Física Geral
Parte I.2 - Vectores
ENIDH
2009/2010
Introdução
No estudo da física, muitas quantidades
físicas têm simultaneamente propriedades
numéricas e direccionais.
Estas
quantidades físicas são representadas
por vectores, e são grandezas vectoriais
Para trabalhar com vectores teremos
dominar as propriedade algébricas e
gráficas
Sistema de coordenadas
Dos vários sistemas de coordenadas existentes, o mais
utilizado e estudado pelos alunos é o sistema a duas
dimensões
É um sistema ortonormado, isto é, constituído por dois eixos
que representam duas coordenadas e são perpendiculares
entre si com ponto de intersecção na origem de ambos.
Cada eixo representa uma recta real de números que pode
representar qualquer tipo de grandeza.
Desta forma o sistema ortonormado é também chamado de
sistema de coordenadas cartesiano (cartesiano é o adjectivo
que se refere ao matemático francês Descartes)
Sistema de coordenadas
Um ponto num sistema de duas coordenadas será
totalmente representado pelas suas coordenadas x e y.
Tal que a coordenada x é o valor da projecção do ponto
sobre o eixo x e idem para coordenada y.
Sistema de coordenadas
O mesmo ponto pode, no entanto, ser também representado por
outros dois valores:
O ângulo com a horizontal (θ)
A distância à origem (r)
r = x 2 + y2
y
tan θ =
x
Este novos dois valores são conhecidos por
coordenadas polares e então pode-se chamar um
sistema de coordenadas polares
Quantidades escalares
A grandeza física que só necessita de um valor
para ser quantificada, é chamada de grandeza
escalar
Exemplos
Temperatura (T=300ºK)
Energia (E=1x105J)
Posição unidimensional (x=30m)
Massa (m=65kg)
Tempo (t=120s)
Quantidades vectoriais
A grandeza física que necessita de mais de um valor
para ser quantificada, é chamada de grandeza vectorial
Exemplos
Posição duas dimensões (r=(2,5)m)
Força (F=(3,2)N)
Velocidade (v=(1,3)ms-1)
Aceleração (a=(-2,2)ms-2)
Onde cada valor representa a coordenada em relação
ao respectivo eixo do sistema de coordenadas
ortonormado cartesiano
O sistema de coordenadas está normalizado à grandeza
física em questão
Quantidades vectoriais
Quando a grandeza está representada pelo seu vector é utilizado a
letra da grandeza com uma seta por cima, ou então a letra em
negrito
F = (1,−2) N
F=(1,-2)N
No exemplo em cima o valor 1 representa a força segundo o eixo x e
o valor -2 representa a força segundo eixo y
y
1
-2
x
Quantidades vectoriais
Tal como há uma inter-relação entre coordenadas cartesianas e
polares, os vectores também podem ser representados pela sua
norma e o ângulo com o eixo horizontal.
A norma de um vector é representada pelo letra sem ser a negrito
ou por duas barras verticais em torno da letra com seta
F = (1,−2) N
2
F = F = 1 + (− 2) = 5 N
2
Quantidades vectoriais
A quantidade vectorial pelo facto de ser representada
por mais um valor atribui-lhe um carácter de direcção e
sentido.
B = (3,4)m
A = (1,1)m
r = (2,3)m
AB = (2,3)m
y
y
3
4
2
1
x
r = AB
1
3
x
Propriedades dos vectores
Igualdade entre dois vectores
Dois
vectores a e b dizem-se iguais se
tiverem a mesma norma, direcção e sentido
Propriedade dos vectores
Soma de dois vectores
Para
somar dois vectores utiliza-se:
A regra do triângulo
A regra do paralelogramo
Propriedade dos vectores
Soma de dois vectores
Propriedade associativa
Propriedade comutativa
Propriedade dos vectores
Vector negativo e subtracção de vectores
Os
vectores a e -a tem a mesma magnitude e
direcção mas sentidos opostos
A subtracção de vectores é igual à soma
algébrica de vectores
Propriedade dos vectores
Multiplicação de escalar por vector
A
a multiplicação do escalar k pelo vector a,
ka, resulta num vector com mesma direcção de
a e a norma de valor ka
Se o valor de k for negativo então inverte o
sentido de a com a norma de valor |ka|
Se k é superior a um então o vector resultante
é uma ampliação de a
Se k é inferior a um então o vector resultante é
uma redução de a
Versores
Um versor é um vector na direcção de um eixo e de
norma unitária.
Também é usual chamar-se vector da base ou vectores
unitários
Logo uma sistema de coordenadas tridimensional tem
três versores. Um referente ao eixo x, outro ao eixo y, e
outro ao eixo z
São representados por:
ê x
ux
Eixo x
î
ê y
uy
Eixo y
ˆj
ê z
uz
Eixo z
k̂
Componentes dos vectores
Um vector pode ser representado pela
soma vectorial do versores multiplicados
pelos valores das coordenadas
r = (2,3)m = 2ê x + 3ê y = 2u x + 3u y = 2î + 3ˆj
Adição algébrica de vectores
Nas operações matemáticas entre vectores
podem ser resumidas a operações eixo a eixo
de forma quase independente
(
)
a = 3î + 2 ĵ m
(
) (
(
)
b = 2î − 4 ĵ m
)
(
)
a + b = 3î + 2 ĵ + 2î − 4 ĵ = (3 + 2)î + (2 − 4 ) ĵ = 5î − 2ˆj m
Produto interno/escalar
O produto interno (produto escalar) entre dois vectores é uma
grandeza escalar igual ao produto entre o módulo de a e o módulo
de b e o co-seno do ângulo formado pelos dois vectores.
Da relação trigonométrica podemos também dizer que é o produto
entre a magnitude do vector b e a projecção de a sobre b
a • b = a b cos(a ^ b)
a • b = a xbx + a yby
θ = a^ b
Algumas propriedades
2
a • a = a = a2
a •b = b•a
θ = 90º ⇒ a • b = 0
Produto externo/vectorial
O produto externo (produto vectorial) entre dois vectores é uma grandeza
vectorial, cujo o módulo desse vector é igual ao produto entre o módulo de
a e o módulo de b e o seno do ângulo formado pelos dois vectores.
A direcção do vector é perpendicular ao plano formado por a e b, e o
sentido obtido pela regra da “mão direita”
a × b = a b sen (a ^ b)
Algumas propriedades
a × b = −b × a
θ = 0º∨ θ = 180º ⇒ a × b = 0