UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia - CCET
Departamento de Matemática
Topologia do ponto de vista
da Teoria do conjuntos
Aluna: Natalia de Barros Gonçalves
Orientador: Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher
São Carlos
- 2006 -
Sumário
1
Um Breve Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1
Espaços Métricos e Bolas Abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Conjuntos Abertos
6
2.3
Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade
3
4
5
6
Espaços Topológicos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
13
3.1
Topologia e Espaço Topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Base de um Espaço Topológico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Topologia Produto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4
Topologia do Subespaço
3.5
Homeomorsmos
3.6
Interior, Fronteira e Vizinhança
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.1
Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Fecho de um conjunto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3
Pontos de Acumulação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.4
Aplicações Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Alguns Espaços Topológicos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.1
Espaços de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.2
Espaços Metrizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Conexidade e Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.1
Espaços Conexos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6.2
Espaços Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Referências Bibliográcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
39
Resumo
Neste trabalho são apresentadas as noções básicas da point-set topology.
No primeiro capítulo é apresentada uma breve história da topologia. Logo depois, conceitos como métricas, bolas, conjuntos abertos e continuidade de aplicações são abordados.
Em seguida, são apresentados alguns conceitos básicos de espaços topológicos, bem como
alguns exemplos de topologias, e novamente a continuidade de aplicações, só que agora
em espaço toplógicos. Conjuntos fechados também são apresentados, assim como alguns
conceitos relativos a eles.
No nal, são apresentados os conceitos de compacidade e
conexidade topológicas.
iii
Introdução
Topologia é o ramo da matemática que se preocupa com as propriedades de
objetos geométricos que são preservadas quando aplicamos a elas transformações bijetoras
e contínuas, chamadas homeomorsmos.
Na topologia, não existe diferença entre uma
xícara de café e uma rosquinha, pois uma xícara pode ser transformada em uma rosquinha,
ser ser feito nenhum corte, nem colagens; este é o signicado de dizer que as propriedades
de um objeto geométrico são preservadas por homeomorsmos.
Na topologia, temos as áreas: point-set topology, topologia algébrica e
topologia diferencial. Neste trabalho será estudada a point set topology que é o ramo
da matemática que estuda as propriedades dos espaços topológicos e das estruturas que
são ali denidas.
A point-set topology estuda algumas noções básicas da topologia, como
conjuntos abertos e fechados, interior e fecho de um conjunto, compacidade, conexidade,
entre outras. É conhecida também como topologia geral, que como o nome já diz, nos
fornece uma fundação para os outros ramos da topologia.
1
Capítulo 1
Um Breve Histórico
Não se sabe ao certo quando surgiu a topologia, alguns dizem que começou
com a analysis situs de Poincaré, outros que data da teoria dos conjuntos de Cantor.
Alguns ainda consideram Brouwer o fundador da topologia, especialmente devido aos
seus teoremas de invariança topológica, de 1911, e à fusão que efetuou dos métodos de
Cantor com os da analysis situs.
Em 1913 Weyl, em um curso que administrou, deu ênfase à natureza abstrata de uma superfície, ou variedade de dimensão dois.
O conceito de variedade
não deveria ser ligado a um espaço de pontos (no sentido geométrico usual), mas ter
sentido amplo. Começamos simplesmente com uma coleção de coisas chamadas pontos
(que podem ser objetos quaisquer) e introduzimos um conceito de continuidade por meio
de denições mais claras. A formulação clássica dessa idéia foi dada um ano depois por
Felix Hausdor (1868-1942).
A primeira parte do Grundzüge der Mengenlehre de Hausdor é uma exposição sistemática dos aspectos característicos da teoria dos conjuntos. Na segunda parte
do livro achamos um desenvolvimento claro dos espaços topológicos de Hausdor, a partir
de uma coleção de axiomas.
A topologia emergiu no século vinte como um tema que unica quase toda a
matemática, um tanto como a losoa procura coordenar todo o conhecimento. Por causa
de seu primitivismo, a topologia está na base de uma parte muito grande da matemática.
2
Capítulo 2
Conjuntos Abertos em um Espaço
Métrico
2.1
Espaços Métricos e Bolas Abertas
Antes de iniciarmos o estudo de conjuntos abertos vamos denir métrica e
bolas abertas que são conceitos fundamentais para o desenvolvimento deste capítulo.
Denição 2.1. Uma métrica em um conjunto
X
é uma função
d : X ×X → R
satisfazendo as seguintes propriedades:
d(x, x) = 0, ∀x ∈ X .
(1)
(2)Se
então
d(x, y) > 0, ∀x, y ∈ X .
(3)d(x, y)
= d(y, x), ∀x, y ∈ X .
(4)d(x, y)
≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Um
métrica em
x 6= y
M.
espaço métrico é um par
(M, d),
sendo
M
um conjunto e
d
uma
Quando não houver risco de confusão, omitiremos a métrica e iremos
apenas nos referir ao espaço métrico
M .
Vamos agora estudar alguns exemplos de
métricas.
Exemplo 2.2. Seja
|x − y|,
(2)Se
então
x 6= y
(3)d(x, y)
d
X = R o conjunto dos números reais e d : R×R → R tal que d(x, y) =
é uma métrica em
então
R.
De fato,
d(x, y) = |x − y| > 0,
= |x − y| = |y − x| = d(y, x),
(4)Já sabemos que se
a, b ∈ R
então
∀x, y, z ∈ R,
(1)d(x, x)
= |x − x| = |0| = 0
pela propriedade do valor absoluto.
pois
|x − y| = |y − x|.
|a + b| ≤ |a| + |b|,
então
|x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y|,∀x, y, z ∈ R.
Daí obtemos
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
3
2.
4
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
d
Portanto
é uma métrica em
conhecida com
R,
ou seja,
(R, d)
é um espaço métrico.
Esta métrica é
métrica usual da reta, e nos fornece a distância que conhecemos entre
dois pontos na reta.
Exemplo 2.3. Seja
d : M × M → R,
Esta métrica é conhecida como
denida por:
d(x, x) = 0
e
d(x, y) = 1
se
x 6= y .
métrica zero-um . Um espaço métrico obtido com esta
métrica é trivial, mas muito útil para contra-exemplos. Vamos vericar que
d
é de fato
uma métrica:
(1) Pela própria denição da métrica zero-um temos,
d(x, x) = 0, ∀x ∈ M .
(2) Se
x 6= y
então
d(x, y) = 1 > 0, ∀x, y ∈ M .
(3) Para
x 6= y ,
temos:
d(x, y) = 1 = d(y, x), ∀x, y ∈ M .
(4) Para provarmos a quarta propriedade de métrica, precisaremos dividir em quatro
casos:
d(x, z) + d(z, y) = 2 > 1 = d(x, y)
se
x 6= y 6= z ,
d(x, z) + d(z, y) = 0 + 1 = 1 = d(x, y)
se
x = z , z 6= y
d(x, z) + d(z, y) = 1 + 0 = d(x, y)
se
x 6= z , z = y
d(x, z) + d(z, y) = 0 = 0 = d(x, y)
se
x = y = z.
e
e
x 6= y ,
x 6= y ,
Portanto,
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ M .
Temos então que d é uma métrica em M.
Exemplo 2.4. Seja
d0 : Rn × Rn → R.
dados
x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) ∈ Rn ,
denimos:
P
1/2
d0 (x, y) = [ ni=1 (xi − yi )2 c .
Provaremos que
1) Seja
d0
é de fato uma métrica em
Rn :
x ∈ Rn ,
P
P
1/2
1/2
d0 (x, x) = [ ni=1 (xi − xi )2 c = [ ni=1 (0)2 c = 0.
2) Se
x 6= y
(xi − yi )2 > 0. Então,
P
1/2
d0 (x, y) = [ ni=1 (xi − yi )2 c > 0, ∀x, y ∈ Rn .
temos que
c, d ∈ R vale (c − d)2 = (d − c)2 , então:
P
P
1/2
1/2
d0 (x, y) = [ ni=1 (xi − yi )2 c = [ ni=1 (yi − xi )2 c = d0 (y, x), ∀x, y ∈ Rn .
3) Temos que para
4) Agora temos que provar que
pPn
i=1 (xi
Sejam
− yi )2 ≤
pPn
i=1 (xi
− zi )2 +
pPn
i=1 (zi
ai = xi − zi e bi = zi − yi , i = 1, ..., n, temos então:
pPn
pPn
pPn
2
2
2
i=1 (ai + bi ) ≤
i=1 (ai ) +
i=1 (bi ) .
− yi )2 .
2.
5
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, obtemos:
pPn
pPn
Pn
Pn
2
2
2
2·
2
(a
+
b
)
≤
(a
)
+
2
·
(a
)
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1 (bi )
i=1
i=1 (bi ) +
p
Pn
P
P
P
P
n
2
⇒ i=1 (ai )2 + 2 · ni=1 (ai · bi ) + ni=1 (bi )2 ≤ ni=1 (ai )2 + 2 ·
i=1 (ai ) ·
pPn
P
n
2
2
i=1 (bi ) +
i=1 (bi )
pPn
pPn
P
2·
2
⇒ ni=1 (ai · bi ) ≤
(a
)
i
i=1
i=1 (bi ) .
Pn
Temos que a desigualdade acima é uma consequência da desigualdade de Cauchy:
[
Pn
i=1 (ai
2
· bi )] ≤
Pn
2
i=1 (ai )
·
Pn
2
i=1 (bi ) .
Concluímos então que a seguinte desigualdade é válida:
d0 (x, y) ≤ d0 (x, z) + d0 (z, y).
Portanto,
d0
é uma métrica em
Rn .
Esta métrica é conhecida como Métrica Euclidiana,
ela nos fornece a distância usual da Geometria Euclidiana.
Denição 2.5. Seja
X
é dito
X
um espaço métrico munido da métrica
limitado se existe
M ∈R
d.
Um suconjunto
A
de
tal que
d(a1 , a2 ) ≤ M ,
a1 , a2 ∈ A.
para todo par
Exemplo 2.6. Seja X um espaço métrico munido da métrica d. Denimos db
: X×X → R
pela equação
db (x, y) = min {d(x, y), 1}.
Então
que
db
db
é uma métrica em
X.
De fato, as duas primeiras condições para
seja uma métrica são triviais, e por isso omitiremos suas demonstrações. Vamos
chegar a desigualdade triangular:
db (x, z) ≤ db (x, y) + db (y, z).
Temos que ou
igual a
1,
d(x, y) ≥ 1
ou
d(y, z) ≥ 1,
então o lado direito da inequação no mínimo
mas o lado esquerdo desta mesma equação vale no máximo
1.
Então, para este
caso a inequação vale.
Precisamos agora considerar o caso em que
d(x, y) < 1
e
d(y, z) < 1,
temos
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = db (x, y) + db (y, z).
Como
db (x, z) ≤ d(x, z),
Portanto
db
então a desigualdade triangular vale para
é uma métrica em
db .
X.
Agora veremos um exemplo que nos mostra que nem toda função
f
dene
um métrica em um conjunto.
Exemplo 2.7. Seja
f : R×R → R
não é uma métrica em
denida por:
f (x, y) = (x − y)2 ,
mostremos que
f
R.
Esta função verica as três primeiras propriedades de métrica, mas não é
valida a ultima propriedade. De fato,
2.
6
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
d(2, 5) = 9
d(2, 3) = 1
d(3, 5) = 4
Se aplicarmos a última propriedade de métrica, obteremos que
9 ≤ 5.
Então, como
métrica em
f
não satisfaz todas as propriedades de métrica, temos que
f
não é uma
R.
Temos ainda uma maneira de obter um espaço métrico a partir de um outro
(X, d) um espaço métrico, com uma métrica d : X ×X → R qualquer.
espaço métrico. Seja
Se considerarmos o espaço
um espaço métrico, pois
Y.
ao conjunto
é um
(Y, d),
com
Y
um subconjunto de
temos que tal espaço é
d : Y × Y → R será ainda uma métrica, só que agora está restrita
métrica induzida, e diremos que
Esta métrica é conhecida como
subespaço de
X,
(Y, d)
(X, d)
Agora que já estudamos métrica e espaços métricos, podemos denir bolas
abertas em um espaço métrico M qualquer.
Denição 2.8. Denimos como bola aberta de centro
a e raio r > 0 o conjunto B(a, r)
formado pelos pontos do espaço métrico M cuja distância ao ponto
r,
a
seja menor do que
ou seja,
B(a, r) = {x ∈ M/d(x, a) < r}.
Exemplo 2.9. Seja
a∈R
e raio
r>0
d : R×R → R
a métrica usual em
R.
Então a bola aberta de centro
é o intervalo
B(a, r) = {x ∈ R/d(x, a) = |x − a| < r}.
Da mesma forma que temos bolas abertas, temos também bolas fechadas.
Como um exemplo simples de uma bola fechada podemos citar um intervalo fechado da
reta real, como por exemplo, o intervalo
bola fechada em um espaço métrico
M
[0, 1].
Daremos agora a denição formal de uma
qualquer.
Denição 2.10. Denimos como bola fechada de centro
B[a, r]
formado pelos pontos do espaço métrico
ou igual a
r,
M
a
e raio
r > 0
o conjunto
a
seja menor
cuja distância ao ponto
ou seja,
B[a, r] = {x ∈ M/d(x, a) ≤ r}.
2.2
Conjuntos Abertos
Denição 2.11. Seja
A
um subconjunto de um espaço métrico
aberto quando todo ponto
A. Ou seja,
∀a ∈ A, ∃ > 0
M.
Dizemos que
A
é
a ∈ A é o centro de uma bola aberta inteiramente contida em
tal que se
x∈M
e
d(x, a) < então
x ∈ A.
2.
7
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
Proposição 2.12. Toda bola aberta
aberto de
B(a, r)
em um espaço métrico
M
é um subconjunto
M.
Demonstração. Pela denição 2.8 temos que
∀x ∈ B(a, r),
d(a, x) < r.
Sejam
= r − d(a, x)
y ∈ B(x, ),
e
então:
d(y, x) < = r − d(a, x).
Pela denição 2.1 temos que:
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r.
Então,
y ∈ B(a, r).
E com isso temos que
B(a, ) ⊂ B(a, r)
Portanto, a bola
B(a, r)
Denição 2.13. Seja
tal que
um
é um subconjunto aberto de
A = {a} ⊂ M ,
B(a, r) = {a}.
Quando
ponto isolado. Se
M
{a}
M.
A será aberto em
M
se, e somente se, existir
for um conjunto aberto em
M
diremos que
for formado apenas de pontos isolados, diremos que
M
r>0
{a}
é
é um
conjunto discreto.
Proposição 2.14. Seja
M
um espaço métrico nito, então
Demonstração. Suponhamos que exista um espaço métrico
Logo
∃a ∈ M
tal que, para todo
d(a, x0 ) < r0 .
x1 ∈ B(a, r1 ),
Tome
onde
M
M
é discreto.
nito que não seja discreto.
r0 > 0, ∃x0 ∈ M , com x0 6= a tal que x0 ∈ B(a, r0 ), então
r1 = d(a, x0 ).
a 6= x0 6= x1 .
Como
a
não é ponto isolado existe
x1 ∈ M
tal que
Seguindo este raciocínio, encontraremos uma sequência
de pontos distintos dois a dois, que gera um absurdo, pois
M
é nito.
Logo, todo espaço métrico nito é discreto.
Denição 2.15. Seja
é
ponto interior a
quando
∃r > 0
X
X
um subconjunto de um espaço métrico
quando
a
M.
Um ponto
é centro de uma bola aberta contida em
X.
a∈X
Ou seja,
tal que
d(x, a) < r ⇒ x ∈ X .
Denimos o
interior de X como sendo o conjunto dos pontos interiores de X, ou seja
intX = {a ∈ X/B(a, r) ⊂ X}.
Denição 2.16. A fronteira de
X
é o conjunto dos pontos
b∈X
aberta de centro b contém pelo menos um ponto de X e um ponto de
∂X .
tais que toda bola
M − X.
Notação:
2.
8
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
Exemplo 2.17. Seja
X = [0, 3)
um intervalo da reta real. O interior deste conjunto é o
intervalo aberto (0,3). De fato, sejam
a ∈ (0, 3)
e
r = min {a, 3 − a},
temos
(a − r, a + r) ⊂ X ,
logo
a ∈ intX .
do intervalo
(0, 3) pertence ao interior de X .
Portanto
Agora vamos testar os extremos
[0, 3).
3∈
/ intX ,
pois todo intervalo aberto de centro
não pertencem a
X.
3
contém números que pertencem a
X
e outros que
Analogamente temos que
0∈
/ intX .
Ou seja,
intX = (0, 3).
Com isso, encontramos também a fronteira de X,
∂X = {0, 3}.
Denição 2.18. Um subconjunto
A de um espaço métrico M
diz-se aberto em
M
quando
todos os seus pontos são pontos interiores, ou seja,
A = intA.
Corolário 2.19. Para todo
Demonstração. Seja
∃r > 0
X ⊂ M , intX
a ∈ intX .
tal que
é aberto em M.
Então pela denição 2.15,
B(a, r) ⊂ X .
Pela proposição 2.12 temos que
∀x ∈ B(a, r), ∃s > 0
tal que
B(x, s) ⊂ B(a, r).
Sendo que,
B(x, s) ⊂ intX .
Com isso temos que todo ponto
x ∈ B(a, r)
é interior a
X,
ou seja
B(a, r) ⊂ intX .
Logo
intX
é aberto em M.
Proposição 2.20. Seja
U
a coleção dos subconjuntos abertos de um espaço métrico
M.
Então:
1.
M ∈U
e
∅ ∈ U.
2. Se
A1 , ..., An ∈ U
3. Se
Aλ ∈ U, ∀λ ∈ L,
Demonstração. 1)
M
então
A1 ∩ ... ∩ An ∈ U .
então
A=
é aberto em
Agora, suponhamos que
∅
S
λ∈L
M,
Aλ ∈ U .
pois todos os pontos de
não seja aberto em
M,
M
são interiores à
então temos um ponto
x∈∅
M.
que não é
2.
9
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
interior a
∅,
mas
∅
não contém elementos, o que torna isso uma contradição. Portanto
M.
também é aberto em
2) Suponhamos que
∅
a ∈ A1 , ..., a ∈ An ,
logo
a ∈ A1 ∩ ... ∩ An .
Como
A1 , ..., An ∈ U
são abertos, exitem
r1 > 0, ..., rn > 0
tais que
B(a, r1 ) ⊂ A1 , ..., B(a, rn ) ⊂ An .
Seja
r = min {r1 , ..., rn }.
Então,
B(a, r) ⊂ B(a, r1 ) ⊂ ... ⊂ B(a, rn )
⇒ B(a, r) ⊂ A1 ∩ ... ∩ An .
3) Seja
a ∈ A.
λ∈L
Existe um índice
tal que
a ∈ Aλ .
Como este conjunto é aberto, temos que existe uma bola aberta
B(a, r)
tal que,
B(a, r) ⊂ Aλ
Portanto
⇒ B(a, r) ⊂ A
S
A = λ∈L Aλ é aberto.
Corolário 2.21. Um subconjunto
A⊂M
é aberto se, e somente se, é uma reunião de
bolas abertas.
Demonstração. (⇒) Se A é aberto então,
∀x ∈ A,
podemos obter uma bola aberta
Bx
talque
x ∈ Bx ⊂ A.
O que se escreve também como
{x} ⊂ Bx ⊂ A.
Tomando reuniões, obtemos,
A=
S
A=
S
x∈A
{x} ⊂
x∈A
Bx .
S
x∈A
Bx ⊂ A.
Logo,
O que mostra que todo aberto é reunião de bolas abertas.
(⇐) Se
A=
S
x∈A
Bλ
é uma reunião de bolas abertas, então
A
é aberto
em M pela proposição 2.12 e pelo item (3) da proposição 2.20.
2.3
Relação entre Conjuntos Abertos e Continuidade
Neste capítulo iniciaremos com a denição de continuidade de uma apli-
cação
f : M → N
da forma que conhecemos em análise, e em seguida enunciaremos
uma proposição que utiliza apenas conjuntos abertos no estudo da continuidade de uma
aplicação
f,
que nos mostra a importância dos conjuntos abertos na matemática.
2.
10
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
Denição 2.22. Sejam
M ,N
a∈M
contínua no ponto
espaços métricos.
quando, para todo
Diz-se que a aplicação
>0
∃δ > 0
dado,
f : M → N
é
tal que
d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < .
B(f (a), )
Ou seja, dada uma bola
pode-se encontrar uma bola
B(a, δ)
tal que
f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ).
Dizemos que
f :M →N
Exemplo 2.23. Seja
S
λ∈L
(Xλ )λ∈L
uma família de subconjuntos de
intXλ = M .
λ ∈ L,
é contínua para cada
Dado
é contínua se for contínua em todos os pontos de
a ∈ M,
f :M →N
Se
f
então
existe
M
M.
tais que
f |Xλ
é tal que
é contínua.
λ∈L
tal que, para
a ∈ intXλ ,
temos que
∃δ 0
tal que
B(a, δ 0 ) ⊂ Xλ .
Agora, como
f |Xλ
é contínua, sabemos que
∀ > 0, ∃δ 00 > 0
tal que
00
f |Xλ (B(a, δ )) ⊂ B(f |Xλ (a), ).
δ = min {δ 0 , δ 00 }
Sendo assim, tomando
temos,
∀ > 0
f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), )
Portanto,
f :M →N
é contínua em
Proposição 2.24. Sejam
M →N
M
e
N
M.
espaços métricos.
seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa
subconjunto aberto
0
A ⊂N
é aberto em M. De fato, seja
temos que existe
para
> 0,
>0
existe
seja contínua, tomemos
a ∈ f −1 (A0 )
B(f (a), ) ⊂ A0 .
tal que
δ>0
f
Sendo
f
A0 ⊂ N
f (a) ∈ A0 .
então
f −1 (A0 )
f :
de todo
M.
seja um subconjunto aberto de
Demonstração. (⇒) Suponhamos que
f −1 (A0 )
A m de que uma aplicação
Como
contínua no ponto
aberto então
A0
a,
é aberto,
temos que
tal que
f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ) ⊂ A0
⇒ f (B(a, δ)) ⊂ A0
⇒ B(a, δ) ⊂ f −1 (A0 )
⇒ f −1 (A0 )
é aberto.
(⇐) Suponhamos agora que
aberto. Seja
a ∈ M,
mostraremos que
A0 = B(f (a), )
é um aberto em
M,
Assim, existe
contendo
a.
N,
δ>0
f
f −1 (A0 ) ⊂ M
é contínua em
contendo
f (a).
seja aberto para todo
a.
Logo,
De fato, dado
A = f −1 (A0 )
A0 ⊂ N
>0
a bola
é um aberto em
tal que
B(a, δ) ⊂ A.
Ou seja,
f (B(a, δ)) ⊂ B(f (a), ).
Corolário 2.25. Sejam
A1 × ... × An
Ai ⊂ M i
conjuntos abertos em
é um subconjunto aberto de
Mi ,
então o produto cartesiano
M = M1 × ... × Mn .
2.
11
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
Demonstração. As projeções
pi : M1 × ... × Mn → Mi
Logo, pela proposição anterior,
M1 × ... × Mn
são contínuas para
i = 1, ..., n.
−1
−1
p−1
1 (A1 ), p2 (A2 ), ..., pn (An ) são subconjuntos abertos de
e como
−1
A1 × ... × An = p−1
1 (A1 ) ∩ ... ∩ pn (An ),
A1 × ... × An
segue-se da proposição 2.20, que
A imagem inversa
contínua
f :M →N
M1 × ... × Mn .
de um conjunto aberto
A⊂M
por uma aplicação
pode não ser um subconjunto aberto em N.
Exemplo 2.26. Seja
temos
f (A)
é aberto em
f :R→R
denida por:
f (x) = x2 .
Então, para
√ √
A = (− 3, 3)
f (A) = [0, 3), que não é um subconjunto aberto de R como vimos no exemplo 2.17.
f :M →N
Denição 2.27. Uma aplicação
A ⊂ M,
sua imagem
f (A)
é um subconjunto aberto de N.
Proposição 2.28. Um subconjunto
U ×V,
retângulos
U ⊂M
onde
Demonstração. (⇒) Se
chama-se aberta quando para cada aberto
e
A⊂M ×N
A⊂M ×N
V ⊂N
é aberto se, e somente se, é reunião de
são abertos.
é aberto, tomemos em
M ×N
a métrica
δ[(x, y), (x0 , y 0 )] = max {d(x, x0 ), d(y, y 0 )},
segundo a qual cada bola aberta é o produto de uma bola aberta em
aberta em
N.
Então, para cada ponto
z ∈A
existem bolas abertas
M
por uma bola
Uz ⊂ M
e
Vz ⊂ N
tais que
z ∈ Uz × Vz ,
ou seja,
{z} ⊂ Uz × Vz ⊂ A.
Tomando reuniões, temos:
A=
S
z∈A {z} ⊂
S
x∈A
Uz × Vz .
Portanto,
S
Uz × Vz .
S
(⇐) Se A =
λ Uz ×Vz
A=
então
A
onde, para cada
λ , Uλ ⊂ M
e
Vλ ⊂ N
são abertos,
é uma reunião de abertos e portanto é aberto.
Exemplo 2.29. As projeções p1
: M ×N → M
e
p2 : M ×N → N
são aplicações abertas.
p1 é de fato uma aplicação aberta. Se A ⊂ M × N
S
A = λ Uλ × Vλ , com Uλ ⊂ M e Vλ ⊂ N .
Vamos mostrar que
Segue-se que
p1 (A) =
é aberto em
S
λ
p1 (Uλ × Vλ ) =
S
λ
Uλ
M.
Analogamente, mostra-se que
p2
também é uma aplicação aberta.
é aberto, então,
2.
Conjuntos Abertos em um Espaço Métrico
12
A proposição 2.24 pode também ser escrita em termos de conjuntos fechados.
Como estudaremos conjuntos fechados em um capítulo à parte, colocaremos a
proposição e sua demostração naquele capítulo.
Capítulo 3
Espaços Topológicos
3.1
Topologia e Espaço Topológico
Denição 3.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção
τ
de suconjuntos de
X, chamados os subconjuntos abertos de X (ou os abertos de X) segundo a topologia
τ,
satisfazendo as seguintes propriedades:
1.
∅
X
e
pertencem a
τ.
2. A reunião de uma família qualquer de subconjuntos de
τ
3. A interseção de uma família nita de subconjuntos de
espaço topológico é um par
Um
topologia em
X.
(X, τ ),
τ
onde
pertence a
pertence a
X
τ.
τ.
é um conjunto e
τ,
Quando não houver necessidade de mencionar
τ
é uma
diremos apenas o
espaço topológico X.
Seja
X
um espaço topológico com a topologia
conjunto aberto de X se
Exemplo 3.2. Seja
topologia em
1)
∅, X ∈ τ ,
2) Dado
a
Dizemos que
U ⊂X
é um
U ∈τ
um conjunto, a coleção
τ
de todos os subconjuntos de
X
é uma
De fato,
pois são subconjuntos de
{Uλ }λ∈L
com
Uλ ∈ τ
então
S
X.
λ∈L
Uλ
é um subconjunto de
X
e portanto pertence
é um subconjunto de
X
e portanto pertence
τ.
3) Dados
a
X.
X
τ.
U1 , ..., Un ∈ τ
temos que
U1 ∩...∩Un
τ.
A topologia denida no exemplo acima é chamada de
Exemplo 3.3. Seja
X = {a, b, c}.
Seja
τ
a coleção de todos os subconjuntos de
τ = {∅, X, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c}}.
Esta é a topologia discreta em
topologia discreta.
X = {a, b, c}.
13
X:
3.
Exemplo 3.4. Seja
pelo
1)
14
Espaços Topológicos
X
X
um conjunto, a coleção
é uma topologia em
X.
τ
formada apenas pelo conjunto vazio e
De fato,
∅, X ∈ τ .
{Uλ }λ∈L
2) Dado
com
portanto pertence a
∅, X ∈ τ
3) Dados
pertence a
Uλ ∈ τ
então
S
λ∈L
Uλ
ou será vazio ou então será o próprio
τ.
temos que a interseção nita destes conjuntos será vazia, portanto
τ.
A topologia descrita acima é chamada
Exemplo 3.5. Sejam
tais que ou
1)
X
e
2) Seja
∅
X,
(X − U )
X
τf
um conjunto e
pertencem a
τf ,
pois
X −X =∅
a coleção de todos os subconjuntos
X.
é nito ou é o próprio
topologia caótica.
Então
é nito e
{Uλ }λ∈L uma família de elementos de τf .
τf
é uma topologia em
X −∅=X
X.
U
de
X
De fato,
é o próprio X.
Por um resultado da teoria dos conjuntos
temos,
X−
S
λ∈L
Uλ =
T
que é nito pois cada elemento
qualquer de
τf
pertence à
λ∈L (X
− Uλ ).
(X − Uλ )
é nito. E portanto a reunião de uma família
τf .
U1 , ..., Un ∈ τf então,
S
T
X − ni=1 Ui = ni=1 (X − Ui ),
3) Sejam
que também é nito, pois a reunião nita de conjuntos nitos é nita. Então a intersecção
nita de elementos de
Portanto,
τf
pertence à
τf .
é uma topologia em X.
Exemplo 3.6. Sejam
tais que ou
τf
(X − U )
X
τc
um conjunto e
a coleção de todos os subconjuntos
é enumerável ou é o próprio
X.
Então
τc
U
é uma topologia em
de
X.
X
De
fato,
1)
X
e
∅
2) Seja
pertencem a
{Uλ }λ∈L
τc ,
pois
X −X =∅
uma família de elementos de
X−
S
λ∈L
Uλ =
T
λ∈L (X
uma família qualquer de
τc
τc ,
pertence à
X −∅=X
é o próprio X.
então,
− Uλ ).
(X − Uλ )
que é enumerável pois cada elemento
3) Sejam
é enumerável e
é enumerável. E portanto a reunião de
τc .
U1 , ..., Un ∈ τc então,
T
S
X − ni=1 Ui = ni=1 (X − Ui ),
que também é enumerável, pois a união nita de conjuntos enumeráveis é enumerável.
Então a interseção nita de elementos de
Portanto,
τc
τc
pertence à
τc .
é uma topologia em X.
Exemplo 3.7. Todo espaço métrico é um espaço topológico. De fato, dado um espaço
métrico
(M, d),
como os abertos de
M
são as reuniões de bolas abertas de
M,
basta
3.
X
tomarmos
como sendo a reunião de bolas abertas de
M.
uma topologia em
O espaço topológico
Denição 3.8. Sejam
τ0
15
Espaços Topológicos
é mais na do que
τ
e
τ0
(M, τ )
M
e
τ = {X ⊂ M },
então
terá os mesmos abertos de
duas topologias em um conjunto
X.
τ ⊂ τ 0,
Se
τ
será
(M, d).
dizemos que
τ.
Esta denição pode parecer um pouco complicada, por isso faremos uma
analogia simples para ilustrar quando uma topologia é mais na do que outra. Considere
como um espaço topológico a caçamba de um caminhão cheia de pedregulhos, sendo
cada pedregulho e todas as uniões de famílias de pedregulhos os conjuntos abertos. Se
nós quebrarmos os pedregulhos em pedregulhos menores, a coleção de conjuntos abertos
será maior, e a topologia será dita mais na pela operação. Não é sempre que podemos
comparar duas topologias, dizendo se uma é mais na do que a outra.
3.2
Base de um Espaço Topológico
Denição 3.9. Sejam
1. Para cada
2. Se
X
x∈X
um conjunto e
β
B∈β
existe pelo menos um elemento
x ∈ B1 ∩ B2 ,
com
B1 , B2 ∈ β ,
X
uma coleção de subconjuntos de
então existe
B3 ∈ β
tal que
com
tais que:
x ∈ B.
x ∈ B3
tal que
B3 ⊂
B1 ∩ B2 .
Dizemos que
coleção
τ,
β
τ
quando, para cada subconjunto
B
de
gera a coleção
existir um elemento
Proposição 3.10. A coleção
Demonstração. 1) Seja
mesmo acontece se
U
U
τ
β
tal que, para
gerada por
é o próprio
que
U=
λ∈L
Uλ
pertence à
existe um elemento
B
em
β
τ.
X.
Se
U
de
tivermos
é uma topologia em
um subconjunto de
X
pertencente à
x∈B
B ⊂ U.
e
X.
é vazio então ele está em
τ,
o
X.
2) Agora, tomemos uma família indexada
S
β
x ∈ U,
U
x ∈ U,
Dado
tal que
{Uλ }λ∈L
existe
de elementos de
λ
tal que
x ∈ B ⊂ Uλ ⊂ U .
x ∈ Uλ .
Como
τ.
Vamos mostrar
Como
x ∈ B
e
Uλ
é aberto,
B ⊂ U,
então
U ∈ τ.
3) Sejam
U1 , ..., Un ∈ τ ,
indução.
Primeiro sejam
dado
x ∈ U1 ∩ U2 ,
B3 ,
Para n=1,
com
x ∈ B3 ,
U1 ∈ τ .
U1 ∩ ... ∩ Un ∈ τ .
U1
e
U2
em
τ
U1 ∩ ... ∩ Un ∈ τ ,
então
escolhemos um elemento
também um elemento
existe
mostremos que
B2 ∈ β
tal que
tal que
B1 ∈ β
x ∈ B2
e
também pertence à
tal que
B2 ⊂ U2 .
B3 ⊂ B1 ∩ B2 ⊂ U1 ∩ U2 ,
Suponhamos agora que
Temos que
U1 ∩ U2
vamos mostrar este fato por
x ∈ B1
e
τ.
B1 ⊂ U1 ,
De fato,
escolhemos
Pela denição 3.9 temos que
então
U1 ∩ ... ∩ Un−1 ∈ τ
U1 ∩ U2 ∈ τ .
seja válida, e provemos que
3.
16
Espaços Topológicos
U1 ∩ ... ∩ Un = (U1 ∩ ... ∩ Un−1 ) ∩ Un .
Pela hipótese de indução temos
U = U1 ∩ ... ∩ Un−1 ∈ τ .
U ∩ Un ∈ τ ,
Agora,
temos que
pelo que provamos no parágrafo acima. Então para
U1 , ..., Un ∈ τ
U1 ∩ ... ∩ Un ∈ τ .
τ
Provamos então que a coleção
β
de conjuntos gerada por
é de fato uma topologia em
X.
A coleção
chamados
β
é dita uma
base da topologia
X
unitários de
X
um conjunto qualquer. A coleção
Proposição 3.12. Sejam
X
β
de todos os subconjuntos
seja uma base são satisfeitas.
um conjunto e
β
uma base para uma topologia
se iguala à coleção de todas as uniões de elementos de
Demonstração. Dada uma coleção de elementos de
e como
β
é uma base para a topologia discreta.
As duas condições para que
τ
τ
são
elementos básicos.
Exemplo 3.11. Seja
Então
τ , e os subconjuntos B ∈ β
β,
x∈U
para cada
Bx
um elemento
em
X.
β.
eles também são elementos de
é uma topologia, a união destes elementos também está em
U ∈ τ , escolhemos
S
U = x∈U Bx .
τ
de
β
tal que
τ.
τ,
Agora, seja
x ∈ Bx ⊂ U .
Então
Quando temos duas topologias dadas em função de suas bases, precisamos
de um critério para dizer qual delas é a mais na. A seguinte proposição nos mostra tal
critério.
Proposição 3.13. Sejam
β
β0
e
bases para as topologias
τ
e
τ 0,
respectivamente, em
X.
Então as seguintes armações são equivalentes.
1.
τ0
2. Para cada
básico
x∈X
0
B ∈β
por denição e que
β,
0
e para cada elemento básico
tal que
(1) ⇒ (2)
Demonstração.
0
τ ⊂ τ 0,
existe um elemento
Seja
x ∈ U,
x ∈ B ⊂ B.
Foram dados
pois
B ∈β
como
0
τ0
portanto
U ∈τ
x∈X
e
é mais na que
tal que
B ∈ β,
τ,
com
então
x ∈ B.
B ∈ τ 0.
Temos que
Como
τ0
gera
τ,
por denição.
é gerada por
0
Queremos mostrar que se dado um elemento
β
B∈τ
x ∈ B ⊂ B.
existe um elemento
hipótese temos que existe um elemento
0
B ∈ β , com x ∈ B , existe um elemento
0
0
(2) ⇒ (1)
U ∈ τ 0.
τ.
é mais na do que
0
B ∈β
0
tal que
B∈β
0
tal que
x ∈ B ⊂ B.
U
de
τ
então
x ∈ B ⊂ U.
Então
0
Por
x ∈ B ⊂ U,
3.
17
Espaços Topológicos
Às vezes, não conseguimos nos lembrar se na proposição acima temos
B
ou o contrário,
B ⊂ B0.
B0 ⊂
Para facilitar, podemos novamente utilizar a anologia com
o caminhão cheio de pedregulhos.
Diremos agora que cada pedregulho é um elemento
básico da topologia. Quando transformamos cada pedregulho em poeira, as partículas de
poeira são os elementos básicos para a nova topologia, que é mais na do que a anterior,
e cada partícula estava contida em um pedregulho.
A seguinte proposição nos diz como encontrar uma base a partir de uma
topologia.
Proposição 3.14. Sejam
que para cada aberto
β
Então
U
de
X
X
e cada
x∈U
é uma base para a topologia em
Demonstração. Mostremos que
(1) Seja
x ∈ X,
como
X
β
um espaço topológico e
β
uma coleção de abertos de
existe um elemento
B
de
β
tal que
X,
tal
x ∈ B ⊂ U.
X.
é de fato uma base.
é um elemento de
β
por hipótese, então existe
B ∈β
tal que
x ∈ C ⊂ β.
(2) Sejam
que
B1 , B2
B1 ∩ B2
também é aberto em
Exemplo 3.15. A coleção
reta real é uma base para a
β
1) Para todo
com
x∈R
x ∈ B1 ∩ B2 .
X.
Como
Então existe
tal que
B1 , B2
B3 ∈ β
R.
são abertos em
tal que
de todos os intervalos abertos
a < b,
β
2) Seja
tal que
x∈R
com
(a, b), (c, d)
x.
intervalos abertos da reta real, então
R.
∃(e, f ),
= {x/a ≤ x < b},
De fato
existe um intervalo semi-aberto contendo
x.
x ∈ [a, b)∩[c, d), com [a, b), [c, d) intervalos da reta real, então ∃[e, f ), com x ∈ [e, f )
[e, f ) ⊂ [a, b) ∩ [c, d).
β0
é chamada
topologia do limite inferior.
Proposição 3.17. A topologia do limite inferior
τ0
em
de
τ
R
é mais na do que a topologia
τ.
Demonstração. Dados um elemento básico
da base de
τ0
mais na do que
τ.
[x, b)
é de fato uma
(e, f ) ⊂ (a, b) ∩ (c, d).
A topologia gerada por
usual
da
R.
é uma base uma topologia em
1) Para todo
temos
(a, b) = {x/a < x < b}
Exemplo 3.16. A coleção β 0 de todos os intervalos da reta real, do tipo [a, b)
com
X
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
Vamos mostrar que
existe um intervalo aberto contendo
x ∈ (a, b) ∩ (c, d),
x ∈ (e, f )
e
topologia usual em
base para uma topologia em
2) Seja
β
elementos de
contém
x
e está contido em
Agora, dado um elemento básico
fazendo a seguinte condição:
(a, b)
[x, d)
de
τ 0,
e um ponto
(a, b),
x ∈ (a, b),
o elemento
então, pela proposiçao 3.13,
τ0
é
não existe nenhum intervalo aberto satis-
3.
18
Espaços Topológicos
x ∈ (a, b) ⊂ [x, d),
τ
portanto,
3.3
não é mais na do que
τ 0.
Topologia Produto
Proposição 3.18. Sejam
coleção
β
M
e
N
espaços topológicos, a topologia que tem como base a
de todos os conjuntos da forma
aberto em
N,
é uma topologia em
U ×V,
M × N.
U
onde
é um aberto em
M
Esta topologia é conhecida como
V
e
é um
topologia
produto.
Demonstração. Precisamos mostrar que
β
é de fato uma base para uma topologia em
X ×Y.
X ×Y
1) Esta condição é trivial, já que
2) Sejam
U1 × V1
U2 × V2
e
β.
é um elemento de
elementos de
β,
então,
(U1 × V1 ) ∩ (U2 × V2 ) = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 ).
Como
(U1 ∩ U2 )
(U2 × V2 )
Portanto
é um aberto em
é um elemento de
β
X
e
(V1 ∩ V2 )
β
Y
temos que
(U1 × V1 ) ∩
β.
é uma base para a topologia em
Teorema 3.19. Sejam
é um aberto em
X ×Y.
uma base para a topologia
X
e
β0
uma base para a topologia em
Y. Então a coleção
χ = {B × B 0 /B ∈ β, B 0 ∈ β 0 }
é uma base para a topologia em
X ×Y.
Demonstração. Dados um aberto
W
de
X ×Y
acima, temos que existe um elemento básico
e
β0
são bases de
x ∈ B ⊂ U,
X
e
Y
U ×V
tal que
x×y
de
e um elemento
pela proposição
x×y ∈ U ×V ⊂ W.
B0 ∈ β0
χ
tal que
y ∈ B0 ⊂ V .
é uma base para
Então
Como
B∈β
β
tal que
x × y ∈ B × B0 ⊂ W .
X ×Y.
Topologia do Subespaço
Proposição 3.20. Sejam
subconjunto de
X,
X
um espaço topológico e
τ
uma topologia em
a coleção
τY = {Y ∩ U/U ∈ τ }
é uma topologia em Y.
Demonstração. 1)
2) Seja
W,
respectivamente, podemos escolher um elemento
Pela proposição 3.14 temos que
3.4
e um ponto
∅ ∈ τY
{Uλ }λ∈L ∈ τ .
pois
∅=Y ∩∅
Temos que
e
X ∈ τY ,
pois
Y = Y ∩ X.
X.
Se
Y
é um
3.
19
Espaços Topológicos
S
Como
S
∩ Y ) = ( λ∈L Uλ ) ∩ Y .
S
S
λ∈L Uλ pertence à τ , então
λ∈L (Uλ ∩ Y )
3) Sejam
λ∈L (Uλ
U1 , U2 , ..., Un
é um elemento de
τ
elementos de
também pertece à
τY .
(U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ ... ∩ (Un ∩ Y )
mostremos que
τY .
(U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ ... ∩ (Un ∩ Y ) = (U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un ) ∩ Y .
Como
(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un ) ∈ τ
Portanto
τY
então
é uma topologia em
A topologia
τY
Proposição 3.21. Se
β
pertence à
τY .
Y.
é chamada
subespaço de
esta topologia é um
(U1 ∩ Y ) ∩ (U2 ∩ Y ) ∩ ... ∩ (Un ∩ Y )
topologia do subespaço, e dizemos que
Y
com
X.
é uma base para a topologia em
X,
então a coleção
βY = {B ∩ Y /B ∈ β}
é uma base para a topologia do subespaço.
U
Demonstração. Dados
β
de
tal que
y ∈ B ⊂ U.
um aberto de
Então
X
e
y ∈ U ∩Y,
y ∈ B∩Y ⊂ U ∩Y.
podemos escolher um elemento
Pela proposição 3.14 temos que
B
βY
Y.
é uma base para a topologia do subespaço em
Quando estamos trabalhando com a topologia do subespaço precisamos ser
cautelosos quando usamos o termo conjunto aberto, pois ele pode ser um aberto em
ou um aberto em
Y.
de
X,
Y
serão abertos em
e será dito aberto em
Lema 3.22. Seja
U
Temos que um conjunto é aberto em
é aberto em
Y
X,
X.
Como
se pertencer à topologia de
se ele pertencer à topologia
Y.
Nem sempre os abertos de
o próximo lema nos diz em qual situação isto ocorre.
um subespaço de
X,
se
U
Y,
temos que
for aberto em
Y
e
Y
aberto em
X,
então
X.
Demonstração. Como
em
Y
X
X
Y
e
V
U
é aberto em
são conjuntos abertos de
X,
U = Y ∩V,
temos que
para algum
Y ∩V
V
aberto
também é aberto em
X.
3.5
Homeomorsmos
Nesta seção iremos apenas introduzir o conceito de Homeomorsmos, sem
nos aprofundarmos.
Denição 3.23. Sejam
Se
f
que
e
X
f −1
e
Y
X
e
Y
espaços topológicos e
forem contínuas então
são homeomorfos.
f
é dita um
f :X →Y
uma bijeção contínua.
homeomorsmo. Neste caso, dizemos
3.
20
Espaços Topológicos
Dois espaços topológicos homeomorfos são indistinguíveis do ponto de vista
da topologia. Uma propriedade em um espaço topológico
X
topológica quando todo espaço homeomorfo à
Exemplo 3.24. A função
f
fato, sabemos que
f :R→R
dada por
X
chama-se um propriedade
também goza de tal propriedade.
f (x) = 3x + 1
é um homeomorsmo. De
é uma função bijetora e contínua, e que sua inversa
f −1 (y) = 31 (y − 1)
também é contínua, esses são resultados simples vindos do cálculo, e não os provaremos
aqui.
Denição 3.25. Uma aplicação injetiva
sobre sua imagem
3.6
f (X)
chama-se uma
f : X → Y
que é um homeomorsmo de
X
imersão topológica.
Interior, Fronteira e Vizinhança
No capítulo 2 denimos interior e fronteira usando métricas e bolas abertas,
neste capítulo utilizaremos somente os conjuntos abertos de um espaço topológico para
denir esses conceitos, e ainda deniremos vizinhança de um ponto. Com isso veremos que
podemos nos desvincular de distância e refazer a teoria do capítulo 2 utilizando apenas
os abertos de um espaço topológico. A continuidade de uma função
e
N
com
M
espaços topológicos, será abordada em outro capítulo.
Denição 3.26. Seja
chama-se
S
X.
um subconjunto de um espaço topológico
ponto interior de
interior de
Denimos como
por
f : M → N,
S
S
quando existe um aberto
A
de
X
o conjunto dos pontos interiores de
Um ponto
tal que
S,
x∈S
x ∈ A ⊂ S.
este será denotado
intS .
Proposição 3.27. Seja
S
um subconjunto de um espaço topológico
a reunião de todos os subconjuntos abertos de
X
X,
o interior de
S
é
S.
que estão contidos em
S
Aλ = A = intS , com Aλ conjuntos abertos em
S
X contidos em S . Vamos começar mostrando que Aλ = A ⊂ intS . Seja A a reunião de
Demonstração. Precisamos mostrar que
Aλ .
todos os abertos
Então
x ∈ A0 ⊂ S .
Logo
A0 = A λ ,
A ⊂ intS
e
Corolário 3.28. Seja
S
Então, como
se, e somente se,
Demonstração.
que
S
intS
é aberto em
intS ⊂ A.
Vamos mostrar agora que
que
A
Seja
X
A ⊂ S,
x ∈ intS ,
para algum
IntS ⊂ A,
e
λ,
temos que
então
x ∈ intS .
então existe um aberto
então
A0 ⊂ A.
Portanto
A0
em
X
tal
x ∈ A.
intS = A.
um subconjunto de um espaço topológico
X.
Então
S
é aberto
S = intS .
(⇒) Suponhamos que S
seja aberto. Então, pela proposição acima, temos
é igual à reunião de abertos de
Aλ = S = intS ,
com
Aλ
X
contidos em
conjuntos abertos em
X
S,
contidos em
como
S.
S
é aberto, então
3.
21
Espaços Topológicos
(⇐)
intS =
S
Agora, suponhamos
pela proposição acima, temos que
Aλ = S .
S
Portanto temos que
é aberto se, e somente se,
Denição 3.29. Sejam
conjunto
intS = S ,
V
é uma
X
S = intS .
x ∈ X
um espaço topológico e
vizinhança de
Proposição 3.30. Um conjunto
x
A
quando
um ponto.
Dizemos que o
x ∈ intV .
X
é aberto em um espaço topológico
se, e somente se,
é uma vizinhança de cada um de seus pontos.
Demonstração.
então
x ∈ intA,
(⇒) Seja x ∈ A, como A é aberto temos pelo corolário 3.28 que A = intA,
(⇐)
todo
x∈A
que
A
pontanto
A
Como
x ∈ intA.
é uma vizinhança de
é vizinhança de cada um de seus pontos, temos que, para
Portanto
A
é um conjunto aberto.
Denição 3.31. A fronteira de um subconjunto
por todos os pontos
complementar
x ∈ X
(X − S).
y
Y.
em
X
y
As vizinhanças de
de um espaço topológico
tais que toda vizinhança de
um espaço topológico,
em
Y
são as interseções
x
X
é formado
contém pontos de
S
e do
∂S .
Y
um subespaço de
V ∩Y,
onde
V
X
e
y
um ponto
é uma vizinhança de
X.
Demonstração.
que
S
Denotamos tal conjunto por
Proposição 3.32. Sejam
de
x.
(⇒)
y ∈ A ∩ Y ∩ U.
Seja
Seja
U
uma vizinhança de
V = A ∪ U.
Então
V
y
em
Y,
então existe
é uma vizinhança de
y
A
aberto em
em
X.
X
tal
Além disso,
V ∩ Y = (A ∪ U ) ∩ Y = (A ∩ Y ) ∪ (U ∩ Y ) = (A ∩ Y ) ∪ U = U .
Logo,
U =V ∩Y.
(⇐) Se V
y ∈A⊂V,
então
é uma vizinhança de
y ∈ A∩Y ⊂ V ∩Y
y
e portanto
em
X,
V ∩Y
então existe
A aberto em X
é uma vizinhança de
y
em
com
Y.
Capítulo 4
Conjuntos Fechados
4.1
Conjuntos Fechados
Denição 4.1. Um subconjunto
seu complementar,
(X − F ),
F
de um espaço topológico
é dito
fechado quando
X.
for aberto em
Exemplo 4.2. O intervalo fechado
X
[a, b] da reta real é um subconjunto fechado de R.
De
fato,
R − [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, ∞).
Como
[a, b]
R − [a, b] é um subconjunto aberto em R, pois é a reunião de subconjuntos abertos,
é fechado em
R.
Exemplo 4.3. Toda bola fechada
fechado de
b ∈ A,
M.
De fato, seja
B[a, r]
em um espaço métrico
A = M − B[a, r],
mostremos que
A
M
é um subconjunto
é aberto em
M.
Seja
então
s = d(a, b) − r ⇒ s > 0.
Para
x ∈ B(b, s)
temos
d(b, x) < s.
Pela quarta propriedade de métrica temos:
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(a, b)
⇒ d(a, x) ≥ d(a, b) − d(x, b)
⇒ d(a, x) > d(a, b) − s = r
Assim, como
B(b, s) ⊂ A
d(a, x) > r,
temos que
A
temos que
x∈
/ B[a, r]
que implica que
x
pertence à
A.
é um conjunto aberto. Portanto, pela denição 4.1,
Então
B[a, r]
é
um conjunto fechado.
Quando falamos em conjuntos abertos e fechados em um espaço topológico
X
podemos pensar que um conjunto precisa ou ser aberto ou ser fechado, mas na verdade,
um conjunto pode ser aberto, fechado, ambos ou nenhum dos dois. Os conjuntos
próprio
X
são abertos e fechados em
X.
∅
e o
Vamos ilustrar esta armação com o seguinte
exemplo.
22
4.
23
Conjuntos Fechados
Exemplo 4.4. Seja
são abertos em
X,
X
X
um espaço topológico discreto, então todos os subconjuntos de
decorre daí que todos os subconjuntos de
X
são também fechados em
X.
No exemplo 2.17 temos um subconjunto de
em
R que não é aberto nem fechado
R.
Teorema 4.5. Seja
X
um espaço topológico, então as seguintes armações são ver-
dadeiras:
1.
∅
X
e
X.
são fechados em
2. A interseção de uma família qualquer,
Demonstração. 1)
são abertos em
∅
e
F1 ∪ ...Fn
X
de subconjuntos fechados
Fλ
X
de
X.
é um subconjunto fechado em
3. A reunião nita
{Fλ }λ∈L ,
de subconjuntos fechados
F1 , ..., F2
são fechados, pois seus complementos
X
de
X
é fechado em
X.
e
∅,
respectivamente,
X.
2) Dada uma coleção de conjuntos fechados
{Fλ }λ∈L
e utilizando a Lei de DeMorgan
obtemos,
X−
T
Como
λ∈L
S
Fλ =
(X − Fλ )
λ∈L (X
− Fλ ).
é aberto, temos
S
λ∈L (X
− Fλ )
aberto, e então
T
λ∈L
Fλ
é
fechado.
Fi
Sn
3) Analogamente, se
X−
Como
i=1
é fechado, para
Fi =
Tn
i=1 (X
i = 1, ..., n,
temos a equação
− Fi ).
Tn
i=1 (X −Fi ) é aberto, pois é interseção de conjuntos abertos é aberta, então
Sn
i=1
Fi
τ
de
é fechada.
Podemos denir uma topologia em um conjunto
subconjuntos de
à
τ,
X
X
por uma coleção
satisfazendo as condições do teorema acima. Ou seja,
uma interseção qualquer e uma reunião nita de partes de
tais subconjuntos seriam chamados os fechados de
X ,
τ
∅eX
pertençam à
pertencem
τ.
Assim,
e deniríamos conjuntos abertos
como sendo os complementares dos conjuntos fechados. Em algumas situações a topologia
descrita aqui é útil, mas na maioria das vezes é mais conveniente utilizarmos conjuntos
abertos para denir uma topologia.
Agora podemos reescrever a proposição 2.24 em termos de conjuntos fechados.
Proposição 4.6. Sejam
M →N
M
e
N
espaços métricos.
A m de que uma aplicação
seja contínua é necessário, e suciente, que a imagem inversa
subconjunto fechado
0
F ⊂N
seja um subconjunto fechado em
M.
f
−1
0
(F )
f :
de todo
4.
(⇒) Seja f : M → N
Demonstração.
Pela proposição 2.24,
em
contínua. Dado
f −1 (N − F 0 ) = M − f −1 (F 0 )
F0 ⊂ N
(N − F 0 ) é aberto.
fechado,
é aberto e portanto
f −1 (F 0 )
é fechado
M.
(⇐)
M,
24
Conjuntos Fechados
dado um aberto
Se a imagem inversa de cada cada fechado em
A0 ⊂ N , f −1 (N − A0 ) = M − f −1 (A0 )
f
aberto, e pela proposição 2.24,
M.
f
De fato, seja
contínua. Temos que
sua imagem inversa
B[a, r]
é fechada em
Denição 4.8. Uma aplicação
X,
é fechado em
M
em um espaço métrico
f : M → R,
a função real
B[a, r] ≡ f −1 ([0, r]).
B[a, r]
é um fechado em
onde
f−1 (A0 )
é contínua.
Exemplo 4.7. Toda bola fechada
fechado de
N
Como
denida por
é um suconjunto
f (x) = d(x, a), f
é
[0, r] é um subconjunto fechado da reta,
M.
f : M → N , com M, N
espaços topológicos, é dita fechada
f (F ), de todo subconjunto fechado F ⊂ M , for um subconjunto fechado
quando a imagem
em N.
Y
Quando temos
um subespaço de
X
precisamos ser cautelosos quando
usamos o termo conjunto fechado. Temos que um conjunto
subconjunto de
aberto em
Y ).
Y
e
A
(⇒)
conjuntos fechados,
(Y − A) = U ∩ Y ,
e
Y
é fechado na topologia do subespaço em
Y
um subespaço de
X,
então um conjunto
for igual à interseção de um conjunto fechado em
Demonstração.
X
é fechado em
Y
(ou seja,
se
F
é um
(Y − F )
é
Para tratar deste assunto, temos o seguinte teorema:
Teorema 4.9. Seja
somente se,
F
F
A
Seja
um subconjunto fechado em
(Y − A)
sendo
U
é aberto em
um aberto em
Y.
X.
Y,
A
é fechado em
X
com
Y
se, e
Y.
então, pela denição de
Pela denição de subespaço temos que
(X − U )
Portanto, o conjunto
é fechado em
A = Y ∩ (X − U ).
(⇐) Seja A = C ∩Y , onde C
X , temos, pela denição de subespaço, que (X −C)∩Y
Y − A.
Como
(Y − A)
4.2
Fecho de um conjunto
Denição 4.10. Seja
é um
é aberto em
S
S.
então
A
é aberto em
é fechado em
S
quando toda vizinhança de
x
O conjunto dos pontos que são aderentes a
denotaremos por
Então
Mas
(X −C)∩Y =
Y.
em
S
(X −C) é aberto em
Y.
um subconjunto de um espaço topológico
ponto aderente a
ponto de
Y,
X.
é fechado em
X
X.
Um ponto
x∈X
contém pelo menos um
chama-se o
fecho de
S,
e o
X,
S̄
é a
S̄ .
Proposição 4.11. Seja
S
um subconjunto de um espaço topológico
interseção de todos os subconjuntos fechados de
X
que contém
S.
então
4.
25
Conjuntos Fechados
Demonstração. Seja
Aλ = X − Fλ ,
com
{Fλ }λ∈L
λ ∈ L,
aderente, temos que
a família de todos os fechados de
são abertos de
x ∈ S̄
X
contidos em
X − S.
x∈
/ int(X − S).
se, e somente se,
X
que contém
S.
Então
Pela denição de ponto
Como
int(X − S) =
S
Aλ
temos
Portanto
S̄ = X − int(X − S) = X −
T
S̄ = (Fλ ).
Exemplo 4.12. Considere a reta real
Seja
1
B = n /n ∈ Z ,
então
T
Aλ =
e o intervalo
R
T
(X − Aλ ) =
(Fλ ).
A = (0, 1] ⊂ R
então
Ā = [0, 1].
B̄ = {0} ∪ B .
Corolário 4.13. Um subconjunto
se,
S
F
de um espaço topológico
X
é fechado se, e somente
F = F̄ .
Demonstração.
(⇒)
Suponhamos
F = F̄ .
Sabemos que o fecho de qualquer conjunto
F
é um conjunto fechado, pois é uma interseção de conjuntos fechados, logo
também é
fechado.
(⇐)
F
Se
que contém F, cuja interseção é
Corolário 4.14. Seja
X
S̄
2.
S ⊂ S̄ .
3. se
é fechado em
F
F.
F
então
pertence à família dos fechados de
Portanto, pela proposição 4.11,
X
que contém
S.
é um dos
Denição 4.15. Sejam
X
Fλ , e portanto, F
M
com
X
é o
que contém
S,
então
S̄ ⊂ F .
contém a interseção dos
um espaço métrico e
S
Se
F
é fechado e
Fλ , isto é, S̄ ⊂ F .
um subconjunto de
M , então d(x, S) =
x ∈ M.
Proposição 4.16. Sejam
se, e somente se,
em
Ou seja,
Demonstração. Precisamos apenas demonstrar a terceira armação.
inf {d(x, y); y ∈ S},
S
X.
é um subconjunto fechado de
S ⊂ F , então F
X
F = F̄ .
um espaço topológico. O fecho que um conjunto
menor subconjunto fechado de
1.
X,
é fechado em
M
um espaço métrico e
S
um subconjunto de
M.
Então,
x ∈ S̄
S
se, e
d(x, S) = 0.
M,
Demonstração. Em um espaço métrico
somente se, toda bola aberta de centro
x
um ponto
tal que
pertence ao fecho de
contém algum ponto de
x ∈ S̄
⇔ ∀ > 0, ∃y ∈ S
x
d(x, y) < ⇔ d(x, S) = inf {d(x, y), y ∈ S} = 0
S.
Ou seja,
4.
26
Conjuntos Fechados
Corolário 4.17. Um subconjunto
d(x, F ) = 0
implicar que
Demonstração.
seja,
F
de um espaço métrico é fechado se, e somente se,
x ∈ F.
(⇒)
Se
F
(⇐)
Dado
é fechado e
d(x, F ) = 0
então, pela proposição 4.16,
F̄ ⊂ F
F
e portanto
x ∈ F̄ ,
temos
d(x, F ) = 0
pela proposição 4.16. Então
X
S
em
Y
geralmente é diferente do fecho de
S
denota o fecho de
em relação à
S
O fecho de
em
Y
X,
de
Y
é um subconjunto de
X.
em
Y
o
Nesta situação, a notação
pode ser escrito em função de
como nos mostrará o próximo teorema.
Teorema 4.18. Sejam
Y.
X.
S
e um subespaço
S
precisamos tomar cuidado com o fecho de conjuntos, pois se
fecho de
x ∈ F.
é fechado.
Quando lidamos com um espaço topológico
S̄ ,
ou
x ∈ F.
Logo,
S̄
x ∈ F̄ ,
Y
Então o fecho de
S
em
Demonstração. Seja
B
o fecho de
teorema 4.9,
S̄ ∩ Y
Y
é igual à
é fechado em
S
Y.
todos os subconjuntos fechados de
Agora, sabemos que
algum conjunto
Como
S̄
C
B
X
um subespaço do espaço topológico
Y
é fechado em
fechado em
X.
e
S
um subconjunto de
S̄ ∩ Y .
em
Y.
Como
O conjunto
S̄ ∩ Y
contém
S,
teremos
contendo
Y,
S̄
S
e
B
C
então, pelo
é igual à interseção de
B ⊂ S̄ ∩ Y .
pelo teorema 4.9, segue que
Então
X,
é fechado em
B = C ∩Y,
é um conjunto fechado em
é a interseção de todos os fechados deste tipo, concluímos que
X
para
contendo
S ⊂ C.
S.
Portanto
(S̄ ∩ Y ) ⊂ (C ∩ Y ) = B .
Como
B ⊂ S̄ ∩ Y
e
(S̄ ∩ Y ) ⊂ B ,
temos que
B = S̄ ∩ Y
Tudo o que vimos até agora sobre fecho de um conjunto não nos mostra uma
maneira conveniente de encontrá-lo, pois a coleção de todos os conjuntos fechados em
X,
assim como a coleção de todos os conjuntos abertos, é muito grande para trabalharmos
com ela. Uma outra forma de descrevermos o fecho de um conjunto, mais palpável pois
envolve apenas a base para uma topologia em
Teorema 4.19. Seja
1. Então
x ∈ S̄
S
B ∈ β,
é dada pelo seguinte teorema:
um subconjunto de um espaço topológico
se, e somente se, todo conjunto aberto
2. Se a topologia em
todo
X,
com
X
for dada por uma base
x ∈ B,
intercepta
β,
U
então
X.
tal que
x ∈ S̄
x∈U
intercepta
se, e somente se, para
S.
Demonstração. 1) Como esta sentença é da forma
(P ) ⇔ (Q)
podemos trocar cada uma
das implicações pelas suas contra-positivas, e com isso teremos a seguinte senteça
P ) ⇔ (não Q),
S.
que é logicamente equivalente à primeira. Temos:
(não
4.
27
Conjuntos Fechados
x∈
/ S̄
se, e somente se, existe um conjunto aberto
U,
com
x∈U
S.
que não intercepta
Desta forma o teorema ca mais fácil de ser provado.
x∈
/ S̄ ,
U = X − S̄
(⇒)
Se
(⇐)
Se existir um conjuto aberto
U,
com
um conjunto fechado que contém
S.
Mas pela denição de fecho,
o conjunto
x
é um aberto contendo
x ∈ U,
S.
que não intercepta
que não intercepta
S,
(X − U )
então
S̄ ⊂ (X − U ).
é
Então
x∈
/ S̄ .
(⇒)
2)
Se
x ∈ S̄ ,
S,
intercepta
pela denição de fecho, temos que todo conjunto aberto contendo
B ∈β
então todo elemento
também intercepta
S,
B
pois
x
é um conjunto
aberto.
(⇐)
x ∈ U,
com
4.3
B ∈ β,
Se todo elemento
também intercepta
com
S,
x ∈ B,
pois
U
intercepta
S,
então todo conjunto aberto
contém um elemento
B∈β
U,
x ∈ B.
tal que
Pontos de Acumulação
Denição 4.20. Seja
chama-se
S
um subconjunto de um espaço topológico
ponto de acumulação de
algum ponto
derivado de
s ∈ S,
S
com
x 6= s.
S
quando toda vizinhança
X.
V
Um ponto
de
x
em
O conjunto dos pontos de acumulação de
e o denotaremos por
S
X
x∈X
contém
chama-se o
0
S.
Exemplo 4.21. Considere a reta real
R
e o intervalo
A = (0, 1] ⊂ R,
então o ponto
0
1
será um ponto de acumulação de A, assim como o ponto . Na verdade, todos os pontos
2
0
de A serão pontos de acumulação, e portanto, A = [0, 1], que coincide com o fecho de A.
Seja
B=
1
/n
∈
Z
,
n
então o único ponto de acumulação de
B
0.
é o ponto
Considerando os exemplos 4.12 e 4.21 temos que existe uma relação entre o
fecho e o derivado de um conjunto. Esta relação é dada no teorema abaixo.
Teorema 4.22. Seja
S
um subconjunto de um espaço topológico
S̄ = S ∪ S
Demonstração. Se
x).
x ∈ S 0,
Pelo teorema 4.19,
X,
então
0
toda vizinhança de
x ∈ S̄ .
x
intercepta
0
S ⊂ S̄ .
Consequentemente
S
(em um ponto diferente de
Por denição,
S ⊂ S̄ ,
então
S ∪ S 0 ⊂ S̄ .
Vamos agora demonstrar o outro lado da inclusão. Seja
que
em
0
x ∈ S∪S.
S.
Como
Se
x
x ∈ S̄ ,
está em
S,
então
0
x ∈ S∪S.
sabemos que toda vizinhança
precisa necessariamente interceptar
S
x um ponto de S̄ ,
vamos mostrar
Agora, suponhamos que
U
de
x
intercepta
em um ponto diferente de
x.
S,
x
como
Então,
não esteja
x∈
/ S,
x ∈ A0 ,
o
U
então
0
x∈A∪A.
Corolário 4.23. Um subconjunto de um espaço topológico é fechado se, e somente se, ele
contém todos seus pontos aderentes.
4.
28
Conjuntos Fechados
S
Demonstração. O conjunto
4.4
é fechado
⇔ S = Ā ⇔ A0 ⊂ A.
Aplicações Contínuas
Denição 4.24. Sejam
X
e
Y
espaços topológicos. Uma aplicação
se para cada subconjunto aberto
V
Y,
de
o conjunto
f −1
f :X→Y
é contínua
é um subconjunto aberto de
X.
A continuidade de uma aplicação não depende apenas dela, mas também
das topologias denidas em seu domínio e em seu contradomíno.
Exemplo 4.25. Sejam
R
o conjunto dos números reais com a topologia usual, e
conjunto dos números reais com a topologia do limite inferior. Denimos
f
Rl
o
como sendo
f : R → Rl
f (x) = x
Então
f
não é uma aplicação contínua, pois
é um aberto de
f −1 ([a, b)) = [a, b), [a, b)
aberto em
Rl ,
não
R.
Se a topologia no contradomínio da aplicação for dada em função de uma
base
β,
então para provarmos a continuidade de
B∈β
imagem inversa de cada elemento
f
precisamos apenas mostrar que a
é aberta. De fato, um conjunto aberto
V
de
Y
pode ser escrito como a união dos elementos básicos,
V =
S
λ∈L
Bλ .
Então,
f −1 (V ) =
Portanto,
f −1 (V )
S
λ∈L
f −1 (Bλ ).
f −1 (Bλ )
é aberto se cada conjunto
Teorema 4.26. Sejam
X, Y
espaços topológicos e
o for.
f :X→Y
uma aplicação. Então as
seguintes armações são equivalentes:
1.
f
é contínua.
2. Para cada subconjunto
A
X,
de
3. Para cada conjunto fechado
B
temos
em
Y,
¯ .
f (Ā) ⊂ f (A)
o conjunto
f −1 (B)
é fechado em
X.
(1) ⇒ (2) Temos que f é contínua. Seja A um suconjunto de X . Mostraremos
¯ . Seja V uma vizinhança de f (x), então f −1 (V ) é um
x ∈ Ā então f (x) ∈ f (A)
Demonstração.
que se
conjunto aberto de
intercepta
f (A)
X
contendo
no ponto
f (y),
x, f −1 (V )
e portanto
(2) ⇒ (3) Sejam B
mostrar que
temos que
A é fechado em X ,
f (A) ⊂ B .
Então, se
intercepta
A
y ∈ A,
então
V
¯ .
f (x) ∈ f (A)
um conjunto fechado em
então mostraremos que
x
em algum ponto
é um ponto de
Ā,
Y
e
Ā ⊂ A.
A = f −1 (B).
Precisamos
Por teoria dos conjuntos,
4.
29
Conjuntos Fechados
¯ ⊂ B̄ = B .
f (x) ∈ f (Ā) ⊂ f (A)
Logo,
x ∈ f −1 (B) = A,
e portanto,
(3) ⇒ (1)
B
Sejam
é um conjunto fechado em
Y.
B
Ā ⊂ A.
um conjunto fechado em
Como vale a sentença (3),
f
Y
−1
e
B = Y −V,
(B)
é fechado em
teoria dos conjuntos, temos
f −1 (V ) = f −1 (Y − B) = f −1 (Y ) − f −1 (B) = X − f −1 (B).
Portanto,
f −1 (V )
é aberto.
segue que
X.
Por
Capítulo 5
Alguns Espaços Topológicos
Importantes
5.1
Espaços de Hausdor
Denição 5.1. Um espaço topológico
de pontos distintos
x 1 , x2
X
pertencentes à
espaço de Hausdor se para cada par
é um
X,
existir vizinhanças disjuntas
U1 , U2 ,
de
x 1 , x2
respectivamente.
Teorema 5.2. Todo subconjunto nito,
{x1 , ..., xn },
em um espaço de Hausdor
X
é
fechado.
Demonstração. Temos que
com
i = 1, ..., n,
{x1 , ..., xn }
é a reunião nita de subconjuntos unitários
{xi },
ou seja,
{x1 , x2 , ..., xn } = {x1 } ∪ {x2 } ∪ ... ∪ {xn }.
Segue, pelo teorema 4.5, que se cada um dos conjuntos unitários
for fechado en
X,
então
{x1 , ..., xn }
X
diferente de
mente. Como
U
não intercepta
Então, o fecho de
x
Demonstração.
U
intercepta
de
x
Seja
U
e
x
V
um ponto
respectiva-
não pertence ao fecho do conjunto
{x0 }.
X
um espaço de Hausdor e
A
A
um subconjunto de
X.
se, e somente se, toda vizinhança de
Então o
x
contém
A.
(⇒)
x
X.
têm vizinhanças disjuntas
o ponto
é um ponto de acumulação de
innitos pontos de
inhança
{x0 },
é fechado em
X.
{x0 } é ele mesmo, portanto cada conjunto unitário, {xi }, é fechado.
Teorema 5.3. Sejam
ponto
x0 , então x e x0
{x0 }
i = 1, ..., n,
com
também será um conjunto fechado em
Basta mostrarmos que todo conjunto unitário
pertencente à
{xi },
Seja
x
intercepta
A − {x}
um ponto de acumulação de
A
A,
suponhamos que uma viz-
em um número nito de pontos.
em um número nito de pontos.
30
Sejam
Segue que
{x1 , ..., xn }
U
também
os pontos de
5.
31
Alguns Espaços Topológicos Importantes
U ∩ (A − {x}).
{x1 , ..., xn }
X − {x1 , ..., xn }
O conjunto
X,
é aberto em
pois, pelo teorema 5.2,
é fechado, então
U ∩ (X − {x1 , ..., xn }
é uma vizinhança de
contraria que
x
x
que não intercepta completamente o conjunto
é um ponto de acumulação de
Portanto toda vizinhança de
x
A − {x}.
Isso
A.
contém innitos pontos de
A.
(⇐) Se toda vizinhança de x intercepta A em innitos pontos, certamente
A
esta vizinhança intercepta
em algum outro ponto diferente de
x,
Corolário 5.4. Em um espaço de Hausdor, todo conjunto nito
Demonstração. Pelo teorema anterior, para que
A
Mas como
de
é um ponto
X
x
A
tem derivado vazio.
seja um ponto de acumulação de um
precisamos que toda vizinhança de
x
contenha innitos pontos de
A é nito, então nenhuma vizinhança de x terá inntos pontos de A.
o derivado de
5.2
x
A.
de acumulação de
conjunto
então
A
A.
Portanto,
será vazio.
Espaços Metrizáveis
Uma das formas mais importantes de se impor uma topologia em um con-
junto é denir tal topologia em termos de uma métrica deste conjunto.
Proposição 5.5. Seja
d
bolas abertas de centro em
topologia
τ
em
X.
X,
uma métrica em um conjunto
x
e raio
r, B(x, r),
Neste caso dizemos que
τ
para
x∈X
é uma
então a coleção
e
r > 0,
β
de todas as
é uma base para uma
topologia induzida pela métrica
d.
Demonstração. 1) Esta condição é trivial, já que
x ∈ B(x, r),
Antes de provarmos a segunda condição, mostremos que se
básico
B(x, r),
contido em
então existe um outro elemento básico
B(x, r).
Seja
s = r − d(x, y) > 0,
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < r,
2) Sejam
B1
e
B2
podemos escolher
temos que
Portanto
β
e portanto
então
r > 0.
para todo
y
B(y, s)
é um ponto do elemento
centrado em
d(y, z) < r − d(x, y),
y
que está
que implica que
B(y, s) ⊂ B(x, r).
dois elementos básicos e
y ∈ B1 ∩ B2 .
s1 , s2 > 0 tais que B(y, s1 ) ⊂ B1
e
Pelo que acamos de mostrar
B(y, s2 ) ⊂ B2 .
Seja
s = min {s1 , s2 },
B(y, s) ⊂ B1 ∩ B2 .
é de fato uma base para uma topologia em
Exemplo 5.6. Dado um conjunto
topologia induzida por
d
consiste apenas no ponto
X
e
X.
d a métrica zero-um
denida no exemplo 2.3. A
é a topologia discreta. O elemento básico
x.
B(x, 1),
por exemplo,
5.
Denição 5.7. Um espaço topológico
X
32
Alguns Espaços Topológicos Importantes
que induz uma topologia em
Proposição 5.8. Sejam
d, d0
X
é dito
x∈X
e cada
r > 0,
d
em
X.
duas métricas em um conjunto
induzidas por elas, respectivamente. Então
cada
metrizável se existe uma métrica
existir
s>0
τ0
é mais na do que
X
τ
e
τ, τ0
as topologias
se, e somente se, para
tal que
Bd0 (x, s) ⊂ Bd (x, r).
Demonstração.
τ,
de
(⇒) Suponhamos τ 0 mais na do que τ , dado um elemento básico Bd (x, r)
então pela proposição 3.13, existe um elemento básico
Bd (x, r).
Em
B0
podemos encontrar uma bola aberta
(⇐) Dado um elemento básico B
em
Bd0 (x, s)
de
τ 0,
tal que
centrada em
x ∈ B0 ⊂
x.
τ , tal que x ∈ B , podemos encontrar
B uma bola Bd0 (x, s) centrada em x, então existe s tal que Bd0 (x, s) ⊂ Bd (x, s).
Teorema 5.9. Seja
X
τ0
é mais na do que
τ.
um espaço métrico munido da métrica
d.
aplicando a proposição 3.13, temos que
R
de
B0,
Denimos
Então,
db : X × X →
pela equação
db (x, y) = min {d(x, y), 1}.
Então a métrica
db
induz uma topologia em
Demonstração. Pelo exemplo 2.6 temos que
X.
Agora nos falta provar que
d
e
db
X.
db (x, y) = min {d(x, y), 1} é uma métrica em
induzem a mesma topologia em
X.
Temos
Bd (x, r) ⊂ Bdb (x, s),
Bdb (x, s) ⊂ Bd (x, r),
onde
s = min {r, 1}.
topologia em
X.
Aplicando a proposição 5.8 temos que
d
e
db
induzem a mesma
Capítulo 6
Conexidade e Compacidade
6.1
Espaços Conexos
Ituitivamente, um espaço conexo é aquele formado por apenas um pedaço,
ou seja, não existe uma forma de dividi-lo. Mas, o que seriam os pedaços de um conjunto?
Essa pergunta não é tão difícil de ser respondida, pois os abertos de um conjunto segundo
uma topologia qualquer podem ser os pedaços do conjunto. Então um espaço conexo é
um conjunto que não pode ser escrito como união de dois de seus abertos, mas temos que
considerar estes abertos não vazios, pois se um deles for o vazio, o outro será o conjunto
todo, e não teríamos divido o conjunto em duas partes.
Vamos agora formalizar tudo o que foi dito no parágrafo anterior.
Denição 6.1. Seja
X
um espaço topológico.
conjuntos abertos disjuntos de
X
Proposição 6.2. O
subconjuntos de
X
Demonstração.
(⇒)
Como
X
X
M.
X.
X
X
Se
cisão trivial. Um espaço
é conexo então
X = A∪B
A=∅
e
A⊂X
ou
V
U, V
de
for igual ao
X
é dito
X
e
conexo se
além da trivial.
simultaneamente abertos e fechados em
Seja
é um par
U
espaço topológico é conexo se, e somente se,
(⇐) Seja
de
cisão de
cuja união é o próprio
conjunto vazio, tal cisão será chamada de
não existe nenhuma outra cisão de
Uma
uma cisão, então
∅
são os únicos
X.
A
e
B
são abertos e fechados.
B = X.
aberto e fechado, então
X = A ∪ (X − A)
Como os únicos subconjuntos abertos e fechados são
X
e
∅,
é uma cisão
então
X = A ∪ (X − A) = X ∪ ∅,
e portanto
X
é conexo.
A partir da proposição acima, vemos que também denir a conexidade de
um espaço topológico da seguinte forma:
33
6.
34
Conexidade e Compacidade
Denição 6.3. Um espaço topológico
X
é conexo se, e somente se, os únicos subconjuntos
X
simultaneamente abertos e fechados em
X.
são o conjunto vazio e o próprio
Proposição 6.4. A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um
conjunto conexo.
f : X → Y
Demonstração. Vamos considerar inicialmente o caso particular em que
é contínua, sobrejetiva e
Y = A∪B
Como
X
X
conexo.
Queremos provar que
f
é conexo, temos que ou
segue que ou
A
ou
B
(A) ou f
−1
Seja
é uma cisão.
(B) é o conjunto vazio, sendo f
sobrejetiva,
é vazio.
O caso geral é uma consequência, pois dados
f : S → f (S)
é conexo.
X = f−1 (A) ∪ f−1 (B)
uma cisão. Então, pela proposição 2.24,
−1
Y = f (X)
f :X→Y
contínua e
S⊂X
conexo, então
é sobrejetiva e contínua, e recaimos no caso particular provado acima.
Portanto a imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto
conexo.
Corolário 6.5. Se
X
é conexo e
X
Demonstração. Como
f :X →Y.
Y
é homeomorfo a
X,
X.
Se todos
{Sλ }λ∈L
Sλ
então
Y
também é conexo.
são homeomorfos, temos que exite um bijeção contínua
Portanto, pela proposição acima temos que
Proposição 6.6. Seja
topológico
e
Y
Y
é conexo.
uma família arbitrária de conjuntos conexos num espaço
contém o mesmo ponto
x ∈ X,
então a reunião
S=
S
λ∈L
Sλ
é conexa.
Demonstração. Seja
A
ou
B.
S = A∪B
Digamos que seja
uma cisão, então o ponto
x ∈ A.
Para todo
λ, A ∩ Sλ
e
x
pertence a um dos conjuntos
B ∩ Sλ
Sλ .
são abertos em
Logo
S λ = A ∩ Sλ ∪ B ∩ S λ
é uma cisão de
λ ∈ L.
Sλ .
Segue que
Como
B=
S
Sλ
é conexo e
B ∩ Sλ = ∅
x ∈ A ∩ Sλ , concluimos que B ∩ Sλ = ∅ para todo
e portanto
Proposição 6.7. O produto cartesiano
cada fator
Xi
S
é conexo.
X = X1 × ... × Xn
é conexo se, e somente se,
for conexo.
Demonstração.
(⇒)
Como cada projeção
pela proposição 6.4 se
X
for conexo,
Xi
pi : X → Xi
será conexo.
(⇐) Precisamos apenas provar que se
também será conexo.
Fixemos um ponto
é contínua e sobrejetiva, então
X1 , X2
são conexos então
O caso geral resulta da aplicação deste resultado
a = (a1 , a2 ) ∈ X1 × X2
Cx = (X1 × a1 ) ∪ (x1 × X2 )
Para cada
X1 × X2
n−1
x = (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 ,
o conjunto
é conexo pois é reunião de dois conexos com o ponto
em comum. Além disso, temos
Segue-se da proposição 6.6 que
a ∈ Cx
X
para todo
é conexo.
x ∈ X = X1 × X2
e
vezes.
X =
S
(x1 , a2 )
x∈X
Cx .
6.
X =C ∪D
Lema 6.8. Seja
de
35
Conexidade e Compacidade
X,
então temos duas possibilidades, ou
Demonstração. Como
C
Y
disjuntos e abertos em
C ∩Y
ou
D∩Y
D
e
Y ⊂ C,
A
X,
(C ∩ Y ) ∪ e(D ∩ Y ) = Y .
e
se
é um subconjunto conexo
X.
C ∩Y
os conjuntos
Segue que, como
Y ⊂ C,
um subespaço conexo de
Y
Y ⊂ D.
ou
são ambos abertos em
é o conjunto vazio. Portanto, ou
Proposição 6.9. Seja
X,
uma cisão não trivial de
ou
D∩Y
são
é conexo, ou
Y ⊂ D.
A ⊂ B ⊂ Ā,
Se
Y
e
então
B
também
é conexo.
Demonstração. Sejam
trivial de
Ā ⊂ C̄ ,
B.
como
A
conexo e
Pelo lema 6.8, ou
C̄
e
D
A ⊂ C
são disjuntos,
um subconjunto não vazio de
A ⊂ B ⊂ ¯(A),
B.
B
seja
A ⊂ D.
ou
não intercepta
Portanto
B
B = C∪D
seja uma cisão não
Suponhamos que
D,
A ⊂ C.
Então
que contradiz o fato de que
D
é
é conexo.
Proposição 6.10. Um subconjunto da reta é conexo se, e somente se, é um intervalo.
Demonstração.
(⇒)
Seja
X ⊂ R
Provaremos que, neste caso,
conexo.
c ∈ X.
Se
Suponha que
c∈
/X
a, b ∈ X
e que
a < c < b.
então teríamos a cisão
X = [X ∩ (−∞, c)] ∪ [X ∩ (c, ∞)]
a qual é não trivial. Assim,
nos garante que
X
a < b < c com a, b ∈ X
implica que
c ∈ X , e esta propriedade
é um intervalo.
(⇐) Todo intervalo aberto é conexo porque é homeomorfo a
R.
Todo
intervalo fechado ou semifechado é conexo pela proposição 6.9.
Corolário 6.11. Se
contínua, então
X
f (X)
é um espaço topológico conexo e
f :X →R
é uma função real
é um intervalo.
Demonstração. Pela proposição 6.4,
f (X)
é um subconjunto conexo da reta real, e por-
tanto, é um intervalo.
Vamos agora enunciar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma aplicação do que vimos até agora neste capítulo.
Teorema 6.12. Seja
tal que
f : [a.b] → R
contínua. Se
f (a) < d < f (b)
então existe
c ∈ (a, b)
f (c) = d.
Demonstração. A imagem
f ([a, b]) é um intervalo que contém os pontos f (a) e f (b), logo,
contém o ponto intermediário
f (a) < d < f (b)
d.
Segue que existe
exclui a possibilidade de
c=a
ou
c ∈ [a, b]
c = b.
tal que
Portanto,
f (c) = d.
c ∈ (a, b).
Mas
6.
36
Conexidade e Compacidade
6.2
Espaços Compactos
A noção de compacidade não é tão natural quanto a de conexidade. Desde
os primórdios da topologia, era claro que o intervalo
[a, b]
da reta real gozava de um
certa propriedade que era crucial para a demonstração de alguns teoremas.
Por muito
tempo não sabia-se ao certo como essa propriedade poderia ser formulada para um espaço
topológico arbitrário. Pensava-se que tal propriedade era o fato de que todo subconjunto
[a, b]
innito de
compacidade.
tem um ponto de acumulação, esta propriedade recebeu o nome de
Um pouco depois, os matemáticos perceberam que esta formulação não
era suciente, e que uma outra formulação, em termos de coberturas do espaço, seria
melhor. Esta última formulação é a que agora chamamos de compacidade.
Denição 6.13. Uma coleção
A
X
A
se a união de elementos de
de subconjuntos de um espaço
é igual à
X.
X
Se os elementos de
cobertura de
é uma
A
forem abertos de
X
então a cobertura é dita aberta.
Denição 6.14. Um espaço
X
é dito
compacto se toda cobertura aberta
uma subcoleção nita que também cobre
Exemplo 6.15. A reta real
R
A de X
contém
X.
não é um conjunto compacto, pois a cobertura de
R
formada pelos intervalos abertos
A = {(n, n + 2)/n ∈ Z}
não contém uma subcoleção nita que cobre
R.
Exemplo 6.16. O seguinte subespaço de
é compacto:
R
1
X = {0} ∪ n /n ∈ Z .
A
U
de
A
1
. Escolha, para cada ponto de
n
X
que não pertença
De fato, dado uma cobertura aberta
conjunto
à
U,
U
contém todos os pontos
um elemento de
junto com
U,
A
toda cobertura de
que cubra
Y
existe um elemento
contendo
0.
Y
A
que cobre
um subespaço de
X.
O
A,
X
Então
formada por conjuntos abertos de
Y
é compacto se, e somente se,
X
contém uma subcoleção nita
Y.
Demonstração.
de
Y
X,
que o contenha. A coleção que consiste destes elementos de
é uma coleção nita de
Proposição 6.17. Seja
de
(⇒)
Suponhamos que
formada por abertos de
X.
Y
seja compacto e
A = {Aλ }λ∈L
é uma cobertura
Então a coleção
{Aλ ∩ Y /λ ∈ L}
é uma cobertura de
Y
formada por conjuntos abertos em
Y.
Então a subcoleção nita
{Aλ1 ∩ Y, ..., Aλn ∩ Y }
cobre
Y.
Então
{Aλ1 , ..., Aλn }
é uma subcoleção de
A
que cobre
Y.
6.
(⇐) Seja
em
37
Conexidade e Compacidade
Y.
Para cada
λ,
A0
=
{Aλ }
Y
uma cobertura de
escolhemos um conjunto
Aλ
formada por conjuntos abertos
aberto em
X
tal que
A0λ = Aλ ∩ Y .
A coleção
tos em
X.
A0λ1 , ..., A0λn
A = Aλ
é uma cobertura de
Por hipótese, qualquer subcoleção nita
é uma subcoleção de
A0
que cobre
Y
formada por conjuntos aber-
{Aλ1 , ..., Aλn }
cobre
Y.
Então
Y.
Teorema 6.18. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto.
Y
Demonstração. Seja
cobertura
X
A
de
Y
um subconjunto fechado de um espaço compacto
formada por conjuntos abertos de
X,
seja
B
X.
Dada uma
uma cobertura aberta de
da forma:
B = A ∪ {X − Y }.
Se esta subcoleção contém o conjunto
é uma subcoleção de
A
(X − Y ),
nós os descartamos. A coleção resultante
Y.
que cobre
Proposição 6.19. A imagem de um conjunto compacto por uma aplicação contínua é
um conjunto compacto.
f : X → Y
Demonstração. Sejam
f (X)
contínua, com
formada por conjuntos abertos em
Y.
X
compacto e
A
uma cobertura de
A coleção
{f −1 (A)/A ∈ A}
é a coleção de conjuntos cobrindo
X , estes conjuntos são abertos em X
pois
f
é contínua.
Consequentemente,
f −1 (A1 ), ..., f −1 (An )
é uma cobertura de
X.
Corolário 6.20. Se
X
F ⊂X
fechado
fechado em
A1 , ..., An
cobre
é compacto, toda aplicação contínua
⇒ f (F )
Demonstração. Seja
f (F )
Então os conjuntos
Y.
f :X→Y
é fechada, isto é,
fechado.
F ⊂ X
fechado,
f (F ) ⊂ Y ⇒ F
compacto
⇒ f (F )
compacto
⇒
Y.
Corolário 6.21. Se
X
é compacto, toda bijeção contínua
f :X →Y
é um homeomor-
smo.
Demonstração. Sendo
f
−1
(F ) ⊂ Y
f
fechada, sua inversa
é fechado. Logo
f
−1
é contínua.
f −1 : Y → X
é tal que
F ⊂X
fechado
⇒
Conclusão
Observei, através dos estudos desenvolvidos, o importante papel que a
topologia desempenha na Matemática, sendo, em um certo sentido, o elo formal entre
a Geometria e a Análise. Além de fornecer uma sistematização lógica para os princípios
físicos da Análise, ela gera ferramentas que são úteis para várias áreas da Matemática.
Adicionalmente, considero que os estudos desenvolvidos contribuiram muito para a minha
formação, principalmente no que se refere à formalização de conceitos matemáticos.
38
Referências Bibliográcas
[1] Munkres, J. R., Topology: A First Course, Prentice-Hall, Inc, Englewood Clis, N.J.,
1975.
[2] Lima, E. L., Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro,
R.J., 1970.
[3] Lima, E. L., Espaços Métricos, IMPA, Rio de Janeiro, R.J., 2005.
[4] Boyer, C. B., História da Matemática, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, S.P.,
1974.
39