. Quanto aos elementos da base
da forma ]a, b[\K, temos dois casos a considerar. Claramente podemos assumir
que K intersecta ]a, b[ e portanto b > 0. Se a < 0 então ]a, b[\K =]a, 0] ∪ V
onde V é uma união (disjunta, contável) de intervalos abertos de R. Tendo
em conta que ]a, 0] ∈ T4 e que já vimos que os intervalos abertos pertencem
a T4 concluı́mos que ]a, b[\K ∈ T4 neste caso. Por outro lado, se a ≥ 0 então
]a, b[\K é uma união (disjunta, contável) de intervalos abertos de R e portanto
pertence a T4 .
Uma vez que os conjuntos finitos e R são fechados de R, conclui-se que
T3 ⊂ T1 . Uma vez que os elementos da base de T5 são abertos de R, temos
também que T5 ⊂ T1 . Isto prova (ii).
Finalmente R \ {0} ∈ T3 \ T5 (não existe nenhum aberto B da base de T5
com 1 ∈ B ⊂ R \ {0}) e ] − ∞, 0[∈ T5 \ T3 pois R\] − ∞, 0[ não é finito nem
igual a R. Isto mostra (iii).
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE TOPOLOGIA PARA 23/2
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Munkres 13.8: (a) Vamos ver que a colecção B satisfaz a hipótese do Lema 13.2. Os elementos de B são abertos de R. Se U ⊂ R é aberto e x ∈ U , então existe
um aberto ]c, d[ da base da topologia usual em R tal que x ∈]c, d[⊂ U .
Sejam a, b racionais tais que c < a < x e x < b < d. Então ]a, b[∈ B e
x ∈]a, b[⊂]c, d[⊂ U . O Lema 13.2 garante então que B é uma base para
a topologia usual em R.
(b) Começamos por ver que C é uma base de topologia em R:
(1) Para todo o x ∈ R existem a, b racionais com a ≤ x < b e então
x ∈ [a, b[ com [a, b[∈ C.
(2) Sejam [a1 , b1 [, [a2 , b2 [∈ C e x ∈ [a1 , b1 [∩[a2 , b2 [. Então max{a1 , a2 }
e min{b1 , b2 } são racionais e temos x ∈ [max{a1 , a2 }, min{b1 , b2 }[⊂
[a1 , b1 [∩[a2 , b2 [.
C está contido na base da topologia de R` pelo que a topologia T gerada
por C é menos fina que a topologia de√R` . Para ver que é estritamente
menos fina vamos mostrar que U = [ 2, 2[ não
√ é um aberto
√ de T . Se
U fosse aberto teria de haver [a, b[∈ C com 2 ∈ [a, b[⊂
[
2, 2[. Mas
√
√
√
a+ 2
como a ∈ Q, 2 ∈ [a, b[⇒ a < 2 e então terı́amos 2 ∈ [a, b[ mas
√
√
√
a+ 2
6∈ [ 2, 2[ contradizendo a inclusão [a, b[⊂ [ 2, 2[. Concluı́mos que
2
T é estritamente menos fina que a topologia de R` .