Quadratura de Gauss-Legendre
A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas
para polinômios de grau ≤ 2n - 1. Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos
de integração sejam igualmente espaçados.
Obs.: Onde n são pontos distintos utilizados.
Graficamente:
Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível
da área sob a curva.
Então, considerando dois pontos (n=2), o trabalho é determinar uma fórmula do tipo:
De modo que ela seja exata para polinômios de grau ≤ 3.
Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1],
representando em:
Dizer que a fórmula é exata para polinômios de grau ≤ 3 equivale dizer que a fórmula é exata para
, , e Assim:
Chamaremos I
Chamaremos II
Chamaremos III
Chamaremos IV
Podemos reunir I, II, III e IV em um sistema não linear de ordem 4:
" !
Cuja solução é:
#
#
Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t:
x
(1,b)
b
(-1, a)
a
-1
1
t
Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então,
tomando a equação da reta, temos que:
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De modo que:
Assim:
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&' (
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Exemplo: Calcular *
+ usando a quadratura de Gauss Legendre com dois
,
pontos.
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