ANÁLISE ESTATÍSTICA NA GERMINAÇÃO1
DENISE GARCIA DE SANTANA2 AND MARLI A. RANAL2
Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia - MG.
RESUMO - Este texto representa um resumo do que foi tratado no mini-curso sobre o tema, ministrado
no 51° Congresso Nacional de Botânica. O referido curso foi ministrado para atender dois objetivos.
Primeiro, para fornecer ao iniciante em pesquisa informações da estatística básica que permitem a escolha
de valores representativos das amostras estudadas e de testes estatísticos mais adequados para analisá-los.
Por meio de exemplos específicos da área de germinação, foi sugerida uma seqüência para a análise
estatística dos dados obtidos em laboratório ou campo. O segundo objetivo foi discutir o significado
estatístico e fisiológico de algumas medidas como tempo médio e velocidade média de germinação,
índice de velocidade de emergência, índice de Timson, coeficiente de uniformidade de germinação e
índice de sincronização, além de suas limitações.
TERMOS ADICIONAIS PARA INDEXAÇÃO: Tempo médio de germinação, velocidade média de
germinação, índice de velocidade de emergência, índice de Timson, coeficiente de uniformidade de
germinação, índice de sincronização.
STATISTICAL ANALYSIS IN GERMINATION
ABSTRACT - The content of this text was presented and discussed during the 51o Congresso Nacional
de Botânica with two objectives. First, to provide information for new students about basic statistic that
permit the choice of representative values of the studied samples and suitable statistical tests to analyse
them. By means of specific examples about germination, a sequence to analyse statistically the obtained
data in laboratory or in field conditions was suggested. The second objective was to discuss the statistical
and physiological meaning of some measurements like average germination time, average germination
rate, emergence velocity index, Timson's index, coefficient of the uniformity of germination,
synchronization index, and their limitations.
ADDITIONAL INDEX TERMS: Average germination time, average germination rate, emergence
velocity index, Timson's index, coefficient of the uniformity of germination, synchronization index.
1. Mini-curso ministrado durante o 51o Congresso Nacional de Botânica, Brasília - DF, de 24 a 28/07/2000.
2. Universidade Federal de Uberlândia, Caixa Postal 593, 38.400-902, Uberlândia - MG.
206
Santana e Ranal
Este curso terá por finalidade apresentar
medidas estatísticas conhecidas e amplamente
utilizadas na análise da germinação, com o
objetivo de dar ao estudante subsídios para
escolher melhor os valores que representarão as
amostras por ele estudadas e os testes estatísticos
mais adequados para analisá-los. Em função da
limitação de tempo, não se pretende ensinar como
calcular os números e como montar os testes, mas
apenas discutir seu significado e as condições para
sua aplicação. Para os iniciantes, é necessário que
os exemplos envolvendo testes estatísticos
sejamsejam acompanhados da leitura de textos
específicos, encontrados em bons livros de
estatística.
Quando se começa a estudar germinação,
a grande dificuldade é a interpretação do número
obtido que, infelizmente acaba sendo dificultada
pela diversidade de expressões matemáticas e
simbologias que vêm sendo adotadas ao longo
desses anos. É muito comum encontrar duas
expressões matemáticas diferentes, com nomes
diferentes, que geram números iguais do ponto de
vista matemático e fisiológico. Por outro lado,
também é muito comum encontrar nomes iguais
para expressões completamente diferentes, que
geram informações diversas.
Antes de falar das medidas e da melhor
forma de analisá-las, é interessante apresentar
alguns conceitos de termos que, apesar de serem
amplamente utilizados, podem gerar confusão. Por
definição, população é o conjunto de elementos
que têm em comum determinada característica
(Vieira, 1986), ou seja, é o conjunto de elementos
mantido sob as mesmas condições, sejam elas
naturais ou artificiais. Toda porção retirada
aleatoriamente da população é, por definição, uma
amostra dessa população. O termo tratamento é
utilizado para designar o método, elemento ou
material, cujo efeito se deseja medir ou comparar
(Banzatto & Kronka, 1992). Quando o método é
aplicado às porções da população, estas são
denominadas repetições (r) e correspondem ao
número de vezes que a população é reproduzida. O
conjunto de sementes de uma única árvore pode ser
considerada uma população já que, em termos
genéticos, ela é única e o pesquisador pode ter
interesse específico em avaliar determinadas
qualidades desse indivíduo, comparando-as com
outros. A população também pode ser o conjunto
de sementes que germina numa temperatura
específica.
Quando um experimento é instalado em
laboratório, casa de vegetação ou campo,
organizado de maneira específica, de acordo com
os delineamentos conhecidos, fala-se em número
de tratamentos (t). Quando o pesquisador vai a
campo e coleta dados de plantas crescendo sob as
mesmas condições, ele retira amostras e, portanto,
fala-se em número de amostras (a). Portanto,
número de tratamentos e número de amostras,
nesse sentido, são equivalentes e representam as
diferentes populações analisadas. O tamanho da
amostra (n) ou o número de repetições (r)
correspondem ao número de vezes que a população
é reproduzida. Por exemplo, um experimento
instalado em laboratório com cinco tratamentos e
sete repetições tem as seguintes características:
t=5, r=7, onde cada tratamento representa uma
amostra de uma população que está sendo
analisada. Duas populações (sentido biológico) da
mesma espécie, ocorrentes em mata e em cerrado,
podem ser analisadas quanto à produção de
sementes. Se a espécie for arbórea, o pesquisador
poderá coletar uma porção de sementes de cada
indivíduo, estabelecendo a posição dos ramos dos
quais as sementes serão coletadas. Supondo-se que
a população ocorrente na mata tenha 10 indivíduos
crescendo próximos e a de cerrado 15 e o
pesquisador tenha interesse em avaliar a produção
de sementes nos dois ambientes. Pode-se então
calcular o número médio de sementes produzido
pelos indivíduos da mata e o número médio
produzido no cerrado, para então se efetuar testes
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Análise Estatística na Germinação.
de comparações entre as médias obtidas. Neste
caso, o pesquisador está trabalhando com duas
amostras (a=2) oriundas de duas populações, sendo
cada população representada por todos os
indivíduos daquela espécie, ocorrentes em cada
ambiente, e tem n=10 para mata e n=15 para
cerrado, números estes que equivalem à quantidade
de vezes que cada população está sendo
reproduzida. O pesquisador pode ainda manifestar
interesse em avaliar a qualidade de cada indivíduo
ocorrente em mata, como matriz produtora de
sementes. Neste caso, deve coletar vários grupos
de sementes de cada indivíduo, por exemplo 20,
para então calcular o número médio de sementes
produzido por planta e efetuar um teste de
comparação entre essas médias. Diz-se então que o
pesquisador está com a=10 porque são 10
indivíduos de mata que estão sendo avaliados e
cada um representa uma amostra da população que
é constituída por todos os indivíduos da mesma
espécie que ocorrem na mata. O pesquisador tem
ainda n=20 porque estão sendo retiradas 20
porções de sementes de cada indivíduo.
Apesar da literatura corrente apresentar
uma distinção entre os conceitos de tratamento (t) e
amostra (a), número de repetições (r) e tamanho da
amostra (n) com o intuito de diferenciar
planejamentos
experimentais
(inteiramente
casualizado, blocos casualizados e outros) de
processos de amostragem (estratificação,
conglomerado e outros), os diferentes testes para
comparações entre médias e proporções, os
intervalos de confiança, os testes para
comparações múltiplas ou mesmo os testes de
normalidade e homogeneidade, não são
específicos para cada tipo de pesquisa
(experimental ou por amostragem), o que
permite associar t e a, n e r. Diante disso, este
curso objetiva apresentar aos estudiosos da área
de germinação algumas possibilidades de
utilização de testes estatísticos, pressupondo-se
que os princípios de casualização específicos dos
delineamentos experimentais e dos métodos de
amostragem, tenham sido cumpridos.
Após a coleta de dados, a primeira
atitude do pesquisador é calcular uma medida de
tendência central ou de posição que seja
representativa da amostra estudada e que sintetize
a informação contida nos dados coletados. Assim,
pretende-se substituir um conjunto de observações,
por apenas uma que seja indicadora da tendência
central dos dados. A média aritmética ( x ) é a
soma de todos os valores da amostra, dividida pelo
seu tamanho. É a medida de posição mais utilizada,
em função do cálculo simplificado e da
interpretação facilitada. Contudo, o valor da média
por si, só será representativo se houver uma
concentração dos dados em torno do seu valor.
Assim, quando a amostra tiver dados discrepantes,
o valor médio poderá subestimar ou superestimar o
valor do parâmetro medido. Para descrever a
amostra, é fundamental então que a média esteja
acompanhada de uma medida de dispersão que
indicará o grau de variabilidade existente na
amostra analisada. Essas duas medidas associadas
enriquecem a interpretação da média (aritmética,
harmônica e ponderada) que é a única medida de
posição influenciada por todos os elementos da
amostra, ou seja, por aqueles que giram ao seu
redor e por aqueles que estão muito acima ou
muito abaixo do seu valor.
A mediana (Md) é uma medida de
tendência central que deixa 50% dos valores
observados abaixo dela e 50% acima. Se o
tamanho da amostra (n) a ser analisada apresentar
um número ímpar de dados, o valor da mediana
será o valor central dos dados ordenados (ordem
crescente ou decrescente). Caso n seja par, a
mediana será a média entre os elementos centrais
dos dados ordenados. Esta é uma medida
importante quando a amostra trabalhada apresenta
dados discrepantes. Neste caso, a mediana usada
isoladamente é melhor alternativa do que a média
aritmética que acaba por subestimar ou
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Santana e Ranal
superestimar o valor do parâmetro medido,
conforme já mencionado.
A moda (Mo) é definida como o valor
mais freqüente, sendo pouco empregada, uma vez
que o valor mais freqüente pode não representar o
conjunto de dados. Basta lembrar que há amostras
com duas modas e amostras sem valor modal. Por
outro lado, se o pesquisador tiver interesse em
mostrar o valor mais freqüente, esta é a medida de
posição mais adequada para este fim.
Do ponto de vista prático, a escolha de
uma medida de dispersão depende da finalidade da
medida e, do ponto de vista teórico, do que ela
representa. Discutir dispersão é discutir
variabilidade específica, ou seja, a variação
existente no conjunto de valores da amostra, que
surge em função das variações não controladas
pelo pesquisador, sejam elas em decorrência de
flutuações mínimas de temperatura, umidade, ou
mesmo das características genéticas do material em
estudo, dentre outras.
Dentre as várias medidas de dispersão,
encontra-se a amplitude (R), definida como a
diferença entre o maior e o menor valor observado
na amostra. É uma medida de dispersão muito
limitada, pois leva em consideração apenas os
valores extremos, não sendo afetada pela dispersão
dos demais valores da amostra.
Uma outra medida de dispersão, boa para
qualquer amostra de tamanho n, exceto quando
n=1 observação, é a variância ( s 2 ). Quando há
uma única observação, a média pode ser calculada,
mas não há como calcular a dispersão. Desta
forma, pode-se ter a variância somente quando n
excede 1, onde (n-1) elementos de informações são
considerados para o cálculo da medida. Esses n-1
elementos são os chamados graus de liberdade de
uma soma, pois se o valor de todas as parcelas é
conhecido, exceto o de uma, a parcela
desconhecida é determinada automaticamente pela
diferença entre o total e a soma das n-1 parcelas
fornecidas. Esta é uma medida teoricamente muito
utilizada, uma vez que cálculos algébricos são
facilitados, mas do ponto de vista prático, é de
difícil interpretação por apresentar como unidade a
mesma dos dados, elevada ao quadrado. Assim,
usa-se o desvio padrão (s), calculado como a raiz
quadrada da variância, expresso agora na mesma
unidade dos dados. Isso facilita a interpretação dos
resultados obtidos, principalmente quando o valor
numérico da medida de dispersão é um indicativo
prático e indutivo do processo em estudo.
Por fim, tem-se o coeficiente de
variação (CV), que tem por vantagem caracterizar
a dispersão dos dados em termos relativos a seu
valor médio. É uma medida relativa importante,
pois ao se comparar a variabilidade de duas
amostras usando o desvio padrão ou a variância,
pode-se concluir que uma é mais variável que a
outra, quando o resultado diferenciado pode ser
devido ao fato das amostras possuírem médias ou
grandezas diferentes. Uma amostra pode ter a
variância alta em relação a uma outra, pelo fato da
primeira ter média mais alta. Assim, ao comparar a
variabilidade de amostras, deve-se observar a
média. Se as médias forem iguais, pode-se utilizar
para comparações de variabilidade o desvio
padrão, a variância ou o coeficiente de variação.
No entanto, se as médias forem diferentes ou se
forem referentes a medidas com unidades
diferentes, é obrigatório o uso do coeficiente de
variação para compará-las. É comum nos
trabalhos, principalmente nos que envolvem
análise da variância, utilizar o coeficiente de
variação para julgamento da variabilidade do
experimento. Nesse caso, o coeficiente de variação
é uma medida comparativa da variabilidade
existente entre dois experimentos quanto a fatores
não controlados, mas nunca quanto à qualidade do
ensaio. Cabe ao pesquisador decidir se essa
variabilidade comunicada deve ser diminuída ou
não, em experimentos futuros. Se o objetivo do
pesquisador é comunicar uma informação que
tenha aplicação prática, o aprimoramento das
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Análise Estatística na Germinação.
condições experimentais, o aumento no tamanho
da amostra, ou mesmo o melhoramento genético
do material biológico em estudo podem diminuir
os valores do coeficiente de variação do
experimento. Um experimento realizado com
sementes de uma espécie silvestre, com certeza
apresentará maior valor de CV do que o realizado
com sementes de uma espécie melhorada
geneticamente. No segundo caso, a menor
variabilidade das sementes, expressa por um baixo
valor de CV, gera também maior precisão do
experimento no sentido de que as sementes são
homogêneas quanto ao caráter ou processo
estudado. A chance de um pesquisador errar ao
dizer que o lote de sementes analisado apresenta,
por exemplo, germinabilidade de 95%, é menor
para a espécie melhorada do que para a silvestre.
A medidas citadas anteriormente têm a
finalidade de quantificar a variabilidade da amostra,
seja por valores extremos como a amplitude, seja pela
fuga de cada elemento da amostra em relação a um
valor central, representado pela média.
Há ainda uma medida de dispersão que
quantifica a fuga da média da amostra em relação à
média populacional desconhecida, sendo denominada
erro padrão ( s x ) e tem por finalidade medir a
precisão (magnitude da variabilidade) com que a
média foi estimada. Um erro padrão alto significa que
a média da amostra estudada está distante da média
populacional e vice-versa.
Com o intuito de resgatar a massa de
informações contida nos trabalhos de Labouriau e
colaboradores, associando estatística e germinação,
será tomado como exemplo a tabela 5 de
Labouriau & Pacheco (1979). Entretanto, serão
feitas algumas adaptações a partir do trabalho
original, apenas com a finalidade didática de tentar
mostrar os possíveis resultados que podem ocorrer
nos ensaios (Tabela 1).
O conjunto de dados apresentado na
tabela 1 possibilita uma discussão importante
quanto ao uso da medida de posição mais
adequada, quando o objetivo é sintetizar a
informação. Por exemplo, a repetição 3 da
temperatura 8,0 ± 0,05 oC acabou por diminuir o
valor médio da germinação naquela temperatura
(46%) que ficou subestimado, provando-se assim
que a média é influenciada pelos valores
extremos da amostra. Neste caso, a mediana de
germinação (52%) é mais representativa da
amostra e está mais adequada ao objetivo que é
sintetizar a informação.
TABELA 1 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. (Leguminosae, Lotoidae) germinadas em
diferentes temperaturas. Adaptação de parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979). Os dados de
porcentagem na temperatura 11,7 ± 0,03oC são fictícios e não correspondem ao trabalho original; nem
mesmo representam a característica da espécie quanto à média de germinação e variabilidade.
r
Temp. (oC)
1
2
3
4
5
x
Md
Mo
s
s2
R
CV
sx
8,0 ± 0,05
52
58
26
42
52
46,0
52
52
12,57
158,0
32
27,33
5,62
9,0 ± 0,04
58
78
72
76
78
72,4
76
78
8,41
70,8
20
11,62
3,76
10,0 ± 0,05
84
86
76
86
84
83,2
84
84;86
4,15
17,2
10
4,99
1,85
10,8 ± 0,02
100
86
86
94
86
90,4
86
86
6,39
40,8
14
7,07
2,86
11,7 ± 0,03
100
92
100
80
80
90,4
92
80;100
10,04
100,8
20
11,11
4,49
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210
Santana e Ranal
Na temperatura de 10,0 ± 0,05 oC, a
proximidade entre a média, mediana e moda
confirmam que, quando não há dados discrepantes,
qualquer uma das três medidas de posição citadas,
pode ser usada para representar a amostra. Na
temperatura de 11,7 ± 0,03 oC, observa-se a
discrepância dos dois valores modais, 80 e 100%,
mostrando que nem sempre o valor mais freqüente
é representativo da amostra.
A
importância
das
medidas
de
variabilidade é que amostras com mesma média
podem não ser oriundas da mesma população. Esta
observação pode ser exemplificada quando são
comparadas
as médias de germinação das
sementes submetidas às temperaturas de 10,8 ±
0,02oC e 11,7 ± 0,03oC.Em ambas as temperaturas
a porcentagem média de germinação foi de 90,4%.
Entretanto, na temperatura de 11,7 ± 0,03 oC
observa-se maior discrepância das observações
quando comparada com a temperatura de 10,8 ±
0,02 oC, discrepância essa que pode ser observada
pelos maiores valores de desvio padrão, da
variância, amplitude e coeficiente de variação para
a temperatura de 11,7 oC. A comparação entre a
variabilidade das amostras só foi possível porque
ambas as temperaturas possuem a mesma média de
germinação.
A idéia do coeficiente de variação é
quantificar o peso que uma determinada
variabilidade tem em relação à média. Para melhor
entendimento, pode-se tomar como exemplo as
temperaturas de 8,0 ± 0,05 oC e 11,7 ± 0,03 oC e os
respectivos desvios padrões de 12,57% e 10,04%.
Na temperatura de 8,0oC, um desvio de 12,57% em
uma germinação média de 46,0% tem um peso
maior que um desvio de 10,04% para uma média
de germinação de 90,4% na temperatura de 11,7
o
C. Este peso maior da variabilidade pode ser
quantificado pelo coeficiente de variação, que foi
de 27,33% para a temperatura de 8,0 ± 0,05 oC e de
11,11% para a temperatura de 11,7 ± 0,03 oC.
Considere-se agora as temperaturas de 9,0± 0,04 oC
e 11,7 ± 0,03 oC e os respectivos desvios padrões
de 8,41% e 10,04%. A maior diferença entre os
desvios padrões, quando comparados aos
coeficientes de variação de ambas as temperaturas
(11,62% e 11,11%), indica que um desvio de
8,41% sobre uma média de germinação de 72,4%
tem o mesmo peso que um desvio de 10,04% sobre
uma média de germinação de 90,4%.
As medidas do desvio padrão e da
variância são de grande importância para se
conhecer a variabilidade intrínseca do material,
sendo o desvio padrão mais utilizado para
discussões, por apresentar a mesma unidade dos
dados. Na temperatura de 10,8 ± 0,02 oC, uma
média de 90,4% e um desvio padrão de 6,39%
indicam que, em média, o percentual de
germinação varia 6,39% em torno do valor 90,4%.
Daí a idéia do pesquisador em expressar os dados
de germinação como x ± s , mostrando assim
como está a concentração dos dados em torno da
média. Outra possibilidade é expressar os dados
como x ± s x , ou seja, média e erro padrão da
média. Quando são comunicadas as duas medidas,
a intenção é evidenciar que a média calculada pode
sofrer uma variação, quantificada por seu erro
padrão. Assim, na temperatura de 10,0 ± 0,05 oC
que tem média de germinação de 83,2%, um erro
padrão de 1,86% indica que a média de
germinação na população pode variar de 81,34 até
85,06%.
Apesar das medidas de posição e
dispersão sintetizarem a informação contida na
amostra ou amostras, a grande aplicação da
estatística na germinação se concentra na
comparação entre amostras ou tratamentos, a partir
de suas médias ou proporções, ou mesmo na
construção de intervalos de confiança. Para essas
aplicações, há alguns princípios básicos que devem
ser obedecidos. O primeiro princípio é que a
amostra retirada da população seja aleatória, o
segundo é que uma ou mais amostras sejam
oriundas de populações com distribuição normal e
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
211
o terceiro, que duas ou mais populações tenham
variâncias homogêneas, isto é, que sejam
homocedásticas. O primeiro princípio é válido para
a estatística como um todo e os dois últimos são
exigidos para a aplicação de testes estatísticos
paramétricos.
A aleatoriedade da amostra, na maioria
dos casos, é garantida quando a amostra é retirada
da população por sorteio, pelo uso de tabelas de
números aleatórios ou calculadoras (função
randon). O sorteio também deve ser realizado para
distribuir parcelas experimentais em campo ou
laboratório, dentro dos planejamentos para
delineamentos inteiramente casualizados, blocos
casualizados, dentre outros. Apesar do sorteio,
testes podem ser aplicados para conferir se a
amostra retirada da população ou se as parcelas de
um experimento estão distribuídas de maneira
aleatória. Dentre esses, encontra-se o teste de
aleatoriedade ou teste de iterações. Na seqüência,
serão apresentados dois exemplos, sendo que o
primeiro testará se a distribuição das parcelas de
um experimento montado em delineamento
inteiramente casualizado é aleatória e o segundo
testará se a amostra do peso da matéria fresca de
sementes de Sesbania virgata (Caz.) Pers.foi
retirada aleatoriamente de uma população.
1o Exemplo: Experimento composto de
dois tratamentos (A e B) e oito repetições,
totalizando 16 parcelas distribuídas aleatoriamente
em laboratório ou campo, por sorteio.
o
(1) A
(2) B
(3) B
(4) B
(5) A
(6) B
(7) A
(8) B
(9) A
(10) A
(11) A
(12) B
(13) B
(14) A
(15) A
(16) B
1 Passo: Hipóteses
Ho: As parcelas experimentais estão distribuídas
aleatoriamente.
H1: As parcelas não estão distribuídas aleatoriamente.
2o Passo: Significância estabelecida α = 0,05
3o Passo: Estatística apropriada
A estatística apropriada é função do
número de iterações (r) onde, segundo Siegel
(1975), iteração é definida como uma sucessão de
símbolos idênticos (repetição) que aparecem
seguidos e precedidos por símbolos diferentes dele
próprio. Aplicando a definição para o exemplo e
acompanhando a seqüência, da parcela 1 até a
parcela 16 em ordem crescente (números entre
parênteses), pode-se observar as 10 interações,
fazendo-se a leitura do quadro acima em linhas,
seguidas no sentido de leitura normal: A, BBB, A,
B, A, B, AAA, BB, AA e B. Portanto, o exemplo
mostra r= 10 iterações.
4o Passo: Conclusão
Como o valor r = 10 está entre os valores
tabelados, 4 < r < 14, para n1 = n2 = 8 (repetições
de cada tratamento), aceita-se Ho e conclui-se que
as parcelas estão distribuídas aleatoriamente.
2o Exemplo: Para os dados apresentados
na tabela 2, os passos para a realização do teste
são:
1o Passo: Hipóteses
H0: Os sinais "+" e "-" ocorrem em ordem
aleatória, ou seja, as repetições foram retiradas da
amostra aleatoriamente.
H1: As repetições não foram retiradas da amostra
aleatoriamente.
2o Passo: Significância estabelecida α = 0,05
3o Passo: Estatística apropriada
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Santana e Ranal
TABELA 2 - Dados da matéria fresca oriundos de uma amostra com 42 repetições de sementes de
Sesbania virgata (Caz.) Pers. Adaptado de Zayat (1996) que trabalhou com uma amostra de tamanho 30.
As características da espécie quanto às medidas de posição e variabilidade não foram alteradas.
Teste de aleatoriedade
Repetições
Matéria fresca (mg)
Sinais
“runs”
1
748,9
-
1
2
807,8
+
2
...
...
...
40
759,9
-
41
776,8
-
42
742,8
-
Mediana
784,2
n1 = n2 =21
Para os ensaios ou amostragens onde os
valores de n1 (número de escores classificados com
o sinal "-") e n2 (número de escores classificados
com o sinal "+") são menores que 20, a estatística
apropriada do teste é o próprio número de
iterações, sendo o valor julgado diretamente a
partir do valor tabelado. Quando os valores de n1 e
n2 são maiores que 20, como no exemplo 2, a
distribuição do número de iterações (r) se
aproxima da distribuição normal e a estatística é
dada por:
 2 n1 n2

r − 
+ 1
n
+
n
2
 1

zc =
2 n1 n2 (2 n1 n2 − n1 − n2)
= −0,9373
(n1 + n2) 2 (n1 + n2 − 1)
4o Passo: Conclusão
Como - z c = −0,9373 > - z t = -1,96
(valores calculado e tabelado da distribuição z)
19
para α/2=0,025 (teste bilateral) e n1 = n2 =21,
aceita-se Ho e conclui-se que a amostra de peso da
matéria fresca de Sesbania virgata é aleatória.
O outro princípio para os testes
estatísticos como o t de Student, a análise da
variância, os testes para comparações entre médias
e proporções, é que a amostra ou amostras
oriundas de uma ou mais populações tenham
distribuição normal. Um dos testes mais utilizados
para verificar a normalidade é o teste de
aderência, recomendado apenas quando o tamanho
da amostra (n) ou o número de repetições (r) é
maior que 50. Para exemplificar (Tabela 3), serão
tomados os dados da matéria fresca (mg) de 500
sementes de Vicia graminea Sm.(parte da tabela 1
de Labouriau, 1970). Os passos para a realização
do teste são:
1o Passo: Hipóteses
Ho :As freqüências observadas não diferem das
freqüências esperadas para a distribuição normal,
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
213
TABELA 3 - A matéria fresca (mg) de 500 sementes de Vicia graminea Sm. Parte da tabela 1 de
Labouriau (1970).
Antes do agrupamento com fˆi < 1
Peso(mg)
Li
fi
zi
fˆr
Prob.
Depois do agrupamento
fˆi
fi
fˆi
( f i − fˆi )2
fˆ
i
1,25
1,75
1,25
1
-3,78
0,4999
0,0010
0,50
1,75
2,25
1,75
3
-3,07
0,4989
0,0080
4,00
4
4,50
0,056
2,25
2,75
2,25
14
-2,36
0,4909
0,0414
20,70
14
20,70
2,169
2,75
3,25
2,75
74
-1,64
0,4495
0,1257
62,85
74
62,85
1,978
3,25
3,75
3,25
119
-0,93
0,3238
0,2406
120,30
119
120,30
0,014
3,75
4,25
3,75
155
-0,21
0,0832
0,2748
137,40
155
137,40
2,254
4,25
4,75
4,25
91
0,50
0,1915
0,1954
97,70
91
97,70
0,459
4,75
5,25
4,75
26
1,21
0,3869
0,0863
43,15
26
43,15
6,816
5,25
5,75
5,25
12
1,93
0,4732
0,0227
11,35
12
11,35
0,037
5,75
6,25
5,75
4
2,64
0,4959
0,0037
1,85
5
2,05
4,245
6,25
6,75
6,25
1
3,36
0,4996
0,0004
0,20
Total
500
1,0000
500
18,028
ˆ
L i : limite inferior da classe; f i : freqüência observada; zi: valores da distribuição de z; f r : freqüências
relativas esperadas; fˆi : freqüências esperadas para a distribuição normal.
ou seja, a matéria fresca de sementes de Vicia
graminea segue a distribuição normal.
H1 : A matéria fresca não segue a distribuição
normal.
2o Passo: Significância estabelecida α=0,05
3o Passo: Estatística apropriada
( f i − fˆi )2
fˆ
i =1
k
χ c2 = ∑
= 18,028
i
4o Passo: Conclusão
Como χc2 = 18,028 > χ t2 = 12,592 (valores
calculado e tabelado da distribuição χ2 ) para
α=0,05 e v=6 (graus de liberdade), a hipótese Ho é
rejeitada e conclui-se que a matéria fresca de
sementes de Vicia graminea não segue a
distribuição normal.
Um outro teste de normalidade de
aplicação mais ampla, uma vez que não apresenta
restrição quanto ao tamanho da amostra, é o teste de
Kolmogorov-Smirnov. Este é um teste que não exige
o agrupamento dos dados em classes como o teste de
aderência, evitando com isso a perda de informações.
Na seqüência, serão apresentados dois exemplos da
aplicação do teste, o primeiro envolvendo uma única
amostra e o segundo, várias amostras.
1o Exemplo: Aplicação do teste para
uma amostra (Tabela 4).
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
214
Santana e Ranal
TABELA 4 - Dados da matéria fresca (ordem crescente), de 1 amostra com 10 repetições (n=r=10) de
100 sementes de Dolichos biflorus L. Parte da tabela 1 de Labouriau & Pacheco (1979).
Repetições
Peso (g)
zi
Fˆ (z i )
F0,5
g = Fˆ (z i ) − F0,5
1
2,9909
-1,56
0,0594
0,05
0,0094
2
3,0286
-1,05
0,1469
0,15
0,0031
3
3,0481
-0,78
0,2177
0,25
0,0323
4
3,0570
-0,66
0,2546
0,35
0,0954
5
3,0823
-0,31
0,3783
0,45
0,0717
6
3,1278
0,31
0,6217
0,55
0,0717
7
3,1590
0,74
0,7704
0,65
g máx = 0,1204
8
3,1737
0,94
0,8264
0,75
0,0764
9
3,1898
1,16
0,8770
0,85
0,0270
10
3,1935
1,21
0,8869
0,95
0,0631
zi: valores da distribuição de z; Fˆ (z i ) : valores da área sob a curva normal padronizada; F0,5 : freqüência relativa
observada acumulada da repetição.
1o Passo: Hipóteses
Ho: A matéria fresca de sementes de Dolichos
biflorus segue a distribuição normal.
H1: A matéria fresca não segue a distribuição
normal.
2o Passo: Significância estabelecida α=0,05
3o Passo: Estatística apropriada
Dmáx = gmáx +
1
1
= 0,1204 +
= 0,1704
2n
20
4o Passo: Conclusão
Como Dmáx = 0,1704 < Dt = 0,21072
(valores calculado e tabelado da diferença D)
para n=10, δ = 0,5 (correção) e α=0,05, a
hipótese Ho é aceita e conclui-se que o peso de
matéria fresca de Dolichos biflorus segue a
distribuição normal.
2o Exemplo: Aplicação do teste para
várias amostras. Nos trabalhos que envolvem duas
ou mais amostras, o teste de normalidade é
realizado sob os erros, que correspondem à
diferença entre a repetição de cada tratamento e
sua respectiva média. Esses experimentos são
mais comuns quando os dados serão submetidos
à análise da variância. Os passos para a execução
do teste para o exemplo da Tabela 5 são os
seguintes:
1o Passo: Hipóteses
Ho: Os erros da porcentagem de sementes
germinadas de Dolichos biflorus seguem a
distribuição normal.
H1: Os erros não seguem a distribuição normal.
2o Passo: Significância estabelecida α=0,05
3o Passo: Estatística apropriada
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
215
TABELA 5 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em diferentes temperaturas.
Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).
n=r
Temperaturas (oC)
1
2
3
4
5
35,0 ± 0,04
96,0
100,0
98,0
100,0
96,0
37,8 ± 0,04
76,0
92,0
88,0
84,0
94,0
38,5 ± 0,03
72,0
94,0
64,0
82,0
32,0
39,2 ± 0,06
38,0
30,0
54,0
40,0
42,0
Na Tabela 6 estão apresentados os
valores dos erros da porcentagem de sementes de
Dolichos biflorus germinadas que permitem
concluir o teste.
4o Passo: Conclusão
Como Dmáx=0,2168>Dt = 0,1672 para
n=20, δ = 0,5 e α=0,05, rejeita-se Ho e conclui-se
que os erros da porcentagem de sementes
germinadas de Dolichos biflorus não seguem a
distribuição normal.
Uma outra forma de quantificar o desvio
de normalidade é o emprego das medidas de
assimetria e curtose que, com seus valores de
referência, indicam o quanto a distribuição dos
dados se afasta da normalidade. O coeficiente de
TABELA 6 - Valores dos erros da porcentagem (ei) de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em
diferentes temperaturas, calculados da tabela 5, para obtenção do valor da estatística apropriada.
i
ei
zi
Fˆ (z i )
F0,5
g = Fˆ (z i ) − F0,5
1
-36,8
-2,82
0,0024
0,025
0,0226
2
-10,8
-0,83
0,2033
0,075
0,1283
3
-10,8
-0,83
0,2033
0,125
0,0783
4
-4,8
-0,37
0,3557
0,175
0,1807
5
-2,8
-0,21
0,4168
0,225
g máx = 0,1918
6
-2,8
-0,21
0,4168
0,275
0,1418
...
...
...
...
...
...
19
13,2
1,01
0,8438
0,925
0,0813
20
25,2
1,93
0,9731
0,975
0,0018
Dmáx = g máx +
1
1
= 0,1918 +
= 0,2168
2n
40
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
216
Santana e Ranal
assimetria ( g1 ) indica que para g1 = 0 a
distribuição dos dados é simétrica, havendo uma
coincidência entre os valores da média, mediana
e moda (Mo = Md = x ), g1 > 0 indica uma
assimetria positiva (Mo< Md < x ) e g1 < 0 uma
assimetria negativa (Mo > Md > x ). O coeficiente
de curtose ( g 2 ) ou grau
de
achatamento
g2 = 0 a
indica que para g 2 = 3
ou
distribuição é mesocúrtica; g 2 > 3 ou g 2 > 0
que a distribuição é leptocúrtica e g 2 < 3 ou
g 2 < 0 que a distribuição é platicúrtica. Na
tabela 7 encontram-se, além dos dados do
exemplo, os valores necessários para calcular as
medidas de desvio da normalidade. Assim, os
valores de assimetria e curtose para o exemplo
são:
m3 =
g1 =
16 .466 .368
489 .264
− (3 )(30,392 )
+ (2) (30,392 )2 = − 54.438,186 g
500
500
− 54.438,186
7,414 3
= − 133,581
(assimetria negativa)
Quando o teste envolver mais de duas amostras
(t >2 ou a >2), pode-se aplicar tanto o teste de
Bartlett (2o exemplo), quanto o F máximo de
Hartley, sendo este último de baixa precisão.
1o Exemplo: Teste F de "Snedecor" para
duas amostras (Tabela 8). Os passos para a
realização do teste são:
1o Passo: Hipóteses
H o : As variâncias da matéria seca de sementes
de Dolichos biflorus após 27 dias de secagem a
70oC e após 24 horas de secagem a 105oC são
homogêneas, ou seja, σ12 = σ 22 .
H1 : As variâncias
da matéria seca são
heterogêneas, ou seja, σ12 ≠ σ 22 .
2o Passo: Escolha da significância α =0,05
3o Passo: Estatística apropriada
Fc =
m3: momento centrado de terceira ordem;
3
s : desvio padrão da amostra ao cubo.
m4 =
574 . 206 .720
16 . 466 .368
489 .264
− (4 ) (30,392 )
+ (6 ) (30,392 )2
− (3) (30 ,392 )4 = 8 .370 ,734 g
500
500
500
g2 =
ou
m4
s4
=
8.370,734
g2 =
7,414 4
m4
s4
−3 =
= 2,79
(platicúrtica)
8.370,734
7,414 4
− 3 = −0,21
(platicúrtica)
m4: momento centrado de quarta ordem;
s4: desvio padrão da amostra à quarta.
Uma última pressuposição para a
aplicação dos testes estatísticos que serão
discutidos neste texto, é a homogeneidade das
variâncias entre duas ou mais populações. Como
a normalidade também é uma pressuposição para
os testes de homogeneidade, estes só podem ser
efetuados se os dados tiverem distribuição
normal. Quando o teste de homogeneidade
envolver apenas duas amostras (t=2 ou a=2),
aplica-se o teste F de “Snedecor”(1o exemplo).
s12
s 22
= 1,4483
4o Passo: Conclusão
Como Ft=0,3144 < Fc = 1,4483 < Ft=3,18
(valores tabelado e calculado da distribuição F de
"Snedecor") para α=0,05 e v1 = v 2 = 9 (graus de
liberdade do numerador e denominador), aceita-se
Ho e conclui-se que as variâncias da matéria seca
de Dolichos biflorus após 27 dias de secagem a
70oC e após 24 horas de secagem a 105oC são
homogêneas.
2o Exemplo: Teste de Bartlett para mais
de duas amostras (Tabela 9).
1o Passo: Hipóteses
H o : As variâncias da porcentagem de germinação
entre as temperaturas são homogêneas, ou seja,
. 2 = σ2
σ12 = σ 22 = σ
4
3
H1 : As variâncias da porcentagem de germinação
são heterogêneas.
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
217
TABELA 7 - Distribuição de freqüência da matéria fresca de 500 sementes de Dolichos biflorus L.
Adaptação da figura 1 de Labouriau & Pacheco (1979), uma vez que a figura não fornece os valores
exatos das freqüências observadas.
Matéria
Fresca
xi
fi
x i2
x i3
x i4
f i xi
f i x i2
f i x i3
f i x i4
8
1
64
512
4.096
8
64
512
4.096
10 14 12
10
144
1.728
20.736
120
1.440
17.280
207.360
14 18 16
17
256
4.096
65.536
272
4.352
69.632
1.114.112
18 22 20
49
400
8.000
160.000
980
19.600
392.000
7.840.000
22 26 24
50
576
13.824
331.776
1.200
28.800
691.200
16.588.800
26 30 28
90
784
21.952
614.656
2.520
70.560
1.975.680
55.319.040
30 34 32
120
1.024
32.768
1.048.576
3.840
122.880
3.932.160
125.829.120
34 38 36
90
1.296
46.656
1.679.616
3.240
116.640
4.199.040
151.165.440
38 42 40
51
1.600
64.000
2.560.000
2.040
81.600
3.264.000
130.560.000
42 46 44
20
1.936
85.184
3.748.096
880
38.720
1.703.680
74.961.920
46 50 48
2
2.304 110.592
5.308.416
96
4.608
221.184
10.616.832
10.384 389.312 15.541.504
15.196
489.264 16.466.368
574.206.720
6
10
Total
500
xi : ponto médio da classe; f i : freqüências observadas.
TABELA 8 - Dados da matéria seca de sementes de Dolichos biflorus L. Parte das tabelas 1 e 2 de Labouriau &
Pacheco (1979).
Após 27 dias de secagem a 70oC
Após 24 horas de secagem a 105oC
n1 = 10
n 2 = 10
Média
x1 = 2,7680g
x 2 = 2,6992g
Desvio Padrão
s1 = 0,0645g
s 2 = 0,0543g
Tamanho da amostra
Variância
s12 = 0,0042(g)
2
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
s 22 = 0,0029(g)
2
218
Santana e Ranal
TABELA 9 - Porcentagem de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em diferentes temperaturas.
Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).
n=r
Temp. ( C)
1
2
3
4
5
ni − 1
si2
ln si2
35,0 ± 0,04
96
100
98
100
96
4
4,0
37,8 ± 0,04
76
92
88
84
94
4
38,5 ± 0,03
72
94
64
82
32
39,2 ± 0,06
38
30
54
40
42
o
Total
(n i − 1) ln si2
(n i −1)si2
1,3863
5,5452
16,0
51,2
3,9357
15,7428
204,8
4
549,2
6,3085
25,2340
2.196,8
4
75,2
4,3202
17,2808
300,8
63,8028
2.718,4
16
2o Passo: Significância estabelecida α=0,05
3o Passo: Estatística apropriada
a
2
∑ (n i −1)si
s 2 = i =1
a
∑ (n i −1)
=
2.718,4
= 169,9
16
i =1
a
a

χc2 =  ∑(ni −1) lns 2 − ∑ (ni −1) lnsi2 = 18,3606
i =1
i =1

4o Passo: Conclusão
Como χc2 = 18,3606 > χ 2t = 7,815 (valores
calculado e tabelado da distribuição ÷2) para α=0,05 e
v=3, rejeita-se a hipótese Ho e conclui-se que as
variâncias das porcentagens de germinação entre as
temperaturas são heterogêneas.
Quando os dados originais não
atendemàs pressuposições básicas da estatística
paramétrica, ou seja, quando a população ou
populações estudadas não apresentam distribuição
normal e possuem variâncias heterogêneas, há duas
decisões a serem tomadas. O pesquisador pode
tentar a transformação dos dados para corrigir
desvios de normalidade e heterogeneidade, ou
pode optar diretamente pela estatística nãoparamétrica. Entretanto, a transformação não
garante que as pressuposições sejam atendidas, daí
a necessidade de se testar novamente a
normalidade e a homogeneidade sobre os dados
transformados. É interessante destacar que as
transformações reduzem a escala dos valores e
portanto são mais apropriadas quando o problema
é heterogeneidade e não normalidade, uma vez que
esta última reflete o comportamento da espécie.
Dentre as transformações recomendadas, em
função da natureza da variável, encontra-se a
x + k , usada
transformação raiz quadrada
quando os dados são oriundos de contagens,
principalmente quando não se sabe previamente o
tamanho
da
amostra;
a
transformação
log (x + k ) ou ln (x + k ) ,
logarítmica,
também
utilizada para contagens, especialmente quando a
amplitude das observações é muito grande e a
transformação arco seno ou transformação
Arco seno x /100 ,
angular,
utilizada
principalmente para dados de contagem que
seguem a distribuição binomial e são expressos em
porcentagens ou proporções. As transformações
citadas têm como objetivo quebrar a dependência
entre a média e a variância, característica dos
dados de contagem e porcentagens. Para apresentar
um exemplo com a aplicação da transformação,
serão utilizados dados de porcentagem de
germinação, onde se concentra o maior interesse
desse curso (Tabela 10).
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
219
Inicialmente aplicou-se o teste de
Kolmogorov-Smirnov aos dados originais,
obtendo-se um valor D máx = 0,19907 > D t = 0,14082
para n=30, δ = 0,5 e α=0,05 e, portanto, rejeitou-se
a hipótese Ho , concluindo-se que os erros da
porcentagem de sementes de Dolichos biflorus que
germinam não seguem a distribuição normal. Dada
a não normalidade, transformou-se os dados
segundo Arco seno porcentagem/100 , aplicandose novamente o teste de Kolmogorov-Smirnov
sobre
os
dados
transformados.
Como
D máx = 0,13715 < D t = 0,14082 para n=30, δ = 0,5 e
α=0,05, concluiu-se que os erros da porcentagem
de sementes de Dolichos biflorus que germinam,
na escala transformada, seguem a distribuição
normal. Dada a normalidade, aplicou-se o teste de
Bartlett para os dados transformados que
2
2
apresentou χaj
. = 9,146 < χ t = 11,070 para α=0,05
e v=5, concluindo-se que as variâncias
das
porcentagens de germinação entre as temperaturas,
na escala transformada, são homogêneas. Como as
pressuposições foram atendidas, testes como a
análise da variância, teste t, comparações
múltiplas, dentre outros, podem ser aplicados aos
dados transformados.
Nos testes de comparações, sejam eles
de duas ou mais populações, a escolha do teste
dependerá principalmente do planejamento do
experimento ou ensaio. Nos experimentos
planejados para a comparação entre médias ou
proporções de duas populações, as opções são o
teste t de "Student" e o teste z, sendo a escolha
entre
os dois dependente, dentre outras
características, do tamanho das amostras. Na
Tabela 11 estão apresentadas as condições para a
escolha da estatística apropriada dos testes t e z,
para os casos possíveis de comparações entre
médias ou proporções de duas populações.
TABELA 10 - Porcentagem de germinação de sementes de Dolichos biflorus L. germinadas em
diferentes temperaturas. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).
Porcentagem
Arco seno porcentagem/100
n=r
n=r
Temp. (oC)
1
2
3
4
5
1
2
35,0 ± 0,04
96,0
100,0
98,0
100,0
96,0
78,46 90,00 81,87 90,00 78,46
36,3 ± 0,02
98,0
100,0
96,0
98,0
100,0
81,87 90,00 78,46 81,87 90,00
37,2 ± 0,02
92,0
84,0
80,0
94,0
92,0
73,57 66,42 63,44 75,82 73,57
37,8 ± 0,04
76,0
92,0
88,0
84,0
94,0
60,67 73,57 69,73 66,42 75,82
38,5 ± 0,03
72,0
94,0
64,0
82,0
32,0
58,05 75,82 53,13 64,90 34,45
39,2 ± 0,06
38,0
30,0
54,0
40,0
42,0
38,06 33,21 47,29 39,23 40,40
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
3
4
5
220
Santana e Ranal
TABELA 11 - Condições de escolha para os testes de comparações entre médias e proporções de duas
populações.
Ho
Condição
Estatística apropriada
1. Independente do
tamanho das
µ1 − µ 2 = 0
amostras; σ12 e σ 22
conh.
µ1 − µ2 = 0
e
desconh.,
homogêneas ou
heterogêneas
µ1 − µ2 = 0
e
x1 − x 2
sp
sp =
1
1
+
n1 n 2
desconh.
e heterogênas
5. n1 ≥ 30 , n 2 ≥ 30 ;
p1 − p2 = 0 n1 pˆ1 > 5 , n 2 pˆ 2 > 5 ;
n1qˆ1 > 5 , n 2qˆ 2 > 5
n2
v=
v = n1 + n 2 − 2
s12 s 22
+
n1 n 2
(s12 /n1
(s12 /n1 )2
n1 − 1
z c ≈ tc =
qˆ1 = 1 − pˆ1
Rejeita-se Ho quando
µ1 − µ2 ≠ 0 ⇒
zc > z t ou − zc < −z t
µ1 − µ2 > 0 ⇒
zc > zt
µ1 − µ2 < 0 ⇒
−zc < − zt
µ1 − µ2 ≠ 0 ⇒
tc > t t ou − tc < −tt
µ1 − µ2 > 0 ⇒
tc > t t
µ1 − µ2 < 0 ⇒
−tc < −t t
µ1 − µ2 ≠ 0 ⇒
tc > t t ou − tc < −tt
µ1 − µ2 > 0 ⇒
tc > t t
µ1 − µ2 < 0 ⇒
−tc < −t t
µ1 − µ2 ≠ 0 ⇒
tc > t t ou − tc < −tt
µ1 − µ2 > 0 ⇒
tc > t t
µ1 − µ2 < 0 ⇒
−tc < −t t
p1 − p 2 ≠ 0 ⇒
tc > t t ou − tc < −tt
p1 − p2 > 0 ⇒
tc > t t
p1 − p2 < 0 ⇒
−tc < −t t
x1 − x 2
4. n1 < 30, n 2 < 30 ;
σ12 e σ 22
+
s22
(n1 − 1) s12 + (n 2 − 1) s22
n1 + n 2 − 2
tc =
µ1 − µ2 = 0
n2
v = n1 + n 2 − 2
σ 22
desconh.
e homogêneas
s12
n1
tc =
σ12
+
σ22
x1 − x 2
z c ≈ tc =
σ 22
3. n1 < 30, n 2 < 30 ;
σ12
n1
2. n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 ;
σ12
x1 − x 2
zc =
Hipótese
Alternativa
+ s 22 /n 2 )2
(s 22 /n 2 )2
+
n 2 −1
pˆ1 − pˆ 2
pˆ1qˆ1 pˆ 2qˆ2
+
n1
n2
e qˆ2 = 1 − pˆ 2
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
Tomando-se como exemplo os dados
apresentados na tabela 8, tem-se:
1o Passo: Hipóteses
H0 : A matéria seca de sementes de
Dolichos biflorus após 27 dias de secagem à
temperatura de 70oC, sob pressão reduzida, e após
24 horas de secagem a 105oC são estatisticamente
iguais, ou seja, µ1 − µ 2 = 0 (médias populacionais
iguais).
H1 : µ1 − µ 2 ≠ 0 (bilateral).
2o Passo: Significância estabelecida α = 0,05
3o Passo: Estatística apropriada
Como as variâncias populacionais
σ12 e σ 22 são desconhecidas, aplica-se o teste F de
"Snedecor" ( Fc = 1,4483 entre Ft = 0,2481 e
Ft = 4,03 para α / 2 = 0,025 e v1 = v 2 = 9 ). Assim,
aceita-se a hipótese H o e conclui-se que as
variâncias dos pesos médios das duas populações
são homogêneas.
Como as variâncias, apesar de
desconhecidas, são homogêneas e n1 = n 2 = 10
(condição 3, Tabela 11), a estatística apropriada é
dada por:
tc =
sp =
2,7680 − 2,6992
1
1
0,00596
+
10 10
= 2,58
(10 − 1) 0,0042 + (10 − 1) 0,0029
= 0,0596
10 + 10 − 2
4o Passo: Conclusão
tc = 2,58 > t t = 2,101
Como
(valores
calculado e tabelado da distribuição t) para
α / 2 = 0,025 (bilateral) e v=18, a hipótese H o é
rejeitada e conclui-se que a média da matéria seca
de sementes de Dolichos biflorus após 27 dias de
secagem à temperatura de 70oC, sob pressão
221
reduzida, e após 24 horas de secagem a 105oC são
diferentes.
A aplicação de testes de comparações
envolvendo mais de duas médias requer uma
análise prévia dos dados, conhecida como análise
da variância, que tem as mesmas pressuposições
dos testes para comparação de duas médias.
Desde que as pressuposições da
estatística paramétrica sejam atendidas, ou seja,
desde que as amostras tenham sido distribuídas
aleatoriamente em campo ou laboratório, que as
populações de onde provêm tenham distribuição
normal e que as variâncias entre elas sejam
homogêneas, a análise da variância pode ser
realizada.
Entretanto, variações da análise da
variância podem ocorrer um função de algumas
restrições como o controle local em um ou dois
sentidos. Em função disso, nomes específicos são
dados a essas diferentes variações, como
delineamento inteiramente casualizado, blocos
casualizados, quadrado latino, dentre outros. No
entanto, a utilização da análise da variância só
depende que as pressuposições mencionadas sejam
atendidas. Para mostrar um exemplo e discutir os
passos para a realização dessa análise até os testes
para comparações das médias ou proporções
(Tabelas 12 e 13), serão tomados os dados da
tabela 10, utilizando-se os valores transformados
segundo Arco seno porcentagem/100 , pois os
dados originais apresentaram problemas quanto à
normalidade.
1o Passo: Hipóteses
H o : As porcentagens médias de sementes de
Dolichos
biflorus germinadas nas seis
temperaturas
são
estatisticamente
iguais,
ˆ 2 = pˆ 3 = pˆ 4 = pˆ 5 = pˆ 6 .
pˆ1 = p
H 1 : Pelo menos uma combinação de médias é
diferente.
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
222
Santana e Ranal
TABELA 12 - Análise da variância dos valores angulares dos dados apresentados na tabela 10.
Causas da variação
gl
Soma de Quadrados
Quadrado Médio
Temperaturas
5
7223,5611
1444,7122
Resíduo
24
1549,7489
64,5729
Total
29
FC
22,37
gl: graus de liberdade
TABELA 13 - Testes de Tukey e Duncan para comparação das temperaturas do exemplo da tabela 10.
Temp. (oC)
Médias originais
35,0 ± 0,04
98,0
83,76 a
83,76 a
36,3 ± 0,02
98,4
84,44 a
84,44 a
37,2 ± 0,02
88,4
70,56 a b
70,56 b
37,8 ± 0,04
86,8
69,24 a b
69,24 b
38,5 ± 0,03
68,8
57,27
57,27
39,2 ± 0,06
40,8
39,64
2o Passo: Escolha da significância α =0,05
3o Passo: Estatística apropriada (Tabela 12).
4o Passo: Conclusão
Como Fc=22,37 > Ft= 2,62 para α=0,05
e v1=5 (graus de liberdade do numerador) e v2=24
(graus de liberdade do denominador), rejeita-se Ho
e conclui-se que pelo menos uma combinação de
médias difere entre si (Tabela 12). Entretanto, o
teste F não indica qual combinação de
temperaturas é diferente. Assim, logo após a
rejeição de Ho, são aplicados os testes para
comparações múltiplas.
Tukey
Duncan
b
c
39,64
c
d
5o Passo: Testes para comparações múltiplas
(testes de Tukey e Duncan).
Dentre os testes mais utilizados para
comparações de médias, tem-se o teste de Tukey e
o teste de Duncan, sendo o primeiro mais rigoroso
em relação ao segundo. Na tabela 13 estão
apresentados os resultados dos dois testes aplicados
aos dados transformados da tabela 10, além da coluna
com os dados originais, coluna esta indispensável
para discussão e visualização dos resultados.
A diferença quanto ao rigor dos dois
testes apresentados na tabela 13 pode ser
comprovada quando se compara os resultados das
temperaturas 37,2 ± 0,02 oC e 37,8 ± 0,04oC. Nos
dois testes, as duas médias não diferiram
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
significativamente entre si, mas no teste de Tukey
as duas médias também não diferiram
significativamente das médias registradas nas
temperaturas de 35,0 ± 0,04oC e 36,3 ± 0,02oC.
Portanto, conclui-se que o teste de Tukey é mais
resistente ao determinar que duas médias são
estatisticamente diferentes, isto é, ele é mais
resistente em rejeitar Ho , mostrando assim o seu
rigor.
Quando a população ou populações
não seguem a distribuição
normal ou
apresentam variâncias heterogêneas, mesmo
após a transformação dos dados, deve-se
então utilizar os testes estatísticos nãoparamétricos. Na seqüência, serão discutidos
dois testes, o de Kruskal-Wallis que é uma
alternativa não paramétrica à análise da
variância e o de Mann-Whitney que é uma
alternativa ao teste t.
O teste de Kruskal-Wallis é aplicado para
comparar médias oriundas de mais de duas
populações. Variações na aplicação do teste
ocorrem, principalmente em função do tamanho da
amostra ou número de tratamentos. Neste curso
será discutido apenas um dos casos que está
apresentado na tabela 14.
1o Passo: Hipóteses
Ho: As velocidades médias de germinação de
sementes de Dolichos biflorus são iguais para
todas as temperaturas, ou seja, v1 = v 2 = ... = v13 .
H1: Pelo menos uma combinação de velocidades
médias é diferente.
o
2 Passo: Significância estabelecida α=0,05
3o Passo: Estatística apropriada
12 k Ri2
H=
∑ − 3(N +1) =
N(N +1) i =1ni
 152 402
12
3122 

+
+ ... +
− 3 (65 + 1) = 62,20
(65) (65 + 1)  5
5
5 


223
sendo: N= tr= (13) (5)= 65
Como houve empates nos postos, é
necessário corrigir o valor da estatística H
calculada (Tabela 15).
4o Passo: Conclusão
Como H*=62,20 > χ 2 =21,03 para
α=0,05 e v=12 (Tabela 15), a hipótese Ho é
rejeitada e conclui-se que pelo menos um par de
velocidades médias difere entre si.
Apesar do teste de Kruskal-Wallis indicar
que há uma combinação entre médias diferente, ele
não indica qual a combinação que gerou a
diferença.
Portanto, o outro passo é testar as
médias, duas a duas, para indicar qual par difere
significativamente entre si. O teste nãoparamétrico que compara amostras, duas a duas, é
o de Mann-Whitney. Para exemplificar a aplicação
do teste, serão comparadas apenas as velocidades
nas temperaturas de 20,1oC e 26,1oC. Os passos
para a execução do teste encontram-se a seguir
(Tabela 16).
1o Passo: Hipóteses
Ho: As velocidades médias de germinação de
sementes de Dolichos biflorus são iguais para as
temperaturas de 20,1oC e 26,1oC, ou seja, v1 = v 2 .
H1: As velocidades médias de germinação são
diferentes.
2o Passo: Estatística apropriada (Tabela 16).
3o Passo: Conclusão
Como Uc=19 < Ut=21 (valores calculado e
tabelado da estatística U) para α/2=0,025 e
n1 = n 2 = 5 , aceita-se Ho e conclui-se que as
velocidades médias de germinação de Dolichos
biflorus são iguais para as temperaturas de 20,1oC
e 26,1oC (Tabela 16).
Tudo o que foi apresentado e discutido até
o momento pode ser aplicado para qualquer
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
224
Santana e Ranal
TABELA 14 - Velocidade média de germinação ( v ) de sementes de Dolichos biflorus L. mantidas sob
diferentes temperaturas. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).
Temp
(oC)
r
3
postos
4
5
1
2
3
Soma dos
1
2
4
5
12,8
12,8
14,0
13,1 11,0 13,6
2
5
3
1
4
15,0
13,7
16,0
16,9
16,6 15,2 15,8
8
10
9
6
7
40,0
14,7
21,1
19,1
20,0 20,6 21,0
15
11
12
13
14
65,0
16,4
28,1
26,4
27,1 28,0 27,8
20
16
17
19
18
90,0
17,4
31,0
32,6
30,2 31,0 29,8
23,5
25
22
23,5
21
115,0
19,3
41,0
40,0
39,6 39,9 38,2
32
31
28
30
27
148,0
20,1
35,1
39,7
43,8 43,5 43,7
26
29
39
36
37,5
167,5
21,1
41,9
47,0
44,8 43,2 48,2
33
46
41
34
48
202,0
21,9
44,9
45,5
43,7 44,7 45,9
42
44
37,5
40
45
208,5
22,8
47,3
50,2
49,1 45,3 43,3
47
50
49
43
35
224,0
23,5
55,2
54,8
52,4 52,9 51,5
56
55
52
53
51
267,0
24,8
60,4
60,8
53,4 55,4 56,1
60
62
54
57
58
291,0
26,1
59,5
66,4
60,6 63,6 62,2
59
65
61
64
63
312,0
Postos (
Ri
)
TABELA 15 - Valores de velocidade média de germinação ( v ) com o respectivo número de observações
empatadas, a serem utilizados para o cálculo da correção de H.
Velocidade média de germinação ( v )
Observações empatadas ( t′ )
T = (t − 1) t (t + 1)
31,0
2
6
43,7
2
6
C =1 −
∑T
(N − 1) N (N + 1)
= 1 − (64) (12
= 1,00
65) (66)
H* =
H
C
,20
= 62
= 62,20
1,00
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
225
TABELA 16 - Velocidade média de germinação ( v ) de sementes de Dolichos biflorus L., mantidas sob
duas diferentes temperaturas e postos atribuídos. Parte da tabela 5 de Labouriau & Pacheco (1979).
Temperatura 20,1oC
Repetições
Temperatura 21,1 oC
v
Posto
v
Posto
1
35,1
1
41,9
3
2
39,7
2
47,0
9
3
43,8
7
44,8
8
4
43,5
5
43,2
4
5
43,7
6
48,2
10
R1 = 21
U = n1 n 2 +
5 (5 + 1)
n1 (n1 + 1)
− R1 = (5) (5) +
− 21 = 19
2
2
conjunto de dados, sejam eles relativos à
germinação ou não. Como o enfoque do curso é
germinação de sementes, a seguir serão
apresentadas algumas das medidas exploradas
pelos pesquisadores da área para entender o
processo de germinação.
Dentre essas medidas, podem ser
destacadas a germinabilidade, em geral expressa
em porcentagem, para informar a quantidade de
sementes que germina nas condições do ensaio.
Apesar de ser um termo pouco conhecido em
algumas áreas do conhecimento que trabalham
com germinação como as ciências agrárias, é
amplamente utilizado na fisiologia da germinação,
como pode ser verificado na literatura específica
(Labouriau, 1983a; Bewley & Black, 1994).
Grande número de trabalhos expressa os resultados
por meio de curvas de germinação (Nichols &
Heydecker, 1968; Goodchild & Walker, 1971;
Janssen, 1973; Nobs & Hagar, 1974; Labouriau &
Pacheco, 1978; Labouriau & Pacheco, 1979;
Richter & Switzer, 1982; Duran & Tortosa, 1985;
Labouriau & Agudo, 1987a; Hilhorst & Karssen,
1988), com ou sem ajustes por meio de regressões
variadas. Há vários modelos matemáticos descritos
na literatura que podem ser utilizados para esses
U = n1 n 2 +
R2 = 34
5 (5 + 1)
n 2 (n 2 + 1)
− R2 = (5) (5) +
− 34 = 6
2
2
ajustes, dentre eles, os modelos sigmoidais que,
por serem bons para um grande número de
espécies, possibilitam a utilização das curvas para
previsões. A qualidade do ajuste pode ser
empiricamente avaliada, verificando-se se o
modelo ajustado é compatível com o processo
biológico em estudo. Esta qualidade pode ainda ser
precisamente avaliada após o estudo de algumas
medidas associadas ao modelo, como a análise da
variância, o erro padrão, o intervalo de confiança
das estimativas (intercepto, inclinação, dentre
outros) e o coeficiente de determinação que,
conjuntamente, indicam se o modelo está ou não
bem ajustado. Assim como nos testes paramétricos,
os modelos para o ajuste de curvas exigem que
determinadas pressuposições sejam atendidas, por
exemplo, os modelos polinomiais exigem que os
erros tenham distribuição normal.
Além da quantidade de sementes que
germina ao longo do tempo, há uma preocupação
antiga em expressar quando a germinação começa,
quando termina, quanto tempo isso dura e quando
alcança seu máximo valor ou seu valor médio.
Parte dessa história pode ser resgatada,
examinando-se os trabalhos de Edwards (1932) e
de Labouriau (1983a). Sabendo-se que a
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
226
Santana e Ranal
germinação é o resultado de um complexo trabalho
metabólico, mediado por uma série de enzimas,
houve a preocupação em medir a velocidade desse
processo. A maneira pela qual a idéia de
quantificar a velocidade do processo germinativo
cresceu ao longo dos anos também pode ser
recuperada analisando-se os trabalhos de Edwards
(1932) e Labouriau (1983a). Índices variados
também vêm sendo utilizados como o índice de
velocidade de germinação (Maguire, 1962),
amplamente conhecido na área agronômica, o
coeficiente de uniformidade da germinação citado
por Nichols & Heydecker (1968), Heydecker (1973),
Bewley & Black (1994), dentre outros, e o índice de
sincronização, bastante explorado nos trabalhos de
Labouriau e colaboradores (Labouriau & Valadares,
1976; Labouriau & Pacheco, 1978; Labouriau &
Osborn, 1984; Labouriau & Agudo, 1987b).
O tempo para a primeira e a última
germinação, o intervalo de tempo em que isto
ocorre, quando ocorre o máximo e a variação do
processo ao longo do tempo podem ser inferidos
observando-se as curvas de germinação. No
entanto, o tempo para a primeira e a última
germinação representam medidas extremas que
levam em consideração apenas as sementes de
germinação mais rápida e as de germinação mais
lenta, respectivamente. Em função disso,
recomenda-se obter medidas de tendência central
que sejam mais representativas da amostra em
estudo. Em seus trabalhos, Labouriau e
colaboradores deram grande importância ao
tempo médio de germinação, usado diretamente
ou para o cálculo da velocidade média de
germinação.
O tempo médio de germinação utilizado
por Labouriau (1983a) é uma média ponderada,
onde o número de sementes germinadas é o peso
de ponderação do tempo. Observando-se a
expressão abaixo, pode-se verificar que se trata de
uma média calculada para distribuições de
freqüência, onde o número de sementes
germinadas representa a freqüência de germinação.
k
t =
∑ni ti
i =1
k
(1)
∑ni
i =1
onde:
ti: tempo entre o início do experimento e a i-ésima
observação (dia ou hora);
ni: número de sementes que germinam no tempo ti
( não o número acumulado, mas o número
referido para a i-ésima observação);
k: último dia da observação.
Como já foi mencionado no início, é
importante o cálculo de medidas de dispersão para
se ter idéia da variabilidade da medida na amostra
em estudo. Desta forma, deve-se calcular a
variância do tempo médio de germinação (2), de
onde poderão sair o desvio padrão, o erro padrão e
o coeficiente de variação.
k
2
∑ n i (t i − t )
st2 = i =1
k
∑ ni − 1
(2)
i =1
onde:
t
: tempo médio de germinação;
ti: tempo entre o início do experimento e a i-ésima
(dia ou hora) observação;
ni: número de sementes que germinam no tempo ti
( não o número acumulado, mas o número
referido para a i-ésima observação);
k: último dia da observação.
Para ilustrar o cálculo dessas medidas, será
tomado o exemplo apresentado na tabela 17, cujo
tempo médio é:
k
t =
∑ n i ti
i =1
k
=
∑n i
i =1
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
444
= 2,04
218
dias
Análise Estatística na Germinação.
227
A variância e o desvio padrão do tempo
médio são:
k
st2 =
∑ n i (ti
i =1
k
∑ni
i =1
2
−t)
=
−1
417,7162
= 1,9250 (dias)2
217
que estão iniciando seus estudos na área de
germinação.
A primeira idéia de velocidade de
germinação foi apresentada por Kotowski (1926)
e expressa como:
coeficiente de velocidade =
100
então
st = st2 = 1,3874 dias
(5)
onde:
Edmond & Drapala (1958) propuseram o
cálculo da velocidade de germinação segundo a
expressão (3).
VG =
A1 + A 2 + ... + A x
A1T1 + A2T2 + ... + A x T x
N 1G1 + N 2G 2 + ... + N n G n
G1 + G 2 + ... + G n
(3)
A1 , A2 ,..., A x
: número de plântulas colhidas no
primeiro dia, segundo dia, terceiro dia e assim
sucessivamente até o último (x) dia ;
T1, T2 ,...,Tx: número de dias entre a semeadura e
a primeira coleta; entre a semeadura e a segunda
coleta e assim sucessivamente até a última (x)
coleta.
onde:
G1, G 2 ,...,G n :
número de plântulas normais
emergidas ou sementes germinadas no dia da
observação;
Posteriormente, Nichols & Heydecker
(1968) apresentaram o coeficiente de velocidade de
germinação de Kotowski (1926) como:
k
N 1, N 2 ,..., N n :
número de dias contados da
semeadura ao dia da observação.
C .V .G . =
∑ fi
i =1
k
100
(6)
∑ f i xi
i =1
Se a expressão acima for escrita utilizando
uma notação de somatório, será dada por:
∑ N iG i
i =1
k
∑Gi
fi: número de sementes germinadas no i-ésimo dia;
xi: número de dias contados da semeadura até o dia
k
VG =
onde:
(4)
da leitura (i);
k: último dia da observação.
i =1
que é o próprio tempo médio de germinação, dado
pela expressão (1).
Este exemplo ilustra a diversificação de
expressões encontrada na literatura que acaba por
dificultar o trabalho, especialmente dos estudantes
Analisando-se a expressão (6), pode-se
verificar que ela é o recíproco do tempo médio de
germinação, multiplicado por 100. Isto significa
que os valores de C.V.G. variam de 0 (zero) a 100,
sendo o valor máximo alcançado quando todas as
sementes germinarem no primeiro tempo.
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
228
Santana e Ranal
Labouriau (1970) demonstrou que o
coeficiente de velocidade de germinação de
Kotowski (1926) pode ser usado para gerar a
velocidade média de germinação. Assim:
v =
C .V . 1
=
100 t
(7)
onde:
t : tempo
médio de germinação;
C.V.: coeficiente de velocidade de germinação de
Kotowski (1926), denominado como C.V.G. por
Nichols & Heydecker (1968).
Da mesma forma, esta medida de
tendência central precisa vir acompanhada de uma
medida de dispersão. Pode-se calcular então a
variância da velocidade média de germinação,
dada por:
sv2 = v 4 st2
(8)
onde:
st2 :
v4:
variância do tempo médio de germinação;
velocidade média elevada à quarta potência.
Como não se conhece a distribuição de
1 t , a variância da velocidade média de
germinação é uma medida aproximada, calculada
pelo desenvolvimento em série de Taylor (para
informações mais detalhadas sobre esse
desenvolvimento, consultar Labouriau, 1983b).
Para ilustrar a obtenção dessas medidas,
será tomado o exemplo apresentado na tabela 18.
Os dados apresentados mostram que quanto menor
for o tempo médio, maior será a velocidade de
germinação das sementes e que, de fato, tempo
médio e velocidade média são duas grandezas
inversamente proporcionais.
A velocidade de germinação (calculada
para trabalhos de laboratório) ou de emergência
(calculada para trabalhos de campo) apresentada
por Maguire (1962) é uma das medidas mais
amplamente utilizadas por pesquisadores da área
de ciências agrárias. Em geral, os pesquisadores a
expressam como um índice (IVE= índice de
velocidade de emergência) e a utilizam como uma
medida adimensional (sem unidade), para predizer
o vigor relativo de amostras de sementes. Apesar
de não assumirem uma unidade para o número
obtido, a expressão (9) comunica o número de
plântulas emergidas em campo ou germinadas em
laboratório, por dia.
VE =
no. de plântulas normais
no. de plântulas normais
+ ... +
dias até a primeira contagem
dias até a contagem final
(9)
O valor obtido com esta expressão é
influenciado pelo tempo médio de germinação e
conseqüentemente pela velocidade de germinação
das sementes, ou seja, se a germinação ocorrer
logo no início da semeadura, o valor do índice será
maior do que se isto ocorrer mais tardiamente
(Tabela 19). Esta é a grande vantagem do índice
que, de fato, mede velocidade de germinação.
O valor de VE também é influenciado
pelo número total de sementes que germinam nas
condições do ensaio (germinabilidade) e portanto,
é adequado para comparações, somente quando as
amostras ou tratamentos apresentarem o mesmo
número de sementes germinadas. Na tabela 19, as
duas amostras apresentaram 20 plântulas emergidas
ao final do experimento. Neste caso, como na
amostra A as plântulas começaram a emergir no
terceiro dia após a semeadura, o vigor do lote é
maior do que o da amostra B, cujas plântulas
começaram a emergir somente no 15° dia.
O valor de VE é influenciado ainda pela
uniformidade da germinação, calculada pelo
coeficiente de uniformidade de germinação que
será discutido mais adiante. Se a germinação
estiver mais espalhada no tempo, seu valor
aumenta, o que não é desejável para um índice que
comunica vigor de lote (quanto maior o valor de
CUG, mais concentrada no tempo está a
germinação das sementes).
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
229
TABELA 17 - Cálculo do tempo médio de germinação e medidas de dispersão de sementes de Brassica
chinensis var. parachinensis mantidas em solução de hipoclorito de sódio, sob luz contínua (Ferreira &
Ranal, 1999).
ti
ni
(t i − t )
ni ti
(t i − t )2
n i (t i − t )2
1
82
82
-1,03
1,0609
86,9938
2
108
216
-0,03
0,0009
0,0972
3
4
12
0,97
0,9409
3,7636
4
3
12
1,97
3,8809
11,6427
5
10
50
2,97
8,8209
88,2090
6
5
30
3,97
15,7609
78,8045
7
6
42
4,97
24,7009
148,2054
218
444
Soma
417,7162
TABELA 18 - Tempo médio e velocidade média de germinação, com suas respectivas variâncias, para
sementes de Lycopersicum esculentum mantidas em diferentes temperaturas. Parte da tabela 3 de
Labouriau & Osborn (1984).
Tempo médio de germinação
Velocidade de Germinação
Temp (oC)
t (h )
st2 (h 2 )
v (h −1.10 −4 )
sv2 (h −2 10 −7 )
8,7 ± 0,02
998,6
43.300,0
10
0,4
11,6 ± 0,02
421,6
78.803,0
24
2,5
13,9 ± 0,02
216,5
27.414,0
46
12,5
15,8 ± 0,02
139,9
8.893,0
72
23,2
17,9 ± 0,03
101,5
6.971,0
98
65,7
20,4 ± 0,10
78,2
4.435,0
128
118,0
23,3 ± 0,05
56,8
3.662,0
176
352,0
29,5 ± 0,10
51,8
4.094,0
193
570,0
34,0 ± 0,10
82,1
10.121,0
122
222,0
35,8 ± 0,10
116,7
16.819,0
86
90,6
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
230
Santana e Ranal
TABELA 19 - Germinação de duas amostras de sementes de uma determinada espécie e suas respectivas
velocidades de germinação ou emergência.
Amostra A
di
ni
Amostra B
ni / di
di
ni
ni / di
3
2
0,6667
15
2
0,1333
4
0
0,0000
16
0
0,0000
5
3
0,6000
17
3
0,1765
6
0
0,0000
18
0
0,0000
7
2
0,2857
19
2
0,1053
8
0
0,0000
20
0
0,0000
9
0
0,0000
21
0
0,0000
10
6
0,6000
22
6
0,2727
11
4
0,3636
23
4
0,1739
12
1
0,0833
24
1
0,0417
13
1
0,0769
25
1
0,0400
14
1
0,0714
26
1
0,0385
Soma
20
2,7476
Soma
20
0,9819
VEA = 0,6667 + 0,6000 +...+ 0,0714 = 2,7476
CUGA= 0,1001 dias-2
t = 8,9 dias
VEB = 0,9819 plântulas/dia
CUGB = 0,1001 dias-2
t = 20,9 dias
Resumindo:
VE é alto quando:
• a amostra tem alta germinabilidade e alta
velocidade média de germinação (cerrado 1,
Tabela 20)
• a amostra tem baixa germinabilidade e alta
velocidade (cerrado 2, Tabela 20).
VE é baixo quando:
• a amostra tem baixa germinabilidade e baixa
velocidade (cerrado 3, Tabela 20)
• a amostra tem alta germinabilidade e baixa
velocidade (mata 3, Tabela 20)
Porém, quando as germinabilidades
forem iguais e as velocidades médias de
germinação similares, o valor de CUG definirá se o
valor de VE será alto ou baixo. Com valor de CUG
baixo (germinabilidade espalhada no tempo) VE é
alto (cerrado 3, Tabela 20) e vice-versa (cerrado 4,
Tabela 20).
Timson (1965) modificou o índice de
George (1961), substituindo números parciais de
sementes
germinadas
por
porcentagens
parciais de germinação. Este é conhecido como
índice de Timson ou somatório de 10 e é
expresso por:
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
t
T = ∑ gi (t − j )
231
sendo: j = i − 1
i =1
(10)
onde:
gi: porcentagem de germinação acumulada no
intervalo de tempo i;
t: número total de intervalos de tempo do
experimento;
i: intervalo de tempo entre as observações.
Timson (1965) sugeriu fixar o intervalo
de tempo dos experimentos em 10 dias de
observações (t=10), uma vez que a maioria das
sementes de espécies cultivadas termina de
germinar nesse intervalo. No entanto, nada
impede que se calcule Σ5 ou Σ20, utilizando-se a
expressão (10). Este índice dá uma idéia da
velocidade de germinação das sementes,
podendo ser usado para comparações, somente
se as amostras ou tratamentos tiverem a mesma
porcentagem final de germinação. Uma tentativa
para minimizar o efeito da porcentagem final de
germinação foi sugerida por Labouriau
(comunicação pessoal), ponderando-se o próprio
índice por esta porcentagem. Assim:
t
∑ gi
i =1
=
∑ g i (t − j )
i =1
t
k
CUG =
∑ ni
k
i =1
2
∑ (D − Di ) ni
i =1
k
sendo :
100
D=
= t ; CRG =
CRG
∑ ni
i =1
k
100 (Kotowski, 1926)
(12)
∑ Di n i
i =1
onde:
ni: número de sementes germinadas no i-ésimo
dia;
t
T
Para as sementes de Matayba guianensis
mantidas em solo oriundo da mata, as maiores
velocidades médias foram registradas para as
repetições 1 e 4 (Tabela 22). Resultado similar é
observado quando se analisa os valores do índice
de Timson modificados por Labouriau, que
cancelam o efeito da porcentagem final de
germinação. Isto confirma que este índice repassa
uma idéia de velocidade.
O coeficiente de uniformidade da
germinação - CUG (Heydecker, 1973) mede a
variabilidade da germinação de cada semente em
torno do seu tempo médio, uma vez que ele é
expresso como o inverso da variância dos tempos
médios de germinação.
sendo: j = i − 1
(11)
∑ gi
i =1
Uma outra característica desse índice é que
ele combina valores de germinabilidade e de
velocidade na mesma expressão, valores estes que
podem se contrabalançar, gerando uma medida
ambígua. Isto significa que o valor de T pode ser
alto se a germinabilidade for alta e a velocidade de
germinação baixa ou vice-versa.
Nas Tabelas 21 e 22 estão
alguns dados que permitem
informações apresentadas para este
os dados da tabela 21, T ou Σ10
somatório das multiplicações dos
última coluna.
apresentados
ilustrar as
índice. Para
é dado pelo
números da
Di: número de dias contados da instalação do
experimento até o dia da leitura (i);
k: último dia da observação.
Do ponto de vista prático, quanto maior o
valor de CUG, mais concentrada no tempo será a
germinação (Tabelas 19, 20, 22). Porém, este
coeficiente só pode ser usado para comparações,
quando os tempos médios de germinação forem
iguais. Como este índice é uma medida de
variabilidade, ele tem as mesmas limitações que a
variância, ou seja, as variâncias só podem ser usadas
para fins comparativos quando as médias forem
iguais. Desta forma, parece mais apropriado
denominá-lo coeficiente de variabilidade da
germinação.
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
232
Santana e Ranal
TABELA 20 - Germinação de sementes de Matayba guianensis Aubl. em solo de mata e de cerrado, sob
luz contínua (Santos & Ranal, dados não publicados).
Tratamento/repetição
ni
v
VE
CUG
t
mata/1
13
0,2826
3,9167
1,7979
3,5385
mata/2
19
0,2088
4,6246
0,2597
4,7895
mata/3
18
0,1935
3,9841
0,2628
5,1667
mata/4
17
0,2698
5,3190
0,4530
3,7059
Média
16,75
0,2387
4,4611
0,6934
4,3002
cerrado/1
20
0,3077
6,7262
0,8421
3,2500
cerrado/2
16
0,2807
4,6500
2,0157
3,5625
cerrado/3
15
0,2459
4,3333
0,4294
4,0667
cerrado/4
15
0,2632
4,0667
2,3438
3,8000
16,5
0,2744
4,9440
1,4078
3,6698
Média
v : velocidade média de germinação calculada com base na expressão (7);
VE: velocidade de germinação calculada com base na expressão (9);
t : tempo médio de germinação calculado com base na expressão (1).
TABELA 21 - Dados de germinação de sementes de uma determinada espécie ao longo de 10 dias, para o
cálculo do índice de Timson.
Dia da observação (i)
j=i-1
(t - j)
gi (t – j)
1
0
10
(15) (10)
2
1
9
(18) (9)
3
2
8
(21) (8)
4
3
7
(25) (7)
5
4
6
(38) (6)
6
5
5
(40) (5)
7
6
4
(68) (4)
8
7
3
(75) (3)
9
8
2
(85) (2)
10
9
1
(88) (1)
Soma
1838
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
Análise Estatística na Germinação.
233
TABELA 22 - Germinação de sementes de Matayba guianensis Aubl. em solo de mata e de cerrado, sob luz
contínua (Santos & Ranal, dados não publicados).
Trat/repetição
ni
G(%)
t
v
VE
CUG
T(Timson)
T(Labouriau)
mata/1
13
52
3,5385
0,2826
3,9167
1,7979
1664
4,2886
mata/2
19
76
4,7895
0,2088
4,6246
0,2597
1848
3,9152
mata/3
18
72
5,1667
0,1935
3,9841
0,2628
1572
3,7428
mata/4
17
68
3,7059
0,2698
5,3190
0,4530
2132
4,2984
Média
16,75
67
4,3002
0,2387
4,4611
0,6934
1804
4,0612
cerrado/1
20
80
3,2500
0,3077
6,7262
0,8421
2760
4,4516
cerrado/2
16
64
3,5625
0,2807
4,6500
2,0157
2024
4,2521
cerrado/3
15
60
4,0667
0,2459
4,3333
0,4294
1720
4,1346
cerrado/4
15
60
3,8000
0,2632
4,0667
2,3438
1784
4,1296
16,5
66
3,6698
0,2744
4,9440
1,4078
2072
4,2420
Média
v : velocidade média de germinação calculada com base na expressão (7);
VE: velocidade de germinação calculada com base na expressão (9);
t : tempo médio de germinação calculado com base na expressão (1).
Como a germinação das sementes, em
geral, não é perfeitamente sincronizada, é possível
quantificar essa variação da germinação ao longo
do tempo por meio de uma medida denominada
índice de sincronização ou incerteza ( E , U, H ou
I). Para isso, utiliza-se a seguinte expressão
(Labouriau, 1983a):
k
E = − ∑ f i . log 2 f i
i =1
sendo: f i =
ni
k
∑ ni
i =1
onde:
fi :
freqüência relativa de germinação;
(13)
n i : número
de sementes germinadas no dia i;
k: último dia da observação.
Do ponto de vista prático, quanto
menor for o valor de E , mais sincronizada será a
germinação das sementes. A vantagem desse
índice é que seu valor não é influenciado pelo
número total de sementes germinadas, nem pelo
tempo médio ou velocidade média de
germinação.
O índice é expresso em bits, sendo bit
uma medida binária que conta, por exemplo,
germina/não
germina,
ligado/desligado.
A
transformação das freqüências de germinação (fi)
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
234
Santana e Ranal
em logaritmo da freqüência na base 2, converte
esta medida binária em um peso de ponderação.
Desta forma, log 2 f i é o peso de ponderação de
cada freqüência registrada, cujo resultado é
expresso em f i log 2 f i . Observando-se a quarta
coluna da Tabela 23, pode-se verificar que 40
sementes germinadas no sétimo dia têm massa
TABELA 23 - Número de sementes germinadas (ni) a cada dia (ti), para sementes de Ficus enormis
(Mart. ex Miq.) Miq. que passaram pelo trato digestivo de morcegos e foram colocadas para germinar na
luz (DL) e sementes submetidas à escarificação química (EQ), também mantidas para germinar na luz
(Bobrowiec & Ranal, 2000).
DL
ti
ni
fi
log 2 f i
EQ
f i log 2 f i
ni
fi
log 2 f i
f i log 2 f i
6
20
0,1587
-2,6554
-0,4215
0
0,0000
7
40
0,3175
-1,6554
-0,5255
1
0,0100
-6,6439
-0,0664
8
24
0,1905
-2,3923
-0,4557
4
0,0400
-4,6439
-0,1858
9
18
0,1429
-2,8074
-0,4010
11
0,1100
-3,1844
-0,3503
10
10
0,0794
-3,6554
-0,2901
15
0,1500
-2,7370
-0,4105
11
6
0,0476
-4,3923
-0,2092
13
0,1300
-2,9434
-0,3826
12
2
0,0159
-5,9773
-0,0949
6
0,0600
-4,0589
-0,2435
13
0
0,0000
12
0,1200
-3,0589
-0,3671
14
3
0,0238
9
0,0900
-3,4739
-0,3126
15
0
0,0000
14
0,1400
-2,8365
-0,3971
16
1
0,0079
-6,9773
-0,0554
2
0,0200
-5,6439
-0,1129
17
1
0,0079
-6,9773
-0,0554
5
0,0500
-4,3219
-0,2161
18
0
0,0000
2
0,0200
-5,6439
-0,1129
19
1
0,0794
3
0,0300
-5,0589
-0,1518
20
0
0,0000
1
0,0100
-6,6439
-0,0664
21
0
0,0000
2
0,0200
-5,6439
-0,1129
∑
126
1,0000
100
1,0000
E DL = 2,6924
bits
-5,3923
-6,9773
-0,1284
-0,0554
-2,6924
E EQ = 3,4890
bits
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
-3,4890
Análise Estatística na Germinação.
235
muito menor (1,66) do que uma única semente
germinada no 19o dia (6,98). Isto significa que uma
única semente germinando em um dia, é capaz de
assincronizar o processo de germinação da
amostra como um todo. Se for contado o número
de vezes que a amostra de sementes foi
"acionada" para germinar, tem-se 11 vezes para
as sementes que passaram pelo trato digestivo de
morcegos (DL) e 15 vezes para as que foram
submetidas à escarificação química (EQ). Isto
significa que a primeira amostra foi mais
sincronizada que a segunda, sendo seu índice de
sincronização de menor valor em relação à
primeira.
Para facilitar, na tabela 24 está
apresentado
um
resumo
das
principais
características das medidas de germinação
apresentadas e discutidas nesse curso.
AGRADECIMENTOS
As autoras agradecem ao Núcleo de
Especialistas em Germinação - NEG que, em 1995,
as estimulou a começar esse estudo; à Comissão
Organizadora do 51o Congresso Nacional de
Botânica e aos Congressistas que participaram do
mini-curso, pelo apoio e oportunidade para discutir
o assunto; à Dra. Linda Caldas e Mirian Eira pelo
gentil e estimulante oferecimento do espaço da
RBFV para a inclusão deste texto.
TABELA 24 - Resumo das principais medidas de germinação apresentadas.
Medida
Unidade
O que mede
Adequado quando
Tempo médio ( t )
h ou d
tempo
qualquer situação
Velocidade média ( v )
h-1 ou d-1
velocidade
qualquer situação
Coeficiente de velocidade de
%
velocidade
qualquer situação
Plânt./dia
velocidade
germinação (C.V.G.)
germinabilidades forem iguais
Velocidade de emergência (VE)
germinação concentrada no
tempo (CUG alto)
Somatório de 10 (T)
%.dia
velocidade
germinabilidades forem iguais
Coeficiente de uniformidade de
h-2 ou dia-2
variabilidade
tempos médios forem iguais
germinação (CUG)
em torno do
tempo
Índice de sincronização ( E )
bits
sincronia
qualquer situação
R. Bras.Fisiol.Veg. 12(Edição Especial):205-237, 2000
236
Santana e Ranal
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