__________________________________________________________________Formulário 6
APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS DOS INTEGRAIS DEFINIDOS
1. Áreas de regiões planas
a) Sejam f, g: [a, b] → IR funções contínuas e tais que g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a, b]. A área da região delimitada pelos
gráficos de f, g e pelas rectas x = a e x = b é dada por
b
A=
∫[
]
f ( x ) − g ( x ) dx .
a
b) Sejam g, f: [c, d] → IR funções contínuas e tais que f(y) ≤ g(y), ∀ y ∈ [c, d]. A área da região delimitada
pelos gráficos de g, f e pelas rectas y = c e y = d é dada por
d
A=
∫[
]
g ( y ) − f ( y ) dy .
c
c) Sejam φ, ψ : [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que
⎧ x = φ( t )
⎨ y = ψ ( t ) , com t ∈ [α, β], representa
⎩
uma função y = f(x). Se esta for a situação de alguma das funções das alíneas a) e b) acima, então a área pode ser
calculada através da substituição x = φ (t) e y =ψ (t), respectivamente, no integral.
2. Comprimentos de curvas planas
a) Sejam f: [a, b] → IR e a sua derivada f ’ contínuas. O comprimento da curva definida pelo gráfico de y = f(x)
desde o ponto (a, f (a)) até ao ponto (b, f (b)) é dado por
b
L=
∫
[
]2 dx.
1 + f ´( x )
a
b) Sejam g: [a, b] → IR e a sua derivada g ’ contínuas. O comprimento da curva definida pelo gráfico de
x
= g(y) desde o ponto (g(c), c) até ao ponto (g(d), d) é dado por
d
L=
∫
[
]2 dy.
1 + g´( y )
c
⎧ x = φ( t )
, com t ∈ [α, β], representa
⎩y = ψ( t )
c) Sejam φ, ψ: [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎨
uma função y = f (x). O comprimento da curva desde o ponto (φ (α),ψ (α)) até ao ponto (φ (β),ψ (β)) é dado por
β
L=
∫
[φ' ( t )] 2 + [ψ ' ( t )] 2
dt.
α
3. Volumes de sólidos de revolução
a) Sejam f, g: [a, b] → IR funções contínuas e tais que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b]. E seja R a região delimitada
pelos gráficos de f e de g e pelas rectas x = a e x = b. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R,
∫ ([
b
(i) em torno do eixo Ox é V = π
)
g ( x )] − [ f ( x )] dx .
2
2
a
1
Formulário 6 __________________________________________________________________
b
(ii) em torno do eixo Oy é V = 2π
∫
x ( g ( x ) − f ( x ))dx .
a
b) Sejam f, g: [c, d] → IR funções contínuas e tais que 0 ≤ f(y) ≤ g(y), ∀ y ∈ [c, d]. E seja R a região delimitada
pelos gráficos de f e de g e pelas rectas y = c e y = d. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R,
d
(i) em torno do eixo Ox é V = 2π
∫(
y g ( y ) − f ( y )) dy .
c
∫ ([g( y )]
d
(ii) em torno do eixo Oy é V = π
2
− [ f ( y )]
2
) dy .
c
⎧ x = φ( t )
, com t ∈ [α, β], representa
⎩y = ψ( t )
c) Sejam φ, ψ : [α, β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎨
uma função y = f (x). Se esta for a situação de alguma das funções das alíneas a) e b) acima, então a área pode ser
calculada através da substituição x = φ (t) e y =ψ (t), respectivamente, no integral.
4. Áreas de superfícies de revolução
a) Sejam f: [a, b] → IR e a sua derivada, f’ , contínuas e f(x) ≥ 0. A área da superfície de revolução gerada pela
rotação do gráfico de y = f(x), entre x = a e x = b,
b
(i) em torno do eixo Ox, é As = 2π
∫
f(x)
[
]2 dx.
1 + f ´( x )
a
b
(ii) em torno do eixo Oy, é As = 2π
∫
[
]2
1 + f ´( x )
x
dx.
a
b) Sejam g: [c, d] → IR e a sua derivada, g ’, contínuas e g(y) ≥ 0. A área da superfície de revolução gerada pela
rotação do gráfico de x = g(y), entre y = c e y = d,
d
(i) em torno do eixo Ox, é As = 2π
∫
y
[
]2 dy.
1 + g´( y )
c
d
(ii) em torno do eixo Oy, é As = 2π
∫
g( y )
[
]2
1 + g´( y )
dy.
c
⎧ x = φ( t )
, com t ∈ [α, β], representa
⎩y = ψ( t )
c) Sejam φ, ψ: [α,β] → IR funções com derivadas contínuas e tais que ⎨
uma função y = f(x). A área da superfície de revolução gerado pela rotação do gráfico de f,
β
(i) em torno do eixo Ox, é As = 2π
∫ψ
(t )
[φ´( t )]2 + [ψ´( t )]2 dt.
α
β
(ii) em torno do eixo Oy, é As = 2π
∫
α
2
φ( t )
[φ´( t )]2 + [ψ´( t )]2
dt.