UD-S·
LUGAR DAS RAizES
]
--~-
OBJETIVO
Apresentar os fundamentos basicos e a forma de emprcgo do metodo do
LUGAR DAS RAIZES em sistemas de controlc lincares,continuos e invariantes
no tempo.
(D/AZZO, CAPiTULO 7)
SUMARIO
5.1
Introdu<;ao
5.2 Representa<;3.o das raizes de uma equa<;ao caracteristica
5.3 .Analise qualitativa do lugar das raizes
5.4 Procedimcnto resumido do metodo do lugar c1as raizes
5.5 Fun<;ao de transfercncia a malha aberta
5.6 Palos da rela<;ao cle controle
5.7 Propriedades geometricas do lugar das raizes
5.S Exercicio
PRE-REQUISITOS
UD-I a UD-4
5.1 INTRODU(:AO
Para 0 projelista de sistemas de controle c esscncial a car~lciclaclc (/c
preyer 0 desempcnho do sistema por meio cle um metodo de a!l{~lisc que scja
simples ..
E desejclvel,
tambcm, que eSSJ anilisc indique como ajLlst8r OLl comoenS,ll"
o sistema, a fim de obter as caractcrlsticas de desempcnho clescj8das.
94
A primeira duvida que 0 projetista deseja sanar a respeito de um si:;tern:1
e sobre a sua estabilidade. Enquanto 0 criterio de Routh indica sc 0 sistema e
estave1 ou nao, 0 Metododo Lugar das Raizes revela, a1cm disso, seu grau de
estabilidade.
Em 1942 W. R. Evans, em sua tese de mestrado, concebeu
Lugar das Raizcs.
LUGAR DAS RAIZES
0
Metodo do
grafico das raizcs da cquac;ao caractCrtstIca de um
sistema a malha fechada, em func;ao dv ganho.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL: os palos cia relac;ao de controle C(;;)IR(s)
(modos
cia
rcsposta
transitaria)
se
relacionam com os palos e zeros cia fun<;ao
de transfc.Jcncia a malha abena G(s).H(s) e
com 0 ganho K
VANTAG EM : as raizes da cq uac;ao caractcnstIca podem ser obtidas
diretamente. Oai resulta a soluc;ao completa da rc::;posla
transitaria e da resposta em regime permanente cia v;:ri8vel
controlada c(t).
5.2 REPRESENTACAO DAS RAIZESDE UMA EQUACAO
CARACTERISTICA
Toma-se como exemplo
R(S)
0
sistema de contro!e de posic;ao abaixo :
E (S)
~
C(S)
G(S) = S(;+ 2)
B (S)
Sua fun<;ao de transfercncia a malha fcchada ( relac;:ao de conlrole ) C :
C(s)
R(s)
onde
I
5 ( 5
CD n
·K
+ 2)
CD~
K
+ K
/K
S
(
2
+2s +
I/iK
c
K
:;
s +
') r
-
'>
I
(U
II
5
(7.3)
+ CDI~
0</«00
o problema que se aprCslnta (~: delelillil1:1(:F (Jizes dJ eqll:l(;:i(
caractcrisllca f':-!J3 lodos os v(;lll'[T:-; de .f.( e rcprcscl1i:i-1J:-' !"j() r :1110 S
-I
± Jl
- K
95
a) K=O
fun~ao
51,2 sao, tambem, os palos da
aberta G(5)H(5).
b) K = 1
51,2
c) 0 < K < 1
as raizes
de transferencia a malha
=-1
51,2
sc situam sobre
0> 51>-1
-2 <
52
eixo real negativo do planu s.
0
<-I
as raizes sao complexas e conjugadas.
d) K> 1
±jWd- -(w n +jw"JI-(2 -
SI,2=a
f
-I ±jJK-I
j",
K
Pianos
Tabcla 7.1 Localizn~ao das rail.cs
para a cqua~:io caracteristica
s~ + 2s + K = 0
K
s,
-0
.. jO
O~~
-0,293
0.75
-0,5
1,0
-1.0
-1.0
-1,0
jO
-I- jO
-I- jO
.. j 1.0
-I- jl.414
J.O
j.Q
?.Q
o
~,O
j2.0
-I-
K~9
-2.0 - jO
-1.701- jO
-1,5 - jO
-1.0 - iO
-1.0 -jt,O
-1,0 -jl,414
-2
~
jl,O
K-Q
1.9
-I
t
?.Q
-
(J
Qj
-jl.O
j.Q
-j2.0
K
I
Flg. 7.2 Tra~ado de todas as rail.es da cqua~50 caracterfstica s' + 2s + K = 0 para 0 .;; K .;;
valorcs de K cstiio subJinhados.
co.
Os
D'Al.zo/m
Sobre as curvas, constituidas de dois ramos, situam-se todas as possivcis
raizes da eq uac;iio caracteristica quando K assume valorcs de 0 a <Xl
Cada ramo
c graduado em func;ao do padimetro
K (valoree; sublinhados).
As sctas assinalam a direc;ao dos valores cresccntes de K.
Essas curvas constitucm-sc no trac;ado do lugar das raizes cia relaC;30 de
controle (7.3).
Concluido 0 trac;ado, podem scr sclecionadas as ralzes que melhar
a tcndcm as cspecificac;6es de dcsempenho do sistema.
96
A partir do grafico pode ser detcrminado
raizes selccionadas.
0
valor de K correspondente as
Escolhidas as raizes, pode ser obtida a resposta no dominio do tempo.
A partir do lugar das raizes de urn sistema de controle pode-se determinar
a varia<;ao no descmpenho do sistema com rela<;ao a uma varia<;ao do padimctro
K.
Como ilustra<;ao, a seguir c analisado 0 lugar das raizes do exemplo da
pagina 95, sendo apresentadas as propriedades vinculadas ao aumcnto do g;lOho
K do sistema.
1) Diminuiyao do rator de amortccimento
(
acarrctando allmento da
ultrapassagem maxima Me da resposta no dominio do tempo.
Equa<;ao caracteristica: b2 S2
( -
+
hi
S
+
AMORTECIMENTO EFETIVO
AMORTECIMENTO CRITICO
2
2
(
jI:7{
­
ho
=
0
bI
=!7; =
bI
2 Jb 2 bo
1
jK
Outra abordagem para visualizar a diminui<;ao de ( com
(J
(3.34)
0
aumcnto de K:
=
(3 ..3.3)
( =
(J
=
e constante;
Wn
aumenta com K.
(n
Plano s
a
Fig. 7.3 Lugar das ralZ:cs rcferenlc ao sistema dc rosi<;ao da Fig. 7.1
Iss/D'AZZO
97
.
'
..
'
",
. ',.:
2) Autnento da freqGencia natural nao amorte~idacun.
(7.3)
3) Aumento da freqGencia natural amortecida
CUd.
(2.32)
ae
4) Ncnhuma influencia sobre 0 amortecimento
taxa de decairnento ), que
permanece constante para todos os valores de ganho K acima de 1.
a -
a
:- b i
-2 b2
-2
- 2. 1
(3.33)
-1
5) Urn sistema linear simples de segunda ordem, qualquer que seja
ganhoK, pcrmanecc cstavel.
'
0
aumento do
,', Para sc obler 0 tra9ado do Lugar das Raizes para sistemas mais
complexos que 0 do cxemplo, podem ser empregadas as Propricdadcs
GconH~tricas do Lugar das Raizes (item 5.7) ou Mctodos CompuUi.cionC;lis
(MATLAB).
"
5.3 ANALISE QUALITATIVA DO LUGAR DAS RAizES
A fun9ao de transfercncia do canal direto do sistema de scgunda ordcm
da SC9aO prccedente tcrn a forma gcral mostracla abaixo :
K
G(s) =
s (s + 1 / T
(Fig 7.4(n))
)
1
Acrescentando-se urn zero, G(s) passa a tcr a forma mostradn abaixo :
(Fig 7.4(b))
Acresccntando-se um polo, em vez de um zero, G(s) sc torna :
Gp(s) =
s (s
+
K
I / T 1)( S
98
+
1 / T2)
(Fig 7.4(<:))
jw
"
~
K
K·Q
K"
I
I
Plano s
I
:K~O
--(1
_liT j
G(s);
Hen; I
K
s( .• + IITtl
K
lal
I
0:
jw
A parte do lugar das raizes fora do
eixo real um circulo ccnlrado
no zero z ; - lIT, e com raio
e
Plano s
KcQ
Ku
G(s); K(s
s( .•
+ liT:!
t
IITtl
H(s) = I
(1
lbl
j",
.?:
I
K
K-Q
Pianos
K~Q
-lITJ -IITj
~-K
K
G(s); s(s + IIT,)(s + lIT.>!
K,
K,
IJ (..) = 1
Fig 7.4 ( D'AZZO ) Lugar d:l.S Raizcs de C(s){ R(s)
CONCLUSOES
1) A introdu y3.o dc urn zero a esquerda dos polos tcm por efeito deslocar 0 lugar
das raizes para a esquerda, tendendo a tornar 0 sistema mais estavci c com
menor tempo de acomoda~3.o (s.
Os ramos verticais do lugar das ralzes dc C(s)jR(s) foram afastados do cixo
imaginario.
Para K> Krx as raizes se situam mais a esquerda do plano s que no sistema
original, pro\'ocando decaimcnto mais rapido do transitorio c mdtOr
cstabilidadc do sistema.
2)
A introdu y3.o de urn polo it esqucrda tern por efeito dcslocar 0 lugar das rJiles
para a direita, tendcndo a tamar 0 sistema menos csulvcl c com maior tCIll po
de acomodac;:3.o (s.
Os ramos vcrticais do lugar das r2llCS de C(s)jR(s) forJnl desiocados para a
dircitll.
Para K > K y duas das tres ralles [ocalizam-sc no semiplano s da direita,
garantindo a lnstabilidadc do sistenl.1.
99
Para K > K pas raizes cst~o.mais praximasdoeixo.imaginario que' no sistema
original, provocandodecaimento mais lento do·· transitario .; e menor
est~bilidade do sistema. .
; .,1
5.4 PROCEDIMENTO RESUMIDO
E apresentadoa seguir
do Lugar dasRaizes.
0
procedimento geral para a aplica<;no do metodo
1) Determinar a fun<;ao de t~ansferencia a malha aberta G(s)H(s) do sistema.
2) Fatorar 0 numerador eo denominador
s + a, ondc a pode ser real ou complexo.
el(;
G(s)H(s) em termos da forma
3) Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano s = (J
+ j w.
4) Os palos e zeros de G(s)H(s) determinam as raizes da equa<;ao caracteristica
[I + G(s)H(s) = 0 ] da fun<;ao de transfercncia a malha fechada.
Emprcgandopropriedades geom6tricas ou .programa de compiltador,
.determinar 0 lugar descrito pelas raizesda cqu~l<;ao caracteristica.'
5) (]raduar
0
lugar das raizes em fun<;ao dos valores do ga·nho K.
a) Se 0 ganho for preestabclecido, sabe-se imediatamentc a localiza<;ao das
raizes ..
b) Se a localiza<;ao das raizes de 1 + G(s)H(s) =
obtcr oganho K.
°for estabelecida, pode-se
6) Determinadas as raizes de 1 + G(s)H(s) = 0, pode-se calclllar a rcsposta do
sistema tomando-se a transformada inversa de Laplace.
7) Sc a resposta nao atender as especifica<;oes de desempenho desejadas,
determinar a forma que 0 lugar das raizes deveria nprcscntar para ntendc-Ias.
8) Sintetizar a estrUtllra a ser acrescentada no sistema a tim de produzir a
moditica<;ao pretcndida do lugar das rnizes original. Compensa<;uo do Lugar
das Raizes.
"
.
100
5.5 FUNCAO DE TRANSFERENCIA A MALHA ABERTA
A funC;30 de transfercncia a malha aberta tern a forma:
K (s + a\ ) ... (s + ah) ... (s + a w )
(7.12)
G(s)H(s) = - m - - - - - - - - - - ­
S (s + b I ) ... (s + be) ... (s + b u )
- podem ser reais ou complexos;
- podem cstar localizados no scmiplano s da esquerda cjou no
semiplano s da direita.
K
pode ser positivo, ou negativo. Nesta cadeira, contudo, so sera usado
j(
> O.
SENSIBILIDADE DE MALHA ou FATOR DE GANHO C 0 valor de
K quando a func;ao de transfercncia a malha aberta tern a forma acima :
fatorada com todos os cocficicntcs de s iguais a urn.
NOTA<;AO:
-)
zeros ai de G(s)H(s)
Pi -)
palos bi de G(s)H(s)
Zi
Pode-se agora rcescrever ( 7. 12) :
w
G(s)H(s) =
K(S-ZI)"'(S-zw)
Sill
(s - PI ) ... (s - Pu )
K
n (s n (s -
Sill
produtorio.
m - multiplicidade dos palos de G(s)H(s) em s = O.
w - grau do numerador = quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
II -
quantidade de palos de G(s)H(s), fora da origem.
11 -
grau do denominador
11
= m
+ ll.
101
(7.14)
U
e=1
7! -
zh)
11=1
Pc)
5.6 POLOS DA RELACAO DE CONTROLE
Scjam
c
Entao a func;:ao de transfercncia a malha aberta desse sistema sera:
(7.17)
( Foi cmpregada a notac;:ao Xi == Xb) )
A Rclac;:ao de Controlc dcsse sistema scr:5. :
C(s)
R(s)
=
A(s)
B(s)
G(s)
I + G(s)H(s)
P(s)
C(s)
R(s)
o
(7.1 S)
Q(s)
(7.20)
polinomio caracterlstico, por sua vez, sera:
B(s)
D j D2
+
KcKHN, N2
D1 D2
(7.19)
Os zeros do polinomio caractenstlco B(s) sao os palos da relcl<;ao de
controlc C(s)/R(s). Eles dcterminam a forma da resposta transiU)ria do sistema,
produzindo componentes transitarios de c(t) que pcrtencem ~ls categorias
apresentadas na tabela 7.2.
o numerador P(s) de (7.20) apenas modifica a constante que multiplica
os componcntes dJ tabela 7.2.
Doravantc, K H = 1 . Logo, K = K c => ganhos iguais para: canal
dircto G(s) , malha aberta G(s)H(s) , rnalha fechacla C(s) / R(s) e rolinomio
caracteristico B(s).
102
Tabcla 7.2 - Resposta c(t) no dominio do tempo.
FATOR 1\'0
DE~Oi\IE\'ADOR
fORMA
TRANSfORMADA ll'NERSA
C(s)
DE R(s)
DE LAPLACE
DO
SI~AL
_o-
I
s
s+
52
DEGRAU
/(-I(t)
+
I
1
e-T
T
:2 (
OJ"
5
+ (wS
I
I
EXPO;\,Ei\"CIAL
DECRESCEi\"TE
f
C( - ; w"f)
sent
«
(OIule
OJ"
J (I _ (2)
t+ 0)
I
SEi\OIDE
AMORTECID;\
J
I)
o
principio fund3mental do metodo do lugar das raizes repousa no fato
de q lie os palos da rclaliao de controlc C(s) I R(s) se relacionam com os palos c
zeros da fllnc;ao de transfercncia a malha aberta G(s)H(s) e com a sensibiliclade
de malha K.
C(s)
R(s)
=
K Nt D2
D 1 D2 + [( N 1 N2
(7.20)
KJV 1 N 2
G(s)H(s) = - - ­
(7.17)
D[ D 2
D l D2
Os palos de C(s) / R(s)
+ K N 1 N 2 = O.
a) ParJ [(
~
b) ParJ K
~ 00
0
=>
=>
D , D2 = 0
siio
valores de
5
q l1e sa tisfazem
~1
[ palos de G(s)H(s) ].
K N 1 N2 = 0 [
zeros de G(s)H(s) ].
CONCLUSAO
PJra K variando de zero a 0 0 , 0 !ugar das raizes de C(s) / R(s) lrllCla
sell caminho nos palos de C(s)H(s) e tCfminCl-o nos zeros de C(s)H(s).
103
° podem ser determinadas a
(7.21)
+ G(s)H(s) = °
As raizes da cqua9ao caracteristica B(s)
partir dc(7.22) :
B(s)
=I
=
Dc (7.14) :
G(s)H(s) -
K (s -
21 )
sm ( S
PI) ... (s - Pu )
-
( S -
2w )
-
(7.22)
-1
Dcssa forma, enquanto K assume valores de zero a 00, a funr;ao de
transferencia a malha aberta G(s)H(s) deve manter-se sempre igual a -1.
Os valores de s que satisfazcm a ( 7.22 ) para todos as valores de K sao
as palos de C(s) I R(s) [vcr (7.18) ].
A§ curvas descritas par csses valores Je s sao denominadas LUGAR
DAS RA£ZES de C(s) I R(s) .
A seguir sao determinadas as condiyoes de obtcnyaodo lugar das raizes
para valores positivos da sensibilidade de malha K.
A forma geral de G(s)H(s) , al6m de ( 7.12 ) e ( 7.14 ), pode tambcm scr:
G(s)H(s) = Fe - j f3 =
I G(s)H(s) I e- j (J
A partir da identidade de Euler, ejO = cos e + j sen 0,
membra de (7.22), -I, pode ser expresso da seguinte forma:
i
-1 =
A equa9ao (7.22)
se tern :
(I
+ 2 h ) 1f
;
-I
segundo
± I, ± 2, ...
c satisfeita unicamentc para valores de
I G(s)H(s) I e-)P
onde
h = 0,
0
ej
(1
+
2 Jz )
s para as quais
1f
I G(s)H(s) I ­
-fJ -
(1 -
2/i)rr
(7.23)
CONCLUSOES
Para que um certo valor de s seja uma raiz da equa<;:.ao catacteristica
B(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 ( ou urn polo da rcla<;:ao de controlc C(s) I R(s) ) c
necessario que:
I) 0 modulo de G(s)H(s), fun<;:ao da variavel complexa s, seja sempre igual a 1.
2) 0 angulo de fase de G(s)H(s) seja sempre urn multiplo impar de rr (180°).
104
As conclusoes anteriores podem ser formalmente cxpressas e trad uzidas
par duas condiyoes :
I) CONDIC;AO DE MODULO
II
G(s)H(s) I = I
I
(7.24)
2) CONDICAO ANGULAR
Arg[ G(s)H(s)] = (1
+
2 h ) 180 0
h
= 0,
± I, ± 2, '"
(7.25)
Essas sao as duas condi<;oes cujo atendlmento define a lugar d2S raizes
para todos as valores de K, de zero a infinj~o,em sistemas de controle com
rcalimenta<;ao negativa.
APLICAC;Ao DAS CONDIC;OES ANGULAR E DE MODULO
Considere-se urn sistema de controle com fun<;ao de transfercnci;":l
a bcrta da forma:
G(s)H(s)
3.
malha
(7.28)
A figura 7.6 aprcscnta os polos e zeros desse G(s)H(s) locados no plano
s.
Um polo ou zero de multiplicidade
diagrama :
polo: X J,n
zero:
OJ
171
= 2, 3,4, ...
c assim
indicado no
jW
In
s
s- Pi
s
~
--------=---f-----f-;.-}----l--------7<;--'----------OiE-----~>
~
P-==U-J'W
3
d
X
Fig 7.G Diagram:! de p(')/os c Zeros de ( 7.'28 ).
iOS
Para urn dado valor de 5 os termos de 5,5 - Pi e 5 - Zi sao representados
por segmentos de reta orientados. Como exemplo, para 5 = - 4 + j 4 e
PI = -1, tem-se :
5 -
Is -
cPt =
PI
PI =
I
=
Arg(s - PI)
3 + j 4
-
J3
2
= tg- l
2
+
4
(
4 ) = 126,87°
3
= 5
A partir da locac;ao dos palos e zeros de G(s)H(s) pode-se obter 0 trs.c;ado
do lugar das raizes de C(s) / R(s) testando, para varios pontos do plano s, se cad a
urn deles pertence ou nao a esse lugar.
Isso c feito verificando se caela ponto nendc ou nao, simultaneamentc,
as condic;6es angular e de modulo.
FORMA GERAL DE G(s)H(s)
K (s -
G(s)H(s)
Slrl (
(S -
2u
s - PI)
(S -
Pu
I G(s)H(s) I
CONDIc;AO DE MODULO
I K I IsI snl I I s -
J
21 )
I
IsPI I ... I s -
zi
(7.14 )
)
=
(7.29)
I
Pu I
(7.31 )
Zw
SENSIBILIDADE DE MALHA
IKI ­
I Sill I , s Is-
I
21 I
IsIs-
PI
Pu
2 ev
I
I
(7.33)
CONDI(:AO ANGULAR
A rg[ C(s)H(s) ] = -
.
",
_~o.dos
... - .0.
0
0 = ( I + 2 h ) 180
0
/z = 0,
+ 1, ± 2, ...
(7.30)
os anguJos sao considcrados positivos quando mcdidos no 5cntido
- {J
Arg(s - ZI) + ... + Arg(s - Zw) -m Arg(s) - .Arg(s - PI) - ... -
=
Arg~.s
- {Ju)
(7.32)
- {J
I (
=
I (
fases dos termos do nurrierador ) -
fases dos tcrmos do
deno minad or )
(":'.34)
{J
=
I: (
I: (
fases dos termos do dcnominador ) -
fases dos termos do
numerador)
Como /z pode ser posltivo ou negativo, entao :
( 1 + 2 h) 180 0
(I
Arg(NUMERADOR)
Arg(DENOMINADOR)
+ 2 h ) 180 =
L
0
L
¢j
-j (7.35)
t/J,
Excmpld 5.1 :
Ko ( 1 + 0,25
G(5)H(s) =
para
0
( I
5 )
(7.36)
+ 5) ( I + 0,5 5) ( I + 0,2 5 )
Descja-se determinar 0 lugar de todos os palos posslyeis de C(5) / R(s)
sistema de eontrolc com a furH;ao de transfercneia a malha aberta ae;ma.
1) Exprcssar G(5)H(s) de aeordo com sua forma geral (7.14).
Ko ·0,25
G(s)H(s)
+4)
(s
(s+ 1 )(S+2)(5+5)
0,5.0,2
K(s+4)
(s+ l )(5+2)(s+5)
G(s)H(s)
(7.37)
onde K = 2,5Ko
2) Assinalar os palos e zeros de G(s)H(s) no plano eomplcxo.
jW
r<x~ro
O'i: TEST E ~
-~
/
lJ
./'
/
/
I!
/'
I \
/
(j
/
/('¢
i'
/ / //
"
\1
j
J
P L A NO S
I \,
I
!>'
l
~\ 1J~
/ ",
\...-:r
~ji
_ _---:)<~:----'-i-:;~c;(~._--c'-----X-~l-----,-,'i;--'---- f - - - t > -
- 5
-
.- 2
i
-
L
fig 7.7 CO(lstn/(;:lo do Liag!;uiI;\ de Palos e Zeros de G(s)!l(s).
!07
cr
3) Assinalar urn ponto de teste no plano s :
o
ponto de teste e ligado a todos os polos c zeros de malha aberta por meio
de segmentos orientados.
<Pi - fases dos termos do denominador (polos).
t/!i - fases dos termos do numerador (zeros).
Ii - comprimento dos scgmentos oricntados originados de fatorcs do
denominador (polos).
(Ii) - idem, do numerador (zeros).
4) Testar se 0 ponto anterior pcrtcnce ao lugar das raizes.
Para tal cmprega-se a condiyao angular:
(7 .3~)
Sc
0
ponto satisfaz a condic;3.o angular, entao pcrtcnce ao Jugar das raizes.
5) Repetir 3) c 4).
Faze-Io ate obter uma quantidadc de pontos pcrtencentcs ao lugu das ralzes
qua possibilite traya-Io.
6) Graduar
0
lugar das raizes em funyao da scnsibilidadc de malba K.
IKI
Seja
11 =
13 =
(7.39)
51
urn ponto que satisfaz a condiyao angular. Entao:
151 + 11
15 1 +
SI
12 = 151 + 21
(II) = 15\ + 4 1
1
""1
jw
,K
I
Plano J
}:
(a)
Ij
"'.
108
OBSERVA<;OES
a)
E importante ressaltar que
nao de Ko.
K = 2,S.Ko .
0
lugar das raizes foi graduado em func;ao de K e
Comparar express6es (7.36) e (7.37).
b) A simetria do JugaI' das raizes em reJac;ao ao eixo real facilita tanto sua
construc;ao quanto sua graduac;ao em func;ao da sensibilidade de malha K.
c) Os procedimentos 3, 4 C 5 sao extremamente trabaJhosos. A proxima sec;ao
apresenta as propriedades geometricas do JugaI' das raizes, que facilitam muito
seu trac;ado.
5.7 PROPRIEDADES GEOMETRICAS DO LUGAR DAS RAIZES
A aplicac;ao do metoda do lugar das raizes e muito facilitada pclo
emprego de suas propriedades como regras de constrw;ao do lugar.
Tais propriedades sao baseadas na interpretac;ao da conctic;ao angular e
na analise da cCJ uac;ao caracteristica para K> O.
I) NUMERO DE RAMOS
"0 ntlmero de ramos clo lugar de Evans c igual ao nUnlero de palos da
func;ao de transferencia a malha abena G(s)H(s)."
o
numero de palos de G(s)H(s) deterlnina
(7.14), (7.17) e (7.19).
I + G(s)H(s).
0
grau do polinomio caracteristico
A eCJuac;ao caracteristica B(s) = 0 e de grau n = m
+ u.
m - Quantidade de palos de G(s)H(s) na origem.
u - Quan ticlade de palos de G(s)H(s) fora da origem.
Hel, portanto,
malha K.
11
raizes. Cad<l r[liz e uma func;ao continua cia scnsibilicladc <.Jc
Como K vari<l continuamente de zero a infinito, cada raiz clesclcve
continua.
Ha, entao, n curvas ou ramos no lugar das raizes complcto.
109
lIIlla CUIV:l
2) TRECHa SaBRE
~obrc
a Elxa REAL
0 numero totaL..cle-P61os e zeros reais a dircita do ponto de teste 5
eixo real e impar, esse ponto pertenee ao lugaL"
~
­
liSe
0
jW
PLANO 5
~ef-++---x:X:--~X~-8f--t----------7<XI:------:-----:K-----1~ (J
P3
Z2
~
Zt
Fig7.9
Dctcrlllina~ao do
Para 0 ponto de teste
impliea em scr vercladeiro :
51
11
52
lugar soore
da figura 7.9
0
0
cixo real.
atendimento da eondi<;ao angular
a) A eontribui<;ao angular de todos os palos e zeros sobre
de 51 C nula.
0
eixo real
a csquerJa
b) A eontribui<;ao angular de eada par de palos ou zeros eomplexos eonjugados
de 360°,
c) A contribui<;ao de cad a polo ou zero sobre
cPo
=
180
0
eixo real il clireita de
o
Entr<lndo em (7.41) : 180 + 360 = (I + 2/Z)180°.
Portanto, SI pertcnce ao lugar c18S raizes
0
Para
0
ponto de teste
52
0
tem-se alteray-ao arenas em <P'
q;I =
180
0
Entranclo em (7.41): [80 0 x 2 + 360 0 ¥ (I + 7...iz) 180°.
Portanto, 52 nao pertence ao lugar das [;llzes.
110
SI
c
Cde 180°.
3) PONTOS TERMINAlS
"Os pontos de partida ( I( = 0) sao as palos de malha aberta, os pontos
terminais ( I( = 00 ) sao as zeros de malha aberta, e as pontos nc) infinito s50
considerados zeros equivalcntes de rnultipliciclade n - W n.
o valor da sensibilidade
modulo c dada par (7.33) e tern a
de rnalha I( que satisfaz a condir;.1o de
forma geral (7.43) :
m
I. 15 - PI I ... Is - Pu I
II(I = - - - - - - - Is - zl I ... Is - Zw I
15
quantidade de palos de G(s)H(s) na origem.
quantidacle de palos de G(s)H(s) fora do. origem.
w - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
n - quantidade total de palos de G(s)H(s). (n = m
(7.33)
In II -
+ ll)
Il
I(
n
n
= _c_=_I
Is-Pcl
_
w
15 -
Zh
(7.43)
I
h=1
Obs : para 0 ~ K ~
00
-4
IK I =
K
Il
n 15 - pcl
K=----­
(7.43 )
n= 15 - zhl
c=1
w
1
h
a) Quando
5
= pc
-+
K = O.
b) Quando 5 = Zh - 4 K = 00.
Comparar a) e b) com a p:igina 103.
c) Quando n > w,
5
=
00
-4
C(s)H(s) =
K=
00,
K (5
-
equivalendo a "zero no infinito".
zl) ... (s -
III
Zeo )
n
(7.! ..
.
s (5 - PI) ... (5 -
flu)
Examinando (7.14) observa-se que C(s)H(s) possui w zeros Ci,;ilOS
zeros no infinito (n = m + u).
III
C
Il -
C!)
4) ASSINTOTAS QUANDO s TENDE PARA INFINITO
"Existem n - w assintotas do lugar das raizes, e seus angulos sao dados
por (7.49).1
1
Y=
( 1 + 21z ) 180
0
(7.49)
n-w
IZ - quantidade total de polosde G(5)H(s).
w - quantidade de zeros finitos de G(s)H(s).
Scja:
OJ
n (s - z/z)
G(s)H(s) = __~:_=_l
_
n (s-Pc)
K
(7.14 )
c=1
Tomando-se
0
limite de G(s)H(s) quando s ~
S
lim G(s)H(s) =
Oa eq uac;ao caracteristica B(s)
K
S
II -OJ
Condic;ao de modulo:
Condic;ao angular:
0
II~OJ
= 1 + G(s)H(s)
=
(7 .4~)
0 tem-se G(s)H(s)
n-OJ
- K =s
= -1
I - K I = I sn -w I
Arg(
-1..1
angulo da assintota com
Entao, y = Arg(s) quando s
0
=
-1.
(7.44)
(7.45)
Arg(s"-w) -
=
Dc (7.47) : (Il - w) Arg(s) = ( 1+ 21z )180
Seja y
S
->00
00 :
(I
+ 2h)180°
(7.47)
0
eixo real.
~ co.
Y=
(1
+ 2h) 180
n-w
0
(7.49)
jW
PLANO
S
Fig 7.10 - Condi~iio assintotica par:! grandcs ya(orcs de s.
a) n - w = I
b) n - w = 2
jW
j\..J
c)
IZ -
w = 3
d)
IZ -
W
=4
jW
jw
t
y=- 45°
1=60°
1
_~'-----_ _H-~----L..L.L...L-l
113
---t-_~ (f
5) PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0 EIXO REf.~L
"0 ponto de
interse~ao
das assintotas sabre a eixo real C uo, dado par
(7.50)".
(7.50)
n-w
Esse resultado pode ser obtido a partir da teol'ia das equac;6es.
6) PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO REAL
"Uma vez que K comep com valor zero nos polos e aUnlenta de -:alar
que a lugar se afasta deles, ha um ponto em algum local entre as
polos onde as valores de K dos dais ramos alcanc;a simultaneamente 0 seu
maximo. Esse Ca chamado ponto de partida."
a medida
"Uma vcz que K termina com valor inftnito nos zeros finitos au nao, e
Qiminui de valor a medida que 0 lugar se afasta dclcs, ha um ponto em algum
local entre as zeros on de as valores de K dos dois ramos alcanya
simultaneamente a sell valor minimo. Esse C 0 chamado ponto de chegacla."
I
I
"
I
I
I Ponlo de
I inflcxao
K
I
I
Min. __ ;
_
I
_'~_-_K
!
~
-+'-I/_S_2-..{,~
1\
K
I
=a
I
.'-...
1
=_~_~~.
P z"
l?
. -
\
I
-..
: K ~ _I
I
.
;
'-
I
"'.
II
~I
I
t
j
K!
!
I
.M<ix.
I
I
:
1
I
---K
I
/
PI~
'51
'
K - 0
o
Po
K = 0
(0)
I
I
10-­
I
f 11\1
I
K
;\",
i \.'K
I
I
I
Min. - -
J!f;' ~
..
_.
!
'/j
Fig. 7.11 Tra<;Juo de I: ;'usus a
(b) fig. 7.51,.
. _ - - ... 0
s,
C OS
Ircchos do lugar eJas raizes correspondcnlcs para (a) Fig. 7.)a ~
114
o tra<;ado de K versus u, referente ao trecho do lugar das raizes
compreendido entre urn polo e urn zero, recai em uma das seguintes catcgorias:
a) 0 tra<;ado indica c1aramente urn pica e uma depressao, conforme ilustrado
na parte direita da fig 7.11 (b), trecho entre PI e Z!. 0 pica representa um
valor de K maximo que satisfaz it condi<;ao de ponto de partida. A
depressao representa urn valor de K minimo que satisfaz ~1 condiyao de
ponto de chegada.
b) 0 tra<;ado contcm urn POQ.t9 deioflexQo._Os pontos de partida e de c~:egada
sao coincidentes, conforme mostrado na parte central da fig 7.11(a), trccho
en tre Zj e P2.
c) 0 tra<;ado nao indica combina<;ao pico-depressao e mostra c1at'amente a
impossibilidade de existencia de pontos de inflexao. Ncsse caso nao ha
pontos de partida ou de chcgada.
Equa<;ao caracteristica: B(5) = 1 + G(5)H(5) = 0
G(5)H(5) = -1
Entrando com (7.14) :
n (5 n (5 - Pc)
OJ
K
ZIi)
Ii = 1
II
-1
c=1
II
K
n (5 - pJ
c=\
Deriva-se a expressao acima em rclayao a s e igua la-se 0 resultadu a
zero. As raizes assim obtidas corespondem aos valores m[lximos au min~mos
da sensibilidade de malha K, ou respectivamcntc aos pontos de rartida ou de
chegada do lugar de Evans.
115
jw .
PIanos
(f
(0)
jw
K-~
K=Q
(h I
fig. 7.5 Diversas
conr;gura~6es de
lugar das ralzes:
(a)
1(s + IIT,)(., + lIT.)
G(s)lI(s) = .,(s + IIT,)(s 7 liT,)
G(., )Hen =
K (s + lIT,)
(c)
EXEMPLO 5.2
Scja :
K -G(s)H(s) = - - ...
s(s+1)(s+2)
K = -S(5 + 1)(5 + 2)
K=
-S3 -
K(s + IIT,)(s + tIL)
(s + iT~if5+ -'/"=To-,)::':"(s-+--;'-;"OIT:;;-,-J
3s 2 - 25
dK
d5
- - = -35 2 - 65-2
lUi
-I
6 ± J36 - 24
-6
.: 51
= -0,423
52
= -1,577
jW
t
-2
!
-i
-0,423
A raiz 52 e descartada pela propriedadc 2, uma vez que 0 trecho entre
os palos -1 e -2 nao pertence ao lugar das raizes
51 C, portanto, 0 ponto de partida, 0 maximo valor de K entre os p<')los
o e -1.
7) ANGULO DE CHEGADA OU DE PARTIDA DE RAIES COMPLEXAS
c
"0 angulo de partida <P de urn polo complcxo igual a 180° mais a
soma das contribuir;6es angulares dos zeros finitos menos a soma das
contribui~6es angulares dos demais palos."
<Pi -
L
\11
-
L(
DEMArs <p)
+
(I
+
2h) 180
0
"0 angulo de chcgada if; de urn zero complexo c igual a soma das
contribui~6es angulares dos palos menos a soma das contribui<;:6es angulares
dos demais zeros, menos 180°."
\IIi
L <p - L (
DEMArS if;) - ( 1 + 217) 180
Obs : os palos c zeros citados sao de malha aberta.
117
0
(a )
(b)
Fig 7.12 Condis;ao angubr
1l:lS
proximidadcs de
UlIl
polo cOl1lplcxo.
A figura 7.12 apresenta, na parte (a), uma certa configurac;:ao de' pO!JS
c zeros de malha aberta. Deseja-se determinar 0 angulo de partida <P2 do lugar
das ralzes no polo P2. U ma regiao em. torno de P2 c cscolhida e ampliada na
parte (b). Essa rcgiao C suficientemente pequena de modo a ter [2 muito menor
que [0, ft, [3 e (01'
Nessas condic;;6es, a contribuic;;ao angular de todos os polos e zeros,
exccto P2, C aproximadamcnte constante para todos os pontos no interior da
regiao.
A aplicac;:ao da condic;:ao angular conduz a :
(7.56)
o angulo de
zero,
0
partida
e, entao :
Esse resultado confirma a expressao da pagina anterior.
Para se determinar 0 5ngulo de ehegada t/Ji do lugar das ralzes em um
raciocinio c analogo ao desenvolvido aeima.
8) PONTO DE INTERSEC;AO COM 0 EIXO IMAGINARIO
"Quando 0 lugar dJS raizes atravessa 0 cixo imaginario em clircc;:30 ao
semiplano 5 da direita, 0 ponto de intersec;:ao eom 0 eixo imaginario pode ser
obtido Jtra\'cs do algoritmo de Routh."
i
\
I
I
Rever item 4.2, paginas 69 a 76.
liS
9) NAO INTERSECAO OU INTERSECAO DE' RAMOS DO LUGAR DAS
RAIZES
Seja :
n
W(s) -
- K =
n (s c=!
pJ
(Vcr pagina l15)
As propriedades a seguir podem ser deduzidas a partir da teoria ctas
variaveis complexas.
a) "L!m valor de
ralzes.
5
que satisfaya a condiy?to angular pertence ao lugar das
Se, ncsseponto, dW(s) / ds::f. 0, entao ha urn unico ramo do lugar que passa
ali.
Nao ha, portanto, interseyocs de ramos do lugar nesse ponto."
b) "Se as primeiras y - 1 derivadas de W(s), com rclayao a 5, se anulam para
um dado ponto do lugar das raizes, havcn!. y ramos chegando e y ramos
saindo desse ponto.
o
angulo /y entre as direyoes de dais ramos adjacentes que cbcgam <10
ponto c dado por (7.62).
o angulo By entre a direyao de dois ramos adjacentcs, urn cheg<1ndo e O!Jlro
saindo do ponto, c dado por (7.63)."
Paino.,
.Oy
Ay
'"
Fig. 7.14 Lugar das ralzes rclativo a
G(.I)H(5) =
+
)'y
= ±
360
Y
0
180
0
---
(7.62)
(J
I
K ,
(5 + 2)(5 + 4)(5' + 65 + 10)
206
119
.
By
±
y
(7.()J)
10) INVARIANCIA DA SOMA DAS RAIZES DO SISTEMA
"Enquanto 0 ganho de K varia de zero a infinito, a soma das raizes
permanece constante."
Em outras palavras, a soma das raizes se conserva e e independcnte
de K.
Quando um sistema aprescnta vanos· ramos do lugar das raizes
tendendo para infinito, as direyoes dos ramos sao tais que a soma das raizcs
nao se altera. Urn ramo que se dirige para a direita exige, assim, um outro que
se dirige para a esquerda.
Sejam ti, j = 1,2, ... n, as ralZCS do
da sensibilidade de malha K.
~.istema
para urn valor q ualq uer
Pj, j = 1,2, '.. n, palos da funyao de transfercncia a malha aberta
G(s)H(s), sao valores partieulares de Ij para K = O.
Tem-se entao que:
(7.68)
11) DETERMINAC;AO DE RAIZES NO LUGAR DE EVANS
Pronto 0 trayado do lugar das raizes, empregam-se espeeifieayoes de
desempcnho do sistema para determinar a loealizac;ao das raizes domin:mtcs
que as atcndem.
A sensibilidadc de malha K, ncecssanCl para a obtcn<;5.o das rnizes
dominantes, pode ser entao cletcrminada a panir cla eondiyao de n1l:idu[o
(7.33).
As raizcs rcsUmtcs nos outros ramos do lugar poclcm ser dcterminacl~ls
de tres manciras :
a) Por tcntativas
Sobre cada urn dos ramos procura-se eneontrar, por tcntativJs, 0 ponto que
satisfaz J scnsibilidade cle malha rClaLlVJ its raizcs c10minantes clllprcg':lLldo
nova men te a eonclic;ao de mod ulo.
b) DivisJO da cqUGlyJO caracterrstica
Se todas as raizes sao eonhecidJS, exec to uma reeli ou um par de (aizes
complcx3.s conjugacJas, di\ide-se a cquayao c(1ractcrlstica pelos t'atores que
representam as raizes conhccidas. 0 quocicnte fornece as raizes lestantes.
l20
c) Regra de Grant
Faz uso da 10!! propriedade geometrica do 1ugar das raizes : invari:lncia da
soma das raizes do sistema. A condiC;ao necessaria c que 0 den0minador
de G(s)H(s) seja de grau superior ao do numerador em pelo menos duas
unidades.
n-2?:.w
n - numero de palos de G(s)H(s).
w- numero de zeros finitos de G(s)H(s).
Se todas as raizes sao conhecidas, cxccto uma real, a cxprcssao (7.68)
permite sua obtenc;ao.
(7.68)
Sc todas as raizes sao eonhccidas, exccto urn par eomplcxo conjugado
r = (j ± j w, a exprcsao (7.68) foroeec a parte real (j. A parte ec,m plexa
j w pode entao ser obtida do grafico do lugar das raizes a partir dc' fJ.
MARGENS DE GANHO E DE FASE
( Distefano, paginas 90, 233 e 32 I )
MARGEM DE GANHO (MG), uma medicla de estabilidade relativa, e 0 Cator
pelo qual 0 valor de projeto ( Kpr ) da sensibilidade de malha K C l11ultiplicado
para se obter 0 valor limite de K (K lim ), em que 0 lugar das raizes cruza 0 eixo
imaginario do plano 5, da esqucrda para a direita.
(13.16)
MARGEM DE FASE (MF), tambcm uma medida de estabilidade rclativa, C
definida como 180 mais 0 angulo de fase da func;ao de transfcrcncia a malha
aberta no ganho unitario.
0
Obtcm-se
IG.(jwl)H(jWI) I
=
ponto j WI sobre 0 eixo imaginario para (1 qual
I para 0 valor de projeto K pR da scnsibilidadc de mall,) K.
0
(13.17)
121
EXEMPLO 5.3
a) Determinar a margen de ganho :
KPR = 8
K lim
=
64
MG =
8
lvfG
8
64
~~.'
.1 pill
c_
I" \
">..
K=8
a
Fig. B-24
Fig. 13-25
b) Dcterminar a margem de rase: C(s)H(s) =
8
-
I
+
(jWI
8
(s
, -[
2)3
+ 2)3
=
WI
a
,-\IfF = [80 0
EXEMPLO 5.4
c
-I;
- ,I
,
Fig. 13-26
Fig. 13-2i
Detcrminar a margem de fase :
I G(jw,)H(;w ,) I
=
II.
I
Ijwl(;w,
+ 4)21
=
. 24
jC.')IUWI
Ij(;)I( -
+
WI 2
\'
4/
=
!
+ 8jw, + [6)1
- jcu 13
122
24
Com 0 auxilio de computador, calculadora programavel, metoda de Briot-Ruffini
ou por tentativas obtem-se':
WI =1,35
.
Arg[ GUI ,35)HUl ,35)] = Arg [ _ _ _ 24_
;1 ,3)(jl ,3)
=
MF = 180°
+
4
)2 ] =
. 1 35
4) = 0° - 90° - 2 arctg - '_
4
-90° - 2 x 18,65° = ~ 127,3°
Arg(24) - Arg(jl ,35) - 2 Arg(j1 ,35
Arg[ GUI ,35)HUl ,35)J =
+
+
Arg[G(jI,35)HU1,35)] = 180° -
127,3°
MF
EXEMPLOS DE GRAFICOS DE LUGARES DAS RAIZES
Tnbela 8.1 Cole~a(\ de grMicos de !ugarcs d~s raizes simples
II
LocalizayOes do
p61o-zero Oe malhaaberta e lugares
oas ralzes
G(s)H(s)
jw
K
I
is-
~b
I
I
t
1~
s
G(s)H(s)
Localizar;6es do
p61o-zero de malha­
aberta e lugares
das raizos
s2
i
jw
.L­
,(
s~P
-P
II
K(s~? )
­
S"-P
Iz
> p)
K(s "zl
s+p
jw
t
jw
jw,
I , I
U
I
K
I
s2 ...
U
- jWI
I
1
I
J.
I
I
I~
I
I
I
II
I
K
(S-fu}< ...
wj 2
I
I
I~
I
I II
K
I
-p -z
w,2
U
(z < p)
123
(s
+P,)( S ~ P2 )
jw+ .
----if
-0
0
f -jw,
*~
-PI
-P2 1
0
I
I
= 52,7°
Tabela 8.2 Configurae,6es de polos e zeros de malha-aberta
e lugares das raizes correspondentes
TabeJa 803 Gr.ificos dos lugares das raizes de sistemas com
realimentae,:io negativa e com realimenta<;:iopositiva
jw 1
jw
jw
r=-~} -----J-'.,.
._----~
IT
~/I
<v I
/'"
~
~I-)
~--
/ ~, /~
N
A
j
L--J-I
i .,. ,
----,.o-x-:---'
/!
I
II
~
I
I
I
1
I
L
(c
:
j
II •.,. I
!
!
/'"
_-x
!
I
x-__
,,!!
\
j
i
I
i
I
I
I
---i------r­
------~
IT
\ ...
I
/
,,
,
----"....
IT'
-/
;"'1
\)
.' U
-----,....,.
- ---:::-f'.{- .. -{ ­
•
I
I
i
i
·... 1
;,
~~0-­
I
"
J
I
I
!
I
I '\
i
,
'II
tr
~
;
'
\
x_
IT
t i l T
x
VII
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iii:
1 / " , ;1
/",-~
\
----+C)(- }--­
rr;
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'-.
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I
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I
I
~/
---­
.....,.
5.8 EXERCicIO
(D'AZZO, pag. 208)
Dcscja-sc determinar a resposta c(t) a uma entrada do tipo degrau
uniuirio, com fator de amortecimento ( = 0,5 para as raizes dominantes do
sistema de controle a seguir :
G(s) =
Kl
.
H(s)
5 ( 52 / 2600 + 5 / 26 + 1)
i
0,045 -I­
a) Expressar G(s)H(s) na forma geral (7.14)
G(s)H(s) =
G(s)H(s) =
2600 x 25 x K,
5 (52 + 1005 + ~.600) (5 + 25)
65000Kl
5 (5 + 25)( s + 50 - )10 ) (5 + 50 +)10)
b) Assinalar os palos c' zcros de malha aberta no plano complexo.
jW
Palos:
*-----------­
I
.
53,4
Nao
= -50 ± )10
_150
-
I
5
*-----------­
ha zeros finitos
+j /0
0
-jlO
REGRA 1 - NUMERO DE RAMOS
Como G(s)H(s) possui 4 palos, entao
ha 4 ramos.
REGRA 2 - TRECHO SOBRE 0 EIXO REAL
o
lugar existe sobre
0
eixo rcal entre 0 e -25.
REGRA 3 - PONTOS TERMINAlS
= 4 palos
}
n - W = 4 zeros no infinito
= 0 (nenhum zero finito)
?ontos de partida (K = 0) : os 4 palos de malha aberta do item "b" .
!1
:D
. ontos de chegada (K
=
(0) : os 4 zeros no
125
00.
'·5
REGRA 4 - ASSINTOTAS QUANDO s
n -
Y
ill =
4
4 assintotas
-+
(1 + 211) 180
n - ill
=
-+ 00
0
= (1 +
211)45
0
Y 1,2 =
± 45
Y 3,4 =
±
0
135 0
REGRA 5 - PONTO DE INTERSEC;AO DAS ASSINTOTAS SOBRE 0
EIXO REAL
(
n
:z= ~e( Pc) - 1: ~e( Zh)
r
0- 25 - 50 - so
c= I
h= I
-31,25
(Jo =. - - - - n - - - w - - (Jo =
=
4
(
(D
jW
""
/
/
" t /
- 50
/ "'-- 5
'" '"
X //
X
0;
"
/ /
----------¥-"*"----~--p.()
0
/
""
/
REGRA 6 - PONTOS DE PARTIDA E DE CHEGADA SOBRE 0 EIXO
REAL
fY(5)
= -
=
K(5)
5 (5
W(s) = s4 + 125 53
dW(5)
d5
=
45 3
52 =
- 45,95
- 38,64
53 =
-9,15
51
=
+
+
25)
(5
+ 50 -
j 10) (s
+
50
+ j 10)
+ 5100 52 + 65000 5
3 x 125
}
52
+
2 x 5100 5
+ 65000
Nao pertencem ao lugar das ralles.
Ponto de partida: -9,15.
Ponto de chcgada : nao hel.
REGRA 7 - ANGULO DE PARTIDA OU DE CHEGADA DE RAIZES
COMPLEXAS
Para as palos
cPo
= arctg (
4>1
'= arclg (
cP2
= 90°
~)
=
-)0
_1~5
)W
-so + jlO :
53 =
)
=
168,7
0
! 58,2
0
~x~ '_Q~ . .-l. l--~j?.o
__
-~
-25
1-<10
116
cP3' = 0
cP3
-416,9 0
=
Para
0
+
~,( 168,7°
+
158,2° + 90°)
+
(1
+
21z) 180
0
</h =
540 0
polo S4 = -50 - j 10, por simetria com
0
</;4 = -123,1°
eixo rea I ;
0
123,1
REGRA 8 - PONTO DE INTERSE(:AO COM 0 EIXO IMAGINARIO
C(5)
R(5)
=
I'
+
(/(5)
(/(5)H(5)
K1
(/(5) =
5 ( 52 / 2600
H(5)
0,04 :
=
+
1
+
5 / 26
-
s
KG
C(s)
R(s)
C(s)
R(s)
-
5 (52
+
K1
}
100 5
+
2600)
= 2600
= 25
Vcr pagina 102.
KG Kl/ = 65000 K1
~ /
. C(s)
.. R(s)
1)
~5 25
KIl
~~
+
5 (52
1+
S(S2
S4
+
+
S
(52
+
+
100 5 + 2600)
2600 K 1
25
100 5 + 2600) (5 + 25)
2600 K 1(5 + 25)
1005 + 2600)(5 + 25) + 2600.K1.25
2600 K 1(s + 25)
1255 + 51 00S2 + 65000s
3
,
~
+
65000 K1
Ap1ica-se agora 0
ALGORITMO DE ROUTH ao POLINOMIO
CARACTERISTICO (denominador da funtyao de transfercncia a, malha
fcchada).
5100
520 -
65000
K
1
520
(­
(apos divisao por 125 )
14,2 K 1
(­
(apos divisao por 4580 )
14,2 K,
127
Raizcs puramcnte imaginarias ocorrerao quando uma linha do algoritmo for
nula.
Linha
51 :
·520
14,2
520 - 14,2K1 = a
A EQUA<;AO AUXlLIAR
linha 52.
c formada
K 1 = 3G,G
a partir da linha anterlor; neste caso,
Os PONTOS qE INTERSE\=A.,0 do Juga!" das raizes com eixo imaginario serao,
assim, as RAIZES IMAG INARIAS obtidas a partir da cquac;ao auxillar,
empregando-se 0 valor de K1 que anulou uma das lin has do algoritmo.
52
+
14,2 x 36)6 =
a
52
5
=
-520
= ±j J)2fJ
5
±j 22,8
Fator de amortecimcn to ( = 0,5
e=
COS-I (
a=
Na figura abaixo
60° locado.
e=
cos-la,s
c aprescntado
0
grMlco do lugar das ralzes rcsultantc com
Plano 5
K
I~
Fig. 7.17 Lugar das ralles relativo a G(5)H(s)
=
65.000 K,{(5(5 + 25)(5' + 100 5 + 2.6(0)J.
210
REGRA It - DETERMli\;A\=AO DE RAfzES NO LUGAR DE EVA;iS
A partir da cspcciflco<;:ao ek UCSCIllrcnho
sistema SJO oblieJas (0 gr:l:lco Clcima :
.1"1,2
=
(= 0,) as [-aizcs c!Oll1lnJIllCS do
- 6,6 ±jl [,4
A sensibilidade de malha K Cobtida a partir da condic;ao de modulo (pagina 106):
IKI
K = 151 . '5
Para 5, =
+
+j
=:>
K .. 65000 K r
15 -
+
50
10 I
+j
-
KG KJ[
K ~ 598800
11,4 . obtcm-sc:
K =
(7.33)
zd
50 - j 10 I . 15
+
251. 15
-·6,6
15 - pul
=
598800
65000
1
As duas raizes restantcs nos outros dois ramos podem ser obtidas Delos tres
mctodos ascguir.
a) POR TENTATIVAS
Muito trabalhoso.
Verpagina 120.
b) DIVISAO DA EQUA\=AO CARACTERISTICA
A equac;ao caracteristica C 0 polinomio caracteristico, da pagina 127, igualado
a zero :
54
+
12553
+
51005 2
+
650005
Como K) = 9,2 , en tao: 54
+
+
65000K1 = 0
12553
+
51005 2
+
650005
+
598800 - 0
o fator quadratico que representa as raizes dominantes e:
(5
+
6,6 - j 11,4)( 5
+
6,6
+j
11,4)
= 52 + 13,25 + 173,5
Dividlndo 0 polinomio caracteristico pelo fator quaclrMico acim~, c
desprezando 0 resto cncontrado, obtcm-se 0 tcrmo quadratico rclativo as raizcs
nao dominan tes :
54
+
12553
51005 2 + 650005
52 + 13,25 + I73,5
+
+
598800
~ 2
- 5
+
112
5
+
34 -0
)
As ralzes nao dominantes sao agora obtidas a partir do quociente cncontrado.
53,4
=
- 56
+j
18
c) REGRA DE GRANT
Emprega a REG RA 10: invariancia da soma das raizes do sistema.
(7.68)
129
Como 0 denominador de G(5)H(5) Cquatro graus superior ao grau do numerador.
esta satisfeita a eondic;ao para 0 emprego dessa regra.
0 - 25 + (-50 +)10) + (-50 -)10)
= (-6,6 + ) 11,4) + (-6,6 - ) 11,4) +
Como as raizcs
= <J4 e Wd) =
0"3
53
c
=
(0"3
+ )
WdJ)
+
(0"4
-
) Wd.,J
eonstituem urn par eomplexo eonjugado, entao
54
Wd,j.
Portanto,
<J3.4
=
-55,9
Esse valor difere muito poueo do obtido em "b" ( - 56 ); ali foi empregada lima
simplificac;ao.
A partir do valor da parte real, obtcm-se graf;eamente no lugar das raizes os
valores das partes imaginarias, iguais a + IS.
53,4
-55,3 + ) 18
=
Rclac;ao de Controlc para a K1 = 9,2 :
A partir da pagina 102 tem-se :
C(s)
R(5)
=
(7.20)
Fatores determinados a partir do lugar das raizcs
Os fatores rclativos as quatro raizes eneontradas foram obticlos pan) u In valor
de ganho de malha feehada KG = 2600 K 1 , onde K 1 = 9,2 ( vcr p:iginas 127 c
129 ).
Sendo iVl = 1 e D 2 = (5 + 25), de aeordo eom as paginas 102 e 127, tcm-se :
C(5)
R(s) = (5
+
24040 (5 + 25 )
6,6 - j 11,4) (5 + 6,6 + j 11,4) (5 +55,9 - j 18) (s + 55,9
+j
t 8)
Rcsposta e(t) it entrada do tipo degrau uniulrio.
On ttltima exprcssao tcm-se :
C(s) =
(5
r( t)
C(s)
+
24040 (s + 25) R(5)
6,6 - j 11,4) (5 + 6,6 +) 1 I ,4) (s + 55,9 - ) I8) (5
t ~
t <
I,
0,
{
5
(s
+
0
0
=>
R(s) =
+ 55,() +j 1S)
1
5
24040 (5 + 25)
6,6 - j 11,4)(5 + 6,6 +) 11,4)(5 + 55,9 -) 1S)(SL 55,9
130
+j
I~)
Ao
C(s)
-
+
S
S
+
Al
6,6 - j 1l,4
s +
A~
+
S
A4
+ 55,9 - j 18 + s + 55,9 + j 18
Aplicando os te6remas de Heaviside relativos a expa.nsao em fra~6es par::;iais
encontrados em D'AZZO, item 4.7, pagina 96, obtem-se :
A 3 = 0,14 Arg( - 63,9
A o = 1,0
A 2 C complexo conjugado de Al
A 4 C complexo conjugado de A 3
}
0
)
D'AZZO, pagina 100.
Aplicando a transformada inversa de Laplace ohtcm-se :
°
°
°
(Q
termo
e relativo ao estado estacionario da resposta.
2Q termo deve-se as raizes dominantes s 1,2'
3,Q termo C devido as raizes nao dominantcs
U3,4
-55,9
-6,6
_
au
=
S3,4
8,47
A parte real das raizes nao dominantes nao chega a scr 10 vezcs ( porcrn 8,47 )
maior que a das raizes dominantes.
Vejamos como fica ria a resposta desprezando-as.
Abandonando
0
3Q termo a resposta se rcduz a :
c(t) '" ( + 1,21 e-G,G I sen( 11,4 t
(7.86)
1,0
0,5
-l,S
Fig. 7.23 Trac;ado de eel) verslls I para as Eqs. (7.85) e (7.86).
A
figura
53,4
=
acima
mostra como a inOucncia das ralzes 11:10 dO,11in:lntes
c pcquena, e desaparcce em quase urn dccimo do Lmpo que
o transitorio das ra'izes dominantes 51,2 = -6,6 ± j 11,4 leva para c1csaparcccr.
-55,9 ± j 18
131