MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Análise
Combinatória:
Permutação,
Combinação
e Binômio
de Newton
k2 + ... + km = n, então o número de arrumações destes
n objetos denotado por P(n; k1, k2, ..., km) é
n  n - k1 

P(n;k1,k2,..., km ) =   
k1   k2 
n!
=
k 1! k 2!...k m!
Permutações
com repetições
``
Exemplo 1:
Quantas arrumações podem ser feitas com as seis letras
b, a, n, a, n, a?
Formaremos as arrumações escolhendo primeiro as três
 
posições em que os a’s ficarão, isto é  6 = 20 maneiras.
 3
Agora, vamos escolher as suas posições (entre as três
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remanescentes) em que os n’s ficarão, isto é
 3
2 = 3
 
maneiras e, finalmente, na última posição fica o b. Dessa
maneira, existem 20 . 3 . 1 = 60 arrumações.
Teorema: se existem n objetos dos quais k1 são do
tipo 1, k2 são do tipo 2, ..., e km são do tipo m, onde k1 +
n - k1- k2  ...  n - k1... - km

 

k3  
km 

Demonstração: Além do argumento utilizado no
exemplo acima, escolhendo as posições para um dos
tipos dentre aquelas que restarão, podemos provar
o teorema anterior da seguinte forma:
Suponhamos que para cada tipo dos ki objetos
do tipo i sejam dados índices 1, 2, 3, ..., m, tornado-os
distintos. Existem, nesse caso n! arrumações destes
n objetos distintos. Enumeremos n! arrumações de
objetos distintos, relacionando todas as P(n; k1, k2, ...,
km) disposições (sem índices) dos objetos e, então,
para cada disposição são colocados os índices de
todos os modos possíveis. Por exemplo, da disposição baanna os índices podem ser colocados nos a’s
de 3! maneiras:
b a1 a2 n n a3b a2 a1 n n a3
b a3 a1 n n a2
b a3 a2 n n a1b a1 a3 n n a2
b a2 a3 n n a1
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1
Para cada uma dessas 3! formas de indexar os
a’s, existem 2! maneiras para indexar os n´s. Em
geral, uma disposição qualquer terá k1! modos de
indexar os k1 objetos do tipo 1, k2! modos para o tipo
2, ..., km modos para o tipo n. Então
n! = P(n; k1, k 2 , ..., k m ) . k1!k 2!...k m !
ou
P(n; k1, k 2 , ..., k m ) =
Demonstração: Como fizemos anteriormente, os
x’s antes do primeiro | conta o número de objetos do
primeiro tipo, os x’s entre o primeiro e o segundo |’s
conta o número de objetos do segundo tipo, ..., e os x’s
após o (n – 1) – ésimo| conta o número de objetos do
n-ésimo tipo ( n – 1 traços são necessários para separar
n tipos). O número de sequências com k x’s e (n – 1) |’s
n!
k1! k 2! ... k m !
é  k + (n − 1)


Distribuições
Combinações
com repetição
``


k
Exemplo 2:
de quantas formas diferentes podemos comprar seis
cachorros-quentes, escolhendo entre três variedades
distintas?





Para resolver problemas de escolhas com repetição,
precisamos fazer uma correspondência com um
problema relacionado a uma escolha sem repetição.
Suponhamos que as três variedades sejam sem molho, com molho e completo, e que a atendente tenha
anotado o seguinte pedido
Geralmente um problema de distribuição é
equivalente a um problema de arrumação ou de
escolha com repetição. Problemas especializados de
distribuição devem ser divididos em subcasos que
possam ser contados por intermédio de permutações
e combinações simples. Um roteiro geral para modelar
problemas de distribuição é: distribuições de objetos
distintos correspondem a arrumações e distribuições
de objetos idênticos correspondem a escolhas.
Dessa maneira, distribuir k objetos distintos
em n urnas diferentes é equivalente a colocar os
objetos em linha e atribuir o nome de cada uma das
n diferentes urnas em cada objeto. Assim, existem
n . n . n . ... n = nk distribuições. Se ki objetos devem ir
k vezes
para a urna i, existem P(n; k1, k2, ..., kn) distribuições.
Por outro lado, o processo de distribuir k objetos
idênticos em n urnas distintas é equivalente a escolher
um subconjunto (não-ordenado) de k nomes de urnas,
com repetição, entre as n escolhas de urnas. Assim,
com molho
completo
x
xxxx
x
Se cada x representa um cachorro-quente, então
o pedido acima significa um sem molho, quatro com
molho e um completo. Uma vez que todos os atendentes saibam que esta é a sequência dos pedidos
de cachorros-quentes (sem molho, com molho, completo), podemos omitir os nomes das variedades escrevendo apenas x | xxxx | x. Assim, qualquer pedido
de k cachorros-quentes consiste numa sequência de
k x’s e dois |’s. Reciprocamente, toda sequência de
k x’s e dois |’s representa um pedido: os x’s antes
do primeiro | representa o número de cachorros sem
molho: os x’s entre os dois |’s representa o número
de cachorros com molho e os x’s finais representam o
número de cachorros completos. Deste modo, existe
uma correspondência um a um entre pedidos e tais
sequências, mas o número de encadeamento de seis
x’s e dois |’s é simplesmente o número de escolhas
de duas posições na ordem para os |’s. Por isso, a
resposta é
 8
  = 28 .
 2
Teorema: o número de escolhas com repetição
 k + n − 1

 k 
de k objetos dentre n tipos de objetos é 
2
existem  k + n − 1 = (k + n − 1)! distribuições.


k


k!(n − 1)!
Os problemas de escolhas com repetição podem
ser ­formulados de três formas equivalentes, a saber:
1)O número de maneiras de escolhermos k objetos com repetição dentre n tipos de objetos
diferentes.
2)O número de formas de distribuir k objetos
idênticos em n urnas distintas.
3)O número de soluções inteiras não-negativas
da equação x1 + x2 + ... + xn = k.
É importante que sejamos capazes de reescrever um dado problema enunciado em uma das
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EM_V_MAT_014
sem molho
formas acima sob as outras duas. Muitos acham a
versão 2 o meio conveniente de olhar para tais problemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil
de visualizar (na cabeça de alguém). Além disso,
o argumento original com pedido de cachorros-quentes, que utilizamos para deduzir fórmula para
escolhas com repetição, foi na realidade um modelo
de distribuição. A versão 3 é a mais geral (e mais
abstrata) do problema.
Permutações circulares
Consideremos n objetos distintos e disponhamos esses n objetos em torno de um círculo.
Se n > 3, podemos imaginar esses objetos situados nos vértices de um polígono, por exemplo um
polígono regular.
O quadro abaixo apresenta as disposições dos
objetos A, B, C, D em torno de um círculo.
A
D A
B
C
A
C
C
B
D
A
D
D
C
B D
D C
B A
A

C
D
A
D B
C
D
A
C
C B
D
B
B
A
B
B

B
B
A
A
C D
D C
C A
A
D
C
A
D
B
C
D
A
D
C
A
D
C
C
A
C B
D B
C A
B
B C
B D
B A
B
A
B
B
D
B
A
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C D
D A
C
C
D
D C
A
A
B
Observamos, então, que:
A 1.ª coluna do quadro foi obtida fixando-se o
objeto A e permutando-se os objetos B, C, D de todos
os modos possíveis, isto é, 3!=6 modos. Em cada
linha uma disposição pode ser obtida de outra por
uma rotação conveniente e dadas duas disposições
em linhas diferentes, nenhuma pode ser obtida da
outra por qualquer rotação.
Assim, chama-se permutação circular de n objetos distintos qualquer disposição desses objetos em
torno de um círculo e duas permutações circulares
são indistinguíveis se, e somente se, uma pode ser
obtida a partir da outra por uma rotação convenien-
te, como por exemplo duas permutações quaisquer
de uma mesma linha do quadro. Diremos ainda que
duas permutações circulares são distinguíveis se, e
somente se, uma não pode ser obtida da outra por
qualquer rotação como, por exemplo, duas permutações quaisquer em linhas diferentes do quadro.
Portanto, no cálculo das permutações circulares interessa apenas a posição relativa dos objetos
entre si, isto é, o número de permutações circulares
distinguíveis.
O número de permutações circulares de n objetos, denotado por (PCn), é igual a n!/n, isto é
(PC)n =
n!
= (n − 1)!
n
Consideremos o produto indicado:
(a + b + c)(m + n)(x + y + z + w)
Para se formar um termo do produto indicado
acima, devemos escolher uma parcela em cada um
dos polinômios e efetuar o produto das mesmas.
Assim, por exemplo, escolhendo a parcela b no
primeiro polinômio, n no segundo e z no terceiro, formando o termo bnz, do desenvolvimento do produto.
Alguns outros termos do desenvolvimento do
produto acima são:
amx, anw, cmy etc.
Desenvolvimento
de (x + a)n; n IN
Consideremos a igualdade:
(x + a)n = (x + a)(x + a) ... (x +a) (1)
Para se formar um termo do produto (x + a).(x + a)
... (x +a) devemos escolher uma parcela em cada um
dos n fatores x +a e efetuar o produto das mesmas.
Por exemplo, se escolhermos p letras a em p
dos n binômios, e n – p letras x dos n – p binômios
restantes, então um termo genérico do desenvolvimento de (x + a)n é da forma:
n
644744
8
a123
a ... a 123
x x ... x = a p x n-p com p = 0,1, 2,..., n (2)
p
n -p
O número de termo da forma (2) é, então, igual
ao número de modos de escolhermos p letras a n
binômios, x +a, isto é, Cnp.
Por conseguinte, reduzindo todos os termos da
forma apxn–p, encontramos um único termo, a saber:
Cnp
(3)
apxn–p
Finalmente, fazendo em (3) p variar de 0 até n,
encontramos todos os termos (reduzidos) do desenvolvimento de (x + a)n.
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3
Termo geral da (III)
Então,
n
( x + a)n = ∑ Cnp a p x n − p
p=0
Expandindo o somatório acima, temos:
( x + a)n = C0n a0 x n − 0 + C1n a1x n −1 + C2n a2 x n − 2 + ... +
+ Cnn −1an −1x1 + Cnn x n −1
ou ainda,
(x + a)n = x n + C1na x n-1 + C2na 2 x n-2 + ... + Cnn-1a n-1x + a n
(I)
que é denominada Fórmula de Newton.
Termo geral do
desenvolvimento de (x + a)n
Todos os termos do desenvolvimento de (x + a)n
são obtidos de Cpnap xn–p quando fazemos neste termo, p
variar de 0 a n.
é chamado de termo
Por esse motivo,
geral.
Designado o 1.º, 2.º, 3.º, ... termos do desenvolvimento de (x + a)n respectivamente por T1, T2, T3, ...,
podemos observar que:
Cpnap x n–p
para p = 0 obtemos T1 = C0n a0 x n
para p = 1 obtemos T2 = C1n a1x n −1
para p = 2 obtemos T3 = C2n a2 x n − 2
para p = 3 obtemos T4 = C3n a3x n − 3
Isto é, a ordem de cada termo é igual à taxa da combinação correspondente mais 1. Como a taxa da
combinação do termo geral é p, segue-se que este
termo é de ordem p + 1. Isto é,
(II)
Tp +1 = Cnp a p x n − p Desenvolvimento
de (x – a)n, n IN
Para se obter o termo geral da (III), substituímos,
em (II), a por –a, obtendo:
(IV)
Tp+1 = (–1)p C Pn ap xn-P
Propriedades
do desenvolvimento
de (x + a)n
1.ª Propriedade
O desenvolvimento de (x + a)n tem n+1 termos, pois é um polinômio cujos coeficientes são:
C0n , C1n , C2n , ..., Cnn
2.ª Propriedade
Os coeficientes de dois termos equidistantes
dos extremos são iguais.
De fato. Sejam Tp+1 e Tq+1 termos equidistantes
dos extremos, onde q deve ser determinado a partir
de n e p.
Consideremos o esquema:
n +1
6444444
474444444
8
n
n
(x + a) = x + ... + T
+ ... + T
+ ...a n
p+1
q +1
Então,
q +1 +p = n + 1 q = n – p
Por conseguinte, temos:
Tq+1 = T’n–p+1
coeficiente de Tp+1 = Cpn
n –p
coeficiente de Tn – p + 1 = Cn
Mas, Cnn –p = Cpn (combinações complementares)
e, portanto, os coeficientes de dois termos equidistantes dos extremos são iguais.
Substituindo-se, em (I), a por (–a), temos:
(x - a)n = x n + C1n (-a) x n-1 + C2n (-a)2 x n-2 + ... + Cnn-1 (-a)n-1 x + (-a)n
(x - a)n = x n + C1n (-a) x n-1 + C2n (-a)2 x n-2 + ... + Cnn-1 (-a)n-1 x + (-a)n
obtemos finalmente:
Quando n é ímpar, n +1 é par e o desenvolvimento de (x +a)n tem n +1 pares de dois termos
2
com coeficientes iguais.
(x − a)n = x n − C1naxn −1 + C2na2xn − 2 − ... + ( −1)n −1Cnn −1x + ( −1)n an
(III)
4
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EM_V_MAT_014
Mas, tendo em vista que:
(–a)P = (–1 . a)P = (–1)PaP
3.ª Propriedade
``
Solução:
a) Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis
vezes e para cima cinco vezes. O número de ordens
A soma dos coeficientes de (x + a)n é 2n.
De fato, fazendo em
em que isso pode ser feito é P116,5 =
n–2 + ... + Cn–1an–1x + an,
(x + a)n = xn + C1naxn–1 + C2
nx
n
x = a = 1, temos:
1
(1+ 1)n = 1+ C1n + C 2n + ... + C n–
n + 1 ou
Outra Resposta:
Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis
vezes e para cima cinco vezes, num total de 11
“passos”. O número de ordens em que isso pode ser
feito é o número de modos de escolher quais seis
dos 11 “passos” serão dados para a direita,
1
2
n–1
n
n
C0
n + C n + C n + ... + C n + C n = 2
4.ª Propriedade
No desenvolvimento de (x + a)n a soma dos
coeficientes dos termos de ordem ímpar é igual à
soma dos coeficientes dos termos de ordem par.
De fato, fazendo em
x = 1 e a = –1, temos:
0 = (1 − 1)
+ C2n − C3n + ... + ( −1)n − 2 Cnn − 2 + ( −1)n −1 Cnn −1
= C0n + C2n + C4n + ... − (C1n + C3n + C5n + ...)
= 1 − C1n
+ ( −1)
n
Corolário
A soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (x – a)n é 0.
1. A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na
qual há sete avenidas na direção norte-sul e seis avenidas na direção leste-oeste.
B
C
6
C11
=
11!
= 462 .
6!5!
b) P
ara ir de A até C, deve-se andar para a direita quatro vezes e para cima quatro vezes. O número de
ordens em que isso pode ser feito é P84,4. Para ir de
C até B, deve-se andar para a direita duas vezes e
para cima uma vez. O número de ordens em que
isso pode ser feito é P32,1.
( x + a)n = x n + C1n axn −1 + Cn2 a2 x n − 2 + Cn3 a3x n − 3 + ... + Cnn − 2an − 2 x 2 +
+ Cnn −1an −1x + an
n
11!
= 462.
6!5!
A resposta é P84,4 . P32,1= 70 x 3 = 210.
Outra Resposta:
Para ir de A até C, deve-se andar para a direita quatro vezes e para cima quatro vezes. O número de ordens em que isso pode ser feito é o
número de modos de escolher quais quatro dos
oito “passos” serão dados para a direita, C 84. Para ir
de C até B, deve-se andar para a direita duas vezes e para cima uma vez. O número de ordens em
que isso pode ser feito é o número de modos de
escolher quais dois dos três “passos” serão dados
para a direita, C 32 .
A resposta é C 84 . C 32 = 70 x 3 = 210.
2. Quantos números de sete dígitos, maiores que
6 000 000, podem ser formados usando apenas os
algarismos 1,3,6,6,6,8,8?
``
Solução:
P62,2,1,1 =
6!
= 180
2!2!1!1!
números começados por 6 e
P63,1,1,1 =
6!
= 120
3!1!1!1!
números começados por 8.
A resposta é 180 + 120 = 300.
EM_V_MAT_014
A
3. Dada a equação x1 + x2 + x3 = 7, calcule:
a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo,
ligando o ponto A ao ponto B?
a) o número de soluções inteiras positivas.
b) o número de soluções inteiras não-negativas.
b) Quantos desses trajetos passam por C?
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5
Solução:
a) Podemos identificar o problema do cálculo do número de soluções inteiras positivas dessa equação
com o seguinte problema:
b) Seja ainda a equação x1 + x2+ x3 = 7 e determinemos, agora, o número de soluções inteiras nãonegativas, Isto é, soluções como
Escrevendo-se em fila sete algarismos iguais a 1, de
quantos modos podemos separar esses algarismos
em três grupos, onde cada grupo contém pelo menos um algarismo?
1111111
Observemos que entre os sete algarismos há seis
espaços; se colocarmos elementos de separação
(como barras verticais) em dois desses espaços,
obteremos uma disposição correspondente a uma
solução da equação dada. Assim, por exemplo, a
disposição:
Se n = k, a equação x1 + x2+ ... + xn = k possui uma
única solução, e se n > k a equação não possui solução inteira positiva.
(7, 0, 0), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (0, 2, 5) etc.
Suponhamos escritas todas estas soluções em uma
mesma coluna, e somente uma unidade a cada inteiro dessas soluções, obtendo soluções inteiras positivas de uma nova equação.
x1 + x2+ x3 = 10
1|1111|11
corresponde à solução (1, 4, 2).
Reciprocamente, cada solução inteira positiva da
equação corresponde a um modo de se colocar as
duas barras em dois dos seis espaços.
4. Quantos anagramas da palavra ARATACA começam
por consoante?
Por exemplo, a solução (2, 3, 2) corresponde à disposição:
``
11|111|11
Então, o número de soluções inteiras positiva da
equação
x1 + x2 + x3 = 7
é igual ao número de modos de se escolher dois dos
seis espaços, para se colocar as duas barras, isto é:
Um raciocínio análogo para a equação
x1 + x2+ ... + xn = k(k natural)
nos fornece o número de soluções inteiras positivas:
Seja o esquema:
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
Acontecimentos
A1: escolha de uma
consoante para ocupar
a posição P1
Com efeito, supondo escritos em fila n algarismos
iguais a 1, devemos separá-los em n-grupos, tendo
cada grupo pelo menos um algarismo.
1 1 1 1 1 1 ... 1
Basta, então, escolher n-1 dos k-1 espaços entre os
algarismos para se colocar as n-1 barras, o que pode
 k − 1
n − 1 
 modos.
ser feito de 
3
Pelo princípio multiplicativo o número pedido é:
3 ⋅ P64⋅1⋅1 =
 k − 1
n − 1 


N.º de ocorrências
A2: ocupação das seis
P4.1.1
posições restantes pelas 6
seis letras restantes,
após ter ocorrido A1.
6
  = 15
 2
Solução:
3 ⋅ 6!
= 90
4!1!1!
5. De quantos modos cinco meninos e cinco meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas
de mesmo sexo não fiquem juntas?
``
Solução:
Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as meninas. Depois disso, os cinco meninos devem ser postos
nos cinco lugares entre as meninas, o que pode ser feito
de 5! modos.
A resposta é 4! x 5! = 24 x 120 = 2 880
6
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EM_V_MAT_014
``
6. De quantos modos n casais podem formar uma roda
de ciranda de modo que cada homem permaneça ao
lado de sua mulher?
``
``
(2x 2 - y)5 = (2x 2 )5 - C15 y(2x 2 )4 + C25 y 2 (2x 2 )3 - C53 y 3 (2x 2 )2 +
Solução:
Há (PC)n = (n – 1)! modos de formar uma roda com as
n mulheres. Depois disso, para cada um dos n maridos
há dois modos de entrar na roda: à direita ou à esquerda
de sua mulher.
Solução:
Pela fórmula (III), temos:
C45 y 4 (2x 2 ) - y 5 =
32x10 - 80x 8 y + 80x 6 y 2 - 40x 4 y 3 +10x 2 y 4 - y 5
b) Calcule o 5.º termo do desenvolvimento de  1 x 2 y − 1 
A resposta é (n – 1)!2n.
2
``
8
x
Solução:
Neste caso, n = 8 e p + 1 = 5 . ⋅ . p = 4.
p p p n −p
Termo geral: Tp +1 = ( −1) Cn a x
7. Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma
esmeralda, um topázio, uma água-marinha, uma turmalina e uma ametista. De quantos modos isso pode ser
feito, supondo:
a) que a pulseira tem fecho e um relógio engastado no fecho;
b) que a pulseira tem fecho;
c) que a pulseira não tem fecho e o braço só pode
entrar na pulseira em um sentido;
d) que a pulseira não tem fecho e o braço pode
entrar na pulseira nos dois sentidos.
``
Solução:
a) As seis pedras devem ser postas em 6 lugares.
A resposta é P6 = 6! = 720.
b) Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois
modos dife­rentes, de modo que uma mesma
pulseira pode, colocada no braço, apresentar
pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.
A resposta é 720/2 = 360.
c) Sem o fecho, a pulseira pode rodar no braço.
EM_V_MAT_014
4
4
 35 4 4
1  1
x y
T5 = (–1)4C84    x 2 y  =
8

 x  2
9. Calcule, sem desenvolver, o termo independente de x
14
2 

x3 

de  3x4 –

``
Solução:
Termo geral:
T p +1 = (–1)n Cnp a p x n– p
p
p  2  (3x 4 )14– p
= (–1) p C14
 3
x 
p
p
= (–1) C14 .2 p .314– p .x 56 – 4p– 3p
p .2 p .314– p .x 56 –7p
= (–1) p C14
Para que o termo seja independente de x, deve-se ter:
56 – 7p = 0 ∴p = 8
Logo, o termo pedido é:
8
8
T9 = ( −1)8 C14
. 28 . 36 = C14
. 28 . 36
A resposta é (PC)6 = 5! = 120.
d) Agora, a pulseira pode entrar no braço de dois
modos dife­rentes, de modo que uma mesma
pulseira pode, colocada no braço, apresentar
pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.
Por conseguinte,
A resposta é 120/2 = 60.
8.
a) Desenvolver (2x2 –y)5
10. (UFES-2001) Uma agência bancária cadastra as contas de seus clientes usando um número N de quatro
algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual
é definido como o resto da divisão de N11 por 7. Por
exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle
6 é o resto da divisão de (2001)11 por 7; isso pode
ser comprovado escrevendo-se
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7
2001 = 7 x 286 - 1
e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para
desenvolver a potência (7 x 286-1)11.
Por esse raciocínio, ou equivalente, o algarismo de
controle da conta número 2003 é igual a:
a) 1
b) 2
14. Usando as fórmulas, calcule os desenvolvimentos das
seguintes potências:
a) (x + a)3
b) (x – a)3
c) 3
c) (x + a)6
d) 4
d) (x – a)7
e) 5
``
13. De quantos modos n casais podem formar uma roda
de ciranda de modo que cada homem permaneça ao
lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não
fiquem juntas?
e) (3a + 2b)5
Solução: A
f) (x – 2y)7
2003 = 7 x 286 + 1
Pelo desenvolvimento do binômio de Newton o único
que não é fator de 7 é o último, ou seja, 1.
15. Usando as fórmulas (II) ou (IV), calcule:
a) O 5.º termo de (x + 2y)11
b) O 4.º termo de (1 – 2x)12
c) O 3.º termo de
d) O 5.º termo de
1. Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
x + y + z + w = 3?
e) O 6.º termo de
2. Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
x + y + z + w < 6?
f) O 5.º termo de
3. Quantas são as soluções inteiras positivas de
x + y + z = 10?
4. Quantas são as soluções inteiras positivas de
x + y + z < 10?
5. Quantas são as peças de um dominó comum?
6. Im = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}. Quantas são as funções
f: Im In não decrescentes?
7.
De quantos modos podemos colocar em fila sete letras
A, seis letras B e cinco letras C de modo que não haja
duas letras B juntas?
8. Qual é o número máximo de termos de um polinômio
homogêneo do grau p com n variáveis?
9. Qual é o número máximo de termos de um polinômio
do grau p com n variáveis?
10. A fábrica X produz oito tipos de bombons, que são vendidos
em caixas de 30 bombons (de um mesmo tipo ou sortidos).
Quantas caixas diferentes podem ser formadas?
16. Aplicando a Lei de formação dos termos, calcule o
desenvolvimento dos seguintes binômios:
a)
b) (3x + 2y)5
c)
d)
e)
f) (3a2 + 1)5
17. Determine o termo independente do desenvolvimento
de
18. Determine os termos médios do desenvolvimento de
8
12. De quantos modos n crianças podem formar uma roda
de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que p(p < n) dessas crianças
permaneçam juntas?
19. Calcule sem desenvolver, o termo independente de x
de
.
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11. De quantos modos podem ser pintados seis objetos
iguais usando três cores diferentes?
20. Calcule, sem desenvolver, o termo máximo de
.
21. Calcule, sem desenvolver, o termo máximo de
.
8. Seja A um conjunto com #A = n.
a) Quantas são as funções f: A
A bijetoras?
b) Sugira uma definição formal para Pn.
9. De quantos modos podemos escolher três números, não
necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, ..., 150} de
modo que a soma dos números escolhidos seja divisível
por 3? E se os números devessem ser distintos?
1. Quantos números inteiros entre 1 e 100 000 têm soma
dos algarismos igual a 6?
10. Quantas permutações de sete letras A e sete letras B,
nas quais não há três letras A adjacentes, existem?
2. Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 nas quais exatamente
três incógnitas são nulas? Em quantas, pelo menos três
são nulas?
11. De quantas maneiras é possível colocar seis anéis diferentes em quatro dedos?
3. Os números inteiros compreendidos entre 100 000 e
999 999 são divididos em classes de modo que dois
números diferentes estão na mesma classe se, e só se,
eles têm os mesmos algarismos, diferindo apenas na
ordem. Assim, por exemplo, 552 221 e 125 252 estão na
mesma classe. Quantas classes são assim formadas?
4. Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x +
y + z + w = 20 nas quais x > y?
5. Quantos inteiros entre 1 e 100 000, inclusive, têm a
propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu
sucessor”?
6. Uma urna contém n bolas, das quais devem ser escolhidas p bolas. Determine:
a) O número APn de seleções ordenadas, se repetições
não são permitidas (essas seleções são denominadas arranjos simples de classe p das n bolas);
b) O número de seleções desordenadas (isto é, seleções que só diferem pela ordem são consideradas
iguais), se repetições não são permitidas;
c) O número AR Pn de seleções ordenadas, se repetições são permitidas (essas seleções são chamadas de arranjos completos de classe p das n bolas.
Também são usados os nomes arranjos com reposição ou arranjos com repetição);
12. São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos
(não ne­cessariamente convexos) existem com vértices
nesses pontos?
13. De quantos modos cinco mulheres e seis homens podem
formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres
permaneçam juntas?
14. Quantos dados diferentes existem se a soma das faces
opostas deve ser 7?
15. Calcule, sem desenvolver, a soma dos coeficientes dos
termos de (2x - 3x2y2)17.
16. Determine o coeficiente de x3 no desenvolvimento de:
(2x – 3)4(x + 2)5
17. (CICE-70)
Sejam, a = 10150, b = 9950 + 10050. Pode-se afirmar que:
a) a > b
b) a < b
c) a = b
d) a = b50
e) N.R.A.
18. Calcule a soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar e a soma dos coeficientes dos termos de
ordem par do desenvolvimento de: (2x – 3y)n.
19. Calcular o valor da seguinte soma:
d) O número de seleções desordenadas, se repetições são permitidas.
7.
Sejam A e B conjuntos de números naturais com
#A = p e #B = n
a) Quantas são as funções f: A
B?
b) Quantas são as funções injetoras f: A
EM_V_MAT_014
20. Calcular o valor da seguinte soma:
B?
c) Quantas são as funções f: A
centes?
B estritamente cres-
d) Quantas são as funções f: A
B não-decrescentes?
21. Sendo n par, calcule o valor da seguinte soma:
22. Se k é par, calcule a soma:
e) Sugira uma definição formal para CPn, CRPn, APn, ARPn.
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.
9
23. Calcule a soma:
24. Prove que:
a)
b)
n
25. Calcule a soma:
(–1)p
p=0
1
p
Cn
p+1
n
26. Calcule a soma:
(–1)p–1
p=0
n
27. Calcule a soma:
p
1
Cn
p+1
p
2p+1 C n
p+1
10
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p=0
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14.
a) x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
b) x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
1. 20
c) x6 + 6ax5 + 15a2x4 + 20a3x3 + 15a4x2 + 6a5x + a6
2. 126
d) x7 – 7ax6 + 21a2x2 – 35a3x4 + 35a4x3 – 21a6x2 +
7a6x – a7
3. 36
4. 84
5. 28
e) (3a)5 + 5(2b)(3a)4 + 10(2b)2(3a)3 + 10(2b)3(3a)2
+ 5(2b)4(3a) + (2b)5
6.
f) x7 - 7(2y)x6 + 21(2y)2x5 - 35(2y)3x4 + 35(2y)4x3 –
7.
g) – 21(2y)5x2 + 7(2y)6x - (2y)7
1 359 072
15.
8.
a) 5 280x7y4
9.
b) –1 760x3
10. 10 295 472
c)
11. 28
d)
EM_V_MAT_014
12.
2 . (n – 2)! e
p! . (n–p)!, respectivamente.
13. 2 . (n–1)!.
e)
f)
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11
16.
e) Sejam A e B conjuntos ordenados com #A = p e
#B = n. C pn é o número de funções f : A B estritamente crescentes.
a)
CRpn é o número de funções f : A
centes.
b) 243x5 + 810x4y + 1 080x3y2 + 720x2y3 + 240xy4 + 32y5
c)
B não-decres-
Apn é o número de funções f : A –+ B injetivas.
ARpn é o número de funções f : A
d)
B.
8.
a) n!.
e)
b) é o número de funções bijetivas de um conjunto,
cujo número de elementos é n, em si mesmo.
f)
17. 70
9. 191 300 e
280 9 3
18. – 560 x12 y4 e
x y
81
27
183 800, respectivamente.
10. 1 016
19.
11. 1 296
20.
12. n!/(2n) =
21.
13. 86 400.
(n – 1)!
2
14. 2
15. –1
16. 168 x3
1. 210
17. A
2.
18.
a) 3 420
19.
b) 3 711
3. 5 004
20.
4. 825
21.
5. 2 001
, se n par.
Observação:
6.
Se n é ímpar,
a)
pois o número de termos é par e as parcelas equidistantes
dos extremos são simétricas.
b)
c) AR = n
p
n
p
d)
22.
7.
a) np.
n p
c)
,n p
ou
24. (demonstração)
1
25. n + 1
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b)
d)
12
23.
n
n+1
27. 1 . (2n+1–1)
n+1
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26.
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13
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14
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