TIPO DE PROVA: A
Questão 1
José possui dinheiro suficiente para comprar
uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe so2
brarem
da quantia inicial. O valor que so5
bra para José é
a) R$ 450,00.
b) R$ 550,00.
c) R$ 800,00.
d) R$ 650,00.
e) R$ 600,00.
alternativa E
Seja x a quantia inicial de José, em reais. Assim,
2x
900 +
= x ⇔ x = 1 500 reais.
5
2
Logo sobram para José
⋅ 1 500 = 600 reais.
5
em excesso, é cobrada uma tarifa de R$ 3,00.
Um usuário optou pelo plano de 60 minutos,
a um custo mensal de R$ 105,00. No primeiro
mês, ele utilizou 110 minutos. Se ele tivesse
optado pelo plano de 100 minutos, teria economizado
a) R$ 40,00.
b) R$ 45,00.
c) R$ 50,00.
d) R$ 55,00.
e) R$ 60,00.
alternativa C
Supondo que o preço fixo do plano seja proporcional à quantidade de minutos do plano, o preço fixo
100
do plano de 100 minutos é
⋅ 105 = 175 reais.
60
O gasto com a utilização de 110 minutos no plano
de 60 minutos é 105 + (110 − 60) ⋅ 3 = 255 reais e
o gasto com a utilização de 110 minutos no plano
de 100 minutos é 175 + (110 − 100) ⋅ 3 = 205 reais.
Logo, se o usuário tivesse optado pelo plano de
100 minutos, teria economizado 255 − 205 =
= 50 reais.
Questão 2
Um comerciante pagou uma dívida de
R$ 8.000,00 em dinheiro, usando apenas notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um terço do
total das notas foi de R$ 100,00, a quantidade
de notas de R$ 50,00 utilizadas no pagamento foi
a) 60.
b) 70.
c) 80.
d) 90.
e) 100.
alternativa C
Seja n o total de notas utilizadas. Então
n
notas
3
2n
notas são de 50 reais.
são de 100 reais e
3
n
2n
Portanto
⋅ 100 +
⋅ 50 = 8 000 ⇔ n = 120.
3
3
2
Logo foram utilizadas
⋅ 120 = 80 notas de
3
R$ 50,00.
Questão 4
Um retângulo, cujo lado menor mede 3 m,
foi totalmente dividido por retas paralelas
aos seus lados. Com a divisão, foram obtidos
1200 quadrados congruentes, cada um com
lado de 15 cm. A medida do maior lado do retângulo, em metros, é
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
alternativa E
A área do retângulo é igual à soma das áreas dos
1 200 quadrados. Logo, sendo x a medida do
maior lado do retângulo, em metros:
3 ⋅ x = 1 200 ⋅ (0,15) 2 ⇔ x = 9
Questão 5
Questão 3
Dadas as funções f (x) = 2x
Uma empresa de telefonia celular oferece
planos mensais, de 60 e 100 minutos, a preços fixos e proporcionais. Para cada minuto
se x satisfaz f (x) = g(x), então 2x é
1
a) .
b) 1.
c) 8.
d) 4.
4
2 −4
2 − 2x
e g(x) = 4 x
e)
1
.
2
,
matemática 2
alternativa D
f(x) = g(x) ⇔ 2
x2 −4
x2 −4
=4
x 2 − 2x
Questão 8
⇔
Ao preço de R$ 30,00 por caixa, uma fábrica
2(x 2 − 2x)
⇔ x 2 − 4 = 2(x 2 − 2x) ⇔ de sorvete vende 400 caixas por semana.
2
Cada vez que essa fábrica reduz o preço da
⇔ x − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2
⇔2
=2
caixa em R$ 1,00, a venda semanal aumenta
em 20 caixas. Se a fábrica vender cada caixa
por R$ 25,00, sua receita semanal será de
a) R$ 14.000,00.
b) R$ 13.200,00.
c) R$ 12.500,00.
d) R$ 11.600,00.
e) R$ 11.100,00.
Logo 2 x = 2 2 = 4.
Questão 6
A soma dos valores de x que satisfazem a
igualdade |x2 − x − 2| = 2x + 2 é
a) 1.
b) 3.
c) −2.
d) 2.
e) −3.
alternativa B
alternativa C
Reduzir o preço da caixa para R$ 25,00 acarretará um aumento de (30 − 25) ⋅ 20 = 100 caixas na
venda semanal, ou seja, a venda semanal passará a ser 400 + 100 = 500 caixas semanais. Assim,
a receita semanal será de 500 ⋅ 25 = R$12.500,00.
|x 2 − x − 2 | = 2x + 2 ⇔ (x 2 − x − 2) 2 =
= 2x + 2 ⇔ (x + 1) 2 (x − 2) 2 = 2(x + 1) ⇔
2
2
= [2(x + 1)]
2
⇔
(x + 1) (x − 2)
2(x + 1) ≥ 0
⇔
(x + 1 = 0 ou (x − 2) 2 = 4)
⇔
x ≥ −1
⇔
(x = −1 ou x = 0 ou x = 4)
⇔
x ≥ −1
⇔ x = −1 ou x = 0 ou x = 4.
A soma dos valores de
−1 + 0 + 4 = 3.
x
⇔
é,
Questão 9
No retângulo ABCD da figura, de área
60 cm2 , o ponto O é o encontro das diagonais,
EF = 4 cm e GH = 3 cm. A área do retângulo
AFGD, em cm2 , é
portanto,
Questão 7
Sejam f(x) = 2 − cos x, com 0 ≤ x ≤ 2π, M o valor máximo de f(x) e m o seu valor mínimo. O
M
valor de
é
2m
3
2
1
1
b) .
c) .
d) .
e) 3.
a) .
2
3
3
6
alternativa A
−1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ −cos x ≤ 1 ⇔
⇔ 1 ≤ 2 − cos x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ f(x) ≤ 3
M
3
3
Assim, M = 3, m = 1 e
.
=
=
2m
2 ⋅1
2
a) 42.
b) 49.
c) 55.
d) 36.
alternativa A
e) 64.
matemática 3
Como GE passa pelo ponto O, os trapézios AEGD
e CGEB são congruentes de área 30. Além disso,
H é o ponto médio de GF, que tem medida 6.
6 ⋅4
Logo a área pedida é AAEGD + AEFG = 30 +
=
2
= 42.
Questão 10
A soma dos fatores primos distintos do número 1,26 × 106 é
a) 11.
b) 13.
c) 15.
d) 17.
e) 19.
alternativa D
Questão 13
Em uma eleição com dois candidatos, A e B,
uma pesquisa mostra que 40% dos eleitores
votarão no candidato A e 35% em B. Os 3500
eleitores restantes estão indecisos. Para A
vencer, necessita de, pelo menos, 50% dos votos mais um. Logo, ele precisa conquistar K
votos entre os indecisos. O menor valor de K é
a) 1021.
b) 1401.
c) 1751.
d) 2001.
e) 1211.
alternativa B
Como 1,26 ⋅ 106 = 126 ⋅ 104 = 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 5 4 ⋅ 7 , a
soma dos fatores primos positivos distintos desse
número é 2 + 3 + 5 + 7 = 17 .
Seja x a quantidade de eleitores. Assim,
0,40x + 0,35x + 3 500 = x ⇔ x = 14 000.
Para A vencer, ele ainda precisa de 50% − 40% =
= 10% do total de votos mais um, isto é,
0,1 ⋅ x + 1 = 1 401 votos.
Questão 11
Questão 14
O frentista de um posto de gasolina deve calibrar os 4 pneus de um carro. Como está com
pressa, escolhe, ao acaso, apenas 2 deles para
calibrar. A probabilidade de ele ter calibrado
os dois pneus dianteiros é
1
1
1
1
1
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4
3
2
5
6
Na figura, a reta r encontra o gráfico de
y = log 3 x no ponto (9, b) . O valor de a + b é
alternativa E
⎛4 ⎞
4 ⋅3
Há ⎜ ⎟ =
= 6 maneiras de escolher 2 den⎝2 ⎠
2
tre os 4 pneus para calibrar. Portanto a probabilidade de ele ter calibrado exatamente os dois
1
pneus dianteiros é .
6
Questão 12
Dada a matriz A = (a i, j )2 × 2 , tal que
a i, j = 3i − j , o valor do determinante da matriz A2 é
a) 0.
b) 1.
c) 4.
d) 9.
e) 16.
alternativa D
Temos
⎛ 3 ⋅ 1 − 1 3 ⋅ 1 − 2 ⎞ ⎛2 1 ⎞
A =⎜
⎟ e desse modo
⎟ =⎜
⎝3 ⋅ 2 − 1 3 ⋅ 2 − 2 ⎠ ⎝ 5 4 ⎠
det A 2 = (det A) 2 = (2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 5) 2 = 9.
a) 2.
b) −
1
.
2
c)
7
.
4
d) −1.
e)
2
.
9
alternativa C
Temos que (9; b) pertence ao gráfico de
y = log 3 x ⇔ b = log 3 9 ⇔ b = 2 . Temos ainda
que a reta r corta o eixo x no mesmo ponto que
y = log 3 x , isto é, no ponto (1; 0).
2 −0
Assim, uma equação de r é y − 0 =
(x −1) ⇔
9 −1
1
1
⇔ y = x − , isto é, o coeficiente linear a é
4
4
1
igual a − .
4
1
Conseqüentemente, o valor de a + b é −
+2 =
4
7
= .
4
matemática 4
Questão 15
Questão 17
Se a figura mostra o esboço do gráfico da funm
é
ção f(x) = x2 + mx + n, então
n
Sendo o par (a,b) uma solução da equação
x + 2y = 7 e o par (a + 2, b − 3) uma solução
de x + 2y = c , o valor de c é
a) 2.
b) − 1.
c) − 2.
d) 3.
e) 4.
alternativa D
Das condições dadas:
a + 2b = 7
a + 2b = 7
⇔
⇒
(a + 2) + 2(b − 3) = c
a + 2b = c + 4
⇒c + 4 =7 ⇔c =3
a) 1.
b) −1.
c) 2.
d)
1
.
2
e)
2
.
3
alternativa A
Do gráfico, f(0) = −1 e f( −1) = 1. Logo
−1 = 0 2 + m ⋅ 0 + n
1 = ( −1)
2
+ m ⋅ ( −1) + n
⇔
m = −1
m
⇒
= 1.
n = −1
n
Questão 16
Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de
duas semi-esferas de raio 2 m, uma em cada
extremidade, como mostra a figura. Adotando
π = 3, a capacidade total do tanque, em m3 , é
Questão 18
Uma esfera de raio R é cortada por dois planos paralelos, um deles passando por seu
centro, obtendo-se, assim, dois círculos cujas
áreas estão na razão de 1 para 4. A distância
d entre os dois planos, em função de R, é
2R
R
R 3
.
b) d =
.
a) d =
c) d =
.
2
3
2
d) d =
R 3
.
3
e) d = R 2 .
alternativa C
Como a razão entre as áreas dos círculos é
razão entre seus raios é
a) 80.
b) 70.
c) 60.
d) 55.
1
,a
4
1
1
.
=
4
2
e) 50.
alternativa A
O volume do tanque é o volume de um cilindro
com raio da base 2 m e altura 4 m, somado com
o volume de duas semi-esferas de raio 2 m, que
formam uma esfera de raio 2 m, ou seja,
4
80 π
π ⋅ 22 ⋅ 4 +
⋅ π ⋅ 23 =
m3 .
3
3
Usando a aproximação dada, o volume procurado
80 ⋅ 3
é
= 80 m 3 .
3
A distância entre os dois planos é igual à distância
entre os centros O e P dos círculos. Observando
uma secção da esfera que contém tais centros,
aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo
2
R 3
⎛R ⎞
OPQ temos d 2 + ⎜ ⎟ = R 2 ⇔ d =
.
⎝2 ⎠
2
matemática 5
alternativa B
Questão 19
A PA dada tem primeiro termo a1 =
Se os pontos A = (a,0), B = (0,2b) e C = (a + b,0)
são vértices de um triângulo de área 2b, então o valor de b é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
alternativa B
1
2
a
0 1
0
2b 1
a+b 0 1
= 2b ⇔
1
| 2ab − (a + b)2b | = 2b ⇔ |−b 2 | = 2b ⇔
2
⇔ b 2 = 2b ⇔ b = 2 , pois b > 0.
⇔
Questão 20
A soma de todos os termos, que são menores
1 3 5 7
que 12, da P.A. ⎛⎜ , , , , . . .⎞⎟ é
⎝4 4 4 4
⎠
a) 120. b) 144. c) 150. d) 160. e) 140.
1
e razão
4
3
1
1
. A fórmula do seu termo geral é
−
=
4
4
2
1
1
an =
+ (n − 1) .
4
2
1
1
Temos, então, que an <12 ⇔ + (n −1) <12 ⇔
4
2
49
⇔n<
⇔ n ≤ 24.
2
Logo queremos a soma dos 24 primeiros termos
desta PA, ou seja:
1⎞
⎛1 1
⎜ + + 23 ⋅ ⎟ ⋅ 24
(a1 + a24 ) ⋅ 24 ⎝ 4 4
2⎠
S 24 =
=
=144
2
2
r =