UNESPAR/FAFIPA - Professor Sebastião Geraldo Barbosa
PROFESSOR: SEBASTIÃO GERALDO BARBOSA
Outubro/2013
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UNESPAR/FAFIPA - Professor Sebastião Geraldo Barbosa
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA FINANCIEIRA ATRAVÉS
DA CALCULADORA HP 12C
1. UTILIZAÇÃO DA HP 12C
Várias teclas da HP 12c, executam duas ou três funções:
DOURADA
Aperte a tecla de prefixo f (dourada) e, em seguida, a tecla da função
BRANCA
Aperte somente a tecla
AZUL
Aperte a tecla de prefixo g (azul) e, em seguida, a tecla da função
2. CÁLCULO ARITMÉTICO SIMPLES
Para executar um cálculo aritmético simples, você tem, que informar os
números primeiro, e indicar a operação a ser executada depois.
Ex. (12:3) – (5 x 2) + (-2+3)2
12 ENTER 3 :
Entra com 2 e divide por 3
5 ENTER 2 X
Entra com o 5 e multiplica por 2
TECLE –
Subtrai o primeiro parêntese do segundo
2 CRS ENTER
Muda o sinal do 2 e entra com o valor -2
3 + TECLE ENTER
Entra com o 3 e soma
2 XY
Eleva a soma a 2
TECLE +
Soma o que tinha com o último parentêse
Resolva as seguintes operações:
a )5 (3 x 2 15 ) 20
4
(1  0 ,5 )
b)
(5  8 )(3 x 2 15 ) 20 
8
R. -24,0000
R. -31,3672
2,5
c )500.(1  0,03)
R. 538,3480
8
d )3000.[(1  0,025)
1 ]
R. 655,2987
1 (1  0 ,05 )24
e)
0 ,05
R. 13,7986
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36
(1  0 ,035 )
1
f)
0 ,035
R. 70,0076
g)
(12 1  0,48 1 ). 100
R. 3,3210
12
h )[(1  0,03)
1 ].100
R. 42,5761
2000
4000
5000
i)


3
4
8
(1  0 ,03 ) (1  0 ,03 ) (1  0 ,03 )
R. 9.331,27
j )12000 1 

4 ,5 

100 
3
 4 ,5 18 
. 
1 
 100 30 
R. 14.063,73
3. CÁLCULO COMERCIAL
3.1. FUNÇÃO PORCENTAGEM
Para resolver problemas com porcentagem existem três opções: % ,
Δ% e %T .
Para calcular porcentagem faça:
1. digite o número base;
2. tecle ENTER ;
3. Digite a porcentagem (taxa porcentual);
4. tecle %
Ex1. Calcule 25% de R$ 3.125,00.
Para calcular a porcentagem em relação a um valor, faça:
1. digite os somando-os;
2. digite o número do qual você quer calcular a porcentagem;
3. tecle %T .
Exemplos
1. Calcular 35% sobre R$ 3.000,00.
R. R$ 1.050,00
2. Quantos por cento R$ 150,00 representa sobre R$ 2.500,00? R. 6%
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3. Um comerciante comprou um objeto por R$ 4.000,00 e vendeu com um lucro
de 25% sobre o preço de custo. Qual foi o lucro? Quantos por cento ganhou
sobre o preço de venda? R. R$ 1.000,00; 20%
4. Um comerciante comprou um produto por R$ 1.200,00 e vendeu por R$ R$
1.800,00. Calcular o seu lucro, sobre:
a) o preço de custo;
R. 50%
b) sobre o preço de venda.
R. 33,33%
5. Uma rede de mercados vendeu, em um determinado mês, nas três lojas: A,
vendeu R$ 120.000,00; B, vendeu R$ 180.000,00 e C, vendeu R$
150.000,00. Calcular a taxa porcentual das vendas totais em relação a loja
A. Qual a taxa porcentual sobre a loja C?
R. 26,67% e 33,33%
3.2. DESCONTOS SUCESSIVOS
L  P(1  i1 ).(1  i 2 ).(1  i 3 )...(1  i n )
Exemplos:
1. Sobre uma fatura de R$ 5.000,00, foram efetuados os seguintes descontos
sucessivos: 5%, 10%, 12% e 15%; calcular:
a) O valor líquido;
R. R$ 3.197,70
b) o valor do desconto;
R. R$ 1.802,30
c) a taxa única de desconto;
R. 36,05%
2. Sobre uma fatura de R$ 1.200,00, foram efetuados os seguintes descontos
sucessivos: 8%, 10% e 15%. Calcular:
a) O valor líquido;
b) A taxa única de desconto.
R. R$ 844,56
R. 29,62%
3. Ao efetuar os descontos sucessivos de 50% e mais 50%, o preço da
mercadoria R$ 2.000,00. Qual o valor líquido da fatura?
R. R$ 8.000,00
4. Uma fábrica que tem preços tabelados para suas mercadorias remarcou
com 30% de abatimento as unidades que apresentavam defeitos de
fabricação. As pessoas que comprassem dez ou mais unidades teriam
ainda 20% de abatimento sobre o preço de mercado. Uma pessoa comprou
12 dessas unidades, pergunta-se:
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a) qual a taxa de desconto que lhe foi feita?
R. 44%
b) quanto pagou, se o total sem desconto era de R$1852,00? R. R$ 1037,12
5. Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000 unidades,
em 5%. Um mês depois resolve diminuir novamente sua produção em mais
7%. Qual a produção atual dessa indústria?
R. R$ 44.175,00
3.3. OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
Exemplos:
1. Certa mercadoria foi comprada e revendida sucessivamente por quatro
negociantes. Cada um dos dois primeiros obteve, por ocasião da
revenda, um lucro de 10% sobre o respectivo preço de compra. Os dois
últimos sofreram um prejuízo de 10% cada um, também sobre o
respectivo preço de compra. Calcule o preço pelo qual o primeiro
negociante adquiriu a mercadoria, visto que o quarto a vendeu por R$
2.450,25.
R. R$ 2.250,00
2. (BB) Certa mercadoria foi vendida por R$ 23.540,00, com um lucro de
7% sobre o preço de compra. Em seguida, foi revendida por R$
26.600,20. De quantos por cento foi o lucro final sobre o valor inicial
dessa mercadoria?
R. 20,91%
3. Um comerciante, num determinado mês, vendeu R$ 90.000,00. Seu
lucro é de 28% sobre o preço de custo. Calcular:
a) o preço de custo;
R.
R$ 70.312,50
b) o lucro obtido;
R.
R$ 19.687,50
c) A taxa do lucro sobre o preço de venda.
R.
21,88%
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3.2. CÁLCULO DE NÚMEROS DE DIAS ENTRE DUAS DATAS;
O melhor formato para trabalhar com HP é Dia-mês-ano. Para
configurar tecle g e depois DMY .
Para entrar com uma data, com esse formato, proceda:
1. Digite o dia, com um ou dois dígitos;
2. Aperte a tecla do ponto decimal . ;
3. Digite o mês, com dois dígitos;
4. Digite os quatro dígitos do ano.
Ex1. Digite 12 de março de 2009;
Para calcular datas futuras ou passadas, procede-se
1. Digite a data fornecida e aperte ENTER ;
2. Digite o número de dias;
3. Se a data estiver no passado, aperte CHS ;
4. Tecle g DATE .
Ex1. Você fez um empréstimo no dia 03/04/2010 para resgatar com 235 dias.
Qual a data de vencimento?
R. 24/11/2009
Ex2. Você está pagando um título hoje: 10/9/2010. Considerando-se que o
prazo foi de 72 dias, qual foi a data do empréstimo?
R. 30/06/2010
Para calcular o número di dias ente duas datas, procede-se:
1. Digite a data mais antiga e tecle ENTER ;
2. Digite a data mais recente e tecle g ΔDYS .
Ex1 Calcular o número de dias entre 03/01/2002 a 05/10/2005.
R. 1.371 dias
Ex2. Calcular o número de dias comercial entre 03/01/2008 a 12/11/2009.
R. 669 dias
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RESOLVA OS SEGUINTES PROBLEMAS, UTILIZANDO AS FUNÇÕES
FINANCEIRAS:
1. Quantos dias (comercial e civil) existem entre 03/02/2004 a 28/10/2004?
R. 265 dias e 268 dias
2. Um capital foi aplicado no dia 03/05/2009 por um período de 102 dias.
Calcular a data do término da aplicação, considerando-se o tempo civil.
R. 13/08/2009 (5ª feira)
3. Sobre uma fatura de R$ 2.000,00 foram efetuados os seguintes descontos
sucessivos: 10%; 8,5% e mais 15%. Determinar o desconto e o valor
líquido.
R. R$ 1.399,95 e R$ 600,05
4. Uma pessoa que tem um salário mensal de R$ 900,00, obteve um aumento
de 10% e mais 15% a título de gratificação. Qual será seu novo salário?
R. R$ 1.138,50
4. JUROS SIMPLES
4.1. JURO EXATO E COMERCIAL
Imagine uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 10/01/96, e que só
tenha sido paga em 11/07/96, tendo sido cobrados juros simples, a uma taxa
de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos?
4.1.1. Juro exato
A contagem do número de dias se faz utilizando o ano civil (365 dias)
J exato 
C o i.n
365
ou
J *exato 
* ano bissesto
sendo: i = taxa anual
n = dias
Co i.n
366
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4.1.2. Juro comercial:
A contagem do número de dias se faz utilizando o ano comercial (360
dias)
C i.n
J comercial  o
360
sendo: i = taxa anual
n = dias
EXEMPLOS:
1. Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo relacionadas
são, respectivamente:
a) R$ 800,00 a 20% a.a., por 135 dias
R. R$ 60,00;
R$
59,18
b) R$ 2.800,00 a 30% a.a. por 222 dias.
R. R$ 518,00; R$
510,90
2. É fornecida a seguinte tabela parcial para contagem de dias, para
aplicações financeiras:
Jan.
Fev.
Mar.
Abril
...
Ago.
Set.
...
Dez.
1
32
60
91
...
213
244
...
335
2
33
61
92
...
214
245
...
336
3
34
62
93
...
215
246
...
337
4
35
63
94
...
216
247
...
338
5
36
64
95
...
217
248
...
339
6
37
65
96
...
218
249
...
340
.
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
28
59
87
118
...
240
271
...
362
29
-
88
119
...
241
272
...
363
30
-
89
120
...
242
273
...
264
31
-
90
-
...
243
-
...
365
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O capital de R$ 10.000,00, à taxa de juros simples de 6% a.m.,
produzirá um montante final de R$ 12.000,00 no dia 06/08/81 (1981 não é ano
bissexto). Qual foi a data de aplicação?
R. 28/04/81
3. O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00, colocado à taxa de 5% a.a.,
de 02 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano, foi de?
R. 660,00
4. A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a., pelo
prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se for considerado juro
comercial e juro exato, será ?
R. R$ 175,00 e R$ 172,60
5. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de
fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado em 03 de maio de 1996, o juro
comercial recebido pelo aplicador foi de?
R. R$ 140,60
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A HP 12c calcula automaticamente juro simples comercial e juro simples
exato. Para calcular juro ou montante, procede-se:
1. Digite o número de dias e tecle n;
2. Digite a taxa de juros anual e tecle i ;
3. Digite o valor do principal e tele CHS PV;
4. Tecle f INT para calcular e exibir o juro comercial acumulados;
5. Para calcular o juro exato acumulado, tecle R↓ e x><y;
6. Tecle + para calcular o montante.
Ex1. Um capital de R$ 4.800,00 foi aplicado por um período de 68 dias.
Considerando-se uma taxa de juros de 28% a.a., calcular o juros exato e
comercial.
R. R$ 250,39 R$ 253,87
Ex2. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado no período de 10/03/2010
18/07/2010. Considerando-se uma taxa de 25% a.a., calcular o juro exato
e comercial. Calcular o montante.
R. R$ 178,08; R$ 2.178,08; R$ 177,78; R$ 2.177,78
5. JUROS COMPOSTOS
Nas aplicações de juros compostos, onde retrata melhor a realidade,
os juros produzidos a cada período são incorporados ao capital do período
anterior passando a gerar novos juros nos períodos seguintes. Dizemos que os
juros são capitalizados.
A compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, a uma
taxa previamente combinada, por um determinado prazo, é chamada de juros
compostos quando produzida pelo capital inicial e pelos respectivos juros que
a ele são incorporados no final de cada período.
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5.1. CÁLCULO DO MONTANTE:
Seja um capital C, aplicado a uma taxa i por período, ocorrendo
capitalização no final de cada período, um prazo de n períodos. Vamos, então,
achar o montante Cn (após n períodos). O montante no final de cada período é:
Cn  Co .(1  i) n
EXEMPLO: Uma pessoa aplica R$ 6.000,00 a juros compostos, em um
banco que paga uma taxa de juros de 2,8% a.m. durante 120 dias. Calcular o
montante recebido.
R. R$ 6.700,75
5.2. CÁLCULO DO JURO:
J = Cn - Co
J = Co.(1 + i)n - Co
colocando Co em evidência, temos:
J  Co .[(1  i)n  1]
 EXEMPLO: Uma pessoa aplicou R$ 6.000,00 por um período de 5
meses em banco que paga uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m.,
calcular:
a) o montante;
R. R$ 7.126,12
b) o juro.
R. R$ 1.126,12
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5.3. PERÍODOS NÃO INTEIROS
Quando o período não é inteiro, na prática, é comum adotar-se duas
convenções:
 Convenção linear ou capitalização mista:
Neste caso a aplicação rende juros compostos no período inteiro
e juros simples no período não inteiro.
Calculamos em duas etapas:
1a. etapa: calculamos juros compostos no período inteiro utilizando a fórmula:
Cn  Co .(1  i) n
2a. etapa: o montante gerado na primeira etapa passa a gerar juros simples
na segunda etapa:
Jp/q = Cn .i.p/q
Cn,p /= Cn + Jp/q
Cn,p/ = Cn + Cn.i. p
q
Cn,p/q = Cn.(1 + i. p )
q
p
C n, p / q  Co .(1  i) n .(1  i. )
q
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 Exemplo: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a uma taxa de 4,2% a.m.
por um período de 112 dias. Calcular o montante utilizando a convenção
linear.
R. R$ 23.324,24
 Convenção exponencial:
Neste caso a aplicação rende juros compostos tanto no período
inteiro como no período não inteiro.
Considerando n como período inteiro mais período não inteiro,
temos:
Cn  Co .(1  i) n
EXEMPLO: Seja o exemplo anterior, calcular o montante utilizando a
convenção exponencial.

R . R$ 23.320,41
Funções utilizadas:
n é o número de períodos de capitalização
i é a taxa de juro por período de capitalização
PV é o valor presente (capital inicial ou valor atual)
PMT é o valor do termo (pode ser prestação ou depósito)
VF é o valor futuro ou o montante
Para cálculo do montante, procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois PV .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de períodos.
4. Tecle VF para calcular o montante.
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1. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado por um período de 135 dias.
Considerando-se uma taxa de juros composto de 1,85% a.m., calcular o
montante, utilizando a convenção exponencial e linear.
R$ 5.429,94 e R$ 5.430,16
2. Certo capital foi aplicado por um período de 75 dias a uma taxa de 18% a.a.,
capitalizados mensalmente, produzindo um montante de R$ 5.189,61.
Calcular o capital aplicado, utilizando a convenção exponencial e linear.
R$ 5.000,00
e
R$ 4.999,86
3. Um capital de R$ 3.000,00, foi aplicado por um período de 5 meses,
produzindo um montante de R$ 3.394,22. Calcular a taxa de juros mensal.
Qual a taxa nominal com capitalização mensal? R. 2,5% a.m.; 30% a.a.
4. Qual o tempo que deverá ficar aplicado um capital de R$ 8.000,00, para
produzir um montante de R$ 8.722,15 a uma taxa de 30% a.a.,
capitalizados mensalmente.
R. 4 meses
5. Qual a taxa de juros mensal que faz um capital triplicar em 3 anos?
R. 3,1% a.m.
6. Em quanto tempo dobra um capital que cresce 3,06% a.m.? R. 23 m
7. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado por um período de 5 meses,
produzindo um montante de R$ 21.865,98. Após este prazo foi reaplicado
por mais 7 meses a uma taxa de 1,5% a.m., calcular:
a) A taxa da primeira aplicação;
R. 1,8%
b) O montante recebido ao final de um ano;
R. 24.267,85
c) A taxa efetiva anual;
R. 21,34% a.a.
d) A taxa média mensal.
R. 1,62% a.m.
8. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado por um período de 4 meses
produzindo um montante de R$ 12.736,36. Por quanto tempo deverá ficar
aplicado o mesmo capital para produzir um montante de R$ 13.517,91,
considerando-se a mesma taxa da primeira hipóteses.
R. 8 meses
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4. DESCONTO COMPOSTO
4.1. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO:
Sejam: N = valor nominal
Dr = desconto racional
Vr = valor líquido racional ou valor descontado racional;
i = taxa de desconto composto;
n = prazo de antecipação do título;
Vr 
N
(1  i ) n
Dr  N V r
Dr  N .[1  (1  i)n ]
EXEMPLOS:
1. Encontrar desconto racional composto, concedido no resgate de um
título de R$ 1.500,00, recebendo 2 meses antes de seu vencimento, à
taxa de 3,5% a.m.
R. R$ 99,73
2. Um título de R$ 15.000,00 foi resgatado 78 dias antes do vencimento.
Considerando-se uma taxa de 3,2 % a.m., calcular:
a) o desconto racional;
R. R$ 13.820,51
b) o valor de resgate;
R. R$
1.179,49
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3. Um título de R$ 12.000,00 foi resgatado 48 dias antes do vencimento.
Considerando-se uma taxa de desconto racional de 3,5% a.m., calcular
o valor de resgate e o desconto racional (conv. linear e exponencial)
R. R$ 11.355,73; R$ 11.357,34
4. Um título de R$ 15.000,00 foi resgatado antes do vencimento por R$
14.002,66. Considerando-se uma taxa de 4,5% a.m., calcular o período
de antecipação.
R. 2 meses
5. O desconto racional de um título é igual à quinta parte de seu valor de
resgate. Considerando-se uma antecipação de 3 meses, calcular a taxa
mensal de desconto racional.
R. 6,27% a.m.
6. Um título de R$ 8.000,00, foi realizado no dia 20/10/2012, por R$
9.287,08. Considerando-se uma taxa de desconto racional de 3,8% a.m.,
calcular a data do vencimento do título.
R. 17/02/2013 – domingo
7. O valor nominal de um título a vencer em 12/05/2013, é igual ao
sêxtuplo de seu desconto racional. Considerando-se uma taxa de 3,71%
a.m., determinar a data de resgate.
13/12/2012 – 5ª feira
5. RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de
uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um
processo de amortização
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Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo
uso, sem que haja amortização, o que é caso dos aluguéis.
Estes exemplos caracterizam a existência de rendas ou anuidades, que podem
ser basicamente de dois tipos:
 RENDAS CERTAS OU DETERMINISTICAS: São aquelas cujas duração
e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições
externas;
 RENDAS ALEATÓRIAS OU PROBABILISTICA: Os valores e/ou as
datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser variáveis
aleatórias. É o que ocorre, por exemplo, com os seguros de vida: os
valores de pagamentos são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a
receber e a data de recebimento.
5.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES:
5.1.1.QUANTO AO PRAZO:
a) Temporárias: quando a duração for limitada:
b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada:
5.1.2.QUANTO AO VALOR DOS TERMOS:
a) constante: quando os termos são iguais;
b) variáveis: quando os termos não são constante.
5.1.3.QUANDO A FORMA DE PAGAMENTO OU DE RECEBIMENTO:
a) imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro mês;
- POSTECIPADAS - se os termos são exigíveis no fim dos período;
- ANTECIPADAS - se os termos são exigíveis no inicio do períodos.
b) diferidas:
primeiro.
Se os termos são exigíveis num período que não seja o
- postecipadas;
- antecipadas.
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5.1.4. QUANDO A PERIODICIDADE:
a) periódicas - se todos os períodos são iguais;
b) não periódicas - se os períodos não são iguais entre si.
5.2. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE:
Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidade que são:
- temporária;
- constante;
- imediatas e postecipadas;
- periódicas.
5.3. VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE:
Seja um principal P a ser pago em n termos iguais a R,
postecipados e periódicos. Seja também uma taxa de juros i, referida ao
mesmo período dos termos.
A soma do valor atual dos termos na data zero é dada
por;
P
R
R
R
R
1




...

(1  1)1 (1  i) 2 (1  i) 3 (1  i) 3
(1  i) n
Ou, colocando-se R em evidencia:
P = R. [
1
1
1


 1 4  ... + 1 n ]
1
2
3
(1  1)
(1  i)
(1  i)
(1  i )
(1  i)
A expressão do colchete denominamos de an i , logo :
an  i
=
1
1
1
1
1
 ... 



4
1
2
3
(1  1) (1  i)
(1  i )
(1  i )
(1  i) n
an  i
(lê-se: a , n cantoneira i)
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O valor de
an  i
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an  i pode ser obtido usando a fórmula:
1  (1  i)  n

i
ou
an  i
(1  i) n  1

(1  i) n .i
Logo:
P  R.an  i  E
Exemplos:
1. Um carro é financiado em 36 prestações mensais de R$ 460,00.
Considerando que o cliente deu uma entrada de R$ 3.000,00 e que a taxa
de juros cobrada pelo banco foi de 3,2% a.m., calcular o preço a vista do
carro.
R. R$ 12.749,71
2. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada, mais 24 prestações
mensais. Considerando-se uma taxa de juros de 4,8% a.m., Calcular o valor
da prestação.
R$ 89,55
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3. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário
pode ser comprado em 18 prestações mensais, sendo uma como entrada.
Considerando-se uma taxa de juros de 5,2% a.m., calcular o valor da
prestação.
R$ 206,48
4. Um televisor pode der comprado através do crediário nas seguintes
condições: 20% de entrada mais 15 prestações mensais de R$ 80,00.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,5% a.m., calcular o preço a vista
do televisor.
R$ 1.073,95
5. Uma pessoa compra um carro no valor de R$ 28.000,00. Deverá financiar
70% deste valor em um banco que cobra uma taxa de 1,8% a.m..
Considerando-se que deverá pagar prestações mensais de R$ 1.012,94,
determinar o número de prestações.
R. 24 prestações.
6. O preço a vista de um objeto é R$ 2.500,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 20% de entrada mais 36 prestações
mensais de R$ 97,16. Calcular a taxa mensal.
R. 3,4% a.m.
5.4. MONTANTE DO MODELO BÁSICO:
Seja um processo de capitalização em que são aplicados n , parcelas
iguais a R, postecipadas, a uma taxa de juros i, referida ao mesmo período
dos termos.
O problema é determinar o montante S na data focal n, que resulta
deste processo de capitalização.
O montante S é o resultado da soma dos montante de cada um dos
termos, à
taxa de juros i na data focal
n. Vamos admitir que estejamos
fazendo esta soma a partir do termo de n-ésima ordem até o termo de 1ª.
Ordem:
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S = R + R .(1 + i)¹
- 20 -
+ R .(1 + i)² + R .(1 + i)³ + ... + R.(1 + i)n-1
Colocando-se R em evidência:
S = R.[(1 + i)¹
+ R .(1 + i)² + R .(1 + i)³ + ... + R.(1 + i)n-1]
Logo, temos a expressão do colchete como sendo
Sn i
(S, n cantoneira i)
Sn i = 1 + (1 + i)¹ + (1 + i)² + (1 + i)³ +...+ (1 + i)n -1
O valor de
Sn i
Sni
pode ser calculado usando a fórmula:
1  (1  i ) n

i
S  R.Sn  i
Exemplos:
1. Uma pessoa deposita R$ 800,00 mensalmente. Sabendo-se que ela
está ganhando 2,5% a.m., quando receberá no final de 1 ano.
R. R$ 11.036,44
2. Quanto deverá depositar mensalmente, para que ao final de 2 anos, não
se processando nenhuma retirada se
tenha R$ 20.000,00. Considerar
que a instituição financeira paga uma taxa de juros de 2,3% a.m.
R. R$ 633,70
5.5. VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA.
Para calcular o valor dos termos de uma anuidade postecipada,
procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois PV .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
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3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle g
END . (informa que o pagamento será ao final de cada
período)
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
1. O preço a vista de um televisor é R$ 1.500,00. No crediário pode ser
comprado em 36 prestações mensais. Considerando-se uma taxa de juros
de 3,5% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 73,93
2. Um objeto é comprado no crediário em 24 prestações de R$ 120,49.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,2% a.m., calcular o preço a vista
do objeto.
R. R$ 1800,05
3. Um carro, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, foi financiado em um 75%
deste valor, em um banco que cobra uma taxa de juros de 33,6% a.a.,
tabela price. Considerando-se que o valor da prestação foi de R$ 857,92,
calcular o número de prestações.
R. 48 prestações
4. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário foi
comprado em 36 prestações mensais de R$ 121,45. Calcular a taxa de
juros mensal cobrada pela loja.
R. 3,4% a.m.
5. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser comprado
nas seguintes condições: 30% de entrada mais 36 prestações de R$ 68,96.
Calcular a taxa de juro mensal.
R. 4,25% a.m.
6. Um determinado site vente um televisor cujo preço a vista é R$ 1.500,00 em
dez pagamentos, sem nenhum acréscimo. No boleto oferece um desconto
de 10%. Qual a taxa de juros implícita nesta operação.
R. 1,96% a.m.
5.6. VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.
Para calcular o valor dos termos de uma anuidade postecipada,
procede-se:
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- 22 -
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois PV .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle g
BEGIN . (informa que o pagamento será no início de cada
período)
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
Exemplos:
1. O preço a vista de um objeto é R$ 1.300,00. No crediário é comprado
em 48 prestações mensais, sendo uma como entrada. Considerando-se
uma taxa de 3,8% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 57,13
2. Um objeto é comprado, através do crediário, em 37 prestações mensais
de R$ 250,00, sendo uma de entrada. Considerando-se uma taxa de
juros de 4,5% a.m., calcular o preço a vista do objeto. R. R$ 4.666,51
3. Se uma taxa de mercado é de 3,5% a.m., compensa comprar a vista
com desconto de 15% sobre o preço de tabela ou a prazo em 15
prestações mensais, sendo uma como entrada? R. 2,43% a.m.; Sim
5.7. MONTANTE DE UMA ANUIDADE.
Para calcular o valor dos termos de uma anuidade, procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe o valor presente e tecle CHS e depois FP .
2. Informe a taxa utilizando a tecla i .
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
4. Tecle PMT para calcular a prestação.
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Exemplos:
1. Quanto deverá depositar mensalmente para que, ao final de 2 anos, se
tenha um montante de R$ 20.000,00. Considerar que a financeira para
uma taxa de juros de 1,8% a.m., sobre o saldo credor.
R. 673,62
2. Uma pessoa, pretendendo comprar um carro numa data futura, resolver
fazer, durante 3 anos, depósitos mensais de R$ 500,00. Considerandose que a financeira paga uma taxa de juros de 2,5% a.m., sobre o saldo
credor, qual o valor máximo do carro que poderá comprar?
R. 28.650,71
3. Uma pessoa aplica mensalmente em uma instituição financeira
depósitos mensais de R$ 800,00, a uma taxa de 1,5% a.m.. Quantos
depósitos foram necessários, para que, não efetuando nenhuma retirada
se tenha um montante de R$ 37.820,78?
R. 36 depósitos
4. Certa pessoa prevendo a compra de um terreno, resolve fazer durante 4
anos depósitos mensais de R$ 750,00. Considerando-se que ao final da
aplicação obteve um montante de R$ 50.000,00, calcular a taxa de juros
mensais.
R. 1,34% a.m.
5.8. ANUIDADE DIFERIDA.
Anuidade diferida corresponde, na prática, os financiamentos que possui
carência, podendo ser, antecipado ou postecipado. Os empréstimo, em
geral, são beneficiados com carência antecipado, salvos, algumas
exceções.
SUGESTÃO: Quando o problema envolver carência (antecipada) é
conveniente utilizar a seguinte fórmula:
Po (1  i)
c 1
1  (1  i)  n
 R.
i
,
sendo c = n° de períodos de carência
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- 24 -
Exemplos:
1. O preço a vista de um objeto é R$ 1.200,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada e o restante em 24
prestações, sendo a primeira daqui a 5 meses. Considerando-se uma taxa
de juros de 3,8% a.m., calcular o valor da prestação.
R. R$ 62,65
2. Um equipamento eletrônico foi comprado no crediário em 36 prestações
mensais de R$ 120,00, sendo a primeira prestação paga com uma carência
postecipada de 3 meses. Considerando-se uma taxa de juros, tabela price,
de 38,4% a.a., calcular o preço a vista do objeto. R$ 2.314,0
3. . Um magazine oferece, em sua promoção, um computador por 24
prestações de R$ 300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4
meses da compra. Qual seria o preço a vista deste televisor, uma vez que
a taxa de mercado é 2,5% a.m.?
R. R$ 4.982,40
4. 2. Preço a vista de um carro é de R$ 8.000,00. A revendedora exige 30%
como entrada, financiando o salto em 36 prestações, com 6 messes de
carência postecipada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 4,5% a.m., qual
é o valor das prestações?
R. R$ 412,80
5. Um noivo, precisando comprar seus móveis e não dispondo de dinheiro de
imediato, abriu um crediário em uma loja, no valor de R$ 2.000,00. Por esta
compra irá pagar 24 prestações de R$ 194,23, mensalmente, com 6
messes de carência postecipada. Qual é a taxa de juros mensal desta loja
“camarada”?
R. 5% a.m.
6. Antônio compra de um amigo um apartamento, cujo valor a vista é de
R$ 150.000,00, nas seguintes condições: de R$ 50.000,00 mais prestações
mensais de R$ 18.598,04, com 1 ano de carência postecipada. Sabendo-se
que a taxa de juros contratada fora de 4,5% a.m., qual é o número de
prestações? R. 12 meses
1.
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5.8.1. Uso da HP
Para cálculo, procede-se:
1º passo: Calcular o valor a ser financiado, utilizando o algoritmo de
juros composto, durante a carência.
2º passo: Utilizar o algoritmo da anuidade para calcular a prestação.
Para calcular o preço a vista, utilize o procedimento anterior, pela ordem
inversa.
RESOLVA OS SEGUINTES PROBLEMAS FINANCEIROS, UTILIZANDO A HP
1. Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado por um período 105 dias.
Considerando-se uma taxa de juros de 2,5% a.m., calcular o montante em
juros compostos ao final da aplicação. (convenção exponencial e linear)
R. R$ 27.256,72;
R$ 27.258,79
2. Certo capital foi aplicado por um período de 6 meses a uma taxa de 1,8%
a.m., produzindo um montante de R$ 3.338,93. Calcular o valor aplicado,
considerando-se capitalização composta.
R. R$ 3.000,00
3. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de 3,2% a.m.
produzindo um montante de R$ 6.040,16. Calcular o período da aplicação,
considerando-se juros compostos.
R. 6 meses
4. Uma pessoa aplicou um capital de R$ 7.000,00 e após 105 dias, recebeu
um montante de R$ 7.631,88. Calcular a taxa de juros compostos mensais.
Qual a taxa equivalente anual?. Qual a taxa nominal anual com
capitalização mensal?
R. 2,5% a.m.; 34,49% a.a.;
30% a.a.
5. Um título de R$ 15.000,00 foi descontado 48 dias antes do vencimento.
Considerando-se uma taxa de desconto racional composta de 3,5% a.m.,
calcular o valor de resgate.
R. R$ 14.194,66
6. Um carro é financiado em 36 prestações mensais de R$ 460,00.
Considerando que o cliente deu uma entrada de R$ 3.000,00 e que a taxa
de juros cobrada pelo banco foi de 3,2% a.m., calcular o preço a vista do
carro.
R. R$ 12.749,71
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7. O preço a vista de um objeto é R$ 1.800,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 30% de entrada, mais 24 prestações
mensais. Considerando-se uma taxa de juros de 4,8% a.m., calcular o valor
da prestação.
R. R$ 89,55
8. O preço a vista de um equipamento eletrônico é R$ 2.500,00. No crediário
pode ser comprado em 18 prestações mensais, sendo uma como entrada.
Considerando-se uma taxa de juros de 5,2% a.m., calcular o valor da
prestação.
R. R$ 206,48
9. Um televisor pode der comprado através do crediário nas seguintes
condições: 20% de entrada mais 15 prestações mensais de R$ 80,00.
Considerando-se uma taxa de juros de 4,5% a.m., calcular o preço a vista
do televisor.
R. R$ 1.073,95
10. Uma pessoa compra um carro no valor de R$ 28.000,00. Deverá financiar
70% deste valor em um banco que cobra uma taxa de 1,8% a.m..
Considerando-se que deverá pagar prestações mensais de R$ 1.012,94,
determinar o número de prestações.
R. 24 prestações.
11. O preço a vista de um objeto é R$ 2.500,00. No crediário pode ser
comprado nas seguintes condições: 20% de entrada mais 36 prestações
mensais de R$ 97,16. Calcular a taxa mensal.
R. 3,4% a.m.
12. Uma pessoa deposita R$ 800,00 mensalmente. Sabendo-se que ela está
ganhando 2,5% a.m., quando receberá no final de 1 ano. R. R$ 11.036,44
13. Quanto deverá depositar mensalmente, para que ao final de 2 anos, não se
processando nenhuma retirada se
tenha R$ 20.000,00. Considerar que a
instituição financeira paga uma taxa de juros de 2,3% a.m.
R. R$ 633,70
14. Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 e após 5 meses recebeu a soma de R$
11.485,04. Que depósitos mensais nesse período produziriam a mesma
soma, se os juros sobre o saldo credor fossem beneficiados com a mesma
taxa da 1ª. Hipótese.
R. R$ 1.977,31
15. Uma pessoa pretende financiar um carro, cujo preço a vista é R$
40.000,00. O banco aceita financiar 70% deste valor, com 36 prestações
mensais de R$ 1050,93. Considerando-se uma taxa de IOF de 2,5% sobre
o valor financiado, calcular a taxa do banco e a taxa efetiva.
1,73% a.m.
R.1,58% a.m.
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Para cálculo do número de pagamentos ou períodos de capitalização,
procede-se:
1. Tecle f CLEAR FIN para zerar os registros financeiros.
2. Informe a taxa utilizando a tecla i ou 12: .
3. Informe pelo menos dois valores:
valor presente, utilizando PV ;
valor do pagamento, utilizando PMT;
valor futuro, utilizando FV.
4. Se o PMT foi informado, aperte g BEG ou g END para configurar
o modo de vencimento.
3. Tecle n para fornecer o número de termos.
1. Uma pessoa toma emprestado R$ 20.000,00 para comprar um carro. Os
juros são tabela price de 30% a.a. Se a pessoa deverá pagar prestações de
R$ 720,12 ao fim da cada mês, quantos pagamentos serão necessários?
Quanto tempo levará?
R. 48 prestações ou 4 anos
2. Uma pessoa abre uma conta depositando, hoje, R$ 10.000,00. Um mês após
o depósito a pessoa efetua depósitos mensais de R$ 493,62. Quanto tempo
levará para poupar R$ 30.000,00, considerando-se uma taxa de juros de
1,5% a.a.?
R. 26 meses
3. Qual a taxa de juros nominal anual deve ser cobrada para obter R$
50.000,00 em 6 anos com investimento de R$ R$ 7.542,51 com
capitalização trimestral?
R. 32,8% a.a.
4. Uma máquina industrial comprada por R$ 30.000,00, sobre uma
depreciação, em relação ao seu preço inicial, aproximadamente 3% ao final
de cada ano. Calcule o valor no final de 10 anos.
R. 22.122,72
5. Um capital de R$ 20.000,00 foi feito para ser resgatado durante um prazo de
6 anos, a uma taxa de 18% a.a. (tabela price), com pagamentos feitos ao
final de cada mês. Se o juros começam a ser calculado em 15 de março de
2010 e a primeira prestação no dia 01 de maio, calcule o pagamento
mensal, com os dias extras contados com base no ano comercial e os juros
compostos usados para o período fracionário.
R. 459,81
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6. Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 20.000,00, comprometendo-se a
pagar 45 prestações iguais de R$ 917,09, começando a acumular juros a
partir de 18 de agosto de 2010, com o primeiro período em 1º de setembro
(postecipado). Calcule a taxa mensal usando o número de exato de dias
extras e juros simples para o período fracionário.
R. 3,59% a.m.