Prezados concursandos, tendo em vista a proximidade do concurso para o ICMS de SP, comento abaixo
algumas questões de estatística avançada, que certamente serão muito úteis nesta preparação final.
Um abraço, bons estudos e fiquem todos com DEUS!
Prof Pio.
QUESTÕES COMENTADAS DE ESTATÍSTICA AVANÇADA – PROF PIO
01) Avalie as afirmativas a seguir, acerca de probabilidades de eventos:
I – Se dois eventos, de probabilidades não nulas, não têm interseção, então eles são independentes.
II – Dois eventos independentes, de probabilidades não nulas, podem ser mutuamente exclusivos.
III – Se A e B são eventos, 0 < P[B] < 1, e se B é o complemento de B, então
P[A] = P[A/ B]P[B] + P[A/ B ]P[ B ].
IV – Se A e B são eventos de probabilidades não nulas tais que a probabilidade condicional de A ocorrer dado
que B ocorre é igual à probabilidade incondicional de A ocorrer, então A e B são independentes.
Estão corretas as afirmativas:
(A) I e II, apenas;
(B) III e IV, apenas;
(C) I, II e IV, apenas;
(D) II, III e IV, apenas;
(E) I, II, III e IV.
Solução
LETRA (B)
I – (F) São chamados de mutuamente excludentes;
II – (F) Se P ( A ∩ B ) = P ( A). P ( B ) , então A e B são independentes;
Se P ( A ∩ B ) = 0 , então A e B são eventos mutuamente excludentes;
III – (V) Teorema da Probabilidade Total. Conseqüência da definição de Probabilidade Condicional;
P( A ∩ B)
IV – (V) Pois, sendo P( A / B) =
. Se P ( A ∩ B) = P( A). P( B) , então A e B são independentes e
P( B)
P( A) . P( B)
portanto P( A / B) =
= P( A) .
P( B)
As questões 02 e 03 dizem respeito ao enunciado seguinte: a distribuição de probabilidades dada abaixo referese aos atributos idade e violação das leis de trânsito. Represente por Ei os eventos elementares associados à
idade e por Fi os eventos elementares associados à violação das leis de trânsito.
02) Assinale a opção que dá a probabilidade de que um motorista escolhido ao acaso não tenha cometido
nenhuma violação de trânsito nos últimos 12 meses dado que o mesmo tenha mais de 21 anos.
a) 0,75
b) 0,60
c) 0,45
d) 0,66
e) 0,00
Solução
LETRA (A)
Sejam os seguintes eventos:
F1: nenhuma violação das leis de trânsito nos últimos 6 meses;
E2: idade maior que 22 anos.
P ( F 1 ∩ E 2)
. Da tabela, tem-se:
Quer se calcular P( F1 / E 2) =
P ( E 2)
P( F1 ∩ E 2) = 0,45 ; P( E 2) = 0,45 + 0,14 + 0,01 = 0,60 . Daí, P( F1 / E 2) =
0,45
= 0,75 .
0,6
03) Assinale a opção que corresponde à probabilidade da união de E1 e F2.
a) 0,12
b) 0,26
c) 0,54
d) 0,66
e) 0,37
Solução
LETRA (C)
P ( E1 ∪ F 2) = P ( E1) + P ( F 2) − P ( E1 ∩ F 2) . Da tabela tem-se:
P ( E1) = 0,23 + 0,12 + 0,05 = 0,4 ; P ( F 2) = 0,12 + 0,14 = 0,26 ; P ( E1 ∩ F 2) = 0,12 .
Logo, P ( E1 ∪ F 2) = 0,4 + 0,26 − 0,12 = 0,54 .
04) O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com probabilidades 0,3,
0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do preço da ação amanhã se seu preço hoje
é R$ 8,00.
a) R$ 7,90
b) R$ 8,00
c) R$ 7,00
d) R$ 9,00
e) R$ 8,50
Solução
LETRA (A)
Seja X o preço da ação amanhã. Deseja-se calcular o valor esperado de
X , isto é,
n
E ( X ) = ∑ xi p ( xi ) = 8,00(0,3) + 9,00(0,3) + 7,00(0,4) = 2,4 + 2,7 + 2,8 = 7,90 .
i =1
05) Verificou-se que os valores arrecadados dos tributos em uma cidade apresentam uma distribuição normal.
Sabe-se que 10% destes valores são superiores a R$ 1.770,00 e que 60% são menores ou iguais a R$ 1.350,00.
Dados: Valores das probabilidades P (0 ≤ Z ≤ z) para a distribuição normal padrão. A média e o desvio padrão
destes valores calculados utilizando a tabela acima são, respectivamente:
(A) R$ 1.250,00 e R$ 400,00
(B) R$ 1.250,00 e R$ 20,00
(C) R$ 1.410,00 e R$ 400,00
(D) R$ 1.410,00 e R$ 20,00
(E) R$ 1.560,00 e R$ 20,00
Solução
LETRA (A)
Seja X a variável que assume os valores dos tributos. Do enunciado tem-se que
P ( X > 1770) = 0,1 e P ( X ≤ 1350) = 0,6 . Transformando a variável X para a variável Z , tem-se:
X − µ 1770 − µ
1770 − µ
P(
) = 0,1 ⇒ P( Z >
) = 0,1 ⇒
>
σ
σ
σ
Da tabela P(0 ≤ Z ≤ 1,30) = 0,5 − 0,1 = 0,4 ⇒
P(
X −µ
σ
≤
1350 − µ
σ
) = 0,6 ⇒ P( Z ≤
1770 − µ
1350 − µ
σ
Da tabela P(0 ≤ Z ≤ 0,25) = 0,6 − 0,5 = 0,1 ⇒
Logo,
σ
= 1,3 ⇒ µ = 1770 − 1,3σ .
) = 0,6 ⇒
1350 − µ
σ
= 0,25 ⇒ µ = 1350 − 0,25σ .
1350 − 0,25σ = 1770 − 1,3σ ⇒ 1,05σ = 420 ⇒ σ = 400;
µ = 1350 − 0,4 x 400 = 1350 − 100 = 1250
06) Uma revenda de automóveis vende carros montados no Brasil. O proprietário está interessado em estimar o
valor médio θ dos gastos extras com opcionais casados com a compra de carros novos. Uma amostra de 16
vendas produziu um valor médio de R$1.062,00 com desvio padrão de R$ 144,00. Assinale a opção que dá os
limites de confiança para θ com coeficiente de 98%. A tabela abaixo dá os quantis x, de ordem γ,
P{Tr ≤ x} = γ , da distribuição Tr de Student com r graus de liberdade. Despreze centavos.
a) [R$ 955,00; R$ 1.168,00]
c) [R$ 990,00; R$ 1.134,00]
e) [R$ 938,00; R$ 1.186,00]
b) [R$ 968,00; R$ 1.155,00]
d) [R$ 997,00; R$ 1.124,00]
Solução
LETRA (A)
Do
enunciado
tem-se
n = 16 < 30 ;
r = n − 1 = 16 − 1 = 15 graus de liberdade .
X = 1062,00 e s = 144,00 ;
α = 1 − 98% = 0,02 = 2 % ;
O intervalo de confiança será dado por: P ( X − tα . s X < µ < X + tα . s X ) = 1 − α .
Determinação de s X =
s
=
144
n
Determinação de t r , α % = t15 ,1%
144
= 36 ;
4
16
= 2,947 (da tabela ) .
=
Determinação do IC:
P(1062 − 2,947 x36 < µ < 1062 + 2,947 x36) = 0,98 ⇒
P(1062 − 106,092 < µ < 1062 + 106,092) = 0,98 ⇒
P(955,908 < µ < 1168,092) = 0,98.
Desprezando os centavos, tem-se [R$ 955,00; R$1.168,00]
07) Considere o teste da hipótese H : µ =100 contra alternativa A : µ ≠ 100 em uma amostra da normal com
média µ e variância σ². O valor da estatística teste t com distribuição de Student sob a hipótese H : µ =100 é de
–1,7864 e sabe-se que P(t≥1,7864) = 0,0446.Suponha que a probabilidade de erro do tipo I esteja sendo
controlada em 5%. Assinale a resposta correta.
a) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua H : µ = 100.
b) Como o valor probabilístico do teste é 0,0446 conclua A: µ ≠ 100.
c) Como o valor probabilístico do teste é 0,0892 não há evidência para rejeitar H : µ = 100.
d) Como o valor probabilístico do teste é 0,0223 conclua A: µ ≠ 100.
e) Não se pode tirar nenhuma conclusão, pois o tamanho da amostra, a média amostral e o desvio padrão
amostral não foram dados.
Solução
LETRA (C)
Como temos um teste bilateral o p-valor para este teste será 2x(0,0446) = 0,0892. Sendo t crítico = −1,7864 ,
conclui-se que o valor probabilístico do teste 0,0892 encontra-se na região de não rejeição de H, logo não
há evidência para rejeitar H : µ = 100.
08) As estatísticas a seguir foram obtidas de observações realizadas em 100 indivíduos com relação a duas
características X e Y.
O coeficiente de correlação amostral entre x e y é igual a:
(A) – 0,36;
(B) – 0,18;
(C) 0,44;
(D) 0,72;
(E) 0,80.
Solução
LETRA (D)
Sabemos que o coeficiente de correlação r é dado por:
∑ (x
100
Cov( xy )
, onde: Cov( xy ) =
SxSy
os dados da questão tem-se:
r=
i =1
i
)(
− x yi − y
)
∑ (x
100
; Sx =
100
i =1
−x
i
100
)
∑ (y
100
2
e Sy =
i =1
i
−y
100
)
2
. Desenvolvendo
Daí,
43,2
Cov( xy )
43,2
r=
= 100 =
= 0,72
5 12
SxSy
60
x
10 10
09) Dado um conjunto de pontos (x1 , y1), (x2 , y2),...,(xn , yn), observações de duas variáveis aleatórias
contínuas X e Y, a regressão linear de Y em X é obtida ajustando-se uma reta y* = a* + b*x ao conjunto de
pontos. Se y*i é o valor obtido na reta ajustada correspondente à observação xi, i = 1, 2,..,n, a reta de regressão
será aquela tal que os coeficientes a* e b* são calculados de modo a:
∑ (y
n
(A) maximizar, em relação a a e b,
i =1
n
(B) minimizar, em relação a a e b,
(D) maximizar
∑ (y
i =1
n
2
i =1
)
− a − bxi ) ;
2
i
i
− y i∗ = ∑ ( y i − a − bxi ) ;
∑ (y
i
− y i∗
i =1
n
) = ∑ (y
∑ (y
i =1
n
(C) minimizar, em relação a a e b,
i
− y i∗
n
i =1
n
) = ∑ (y
2
i =1
− a − bxi ) ;
2
i
− xi ) = 0 ;
2
i
n
n
(E) maximizar, em relação a a e b, a ∑ ( y i − xi ) − b ∑ ( y i − xi ) = 0 ,
i =1
2
i =1
Solução
LETRA (C)
O enunciado refere-se a determinação da reta de regressão linear utilizando-se o método dos mínimos
quadrados, no qual os coeficientes a∗ e b∗ são determinados de maneira a minimizar a equação
n
∗
n
∑ ( yi − yi ) 2 = ∑ ( yi − a − bxi ) 2 , tendo em vista yi ∗ = a + bxi .
i =1
i =1