089400 - Séries e Equações Diferenciais
Sétima lista de exercı́cios
Prof. Marcelo José Dias Nascimento
25 de novembro de 2015
Lei do Resfriamento de Newton: A Lei do Resfriamento de Newton estabelece que a taxa de
resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua redondeza,
dado que essa diferença não seja muito grande (Essa lei também se aplica ao aquecimento). Se denotarmos por T (t) a temperatura do objeto no tempo t e TS como a temperatura em sua redondeza, então
podemos formular a Lei de Newton para resfriamento como uma equação diferencial
dT
= k(T − TS )
dt
onde k é uma constante. Nesse caso, é mais fácil fazer uma mudança de variável y(t) = T (t) − TS .
Como TS é constante, segue que y 0 (t) = T 0 (t) e, assim, a equação torna-se
dy
= ky.
dt
1. Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100o F em um quarto com temperatura constante
de 0o F. Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de 50o F, determine o tempo necessário
para a barra chegar à temperatura de 25o F e a temperatura da barra após 10 minutos.
2. Um corpo à temperatura inicial de 50o F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é
de 100o F . Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60o F , determine o tempo necessário
para a temperatura do corpo atingir 75o F.
3. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de de 30o F . Se após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0o F e após 20 minutos é de
15o F , determine a temperatura inicial desconhecida.
4. Sabe-se que a população de determinado Estado cresce a uma taxa proporcional ao número de
habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de
20.000 habitantes, determine a população inicial.
5. Um tanque contém inicialmente 100 galões de salmoura com 1lb de sal. No instante t = 0,
adiciona-se outra solução de salmoura com 1lb de sal por galão, á razão de 3gal/min, enquanto
a mistura restante se escoa do tanque à mesma taxa. Determine a quantidade de sal presente no
tanque no instante t e o instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 lbs de sal.
6. Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguı́nea a uma taxa
constante r. À medida que a glicose é adicionada, ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguı́nea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante. Seja
C(t) a concentração de glicose na corrente sanguı́nea no instante t. Sabendo que a concentração
no tempo t = 0 é C0 , determine a concentração em um tempo qualquer t.
1
7. Um tanque contém 1000 L de água salgada com 15 Kg de sal dissolvido. A água pura entra no
tanque a uma taxa de 10 L/min. A solução é mantida bem misturada e sai do tanque na mesma
taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de t minutos? E depois de 20 minutos?
8. Um tanque contém 500 L de água pura. Água salgada contendo 2 kg de sal é bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 5 L/min. A solução é bem misturada e bombeada para fora do
tanque à mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque no instante t? Qual a concentração
de sal no tanque no instante t = 5 minutos?
9. O bismuto-210 tem uma meia-vida de 5 dias.
(a) Se uma amostra tem massa de 800 mg, encontre uma fórmula para a massa que restará
depois de t dias.
(b) Calcule a massa depois de 30 dias.
(c) Quando a massa será reduzida a 1 mg?
10. Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu
tamanho. Depois de 3 horas existem 8000 bactérias.
(a) Encontre uma fórmula para o número de bactérias depois de t horas.
(b) Calcule o número de bactérias depois de 4 horas.
(c) Quando a população alcançará 30000 bactérias?
11. Uma garrafa de soda limonada em temperatura ambiente (72o F ) é colocada em um refrigerador
onde a temperatura é de 44o F . Depois de meia hora a soda está resfriada a uma temperatura de
61o F .
(a) Qual a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na geladeira?
(b) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50o F
12. Um termômetro é levado de um cômodo no qual a temperatura é de 20o C para o lado de fora
onde a temperatura é de 5o C. Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 12o C.
(a) Qual será a leitura do termômetro depois de mais 1 minuto?
(b) Quando a leitura do termômetro será de 6o C?
Algumas Respostas
r
r
(6) C(t) = (C0 − )e−kt +
k
k
(7) Depois de t minutos, a quantidade de sal no tanque é de y(t) = 15e−t/100 e depois de 20
minutos a quantidade é de 12.3 kg aproximadamente.
(8) Depois de t minutos, a quantidade de sal no tanque é de y(t) = 1000 − 1000e−t/100 e a
concentração depois de 5 minutos é aproximadamente 0.0975 kg/L.
2
(9-a) y(t) = 800.2(−t/5) (9-b) 12.5 mg (9-c) aproximadamente 48 dias
(10-a) y(t) = 500.16(t/3) (10-b) 20.159 bactérias (10-c) aproximadamente 4.4 horas
(11-a) Depois de 60 minutos na geladeira, a temperatura da soda é de aproximadamente 54, 3o F .
(11-b) A soda se resfriará a 50o F depois de 1 hora e 33 minutos, aproximadamente.
(12-a) temperatura em um instante t é dada por T (t) = 5 + 15e(ln 7/15)t . A leitura será de
aproximadamente 8.3o C
(12-b) Depois de 3.6 minutos aproximadamente.
3