O Campo de Klein-Gordon
Programa
Parte I
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Introdução
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Campo de Klein-Gordon
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A Necessidade do Campo
Elementos da Teoria Clássica de Campos
Campo de Klein-Gordon como Osciladores Harmônicos
Campo de Klein-Gordon no Espaço-Tempo
Campo de Dirac
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Motivação, Notação e Convenções
Invariância de Lorentz em Equações de Onda
Equação de Dirac
Solução de Partícula Livre da Equação de Dirac
Matrizes de Dirac e Bilineares de Campo de Dirac
Quantização do Campo de Dirac
Simetrias Discretas da Teoria de Dirac
Campos Interagentes e Diagramas de Feynman
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Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
Teoria de Perturbação
Expansão Perturbativa de Funções de Correlação
Teorema de Wick
Diagramas de Feynman
Seção de Choque e a Matriz S
Computando elementos de matriz-S a partir de diagramas de Feynman
Regras de Feynman para Férmions
Regras de Feynman para a Eletrodinâmica Quântica
A Necessidade do Campo
Quantum field theory arose out of our need to describe
the ephemeral nature of life... It is this matter of birth,
life, and death that requires the development
of this new subject in physics.
A. Zee
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Teoria Quântica de Campos
Mecânica Quântica (MQ): Quantização de sistemas dinâmicos de partículas
Teoria Quântica de Campos (TQC): Aplicação da MQ a sistemas dinâmicos de campos
Campos: funções das coordenadas espaço-temporais.
TQC possui aplicações na:
• Física das Partículas Elementares
• Física Atômica
• Física Molecular
• Física da Matéria Condensada
Estamos interessados em processos que ocorram em
• Escalas muito pequenas: Quânticas
• A altas energias: Relativísticas
NB: Foguetes não requerem MQ nem elétrons lentos a Teoria da Relatividade
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
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Por que os campos são necessários?
Por que no caso relativístico não bastaria quantizar partículas relativísticas, de forma
análoga à quantização de partículas não-relativísticas em MQ?
MQ relativística não é suficiente. Isso levaria a inconsistências, como por exemplo:
•
•
•
Existência de estados de energia negativa na equação de onda relativística
de uma partícula;
Probabilidade não é facilmente definida;
Dificuldade de levar em conta a criação e destruição de partículas que é
natural a partir da relação de Einstein:
E = mc 2
que permite a criação de pares de partícula-antipartícula. Ainda que não haja
energia suficiente para criar o par, estados de muitas partículas aparecem
como virtuais, e.g., como estados intermediários de segunda ordem em
Teoria de Perturbação, existindo por tempo muito curto, sem violar o princípio
da incerteza:
∆E ∆t ≥
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– MQ
A associação partícula-campo é antiga, conhecida desde a associação de fótons ao
campo eletromagnético. A interação entre radiação e átomos é tratada pela MQ
quantizando as componentes de Fourier como uma coleção de osciladores, levando
aos operadores de criação e destruição dos fótons. O elétron continua a ser tratado
através de sua função de onda, solução da equação de Schrödinger.
– TQC
•
No diagrama e+e− Æ µ+ µ−, o fóton é o responsável pela interação entre
e+e− e µ+ µ−, sendo ainda o quantum do campo eletromagnético.
•
Seria interessante tratar as demais partículas no mesmo pé de igualdade. Em
TQC, os elétrons e múons, bem como suas anti-partículas, serão os quanta
dos campos do elétron e do muon.
•
Usando tal descrição em termos dos quanta dos campos pode-se levar em
conta processos nos quais as partículas são criadas ou aniquiladas (como
visto no diagrama de Feynman).
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
– A causalidade é violada
Consideremos a amplitude de transição para uma partícula livre se propagando
de x0 para x, na forma (via operador unitário de translação temporal):
Em MQ não-relativística, E = p 2 /(2m ) e:
•
•
Na 2ª linha foi inserido um conjunto completo de estados de ondas planas e
na 4ª foi igualado o quadrado e resolvida a integral gaussiana;
U(t) é diferente de zero para qualquer x e t. Portanto, a partícula pode se
propagar entre dois pontos em tempo arbitrariamente pequeno, violando a
causalidade em teoria relativística.
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
Utilizar a expressão relativística E =
Vejamos:
p 2 + m 2 não resolve a discrepância.
Por simplicidade, tomemos x 0 = 0 e x 2
t 2 (bastante fora do cone-de-luz).
Olhando o problema em 1 dimensão apenas e usando o método da fase
estacionária. O expoente (fase)
px − t p 2 + m 2
possui um ponto estacionário em
d
(ipx − it p 2 + m 2 ) = 0
dp
Para integrais do tipo I =
do contorno C.
∫ dz eiαf (z ) ,
→
p = imx / x 2 − t 2
α positivo e grande, e f(z) real ao longo
C
Devido ao comportamento rapidamente oscilante do integrando, as contribuições a I
das vizinhanças de z se cancelam, a menos que f’(z)=0, cujo z corresponde a um
ponto estacionário
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
Movendo o contorno C livremente, este pode passar por tal ponto. Substituindo o
valor de p correspondente, obtém-se aproximadamente
⎧⎪⎪
⎪
⎛ imx ⎞ ⎫
m2x2
2
⎪
⎜
⎟
U(t) ∼ exp⎨−it − 2
m
i
x
+
+
⎬
2
⎜
⎟
⎝ x2 −t2 ⎠ ⎪⎪
x −t
⎪⎩⎪
⎭
⎧
⎪
⎪
mx2 ⎫
−m2t2
⎪
⎪ = e−m x2−t2
= exp⎨−it 2
−
⎬
2
2
2⎪
⎪
x
t
−
x
t
−
⎪
⎪
⎩
⎭
Portanto a amplitude de propagação é pequena mas não nula.
X causalidade é violada!
A TQC resolve o problema da causalidade de uma forma engenhosa:
• A propagação de uma partícula em um intervalo tipo-espaço (x > t) é
indistinguível da propagação de uma anti-partícula no sentido contrário.
• Há tanto partículas quanto suas anti-partículas se movendo através de
intervalos tipo espaço, a amplitude para ambas se cancelam e a
X causalidade é restaurada!
• Em intervalos tipo tempo não violam causalidade e não ocorre tal
cancelamento embora ocorra propagação tanto de partículas quanto de
anti-partículas.
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes
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TQC
– Resolve o problema da causalidade introduzindo anti-partículas;
– Explica a relação entre spin e estatística;
– Trata naturalmente não apenas estados de múltiplas partículas mas
também transições entre estados com diferentes número de partículas;
– Fornece ferramentas (diagramas de Feynman, expansão perturbativa)
necessárias para calcular seções de choque de espalhamento, tempo
de vida de partículas, etc.
– A confirmação experimental de suas predições, a um nível não atingido
por nenhuma outra teoria física, ratifica sua importância e é a real razão
para estudarmos TQC, afinal
X Física é uma ciência experimental ou
X A Natureza importa!
Sandra S. Padula & Sérgio F. Novaes