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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções aqui apresentadas não consideraram o centímetro
como unidade. De facto, entende-se que o objetivo da consulta das resoluções dos exercícios, na perspetiva do estudante, deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o
desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de ½, o que significa que a cada centímetro
da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções.
Exame Nacional de 2008 (1.ª Fase)
I.
Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a reta r, de perfil, pelas suas projeções. A reta r passa pelo ponto P, dado – a
reta r está definida por um ponto (o ponto P ) e pela sua direção (é paralela ao β2/4). É pedido o ponto de interseção da reta r com o plano ρ.
Nem a reta nem o plano são projetantes, pelo que é necessário o recurso ao método geral da interseção entre retas e planos, que se executa
em três etapas. 1. Em primeiro lugar conduz-se, pela reta r, um plano auxiliar que a contenha. Nesse sentido conduziu-se, pela reta r, um plano
de perfil π. 2. Em seguida determina-se a reta de interseção do plano π (o plano auxiliar) com o plano ρ (o plano dado) – a reta i. A reta i é também uma reta de perfil, que está definida pelos seus traços nos planos de projeção (F e H), pois trata-se do caso geral da interseção entre planos (os dois planos estão definidos pelos seus traços). 3. O ponto de interseção entre a reta r e a reta i é o ponto de interseção entre a reta r e o
plano ρ. Tanto a reta i como a reta r são retas de perfil, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil (o plano π) para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebatimento é o traço frontal do plano π. Rebateu-se o
ponto P e por Pr conduziu-se a reta rr, paralela ao β2/4. É preciso garantir que a reta r seja paralela ao β2/4, em rebatimento. Um processo seria
desenhar, em rebatimento, a reta de interseção do plano π com o β2/4, mas considerou-se que tal procedimento é desnecessário. De facto, para
garantir que a reta r seja paralela ao β2/4, basta que a reta rr faça, com os traços do plano, ângulos de 45º, sendo que os seus traços (que não se
assinalaram, por tal ser desnecessário) têm afastamento e cota positivos, respetivamente o traço horizontal e o traço frontal. Após o rebatimento
da reta r, efetuou-se o rebatimento da reta i. O traço frontal da reta i, porque é um ponto da charneira, é fixo, ou seja, roda sobre si próprio.
Assim sendo, tem-se F2 Fr. Por outro lado, o traço horizontal da reta i, em rebatimento, tem de se situar no eixo X. Há que ter em conta que o
traço horizontal da reta i tem afastamento negativo, mas ainda assim o arco do seu rebatimento tem a mesma amplitude do arco do rebatimento
do ponto P, e roda no mesmo sentido (no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, na solução proposta). Após o rebatimento do traço
horizontal da reta i, desenhou-se ir, passando por Hr e por Fr. O ponto de interseção de rr com ir é Ir – o ponto pedido, em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções do ponto I sobre as projeções homónimas da reta r.
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II.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e B, bem como a reta s, pelas respetivas projeções, em função dos dados. O plano α (o plano
que contém o triângulo) não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, de
forma a construir o triângulo em verdadeira grandeza. Optou-se pelo rebatimento do plano α. Esse rebatimento poderia ter-se processado para
um dos planos de projeção, mas, nesse caso, seria necessário recorrer a uma reta auxiliar do plano (passando pelo ponto A e paralela ou concorrente com a reta s), para definir pelo menos um dos traços do plano. No entanto, optou-se por um rebatimento mais simples e com maior economia de traçados – o rebatimento do plano α para o plano frontal (de frente) que contém o ponto A. Nesse sentido conduziu-se, por A1, o traço
horizontal do plano frontal (de frente) ϕ. Em seguida, determinou-se a charneira do rebatimento, que é a reta de interseção do plano ϕ com o
plano α. A charneira do rebatimento está definida pelo ponto A e pelo ponto M, que é o ponto de interseção do plano ϕ com a reta s. Os pontos
M e A são dois pontos da charneira, pelo que são fixos – rodam sobre si próprios. Assim sendo tem-se, imediatamente, Ar A2 e Mr M2. Como
os outros dois vértices do triângulo são dois pontos da reta s, é necessário rebater a reta s. Já temos um ponto para definir a reta em rebatimento
– o ponto Mr. Falta-nos outro ponto. Recorreu-se ao seu traço frontal, o ponto F. O ponto F foi rebatido pelo triângulo do rebatimento, em função
do seu afastamento em relação ao plano ϕ. Por F2 conduziu-se uma perpendicular à charneira e uma paralela à charneira. Sobre a paralela à charneira marcou-se 1 cm (que é o afastamento do ponto F em relação ao plano ϕ) e construiu-se o triângulo do rebatimento do ponto F, em verdadeira grandeza. Em seguida, com o compasso, fazendo centro na charneira, desenhou-se o arco do rebatimento do ponto F, em verdadeira
grandeza, até à perpendicular à charneira que passa por F2, obtendo-se, assim, Fr. A reta s em rebatimento (sr) está definida por dois pontos – Fr
e Mr. Em seguida, com o compasso, fazendo centro em Ar e com 8,5 cm de raio (a medida dos lados [AB] e [AC] do triângulo), desenhou-se um
arco de circunferência, que nos permitiu determinar Br e Cr, sobre sr. Conduzindo, por Br e por Cr, as perpendiculares à charneira que por eles
passam, determinaram-se as projeções frontais dos pontos B e C, sobre a projeção frontal da reta s. Em seguida determinaram-se as projeções
horizontais dos dois pontos, sobre a projeção horizontal da reta s. A partir das duas projeções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as
projeções da figura.
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III.
Em primeiro lugar representaram-se o ponto O, pelas suas projeções, bem como o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do
sólido (o plano ν), pelo seu traço frontal, em função dos dados. Uma vez que se trata de um cilindro de revolução, com as bases contidas em
planos horizontais (de nível), sabe-se que o seu eixo está contido numa reta vertical (uma reta ortogonal aos planos das bases). O ponto O’, centro da base inferior do sólido, situa-se, assim, na mesma projetante horizontal do ponto O, pelo que os dois pontos têm as suas projeções horizontais coincidentes – O1 O’1. Por outro lado, o ponto O’ tem 2 cm de cota (é dado no enunciado). Este raciocínio permitiu-nos determinar as
projeções do ponto O’, representar o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido (o plano ν’, representado pelo seu traço
frontal) e, em seguida, com o compasso, fazendo centro nas projeções horizontais dos pontos O e O’, e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência que limita a projeção horizontal do sólido. Em seguida desenhou-se a projeção frontal do sólido. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangentes luz/sombra, através das quatro
etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas retas – uma reta r, vertical, paralela às geratrizes da superfície
lateral do sólido, e um raio luminoso l (com a direção convencional da luz). Estas duas retas definem um plano (o plano ) que é paralelo aos
planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). 2. Determinou-se a reta i, que é a reta de interseção do plano (o plano definido
pelas retas r e l ) com o plano da base de referência (a base inferior – o plano ν’). A reta i está definida pelos pontos I e I’, que são os pontos de
interseção das retas r e l, respetivamente, com o plano da base de referência (o plano ν’). 3. Conduziram-se as retas tangentes à base que são
paralelas à reta i – as retas t e t’. Estas são as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base de referência
(o plano ν’). 4. As retas t e t’ são tangentes à base inferior (a base de referência) nos pontos A e B, respetivamente. As geratrizes [AA’] e [BB’] são,
imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes
ao cilindro) – são as geratrizes separatrizes luz/sombra. As geratrizes [AA’] e [BB’] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra. Dada a proveniência da luz (da esquerda, de cima e de trás), a parte da superfície que está iluminada é a parte de
maior afastamento, enquanto que a parte em sombra é a parte de menor afastamento (a parte mais próxima do Plano Frontal de Projeção).
A base inferior do cilindro está em sombra e a sua base superior está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada
[AA’ A’B’ BA ]. Em projeção horizontal, toda a superfície lateral do cilindro é invisível (as geratrizes são projetantes horizontais) – apenas a base
de maior cota do cilindro é visível e está iluminada, pelo que não existe qualquer sombra própria a assinalar, em projeção horizontal. Em projeção frontal, a base de menor cota (que está em sombra) é invisível (é projetante frontal), pelo que a única sombra própria visível é a parte da
superfície lateral do cilindro compreendida entre a geratriz [BB’] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a geratriz [AA’]
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é invisível em projeção frontal, o que se assinalou devidamente. Em seguida determinaram-se as sombras reais de todos os pontos da linha
separatriz luz/sombra. Bs1, B’s1 e As1 situam-se no SPHA e A’s2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projetada do cilindro admite pontos de quebra. Um situa-se entre As1 e A’s2 e o outro entre B’s1 e A’s2. O primeiro ponto de quebra determinou-se atendendo à situação de paralelismo entre
a geratriz [AA’] (que é vertical) e a sua sombra no Plano Frontal de Projeção – um segmento paralelo a um dos planos de projeção produz, nesse
– note que este
plano, uma sombra paralela ao próprio segmento. O segundo ponto de quebra é o ponto de quebra da sombra do arco A’B’
arco produz sombra nos dois planos de projeção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O ponto de quebra da som determinou-se pelo método do plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso l’, passante.
bra do arco A’B’
– o plano da base superior do sólido).
O ponto I’’ é o ponto de interseção do raio luminoso l’ com o plano ν (o plano que contém o arco A’B’
A reta i’, fronto-horizontal e passando por I’’, é, assim, a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ν – a reta i’ corta o arco
no ponto R (note que se determinou, apenas, a projeção horizontal do ponto R). A sombra do ponto R será, assim, o ponto de quebra da
A’B’
. Por R1 conduziu-se a projeção horizontal do raio luminoso que por ele passa e determinou-se Rs, no eixo X – Rs é o ponto
sombra do arco A’B’
. O arco de quebra da sombra do arco A’B’
B’R produz sombra no SPHA e o arco A’R produz sombra no SPFS. A sombra que o arco B’R produz
no SPHA é um outro arco de circunferência, semelhante ao arco B’R – esse arco tem centro em Ov1 (a sombra do ponto O no Plano Horizontal
de Projeção – a sombra virtual de O) e 4 cm de raio (o raio do arco B’R ). Note que a sombra do arco B’R passa necessariamente por Rs e por
B’s1 (é concordante com a sombra da geratriz [BB’] em B’s1). A sombra que o arco A’R produz no SPFS (que é um segmento de elipse) obteve-se
inscrevendo o arco A’R na parte correspondente do quadrado de lados paralelos ao eixo X circunscrito à circunferência que contém o arco A’R
– a parte necessária desse quadrado é 3/4 do quadrado. Em seguida determinou-se a sombra que essa figura produz no Plano Frontal de Projeção, recorrendo tanto a um dos seus vértices (o ponto M), como ao ponto O – Os2 e Ms2 são, respetivamente, as sombras dos pontos O e M no
Plano Frontal de Projeção. Os pontos em que a linha horizontal que passa por Os2 se apoia nas sombras dos lados dessa figura (3/4 do quadrado) são, imediatamente, dois pontos da sombra do arco de elipse. Em seguida conduziu-se, por Os2, uma paralela às sombras dos lados do quadrado e determinaram-se mais dois pontos do arco de elipse – os seus pontos de maior e de menor cota (que correspondem às sombras dos
pontos de menor e de maior afastamento da circunferência da base, respetivamente). Por fim, desenharam-se as sombras das diagonais da figura (que passam por Os2) e transportaram-se, para aí, as sombras dos pontos em que o arco da circunferência da base corta as diagonais do quadrado. Estes procedimentos permitiram-nos determinar sete pontos para desenhar o arco de elipse. Note que um desses pontos é o próprio
A’s2. A esses sete pontos acresce o ponto de quebra, Rs , pelo que temos oito pontos para desenhar o arco de eclipe. Os oito pontos determinados permitem-nos desenhar a curva com alguma precisão. Note que a parte da elipse situada por baixo de A’s2 é uma parte virtual da sombra
(não existe, em termos práticos), bem como a parte da elipse que se situa para baixo do eixo X (é uma sombra virtual, pois situa-se no SPFI). No
entanto, considera-se que o desenho dessas partes da curva é bastante relevante, para melhor «lançar» a curva, à mão livre. Tenha ainda em
conta que o arco da elipse tem de ser concordante com a sombra da geratriz [BB’] (no SPFS) em B’s2. Por fim determinou-se a sombra que o arco
AB da base inferior produz no SPHA. Seria possível averiguar a eventual existência de pontos de quebra na sombra deste arco, mas tal não se
justifica, pois a sombra só pode admitir dois pontos de quebra e já foram ambos determinados. Assim, em função disso mesmo e porque os
seus extremos produzem sombra no SPHA, sabe-se que a sombra do arco AB se situa, na sua totalidade, no SPHA. Assim, determinou-se a
sombra real do ponto O’, o centro da base inferior – O’s1. Com o compasso, fazendo centro em O’s1 e com 4 cm de raio (o raio da base), desenhou-se o arco correspondente à sombra da base no SPHA – o arco As1 Bs1 (que é concordante com a sombra da geratriz [BB’] em Bs1 e é concordante com a sombra da geratriz [AA’] em As1). Note que o arco de circunferência com centro em O’s1 e 4 cm de raio tem necessariamente de
passar por Bs1 e por As1. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projetada do cilindro, atendendo às invisibilidades e às concordâncias referidas, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme – note que as duas sombras do sólido (a projetada e a própria) se identificaram, ambas, com uma mancha clara e uniforme, se bem que com intensidades ligeiramente diferentes.
IV.
Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. O eixo Y é o eixo que sofre uma redução isolada. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes com vista a poder representar, previamente, o objeto em Dupla Projeção Ortogonal. Rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Z), obtendo a
direção do eixo Xr e do eixo Yr (que são perpendiculares entre si no ponto Or). Em seguida efetuou-se a translação do plano XY rebatido, através
da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo
Yr’ é paralelo ao eixo Yr (o eixo Xr’ e o eixo Yr’ são perpendiculares entre si no ponto Or’). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se
as projeções horizontais dos pontos A, E, R e S, em rebatimento, em função das suas coordenadas – A1r , E1r , R1r e S1r . A partir destes dois pontos
construiu-se a projeção horizontal do prisma quadrangular, tendo em atenção todos os dados – uma vez que os pontos A e E pertencem à face
lateral de maior abcissa do prisma, e tendo em conta que os quadrados das bases têm 3 cm de lado, construiu-se a projeção horizontal do prisma.
Considerou-se, para tal, que a base de menor afastamento é o quadrado [ABCD] e que a base de maior afastamento do sólido é o quadrado
[EFGH]. Em seguida representou-se o cubo em projeção horizontal, em rebatimento – os dados permitem-nos deduzir que o cubo tem 3 cm de
aresta. Considerou-se que a face inferior do cubo (a que está contida na face lateral de maior cota do prisma) é o quadrado [RSTU] e que a sua
face superior é o quadrado [R’S’T’U’]. Em seguida efetuaram-se os procedimentos necessários ao rebatimento do plano XZ. Assim, rebateu-se o
plano XZ para o interior da pirâmide axonométrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Y), obtendo a direção do
eixo Xr e do eixo Zr (que são perpendiculares entre si no ponto Or). Em seguida efetuou-se a translação do plano XZ rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação – o eixo Xr’ é paralelo ao eixo Xr e o eixo Zr’ é paralelo ao eixo Zr (o eixo Xr’ e o eixo Zr’ são perpendiculares entre si no ponto Or’). No plano XZ, rebatido e transladado, representaram-se as
projeções frontais dos pontos A, E, R e S, em rebatimento, em função das suas coordenadas – A2r , E2r , R2r e S2r . A partir das construções efetuadas em projeção horizontal (em rebatimento), construiu-se a projeção frontal do sólido composto pelo prisma e pelo cubo. Note que não teria
sido necessário identificar todos os vértices do sólido, pois o excesso de informação gráfica dificulta a leitura gráfica do exercício. No entanto,
optou-se por se identificar todos os vértices para que seja mais fácil entender a sequência dos raciocínios aqui expostos. Os traçados precedentes
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e devidamente explicados permitiram-nos concluir a representação do sólido pretendido, em Dupla Projeção Ortogonal (nos planos XY e XZ,
rebatidos e transladados). Há, agora, que determinar as perspetivas de todos os vértices do sólido e, assim, construir a sua perspetiva. Nesse sentido, pela projeção horizontal do ponto R, em rebatimento (R1r ), conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY (paralela
à perspetiva do eixo Z), que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto R. Pela projeção frontal do ponto R, em rebatimento
(R2r ), conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XZ (paralela à perspetiva do eixo Y), que corresponde à perspetiva da
reta projetante frontal do ponto R. O ponto de concorrência das duas retas é a perspetiva do ponto R. O processo repetiu-se para os restantes
vértices do sólido, determinando-se, assim, as respetivas perspetivas. A partir das perspetivas de todos os vértices do sólido, desenhou-se a perspetiva do sólido resultante da justaposição do prisma e do cubo, ocultando as linhas invisíveis, como pede expressamente o enunciado. Sublinha-se que se trata de um único sólido e não de dois sólidos juntos, pelo que as arestas desse sólido (o sólido composto pelo prisma e pelo cubo)
são linhas que separam fisicamente planos distintos (faces distintas). Assim, o segmento [RS] não é uma aresta do sólido final, pois, nesse sólido,
o segmento não separa duas faces distintas – o segmento [RS] não é uma aresta e não deve ser representada como tal. Na solução apresentada,
o segmento [RS] está representado apenas como uma linha auxiliar (uma linha construtiva), necessária à determinação da perspetiva do sólido final.
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