Anais do XIII Encontro de Iniciação Científica da PUC-Campinas - 21 e 22 de outubro de 2008
ISSN 1982-0178
TRADUÇÃO DO SOFTWARE NONEUCLID
Priscilla Izabelle Dias Caldeira
Tadeu Fernandes de Carvalho
Faculdade de Análise de Sistemas
CEATEC - Centro de Ciências Exatas, Ambientais e
de Tecnologias
[email protected]
Grupo de pesquisa: EPEMAT - Estudos e Pesquisas
em Educação Matemática
Faculdade de Matemática – CEATEC - Centro de
Ciências Exatas, Ambientais e de Tecnologias
[email protected]
Resumo: Apresentamos, neste trabalho, a tradução
para a língua portuguesa do software livre NonEuclid,
originalmente apresentado em Inglês, com tradução
para o francês e para o italiano. NonEuclid trata de
construções interativas na geometria hiperbólica, usando régua e compasso com suporte computacional. Os modelos adotados são o modelo em disco e o
modelo do semi-plano superior de Poincaré. O texto
de apoio cobre o conteúdo básico do assunto, e pode
ser utilizado tanto no Ensino Médio quanto no Ensino
Superior. Esperamos, com essa tradução, torná-lo
mais acessível a alunos e professores dos países de
língua portuguesa.
que o mesmo poderá beneficiar inúmeras Instituições
de Ensino de nível básico, e cursos de formação de
professores de matemática, do Brasil e de outros
países de língua portuguesa, no ensino e aplicações
da geometria hiperbólica, e mesmo no aperfeiçoamento do ensino da geometria euclidiana. O presente
projeto atende aos objetivos do Grupo de Pesquisa
EPEMAT – Estudos e Pesquisas em Educação Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática do
CEATEC, da Pontifícia Universidade Católica de
Campinas.
Palavras-chave: Geometria, Geometria hiperbólica,
NonEuclid
2. COMPONENTES DO SOFTWARE E SÍNTESE
DO TUTORIAL.
Área do Conhecimento: Ciências humanas - Educação - Matemática
1. INTRODUÇÃO
Nosso interesse na tradução do software NonEuclid
para o português, foi uma decorrência do interesse
no aprofundamento de seu uso na disciplina “Tópicos
de Geometria”, do curso de Licenciatura em Matemática da Faculdade de Matemática do CEATEC. Tratase de um software didática e tecnicamente muito
bem elaborado, cujo tutorial inclui uma detalhada
abordagem dos resultados básicos da geometria hiperbólica. Prova do interesse que desperta é o fato
de sua página ter recebido mais de 100.000 consultas até agosto de 2007, o que o coloca entre os mais
requisitados softwares que oferecem suporte para o
ensino das geometrias ditas não euclidianas. Criado
por Joel Castellanos (Dept. of Computer Science,
University of New Mexico), Joe Dan Austin (Dept. of
Education, Rice University) e Ervan Darnell (Dept. of
Computer Science, Rice University), está traduzido,
até o momento, para o italiano e para o francês. Após contato com Joel Castellanos, obtivemos autorização para sua tradução ao português, e o convite
para incorporar essa tradução à sua página na WEB.
Dado o caráter livre desse software, consideramos
Construções interativas na Geometria Hiperbólica
NonEuclid é um aplicativo Java para construções
interativas com régua e compasso na Geometria
Hiperbólica, tanto no modelo em disco quanto no
semi-plano superior de Poincaré, para uso no
Ensino Médio e no Ensino Superior.
Copyright©: Joel Castellanos, 1994-2007
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NonEuclid permite ao explorador curioso, adquirir
experiência na Geometria Hiperbólica e investigar
empiricamente questões como: "na Geometria Hiperbólica os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes?"
As aspas no caminho do java são necessárias para mostrar ao Windows que o espaço no "Program Files" é parte
do nome do diretório.
Se o Java Web Start não está instalado em sua máquina,
então o seu download pode ser feito do link gráfico abaixo.
O software e os registros do NonEuclid são acessíveis a qualquer pessoa com domínio da geometria
do Ensino Médio.
Além de seu interesse específico, o estudo da Geometria Hiperbólica pode, por suas características inovadoras, levar a uma compreensão mais profunda da
demonstração formal.
A Geometria Hiperbólica possibilita, também, aplicações concretas, como na predição da órbita de objetos submetidos a campos gravitacionais intensos. A
Geometria Hiperbólica é usada na Teoria Geral da
Relatividade de Einstein e em hiperespaços Curvos.
Download NonEuclid.jar
Conteúdo:
1) O que é a Geometria Não-Euclidiana: Geometria Euclidiana, Geometria Esférica,
Geometria Hiperbólica, e outras.
2) Usando NonEuclid - Meu Primeiro Triângulo.
Autores: Joel Castellanos, Dept. Ciência de Computação, University of New Mexico
Joe Dan Austin, Dept. de Educação, Rice University
Ervan Darnell, Dept. Ciência de Computação, Rice
University
Traduzido para o Italiano por Andrea Centomo, Scuola Media "F. Maffei", Vicenza
Patrocinadores do NonEuclid:
The Center for High Performance Software Research (HiPerSoft),
Rice University, e
The Institute for Advanced Study / Park City Mathematics Institute
Executar NonEuclid usando Java Web Start SEM Salvar e
Imprimir Permissões
3) Atividades: - Explorando propriedades de
Ângulos Adjacentes, Triângulos Gerais, Triângulos Isósceles, Triângulos Equiláteros,
Triângulos Retângulos, Triângulos Congruentes, Retângulos, Quadrados, Paralelogramos, Losangos, Polígonos, Círculos, e
Tecelagens do Plano na Geometria Hiperbólica.
4) A Forma do Espaço: - Espaço Curvo, Terra Plana, Nossa Terra, e Órbita de Mercúrio.
5) A Pseudoesfera: - Uma descrição do espaço modelado pelo NonEuclid.
Executar NonEuclid usando Java Web Start SALVANDO e
IMPRIMINDO Permissões
6) Linhas Paralelas: - Na Geometria Hiperbólica, duas retas que se intersectam podem
ser ambas paralelas a uma terceira reta.
Alguns firewalls impedem o download de arquivos jar.
Isso resultará na mensagem de erro:
7) Axiomas e Teoremas: - Postulados de
Euclides, Postulado Hiperbólico das Paralelas, Postulado LAL, Demonstrações da Geometria Hiperbólica.
Unable to load resource:
http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.jar
NonEuclid também pode ser baixado e executado localmente em
sua máquina. A execução local do NonEuclid não exige a sua
instalação: basta baixar NonEuclid.jar e executar com Java 1.5,
ou mais recente. Se o java estiver instalado em seu sistema,
mas não no endereço do sistema, então, para executar NonEuclid localmente, você precisará dar o seu caminho completo. O
comando do caminho completo para inicializar NonEuclid do
prompt de comando, no diretório onde NonEuclid.jar foi baixado,
deve ser: "C:\Program Files\Java\jdk1.5.0_09\bin\java" -jar NonEuclid.jar”
Este comando assume que Java foi instalado no diretório
"C:\Program Files\Java\jdk1.5.0_09\bin\java".
8) Área: - Análise de A=½bh e A=s² na Geometria Hiperbólica, Propriedades Necessárias para uma Função de Área, Alturas de
um Triângulo Hiperbólico, Defeito de um
Triângulo, Defeito de um Polígono, e Limite
Superior para Área.
9) Sistemas de Coordenadas X-Y: - Descrição de um sistema de coordenadas x-y na
Geometria Hiperbólica.
10) Modelos do Disco e do Semi-plano Superior de Poincaré: - Um tratamento informal
desses modelos da Geometria Hiperbólica.
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junto de todos os D-pontos.
3. Referências, Apêndices, e Orientações.
3.1. O que é a Geometria Não-Euclidiana
Uma Geometria Não-Euclidiana é um sistema consistente de definições, hipóteses e demonstrações, que
descrevem propriedades de objetos como pontos,
retas e planos. A duas geometrias não-euclidianas
mais conhecidas são a geometria esférica e a geometria hiperbólica. A diferença essencial entre a geometria euclidiana e essas duas geometrias é a natureza
das retas paralelas: na geometria euclidiana, dados
um ponto e uma reta, há uma única reta no mesmo
plano da primeira, contendo o ponto dado, e que não
apresenta interseção com a mesma. Na geometria
esférica não existem retas com essa propriedade. Na
geometria hiperbólica, existem pelo menos duas retas
distintas que passam pelo ponto considerado, e são
coplanares e paralelas à reta dada.
D-retas: Uma D-reta tanto pode ser, (1), a interseção
entre Ω e C┴ quanto, (2), a interseção entre Ω e um
diâmetro de C.
3.11. O Modelo do Semi-Plano Superior
Para desenvolver o modelo do Semi-Plano Superior,
considere uma reta fixa, ST, no plano euclidiano. Nós
assumimos, sem perda de generalidade, que ST está
sobre o eixo-x do plano euclidiano.
H-pontos: H-pontos são pontos euclidianos em um
lado da reta ST.  é tomada como a notação para o
conjunto de todos os H-pontos.
H-retas: Uma H-reta pode ser tanto, (1), uma semicircunferência no interior de , com centro sobre ST,
quanto, (2), a interseção de  com uma perpendicular
a ST.
3.2. Usando NonEuclid – Meu primeiro triângulo
3.3. Atividades – Como iniciar a Exploração
3.4. A forma do Espaço
3.5. A Pseudoesfera
3.6. Retas Paralelas
Reta do Modelo do Semi-Plano Superior.
3.7. Axiomas e Teoremas
3.8. Área
3.9. Sistema de Coordenadas X-Y.
3.10. O Modelo em Disco de Poincaré
Para desenvolver o modelo do disco de Poincaré,
considere uma circunferência fixa, C, no plano euclidiano. Assumimos, sem perda da generalidade, que o
raio de C é 1, e que seu centro está na origem do
plano euclidiano.
3.12. Para o Professor: porque é importante para
os alunos, o estudo da Geometria Hiperbólica?
O software faz menção ao currículo de matemática do
Ensino Básico dos Estados Unidos, mas as justificativas são válidas para todos os países, em particular,
para o Brasil.
As normas curriculares e de avaliação para o ensino
de matemática do Conselho Nacional de Professores
de Matemática, projetam as metas e reformas para o
nível K12 durante a próxima década. Este documento
propõe aos estudantes de ensino básico e préuniversitários que:
"Desenvolvam a compreensão de um sistema
axiomático através da investigação e comparação das
geometrias euclidiana e não-euclidianas”. [NCTM-89].
Algumas justificativas para o estudo da geometria
não-euclidiana:

O Modelo em Disco de Poincaré.
Seja C┴ uma circunferência qualquer, ortogonal a C.
Duas circunferências são ortogonais quando suas
tangentes em cada ponto de interseção são perpendiculares.
D-pontos: D-pontos são pontos euclidianos do interior
do círculo delimitado por C. Denota-se por Ω o con-
A palavra “definição" tem significado muito preciso na geometria, que é completamente diferente
do seu sentido na linguagem usual. Confusão
nesse conceito é a fonte de muitas dificuldades
de compreensão dos processos demonstrativos
da geometria. As características estranhas e
pouco intuitivas da geometria não-euclidiana ajudam os estudantes a perceber as diferenças en-
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tre as Definições e os Teoremas utilizados na
geometria.

Aplicações da geometria não-euclidiana apresentam crescente importância para a ciência moderna e para a área tecnológica.
definições pictóricas, oferecendo-nos um mundo no
qual as figuras são bastante diferentes das usuais –
embora seu significado, usado em cada definição,
permaneça imutável. A geometria hiperbólica nos
ajuda a focalizar a importância das palavras.
AGRADECIMENTOS

Um estudo da geometria não-euclidiana torna
mais claro que a geometria não é uma teoria finalizada há mais de 2.000 na Grécia. É, antes, um
campo atual e ativo de pesquisa.
NonEuclid cria um ambiente interativo para o aprendizado e a exploração da geometria não-euclidiana no
Ensino Médio ou no Ensino Superior. O software inclui explicações, atividades, e estratégias para a incorporação da geometria não-euclidiana no currículo
do Ensino Médio.
A seguir, um exemplo de como o estudo da geometria
hiperbólica ajuda os estudantes na compreensão da
geometria euclidiana:
Agradecemos à Pontifícia Universidade Católica de
Campinas pela concessão da Bolsa FAPIC/Reitoria,
que possibilitou a realização deste trabalho.
REFERÊNCIAS
[1]. BONOLA, R. Geometrías no Euclidianas. Argentina: Espasa - Calpe Argentina, S.A., 1951.
[2]. LOBACHEVSKI, N. Nuovi principi della geometria. Trad. Lucio Lombardo-Radice. Roma: Paolo Boninghieri, 1974.
[3]. MOISE, E. E. Elementary Geometry from an
Advanced Standpoint. MA: Addison-Wesley, 1974.
A definição de retas paralelas (tanto na geometria
euclidiana quanto na hiperbólica) é:
Retas paralelas são retas infinitas no mesmo plano,
que não se intersectam.
Na geometria euclidiana, nós podemos usar esta definição para provar o teorema segundo o qual "Retas
paralelas permanecem eqüidistantes ao longo de seu
comprimento". Quando se pede aos estudantes que
demonstrem este teorema, estes freqüentemente se
queixam: "Eu posso VER que elas são eqüidistantes
– o que você deseja que eu faça?" Isso ocorre porque
quase todos nós aprendemos paralelismo quando
éramos muito jovens. ... A geometria começa com a
definição de abstrações, objetos não-visualizáveis. As
propriedades de um objeto abstrato são conseqüências de sua definição, e são chamados "teoremas".
Por exemplo, linhas paralelas não existem no mundo.
Linhas paralelas são nada mais e nada menos do que
"linhas infinitas no mesmo plano, que não se intersectam". Esta distinção é muito difícil de entender, e é a
fonte de muita confusão acerca de demonstrações
geométricas.
O estudo da geometria hiperbólica nos liberta das
[4]. CASTELLANOS, J. AUSTIN, J. D. et.al.. An Empirical Exploration of the Poincaré Model for Hyperbolic Geometry. Mathematics and Computer Education, pp. 51-68, Volume 27, number 1, 1993.
[5]. CASTELLANOS,J et al. NonEuclid. EUA: UNM,
1994.
[6]. CABRÍ GÉOMÈTRE II. UJF – França: Université
Joseph Fourrier, 2008.