Questão 11
Questão 12
Suponha que no século XVI, (n − 23) anos antes do ano n2 , Leonardo da Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu
em 1452 e morreu em 1519, então quantos
anos ele tinha ao pintar esse quadro?
Leia com atenção o problema proposto a
Calvin na tira seguinte.
O melhor de Calvin Bill Watterson
OS MORTOS-VIVOS NÃO
PRECISAM RESOLVER
JOGOS DE
PALAVRAS.
Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo, 28/04/2007
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A
mede 60o, então a resposta correta que Calvin
deveria encontrar para o problema é, em centímetros,
5 3
8 3
10 3
a)
b)
c)
3
3
3
e) 10 3
d) 5 3
a) 59
b) 56
c) 55
d) 53
alternativa C
e) 51
alternativa D
Pelas condições dadas, a Mona Lisa foi pintada
no ano n 2 − (n − 23) = n 2 − n + 23 . É dado ainda que tal quadro foi pintado no século XVI e que
Leonardo da Vinci viveu de 1452 a 1519. Assim,
1 501 ≤ n 2 − n + 23 ≤ 1 519 ⇔ n = 39.
Logo a Mona Lisa foi pintada em 39 2 − 39 + 23 =
= 1 505 quando Leonardo da Vinci tinha
1 505 − 1 452 = 53 anos.
De acordo com o enunciado temos a seguinte figura, onde x é a distância, em centímetros, de A
até B:
B
5
x
A
60°
2x
C
matemática 2
Aplicando a lei dos co-senos:
5 2 = x 2 + (2x) 2 − 2 ⋅ x ⋅ 2x ⋅ cos 60o ⇔
⇔ 3x 2 = 25 ⇔ x =
5 3
3
Portanto AC = 2x =
10 3
cm.
3
Questão 13
Pouco se sabe sobre a vida de Diofanto da
Alexandria, considerado o maior algebrista
grego que, acredita-se, tenha vivido no período conhecido como o século da “Idade da Prata”, de 250 a 350 d.C. O texto seguinte é uma
transcrição adaptada do “Epitáfio de Diofanto”, extraído do livro Matemática Divertida e
Curiosa, de Malba Tahan, conhecido matemático brasileiro.
Eis o túmulo que encerra Diofanto – maravilha de contemplar! Com um artifício aritmético a pedra ensina a sua idade:
“Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de
sua vida na juventude; um duodécimo na
adolescência; um sétimo, em seguida, foi passado num casamento estéril. Decorreu mais
cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho.
Mas esse filho – desgraçado e, no entanto,
bem amado! – apenas tinha atingido a metade do total de anos que viveu seu pai, quando
morreu. Quatro anos ainda, mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números, passou-os Diofanto, antes de chegar ao
termo de sua existência.”
De acordo com as informações contidas no
epitáfio, o número de anos vividos por Diofanto foi
a) 64
b) 72
c) 78
d) 82
e) 84
alternativa E
Seja n o número de anos vividos por Diofanto. De
acordo com o texto:
n
n
n
n
+
+
+
+5 +4 =n ⇔
6
12
7
2
⇔
14n + 7n + 12n + 42n + 756
84n
=
⇔
84
84
⇔ 9n = 756 ⇔ n = 84
Questão 14
Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos, y moedas de 10 centavos e z moedas de
25 centavos. A equação matricial seguinte
permite determinar as possíveis quantidades
dessas moedas.
⎡x ⎤
⎡1 2 5⎤ ⎢ ⎥ ⎡78 ⎤
⎢1 1 1⎥ ⋅ ⎢y ⎥ = ⎢32⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎢⎣ z ⎥⎦
Com base nesses dados, é correto afirmar que
a) há exatamente 7 possibilidades de solução
para essa equação.
b) não podem existir dois tipos de moedas distintas em quantidades iguais.
c) os três tipos de moedas totalizam a quantia
de R$ 78,00.
d) se o número de moedas de 10 centavos fosse 4, o problema admitiria uma única solução.
e) o número de moedas de 25 centavos deve
ser menor do que 5.
alternativa A
A partir da equação matricial temos:
x + 2y + 5z = 78
x + y + z = 32
⇔
⇔
x + y + z = 32
y + 4z = 46
⇔
x = 3z − 14
y = 46 − 4z
Como x, y e z são naturais,
3z − 14 ≥ 0
⇔
46 − 4z ≥ 0
14
46
≤z ≤
⇔ z ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
3
4
As possíveis quantidades dessas moedas são,
portanto,
⇔
z
5
6
7
8
9
10 11
x
1
4
7
10 13 16 19 e a alternativa
y
26 22 18 14 10
6
2
correta é a A.
Questão 15
Um marceneiro pintou de azul todas as faces
de um bloco maciço de madeira e, em seguida, dividiu-o totalmente em pequenos cubos
matemática 3
de 10 cm de aresta. Considerando que as dimensões do bloco eram 140 cm por 120 cm
por 90 cm, então a probabilidade de escolher-se aleatoriamente um dos cubos obtidos
após a divisão e nenhuma de suas faces estar pintada de azul é
1
5
2
5
8
a)
b)
c)
d)
e)
3
9
3
6
9
alternativa B
Dentre os 14 ⋅ 12 ⋅ 9 cubinhos obtidos do bloco
original, os cubos com nenhuma face pintada de
azul são os cubos em seu interior, que formam
um bloco menor, com 12 ⋅ 10 ⋅ 7 cubinhos. Assim,
12 ⋅ 10 ⋅ 7
5
.
a probabilidade pedida é
=
14 ⋅ 12 ⋅ 9
9