UNIdERSITÁRIO
VUNESP 2003 – EXATAS
MATEMÁTICA
Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é
possível colorir o mapa, se:
1. Várias tábuas iguais estão em uma madeireira.A espessura de
a) os países P e S forem coloridos com cores distintas?
cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocandose uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes,
tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.
b) os países P e S forem coloridos com a mesma cor?
Resolução
a)
Determine, ao final de 9 dessas operações,
Q
R
S
Para o país P há 4 possibilidades (cores) e, então,
para o país S, 3 possibilidades.
a) quantas tábuas terá a pilha.
b) a altura, em metros, da pilha.
Para os países R e Q restam, para cada um, 2 possibilidades (cores).
Resolução
A regra do produto nos dá
a) Número de tábuas por etapa:
1a
2a
3a
..
.
P
4 . 3 . 2 . 2 = 48
1
2
4
..
.
maneiras diferentes de colorirmos o mapa.
b) Para os países P e S há 4 possibilidades.
A seqüência é uma PG na qual a 9a etapa nos dá
Daí, para os países R e Q há, para cada um, 3
possibilidades.
8
a9 = 1 . 2 = 256 tábuas
A regra do produto nos dá
b) A altura da pilha é
4 . 3 . 3 = 36
256 . 0,5 = 128 cm
= 1,28 m
maneiras diferentes de colorirmos o mapa.
2. Uma função de variável real satisfaz a condição
4. Aumentando em 2 cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um
f(x + 2) = 2f(x) + f(1), qualquer que seja a variável x.
cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216 cm2, em
relação à do cubo C1.
Sabendo-se que f(3) = 6, determine o valor de
a) f(1).
C2
C1
b) f(5).
a+2
a
Determine:
Resolução
Se f(x + 2) = 2f(x) + f(1) e f(3) = 6 temos:
a) a medida da aresta do cubo C1;
a) f(3) = f(1 + 2) = 2f(1) + f(1) = 3f(1)
b) o volume do cubo C2.
Daí, 3f(1) = 6 Þ f(1) = 2
Resolução
b) f(5) = f(3 + 2) = 2f(3) + f(1) =
= 2 . 6 + 2 = 14 Þ f(5) = 14
a) Nas condições oferecidas, temos:
6a2 + 216
6a2 + 216
24a
a
3. Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa
mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que
países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos
com a mesma cor.
P
Q
R
S
= 6 . (a + 2)2
= 6a2 + 24a + 24
= 192
= 8 cm
b) O volume do cubo C2 é:
V2 = (a + 2)3 = (8 + 2)3
V2 = 1000 cm3
1
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5. Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é
b) A equação de r:
dada pelo gráfico seguinte.
x y 1
3 0 1 =0
4 2 1
2x – y – 6 = 0
O coeficiente angular de r é
m=-
2
( -1)
m=2
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) o número total de alunos do curso e o número de alunos
com no mínimo 19 anos.
7. Sejam a e b constantes reais, com a > 0 e b > 0, tais que
log10a = 0,5 e log10b = 0,7.
b) escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua
idade ser no mínimo 19 anos ou ser exatamente 16 anos.
a) Calcule log10ab, onde ab indica o produto de a e b.
b) Determine o valor de x Î R que satisfaz a equação
Resolução
ab = 1ab6 .
10 x
2
a) O número total de alunos é dado por:
4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20
Resolução
O número de alunos com a idade mínima de 19 anos
é dado por:
a) log10 (ab) = log10 a + log10 b = 0,5 + 0,7 = 1,2
1+2+5=8
b)
b) A probabilidade de se escolher ao acaso um aluno
8
com idade mínima de 19 anos é
, e de sua idade
20
4
ser exatamente 16 anos é
.
20
ab 10 x
= (ab) 2
ab log = log (ab)
10 ab x . log = 2 log (ab)
10 x
10
10
Logo, a probabilidade de um aluno ser escolhido ao
acaso e ter idade mínima de 19 anos, ou sua idade
exata ser 16 anos, é dada por:
2
10
10
x . log10 ab - log10 10 = 2 . log10 (ab)
x . (1,2 – 1) = 2 . 1,2
8
4
12
+
=
= 0,6 = 60%
20 20 20
0,2x = 2,4
6. Considere a circunferência l, de equação (x – 3)2 + y2 = 5.
[=
a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a l, tal que
y = 2 e x > 3.
= 8. Numa fábrica de cerâmica, produzem-se lajotas triangulares.
b) Se r é a reta que passa pelo centro (3,0) de l e por P, dê a
equação e o coeficiente angular de r.
Cada peça tem a forma de um triângulo isósceles cujos lados
iguais medem 10 cm, e o ângulo da base tem medida x, como
mostra a figura.
Resolução
a) A circunferência l tem centro C = (3, 0) e raio r = 5 .
Para y = 2, temos
(x – 3)2 + 22 = 5
x = 4 ou x = 2
a) Determine a altura h(x), a base b(x) e a área A(x) de cada
peça, em função de senx e cosx.
Como x > 3, temos
b) Determine x, de modo que A(x) seja igual a 50 cm2.
x=4
Assim: P = (4, 2)
2
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Resolução
Resolução
a)
a)
h( x)
10
h(x) = (10 . sen x) cm
D AHC: sen x =
D ABC
BC
40
=
sen x sen y
Como AH é mediana relativa a BC , temos:
b(x)
cos x = 2
10
b(x) = (20 . cos x) cm
BC .
3
3
= 40 .
7
4
BC = 70 km
b( x) . h(x) 10 . sen x . 20 . cos x
=
2
2
A(x) = (100 . sen x . cos x) cm2
b) D ADE ~ D ABC (pois DE ,, BC )
A( x) =
30 DE
=
50 70
b) A(x) = 50 cm2
DE = 42 km
10. Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plás-
100 . sen x . cos x = 50
50 . 2 . sen x . cos x = 50
sen 2x = 1
tico transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de
medida R cm foi cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia
tem a forma de uma cunha esférica, como representado na
figura.
Como 0o < x < 90o, temos:
2x = 90o
x = 45o
9. Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias,
conforme mostra a figura.
Sabendo-se que a área de uma superfície esférica de raio R cm
é 4pR2 cm2, determine, em função de p e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar
cada fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas
de plástico), ou seja, qual é a área da superfície total de
cada fatia.
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos
x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e
seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as
cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será
paralela a BC.
Resolução
a) A área do fuso esférico é
a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros
tem a rodovia BC.
AF =
4 pR 2
12
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE.
$) =
π5 cm2
3
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b) A área da cunha esférica é
Ac =
pR2
pR2
+2 .
3
2
$F =
π5 FÍSICA
O motociclista salta o vão com certa velocidade u0 e alcança a
plataforma inferior, tocando-a com as duas rodas da motocicleta ao mesmo tempo. Sabendo-se que a distância entre os
eixos das rodas é 1,0 m e admitindo g = 10 m/s2, determine:
11. Um veículo se desloca em trajetória retilínea e sua velocidade
em função do tempo é apresentada na figura.
a) o tempo gasto entre os instantes em que ele deixa a plataforma superior e atinge a inferior.
b) qual é a menor velocidade com que o motociclista deve
deixar a plataforma superior, para que não caia no fosso.
Resolução
a) Identifique o tipo de movimento do veículo nos intervalos
de tempo de 0 a 10 s, de 10 a 30 s e de 30 a 40 s, respectivamente.
Decompondo o movimento na vertical e horizontal temos:
a) Na vertical:
b) Calcule a velocidade média do veículo no intervalo de tempo entre 0 e 40 s.
Resolução
a) De 0 a 10 s:
A velocidade varia linearmente e é crescente. Portanto,
o movimento é uniformemente acelerado e progressivo
(v > 0).
g 2
t
2
1,25 = 5 . t2 Þ t = 0,5 s
s – s0 = v0t +
De 10 s a 30 s:
b) Na horizontal:
A velocidade é constante.
O movimento é uniforme e progressivo (v > 0).
De 30 s a 40 s:
s – s0 = v . t
4 = v . 0,5
v = 8 m/s
A velocidade varia linearmente e é decrescente. Portanto, o movimento é uniformemente retardado e progressivo (v > 0).
Obs.: Para que as duas rodas toquem o solo ao
mesmo tempo é necessário que a roda dianteira
esteja no mesmo nível que a roda traseira no
momento em que esta deixar a plataforma.
b) Calculando a área sob o gráfico, temos:
A=
(40 + 20) . 10
= 600
2
vm =
13. Considere dois blocos A e B, com massas mA e mB respec-
Ds 600
=
Dt
40
tivamente, em um plano inclinado, como apresentado na figura.
vm = 15 m/s
12. Um motociclista deseja saltar um fosso de largura d = 4,0 m,
que separa duas plataformas horizontais. As plataformas estão em níveis diferentes, sendo que a primeira encontra-se a
uma altura h = 1,25 m acima do nível da segunda, como mostra a figura a seguir.
Desprezando forças de atrito, representando a aceleração da
gravidade por g e utilizando dados da tabela
4
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q
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cos q
a) Sendo a energia cinética igual a:
sen q
30o
3 /2
1/2
60o
1/2
3 /2
a) determine a razão mA/mB para que os blocos A e B permaneçam em equilíbrio estático.
EA =
m A VA2
à EA = 2mA Þ EA = 6mB
2
EB =
mB VB2
à EB = 18mB
2
Assim: R =
b) determine a razão mA/mB para que o bloco A desça o plano com aceleração g/4.
EA
6m B
ÃR=
Ã5=
EB
18mB
b) Aplicando-se o teorema do impulso, resulta:
I = DQ
Fm . Dt = Q – Q0
Fm . 8 . 10–4 = 2(4 – 2)
Fm = 5000 N
Resolução
a)
15. O volume de líquido deslocado pela porção submersa de um
bloco que nele está flutuando é V0. A seguir, ata-se ao bloco
uma esfera mais densa que o líquido, por meio de um fio
muito fino, como mostra a figura. Verifica-se que o bloco continua flutuando, mas o volume total de líquido deslocado passa a ser V0 + 2V.
em equilíbrio Þ FR = 0 Þ Pt = P
mA . g
P
= mB . g à $ = 2
P%
b) Se o bloco A desce acelerado com a =
g
, teremos:
4
Sabendo-se que a massa específica do líquido é rL, que o
volume da esfera é V, e representando a aceleração da gravidade por g, encontre, em função dos dados apresentados,
Pt – PB = (mA + mB) . a
mA . g
g
- mB . g = (m A + mB ) .
2
4
P$
=
P%
a) a massa específica r da esfera;
b) a tensão T no fio.
Resolução
14. Duas massas A e B locomovem-se no mesmo sentido ao lon-
go do eixo x, com velocidades vA = 2,0 m/s e vB = 6,0 m/s,
respectivamente. Em dado momento, a massa B alcança A,
colidindo elasticamente com ela. Imediatamente após a colisão, a massa B fica em repouso e a massa A é impulsionada
com velocidade uA = 4,0 m/s na direção x.
a) Calcule a razão R = EA/EB entre as energias cinéticas das
massas A e B antes da colisão.
a) 1o) E = P
rL V0g = mCg
b) Calcule o valor da força média que agiu sobre a massa A,
sabendo-se que seu valor é mA = 2,0 kg e que as massas
estiveram em contato durante 8,0 × 10–4 s.
mC = rLV0
2o) E1 + E2 = PC + P’
rL (V0 + 2V)g = (mC + me)g
rL V0 + 2 rL V = rL V0 + me
me = 2 rL V
Resolução
me
V
2 rL V
r=
V
r = 2 rL
Da conservação da quantidade de movimento, temos
que:
r=
Qantes = Qdepois
’
’
QA + QB = Q A + QB
mAVA + mBVB = m A VA’ + mB VB’
2mA + 6mB = 4mA
mA = 3mB
5
b) T + E1 = P’
T + rL Vg = meg
T + rL Vg = 2 rLVg
T = rL Vg
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16. A figura representa um espelho plano E e uma linha CD a sua
17. Uma onda plana de freqüência f = 20 Hz, propagando-se com
frente. Há um ponto xA no eixo x, de onde um dos olhos do
observador vê, por reflexão, a linha em toda a sua extensão e
ocupando o espelho todo.
velocidade v1 = 340 m/s no meio 1, refrata-se ao incidir na
superfície de separação entre o meio 1 e o meio 2, como indicado na figura.
30
meio 1
meio 2
o
45
o
Sabendo-se que as frentes de onda plana incidente e refratada formam, com a superfície de separação, ângulos de 30o e
45o respectivamente, determine, utilizando a tabela seguinte
a) Determine o valor de xA.
b) A seguir, desloca-se o espelho 10 cm para baixo, paralelamente ao eixo y. Determine as coordenadas xB e yB do
ponto onde deve estar o olho do observador para que ele
possa ver a linha CD ocupando todo o espelho.
q
sen q
cos q
30o
1/2
3 /2
45o
2 /2
2 /2
60o
3 /2
1/2
a) a velocidade v2 da onda refratada no meio 2.
b) o comprimento de onda l2 da onda refratada no meio 2.
Resolução
Resolução
a) Do gráfico, o valor xA = 100 cm.
a)
n1 sen i1 = n2 sen i2
n1 sen 30o = n2 sen 45o
1
2
n1 = n 2
2
2
n1 = 2 n2
n1 V1 = n2 V2
2 n2 340 = n2 V2
V2 =
b)
340 m/s
V 2 = l2 f
2 . 340 = l2 20
l2 = P
b) Do gráfico, as coordenadas xA = 100 cm e yA =
= – 30 cm.
18. Um gás, que se comporta como gás ideal, sofre expansão sem
alteração de temperatura, quando recebe uma quantidade de
calor Q = 6 J.
a) Determine o valor DE da variação da energia interna do
gás.
b) Determine o valor do trabalho T realizado pelo gás durante esse processo.
Resolução
a) O gás se comporta como gás ideal; então, temos:
DE = 0 (T = cte).
6
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b) Como DE = 0, temos:
Resolução
a) Volume molar a 27o C e 1 atm:
DE = Q – t Þ 0 = Q – t
–Q=–t \
Como
Q=6J Þ
t=Q
PV = nRT
1 . V = 1 . 0,082 . 300
V = 24,6 L
t=6J
6 NaN3(s) ———— 9 N2(g)
6 mol ———— 9 . 24,6 L
n ———— 73,8 L
19. Uma lâmpada incandescente (de filamento) apresenta em seu
rótulo as seguintes especificações: 60W e 120 V.
Determine
n=
a) a corrente elétrica I que deverá circular pela lâmpada, se
ela for conectada a uma fonte de 120 V.
b) t = constante; V2 =
b) a resistência elétrica R apresentada pela lâmpada, supondo que ela esteja funcionando de acordo com as especificações.
1
1
. V1 = . 73,8 = 24,6 L
3
3
P1V1 = P2V2
1 . 73,8 = P2 . 24,6
P2 = 3 atm
Resolução
Especificações da lâmpada: 60 W, 120 V
21. Dados os compostos I, II e III, a seguir:
a) A corrente é obtida através da fórmula:
P=U.i Þ i=
6 . 73,8
= 2 mol NaN3
9 . 24,6
Composto I:
CH3
|
H2C = CH – C – CH3
|
CH3
P
U
60
i=
Þ i = 0,5 A
120
b) Através da corrente obtida no item a e da tensão da
lâmpada, obtemos a resistência:
Tebulição = 42oC
Composto II:
H2C = CH – CH2 – CH2 – CH2 – CH3
U=R.i
120 = R . 0,5
R = 240 W
Tebulição = 63oC
Composto III:
H2C = CH – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – CH3
a) Quais os nomes dos compostos I e II?
QUÍMICA
b) Os compostos I e II apresentam a mesma massa molar e
diferentes temperaturas de ebulição. Comparando com as
temperaturas de ebulição destes compostos, o que é possível afirmar sobre a temperatura de ebulição do composto
III? Justifique sua resposta.
20. Os automóveis modernos estão equipados com air bags (bol-
sas de ar) para proteger os ocupantes em caso de colisão.
Muitos deles são inflados com nitrogênio, N2, gás liberado na
reação muito rápida entre azida de sódio, NaN3, e o óxido de
ferro III, iniciada por centelha elétrica. A equação para a reação é:
Resolução
a) I. 3,3-dimetil-1-buteno.
II. 1-hexeno.
6 NaN3 (s) + Fe2O3 (s) ® 3 Na2O (s) + 2 Fe (s) + 9 N2 (g)
b) A temperatura de ebulição de III é maior que 63o C,
pois II e III apresentam cadeia carbônica normal e o
conteúdo carbônico de III é maior que o de II.
a) Quantos mols de azida de sódio serão necessários para
produzir 73,8 litros de nitrogênio (volume do air bag cheio)
a 27°C e 1 atm de pressão?
22. No descarte de embalagens de produtos químicos, é impor-
Dados: R = 0,082 atm . L/mol . K.
tante que elas contenham o mínimo possível de resíduos, evitando ou minimizando conseqüências indesejáveis. Sabendo
que, depois de utilizadas, em cada embalagem de 1 litro de
NaOH sólido restam 4 gramas do produto, considere os seguintes procedimentos:
b) Nesta mesma temperatura, qual será a pressão interna do
air bag após a reação se, durante uma colisão, o mesmo
for comprimido a um terço do seu volume?
7
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embalagem I: uma única lavagem, com 1 L de água.
embalagem II: duas lavagens, com 0,5 L de água em cada vez.
a) Escreva a equação para a reação de dissociação e calcule
a concentração dos íons hidroxila, em mol/L, para a solução resultante no frasco 2.
Dados: massas molares: Na = 23 g/mol, O = 16 g/mol e
H = 1 g/mol.
b) Em qual dos frascos a solução terá valor de pH mais elevado? Justifique.
a) Qual a concentração de NaOH, em mol/L, na solução resultante da lavagem da embalagem I?
Resolução
a) 1 Ca(OH)2(s) ® 1 Ca2+(aq) + 2 OH–(aq)
s
s
2s
b) Considerando que, após cada lavagem, restam 0,005 L de
solução no frasco, determine a concentração de NaOH,
em mol/L, na solução resultante da segunda lavagem da
embalagem II e responda: qual dos dois procedimentos de
lavagem foi mais eficiente?
1 mol ¬¾¾¾¾¾¾¾¾® 2 mol
0,023 mol ¬¾¾¾¾¾¾¾¾® x
x = 0,046 mol/L
Resolução
b) Frasco 4.
a) nNaOH =
A solução mais básica será aquela de maior solubilidade e, portanto, terá o maior valor de pH.
m
4g
=
= 0,1 mol
M 40 g
Molaridade = 0,1 mol/L
24. O cobre 64
n
5 . 10 -3 L
, n = 5 . 10–4 mol ou
9
a) Qual a massa de cobre 64 restante, em miligramas, após 2
dias e 16 horas, se sua massa inicial era de 32 mg?
2,0 . 10–2 g de NaOH
b) Quando um átomo de cobre 64 sofrer decaimento, emitindo duas partículas a, qual o número de prótons e nêutrons
no átomo formado?
Embalagem II, primeira lavagem:
0,1 mol de NaOH
= 2 . 10–1 mol/L
0,5 L
Primeiro resíduo: 0,2 =
64
29 Cu
é usado na forma de acetato de cobre para
investigar tumores no cérebro. Sabendo-se que a meia vida
deste radioisótopo é de 12,8 horas, pergunta-se:
b) Resíduo da embalagem I
0,1 =
4
n
Resolução
a) 2 dias e 16 horas = 64 horas
, n = 1 . 10–3 mol,
5 . 10 -3
que corresponde a 0,04 g de NaOH.
Número de meias-vidas =
Massa
Segunda lavagem: como seu volume foi multiplicado
por 100, sua concentração variou para aproximadamente 2 . 10–3 mol/L de NaOH.
No de
meias-vidas
Segundo resíduo:
n
2 . 10–3 =
, n = 1,0 . 10–5 mol ou
5 . 10 -3
m=
b)
Concluindo-se que o segundo experimento foi mais
eficiente.
1
2
3
4
Mg(OH)2
Ca(OH)2
Sr(OH)2
Ba(OH)2
0,000 15
0,023
0,063
0,216
m0
2
x
64
29 Cu
56 :
25 E
hidróxido de metal alcalino terroso, conforme a tabela seguinte. A cada um deles foi adicionada água até que os volumes
finais em todos os frascos fossem de 1 litro. A tabela também
apresenta os valores para a solubilidade de cada um dos
hidróxidos à mesma temperatura.
solubilidade (mol/L)
1
8 mg
2
4 mg
3
2 mg 1 mg
4
5
=
32
25
“ 2
= 1 mg
4
+2 a
+ AZ E
64 = 2 . 4 + A \ A = 56
29 = 2 . (+ 2) + Z \ Z = 25
23. A cada um de quatro frascos foi adicionado um mol de
hidróxido
16 mg
ou
4,0 . 10–4 g de NaOH
frasco
32 mg
64
=5
12,8
25 protóns
56 – 25 = 31 nêutrons
25. Muitos compostos orgânicos sintéticos fazem parte de nosso
cotidiano, tendo as mais diversas aplicações. Por exemplo, a
aspirina, que é muito utilizada como analgésico e antitérmico.
8
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a) Escreva o nome de um grupo funcional presente na molécula da aspirina.
b) A hidrólise da aspirina leva à formação de ácido salicílico (ácido 2-hidroxibenzóico) e de um outro ácido. Escreva a fórmula e o
nome deste ácido.
Resolução
a)
b)
COMENTÁRIOS
Matemática
As provas de Matemática – Exatas, Biológicas – foram absolutamente adequadas, equilibradas, sem exageros ou imprecisões.
Física
As questões de Física apresentaram uma boa distribuição de graus de dificuldades, seguindo a tendência de anos anteriores,
com cálculos simples (com exceção da questão 15, literal) e cobrando conceitos básicos, com predominância de Mecânica.
Química
Uma boa prova, com distribuição homogênea dos assuntos, enunciados corretos e com grau de dificuldade ao alcance de
qualquer candidato que se preparou adequadamente para esta prova específica.
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