 NÚMEROS INTEIROS (Z)
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
 NÚMEROS NATURAIS (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
 NÚMEROS RACIONAIS (Q)
São aqueles que podem ser representados através de
uma fração do tipo a sobre b (a/b), com b  0.
 NÚMEROS INTEIROS (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Nota
NQeZQ
 NÚMEROS RACIONAIS (Q)
São aqueles que podem ser representados através de uma
fração do tipo a sobre b (a/b), com b  0.
 NÚMEROS IRRACIONAIS (I)

Nota
NQeZQ
São aqueles que não podem ser obtidos como o
quociente entre dois números inteiros.
Exemplos:
 NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais é definido como a união entre
os conjuntos dos números irracionais e racionais.
 = 3, 1415...
2 = 1, 4142...
3 = 1, 7320...
e = 2, 7182...
R=QI
Visualização:
 NÚMEROS REAIS (R)
 O conjunto dos números reais é definido como a união
entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.
IR
N
Z Q
R=QI
I
Visualização:
Z
N
INTERVALOS
I
Todo número real pode ser representado por um ponto sobre
uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma ereta
pode ser associado a um número real:
Retas dos Números Reais:
INTERVALOS
 Todo número real pode ser representado por um ponto
sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto
sobre uma ereta pode ser associado a um número real:
 INTERVALO ABERTO
(a, b) = ]a, b[ = {x  R/ a < x  b}
Retas dos Números Reais:
+
-
 INTERVALO ABERTO
(a, b) = ]a, b[ = {x  R/ a < x > b}
 INTERVALO FECHADO
[a, B]-={X  R/a ≤ x ≤ b}
 INTERVALO FECHADO
[a, B]-={X  R/a ≤ x ≤ b}
Notação:
Aberto
( ) ou ] [
Fechado
[ ]
> ou <
○ (gráfico)
≥ ou ≤
Notação:
● (gráfico)
Aberto
( ) ou ] [
> ou <
○ (gráfico)
 NÚMEROS NATURAIS (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
1
Fechado
[ ]
≥ ou ≤
● (gráfico)
OPERAÇÕES E PROPRIEDADES
5) Dissociativa — Em toda soma pode-se substituir uma
parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade
é de sentido contrário da anterior.
ADIÇÃO
Um automóvel segue de João Pessoa com destino a
Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se
que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que
Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o
automóvel irá percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma
pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as
distâncias: 285 + 120 = 405km.
Exemplo:
9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi
dissociado em dois outros 5 e 4).
De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
Observe que o zero como parcela não altera a soma e
pode ser retirado.
Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só
número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados.
Exemplo:
20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3
O resultado da operação chama-se soma ou total, e os
números que se somam, parcelas ou termos.
SUBTRAÇÃO
Propriedades
Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta
bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu novo
saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta
antes do depósito?
Para saber, efetuamos uma subtração:
1) Fechamento — A soma de dois números naturais é
sempre um número natural.
Exemplo:
8 + 6 = 14
2 137
 minuendo
- 1 200
 subtraendo
R$ 937,00  resto ou diferença
2) Elemento Neutro — Adicionando-se o número 0 (zero)
a um número natural, o resultado é o próprio número natural,
isto é, o 0 (zero) não influi na adição.
Exemplo:
3+0=3
Denomina-se subtração a diferença entre dois números,
dados numa certa ordem, um terceiro número que, somado ao
segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação
inversa da adição.
O primeiro número recebe o nome de minuendo e o
segundo de subtraendo, e são chamados termos da
subtração. A diferença é chamada de resto.
3) Comutativa — A ordem das parcelas não altera a
soma.
Exemplo:
3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16
4) Associativa — A soma de vários números não se
altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma
efetuada. Os sinais empregados para associações são
denominados:
(
) parênteses
[
] colchetes
{
Propriedades
1) Fechamento: Não é válida para a subtração, pois no
campo dos números naturais, não existe a diferença entre dois
números quando o primeiro é menor que o segundo.
Exemplo:
3–5
} chaves
Exemplos:
8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27
2) Comutativa: Não é válida para a subtração, pois
9 - 0 0 - 9
3) Associativa: Não é válida para a subtração, pois
(15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10
De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c
4) Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos
termos de uma subtração, a diferença não se altera.
Exemplo:
Seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois
termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7
Nota:
Estudando-se as línguas, verificamos a importância da
colocação das vírgulas para entendermos o significado das
sentenças.
Exemplo:
‘Tio Sérgio, André vai ao teatro.”
“Tio, Sérgio André vai ao teatro.”
Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam
significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada.
Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de
associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar
como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na
seqüência:
(
)parênteses
[
]colchetes
{
MULTIPLICAÇÃO
Multiplicar é somar parcelas iguais.
Exemplo:
5 + 5 + 5 = 15
Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada
multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos
aparece é 3 que é chamado multiplicador e o resultado é
chamado de produto.
} chaves
5
X3
15
Exemplo:
A expressão (10-5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10- (5 + 2) = 10 - 7 =
3, são diferentes, daí a importância da associação.
2
 multiplicando
 multiplicador
 produto
Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois
números, um denominado multiplicando e outro multiplicador,
formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando
forem as unidades do segundo. O multiplicando e o
multiplicador são chamados de fatores.
Dividendo
Divisor
Resto
Quociente
Propriedades
Dividendo = divisor x quociente + resto
1) Fechamento — O produto de dois números naturais é
sempre um número natural.
Exemplo:
5 x 2 = 10
Exemplo:
53
6
5
8
 53 = 6 x 8 + 5
2) Elemento Neutro — O número 1 (um) é denominado
de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o
produto.
Exemplo:
10 x 1 = 10
Decomposição em Fatores Primos
Quando um número não é primo, pode ser decomposto
num produto de fatores primos.
A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os
fatores primos divisores de um número natural.
3) Comutativa — A ordem dos fatores não altera o
produto.
Exemplo:
5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20
 Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor
primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o
quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente
até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao
produto de todos os divisores encontrados que serão números
primos.
4) Distributiva em relação à soma e a diferença — Para
se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um
número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos
por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os
resultados.
Exemplo:
1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15
Exemplo:
12 2
6 2
3 3
1
Essa propriedade é chamada distributiva porque o
multiplicador se distribui por todos os termos.
2
12 = 2 x 3, sendo 2 e 3 primos
Quantidade de Divisores de um Número
Natural
5) Para multiplicar uma soma por outra, pode-se
multiplicar cada parcelada primeira pelas parcelas da segunda
e somar os produtos obtidos.
Exemplo:
(6+ 3) x .(2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63
Podemos determinar o total de divisores de um número,
mesmo não se conhecendo todos os divisores.
 Regra: O número total de divisores de um número é
igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos
aumentados (cada expoente) de uma unidade.
DIVISÃO
 Divisão exata
Exemplo:
Vamos determinar o total de divisores de 80.
Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois
números, numa certa ordem, determinar um terceiro que,
multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação
dessa operação é feita com os sinais: ou (/) que se lê:
dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o
segundo divisor e o resultado da operação, quociente.
Exemplo:
15: 3 = 5, pois 5 x 3 = 15
Fatorando-se o número 80 encontraremos:
4
80 = 2 x 5
1
Aumentando-se os expoentes em 1 unidade:
 4+1=5
 1+1=2
Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.
 Divisão Aproximada
Efetuando-se o produto dos expoentes
5 x 2 = 10
Portanto, o número de divisores de 80 é 10.
No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6,
observa-se que não se encontra um número inteiro que,
multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 X 6 = 48 é menor que
53 e 9 X 6 = 54 é maior que 53.
O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6
não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente
aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro
que se comete, quando se soma o número 8 para o quociente,
é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte
definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a
diferença entre o dividendo e o produto do quociente
aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita
assim:
aumentados
Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos
encontrando apenas os divisores positivos desse número.
RAZÕES E PROPORÇÕES
RAZÃO
Sendo a e b dois números racionais, com b  0,
denomina-se razão entre a e b ou razão de a para b o
3
a
quociente b ou a : b.
1)
2)
ESCALA
Denomina-se escala de um desenho a razão entre o
comprimento considerado no desenho e o correspondente
comprimento real, medidas com a mesma unidade.
Observações:
a
A razão b ou a : b pode ser lida das seguintes
maneiras: “razão de a para b” ou “a está para
b” ou simplesmente “a para b”.
escala =
Em toda razão o primeiro número denomina-se
antecedente
e
o
segundo
número,
conseqüente.
a  antecedente
b  consequente
*
As escalas são usadas nos esboços de objetos
(móveis, automóveis, etc.), nas plantas de
casas e terrenos, nos mapas e cartas
geográficas.
Exemplo: No desenho de uma casa, o
comprimento de sala, que é de 8m, está
representado por um segmento de 2
cm. Qual foi a escala utilizada no
desenho?
Ex.:
*
3
A razão de 3 para 5 é 5
*
10 1
A razão de 10 para 20 é 20 = 2
comprimento no desenho: 2 cm
comprimento no real: 8m = 800 cm.
2
1
escala = 800 = 400 ou 1 : 400
o
2 exemplo: numa partida de basquete Portelada
fez 15 arremessos, acertando 9
deles.
a)
Significado: cada centímetro no desenho corresponde
a 400 cm, ou 4 m no real.
Qual a razão do número de acertos para o
número total de arremessos de Portelada?
PROPORÇÃO
Quando duas razões representam
quociente, elas são chamadas razões iguais.
9:3
3
9 : 15 = 15 : 3 = 5  3 para 5 para cada 5
arremessos dados, Portelada acertou 3.
Duas razões são inversas que entre si quando seu
produto é a unidade.
*
240 120
240 120
120 e 240  120  240 = 1

A igualdade entre duas razões é chamada
proporção.
Assim, dizemos que:
Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de
zero, nessa ordem, formam uma proporção quando a
o
o
o
o
razão do 1 para o 2 é igual à razão do 3 para o 4 .
são razões inversas
3 2
2 e 3 são razões inversas
Algumas razões especiais
a c
b = d ou a : b = c : d
Velocidade Média:
a c
Numa proporção b = d
*
Denomina-se velocidade média a razão entre a
distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.
*
distância percorrida
Velocidade Média =
tempo gasto
Os números a, b, c e d são denominados
termos da proporção.
O primeiro e o quarto termo são chamados
extremos, enquanto o segundo e o terceiro
termos são chamados meios.
a:b=c:d
meios
extremos
Ex.: Um automóvel percorreu 294 Km em 4 horas.
Qual foi a velocidade média desse automóvel?
Velocidade Média =
mesmo
3 9
3 9
Ex.: 5 = 15 é uma proporção, pois 5 = 15 são
razões iguais.
240
120
Neste caso, dizemos que 120 e 240 são razões
inversas. Exemplos:
b)
o
4 10
Ex.: 2 e 5
4
10
2 =2e 5 =2
RAZÕES INVERSAS
a)
comprimento no desenho
comprimento real
ou
294km
4h = 73,5 Km/h
a c
b=d
(lê-se: 73,5 quilômetros por hora).
4
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
3 6
3–2 6–4
1 2
Ex.: 2 = 4  3 = 6  3 = 6
Em toda proporção, o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios e vice-versa.
a
4 propriedade: numa proporção a diferença dos
dois primeiros termos está para o segundo termo, assim
como a diferença dos dois últimos termos está para o
quarto termo.
a c
b=da.d=b.c
produto
produto dos meios dos extremos
a c
a–b c–d
b=d a = c
Exemplos: Na proporção
b)
2 10
5 = 15 temos 2.15 = 10.5
na proporção
b)
4
8
9 = 18 temos 4.18 = 8.9
a)
3 6
3–2 6–4
1 2
Ex.: 2 = 4  2 = 4  2 = 4
a
5 propriedade: numa proporção, a soma dos
antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim
como cada antecedente está para o seu conseqüente.
Usando a propriedade fundamental, podemos
calcular valores desconhecidos em uma proporção.
a c
a+b a a+b c
b=db+d=beb+d=d
Ex.: 1 : Calcular o valor de x, sabendo que
3, 5, 2 e x + 1 formam, nessa ordem, uma proporção.
3 6
3+6 3
9 3
Ex.: 2 = 4  2 + 4 = 2  6 = 2
3
2
5=x+1
3 (x + 1) = 2.5 — propriedade fundamental
3x + 3 = 10
3x = 10 – 3
3x = 7
7
x=3
3 6
3+6 6
9 6
2=42+4=46=4
a
6 propriedade: numa proporção, a diferença dos
antecedentes está para a diferença dos conseqüentes,
assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.
OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Uma proporção qualquer pode ser transformada em
uma nova proporção, a partir das seguintes propriedades.
a c
a–b a a–b c
b=db–d=beb–d =d
a
1 propriedade: Numa proporção, a soma dos dois
primeiros termos está para o primeiro termo, assim como
a soma dos dois últimos termos está para o terceiro
termo.
3 6
3–6 3
–3 3
Ex.: 2 = 4  2 – 4 = 2  –2 = 2
DIVISÃO PROPORCIONAL
a c
a+b c+d
b=d a = c
A divisão proporcional pode ser direta, inversa e ao
mesmo tempo direta e inversa.
3 6
3+2 6+4
5 10
Ex.: 2 = 4  3 = 6  3 = 6
DIRETA
a
2 propriedade: numa proporção, a soma dos dois
primeiros termos está para o segundo termo, assim como
a soma dos dois últimos está para o segundo termo,
assim como a soma dos dois últimos termos está para o
quarto termo.
A divisão proporcional direta pode ser estudada em
três partes:
a) Com relação ao número a ser dividido
Exemplo: Uma pessoa divide uma fortuna de
R$ 13.000,00 proporcionalmente as
idades de seus filhos, 3, 4 e 6 anos.
Quanto recebeu cada um?
a c
a+b c+d
b=d a = c
3 6
3+2 6+4
5 10
Ex.: 2 = 4  3 = 6  2 = 4
Resolução:
a
3 propriedade: numa proporção, a diferença dos
primeiros termos está para o primeiro termo, assim como
a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro
termo.
3 + 4 + 5 = 13
13 : 13.000,00
o
3 : x = 3.000,00 (parte do 1 )
13:13.000,00
o
4 : x = 4.000,00 (parte do 2 )
13 : 13.000,00
o
6 : x = 6.000,00 (parte do 3 )
a c
a–b c–d
b=d a = c
5
Regra: O total do número a ser dividido está para a
soma dos proporcionais, assim como cada
proporcional está para a parte que
representa.
Observe a proporção:
2 6
= ou 2 : 3 = 6 : 9.
3 9
INVERSA
9 é a quarta proporcional dos números 2, 3 e 6.
A divisão proporcional inversa praticamente não
existe pois, nesse caso, basta inverter os termos para
transformá-la numa divisão direta.
Consideremos um problema:
Qual é a quarta proporcional dos números
Exemplo: Dividir o número 2730 em partes
inversamente proporcionais.
1
1
1 1 1
4
2
: = : x ou
=
2 3 4
1
x
3
Invertendo-se os termos, a divisão torna-se direta,
assim:
3 2 4
5 3 9
, e invertidos são iguais a , e
5 3 9
3 2 4

1 1 1 1
Temos que 3  4 = 12 e 2
5 3 9 65 65
+ + =
e
= zero
3 2 4 12 12

x. Então:
1
1
1 1
 x =
x=
:
2
12
12 2
65
: 2730
12
Como =
1 1 1
, e ?
2 3 4
65
12: 2730
x=
1 2

12 1
x=
1
6
Como você pode notar, a quarta proporcional dos
1 1 1 1
números , e é .
2 3 4 6
e precisamos dividir proporcionalmente a
5 3 9
, ,
3 2 4
Ache a quarta proporcional dos números:
1)
2, 3 e 4
que são equivalentes a
2 4
Resposta: 3 = x  2  x = 12  x = 12 : 2 = 6
20 18 27
,
e
12 12 12
REGRA DE SOCIEDADE
o
1 Caso: os sócios tendo os capitais diferentes e os
tempos iguais (o mesmo tempo), dividimos o
lucro ou o prejuízo proporcionalmente aos
capitais.
basta dividir 2730 por 65 partes, e então teremos
2730 : 65 = 42
20
equivale a 20 destas partes, ou seja 840
12
o
2 Caso: os sócios tendo os capitais iguais e os
tempos diferentes, dividimos o lucro ou
prejuízo proporcionalmente aos tempos.
o
3 Caso: (Composta): os sócios tendo os capitais e
tempos diferentes, dividimos o lucro ou
prejuízo proporcionalmente ao produto dos
capitais pelos respectivos tempos.
18
equivale a 752
12
27
equivale a 1.134
12
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS SIMPLES
TERCEIRA PROPORCIONAL, QUARTA
PROPORCIONAL, RESOLUÇÃO DE
SISTEMAS USANDO PROPRIEDADES;
PROBLEMAS;
Estudaremos nesta unidade a resolução de questões
envolvendo grandezas diretamente e inversamente
proporcionais.
O QUARTO TERMO DE UMA
PROPORÇÃO: A QUARTA
PROPROCIONAL
Regra de três simples é um processo prático para
resolver problemas que envolvam quatro valores dos
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
6
1,2
400
1,5 = x
1,2 x = 1,5  400
1,5  400
x=
= 500
1,2
PASSOS UTILIZADOS NUMA REGRA DE TRÊS SIMPLES
o
1 ) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
o
2 ) Identificar se as grandezas
inversamente proporcionais.
são
diretamente
Logo, a energia produzida será de 500 watts  hora.
ou
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
o
3 ) Montar a proporção e resolver a equação.
A regra de três composta é utilizada em problema
com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais. Exemplos:
Com uma área de absorção de raios solares de
2
1,2m , uma lancha com motor movido a energia solar
consegue produzir 400 watts  hora de energia.
2
Aumentando-se essa área para 1,5 m , qual será a
energia produzida?
* Em 8 horas, 20 caminhões
3
descarregaram 160m
de
areia.
Em
5
horas,
quantos
caminhões serão necessários
3
para descarregar 125 m ?
Solução
Montamos inicialmente a tabela, colocando em cada
coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha,
as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem.
Tabela
Solução
Tabela
2
Área (m )
1,2
1,5
Energia (Wh)
400
x
Grandeza de espécie
diferentes em
correspondência.
Grandezas de uma
mesma espécie.
Horas
Caminhões
Volumes
8
20
160
5
x
125
Identificação dos tipos de relação
Colocamos inicialmente uma seta para baixo na
a
coluna que contém o x (2 coluna).
Identificação do tipo de relação
Horas
Caminhões
Volumes
Área
Energia
8
20
160
1,2
400
5
x
125
1,5
x
A seguir, devemos comparar cada grandeza com
aquela onde está o x.
Colocar inicialmente uma seta para baixo na coluna
a
que contém o x (2 coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a
energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando –
aumenta), podemos afirmar que as grandezas são
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos
a
uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1
coluna.
Observe que:
 Aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões. A relação
é, pois, inversamente proporcional (seta para cima na
a
1 coluna).
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar
o número de caminhões. A relação é, pois,
a
diretamente proporcional (seta para baixo na 3
coluna).
Montando a proporção e resolvendo a equação
Montando a proporção e resolvendo a equação
Área
Energia
Horas
Caminhões
Volumes
1,2
400
8
20
160
1,5
x
5
x
125
7
Igualamos a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões de acordo com o sentido das
setas.
20 160 5
x = 125  8 
Termos foram invertidos
juros de R$ 2,00 isto representará uma variação grande
ou pequena? Depende. Se ela ocorreu em um ano, podemos dizer que é bem pequena. Mas se ocorreu em um
dia, já não teremos a mesma opinião.
Taxa de Juros
(seta
contrária)
20
A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a
proporção entre os juros e o capital.
1
20 160 5
20 4
x = 125  8 1 = 25 = 5
A taxa de juros deve sempre estar associada a um
período de tempo.
25
x=
5  20
= 25
4
100%
Capital
Logo, serão necessários 25 caminhões.
Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma
taxa porcentual representa uma razão centesimal
fazendo uso do símbolo %.
Razão Centesimal
É toda razão com denominador igual a100.
Assim, temos:
Taxa de Porcentagem
18
100 = 18% (taxa porcentual)
É dada por i%, sendo i o valor dado e % a fração
centesimal.
Entretanto, podemos representar a razão centesimal
na forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou
taxa unitária:
1
i

100 100
1
3
3
3% = 3.
100
100
Exs.: i% = i.

(100 + x)%
Montante
Taxas Porcentuais e Unitárias
PORCENTAGEM

+x%
+ juros
18
100 = 0,18% (taxa unitária)
Relação para o cálculo de porcentagem
TRANSFORMAÇÃO DE UMA FRAÇÃO EM
DÍZIMA PERIÓDICA E VICE-VERSA
P = p.i
Chamaremos:
Determinação de uma fração geratriz
P = porcentagem (valor a ser procurado)
p = principal
i = taxa de porcentagem
Todos os números com expansão decimal finita ou infinita
e periódica sempre são números racionais. Isto significa que
sempre existem frações capazes de representa-los. Estas
frações são denominadas frações geratrizes.
JUROS SIMPLES
Como determinar uma fração
geratriz
Juro é a remuneração paga a um capital.
Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos
montante.
Capital
+ Juros
1º Caso – Números com expansão decimal finita
A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o
número de “ zeros” do denominador:
Montante
Assim, observamos que os juros são a variação
entre o capital e o montante.
816
100
524
52,4 =
10
0035
35

0,035 =
1000 1000
8,16 =
Regime de Juros Simples
Chamamos de regime de juros simples àquele onde
se admite que os juros serão diretamente proporcionais
ao tempo da operação considerada.
Como os juros são a variação entre o capital e o
montante e esta, na prática, ocorre ao longo do tempo, o
valor dos juros deve sempre ser associado ao período de
tempo que foi necessário para gerá-lo.
2º Caso - Dízimas Periódicas
Seja a, bc... nppp... uma dízima periódica onde os
primeiros algarismos, indicados genericamente por
a, b, c... n, não fazem parte do período p.
Exemplo:
abc...np ab...n
será uma geratriz da
99...900...0
dízima periódica a, bc ... nppp ... se:
A fração
Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00 cobra
8
1º - o número de ‘noves’ no denominador for igual
à quantidade de algarismos do período;
2º - houver um ‘zero’ no denominador para cada algarismo
aperiódico (bc... n) após a vírgula.
Exemplo:
5, 8323232... período: 32 (dois “noves” no denominador)
atraso de 1 casa (1 “zero” no denominador)
parte não-periódica: 58
fração geratriz:
5832  58 5.774

990
990
0, 73444...
período: 4 (1 “nove” no denominador)
atraso de duas casas (2 “zeros”)
parte não-periódica: 073
fração geratriz:
0734  073 734 - 73 661


900
900
900
6,034034034... período:
034
(três
“noves”
no
denominador)
não houve atraso no período (não haverá
“zeros” no denominador)
parte não-periódica: 6
fração geratriz:
6034 - 6
999
0, 525252... período: 52 (dois “noves”)
não houve atraso no período (não haverá
“zeros” no denominador)
parte não-periódica: 0
fração geratriz:
052  0 52

99
99
9
EXERCÍCIOS
QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO DE CONCURSOS
01. (TFC) Todo número par pode ser genericamente
representado pela forma geral 2n, onde n é um número
inteiro maior do que zero. Assim, a soma dos quadrados
de dois números pares consecutivos cujo produto é 80 é
dada por:
a) 18
b) 64
c) 104
d) 164
e) 324
02. (TFC) Uma viúva recebeu um terço da herança de seu
marido, e cada um de seus três filhos recebeu um terço
do restante. Sabendo-se que a soma da parte da viúva
com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45.000,00, o
montante total da herança foi de:
a) R$ 50.625,00
b) R$ 67.500,00
c) R$ 81.000,00
d) R$ 90.000,00
e) R$ 101.250,00
03. (TFC) Se x = 0,7867; y =
então:
a) x < y < z
b) x < z < y
c) y < x < z
d) y < z < x
e) z < x < y
2
0, 7867 , e z = (0,7867) ,
04. (TFC) Em uma maratona, um dos participantes desiste ao
completar 2/5 do percurso total da prova. No entanto, se
tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade do
percurso total. Assim, o percurso total da prova era de:
a) 400km
b) 500km
c) 600km
d) 700km
e) 800km
10
05. (TFC) Maria tem 8 reais a mais do que Bruno, mas 15
reais a menos do que Júlia. Se Maria tem x reais, então a
soma dos reais de Júlia e de Bruno é igual a.
12. (AFC) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma
festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a
outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o
anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul
respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco
falou: “Eu sou Maria “. E a de preto disse: “Cláudia é
quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana
sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade,
e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de
identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores
dos
vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram,
respectivamente.
a) preto, branco, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, preto, branco
d) azul, branco, preto
e) branco, azul, preto.
a) 2x – 23
b) 2x – 15
c) 2x – 7
d) 2x + 7
e) 2x + 23
06. (TFC) Em um edifício de apartamentos, exatamente 1/3
dos apartamentos são de três dormitórios, e exatamente
1/7 dos apartamentos de três dormitórios são
apartamentos de frente. Um valor possível para o número
total de apartamentos do edifício é:
a) 42
b) 50
c) 51
d) 56
e) 57
07. (TFC) Uma chamada telefônica de Santo André para São
Paulo custa R$ 0,50 o primeiro minuto e 0,35 o minuto
adicional. Com esta tarifa, a diferença entre o custo total
de três chamadas de 5 minutos e o custo de uma
chamada de 15 minutos é:
a) R$ 0,00
b) R$ 0,15
c) R$ 0,30
d) R$ 0,45
e) R$ 1,00
13. (AFC) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria
e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a
mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se
João é mais moço do que Pedro,então Carlos é mais
velho do que Maria.Ora, Carlos não é mais velho do que
Maria. Então.
a) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais
moço do que Pedro.
b) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm
a mesma idade.
c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.
d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais
moço do que Pedro.
e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia
não têm mesma idade.
08. (TFC) Em um agência dos Correios há apenas selos de
R$ 0,10 e de R$ 0,25. Uma pessoa compra 75 selos
correspondentes a um total de R$ 14,25. Quantos selos
de R$ 0,25 a pessoa comprou?
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
d) 45
14. (AFC) O salário de Sérgio é igual a 3/7 do salário de
Renato. No entanto, se Sérgio tivesse um acréscimo de
R$ 2.400,00 em seu salário, passaria a ter um salário
igual ao de Renato. A soma dos salários de Sérgio e
Renato é:
a) R$ 3.800,00
b) R$ 4.200,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 10.000,00
09. (TFC) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede
10cm, e um de seus catetos mede 6cm. A área deste
triângulo é igual a:
2
a) 24cm
2
b) 30cm
2
c) 40cm
2
d) 48cm
2
e) 60cm
15. (AFC) Se A, B e C são inteiros positivos e consecutivos
tais que A < B < C, qual das seguintes expressões
corresponde, necessariamente, a um número inteiro
ímpar?
a) ABC
b) A + B + C
c) (A + B) (B + C)
d) A + BC
e) (AB) + (BC)
10. (TFC) Os pontos X Y e Z estão todos no mesmo plano. A
distância, em linha reta, do ponto X ao ponto Y é de 30
cm, e do ponto X ao ponto Z é de 22cm. Se d é a
distância em centímetros, também em linha reta, do ponto
Y ao ponto Z, então o conjunto dos possíveis valores para
d é dado por:
a) 8  d  30
b) 8  d  52
c) 22  d  30
d) 22  d  52
e) 30  d  52
16. (AFC) Seja k um inteiro qualquer no intervalo –2 < k  3.
Para que as relações abaixo
5–k7
5–k6
sejam verdadeiros, os símbolos  deve ser substituído
por
a) <
b) 
c) =
d) >
e) 
17. (AFC)
Os
dois
círculos
abaixo
representam,
respectivamente, o conjunto S dos amigos da Sara e o
conjunto P dos amigos de Paula.
11. (AFC) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao
cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em
casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla.
Ora, Raul não briga com Carla.
Logo.
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
S
11
P
Sabendo que a parte sombreada do diagrama não possui
elemento algum, então
a) todo amigo de Paula é também amigo de Sara.
b) todo amigo de Sara é também amigo de Paula.
c) algum amigo de Paula não é amigo de Sara.
d) nenhum amigo de Sara é amigo de Paula.
e) nenhum amigo de Paula é amigo de Sara.
c) 35%
e) 14%
d) 21%
23. (AFTN) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram
então Raul mentiu. Lauro falou a verdade. Se Lauro falou
a verdade há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um
leão feroz nesta sala. Logo,
a) Nestor e Júlia disseram a verdade.
b) Nestor e Lauro mentiram.
c) Raul e Lauro mentiram.
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.
e) Raul e Júlia mentiram.
18. (AFC) Com relação a dois conjuntos quaisquer, Z e P, é
correto afirmar que:
a) Se (Z  P) = P, então P  Z
b) Se (Z  P) = Z, então Z  P
c) Se (Z  P) = , então (Z  P) = 
d) Se (Z  P) = , então Z =  ou P = 
e) Se (Z  P) = P, então Z = 
24. (AFTN) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não
necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e
um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o
outro é azul. O carro de Artur é cinza, o carro de César é
o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a
Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são,
respectivamente,
a) cinza, verde e azul;
b) azul, cinza e verde;
c) azul, verde e cinza;
d) cinza, azul e verde;
e) verde, azul e cinza.
19. (AFC) Três retas, A, B e C, definidas em um mesmo
plano, se interceptam de maneira a formar um triângulo.
Se as retas A e B se interceptam formando um ângulo de
40º, e se a reta C é perpendicular a B, então o ângulo
agudo formado na intersecção de A e C é de
a) 30º
b) 35º
c) 40º
d) 45º
e) 50º
20. (AFTN) Três magias, Tânia, Janete e Angélica, estão
sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a
verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica
nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz:
“Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada
no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está
sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no
meio”. A que está sentada à esquerda, a que está
sentada no meio e a que está sentada à direita são,
respectivamente,
a) Janete, Tânia e Angélica
b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica, Tânia e Janete
e) Tânia, Angélica e Janete
25. (AFTN) Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube
(XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro
que sempre fala a verdade e um meio-campista que às
vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída do
estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o
resultado do jogo que terminara, um deles declarou “Foi
empate”, o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro
falou “Nós perdemos”. O torcedor reconheceu somente o
meio-campista, mas pode deduzir o resultado do jogo com
certeza.A declaração do meio-campista e o resultado do
jogo foram, respectivamente,
a) “Foi empate” / o XFC venceu.
b) “Não foi empate” / empate.
c) “Nós perdemos” / XFC perdeu.
d) “Não foi empate” / XFC perdeu.
e) “Foi empate” / empate.
21. (AFTN) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo
contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está
sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm
opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em
cartaz.Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado.
Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se
Luís estiver enganado, então o filme não está sendo
exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo
exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que
Maria está certa. Logo,
a) o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido;
b) Luís e Júlio não estão enganados;
c) Júlio está enganado, mas não Luís;
d) Luís está enganado, mas não Júlio;
e) José não irá ao cinema.
26. (AFTN) Em um laboratório de experiências veterinárias,foi
observado que o tempo requerido para um coelho
percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela
função C(n) = (3 + 12 /n) minutos. Com relação a essa
experiência pode-se afirmar, então, que um coelho:
a) consegue percorrer o labirinto em menos de três
minutos;
b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para
percorrer o labirinto na quinta tentativa;
c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira
tentativa;
d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima
tentativa;
e) percorrer o labirinto numa das tentativas, em três
minutos e trinta segundos.
22. (AFTN) De todos os empregados de uma grande
empresa, 30% optaram por realizar um curso de
especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada
na capital. Possui, também, duas filiais, uma em Ouro
Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham
45% dos empregados na filial de Ouro Preto trabalham
20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos
empregados da capital optaram pela realização do curso
e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto
também o fizeram, então a percentagem dos empregados
da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é
igual a:
a) 60%
b) 40%
12
27. (AFTN) O salário mensal de um vendedor é constituído de
uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão
de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$
10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos
diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois
meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,
respectivamente, R$ 4.500,00 e R4 5.310,00. Com esses
dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês
foram superiores às do primeiro mês em:
a) 18%
b) 20%
c) 30%
d) 33%
e) 41%
28. (AFTN) Em um determinado país existem dois tipos de
poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poços Pa
mais seis poço Pb produzem em dez dias tantos barris
quantos seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em
oito dias. A produção do poço Pa, portanto, é:
a) 60,0% da produção do poço Pb.
b) 60,0% maior do que a produção do poço Pb.
c) 62,5% da produção do poço Pb.
d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb.
e) 75,0% da produção do poço Pb.
Chamamos de regime de juros simples àquele onde se
admite que os juros serão diretamente proporcionais ao
tempo da operação considerada.
Como os juros são a variação entre o capital e o
montante e esta, na prática, ocorre ao longo do tempo, o valor
dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo
que foi necessário para gerá-lo.
Exemplo:
29. (AFTN) Uma ferrovia será construída para ligar duas
cidades C1 e C2, sendo que esta última localiza-se a 20km
leste e a 20km ao sul de C1. No entanto, entre essas duas
cidades existe uma grande lagoa que impede a
construção da ferrovia em linha reta. Para contornar a
lagoa, a estrada deverá ser feita em dois trechos,
passando pela cidade C3, que está a 16 km a leste e
18km ao sul de C1. o comprimento, em Km do trecho
entre a cidade C3 e a cidade C2 é igual a:
Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00
cobra juros de R$ 2,00 isto representará uma
variação grande ou pequena? Depende. Se ela
ocorreu em um ano, podemos dizer que é bem
pequena. Mas se ocorreu em um dia, já não
teremos a mesma opinião.
Taxa de Juros
A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a
proporção entre os juros e o capital.
a) 2 / 5
b)
5/2
A taxa de juros deve sempre estar associada a um
período de tempo.
c) 4/ 5
d) 2 5
100%
Capital
e) 4 5
GABARITO
Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma taxa
porcentual representa uma razão centesimal fazendo uso do
símbolo %.
16. B
17. A
18. A
19. E
20. B
21. E
22. A
23. B
24. D
25. A
26. E
27. C
28. C
29. D
Assim, temos:
18
100 = 18% (taxa porcentual)
Entretanto, podemos representar a razão centesimal na
forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou taxa
unitária:
18
100 = 0,18% (taxa unitária)
JUROS COMPOSTOS
Chamamos de regime de juros compostos aquele onde
os juros de cada período são calculados sobre o montante do
período anterior.
Ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período
passam a integrar o valor do capital ou montante que serviu de
base para o seu cálculo de modo que o total assim conseguido
será a base do cálculo dos juros do próximo período.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
CAPITALIZAÇÃO E DESCONTO
JUROS SIMPLES
Exemplo:
Vamos acompanhar os montantes, mês a mês, de uma
aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 10% a.m. por um período
de 4 meses no regime de juros compostos:
Juro é a remuneração paga a um capital.
Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos
montante.
Período
Capital
+ Juros
(100 + x)%
Montante
Taxas Porcentuais e Unitárias
QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO DE
CONCURSOS
01. D
02. C
03. E
04. A
05. D
06. A
07. C
08. D
09. A
10. B
11. A
12. B
13. E
14. D
15. C
+x%
+ juros
Montante
Montante
10% de R$ 1.000,00 = R$ 100,00 R$ 1.100,00
o
10% de R$ 1.100,00 = R$ 110,00 R$ 1.210,00
o
10% de R$ 1.210,00 = R$ 121,00 R$ 1.331,00
o
10% de R$ 1.331,00 = R$ 133,00 R$ 1.464,10
Assim, observamos que os juros são a variação entre o
capital e o montante.
2 mês
Regime de Juros Simples
4 mês
3 mês
13
Juros no fim do período
o
1 mês
Observe que:
o
*
os juros e o montante, no fim do 1 mês, são iguais aos
que seriam produzidos no regime de juros simples;
*
cada novo montante é obtido calculando-se um aumento
de 10% sobre o montante anterior, o que resulta em
aumentos sucessivos a uma taxa fixa de 10%;
*
os juros vão se tornando maiores a cada mês, de modo
o
que, após o 1 mês, a diferença entre um montante
calculado no regime de juros compostos (Mc) e o
correspondente valor no regime de juros simples (Ms) vai
se tornando cada vez maior (ver gráfico abaixo).
M
C = (1 + i)n i =
n
M
C
()
M
log C
– 1 n = log (1 + i)
()
Se as duas últimas fórmulas lhe parecem assustadoras,
não se desespere, pois felizmente existem as chamadas
tabelas financeiras que foram desenvolvidas justamente para
livrá-lo das contas mais complicadas. Assim, nós
aprenderemos a consultar estas tabelas e poderemos trocar o
trabalho mais pesado por umas poucas multiplicações e
divisões.
RACIOCÍNIO LÓGICO – MATEMÁTICO
1. Josimar é feirante e comercializa somente tomates.
Descontente com a queda nas vendas por causa da má
qualidade do produto, decidiu diversificar sua oferta aos
consumidores. Ele fez a seguinte lista de legumes que
pretende oferecer: tomate, cebola, batata, cenoura e
beterraba. Mas o órgão regulador das feiras não permite que
um feirante comercialize mais do que três produtos diferentes
por dia de feira. Além dessa proibição, estabeleceu as
seguintes regras:
CAPITALIZAÇÃO
Dá-se o nome de capitalização ao processo de
incorporação dos juros ao capital ou montante de uma
operação financeira. Contudo, é comum encontrarmos as
expressões regime de capitalização simples e regime de
capitalização composta no lugar de regime de juros simples e
regime de juros compostos, respectivamente.
Freqüentemente encontraremos, nos enunciados dos
problemas, outras expressões usadas para indicar o regime de
juros compostos:
•
taxa composta de X% a.m. — indicando juros compostos
com capitalização mensal;
•
taxa de X% a.a. capitalizados semestralmente —
indicando juros compostos e capitalização semestral;
•
capitalização composta, montante
indicando o regime de juros compostos.
Montante no
Compostos
Regime
composto
de
- Se o feirante vender cebola num dia, também deve vender
tomate no mesmo dia.
- Se o feirante vender batata num dia, não pode vender batata
no dia seguinte.
- Qualquer que seja o dia, o feirante não pode vender mais do
que um tipo de produto que tenha vendido no dia anterior.
Qual das alternativas a seguir é uma possível sequência de
combinações para Josimar vender em dois dias consecutivos,
sem entrar em conflito com as orientações do órgão regulador
das feiras?
a) Tomate, cebola, batata / Cenoura, cebola, beterraba
b) Tomate, cebola, cenoura / Tomate, cebola, beterraba
c) Tomate, cenoura, beterraba / Tomate, cebola, batata
d) Cebola, cenoura, beterraba / Tomate, batata, cenoura
e) Batata, cenoura, beterraba / Tomate, cebola, batata
—
Juros
Como vimos acima, no regime de juros compostos, o
montante ao fim de um determinado período resulta de um
cálculo de aumentos sucessivos. Então, sejam:
C
M
i
n
2. Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e
Antônio divertem-se em uma festa.
Sabe-se que
- essas pessoas formam quatro casais; e
- Carolina não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando
está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando,
Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.
= Capital aplicado
= Montante da aplicação ao fim de n períodos
= forma unitária da taxa efetiva da aplicação
= número de períodos de capitalizações
Poderemos expressar o montante (M) em função dos
outros três elementos do seguinte modo:
ou seja: M = C  (1 + i) (fórmula fundamental)
Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é
a) Carolina.
b) Júlia.
c) Raquel.
d) Rita.
Na fórmula apresentada acima, o montante está isolado.
Mas poderemos calcular qualquer um dos quatro elementos
nela envolvidos desde que conheçamos os outros três e
isolemos convenientemente o elemento a ser calculado em
cada caso.
Para poupar o trabalho algébrico necessário para isolar
cada um dos outros três elementos da fórmula básica dada
acima, apresentamos a seguir os outros elementos também
isolados:
3. Um avião monomotor caiu no Triângulo das Bermudas e, a
muito custo, o piloto conseguiu alcançar a praia de uma ilha.
Nessa ilha morava apenas um náufrago que mentia às terças,
quartas e quintas-feiras, e falava a verdade nos outros dias da
semana. Depois de algum tempo, o piloto perdeu a noção do
dia da semana. Um dia o piloto encontrou o náufrago, que lhe
disse: "Ontem foi um dos meus dias de mentir".
(Adaptado de A linguagem lógica, de Iole de Freitas
M = C  (1 + i)  (1 + i)… (1 + i) = C  (1 + i)
n
n fatores
n
14
0
Druck, Revista do Professor de Matemática, n 17, 1990)
7. Certo dia um professor de matemática desafiou seus
alunos a descobrirem as idades x, y, z, em anos, de seus três
filhos, dizendo ser o produto delas igual a 40.
De pronto, os alunos protestaram: a informação "x . y . z = 40"
era insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem
encontrado 6 ternas de fatores do número 40 cujo produto é
40. O professor concordou e disse, apontando para um dos
alunos, que a soma x + y + z das idades (em anos) era igual
ao número que se podia ver estampado na camisa que ele
estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar
impossível responder com segurança, mesmo sabendo que a
soma era um número conhecido, o que levou o professor a
perceber que eles raciocinavam corretamente (chegando a um
impasse, provocado por duas ternas).
Satisfeito, o professor acrescentou então duas informações
definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo mês e,
naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste
caso a resposta correta é:
a) 1, 5, 8
b) 1, 2, 20
c) 1, 4, 10
d) 1, 1, 40
e) 2, 4, 5
A partir da afirmação acima, o piloto deduziu que esse dia da
semana poderia ser
a) terça ou quarta-feira.
b) terça ou quinta-feira.
c) terça ou sexta-feira.
d) quarta ou quinta-feira.
e) quarta ou sexta-feira.
4. A numeração da avenida Mané Garrincha, a popular
Alegria do Povo, é tal que, se por ela caminhamos no sentido
crescente da numeração, temos os números pares à direita e
os ímpares à esquerda.
Robinho desce do ônibus na avenida e avista, do outro lado da
rua, o prédio de número 424.
a) Sabendo que o tráfego é de mão única, indique se o fluxo
dos carros se dá no sentido crescente ou decrescente da
numeração. Justifique sua resposta (faça um desenho, se
preferir).
b) Robinho deseja ir ao prédio de número 352 e vai primeiro
atravessar a avenida em frente ao número 424. Indique para
qual lado (à direita ou à esquerda) deve andar depois de
atravessar. Justifique sua resposta (faça um desenho, se
preferir).
8. Júnior intercala períodos em que está acordado, cada um
de 19 horas, com períodos em que está dormindo, cada um de
6 horas. Se no dia 01 de dezembro, Júnior foi dormir à 1h da
manhã, temos que:
5. São três irmãs: Ana, Beatriz e Clara; sabemos que uma
sempre diz a verdade e que as outras duas sempre mentem.
Cada uma delas sabe qual a que não mente e quais as que
mentem.
Perguntamos a Ana: "Se perguntarmos a cada uma de suas
irmãs se a outra mente ou fala a verdade, o que
responderão?"
Indique qual (ou quais), dentre as opções abaixo, pode(m) ter
sido a resposta de Ana:
( ) em algum dia de dezembro, Júnior começará a dormir às
15horas.
( ) em algum dia de dezembro, Júnior acordará às 17horas.
(
) existem dois dias de dezembro em que Júnior acordará
ao meio dia.
(
) existem dois dias de dezembro em que Júnior começará
a dormir à meia-noite.
( ) em 25 de dezembro, Júnior acordará às 6h.
I. Beatriz dirá que Clara mente e Clara dirá que Beatriz fala a
verdade.
II. Beatriz dirá que Clara fala a verdade e Clara dirá que
Beatriz mente.
III. Cada uma dirá que a outra fala a verdade.
IV. Cada uma dirá que a outra mente.
9. As três filhas de Seu Anselmo - Ana, Regina e Helô - vão
para o colégio usando, cada uma, seu meio de transporte
preferido: bicicleta, ônibus ou moto. Uma delas estuda no
Colégio Santo Antônio, outra no São João e outra no São
Pedro.
Seu Anselmo está confuso em relação ao meio de transporte
usado e ao colégio em que cada filha estuda. Lembra-se,
entretanto, de alguns detalhes:
- Helô é a filha que anda de bicicleta;
- a filha que anda de ônibus não estuda no Colégio Santo
Antônio;
- Ana não estuda no Colégio São João e Regina estuda no
Colégio São Pedro.
Pretendendo ajudar Seu Anselmo, sua mulher junta essas
informações e afirma:
I) Regina vai de ônibus para o Colégio São Pedro.
II) Ana vai de moto.
III) Helô estuda no Colégio Santo Antônio.
Com relação a estas afirmativas, conclui-se:
a) Apenas a I é verdadeira.
b) Apenas a I e a II são verdadeiras.
c) Apenas a II é verdadeira.
d) Apenas a III é verdadeira.
e) Todas são verdadeiras.
Justifique sua resposta.
6. A figura exibe um mapa representando 13 países.
Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas
fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de
cores que se pode utilizar para colori-los, de forma que dois
países vizinhos não tenham a mesma cor, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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10. O seguinte enunciado é verdadeiro:
"Se uma mulher está grávida, então a substância
gonadotrofina coriônica está presente na sua urina."
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e constatouse que a substância gonadotrofina coriônica está presente na
urina de Fátima e não está presente na urina de Mariana.
Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos exames
e o raciocínio lógico dedutivo:
a) garante-se que Fátima está grávida e não se pode garantir
que Mariana está grávida;
b) garante-se que Mariana não está grávida e não se pode
garantir que Fátima está grávida;
c) garante-se que Mariana está grávida e que Fátima também
está grávida;
d) garante-se que Fátima não está grávida e não se pode
garantir que Mariana está grávida;
e) garante-se que Mariana não está grávida e que Fátima está
grávida.
quadrangular é igual a
a) 2n
b) 2n + 1
2
c) n
2
d) (n - 1)
2
e) (n + 1)
14. Três bolas A, B e C foram pintadas: uma de verde, uma
de amarelo e uma de azul, não necessariamente nesta ordem.
Leia atentamente as declarações a seguir:
I) B não é azul.
II) A é azul.
III) C não é amarela.
Sabendo-se que APENAS UMA das declarações anteriores É
VERDADEIRA, podemos afirmar corretamente que:
a) A bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azul.
b) A bola A é verde, a bola B é azul e a bola C é amarela.
c) A bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C é verde.
d) A bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C é azul.
e) A bola A é azul, a bola B é verde e a bola C é amarela.
11. Rafael comprou quatro passagens aéreas para dar uma
de presente para cada um de seus quatro netos. Para definir a
época em que irão viajar, Rafael pediu para cada um dizer
uma frase. Se a frase fosse verdadeira, o neto viajaria
imediatamente; se fosse falsa, o neto só viajaria no final do
ano.
O quadro a seguir apresenta as frases que cada neto falou:
15. Considerando que em uma festa existem 15 pessoas, não
podemos afirmar que:
a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.
b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.
c) se uma pessoa conhece as demais então existem pelo
menos duas com o mesmo número de conhecidos (o
conhecer alguém é recíproco)
d) se uma pessoa não conhece ninguém então pode não
existirem duas pessoas com o mesmo número de
conhecidos (o conhecer alguém é recíproco).
e) a diferença de idade "em anos" de duas delas é um múltiplo
de 14.
16. Qual é o menor número de pessoas num grupo para
garantir que, pelo menos, 4 pessoas do grupo nasceram no
mesmo mês?
A partir das frases ditas, Rafael não pôde definir a época da
viagem do neto representado pelo seguinte número:
a) I
b) II
c) III
d) IV
17. João não estudou para a prova de Matemática; por conta
disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A
questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
(a) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
(b) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra
negativa.
(c) O problema tem mais de uma solução.
(d) O problema tem pelo menos uma solução.
(e) O problema tem exatamente uma solução positiva.
12. Um saco contém 13 bolinhas amarelas, 17 cor-de-rosa e
19 roxas. Uma pessoa de olhos vendados retirará do saco n
bolinhas de uma só vez. Qual o menor valor de n de forma que
se possa garantir que será retirado pelo menos um par de
bolinhas de cores diferentes? Justifique.
13. Pitágoras e seus discípulos relacionaram os números
inteiros com a Geometria, estudando os números poligonais,
assim chamados em virtude de ser possível sua
representação mediante pontos dispostos em forma de
triângulos (números triangulares), quadrados (números
quadrangulares), pentágonos (números pentagonais) etc.
Na figura a seguir tem-se a representação dos quatro
primeiros números quadrangulares.
João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um
pouco e cravou a resposta certa.
Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.
18. Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
15 é múltiplo de 7
8 é número primo
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
Nessas condições, é correto afirmar que o n-ésimo número
16
a) se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8 é
número primo.
b) se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15 é
múltiplo de 7.
c) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8 é número
primo.
d) se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16 é
múltiplo de 2.
e) se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8 é
número primo.
Temos:
i) Beatriz dirá que Clara fala a verdade  Clara dirá que Beatriz fala
a verdade  Ana reportará que ambas disseram que a outra fala
a verdade.
ii) Beatriz dirá que Clara mente  Clara dirá que Beatriz mente 
Ana reportará que ambas disseram que a outra fala a verdade.
iii) Beatriz dirá que Clara mente  Clara dirá que Beatriz mente 
Ana reportará que ambas disseram que a outra fala a verdade.
19.Dadas as proposições:
Portanto a única opção correta é a III.
1) Toda mulher é boa motorista.
2) Nenhum homem é bom motorista.
3) Todos os homens são maus motoristas.
4) Pelo menos um homem é mau motorista.
5) Todos os homens são bons motoristas.
Resposta da questão 6:
[B]
Resposta da questão 7:
[A]
Resposta da questão 8:
VVVFF
a negação de (5) é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta da questão 9:
[B]
Resposta da questão 10:
[B]
20. Considerando-se um texto que contém 100 palavras, é
válido afirmar-se que:
a) todas as letras do alfabeto foram utilizadas
b) há palavras repetidas
c) pelo menos uma letra foi utilizada mais do que 3 vezes
d) uma das letras do alfabeto não foi utilizada
e) não há palavras repetidas
Resposta da questão 11:
[C]
Resposta da questão 12:
Se forem retiradas 19 bolinhas ou uma quantidade menor que esta,
existe a possibilidade de que todas sejam da mesma cor. Logo n = 20.
Resposta da questão 13:
[C]
21. Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das
afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única
necessariamente verdadeira é:
a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90 m.
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino.
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês.
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par.
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro.
Resposta da questão 14:
[C]
Resposta da questão 15:
[D]
Resposta da questão 16:
Se não existem quatro pessoas que nasceram no mesmo mês então
o grupo terá no máximo 3×12 pessoas, e, portanto, 37 é o menor
tamanho de grupo que garante que existam quatro pessoas nascidas
no mesmo mês.
Gabarito:
Resposta da questão 17:
Se (a) ou (b) fossem verdadeiras, (C) também o seria. Só há uma
opção verdadeira logo (a) e (b) devem ser eliminadas.
Da mesma forma, se (c) ou (e) fossem verdadeiras, (d) também o
seria.
Logo, a única opção que pode ser correta sem que outra também o
seja é a (d).
Resposta da questão 1:
[C]
Resposta da questão 2:
[A]
Resposta da questão 3:
[C]
Resposta da questão 18:
[D]
Resposta da questão 4:
a) Como a porta de saída do ônibus fica do lado direito do motorista,
e o prédio de número 424 está do outro lado da rua, podemos concluir
que o fluxo dos carros na avenida Mané Garrincha se dá no sentido
decrescente.
b) Robinho andará para a direita depois de atravessar.
Resposta da questão 19:
[D]
Resposta da questão 20:
[C]
Resposta da questão 5:
Há 3 casos a serem considerados:
Resposta da questão 21:
[C]
i) Ana fala a verdade, Beatriz mente e Clara mente;
ii) Beatriz fala a verdade, Clara mente e Ana mente;
iii)Clara fala a verdade, Beatriz mente, Ana mente.
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