1a
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Prova Presencial - 1o. semestre de 2009
Profa. Ana Maria Farias
1. A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua X é dada por
⎧
0
se x < −1
⎪
⎪
⎨ 1−x2
se − 1 ≤ x < 0
2
F (x) =
2
1+x
⎪
se 0 ≤ x ≤ 1
⎪
⎩ 2
1
se x > 1
Calcule as seguintes probabilidades, tendo o cuidado de explicitar todas as propriedades usadas:
(a) (0,5 ponto) Pr(X > −0, 5)
Solução
Pr(X > −0, 5) = 1 − Pr(X ≤ −0, 5) = 1 − F (−0, 5) = 1 −
1 − (−0, 5)2
= 0, 625
2
(b) (0,5 ponto) Pr(0, 2 < X < 2)
Solução
Pr(0, 2 < X < 2) = Pr(X < 2) − Pr(X ≤ 0, 2) = Pr(X ≤ 2) − Pr(X ≤ 0, 2) =
1 + 0, 22
= 0, 48
= F (2) − F (0, 2) = 1 −
2
(c) (0,5 ponto) Pr(X > −2)
Solução
Pr(X > −2) = 1 − Pr(X ≤ −2) = 1 − F (−2) = 1 − 0 = 1
(d) (0,5 ponto) Pr(−0, 2 ≤ X ≤ 0, 8)
Solução
Pr(−0, 2 ≤ X ≤ 0, 8) = Pr(X ≤ 0, 8) − Pr(X < −0, 2) = Pr(X ≤ 0, 8) − Pr(X ≤ −0, 2) =
1 + (0, 8)2 1 − (0, 2)2
−
= 0, 34
= F (0, 8) − F (−0, 2) =
2
2
2. Na Figura 1 é dado o gráfico da função de densidade f (x) de uma variável aleatória X.
(a) (0,5 ponto) Determine a expressão de f (x).
Solução
A área sob a curva tem que ser 1:
1×k
+ 0, 5k =⇒ k = 1
2
½
x − 1 se 1 ≤ x ≤ 2
f (x) =
1
se 2 < x ≤ 2, 5
1=
1
k
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Figura 1: Gráfico da função de densidade para a questão 2
(b) (1,5 pontos) Calcule os três quartis da distribuição.
Solução
A área sob a curva à esquerda de x = 2 é igual a 0,5; logo, a mediana é Q2 = 2. O
primeiro quartil é menor que 2 e o terceiro quartil é maior que 2:
(Q1 − 1)2
1
1
1
=
=⇒ (Q1 − 1)2 = =⇒ Q1 = 1 ± √
4
2
2
2
A solução dentro do domínio de definição de f (x) é Q1 = 1 +
Para o tereceiro quartil temos que ter:
√1
2
≈ 1, 707.
(Q3 − 2) × 1 = 0, 25 =⇒ Q3 = 2, 25
3. Latas de refrigerante são enchidas segundo uma distribuição normal com média 342 ml e desvio
padrão 4 ml. Uma lata é rejeitada no comércio se tiver menos que 333 ml.
(a) (1,0 ponto) Qual é a porcentagem de latas rejeitadas no comércio
Solução
¶
µ
333 − 342
= Pr(Z < −2, 25) = Pr(Z > 2, 25)
Pr(X < 333) = Pr Z <
4
= 1 − Φ(2, 25) = 1 − 0, 98778 = 0, 01222
1,22% das latas são rejeitadas.
(b) (0,5 ponto) Se observamos uma seqüência aleatória destas latas em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que a quinta lata seja a primeira rejeitada?
Solução
p = (1 − 0.01222)4 × 0.01222 = 0, 01163
(c) (0,5 ponto) Se observamos uma seqüência aleatória destas latas em uma linha de produção, qual é a probabilidade de que, em 10 latas observadas, duas sejam rejeitadas?
SOlução
¡ ¢
2
8
p = 10
2 × (0, 01222) × (1 − 0, 01222) = 0, 006090273
2
4. (2,0 pontos) Em uma pesquisa de opinião, 400 alunos de uma grande universidade foram
consultados sobre a possibilidade de mudança de localização do restaurante universitário, dos
quais 328 mostraram-se favoráveis à mudança. Construa um intervalo de confiança para a
verdadeira proporção de alunos favoráveis à mudança, usando 95% como nível de confiança.
Solução
pb =
IC
:
328
= 0, 82
400
Ã
0, 82 − 1, 96 ×
r
0, 82 × 0, 18
; 0, 82 + 1, 96 ×
400
r
0, 82 × 0, 18
400
!
= (0, 78235 ; 0, 85765)
5. (2,0 pontos) A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição dos pesos
dos usuários é uma normal com média de 70 kg e desvio padrão de 10 kg, qual é a probabilidade
de que 6 pessoas ultrapassem este limite?
Solução
¡
¢
X ∼ N 70; 100
6
Ã
!
µ
¶
¡
¢
500
83.333 − 70
Pr X >
= Pr X > 83, 333 = Pr Z >
=
10
√
6
6
= Pr(Z > 3, 27) = 1 − Φ3, 27) = 1 − 0.99946 = 0, 00054
3