Wavelets
Aluno: Marcos Corrêa – [email protected]
Disciplina: Rede de Computadores
ROTEIRO
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
Conceitos Básicos
História das Wavelets
Transformada de Wavelet
Transformada Inversa de Wavelet
Análise de Wavelet
Lista de Wavelets
Comparação com a Transformada de Fourier
Aplicações Variadas – Exemplos
Referências
Conceitos Básicos
• O que são Wavelets?
▫ Funções matemáticas
• Características
▫ Para ser considerada uma wavelet uma função deve:
 Ter a área total sob a curva da função igual a zero
(Admissibilidade – integral é zero);
 Energia da função ser finita (Regularidade - Bem localizada);
 Outra necessidade técnica é a rapidez e facilidade para calcular
a transformada wavelet e a transformada inversa
(Inversibilidade);
Conceitos Básicos
• Por que Wavelet são importantes?
▫ São Blocos Construtores de Funções
 Uma função pode ser representada como uma combinação linear de funções
Wavelets.
▫ Existem teoricamente infinitas possibilidades de se projetar wavelets
com propriedades especiais, voltadas para aplicações específicas.
▫ Possuem Localização Tempo-Freqüência
 Tempo  via translação ou deslocamento
 Frequência/Escala  Via dilatação
▫ Têm Algoritmos Rápidos
▫ Muitas classes de funções podem ser representadas em wavelets de
forma mais compacta, como funções com descontinuidade ou picos
Conceitos Básicos
• Aspectos de Wavelet
Meyer
Haar
Daubechies D10
Morlet
Mexican hat
Fonte: wikipedia
Conceitos Básicos
• Diversas Áreas de Aplicações de Wavelets
▫ Visão Computacional
▫ Compressão de Dados
 Compressão de Impressões Digitais no FBI
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
Recuperação de Dados afetados por Ruído
Detecção de Comportamento Similar
Tons Musicais
Astronomia
Meteorologia
Processamento Numérico de Imagens
Muitas Outras
História das Wavelets
•
•
•
•
1807 - Fourier (Análise em freqüências)
▫
▫
Com o trabalho de Fourier os matemáticos gradualmente saíram da análise
em freqüência para a noção de análise em escala.
1909 - Haar (Análise em escala)
▫
Apareceu a primeira menção a wavelet.
1930 - P. Levy (Movimento Browniano)
▫
Levy estudou o Movimento Browniano um tipo de sinal aleatório e
acreditava que as funções de Haar eram superiores as de Fourier para
estudar detalhes complicados do Movimento Browniano.
1930 – Littlewood, Paley e Stein (Cálculo de Energia)
▫
Este grupo trabalhando independentemente de Levy provocou
inquietação na comunidade científica pois os resultados que eles
estavam obtendo indicavam que a energia não se conservava, depois
descobriram uma função que variava em escala e mostravam que a
energia se conservava.
História das Wavelets
•
•
1980 - Grossman e Morlet (Definição de Wavelets)
▫
Um físico e um engenheiro definiram wavelet no contexto
da física quântica. Eles forneceram uma maneira de pensar
em wavelet baseado na intuição física.
1985 – Mallat (Digital Signal Processing)
▫
Deu um novo ponto de partida com seu trabalho em
processamento digital de sinais.
•
1985 - Meyer (Primeira Wavelet não-trivial)
•
--
▫
- Daubechies (Bases Ortonormais de Wavelets)
Construiu um conjunto de wavelets que talvez seja o
conjunto mais elegante e que hoje tornou-se fundamental
nas aplicações envolvendo wavelet.
Transformada de Wavelet
A transformada de wavelet decompõe uma função definida no domínio do tempo em outra função, definida no
domínio do tempo e no domínio da frequência. Ela é definida como:
que é uma função de dois parâmetros reais, a e b. Se definirmos ψa,b(t) como:
Podemos reescrever a transformada como o produto interno das funções f(t) e ψa,b(t):
A função ψ(t) que equivale a ψ1,0(t) é chamada de wavelet mãe (do inglês mother wavelet) enquanto as outras
funções ψa,b(t) são chamadas de wavelets filhas. O parâmetro b indica que a função ψ(t) foi transladada no eixo t de
uma distância equivalente a b, sendo então um parâmetro de translação. Já o parâmetro a causa uma mudança de
escala, aumentando (se a > 1) ou diminuindo (se a < 1) a wavelet formada pela função. Por isto o parâmetro a é
conhecido como parâmetro de escala (do inglês scaling parameter).
Fonte: wikipedia
Transformada de Wavelet
Fonte: http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart1.html
Transformada Inversa de Wavelet
Como usamos wavelets para transformar uma função, precisamos
também da transformada inversa, de forma a recompor o sinal no
domínio do tempo a partir da sua decomposição. Se chamarmos de
Ψ(ω) a transformada de Fourier da função ψ(t):
e se W(a,b) for a transformada de wavelet da função f(t) usando
a wavelet ψ(t), então temos que a transformada inversa é dada
por:
onde
Este parâmetro C necessita ser finito e positivo, o que nos leva a uma
nova restrição. Esta restrição sobre o valor de C é a condição de
admissibilidade já citada.
Fonte: wikipedia
Análise de Wavelet
A análise de wavelet é feita pela aplicação sucessiva da
transformada de wavelet com diversos valores para os
parâmetros a e b, representando a decomposição do sinal
original em diversos componentes localizados no tempo e na
freqüência, de acordo com estes parâmetros. Cada wavelet
possui melhor ou pior localização nos domínios da freqüência e
do tempo, por isso a análise pode ser feita com wavelets
diferentes de acordo com o resultado desejado.
A análise wavelet traz consigo uma análise em resoluções
múltiplas, onde o nível de resolução é dado pelo índice a. Nesta
análise em resoluções múltiplas, geramos uma seqüência de
subespaços encaixantes, onde as funções de base numa escala a0
não "enxergam" detalhes de tamanho menor que .
Fonte: wikipedia
Lista de Wavelets
• Wavelets discretas
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
Beylkin
BNC wavelets
Coiflet
Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet (Sometimes referred
to as CDF N/P or Daubechies biorthogonal wavelets)
Daubechies wavelet
Binomial-QMF
Haar wavelet
Mathieu wavelet
Legendre wavelet
Villasenor wavelet
Symlet
Fonte: wikipedia
Lista de Wavelets
• Wavelets contínuas
• Valores Reais
▫
▫
▫
▫
▫
Beta wavelet
Hermitian wavelet
Hermitian hat wavelet
Mexican hat wavelet
Shannon wavelet
▫
▫
▫
▫
Complex mexican hat wavelet
Morlet wavelet
Shannon wavelet
Modified Morlet wavelet
• Valores Complexos
Fonte: wikipedia
Comparação com a Transformada de
Fourier
• A principal diferença é que wavelets estão localizados tanto em tempo
quanto em frequência enquanto a Transformada Fourier é só localizada em
frequência;
• A complexidade computacional da transformada de wavelet discreta é O(N)
enquanto que da transformada rápida de Fourier é O(N log N);
• Mais uma diferença é que funções wavelet individuais estão bem localizadas
no espaço, funções seno e cosseno Fourier não estão;
• Transformadas wavelet não têm um conjunto de funções básicas como a
transformada de Fourier, que utiliza senos e cossenos. Em vez disso
transformada de wavelet tem um conjunto infinito de possíveis funções;
• Por conta da teoricamente infinita quantidade de funções, nós vamos
buscar a melhor função para representar um sinal, essa melhor função é a
forma de onda adaptada.
Comparação com a Transformada de
Fourier
Figura (a) – Ondas Senoidais
(b) – Chapéu Mexicano
Fonte: http://www.vision.ime.usp.br/~creativision/publications/pdf/DoutoradoSilvia.pdf
Aplicações Variadas - Exemplos
• Transformada Wavelet em Compressão de Imagens
[Computação Gráfica]
▫ http://www.cos.ufrj.br/index.php?option=com_publicacao&task=visual
izar&id=687
• On wavelet techniques in atmospheric sciences [Ciências
Atmosféricas]
▫ http://www.lac.inpe.br/~margarete/JASRWavelet.pdf
Aplicações Variadas – Exemplos 2
• Teoria Wavelet e sua aplicação em sistemas de energia eletrica
[Engenharia Elétrica]
▫ http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000113855
• Uma comparação entre Redes Neurais Wavelet, LMS, MLP e
RBF para classificação de DPOC [Redes Neurais – Ciênc. da
Computação]
▫ http://www.simulab.uel.br/hoto/publica/ferrari-hoto-foz2006.pdf
Aplicações Variadas – Exemplos 3
• Predição de séries temporais econômicas por meio de redes
neurais artificiais e transformada Wavelet: combinando
modelo técnico e fundamentalista [Processamento de Sinais
de Instrumentação – Eng. Elétrica]
▫ http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/18/18152/tde-11042008111842/
• Aplicação de transformada wavelet no processamento de
sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos
bifásicos ar-água [Engenharia de Produção]
▫ http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transformadawavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacaode-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html
Aplicações Variadas – Exemplos 4
• Reconhecimento de Voz usando Wavelets [Processamento de
Sinais – Comput. Aplicada]
▫ http://ncg.unisinos.br/robotica/reconvoz.html
• Aplicação de transformada wavelet no processamento de
sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos
bifásicos ar-água [Engenharia de Produção]
▫ http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transformadawavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacaode-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html
Aplicações Variadas – Exemplos 5
• Prognóstico de Congestionamento de Tráfego de Redes
usando Wavelets [Redes de Computadores - Ciências da
Computação]
▫ http://www.larces.uece.br/~jlcs/tese.pdf
Referências
• DOVICCHI, João Cândido. Introdução à Teoria das
Wavelets. Univ. Fed. Uberlândia, 2003.
▫ Disponível em:
http://www.inf.ufsc.br/~dovicchi/papers-jcd/wav-intro.ps
• FERREIRA et al. Proposta de Utilização de
Transformadas de Wavelet para Detecção de Ataques
em Redes Ad Hoc Sem Fio. CEFETMT, UFU e UFMT,
2008.
▫ Disponível em:
http://www.dppg.cefetmt.br/index.html/index.php?option=com_phocadownlo
ad&view=category&id=10:&download=41:p-p&Itemid=86
Referências
• WAVELET. Wikipedia, 2009.
▫ Disponível em:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet
• VIDAKOVIC, Brani and MUELLER, Peter. Wavelet For
Kids. Duke University, 2008.
▫ Disponível em:
http://www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf
Referências
• FARIA, Regis. Wavelets e as Artes
Multiresolucionárias, 1997.
▫ Disponível em:
http://www.lsi.usp.br/~regis/wlets.html
• GRAPS, Amara. An Introduction to Wavelets. IEEE, 1995.
▫ Disponível em:
http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html
Referências
• DEVORE, Ronald. Wavelets, 1991.
▫ Disponível em:
https://www.gprt.ufpe.br/~ajcj/artigos/Wavelets/wavelets.pdf
• Alguns papers sobre Wavelets
▫ Disponível em:
http://www-math.mit.edu/~gs/papers/recent_wt_papers.html