Representação de Circuitos Lógicos
•
•
Formas de representação de um circuito lógico:
•
Representação gráfica de uma rede de portas lógicas
•
Expressão booleana
•
Tabela verdade
3 representações são equivalentes:
•
Dado um circuito representado de uma forma,
obtemos as outras representações do circuito
1
Representação de Circuito Lógico com Expressão Booleana
•
Expressão booleana de um circuito:
•
Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito
em função do valor dos sinais lógicos de entrada
•
Operações lógicas:
•
NOT: complemento
•
AND (•): multiplicação booleana (operador pode ser omitido)
•
OR (+): adição booleana
•
Precedência das operações lógicas: NOT, AND, OR
•
Exemplos:
X =A+B+C +D
Y =A•B•C •D
Z = A • (B + C • D)
W = A • (B + C • D)
K =A+B+C •D
T =AB C +AB C +AC
2
Representação Gráfica de Circuito Lógico
•
Rede de portas lógicas interligadas
•
Convenções:
•
•
Em geral, sinais de entrada do lado esquerdo
•
Em geral, sinais de saída do lado direito
•
Em geral, sinais fluem da esquerda para direita
•
Conexão entre fios: simbolizada por •
Exemplo:
3
Representação de Circuito Lógico com Tabela Verdade
•
Tabela Verdade de um circuito lógico:
•
Representa o valor do sinal lógico de saída do circuito
para todos os possíveis valores dos sinais lógicos de entrada
•
Dado um circuito com n entradas, tabela verdade possui:
•
•
•
Uma coluna para:
•
Cada sinal de entrada do circuito
•
Sinal de saída do circuito
2n linhas
Convenção:
•
Valores das entradas
em ordem crescente
na sequência binária
•
Exemplo:
Entradas
Saída
A
B
C
A+B•C
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
4
Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico
•
Dado um circuito lógico, obter expressão booleana:
•
•
Da esquerda da direita, escreve expressão booleana de cada porta lógica
Exemplo: X = A • (B + C • D)
5
Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico
6
Exemplo: Expressão Booleana a partir de Circuito Lógico
7
Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana
•
•
Dado uma expressão booleana, obter circuito lógico:
•
Listar todos os sinais de entrada do lado esquerdo
•
Colocar portas lógicas de acordo com precedência das operações
Exemplo: X = A • B + B • C • D + A • C
8
Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana
•
X = A • (B + C • D)
9
Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana
•
Y =A•B+C •D
10
Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana
•
Z =AB C D+AB C +B C D
11
Exemplo: Circuito Lógico a partir de Expressão Booleana
•
Z =AB C D+AB C +B C D
12
Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana
•
•
Dado uma expressão booleana, obter tabela verdade:
•
Montar tabela verdade
•
Criar colunas para avaliar sub-expressões
•
Avaliar expressão completa
Exemplo: X = A • (B + C)
Entradas
Auxiliares
Saída
A
B
C
A
B+C
A • (B + C)
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
13
Exemplo: Tabela Verdade a partir de Expressão Booleana
Entradas
Auxiliares
A
B
C
D
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Saída
X = A • (B + C • D)
14
Equivalência de Circuitos
•
2 circuitos equivalentes:
•
•
Produzem o mesmo valor de saída para os mesmos valores de entrada
Determinar se 2 circuitos são equivalentes:
•
•
Usando a tabela verdade:
•
Construir tabela verdade para os 2 circuitos
•
Comparar valores das saídas
Usando propriedades da Álgebra Booleana:
•
A partir da expressão booleana de um circuito,
aplicar propriedades transformando expressão,
até chegar na expressão booleana do outro circuito
15
Exemplo: Equivalência de Circuitos
•
Equivalentes ?
X = A XOR B
Entradas
e
Y =A•B+A•B
Saída
Saída
Y =A•B+A•B
A
B
X =A⊕B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
16
Exemplo: Equivalência de Circuitos
•
Equivalentes ?
Entradas
A
B
C
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Auxiliares
Saída
Saída
A•B + A•(B +C) + B •(B +C) B + A•C
17
Propriedades da Álgebra Booleana
•
Propriedade comutativa
•
Propriedade associativa
•
Propriedade distributiva
•
Identidades
•
Teorema de De Morgan
18
Propriedade Comutativa
•
Para OR:
•
Para AND:
A+B = B+A
A•B = B•A
19
Propriedade Associativa
•
Para OR:
•
Para AND:
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
A • (B • C) = (A • B) • C = A • B • C
20
Propriedade Distributiva
•
Para AND:
•
Para OR:
A • (B + C) = A • B + A • C
A + (B • C) = (A + B) • (A + C)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
Entradas
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Saída
A + (B • C)
0
0
0
1
1
1
1
1
Saída
(A + B) • (A + C)
0
0
0
1
1
1
1
1
21
Lei do Elemento Neutro
•
Para OR:
•
Para AND:
A+0 = A
A•1 = A
22
Lei do Elemento Dominante
•
Para OR:
•
Para AND:
A+1 = 1
A•0 = 0
23
Lei da Idempotência
•
Para OR:
•
Para AND:
A+A = A
A•A = A
24
Lei do Complemento
A+A = 1
•
Para OR:
•
Para AND:
A•A = 0
•
Para NOT:
A = A
25
Lei da Absorção
•
Para OR:
A+A•B = A
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
•
Para AND:
Saída
A+A•B
0
0
1
1
A • (A + B) = A
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
Saída
A • (A + B)
0
0
1
1
26
Lei da Absorção
•
Para OR:
A+A•B = A
A+A•B =
Elemento Neutro
A•1+A•B =
Distributiva
A • (1 + B) =
Elemento Dominante
A•1=
Elemento Neutro
A
•
Para AND:
A • (A + B) = A
A • (A + B) =
A•A+A•B =
A+A•B =
A•1+A•B =
A • (1 + B) =
A•1=
A
Distributiva
Idempotência
Elemento Neutro
Distributiva
Elemento Dominante
Elemento Neutro
27
Lei da Identidade Auxiliar
•
Para OR:
A+A•B = A+B
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
•
Para AND:
Saída
A+A•B
0
1
1
1
Saída
A+B
0
1
1
1
A • (A + B) = A • B
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
Saída
A • (A + B)
0
0
0
1
Saída
A•B
0
0
0
1
28
Lei da Identidade Auxiliar
•
Para OR:
A+A•B = A+B
A+A•B =
Absorção
A+A•B+A•B =
Distributiva
A + B • (A + A) =
Complemento
A+B•1=
Elemento Neutro
A+B
•
Para AND:
A • (A + B) = A • B
A • (A + B) =
Distributiva
A•A+A•B =
Complemento
0+A•B =
Elemento Neutro
A•B
29
Lei de De Morgan
•
Para OR:
A+B = A•B
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
•
Para AND:
Saída
A+B
1
0
0
0
Saída
A•B
1
0
0
0
Saída
A•B
1
1
1
0
Saída
A+B
1
1
1
0
A•B = A+B
Entradas
A
B
0
0
0
1
1
0
1
1
30
Lei de De Morgan
•
Para OR:
A+B = A•B
A+B+C = A•B•C
•
Para AND:
A•B = A+B
A•B•C = A+B+C
31
Simplificação de Circuitos Lógicos
•
•
Métodos de simplificação de circuitos:
•
Aplicação das leis da Álgebra Booleana
•
Mapa de Karnaugh
Simplificação do circuito lógico:
•
Obter circuito lógico equivalente ao original,
com menos portas lógicas ou portas lógicas mais simples
•
Minimização do circuito lógico:
•
Obter circuito lógico equivalente ao original,
com o menor número de portas lógicas possível
32
Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana
•
Exemplo:
AB + A(B + C) + B(B + C) =
Distributiva
AB + AB + AC + BB + BC =
Idempotência
AB + AC + BB + BC =
Idempotência
AB + AC + B + BC =
Absorção
AB + AC + B =
Comutatividade
AB + B + AC =
Absorção
B + AC
33
Simplificação de Circuito usando Leis da Álgebra Booleana
•
Exemplo:
A•B+A•C +A•B•C =
De Morgan
(A • B) • (A • C) + A • B • C =
De Morgan
(A + B) • (A • C) + A • B • C =
De Morgan
(A + B) • (A + C) + A • B • C =
Distributiva
A•A+A•B+A•C +B•C +A•B•C =
Idempotência
A+A•B+A•C +B•C +A•B•C =
Absorção
A+A•C +B•C +A•B•C =
Absorção
A+B•C +A•B•C =
Absorção
A+B•C
34
Formas Padronizadas de Expressões Booleanas
•
Toda expressão booleana pode ser convertida para formas padronizadas
•
Objetivo:
•
•
Facilitar a simplificação do circuito
Formas padronizadas:
•
Soma de Produtos
•
Soma de Mintermos
•
Produto de Somas
•
Produto de Maxtermos
•
...
35
Soma de Produtos (SOP)
•
•
Soma de Produtos (Sum-Of-Products):
•
Expressão booleana é soma (OR) de parcelas
•
Cada parcela é produto (AND) de sinais de entrada ou seus complementos
Exemplos:
•
•
Expressões na forma SOP:
•
A•B + A•B•C
•
A•B + A•B•C + A•C
•
A•B•C
•
A + A•B•C + B•C •D
Expressões não estão na forma SOP:
•
A • (B + C • D)
•
(A + B) • (A + C)
•
A•B•C + A•B
36
Produtos de Somas (POS)
•
•
Produtos de Somas (Product-Of-Sums):
•
Expressão booleana é produto (AND) de fatores
•
Cada fator é soma (OR) de sinais de entrada ou seus complementos
Exemplos:
•
•
Expressões na forma POS:
•
(A + B) • (A + B + C)
•
(A + B + C) • (C + D + E) • (B + C + D)
•
A • (A + B + C)
•
A+B+C
Expressões não estão na forma POS:
•
A•B + A•B•C
•
(A + B + C) • (A + B)
37
Circuito Lógico de uma Soma de Produtos
•
Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma SOP:
•
Portas NOT para os sinais de entrada
•
Uma porta AND para cada parcela:
•
•
•
•
Entradas: sinais de entrada ou seus complementos
•
Saída: produto
Uma porta OR:
•
Entradas: produtos
•
Saída: resultado da expressão booleana
2 níveis de lógica
Exemplo:
38
Circuito Lógico de um Produto de Somas
•
Circuito lógico obtido a partir de expressão booleana na forma POS:
•
Portas NOT para os sinais de entrada
•
Uma porta OR para cada fator:
•
•
•
•
Entradas: sinais de entrada ou seus complementos
•
Saída: soma
Uma porta AND:
•
Entradas: somas
•
Saída: resultado da expressão booleana
2 níveis de lógica
Exemplo:
39
Mintermos e Maxtermos
•
Dada uma função boolena com n sinais de entrada
•
Mintermo:
•
•
Corresponde a uma linha da tabela verdade
•
Produto (AND) dos n sinais de entrada:
•
Se sinal é 1, sinal de entrada é usado diretamente
•
Se sinal é 0, sinal de entrada é complementado
Maxtermo:
•
Corresponde a uma linha da tabela verdade
•
Soma (OR) dos n sinais de entrada:
•
Se sinal é 0, sinal de entrada é usado diretamente
•
Se sinal é 1, sinal de entrada é complementado
40
Exemplo: Mintermos e Maxtermos
Entradas
Saída
Termos
A
B
C
X
Mintermos
Maxtermos
0
0
0
1
m0 = A • B • C
M0 = A + B + C
0
0
1
0
m1 = A • B • C
M1 = A + B + C
0
1
0
1
m2 = A • B • C
M2 = A + B + C
0
1
1
1
m3 = A • B • C
M3 = A + B + C
1
0
0
0
m4 = A • B • C
M4 = A + B + C
1
0
1
0
m5 = A • B • C
M5 = A + B + C
1
1
0
1
m6 = A • B • C
M6 = A + B + C
1
1
1
1
m7 = A • B • C
M7 = A + B + C
41
Soma de Mintermos a partir da Tabela Verdade
•
Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma SOP:
•
Expressão booleana:
•
Soma (OR) de mintermos
das linhas da tabela verdade em que saída é 1
•
Exemplo:
Entradas
Saída
A
B
X
0
0
0
0
1
1
⇒ m1 = A • B
1
0
1
⇒ m2 = A • B
1
1
0
X = m1 + m2 = A • B + A • B
42
Produto de Maxtermos a partir da Tabela Verdade
•
Dada a tabela verdade, obter expressão booleana na forma POS:
•
Expressão booleana:
•
Produto (AND) de maxtermos
das linhas da tabela verdade em que saída é 0
•
Exemplo:
Entradas
Saída
A
B
X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
⇒ M0 = A + B
⇒ M3 = A + B
X = M0 • M3 = (A + B) • (A + B)
43
Exemplo: Soma de Mintermos e Produto de Maxtermos
Entradas
Saída
A
B
C
X
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Mintermo
Maxtermo
M0
M1
M2
m3
m4
M5
m6
m7
X = m3 + m4 + m6 + m7
= A•B•C + A•B•C + A•B•C + A•B•C
X = M0 • M1 • M2 • M5
= (A + B + C) • (A + B + C) • (A + B + C) • (A + B + C)
44
Exemplo: SOP e POS a partir da Tabela Verdade
Entradas
Saída
A
B
C
Y
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
45
Equivalência de Circuitos: SOP e POS
Entradas
Saída
A
B
X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
SOP:
X = A•B + A•B
POS:
X = (A + B) • (A + B)
?
≡ (A + B) • (A + B)
A•B + A•B
Entradas
Auxiliares
Saída
Auxiliares
Saída
A
B
A•B
A•B
A•B + A•B
A+B
A+B
(A + B) • (A + B)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
46
Equivalência de Circuitos: SOP e POS
•
SOP:
X = A•B + A•B
•
POS:
X = (A + B) • (A + B)
A•B + A•B
?
≡ (A + B) • (A + B)
(A + B) • (A + B) =
Distributiva
A•A + A•B + B•A + B•B =
Complemento
0 + A•B + B•A + 0 =
Elemento Neutro
A•B + B•A =
Comutatividade
A•B + A•B
47