tro m a n e i r a s diferentes, e o b t e r e m o s as quatro figuras de de M o r g a n :
II
xRv
yRz
xRz
xRy
zRy
xRz
IV
III
yRx
yRz
xRz
yRx
xRz
A distinção q u a n t o à o r d e m dos t e r m o s
é contudo muito m e n o s i m p o r t a n t e do que a
distinção q u a n t o à natureza d a s relações.
N a v e r d a d e p o d e m o s reduzir as figuras de
de M o r g a n u m a s às outras substituindo simp l e s m e n t e u m a relação pela sua conversa
( P a u l o é filho de J o s é , é a r e l a ç ã o conversa
de José é pai de P a u l o ) ; o r a esta redução
é impossível quási s e m p r e ( i ) n o q u e respeita ao q u a d r o estabelecido s e g u n d o a natureza d a s r e l a ç õ e s .
C o n v é m n o t a r que toda a silogística
clássica está contida no i.° e s q u e m a e é até
s o m e n t e u m seu caso e s p e c i a l : R só pode
d e s i g n a r a p r e d i c a ç ã o , e x , y , z estão cons e q u e n t e m e n t e limitados a designar indivíd u o s , espécies e g é n e r o s . N o i.° e s q u e m a
está incluída u m a d a s formas de silogismo
da lógica m a t e m á t i c a ( a ^ > b , b ^ > c , logo
a > > c ) e no 2 . e s q u e m a a outra f o r m a :
x s a , a > b , logo x e b . A l é m da silogística
aristotélica o i.° e s q u e m a a b r a n g e o denom i n a d o silogismo hipotético (2) : p —> q.
q - > r : —•: p—*• r (—• indica a implicação), e
o raciocínio d a substituição : a = b . b = c :
—>-:a = c. N e n h u m dos outros três esquem a s foi considerado pela lógica tradicional.
P o r outro lado deve observar-se q u e de
M o r g a n n ã o conseguia a* m á x i m a simplicid a d e n a resolução do p r o b l e m a p o r q u e n a d a
quiz s u p o r quanto à natureza das r e l a ç õ e s .
De facto a sua teoria baseia-se no seguinte :
se X está na r e l a ç ã o L com Y , e Y {ia relação M c o m Z , conclui-se que X está na
r e l a ç ã o c o m p o s t a L M com Z ; em seguida
0
( 1 ) T a l redução só se dará nos seguintes casos
m u i t o especiais: para o 2. esquema, se R' fôr a
conversa de R, substituindo-a cairemos no i.° e s q u e m a ; p a r a o i.° esquema, se R fôr a conversa de
R , p a s s a m o s ao 2. e s q u e m a ; q u a n t o ao 4. esquema,
se R' fòr a conversa de R, caímos no i.° e s q u e m a ;
q u a n t o ao 3.° esquema, se R' fòr a conversa de R,
o b t e n d o o 4. esquema. Estes casos r a r a m e n t e se
encontram.
(2) E ' b o m n ã o o confundir c o m o silogismo hipotético-categórico: p - » q - p :-*•: q e p -*• q.
q:-:p.
0
0
0
c o n s i d e r a m se as várias c o m b i n a ç õ e s possíveis, fazendo variar a q u a l i d a d e dos juizos
(afirmativos e negativos) e intervir a relação
conversa e a r e l a ç ã o contrária. O r a o caso
m a i s simples é aquele e m q u e a conclusão é
t a m b é m u m a relação s i m p l e s ; se a conclu
são e n c e r r a u m a relação c o m p o s t a p o d e m o s
inclui-la no 3.° e s q u e m a .
Do e x a m e dos e x e m p l o s a p r e s e n t a d o s
p a r a ilustrar cada um d o s e s q u e m a s resalta
q u e a possibilidade da conclusão d e p e n d e
de u m a definição implícita ou de um postulado implícito. N o e x e m p l o do 3 . ° e s q u e m a '
p r e s s u p o m o s que o i r m ã o do pai é o t i o ;
no penúltimo e x e m p l o do 4 . e s q u e m a tacit a m e n t e a d m i t i m o s que duas rectas p e r p e n diculares a u m a terceira são p a r a l e l a s e n t r e
si. D e m o d o g e r a l , p o d e m o s e s c r e v e r simbolicamente : ( 3 ) .
0
(xRy . y R ' z :
: x R ' z ) (a R b) ( b R ' c ) . \
r*/.aR"c
N ã o d e v e m o s p e n s a r q u e se reduziu o
raciocínio de relação à afirmação s i m u l t â n e a
e à implicação. Na r e a l i d a d e , se r e p a r a r m o s
b e m , a primeira d a s p r e m i s s a s c o n t é m ja
toda a cadeia do raciocínio tal como a indic á v a m o s ao formular cada u m d o s esquem a s ; o que se m o s t r a agora é a p a s s a g e m
da i n d e t e r m i n a ç ã o relativa à d e t e r m i n a ç ã o
do caso singular. Q u e r e d i z e r : cada r e l a ç ã o
circunscreve, e m virtude da sua n a t u r e z a ,
u m c a m p o de aplicação (o conjunto de termos que pode relacionar constituindo enunciados com s e n t i d o ) ; trata-se de u m a indet e r m i n a ç ã o relativa pois deixa i n d e t e r m i n a dos dentro de certos limites os t e r m o s a
r e l a c i o n a r ; no raciocínio há pouco simbolizado e s c o l h e m o s , selecionámos p r e c i s a m e n t e
os t e r m o s . As variáveis são substituídas
por seus valores, da função proposicional
passa-se a u m a d a s proposições e m q u e é
v e r d a d e i r a . Mais c o n c i s a m e n t e ; r e p r e s e n tando p o r p , q, r proposições p r i m á r i a s (não
compostas de outras proposições) c o n t e n d o
variáveis, e p o r p i , q i , ri as proposições
obtidas substituindo as variáveis respectivam e n t e por valores d e t e r m i n a d o s , t e r e m o s :
0
(CONCLUI
NA
(p.q:->:r) p .q
4
4
n
(3) a, b , c representam valores d e t e r m i n a d o s
das variáveis x, y, z.
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