Esquemas Numéricos Eficientes para as Equações de
Navier-Stokes Bidimensionais Incompressı́veis em Notação
Complexa
Fabiano Barbosa Mendes da Silva∗
Jorge Ferreira
Universidade Federal Rural de Pernambuco, UFRPE - UAG,
55296-901, Garanhuns - PE
E-mail: [email protected], [email protected],
Sı́vio Marques de Almeida Gama
Universidade do Porto - Faculdade de Ciências - DMA,
4169-007, Porto, Portugal
E-mail: [email protected],
Ana Carla Percontini da Paixão
Universidade Estadual de Feira de Santana - UEFS
44036-900, Feira de Santana - BA
E-mail: [email protected].
RESUMO
Os fluidos incompressı́veis definem-se como sendo as soluções das equações de Navier-Stokes
que, em notação Euleriana [4], escrevem-se:

2

 ∂t u + (u.∇)u = −∇p + ν∇ u + f,
(1)

 ∇.u = 0,
suplementadas com uma condição inicial e condições fronteiras dadas (por exemplo, condições
fronteiras periódicas ou anulação de u nas vizinhanças de infinito). Consideramos V o volume
ocupado pelo fluido, um subconjunto compacto e conexo d-dimensional de Rd independente do
tempo, supondo que a força é incompressı́vel, isto é, ∇.f = 0.
Escrevemos as equações de Navier-Stokes bidimensionais incompressı́veis (NS2D) considerando
as componentes u1 e u2 do campo de velocidades bidimensional como a parte real e imaginária
de um campo de velocidades complexo. Para isto, introduzimos o campo complexo de velocidades
χ = u1 + iu2 e finalmente escrevemos as equações NS2D em notação complexa [3], isto é, à custa
de χ:

1
2
0
2

 ∂t χ + 2 (∂1 − i∂2 )χ = −(∂1 + i∂2 )p + ν∇ χ,
(2)

 Re [(∂ − i∂ ) χ] = 0,
1
2
onde p0 designa-se por pressão modificada. A vantagem de termos NS2D escritas em notação
complexa reside na particularidade de os termos não-lineares (T N L) serem simplesmente o
quadrado do campo complexo χ. Isto possibilita o uso de métodos pseudo-espectrais que requerem somente duas FFT’s (transfomadas de Fourier rápidas) complexas-complexas por passo
∗
Doutorando em Matemática Computacional - UFPE
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de tempo para o cálculo dos termos não-lineares. Se considerássemos NS2D forçadas, a equação
(2) teria o termo adicional F = f1 + if2 , onde (f1 , f2 ) são as componentes da força. Assumindo periodicidade L = 2π em cada eixo de coordenadas e supondo que o campo complexo de
P
bk (t)eik·x , no espaço de Fourier, a equação (2) escreve-se:
velocidades χ = χ(x1 , x2 ; t) = k∈Z 2 χ
bk = −νk 2 χ
bk + Td
∂t χ
N Lk ,
(3)
sendo
1
c2 − 1 (ik − k )3 χ
d
2∗ ,
(4)
Td
N Lk = − (ik1 + k2 )χ
1
2
k
k
4
4k 2
onde k = (k1 , k2 ) é o vetor de onda e k 2 = k.k = k12 + k22 é o quadrado do número de onda k.
Saliente-se que NS2D, quando escritas em termos de função corrente, requerem o uso de quatro
FFT’s reais-complexas [1], o que é menos performante que duas FFT’s complexas-complexas.
Com efeito, uma FFT complexa-complexa é equivalente a duas FFT’s reais-complexas mais um
interface que prepara os dados reais em complexos, já que toda a transformada de Fourier rápida
real-complexa passa necessariamente pelo uso de transformadas rápidas complexas-complexas
[5]. O esquema numérico para a evolução temporal de (3) é o slaved-frog [2]:
1 − e−2αδt
fn ,
(5)
n > 0,
α
tal que δt é o passo de tempo, qn = q (nδt) e fn = f (nδt) . Este esquema numérico apresenta um
erro de truncatura local de 3a ordem no tempo. Aplicando-o a (3), e escrevendo adequadamente
seus termos através de quantidades pré-calculadas, obtemos:
qn+1 = e−2αδt qn−1 +
c2 (n) + B χ
d
2∗ (n).
bk (n + 1) = M χ
bk (n − 1) + B1 χ
χ
2
k
k
(6)
c2 e χ
d
2∗ não são complexos conjugados entre si. Porém, relacionam-se do seguinte
Notar que χ
modo:
d
c2 (−k , −k ) ∗ .
2∗ (k , k ) = χ
(7)
χ
1 2
1
2
Essa igualdade decorre da simetria Hermitiana. Notar que, se k = 0, ou seja k12 + k22 = 0, em
(6) tem-se uma indeterminação no segundo membro da igualdade. Calculando o limite k → 0,
desenvolvendo o segundo termo do lado direito da igualdade em série de Taylor, eliminando
assim a indeterminação, concluı́mos que:
b 0 (n + 1) = χ
b 0 (n − 1).
χ
(8)
b 0 é constante.
Desse modo, χ
Palavras-chave: Navier-Stokes, Notação complexa, Esquemas numéricos.
Referências
[1] C. Basdevant, Thecnical improvements for direct numerical simulations of homogeneous
thee-dimensional turbulence, J. Comp. Phys., 50 (1983) 209-214.
[2] U. Frisch, Z.S. She & O. Thual, Viscoelastic Behavior of cellular solutions to the KuramotoSivashinsky model, J. Fluid. Mech., 168 (1986) 221-240.
[3] S. Gama, U. Frisch, H. Scholl, The 2-D Navier-Stokes equations with a large scale instability
of Kuramoto-Sivashinsky type: numerical exploration on the Connexion Machine, J. Sci.
Comp., 6 (1991) 425-452.
[4] S.B. Pope, “Turbulent Flows”, Cambridge University Press, 2000.
[5] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterlig & B.P. Flannery, “Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing”, Cambridge University Press, 1992.
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