CADERNO DE EXERCÍCIOS 1
Lista 1 – 1º semestre 2015 – Ensino Médio – Matemática
Conteúdo
Questão
1
2
3
4




Teorema de Pitágoras
Área de círculo
Equação do 2º grau
Área de círculo
 Equação do 1º grau
 Área de trapézio
Habilidade da
Matriz da EJA/FB
 H13





H17
H18
H13
H17
H18
 H13
1
Caderno de exercícios
1. Um projetista de utensílios domésticos criou um suporte para copos que tem uma área
revestida com tecido impermeável. Na figura 1, apresenta-se esse suporte e a região coberta
pelo círculo é a região em que há o revestimento impermeável.
Figura 1
Para construir esse suporte, inicialmente o projetista criou um quadrado de diagonal igual a 8,49
cm e, a partir do quadrado, ele determinou qual seria a região coberta com o tecido. Acompanhe
nas imagens o passo a passo até a finalização do modelo do suporte.
1º passo
2º passo
3º passo
4º e último passo
Se o círculo que será revestido tem o diâmetro igual à medida do lado do quadrado, qual é a
quantidade necessária de tecido impermeável para colocar nessa parte do suporte?
2
Caderno de exercícios
Observação: adote π = 3,14
2. Considere que o suporte mencionado no exercício 1, teve uma ótima aceitação no mercado
de utensílios e o projetista resolveu produzir uma nova versão que serviria para copos de
chope. Para produzir esse novo produto, o projetista iniciou seus trabalhos a partir do
quadrado já utilizado para fazer o primeiro suporte, aumentando nessa nova versão a medida
do lado em x centímetros. O novo quadrado, utilizado para confeccionar o suporte para
copos de chope, tem área igual a 100 cm². Observe os desenhos.
Medida aumentada
para produzir o 2°
suporte
x
1° suporte
produzido
x
x
Suporte para copo de chope
Medida aumentada
para produzir o 2°
suporte
A parte hachurada representa a região
que aumentou no 2° suporte.
3
Caderno de exercícios
A partir dos desenhos e das informações apresentadas, determine a área da região circular, do
novo suporte, que também será revestida com um tecido impermeável. Para tanto, é
importante que você considere que a medida do lado do quadrado utilizado para confeccionar
o primeiro suporte é igual a 6 cm.
Observação: lembre-se de que o círculo tem diâmetro igual à medida do lado do quadrado
utilizado para fazer o segundo suporte.
3. Em uma viagem de férias, uma família fez a seguinte organização, para que não houvesse
surpresas com os gastos:
Transporte
Hotel
Passeios
Refeições
1/3 do valor reservado para a
viagem
1/4 do valor reservado para a
viagem
1/3 do valor reservado para a
viagem
R$ 900,00
A partir das informações apresentadas na tabela, qual foi o valor reservado para a viagem?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4
Caderno de exercícios
4. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos
períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água.
Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as
medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da
vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em
m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a
ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois
da reforma na canaleta?
a) 90 m3/s
b) 750 m3/s
c) 1.050 m3/s
d) d) 1.512 m3/s
e) e) 2.009 m3/s
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Caderno de exercícios
Gabarito comentado
1.
Para saber qual é a área do tecido impermeável, devemos calcular a área do círculo. Para tanto,
inicialmente vamos calcular a medida do lado do quadrado, já que sabemos que o diâmetro do
círculo tem a medida igual ao lado do quadrado.
Devemos lembrar que, no enunciado do exercício, foi mencionado que a diagonal desse
quadrado tem medida igual a 8,49 cm. Conforme podemos observar na imagem a seguir, ao
traçar a diagonal de um quadrado, obtemos um triângulo retângulo. Para saber a medida do
lado do quadrado, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
L
d
L
L

L
d² = L² + L²
(8,49)² = L² + L²
72,08 = 2L²
72,08
 L²
2
36,04 = L²
L 6
Portanto, vamos considerar que o lado do quadrado tem medida igual de 6,0 cm.
Se o lado do quadrado mede 6,0 cm, o diâmetro do círculo, como mencionado no enunciado,
também mede 6,0 cm.
Vamos agora calcular a área do círculo. Para tanto, utilizaremos a seguinte expressão: Ac = πr²
π = 3,14
raio = 3 cm
6
Caderno de exercícios
Lembre-se: o raio de um círculo tem medida igual à metade do diâmetro, por isso, neste caso,
o raio mede 3 cm.
Ac = 3,14.3²
Ac = 3,14.9
Ac = 28,26
Portanto, para revestir o círculo, serão necessários 28,26 cm² de tecido impermeável.
Observações: Em todos os cálculos realizados consideramos os valores com apenas 2 casas
decimais. Logo, se, ao realizar o cálculo, forem utilizadas mais que duas casas decimais, poderão
existir pequenas diferenças entre os resultados apresentados no gabarito e os resultados
encontrados por você.
2.
Para encontrar a medida do tecido que revestirá o suporte para copos, devemos fazer algumas
interpretações. Primeiro vamos observar o desenho a seguir:
Se essa parte representa o primeiro suporte
construído, a medida do lado desse quadrado
é igual a 6 cm.
1° suporte
produzido
Conforme informado no enunciado do exercício, a área do quadrado utilizado para confeccionar
o novo suporte é igual a 100 cm², e a medida do lado do quadrado é igual a medida do lado do
quadrado utilizado para produzir o primeiro suporte aumentado de uma medida x. Logo,
teremos:
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Caderno de exercícios
6
6
x
1° suporte
produzido
x
Se a área de um quadrado é calculada multiplicando-se a medida de seus lados, a área desse
quadrado pode ser calculada da seguinte maneira:
A = (6 + x) . ( 6 + x)
Sabemos que a área é igual a 100 cm².
100 = ( 6 + x) . ( 6 + x)
Para determinar o valor de x, e assim encontrar a medida total do lado desse quadrado, vamos
aplicar a distributiva.
100 = ( 6 + x) . ( 6 + x)
100 = 36 + 6x + 6x + x²
100 = 36 + 12x + x²
0 = x² + 12x – 100 + 36
0 = x² + 12x - 64
Chegamos a uma equação do 2º grau. Para encontrar o valor da medida do lado do quadrado,
devemos resolvê-la.
Inicialmente, identificaremos os coeficientes da equação.
0 = x² + 12x – 64
a=1
b = 12
c = – 64
8
Caderno de exercícios
x=
b Δ
Δ  b²  4.a.c
2a
x=
 12  (-12)² - 4.1.( - 64)
2.1
x=
 12  144 - 4.( - 64)
2.1
 12  144  256
x=
2
 12  400
x=
2
x=
 12  20
2
x=
 12  20
2
x=
 12  20
2
=
8
4
2

32
 16
2
Obtivemos os valores x = 4 e x = – 16, vamos verificar qual deles representa a medida x do lado
do quadrado.
O quadrado tem a medida de lado 6 + x. Substituiremos a incógnita x pelos valores encontrados.
6 + 4 = 10
6 – 16 = – 10
Como estamos falando de medida, devemos considerar que o valor da incógnita é x = 4, pois ao
substituir o valor desconhecido por – 16, encontramos um valor negativo que não pode ser
considerado como medida de lado de um quadrado.
9
Caderno de exercícios
Agora, já sabemos que o novo quadrado utilizado para confeccionar o 2º suporte, tem lado igual
a 10 cm.
6
6
4
10
1° suporte
produzido
10
4
Se o quadrado tem lado igual a 10 cm, o diâmetro do círculo também é igual a 10 cm. Basta
agora calcular a área do círculo que será revestido.
Ac = π. r²
Ac = 3,14 .5²
Ac = 3,14. 25
Ac = 78,5
Portanto, para confeccionar o suporte para chope, serão necessários 78,5 cm² de tecido
impermeável.
3.
Analisando a tabela, observa-se que, exceto o valor reservado para as refeições, todos os outros
valores apresentados têm como referência o valor reservado para a viagem. Mas, não se sabe
qual foi o valor reservado para a viagem, portanto, esse valor desconhecido chamaremos de x.
A partir dessa denominação, representa-se os gastos com a viagem por meio de uma equação
do 1º grau.
x representa o valor reservado para a viagem.
1
x
3
representa o valor reservado para o transporte.
10
Caderno de exercícios
1
x
4
representa o valor reservado para o hotel.
2
x representa o valor reservado para os passeios.
3
R$ 900,00 é o valor reservado para as refeições.
Temos então a equação:
1
x
3
1
x
4
+
+
1
x
3
+ 900 = x
Como as frações que compõem a equação têm denominadores diferentes, calcula-se o mmc
dos denominadores.
3,4,1 2
3,2,1 2
3,1,1 3
1,1,1
2.2.3 = 12
1
x
3
1
x
4
+
4
x
12
+
+
1
x
3
+ 900 = x
3
4
10.800
x+ x+
12
12
12
=
12
x
12
Realiza-se o seguinte cálculo:
12:3 = 4
4x1=4
Para todas as outras frações serão
realizados estes cálculos
Pode-se cancelar os denominadores quando os dois membros da equação possuem o mesmo
denominador.
11
Caderno de exercícios
4
x
12
+
3
4
10.800
x+ x+
12
12
12
=
12
x
12
4x + 3x + 4x + 10.800 = 12x
Resolve-se a equação:
4x + 3x + 4x + 10.800 = 12x
10.800 = 12x – 4x – 3x – 4x
10.800 = 1x
10.800
x
1
10.800 = x
Conclui-se que, para a viagem, foi reservado o valor de R$ 10.800,00.
4. Alternativa D
Pela figura I, a área A1 é dada pela expressão do trapézio:
A1 = (base maior + base menor). altura
2
A1 = (20 + 30). 2,5
2
A1 = 62,5 m2.
E utilizando a expressão Q = A.v onde a vazão A vale 1.050 m3/s teremos para a velocidade:
Q = A.v
1.050 = 62,5.v
v = 16,8 m/s.
Observando figura 2 a área do trapézio será de:
A2 = (base maior + base menor). altura
2
A2 = (49 + 41). 2
2
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Caderno de exercícios
A2 = 90 m2
Mantendo a mesma velocidade a nova vazão Q será:
Q = A.v
Q = 90.16,8
Q = 1.512 m3/s
13
Caderno de exercícios