ISSN 1982 - 0283
RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
NO CICLO DE
ALFABETIZAÇÃO
Ano XXIV - Boletim 9 - Setembro 2014
Resolução de Problemas no Ciclo de Alfabetização
SUMÁRIO
Apresentação........................................................................................................................... 3
Rosa Helena Mendonça
Introdução............................................................................................................................... 4
Ettiène Guérios
Texto 1: Que conta eu faço, professora? É de mais ou de menos? ........................................... 8
Jutta Cornelia Reuwsaat Justo
Texto 2: Resolução de problemas: possibilidades e reflexões a partir do espaço de sala
de aula! ................................................................................................................................. 16
Justina I. C. Motter Maccarini
Salete Pereira de Andrade
Texto 3: Princípio multiplicativo para os anos iniciais – desenvolvimento conceitual e
algoritmos em uma perspectiva de situações-problema ..................................................22
Nilza Eigenheer Bertoni
Resolução de problemas no ciclo de alfabetização
Apresentação
A publicação Salto para o Futuro comple-
A edição 9 de 2014 traz como tema a Resolu-
menta as edições televisivas do programa
ção de problemas no ciclo de alfabetização
de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este
e conta com a consultoria de Ettiène Gué-
aspecto não significa, no entanto, uma sim-
rios, Doutora em Educação pela UNICAMP,
ples dependência entre as duas versões. Ao
Professora da Universidade Federal do Para-
contrário, os leitores e os telespectadores
ná e Consultora desta Edição Temática.
– professores e gestores da Educação Básica, em sua maioria, além de estudantes de
Os textos que integram essa publicação são:
cursos de formação de professores, de Faculdades de Pedagogia e de diferentes licenciaturas – poderão perceber que existe uma
interlocução entre textos e programas, preservadas as especificidades dessas formas
1. Que conta eu faço, professora? É de mais
ou de menos?
2. Resolução de problemas: possibilidades e
reflexões a partir do espaço de sala de aula!
distintas de apresentar e debater temáticas
variadas no campo da educação. Na página
3. Princípio multiplicativo para os anos
eletrônica do programa, encontrarão ainda
iniciais – desenvolvimento conceitual e
outras funcionalidades que compõem uma
algoritmos em uma perspectiva de situ-
rede de conhecimentos e significados que se
ações-problema
efetiva nos diversos usos desses recursos nas
escolas e nas instituições de formação. Os
textos que integram cada edição temática,
além de constituírem material de pesquisa e
Boa leitura!
estudo para professores, servem também de
base para a produção dos programas.
1
Rosa Helena Mendonça1
Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).
3
Introdução
Operações e resolução de problemas: Provocação
Ettiène Guérios1
“- Que conta eu faço, professora? É
de mais ou de menos?”
Ou seja, se estou ensinando adição, o problema que passo para os alunos é resolvido
por uma “conta de mais”. Se estou ensinan-
Quem nunca ouviu estas perguntas
quando passou atividades com resolução de
do subtração, o problema é resolvido por
uma “conta de menos”.
problemas para seus alunos nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
Vocês também fazem assim? É pro-
vável que muito professores também façam
“- Professores, como vocês selecionam, ou
assim. Professores, vamos refletir sobre este
escolhem, os problemas matemáticos que
critério de escolha dos problemas para nos-
passam para seus alunos resolverem? Quais
sos alunos resolverem? O artigo de Jutta Jus-
os critérios de suas escolhas?”
to, cujo título é a indagação que fiz para iniciar esta apresentação - Que conta eu faço,
A pesquisadora Jutta Cornelia Reuwsaat Jus-
professora? É de mais ou de menos? - traz
to fez esta pergunta para professores dos
uma reflexão sobre este critério de escolha
anos iniciais do Ensino Fundamental e a
e propõe uma discussão sobre a metodolo-
resposta mais comum que recebeu foi a de
gia da resolução de problemas matemáticos
que selecionam o problema pela operação
aditivos, contribuindo para o conhecimento
que o resolve. Em outras palavras, primeiro
do professor sobre a complexidade do cam-
pensam na “conta” que estão ensinando e
po aditivo, a variedade semântica de proble-
então apresentam um problema que é resol-
mas que o compõem e suas representações.
vido com aquela “conta”. Certamente, o fazem pensando em colaborar com a aprendi-
zagem dos alunos esperando que percebam
vos são aqueles que envolvem uma adição,
uma aplicação prática para aquela “conta”.
uma subtração ou uma combinação das
Lembremos que os problemas aditi-
1
Doutora em Educação pela UNICAMP. Professora da Universidade Federal do Paraná e Consultora desta
Edição Temática. Email: [email protected]
4
duas operações. Aqui cabe uma indagação
com a melhoria da aprendizagem matemá-
fulcral para vocês, professores, pensarem: o
tica dos alunos, que proponha a diversidade
que é raciocínio aditivo? No decorrer deste
de situações pertencentes ao campo aditivo,
volume discorremos sobre esta indagação.
bem como o papel da representação na resolução de problemas aditivos e na metodo-
Justo nos desafia a aprimorar nossa
logia da resolução de problemas.
prática pedagógica e apresenta outra perspectiva para subsidiar o critério de escolha
dos problemas matemáticos pelos professo-
laborará para evitar que futuras perguntas se-
res. Para o quê, apresenta estudos de pesqui-
jam: “Que conta eu faço, professora? É de ve-
sadores que classificam os problemas aditi-
zes ou de dividir?” Certamente, se o trabalho
vos segundo sua estrutura semântica e não
com o campo aditivo for desenvolvido consi-
mais pelas operações matemáticas que os re-
derando sua estrutura conceitual e o trabalho
solvem. Enfatiza o papel das representações
com Resolução de Problemas foi didaticamen-
como amparo para o pensamento das crian-
te desenvolvido. Neste caderno, trataremos
ças no processo resolutivo dos problemas.
também do Campo Multiplicativo.
Este é um desafio para o qual convi-
Um ensino assim, comprometido, co-
Antes disso, no entanto, vamos refle-
damos vocês, professores, a conhecer o ar-
tir sobre Resolução de Problemas como me-
tigo da autora e mergulhar nos vinte exem-
todologia em um processo do ensinar, visan-
plos de problemas aditivos, classificados
do a um aprender consubstanciado. Por isso,
segundo a semântica e discriminados em ca-
o artigo que apresentamos a seguir é o de Jus-
tegorias de situações de transformação, de
tina I. C. Motter Maccarini e Salete Pereira de
combinação, de comparação e de igualação.
Andrade, intitulado Resolução de Problemas:
Eis que a recorrência da pergunta prévia das
possibilidades e reflexões a partir do espaço
crianças “É de mais ou de menos?” poderá
de sala de aula! Com a experiência profis-
ser minimizada, quando não abolida, se a re-
sional que as autoras têm em sala de aula,
solução não estiver vinculada a uma conta
conhecem bem as características dos alunos
imediata, e sim, à compreensão da situação
dos anos iniciais. Aliam, a esta experiência,
proposta em seu enunciado e à identifica-
conhecimentos teóricos acerca de metodolo-
ção, pela criança, da estratégia matemática
gia de ensino e então, focalizam aspectos do
necessária para sua resolução.
movimento didático necessário para um trabalho com Resolução de Problemas, que seja
Justo finaliza seu artigo destacando
a importância de um ensino comprometido
consistente e que viabilize o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos.
5
Surge, pois, outra indagação para
atividades que os professores dos anos
vocês, professores, nela pensarem: o que
subsequentes desenvolvem. O inverso é
a expressão “pensamento matemático”
verdadeiro. A aprendizagem dos alunos é
significa sob o ponto de vista didático-
contínua e é interessante que professores
-pedagógico? Que relações podemos es-
dos primeiros anos conheçam a importân-
tabelecer entre pensamento matemático
cia do que ensinam para a continuidade do
dos alunos e raciocínio aditivo, anterior-
desenvolvimento do pensamento matemá-
mente abordado?
tico dos alunos. As ideias matemáticas de-
senvolvidas nesse Ciclo são estruturantes
As autoras enfatizam a flexibilidade
para o pensamento matemático futuro. O
que a Resolução de Problemas possibilita
que afirmo pode ser percebido no exemplo
na organização do trabalho em sala de aula
de duas produções diferentes de solução
e explicam os aspectos que consideram im-
para uma mesma problematização, realiza-
perativos na ação dos professores: Leitura
das por alunos de 5º ano, que Maccarini e
do problema, seja ele escrito em linguagem
Andrade apresentam em seu artigo. Neste,
materna ou por meio da apresentação de
os modos como os alunos pensaram e suas
imagens, compreensão do enunciado do pro-
tentativas de solução foram exploradas.
blema, autonomia do estudante, identifica-
Um deles resolveu o problema utilizando
ção dos dados e informações significativas,
técnicas operatórias com algoritmos con-
levantamento de hipóteses, estimativa de
vencionais. O outro produziu registros de
resultados possíveis, identificação do cami-
seu raciocínio e não utilizou técnicas ope-
nho e das estratégias mais adequadas para
ratórias. Os processos resolutivos, os resul-
a resolução, a resolução propriamente dita,
tados encontrados e a relação dos alunos
análise e verificação do resultado encontra-
com os resultados encontrados são descri-
do, confronto entre a resolução do estudante
tos e analisados em uma perspectiva didá-
e a de outros colegas, elaboração e proposi-
tica que pretende mais que a resolução al-
ção de problemas.
gorítmica na aprendizagem. Pretende, pelo
raciocínio, contribuir para que a aprendi-
Embora tenhamos, nesta publica-
zagem transponha as paredes da sala de
ção, os alunos do Ciclo de Alfabetização
aula e auxilie os alunos na compreensão
como foco, não podemos ter, longe de
do mundo que os cerca.
nosso horizonte, os alunos dos anos subsequentes. Há décadas defendo que pro-
fessores das séries/anos iniciais devem
lado Princípio Multiplicativo para os anos
conhecer os conteúdos e a natureza das
iniciais – desenvolvimento conceitual e
Vamos agora tratar do artigo intitu-
6
algoritmos em uma perspectiva de situa-
de Matemática, explica como as ideias são
ções-problema, de autoria de Nilza Berto-
estruturalmente constituídas e se consti-
ni. Com fundamento na Teoria dos Campos
tuem sob o ponto de vista de quem as está
Conceituais de Vergnaud, aborda aspectos
aprendendo. Constrói uma teia interligan-
teóricos das estruturas multiplicativas-
do ação didática, aprendizagem dos alunos
-divisivas e apresenta uma proposta didá-
e conhecimento matemático conceitual. A
tica dinamizada pela Resolução de Proble-
autora trata de diferentes procedimentos
mas, ao mesmo tempo em que aposta na
operatórios desenvolvidos pelos alunos e
dimensão lúdica com a utilização de jogos
algoritmos, considerando a “parte concei-
em aulas de Matemática e discute a utiliza-
tual” e a “parte operacional”, sem dicoto-
ção de material concreto. Durante o artigo,
mizá-los. Exemplifica utilizando situações
articula a multiplicação e a divisão, crian-
de divisão, pertencentes ao cotidiano das
do um movimento interessante em que o
crianças, que foram resolvidas apenas com
raciocínio do aluno é valorizado. Tanto é
a realização de reflexão sobre a realidade.
verdade, que sempre valoriza a construção
de estratégias resolutivas por eles. Mas não
Do dizer da própria autora, ressalto
só. Solicita que, aos alunos, seja dado tem-
que: “Perceber quando se faz necessário realizar
po para que usem suas estratégias, possam
operações multiplicativas ou de divisão, e saber
desenvolvê-las, possam analisá-las.
realizá-las, seja mentalmente, por estimativas,
ou por cálculos escritos, é um instrumental útil
A autora não se encerra na apre-
para a vida cotidiana e profissional, mesmo com
sentação de uma proposta didática. Ela a
o uso cada vez mais comum das calculadoras.”
desenvolve, passo a passo, focando a ação
Eis aí uma perspectiva do hoje e do amanhã,
didática dos professores com vistas à com-
dos alunos e de seus professores.
preensão das estruturas multiplicativas-divisivas pelos alunos. Esperamos que os textos aqui apre-
sentados contribuam com a prática pedaAssociada à ação didática dos pro-
gógica dos professores nos anos iniciais do
fessores, está o raciocínio dos alunos, seus
Ensino Fundamental e, de modo especial, no
acertos, erros e tentativas. Na verbaliza-
Ciclo de Alfabetização. Que os desafios aqui
ção do aluno durante as atividades e nos
lançados sejam aceitos e vencidos na conti-
registros que faz, têm uma fonte para en-
nuidade da caminhada profissional e que as
tender seu raciocínio. Então, explica ma-
interrogações possam ser respondidas.
tematicamente o que está se passando e
como, quem está ministrando uma aula
7
texto
1
Que conta eu faço, professora?
É de mais ou de menos?
Jutta Cornelia Reuwsaat Justo1
Nos anos iniciais do Ensino Funda-
Vejamos, por exemplo, os seguintes problemas:
mental, a resolução de problemas matemáticos se destaca por ser uma das áreas mais
- Antônio tinha 22 figurinhas. Ganhou
evidentes das dificuldades das crianças.
de seu amigo Bruno mais 18 figurinhas.
Muitos professores desse nível de ensino,
Quantas figurinhas Antônio têm agora?
quando solicitados a comentar as dificuldades de seus alunos, trazem que estes não sa-
- Em uma partida perdi 22 bolas de gude,
bem interpretar os problemas matemáticos
ficando com 18. Quantas bolas de gude eu
e que apresentam muita insegurança em re-
tinha no início do jogo?
conhecer qual operação matemática os resolve. Então, como ensinar a criança a inter-
pretar e resolver os problemas matemáticos
uma adição: 22+18=40. E, no entanto, o pri-
corretamente?
meiro se refere a ganhar e o outro a perder.
Vamos verificar os problemas na Figura 1:
Ao questionarmos os professores
Os dois problemas se resolvem com
sobre como eles fazem para selecionar os
problemas matemáticos a serem propostos
aos seus alunos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, a resposta mais comum é que
selecionam o problema pela operação que o
resolve. Ou seja, escolhem os problemas pensando na conta que o aluno terá que fazer.
Será esta uma opção adequada?
1
Figura 1: Problemas aditivos resolvidos por subtração.
Fonte: A autora.
Doutora em Educação (UFRGS), Universidade Luterana do Brasil, [email protected]
8
Podemos dizer que os problemas são
totípicas de adição, pelas quais as crianças dão
iguais porque se resolvem pela mesma opera-
um primeiro sentido a essa operação: a reunião
ção matemática? Será que eles têm o mesmo
de duas partes em um todo e a transformação
grau de dificuldade para os alunos? Os exem-
de uma quantidade inicial (BRANDÃO; SELVA,
plos nos fazem refletir que selecionar proble-
1999; MAGINA et al, 2001; VERGNAUD, 2011). As
mas a partir da operação que os resolve pode
figuras 2 e 3 ilustram essas situações.
não ser uma boa estratégia.
A partir dessa reflexão inicial, propomos
uma discussão sobre a metodologia da resolução de problemas matemáticos aditivos. Pretendemos contribuir para o conhecimento do
professor sobre a complexidade do campo aditivo, a variedade semântica de problemas que o
compõem e suas representações, pois este co-
Figura 2: Problema prototípico de adição, com reunião de duas partes em um todo, elaborado por
uma criança de 6 anos em fase de alfabetização.
(Fonte: JUSTO, 2000).
nhecimento é relevante para a aprendizagem
da resolução de problemas aditivos pelos alunos
dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Problemas aditivos
Os problemas aditivos são aqueles que
pedem uma adição, uma subtração ou uma
combinação das duas operações para serem
resolvidos. Vários pesquisadores (CARPENTER;
HIEBERT; MOSER, 1983; FAYOL, 1996; NESHER;
GREENO; RILEY, 1982; NUNES; BRYANT, 1997; RILEY; GREENO; HELLER, 1983; VERGNAUD, 1990)
focaram seus estudos na aprendizagem destes
problemas, classificando-os segundo sua estrutura semântica e não mais pelas operações matemáticas que os resolvem.
A classificação em categorias semânti-
cas ainda é pouco conhecida pelos professores
que ensinam matemática no Ensino Fundamental, sendo, portanto, pouco trabalhada nas
escolas (BRANDÃO; SELVA, 1999; JUSTO, 2009,
2007; MAGINA et al, 2001; MAGINA et al, 2010).
Duas situações-problema são consideradas pro-
9
Figura 3: Problema prototípico de adição, com transformação de uma quantidade inicial, elaborado por
uma criança de 6 anos em fase de alfabetização.
(Fonte: JUSTO, 2000).
Considerando a semântica, podemos
discriminar vinte problemas aditivos em quatro categorias de situações: transformação,
combinação, comparação e igualação. Duas
dessas categorias referem-se claramente a uma
ação - transformação e igualação, enquanto as
outras duas estabelecem uma relação estática
entre as quantidades do problema - combinação e comparação. Cada uma das quatro categorias semânticas de situações pode identificar distintos tipos de problemas dependendo
de quantidade, que é desconhecida. É importante que essas variações sejam conhecidas
pelos professores, porque indicam um problema diferente que exigirá da criança diferentes
estratégias de solução.
1. Acrescentar. Resultado desconhecido.
Antônio tinha 12 figurinhas. Ganhou de seu amigo Bruno mais 8 figurinhas. Quantas
Vejamos as categorias figurinhas Antônio tem agora?
semânticas dos proble- 2. Diminuir. Resultado desconhecido.
mas aditivos na figura Gláucia tinha 14 moedas. Ela deu 3 moedas para Mônica. Com quantas moedas ela ficou?
4:TRANSFORMAÇÃO
(T) Expressam uma
ação direta sobre uma
quantidade que causa
um aumento ou um
decréscimo, ou seja,
uma situação inicial
sofre uma mudança e
transforma-se em uma
situação final.
3. Acrescentar. Mudança desconhecida.
Sara tinha 5 chaveiros. Então ganhou de Cristina mais alguns chaveiros. Agora Sara
tem 12 chaveiros. Quantos chaveiros Sara ganhou de Cristina?
4. Diminuir. Mudança desconhecida.
Janaína tinha 22 lápis de cores. Na escola, ela deu alguns para suas amigas. Janaína
agora tem 8 lápis. Quantos lápis ela deu?
5. Acrescentar. Início desconhecido.
No meu aquário, há alguns peixes. Então eu coloquei mais 4 peixes. Agora eu tenho
12 peixes. Quantos peixes eu tinha antes?
6. Diminuir. Início desconhecido.
Em uma partida, perdi 12 bolas de gude, ficando com 21. Quantas bolas de gude eu
tinha no início do jogo?
1. Mais que. Diferença desconhecida.
Alice tinha 12 balas. Irene tinha 5 balas. Quantas balas Alice tem a mais que Irene?
2. Menos que. Diferença desconhecida.
Meu tio tem 48 anos e minha tia tem 29. Quantos anos minha tia tem a menos que meu tio?
C O M PA R A Ç Ã O ( C P )
Comparam quantidades. A relação entre os
números do problema
é estática, ou seja, eles
não sofrem mudanças.
3. Mais que. Quantidade menor desconhecida.
Luciana colheu 34 laranjas e ela colheu 16 a mais do que sua irmã. Quantas laranjas colheu sua irmã?
4. Menos que. Quantidade menor desconhecida.
Minha mãe tem 42 anos e minha tia tem 14 anos a menos do que ela. Qual a idade da minha tia?
5. Mais que. Quantidade maior desconhecida.
Roberto comprou uma lapiseira por 12 reais e um caderno que custou 9 reais a mais
que a lapiseira. Quanto custou o caderno?
6. Menos que. Quantidade maior desconhecida.
Joel ganhou em uma partida 43 bolas de gude. Ele ganhou 18 a menos do que André.
Quantas bolas André ganhou?
1. Acréscimo. Valor de igualação desconhecido.
Na casa de Adriano existem 22 árvores e na de Roberto existem 14. Quantas árvores
Roberto precisa plantar para ficar com a mesma quantidade de árvores que Adriano?
2. Decréscimo. Valor de igualação desconhecido.
I G U A L A Ç Ã O ( I ) Na 4ª série, há 35 cadeiras e 26 crianças. Quantas cadeiras eu preciso retirar da sala
Acarretam a compa- para ficar com a mesma quantidade do que de crianças?
ração de duas quan- 3. Acréscimo. Fazer o valor conhecido igualar.
tidades e uma mu- Marcelo tem 15 reais. Se a sua mãe lhe der mais 9, ele terá a mesma quantia que
dança de uma dessas Davi. Quantos reais tem Davi?
quantidades para que
uma igualdade seja
estabelecida. Essa categoria de situações
pode ser considerada
como uma mescla das
duas categorias anteriores, comparação e
transformação.
4. Decréscimo. Fazer o valor desconhecido igualar.
No ônibus que vai para POA, há 17 pessoas; se 6 pessoas descerem do ônibus que vai
a Feliz, haverá o mesmo número de pessoas nele como no ônibus que vai para POA.
Quantas pessoas estão no ônibus que vai a Feliz?
5. Acréscimo. Fazer o valor desconhecido igualar.
Meu vestido tem 12 botões. Se o vestido de minha irmã tivesse 5 botões a mais, ele
teria o mesmo número de botões que o meu. Quantos botões tem o vestido de minha
irmã?
6. Decréscimo. Fazer o valor conhecido igualar.
Neco tem 13 carrinhos. Se ele der 9 dos seus carrinhos, ele terá o mesmo número de
carrinhos que Zeca. Quantos carrinhos tem Zeca?
1. Todo desconhecido.
C O M B I N A Ç Ã O ( C B ) Alexandre tem 8 bombons e Leandro tem 14. Quantos bombons eles têm ao todo?
Implicam situações estáticas entre uma quan- 2. Parte desconhecida.
Patrícia e Gabriel colecionam chaveiros. Eles têm, juntos, 22 chaveiros. Gabriel tem
tidade e suas partes.
14. Quantos chaveiros Patrícia tem?
Figura 4: Categorias Semânticas de Problemas Aditivos.
(Adaptado de: JUSTO, 2009)
10
apresenta
trativa, ela usa a subtração (JUSTO, 2000). A
uma situação aditiva e requer uma subtra-
questão “É de mais... ou de menos?...” per-
ção para ser resolvido (ou vice-versa), ele
meia a resolução dos problemas aditivos pe-
é mais difícil de resolver do que quando o
las crianças. A oscilação entre a adição e a
problema pode ser resolvido através da re-
subtração aparece de forma explícita ou mes-
presentação direta da situação apresentada
mo implícita em suas tentativas de solução.
no problema, ou seja, a operação que o re-
Transparece nas suas falas, nas dúvidas apre-
solve é a mesma da situação apresentada.
sentadas, nas suas ações sobre os materiais,
Vejamos, na Figura 5, a classificação dos di-
nas estratégias de contagem, de composição
ferentes tipos de problemas em canônicos
e de representação, assim como na escrita
(mais fáceis) e não canônicos (mais difíceis):
das operações (JUSTO, 2004).
Quando
o
problema
TRANSFORMAÇÃO (T)
COMPARAÇÃO (CP)
IGUALAÇÃO (I)
COMBINAÇÃO (CB)
Canônicos
T1, T2, T4
Não canônicos T3, T5, T6
Canônicos
CP1, CP3, CP6
A dúvida das crianças “É de mais ou
de menos?” traduz-se como um problema de
Não canônicos CP2, CP4, CP5
ensino quando existe a ênfase excessiva nos
Canônicos
cálculos, o trabalho com “palavras-chave”,
I2, I3, I6
Não canônicos I1, I4, I5
Canônicos
CB1
Não canônicos CB2
Figura 4: Categorias Semânticas de Problemas Aditivos
(Adaptado de: JUSTO, 2009)
por não se trabalhar com a compreensão dos
problemas, por não se identificarem nem se
analisarem as diferenças entre diversos tipos
de problemas e pelo uso indiscriminado de
material concreto (VASCONCELOS, 1998).
Assim sendo, o ensino da resolução
de problemas aditivos precisa levar em conta
a complexidade desse campo conceitual. Por-
mentar a variedade dos problemas propos-
tanto, o conhecimento do professor sobre o
tos aos alunos, incluindo os mais difíceis,
campo conceitual aditivo é essencial para a
mas é fundamental proporcionar a eles a
aprendizagem dos alunos.
aprendizagem de estratégias apropriadas
No entanto, não resolve apenas au-
de compreensão e solução dos problemas.
Resolução de problemas aditivos
Atualmente, a representação tem
Enquanto a criança permanece ligada
sido considerada uma estratégia importan-
ao contexto da situação apresentada no pro-
te na resolução de problemas aditivos. A
blema, ela tenta resolver pela operação que
representação é concebida como o proces-
o caracteriza, ou seja, se a situação é aditiva,
so pelo qual se estabelecem vínculos entre
ela resolve pela adição, se a situação é sub-
a situação proposta no problema, a rede
11
semântica da pessoa (seu conhecimento
resolver os problemas e proíbem o uso de
linguístico e de mundo), seu conhecimen-
recursos de representação (dedos, dese-
to de procedimentos e seu conhecimen-
nhos, etc.) e os alunos estagnam o seu de-
to geral acerca das relações matemáticas
sempenho. Este resultado reforça que dife-
e espaciais. Assim, utilizar uma forma de
rentes usos de representação auxiliam na
representação física ou visual, não linguís-
resolução de problemas matemáticos.
tica, manteria a informação do problema
em um formato mais acessível ao aluno,
Trabalhando com representações,
enquanto os cálculos são executados, re-
os pesquisadores Vergnaud (1990, 2009),
duzindo a carga da memória e, portanto, a
Orrantia (2006) e Justo (2009) pretendiam
probabilidade de erros.
que os estudantes usassem formas geométricas para colocar as quantidades que
Para as situações apresentadas nos
o problema apresenta e setas para indicar
problemas aditivos, pesquisadores preocu-
as relações e sentidos existentes entre as
param-se em desenvolver representações
quantidades, conforme a semântica indi-
que auxiliassem os alunos a resolvê-las.
cada pelo problema. O exemplo trazido na
Vergnaud (2011, p. 26) reforça o papel do
figura 6 ilustra o uso da representação:
12
professor no ensino da resolução de problemas como “um mediador essencial”, cujo
“papel não se limita a acompanhar a atividade dos alunos”, mas é essencial na “escolha das situações a serem propostas” e na
“representação de sua estrutura conceitual
por meio de formas simbólicas acessíveis”.
Figura 6: Representação gráfica de um problema de
comparação. Fonte: A autora.
Nunes et al (2005) afirma que o raciocínio aditivo baseia-se na coordenação
de três ações entre si: juntar, separar e co-
partir da representação, e que serviriam
locar em correspondência; portanto, enfa-
como auxílio à compreensão e resolução,
tiza que os alunos precisam utilizar essas
poderiam ser: “Quem tem mais laranjas?
três ações ao resolver problemas do cam-
Luciana ou Lúcia? Quantas laranjas ela
po aditivo. Em outro trabalho dessas pes-
tem? O que temos que fazer para descobrir
quisadoras (MENDONÇA et al, 2007), elas
quantas laranjas a Lúcia colheu? Se Lúcia
verificaram que, no 4º ano, os professores
tem menos laranjas, que conta fazemos para
costumam enfatizar o uso de cálculos para
chegar à quantidade menor?” Ao refletir
Os questionamentos possíveis, a
sobre essas questões, a representação serve
situação de avaliação, ele pode escolher
como um apoio ao raciocínio e à escolha da
os problemas matemáticos segundo esse
operação matemática, no caso, a subtração,
critério, não considerando a amplitude de
que leva ao resultado do problema.
conceitos e nem as diferenças em termos
de dificuldade que os problemas aditivos
A representação é fundamental no
apresentam. Isso pode implicar que o pro-
ensino e na aprendizagem da resolução de
fessor escolha como atividade de avaliação
problemas. Segundo Vergnaud (1990, 2009),
a resolução de um tipo de problema aditivo
sem palavras e símbolos, a representação e
que nunca havia sido proposto antes e, as-
a experiência não podem ser comunicadas.
sim, o aluno pode estar se defrontando pela
A linguagem matemática desempenha um
primeira vez com um problema aditivo dos
papel muito importante na conceituação e
mais difíceis e, justamente em um momen-
nos processos de raciocínio e, sendo assim,
to de avaliação. Neste caso, a dificuldade
as representações fornecem um amparo
não poderia ser atribuída ao aluno, pois ela
para o pensamento na resolução de proble-
se encontra no desconhecimento do pro-
mas matemáticos.
fessor sobre o conteúdo a ser ensinado.
Considerações finais
O conhecimento matemático do
professor, ou melhor, a falta desse conheci
Voltando às reflexões do início des-
mento, ainda é um dos fatores do insucesso
se texto, uma consequência da falta de
dos estudantes na Matemática. Destacamos
conhecimento do professor sobre a diver-
a importância de um ensino comprometido
sidade de problemas aditivos pode ser vis-
com a melhoria da aprendizagem matemá-
lumbrada em uma das práticas escolares
tica dos estudantes do Ensino Fundamental
mais tradicionais e importantes: a avalia-
que, além de exercícios de cálculos, propo-
ção. Os instrumentos de avaliação são uma
nha a diversidade de situações pertencentes
fonte de construção de crenças para os
ao campo aditivo, o papel da representação
alunos sobre suas próprias capacidades e
na resolução de problemas aditivos e a meto-
habilidades de aprender. Como destacamos
dologia da resolução de problemas.
na reflexão inicial, se o professor não tem
conhecimento sobre a diversidade de situa-
ções e categorias semânticas que envolvem
dizagem pode estar na relação entre como se
o campo aditivo, ele entende que os proble-
ensina e como se aprende.
mas podem ser classificados pela operação
matemática que os resolve. Assim, em uma
Acreditamos que o segredo da apren-
13
REFERÊNCIAS
BRANDÃO, A.C.; SELVA, A.C.V. O livro didático na Educação Infantil: reflexão versus repetição na
resolução de problemas matemáticos. Educação e Pesquisa. São Paulo, v. 25, n. 2, p. 69-83, jul./
dez. 1999.
CARPENTER, T.P.; HIEBERT, J.; MOSER, J.M. The effect of instruction on children’s solutions of
addition and subtraction word problems. Educational Studies in Mathematics. Boston, v. 14, n.
1, pp. 55-72, 1983.
FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Tradução: Rosana Severino Di Leone. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
JUSTO, J.C.R. Os Significados das Operações Matemáticas de Adição e Subtração: a evolução da
compreensão de 1ª a 4ª séries. In: V Reunión de Didactica Matemática del Cono Sur. Universidad
de Santiago de Chile, janeiro/2000.
_____. Mais... Ou Menos?...: A construção da operação de subtração no campo conceitual das
estruturas aditivas. Dissertação (Mestrado em Educação), Faculdade de Educação, Universidade
Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre: UFRGS, 2004.
_____. Aprendizagem de problemas do campo aditivo. Projeto de Tese (Doutorado em Educação),
Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre: UFRGS, 2007.
_____. Resolução de problemas matemáticos aditivos: possibilidades da ação docente. Tese
(Doutorado em Educação), Faculdade de Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre: UFRGS, 2009.
MAGINA, S. et al. Repensando Adição e Subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM Editora, 2001.
_____. As Estratégias de Resolução de Problemas das Estruturas Aditivas nas Quatro Primeiras
Séries do Ensino Fundamental. Zetetiké, Cempem, FE, Unicamp, v. 18, n. 34, jul/dez, 2010.
MENDONÇA, T.M. et al. As estruturas aditivas nas séries iniciais do Ensino Fundamental: um estudo diagnóstico em contextos diferentes. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, 2007, vol.10, n.2. pp. 219-239.
14
NESHER, P.; GREENO, J.G.; RILEY, M.S. The development of semantic categories for addition and
subtraction. Educational Studies in Mathematics, Boston, v. 13, n.4, pp. 373-394, nov-dec. 1982.
NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artmed, 1997.
_____. et al. Educação Matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
ORRANTIA, J. Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas: una perspectiva evolutiva. Revista de Psicopedagogia, vol 23(71), pp. 158-180, 2006.
RILEY, M. S.; GREENO, J. G.; HELLER, J. I. Development of children’s problem-solving ability in
arithmetic. In: GINSBURG, H. (Ed.). The Development of Mathematical Thinking. New York:
Academic Press, 1983.
VASCONCELOS, L. Problemas de adição e subtração: modelos teóricos e práticas de ensino. In:
SCHLIEMANN, A.; CARRAHER, D. (orgs). A compreensão de conceitos aritméticos: ensino e pesquisa. Campinas, SP: Papirus, 1998.
VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches em Didactiques des Mathématiques, 10 (23), p. 133-170, 1990.
_____. The Theory of Conceptual Fields. Human Development; 52:83–94, 2009. Acessível em www.
karger.com/hde
_____. O longo e o curto prazo na aprendizagem da matemática. Educar em Revista, Curitiba,
Brasil, n. Especial 1/2011, p.15-27, 2011.
15
texto
2
Resolução de problemas: possibilidades e
reflexões a partir do espaço de sala de aula !
Justina I. C. Motter Maccarini1
Salete Pereira de Andrade2
É importante ter a visão de que compreender
meio em que vivem, de modo a resolver os
deve ser o principal objetivo do ensino, apoiados
problemas sob uma ótica que privilegie a
na crença de que o aprendizado de Matemática,
qualidade de vida pessoal e social.
pelos alunos, é mais forte quando é autogerado
do que quando lhes é imposto por um professor
ou por um livro-texto. Quando os professores en-
dos profissionais que atuam na Educação,
sinam Matemática através da resolução de pro-
como regentes que ensinam Matemática,
blemas, eles estão dando a seus alunos um meio
nem sempre correspondeu ou deu sub-
poderoso e muito importante de desenvolver sua
própria compreensão. (ONUCHIC, 1999, p. 208).
No entanto, a formação acadêmica
sídios suficientes para desenvolver um
trabalho com resolução de problemas de
Resolver problemas, no sentido
forma consistente e adequada para o es-
amplo da palavra, é uma ação constante
paço de sala de aula frente às exigências
na vida dos cidadãos da sociedade con-
da sociedade contemporânea; por isso,
temporânea. Esse ponto de partida deve
destacamos a importância da formação
impulsionar os profissionais da Educação
continuada permanente, proporcionando
a pensar e repensar caminhos que propi-
o desenvolvimento do trabalho pedagógi-
ciem, desde a infância, a construção de
co com a Matemática de uma forma mais
conhecimentos matemáticos que desen-
próxima da realidade cultural e social,
volvam habilidades e competências que
atendendo à formação integral do indiví-
favoreçam o atuar conscientemente no
duo que atuará na sociedade.
1
Mestre e especialista em Educação. Professora de Matemática do Ensino Fundamental. Docente em
cursos de formação de professores. Autora de livros didáticos e paradidáticos de Matemática.
2
Especialista em Educação Matemática. Professora de Matemática do Ensino Fundamental. Docente
em cursos de formação de professores. Autora de livro didático de Matemática.
16
O trabalho com resolução de pro-
hipóteses, comparando seus resultados com
blemas favorece o desenvolvimento da
os dos colegas, validando seus procedimen-
leitura, compreensão, análise, reflexão,
tos de resolução e encontrando as estratégias
levantamento de hipóteses e resolução,
mais adequadas para cada situação.
colocando em movimento inúmeras habilidades e formas de pensar.
A organização e o encaminhamen-
to do trabalho com a resolução de proble
O papel do professor, nessa perspec-
mas em sala de aula pode seguir diferentes
tiva, passa por modificações, já que uma
caminhos, dependendo do ano em que o
das suas grandes atribuições é a criação de
estudante está cursando, do tipo de pro-
um ambiente favorável. A sala de aula deve
blema, dos recursos manipuláveis envol-
ser um ambiente onde haja interação so-
vidos, da contextualização, entre outros.
cial entre os estudantes e com o professor,
No entanto, alguns aspectos são impres-
e onde todos os estudantes sintam-se enco-
cindíveis e essenciais na prática diária do
rajados a correr riscos e expor suas ideias,
professor, relacionados à resolução de pro-
para que, de fato, estejam estimulados a
blemas, dos quais cabe destacar:
participar ativamente das aulas.
- Leitura do problema, seja ele escrito em
A resolução de problemas mostra
linguagem materna ou por meio da apresentação
a riqueza do trabalho pedagógico com a
de imagens. A competência leitora perpassa a
Matemática na medida em que o profes-
resolução de problemas. Não há como resol-
sor promove a leitura, a compreensão do
ver problemas sem a leitura do seu enunciado.
texto e do contexto, o debate, o confronto de ideias e opiniões e a percepção das
- Compreensão do enunciado do pro-
diferentes formas de pensar em torno das
blema. A compreensão é parte essencial da
possibilidades de resolução de cada pro-
leitura. O hábito de ler está intimamente re-
blematização proposta. lacionado à compreensão do que está sendo
lido. Normalmente, durante o processo de
De acordo com os PCNs (BRASIL,
resolução de problemas, a principal dificulda-
1997), a resolução de problemas é fundamen-
de reside na densidade de informações apre-
tal no processo de desenvolvimento forma-
sentadas, cabendo ao professor incentivar os
tivo do indivíduo e vai se consolidando na
estudantes a reformular o problema com suas
medida em que o aluno elabora um ou vários
próprias palavras, facilitando a compreensão.
procedimentos de resolução, utilizando-se
de simulações, estimativas e formulação de
- Autonomia do estudante. Um dos
17
grandes objetivos da Resolução de Proble-
problema. Valorizar as diferentes estratégias,
mas é o desenvolvimento da autonomia do
identificando a mais adequada para cada pro-
aluno nas formas de pensar e de agir. A auto-
blematização é uma habilidade que deve ser
nomia é desenvolvida na medida em que são
desenvolvida nos estudantes. Nessa etapa, é
propostas situações que favoreçam o pensar
importante que o professor estimule seus alu-
e o agir do estudante, para que ele crie es-
nos, evitando intervir sobre suas ações.
tratégias próprias de resolução, análise e validação dos seus resultados.
- Resolução. Resolver adequadamente
um problema, chegando-se ao melhor resulta-Identificação dos dados e informações
do, é o objetivo principal da resolução de pro-
significativas. Na resolução de problemas, o
blemas. No entanto, o sucesso na resolução de
estudante desenvolve a autonomia na identi-
um problema depende de vários fatores, colo-
ficação de dados e informações importantes
cando-se em movimento todos os elementos
e necessárias para encontrar a solução mais
descritos aqui, além do ambiente investigativo
adequada para a situação proposta.
e criativo da sala de aula e do conhecimento
matemático construído (e em construção).
-Levantamento de hipóteses. Na pers-
pectiva metodológica da Resolução de Proble-
-
Análise
e
verificação
do(s)
mas, evidencia-se a importância do ambiente
resultado(s) encontrado(s). O(s) resultado(s)
investigativo em sala de aula. Cabe ao profes-
encontrado(s) pode, ou não, ser o mais ade-
sor favorecê-la aos estudantes para que levan-
quado para a problematização proposta; por
tem hipóteses sobre as situações propostas.
isso, é essencial verificar e analisar esse resultado, identificando a sua veracidade e, se
- Estimativa de resultados possíveis.
O desenvolvimento da estimativa e dos cál-
esse é, de fato, o resultado mais adequado
para a situação proposta.
culos aproximados favorece a habilidade de
resolver problemas com maior assertividade,
- Confronto entre a resolução do estudan-
pois permite uma reflexão mais consistente
te e a de outros colegas. Ampliar o repertório
sobre os resultados obtidos, canalizando os
de possibilidades de resolução de problemas é
esforços no que de fato o problema propõe.
parte integrante de um ambiente investigativo em sala de aula. Isso é favorecido quando
- Identificação do caminho e das estra-
o professor desenvolve o hábito de comparti-
tégias mais adequadas para a resolução. Nor-
lhar, argumentar e confrontar ideias, opiniões
malmente, é possível utilizar diferentes es-
e possibilidades de resolução dos problemas.
tratégias para resolução de um determinado
18
- Elaboração e proposição. Durante o
A problematização a seguir foi resolvi-
processo de resolução de problemas, o estu-
da por estudantes de 5º ano do Ensino Fun-
dante identifica os elementos de cada tipo
damental (Curitiba, ago/2013), das quais des-
de problema e suas contextualizações, favo-
tacamos duas soluções para refletir sobre as
recendo o contato com diferentes textos e
formas como os estudantes pensaram e tenta-
contextos; essas questões dão subsídios para
ram encontrar a resposta à problematização.
a elaboração e proposição de problemas.
Observe:
Diante desses aspectos, cabe des-
tacar a importância da diversificação das
formas de organização dos estudantes ao
encaminhar o trabalho com a Resolução
de Problemas, podendo ser: individual; em
pequenos grupos; a turma toda, coletivamente; individual com posterior plenária;
individual ou em pequenos grupos com
correção coletiva; entre outros.
19
De acordo com Onuchic (1999, p. 210-211),
Na abordagem de Resolução de Problemas como metodologia de ensino,
o aluno tanto aprende Matemática
resolvendo problemas, como aprende
Matemática para resolver problemas. O
ensino da resolução de problemas não
Ao analisarem-se as duas soluções
é mais um processo isolado. Nessa me-
registradas por esses estudantes, alguns as-
todologia, o ensino é fruto de um pro-
pectos podem ser evidenciados. O estudante
cesso mais amplo, um ensino que se faz
por meio da resolução de problemas.
A procurou resolver a situação por meio do
uso de algoritmos convencionais. Percebe-se
Ao propor a Resolução de Proble-
que o estudante A esteve atento a alguns itens
mas em sala de aula, podemos observar
importantes, tais como: há um total de peixes
inúmeras situações relacionadas à apren-
e nesse total há dois grupos: peixes peque-
dizagem dos estudantes, tanto em termos
nos e peixes grandes. É necessário identificar
de conhecimento matemático, quanto em
a parte do total que corresponde aos peixes
relação ao desenvolvimento da competên-
grandes e a parte que corresponde aos peixes
cia de resolver problemas.
pequenos. Ao identificar que o todo deveria
ser dividido em duas partes e demonstrando
domínio da técnica operatória da divisão, da
adição e da subtração, inclusive com números decimais, o estudante aplicou de forma
inadequada esse procedimento para solucionar um problema que exigia raciocínio além
da aplicação de técnicas operatórias diretas.
Outra questão que pode ser destacada na resolução do estudante A, é que parece que ele
não refletiu sobre o resultado encontrado; ou
seja, não é possível ter 5,5 peixes pequenos e
5,5 peixes grandes em um aquário.
Em contrapartida, o estudante B, de-
monstrou a não preocupação com a aplicação de técnicas operatórias convencionais,
desenvolvendo o registro de raciocínios possíveis que levassem a uma solução coerente e
assertiva para a problematização proposta.
De fato, a resolução de problemas
deve levar o estudante a pensar produtivamente, desenvolvendo formas diferenciadas
de ver e perceber cada problematização que
se apresenta, dando soluções adequadas e satisfatórias ao contexto da situação.
20
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática. v. 3. Brasília: MEC/SEF, 1997.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. 11 ed. São Paulo:
Ática, 1998.
DINIZ, Maria Ignez. Resolução de problemas e comunicação. In: SMOLE, Kátia Stocco;
______(Orgs.). Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender matemática.
Porto Alegre: Artmed, 2001.
GUÉRIOS, Ettiène...[ET al.]. A avaliação em Matemática no Ensino Fundamental. Curitiba: Editora
UFPR, 2006.
ITACARAMBI, Ruth Ribas. Resolução de problemas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. São
Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de
problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Pesquisa em educação matemática:
concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999, p. 199-218.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação
em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.
21
texto
3
Princípio multiplicativo para os anos iniciais –
desenvolvimento conceitual e algoritmos em
uma perspectiva de situações-problema
Nilza Eigenheer Bertoni1
A ideia conceitual de multiplicação
e o conhecimento de produtos elementares
O ensino-aprendizagem da multiplicação nas últimas décadas
está na base dos raciocínios matemáticos,
da resolução de problemas e dos cálculos
mentais que fazemos no dia-a-dia. Intrinse-
-aprendizagem da multiplicação apresen-
camente associada a ela, e igualmente im-
tou várias tendências. Após longa fase com
portante, está a ideia de divisão. Perceber
acentuada ênfase na memorização pura de
quando se faz necessário realizar operações
tabuadas e dos algoritmos, procurou-se, nas
multiplicativas ou de divisão, e saber rea-
décadas finais do século XX, dar um sentido
lizá-las, seja mentalmente, por estimativas
aos fatos multiplicativos, usando-se somas
ou por cálculos escritos, é um instrumen-
de parcelas repetidas. Havia certa confusão
tal útil para a vida cotidiana e profissional,
na parcela a repetir-se: alguns livros diziam
mesmo com o uso cada vez mais comum
que 3x5 significavam 3 parcelas de 5 e, por-
das calculadoras. Sob o nome de Princípio
tanto, 3x5 = 5+5+5; outros diziam que seriam
Multiplicativo, esse texto trata de vários as-
5 parcelas de 3 e portanto 3x5 = 3+3+3+3+3.
pectos teóricos das estruturas multiplica-
De qualquer modo, as crianças tiveram, en-
tivas-divisivas, apresentando uma possível
tão, um recurso, além da memória, para
transposição didática dos mesmos, con-
saber resultados de multiplicações: podiam
substanciada em linhas centrais de uma
contar (disfarçadamente, em algumas esco-
proposta didática. Começaremos dando
las), nos dedos. Para calcular 7x3, o jeito das
ênfase à multiplicação e articulando-a com
crianças era ir mostrando dedos, de um a
a divisão. Em seguida, complementaremos
sete, e, a cada dedo, contar três unidades.
Nas últimas décadas, o ensino-
com a divisão propriamente dita.
1
Doutora Honoris Causa em Educação Matemática pela UnB. Professora aposentada do Departamento de
Matemática da Universidade de Brasília.
22
Já no fim do século, surgiram as
interpretações da multiplicação como organizações
escapar a essa abordagem, e, de modo geral,
não está claro o que deverá substituí-la.
retangulares e combinações.
Não havia a preocupação de mostrar que
se tratava de um mesmo conceito em diferentes formulações ou representações,
Associação um a muitos - uma pequena sutileza anterior à soma de
parcelas repetidas
que as formas de descrevê-lo ou de calcular os resultados se equivaliam, nem se
Vamos procurar mostrar, na con-
aprofundava a reflexão sobre o papel da
cepção atual, de que modo a soma de par-
adição no processo multiplicativo.
celas repetidas se articula ao cálculo multiplicativo, e como esse cálculo requer a
A teoria dos Campos Conceituais de
percepção anterior de uma associação um
Vergnaud2 distinguiu, na aprendizagem dos
a muitos, a qual constitui-se na essência da
números, o campo aditivo e o campo multi-
operação de multiplicação.
plicativo, agrupando as estruturas aditivas-subtrativas e as multiplicativas-divisivas.
No processo apresentado para o cál-
culo de 7x3, houve, sim, a soma de sete paraprendizagem
celas, todas iguais a 3. Entretanto, para que
soma -> multiplicação passou a ser olhada com
esse processo desse certo, houve necessidade
certa reserva. Isso porque a soma e a subtra-
de pensar em 7 dedos e associar a cada um a
ção foram percebidas como indissolúveis, da
contagem de 3 unidades, ou seja, fixar uma
mesma forma que a multiplicação e a divisão,
quantidade inicial (sete) e, a cada uma des-
na Matemática e na aprendizagem, não só no
sas unidades, associar 3 unidades, contando
sentido de operações inversas (como propa-
ou somando os resultados. Na aprendizagem
lado pela Matemática Moderna), mas pelos
da multiplicação, essa concepção é muito
esquemas específicos descritos por Vergnaud,
relevante. Em uma capacitação de professo-
associados a cada uma dessas estruturas. Ape-
res que desenvolvemos em São Luís do Ma-
sar de certo conhecimento coletivo entre mui-
ranhão3, discutíamos como, anteriormente
tos professores e autores de livros didáticos de
ao conhecimento de tabuadas, os alunos
que é errado associar multiplicação a somas
poderiam calcular o total de laranjas em 11
de parcelas repetidas, muitos não conseguem
caixas com 15 laranjas em cada uma. A filha
A
seqüência
de
2
Gerard Vergnaud (1990) define campo conceitual como “um espaço de problemas ou de situaçõesproblema cujo tratamento implica em conceitos e procedimentos de vários tipos que estão em estreita conexão.”
3
Não anotadas a escola, data e finalidade da visita, nem retida a produção, o que deixou de caracterizar o
fato como um protocolo oportunístico, tornando-se apenas um relato de algo muito nítido em minha memória.
23
de 8 anos de uma das participantes come-
Fornecer situações significativas que
çou a procurar a resposta em seu pequeno
levem o aluno a fazer essa associação, anterior
caderno de formato horizontal. Desenhou
à contagem ou soma, é importante para en-
bem grande uma caixa com 15 laranjas na
tender a essência dessas novas situações (que,
primeira página. Virou a página e desenhou
em momento oportuno, serão denominadas
mais uma caixa. Em seguida contou as la-
multiplicações). Ao fazer tal correspondência,
ranjas nos dois desenhos e, na segunda pági-
estabelece-se uma proporcionalidade: o núme-
na, escreveu, no canto inferior direito, o nú-
ro final de objetos contados é proporcional ao
mero 30. Assim prosseguiu, página a página,
número de vezes em que foi contado.
sempre colocando o resultado parcial: 45,
60, etc. Em certo momento, pareceu não sa-
Articulando com a divisão
ber se já havia feito suficientes desenhos, e
Situações de multiplicação, como
voltou para contá-los. De modo espontâneo,
essa, levam a duas situações de divisão:
a mãe sugeriu: marque aqui (canto superior
- Se você tiver 165 laranjas, para dis-
direito) o número do desenho. Ela numerou
as páginas: 1 – 2 – 3 ... e, daí para a frente, a
cada nova página com novo desenho, colocava o número correspondente, até chegar
no 11. Nesse ponto, voltou à página anterior,
viu que já havia 150, e prosseguiu na conta-
tribuir
igualmente
quantas
você
põe
em
11
caixas,
em
cada
caixa?
- Se você tiver 165 laranjas, e quiser vender em caixas com 15 laranjas em cada
uma, de quantas caixa vai precisar?
Após o cálculo de uma situação-problema
multiplicativa,
o
professor
gem, incluindo as 15 laranjas da última cai-
deve verbalizar essas questões, mes-
xa, chegando ao resultado 165.
mo sem intenção de introduzir a divisão, apenas para que os alunos perce-
Novamente, nota-se, no raciocínio da
bam a interrelação entre as situações.
criança, a presença das duas coisas anterior-
No primeiro caso, em que se tem certa
mente observadas: atenção a uma quantida-
quantidade e se quer distribuir igualmente
de inicial de caixas (11) e a associação, a cada
para pessoas, ou caixas etc, a divisão é cha-
caixa, de uma quantidade fixa de elementos:
15. A associação de cada um a muitos, a partir de uma quantidade inicial, corresponde à
parte conceitual da multiplicação. A soma das
parcelas, calculada por contagem, serviu para
mada partitiva. A resposta que se procura
é: quanto deu para cada pessoa, ou caixa?
No segundo caso, em que se tem
certa quantidade e se quer separá-la em
partes de tamanho pré-fixado, a divisão é
chamada quotitiva (separação em quotas)
o cálculo do resultado da multiplicação e cor-
ou de medida. A resposta que se procura é:
responde à parte operacional da mesma.
quantas parte (ou quotas) são obtidas? Ou:
quantas vezes cada parte cabe no todo?
24
Contagem por unidades múltiplas ou compostas
Para a descoberta do número ocul-
to, as crianças recorrem à contagem por
unidade composta: “Uma gaiola são 4 pas-
Behr, Harel, Post e Lesh (HAREL e
sarinhos, duas são 8, 3...(pensa, conta real-
CONFREY, 1994) associam o processo de
mente) são 12, 4 são... 16 (pode demorar al-
multiplicar à contagem de unidades múlti-
gum certo tempo).
plas ou compostas, no qual a criança é levada a contar por unidades compostas, ou a
“tratar um conjunto, uma coleção, como uma
rias dessas situações (p. 90 a 96):
Em Nunes et allii encontramos vá-
unidade”. Por exemplo, 1 par de sapatos, 1
mão com 5 dedos. Na contagem, aparece: 1
par são 2 sapatos, 2 pares são 4, 5 pares são
mero dado de panelas de sopa, se para cada
10. Embora se apoie numa soma de parcelas
panela irão 2 tomates;
- número de tomates para um nú-
repetidas, essa abordagem não se reduz a
esse processo. A criança tem dois referenciais - apoia-se na contagem dos números
naturais para definir o número de pares que
tomará, e tem uma unidade composta fixa,
que será tomada tantas vezes quanto indica
o natural, contando ou somando o total.
Muitas situações e jogos podem ser
criados visando levar a criança, de modo claro e interessante, à contagem por unidades
compostas. Por exemplo:
Trata-se de um jogo de tabuleiro com um caminho formado de casas, não necessariamente numeradas (80 ou 100 casas), no qual cada criança
avança com um peão, jogando um dado para
calcular quantas casas deve avançar. O caminho tem certas casas especiais, com a legenda
“Número Oculto”. Ao cair numa dessas casas,
a criança deverá pegar um cartão de uma pilha, que apresenta, na face visível, a legenda:
“O número de casas que você deve andar é o
mesmo que...” e virá-lo, para ler o outro lado.
No verso, aparecem mensagens como “5 pares de sapatos”, “3 caixinhas com 2 chicletes”,
“3 engradados com 4 refrigerantes”, “2 filas de
4 soldados”, “4 gaiolas com 4 passarinhos”. As
crianças entendem logo que devem descobrir o
número oculto naquela mensagem, ou seja, o
número total de coisas, objetos ou seres sugerido pela mensagem, que será o número de casas
que avançará, naquela jogada. Ganha quem primeiro atingir o fim do caminho.
- número de balões para um número
dado de crianças, se cada criança recebe 3 balões (associar a cada criança 3 balões e somar);
25
- número de bolinhas de gude para
um número dado de jogadores, se cada jogador precisa de 3 bolinhas (associar a cada
jogador 3 bolinhas e somar);
Os autores sugerem registrar os resul-
tados em tabelas de vários tipos, envolvendo
desenhos de fácil compreensão pelos alunos.
A questão do zero como fator da
multiplicação
Mesmo antes de introduzir termi-
nologias como multiplicação e fator, consideramos importante criar condições que
impliquem a inclusão do 0 como um dos
termos da multiplicação. O jogo exposto
permite isso, ao introduzirmos mensagens
Jogo do 2:
como “2 gaiolas com 0 passarinhos”. As crianças poderão parar para pensar e perceberão
que não devem andar nenhuma casa. Do
ximadamente 15 caixinhas de 2 ovos), cortadas de 2
mesmo modo, pode aparecer a mensagem
“0 gaiolas com 8 passarinhos”, em que o total de passarinhos é 0, implicando ficar parada naquela jogada. Articulação com a divisão
Em qualquer caso, em meio a várias
perguntas de multiplicação, pode e deve
aparecer uma de divisão (resolvida por
desenho ou mentalmente)
Por exemplo: Se o cozinheiro tiver 8
tomates, quantas panelas dessa sopa
poderá fazer?
Um jogo com registros
Material: caixas plásticas para ovos (apro-
em 2, no centro da mesa; 1 dado.
Modo de jogar: todos os alunos do grupo (4 ou 5)
jogam o dado e guardam mentalmente o resultado
que tiraram; o que tirar o maior resultado nessa
rodada ganha uma caixinha “com dois ovos”. Caso
haja empate numa rodada, todos que tiraram o
maior número ganham uma caixinha. O jogo prossegue até acabarem-se as caixas. Vence quem tiver
ganhado o maior número de caixas.
O importante nesse jogo é o aprovei-
tamento do mesmo. Os alunos gostam de
contar “quantos ovos ganharam”. Há perguntas que levam a uma reflexão sobre a si-
Na apostila Numerização, de Guidi e
tuação, como “quantas vezes você ganhou
Bertoni (1987), produzida no Departamento
(a caixinha com 2 ovos)? Quantos ovos são?
de Matemática da UnB, no âmbito do proje-
Essas perguntas conduzem a registros dos
to Um Novo Currículo de Matemática para o
resultados do grupo, em papéis preparados,
1º grau, o conceito de multiplicação é intro-
contendo 5 vezes a frase:
duzido, de modo amplo, pela contagem de
unidades compostas ou múltiplas: total de
dedos em algumas mãos; total de rodas em
algumas bicicletas etc. Foi criado um jogo
para prosseguir no processo e possibilitar
a introdução de verbalização e símbolos. A
unidade composta 2, associada a um par, é
uma escolha inicial natural.
.............ganhou......vezes a caixa com 2 ovos. Ficou com....ovos.
Cada membro do grupo preenche,
ao término do jogo, uma das frases com seu
nome e seus resultados, passando a folha a
um colega. Após alguns dias, a formulação
da folhinha de resultados será alterada para:
Neste texto, as expressões: fize-
mos, propusemos, os alunos resolveram,
referem-se a experimentos realizados com
alunos nesse Projeto.
............. : ...... vezes 2 ovos = ...... ovos
26
Essa frase, preenchida, resulta em:
Outra vantagem desse trabalho com
as caixas de ovos é que alguns alunos, para
Fábio: 6 vezes 2 ovos = 12 ovos
contar o total de ovos, organizam as caixas
em coluna, cada uma embaixo da anterior,
Finalmente, o professor poderá expli-
obtendo uma disposição retangular, associan-
car que, assim como temos sinais matemáti-
do a soma de parcelas com o total de elemen-
cos para as palavras “mais” e “menos” tere-
tos em uma disposição retangular.
mos um sinal para a palavra “vezes”, que é “x”.
As frases na folha de resultados passam a ser:
Repetir o multiplicador ou repetir
o multiplicando?
................ : ........ x 2 ovos = ........ovos
No jogo do 2, as situações que apa-
Articulação com a divisão
recem são de uma contagem de 2 em 2. No
Associadas à resposta de Fábio, existem
registro, o primeiro número indica o número
duas situações de divisão :
de partidas ganhas, que varia de aluno para
1-Fábio ganhou 2 ovos em cada rodada
aluno; o segundo número é sempre igual a
que venceu e ficou com 12 ovos. Quantas
2. Isso facilita o processo de contagem total
rodadas ele venceu?
dos ovos de cada um como um processo de
Essa é do tipo quotitiva – devem-se
recorrência, que apoia-se, a cada passo, no
separar os 12 ovos em caixas de 2, para
resultado anterior. O aluno acrescenta sem-
saber quantas caixas (e portanto quantas
pre a quantidade 2 em sua contagem. O pro-
rodadas) foram ganhas.
cesso que fica subjacente é “Uma vez 2, duas
2- Fábio ficou com 12 ovos. Ele ganhou 6
vezes 2, 3 vezes 2,...”.
rodadas. Quantos ovos ganhou em cada uma?
Essa seria partitiva, mas não tem interesse
para o aluno, pois ele já sabe que, em cada
rodada, quem ganha recebe 2 ovos.
Bem diferente e mais complicado é
o processo usualmente adotado por livros e
escolas: induz-se o aluno a pensar “2 vezes 1,
2 vezes 2, 2 vezes 3...”. Nesse caso, ele varia a
reforçar o entendimento de como funciona a
multiplicação se o primeiro fator for igual a
zero. De fato, algumas vezes pode ocorrer que
um aluno não ganhe nenhuma rodada, portanto não receba nenhuma caixa. O registro
será 0 x 2 ovos = 0 ovos.
cada passo o tamanho do grupo considerado. Se o primeiro fator é 2, a situação não é
tão difícil, pois pode ser vista como uma duplicação. Já no caso do primeiro fator igual
a 6, por exemplo, teríamos: 6 vezes 1, 6 vezes
2, 6 vezes 3... No primeiro, o aluno imagina 6
grupos de 1 elemento, no segundo 6 grupos
27
de 2 elementos, depois 6 grupos de 3 elemen-
um mesmo número de objetos. Para saber
tos. Como muda a estrutura do processo e
o total, basta somar esse número tantas ve-
a visualização mental do mesmo, a tendên-
zes quantas são as filas. Por exemplo, 8 filas,
cia do aluno será a de não aproveitar a con-
com 5 carteiras em cada uma, dá um total de
tagem anterior e recomeçar sempre uma
5+5+5+5+5+5+5+5 = 40 carteiras.
nova contagem (a não ser que lhe ensinem
a acrescentar 6, e ele faça isso sem entender
por quê). O processo de contagem por unidade composta, que envolve a repetição do
segundo fator, possibilita uma compreensão
da multiplicação, em que fica claro o papel
diferenciado dos dois números envolvidos:
um deles, o segundo, indica o tamanho de
grupos que estão sendo tomados, o primeiro
indica quantos daqueles grupos serão tomados. A explicitação dessa função dos termos
deve ser feita em fases mais adiantadas – nas
iniciais, o importante é fazer o aluno viver
essas situações...
Ampliação das situações abrangidas pela multiplicação
Embora com aparência um pouco
diferente, a organização retangular encaixa-se na essência do processo multiplicativo
e não precisa ser tratada como uma outra
interpretação da multiplicação. Nessas situações, há um total de objetos apresentados
ou pensados em uma organização retangu-
Do mesmo modo, a combinação dos
objetos de uma coleção com os objetos de
outra envolve princípio semelhante ao da
noção inicial de multiplicação. Se queremos combinar 2 shorts e 4 camisetas de todos os modos possíveis, podemos pensar na
quantidade inicial de dois shorts, a cada um
dos quais associamos 4 camisetas, obtendo
assim um total de 4 + 4 trajes possíveis. A
diferença está em que obtemos um total de
trajes (combinações short/camiseta) e não o
total de camisetas. Outro modo de resolver
via tabela de dupla entrada, ressalta a associação com uma organização retangular. Do
mesmo modo, o número total de combinações pode ser visto como um produto (do
número de linhas pelo número de colunas),
que também poderá ser obtido por somas
cujas parcelas são o número de elementos
de uma linha (tomadas tantas vezes quantas
são as colunas), ou vice-versa. Esses tratamentos superam um aspecto estanque dessas várias situações, estabelecendo vínculos
conceituais e procedimentais.
lar, portanto certo número de filas com mes-
mo número de elementos em cada uma. Ou
tuações, eles contam elementos das filas
seja, a correspondência de um para muitos
ou desenham as combinações possíveis e
já está estabelecida: existe uma quantidade
chegam a resultados corretos, desde que a
inicial de filas e, em cada uma, comparece
metodologia cotidiana os estimule a pensar
Se propusermos aos alunos tais si-
28
e lhes conceda tempo. Se a simbologia para
a multiplicação já foi introduzida (por exemplo, no jogo do 2), os alunos podem representar os resultados dessas situações, ainda
que obtidos por somas, usando o símbolo
para a multiplicação: 8 x 5 = 40; 2 x 4 = 8.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (Brasil, 1997) apresentam várias situações de multiplicação e de
divisão correspondentes, das quais retiramos algumas e apresentamos em forma de
tabela, com algumas variações.
Associadas a situações comparativas
Multiplicação:
Situação de divisão correspondente:
Lisa tem 10 reais. Ela tem o dobro da quantia de
Pedro tem 5 reais e Lisa tem o dobro dessa quantia.
Pedro. Quanto tem Pedro?
Quanto tem Lisa?
Na situação anterior, foi necessário dobrar a
Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos quantia de Pedro. Nesta situação, é necessário
separar a quantia de Lisa em duas iguais.
que ela. Quanto selos tem João?
Associadas à comparação entre razões (envolvendo proporcionalidade)
Multiplicação:
Marta vai comprar 3 pacotes de chocolate, cada
um por 8 reais. Qual o preço dos 3 pacotes? Notese a proporcionalidade: 1 – 8 reais; 2 – 16 reais; 3
– 24 reais.
Dois abacaxis custam R$ 2,50. Qual o preço de
4 abacaxis? (Note que se pode obter primeiro o
preço unitário, mas isso não é necessário.)
Situações de divisão correspondente:
Marta pagou 24 reais por 3 latas de biscoito.
Quanto custou cada lata?
Observação: divisão como partilha, isto é, separação
de 24 reais em 3 partes iguais.
Marta gastou 24 reais comprando vários pacotes
de biscoito que custavam 8 reais cada um.
Quantos pacotes ela comprou? Observação:
divisão como formação de grupos ou medida;
procura-se saber quantas vezes o 8 cabe em 24.
Associadas a arranjos retangulares
Situações de divisão correspondentes:
Multiplicação:
Num auditório, as cadeiras estão arrumadas em
7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no
auditório?
As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas
em fileiras e colunas. Se são 7 fileiras, quantas
são as colunas?
(O aluno poderá fazer, por tentativa:
Pondo só 4 cadeiras em cada fileira, seriam 28
cadeiras. Pondo mais duas em cada fileira, já são
42. Pondo mais duas novamente, chegará ao
total 56.)
Associadas à ideia de combinações
Situações de divisão correspondentes:
Multiplicação:
Numa reunião, havia 3 moças e 4 rapazes, e
todas as moças dançaram com todos os rapazes.
Quantos casais diferentes dançaram?
Numa festa, foi possível formar 12 casais
diferentes para dançar. Se havia 3 moças e
todos os presentes dançaram, quantos eram os
rapazes?
(O aluno poderá fazer, por tentativa:
São 3 moças. Se forem 2 moços, serão 6 casais. Se
forem 3 moços, serão 9 casais.
Se forem 4 moços, serão 12 casais.
Eram 4 rapazes.)
29
Situações comparativas, arranjos
retangulares e combinações: veja quantas
situações associadas à multiplicação. Um
quadro como esse ajuda você a planejar
suas aulas, para se lembrar de desenvolver,
em sala de aula, as diversas interpretações
associadas à multiplicação e à divisão.
Tabuadas e algoritmos
As situações expostas até aqui foram pensadas para serem resolvidas sem
o auxílio de tabuadas ou de algoritmos, visando apenas à resolução por contagem ou
com algoritmos da adição. O aluno tem, na
verdade, estratégias para obter o produto
em qualquer multiplicação cuja contagem
esteja ao seu alcance; em particular, pode
calcular o produto de dois números com
um dígito cada, embora não tenha prontidão ou rapidez em todos os casos.
Essa rapidez é usualmente adquirida por meio das tabuadas (quando chegam a ser dominadas). Acreditamos que
isso possa ser conseguido, mas requer
tempo e cuidados especiais. Como os algoritmos também devem ser construídos
gradativamente, ao longo dos anos, optamos por desenvolver – tabuadas e algoritmos - simultânea e gradativamente.
Adquirindo prontidão no resultado das multiplicações – um processo demorado
Uma primeira memorização fácil de
ser conseguida é a da tabuada do 2, pois o
“jogo do 2” propicia a memorização de muitos desses resultados. Com o tempo e a repetição de partidas, os alunos começam a
dizer: “ganhei 4 vezes, fiquei com 8 ovos” e
é aconselhável que o professor confirme o
fato em uma frase mais completa: “é isso,
4 vezes 2 ovos dão 8 ovos”. Uma atividade
adequada a ser proposta nesse momento é:
Pense no jogo dos ovos e coloque os resultados:
0x2 =
1x2 = 2x2 =
3x2 =
4x2 =
5x2 =
6x2 =
7x2 =
8x2 =
9x2 =
10x2 =
30
Alguns alunos incluirão mais resultados:
11x2 =___ ; 12x2 =­___.
Articulação com a divisão
Propor uma linha final do tipo abaixo.
Pedir que ponham o número que falta:
___ x 2 = 16
A ordem de introdução das tabuadas - menos linear e mais cognitiva
O processo acima garante, pratica-
Na fase em que os alunos devem
mente, que todas as crianças aprendam os
adquirir habilidades multiplicativas, será
resultados da multiplicação por 2, já ao fim
dada ênfase, a cada vez, a certa classe de
do 2º ano. Como proceder em relação à mul-
multiplicações, sempre apoiadas em situa-
tiplicação por 3, 4, 5 etc? É só repetir o mesmo
ções significativas.
processo, fazendo-se as adaptações necessárias? Sim e não. Novamente, nos reportamos
às experiências e observações realizadas com
desenho de 3 grupos de 4 objetos. No jogo
crianças, de 85 a 89. Embora tenhamos pros-
da memória, as cartas com os fatos multi-
seguido o processo dando o “Jogo do 3”, com
plicativos devem ter um padrão (no verso),
caixas de ovos cortadas de 3 em 3, percebe-
distinto das cartas que têm respostas. Para
mos que a contagem pela unidade compos-
o dominó, sugerimos que as multiplicações
ta 3 tem pouca articulação com a contagem
propostas fiquem na parte direita da peça e
pela unidade composta 2. Isto nos levou a
os resultados (de outras multiplicações) à es-
tentar outro caminho. Com outros grupos de
querda. Assim uma peça colocada deixa em
crianças, iniciamos, logo após o jogo do 2, o
aberto um fato multiplicativo. O aluno que
“Jogo do 4”, com caixas de ovos de 4 em 4.
tiver o resultado, na sua vez, justapõe sua
peça à anterior. No Bingo, sugerimos que os
Logo de início, notamos que a conta-
resultados estejam nas cartelas, o professor
gem dos grupos de 4 apoiava-se na contagem
deve cantar fatos como 3x4, 5x4, 1x4, 7x4 etc.
anterior, dos grupos de 2. As crianças conta-
O aluno pensa no resultado e o marca em sua
vam 1,2 ; 3,4; 5,6 ; 7,8 etc. Contar de 4 em 4
cartela, caso o tenha.
era como contar de 2 em 2, agrupando cada
duas contagens. As coisas realmente correram mais fáceis para as crianças e a aquisição
Planejando o trabalho com as
tabuadas ao longo do tempo
de habilidades foi mais exitosa. Nesse ponto,
nos indagamos qual contagem por unidade
O trabalho das multiplicações por 2,
composta seria mais fácil para as crianças ex-
4, 5 e 10 foi intercalado com outros conteú-
plorarem, na próxima fase. Por observação do
dos matemáticos e com problemas envolven-
cotidiano, fomos para a multiplicação por 5 e
do proporcionalidade, arranjos retangulares
depois por 10. Nisso gastamos quase 6 meses,
e combinações. Quando já ia completar-se
com as crianças já na 2ª série (3º ano atual).
um ano, contado a partir do início do pro-
Demos um tempo, trabalhando às vezes com
cesso, começamos a trabalhar a multiplica-
os mesmos jogos, algumas vezes inventando
ção por 3, sem pressa. Isso significa que o
outros, e principalmente misturando os fatos
jogo do 3 (com caixas de ovos cortadas de 3
da multiplicação por 2, 4, 5 e 10 - no Bingo, no
em 3) era dado uma ou duas vezes por sema-
Jogo da Memória e no Dominó.
na, durante cerca de 2 meses, intercalando
com outras atividades. Passamos do jogo do
Inicialmente, esses jogos devem as-
3 ao dominó, bingo e memória com fatos da
sociar operações numéricas a representações
multiplicação por 3 (3 como segundo fator),
pictóricas, só depois associando resultados
finalmente a jogos que misturavam multi-
numéricos. Assim, 3x4 será associado a um
plicações por 2 e por 3. Os resultados foram
31
satisfatórios e iniciamos o processo da aqui-
sição de habilidades na multiplicação por 6
ge o uso de quaisquer fatores, desde o 2º ano
(apoiado na multiplicação por 3).
– deve-se apenas dar o tempo aos alunos para
Deve-se lembrar que isso não restrin-
que usem suas estratégias, pois não adquiri
O conjunto dos estudos, experiên-
ram ainda habilidade nas tabuadas.
cias e observações realizados nos levam a
trazer alguns pontos para consideração,
e uma proposta, que pode parecer radical,
ses anos, estariam sendo trabalhados pro-
para atacar o problema das tabuadas, que
blemas envolvendo interpretações variadas
consiste em:
da multiplicação e situações que levassem à
Concomitantemente, ao longo des-
construção gradativa dos algoritmos.
1. Começar por desenvolver o con-
ceito de multiplicação sem limitações. As-
sim, podemos propor, desde o 2º ano, situ-
rem evitados são:
Do nosso ponto de vista, erros a se-
ações que levem o aluno a calcular quantas
laranjas há em 6 cestas com 7 laranjas em
- Dar todas as tabuadas, até o 3º ano, na or-
cada, ou mesmo em 4 caixas com 12 ovos.
dem dos multiplicadores crescentes.
32
Apenas teremos que lhes dar tempo para fazer a contagem nas unidades compostas 7
- Escrever as tabuadas com o primeiro fator
ou 12, por estratégias próprias.
fixo, o que corresponde a duplicar, triplicar,
etc quantidades de 1 a 10.
2. Desenvolver habilidades multipli-
cativas usando os jogos, conforme narrado
- Ênfase opressiva ao estudo das tabuadas e
(sem exigência de memorização), do 2º ao
ambiente punitivo aos que falham.
5º ano, assim distribuídas:
2º ano: Habilidades na Multiplicação por 2.
3º ano: Habilidades na Multiplicação por 2, 4, 5, e 10.
Construção de processos mais ágeis
para cálculo das somas associadas
à multiplicação – os algoritmos
4º ano: Habilidades na Multiplicação por 3 e 6.
5º ano: Habilidades na Multiplicação por 8, 9 e 7.
Ao invés de anunciar a aprendizagem
do algoritmo da multiplicação, é mais adequa
Para chegar no 8, recordam-se al-
do que se fale em dicas ou jeitos de obter mais
guns jogos da multiplicação por 4; para
rapidamente o resultado de somas de parcelas
chegar no 9, passa-se por jogos da multipli-
repetidas, pois isso dará ao aluno uma com-
cação por 3 e por 6.
preensão clara do que será trabalhado. Ao final, pode-se chamar o processo de algoritmo
da multiplicação, e o aluno já terá percebido o
que pode obter com esse procedimento. Além
troduzidas, não no sentido de aprender certo
disso, as dicas servirão para explicitar, em boa
procedimento, mas resumindo o que foi feito:
medida, o raciocínio matemático embutido
6 x 12 = 72
no algoritmo.
Por exemplo, no 3º ano, uma passa-
gem de estratégias iniciais para a construção do algoritmo pode ser feita propondo-se a situação: em 6 caixas de ovos, com 12
ovos em cada, quantos ovos há ao todo?
Deixando-os livres para resolver as estratégias mais comuns utilizadas envolvem
desenhos ou somas. Abaixo, esquematizamos o desenho de 6 dúzias e apresentamos
Outras representações podem ser in-
12
6x
72
Observação: A representação verti-
cal deve ser lida de baixo para cima, correspondendo ao que será calculado: 6 vezes a quantidade 12. A leitura de cima para
baixo – 12 vezes 6 – sugere contar 12 vezes
o número 6, que não é a situação proposta. Colocamos o sinal à direita do multiplicador. Para ficar no sentido da leitura, 6x
será lido como seis vezes.
uma das formas possíveis de cálculo do total, apresentada pelos alunos:
Um material que favorece essa sepa-
ração dos dez pode ser obtido pelo corte da
parte de 10 ovos nas caixas:
12 + 12 + 12 + 24 + 24
12
24
12
24
12
24
24
72
Há todo um caminho a ser percor-
rido, partindo-se dessas estratégias iniciais,
em direção ao algoritmo usual. Um exemplo
é: separando-se os 2 ovos finais de cada dúzia,
obtendo, em cada caixa, 10 + 2 ovos. A con-
Ou pode ser usado, de maneira bem
explicada, o material dourado representando os 12 ovos (como se fosse uma caixa comprida com os 12 ovos):
tagem total pode ser feita contando-se primeiro os 10, depois os 2. Registros possíveis:
1 barra de 10 e 2 avulsos
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 ou 6 x 10 = 60
+2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12
ou 6 x 2 = 12
60
12
72
33
Representando 6 materiais como es-
verbalizar as equivalências sublinhadas).
ses e agrupando os 2 ovos temos:
Outras formas de calcular o total de-
vem continuar a ser aceitas, pois traduzem
compreensão do processo e serão úteis em
cálculos mentais.
No concreto, dez cubinhos representando
Multiplicador com 2 dígitos
ovos serão trocados por uma barra com 10
(enchem uma caixa de 10), obtendo 7 barras
Uma situação-problema pode ser
de 10 e 2 avulsos.
proposta sem qualquer ensino preliminar:
O feirante vendeu 15 dúzias de ovos. Quantos
Olhando o material, uma verbaliza-
ovos ele vendeu? Podem surgir desenhos de
ção adequada do professor seria (começan-
15 dúzias (e não de 12 conjuntos de 15 cada
do da direita):
um), com separação ou não da dúzia em 10 +
2 e registros variados de contagens parciais,
- 6 vezes 2 ovos dão 12 ovos, dá para
obtendo o resultado 180.
34
formar uma caixa com 10 e sobram 2;
- 6 vezes uma caixa são 6 caixas, mais
uma que formou são 7.
Alguns alunos deverão transpor para
o quadro de giz o que fizeram. Nesses desenhos, o professor deve salientar a parte correspondente a 10 dúzias e outra, correspon-
- 7 caixas com 10 e 2 ovos = 72
dente a 5 dúzias. Após isso, poderá trabalhar
no sentido de encaminhar para o algoritmo,
Essa decomposição concreta passa a
verbalizando, por exemplo:
ser registrada numericamente:
12
6x
1
->
10
+ 2
6x
60 + 12 72
->
12
6x
Verbalização final: 6 vezes 2, 12; for-
ma 10 ou uma dezena que eu reservo, marco
Para contar 15 dúzias, Também posso separar
posso contar 10 dúzias e a dúzia:
mais 5 dúzias:
12
10x
120
12
5x
60
10 + 2
120
10x
+ 60
180 100 + 20
120
10 + 2
5x
50 + 10
60
120
+60
180
(resultados já obtidos na
contagem dos alunos)
só o 2. 6 vezes 10 são 60 ou 6 dezenas, mais
uma reservada são 7. O dígito 7 nessa posição
O professor pode dizer que, quem
quer dizer 7 dezenas ou 70 (recomendamos
quiser, pode fazer tudo junto. Deve es-
crever a conta e dizer que vai calcular 5
No último caso, ao fazer a multipli-
vezes uma dúzia e depois 10 vezes a dú-
cação entre os dígitos 6 e 3, não falar 6x3,
zia (isso dá sentido ao procedimento):
mas lembrar que o 3 nessa posição vale 30
12
15x
60
ou 3 dezenas, 6 vezes 3 dezenas são 18 dezenas, mais uma na reserva, são 19 .
5x2,10... Marco 0 e reservo 1 dezena. 5x1
dezena = 5 dezenas, mais uma são 6.
Situação-problema 2:
120
180
(Lembrando que o 1 do 15 significa 10): 10
abriu 24 pacotes de biscoito, com 32 biscoitos
vezes o 12 são 120).
em cada um. Quantos biscoitos ela obteve?
É importante, para a compreensão, o
Para a festa da escola, a merendeira
Novamente, chamar a atenção para
registro do 0 na segunda parcela, ao invés do
o fato de que temos 24 pacotes, e para cada
mero recuo de uma casa. Além disso, alguns
um serão contados 32 biscoitos, ou seja, va-
alunos estranham que se possa fazer uma
mos ter 24 vezes 32 biscoitos, e que há mui-
adição sem alinhar os dígitos finais.
tos modos de contar o total, por exemplo: 20
vezes 32 biscoitos mais 4 vezes 32 biscoitos.
Fatores envolvendo mais do que
uma dezena
Cuidado ao calcular 20 vezes 32. Na verdade, a opção de falar em 2 dezenas vezes 32
é uma expressão que não faz sentido ao alu-
Até agora, só trabalhamos com fato-
no, sugerimos desmembrar inicialmente em
res que não atingiam 2 dezenas.
10x32 + 10x32:
Situação-problema 1
32
24x
128 (proceder da forma anterior para calcular 4x32)
320 (10 vezes 32)
320 (10 vezes 32)
768
(número maior
que 30 no multiplicando)
Dona Marli vai comprar 6 pacotes de
biscoito, cada um com 32 biscoitos. Quantos
biscoitos ela terá?
Pode-se dizer que, para contar 20 ve-
zes 32, o que fizemos foi multiplicar 32 por
Após o acatamento de soluções dos
10 (obtendo 320), e depois por 2 (escrevemos
alunos, apresentação de várias alternativas:
duas vezes o resultado). Mas também pode-
mos multiplicar primeiro 32 por 2, e depois
32
30 + 2
6x
6x
180 + 12
180 ou diretamente
12
192
32
6x
192
por 10. O aluno começa colocando o 0 da segunda parcela (lembrando que terá que multi-
35
plicar por 10), depois faz a multiplicação 2x32).
32
24x
128 (proceder da forma anterior para calcular 4x32)
propostas antes de qualquer introdução
640 (20 vezes 32 – lembrar que vamos multiplicar por 2 e depois por 10 – por o 0 778
logo no começo, ou reservar um lugar para
ele, colocando-o depois)
A percepção correta de quantas
vezes será contado o quê, bem como essa
contagem de diferentes formas, obtendo
o mesmo resultado, torna a matemática
menos traumática, mais compreensiva e
lógica para o aluno.
formal da divisão e que contribuirão para
consolidar a formação inicial do conceito de
divisão. Para a colocação de resultados, os
alunos podem recorrer a desenhos ou materiais concretos. Por exemplo:
1) 11 velas divididas para 2 bolos. Dão __ velas em cada bolo. Sobra __ vela. 2) O professor deverá explicar que devem pôr
a maior quantidade possível de velas nos bolos, igual nos dois, e que talvez sobrem velas.
Divisão
Articulação com a multiplicação
Após a solução das crianças, destacar que
apareceram 5 velas em um bolo e 5 no
outro, então são duas vezes as 5 velas, que
são 10; mais uma que sobrou, dão as 11 velas
que eles tinham para dividir. É importante
ao professor observar que a descrição
significativa da situação é dada por divisor
x quociente + resto = dividendo. Isto é, o
divisor aparece como primeiro fator. Isso
ocorre em todas as divisões partitivas.
O conceito de divisão, tanto na inter-
pretação partitiva quanto quotitiva (ou de
medida), já deve ter sido formado, ao longo do desenvolvimento da multiplicação. Os
alunos também já devem ter alguma ideia de
que multiplicação e divisão (em qualquer de
seus aspectos), envolvem reversibilidade. Ao
trabalhar com a divisão, realçaremos essa
noção. Uma questão que a aprendizagem da
multiplicação não propicia é a do resto, que
não aparecem nas divisões associadas a uma
multiplicação, mas consideraremos agora
situações em que ele aparece. Por meio de
situações-problema, vamos explorar ideias e
registros possíveis e chegar aos algoritmos.
Situações verbalizadas ou escritas
iniciais
Existem situações que devem ser
Observar que deve ser a maior quan-
tidade possível de bolinhas para cada aluno,
igual para todos, e que talvez sobrem bolinhas. Após a solução, fazer a articulação
com a multiplicação: Foram 4 bolinhas para
cada um dos três alunos, então apareceram
3 vezes as 4 bolinhas, que são 12; mais duas
que sobraram dão as 14 iniciais (divisor x
quociente + resto = dividendo).
Expostos a situações como essas, os
36
alunos percebem o significado e a maioria
240 balas
J J J J
chega a resultados corretos. Após fazerem
J
algumas situações, o professor pode apre-
10 10
10 10
10 10
10 10
10 10
30 30
10 10 10 10
30 30 30 30
sentar a representação das mesmas no esquema usado para a divisão, sem ensinar
qualquer cálculo:
11 velas
Sobra __ vela
2 bolos
Dão __ velas em cada bolo
14 bolinhas
3 alunos
Sobram
__ para cada um
J
10 10
10 10
8 crianças
J J
10
10
10
10
80
80
160
10 10
30 30
80
240
Os alunos desse grupo deram inicialmente
10 balas e depois mais 10 para cada criança;
viram que haviam gasto 160; deram mais 10
para cada uma e viram que gastaram todas
(240). Somaram os 10 e viram que deu 30 para
cada aluno. Podem efetuar 8x30 e ver que o
resultado é 240.
120 balas
Para formar
surgimento de desenhos de 14 bolinhas,
pacotes de 4 balas
10 pacotes = 40 balas
bem como dos alunos que deveriam recebê-
10 pacotes = 40 balas
-las (após o que era feita a distribuição e
10 pacotes = 40 balas
Observamos experimentalmente o
marcados os resultados) :
14 | | | | | | | | | | | | | |
Sobram
30 pacotes = 120 balas
3
KKK
__ para cada um
Os alunos de um grupo formaram inicialmente
10 pacotes, gastando 40 balas; formaram mais
10 e mais 10, e somaram tudo, dando as 120
balas. Viram que deu para formar 30 pacotes.
30 pacotes, com 4 balas em cada, são 30x4 = 120.
Uma próxima etapa será a supressão
de algumas palavras, dizendo que podem imaginar 11 objetos quaisquer, divididos igualmente
Desenhando todos os participantes em uma divisão
para 2 alunos (ou 14 objetos, divididos para 3).
Algoritmos iniciais (livres) para as
situações de partilha e de medida
ou quotas
Você percebeu, no registro, o dese-
nho das 8 crianças que vão ganhar balas?
Foi uma estratégia inventada por crianças, e
logo aceita pelas outras. Ao fazer partilhas,
as crianças gostam de representar todas as
Foram dadas as situações: “Dividir
pessoas ou partes envolvidas. Isso lhes dá
240 balas para 8 crianças” e “Com 120 ba-
um controle da situação - visualizam todos
las, forme pacotes de 4 balas”. Veja alguns
os que vão receber, o que cada um está rece-
registros iniciais:
bendo, quanto do todo já foi gasto e quanto
37
resta. Só mais tarde concordam em mar-
eles. Tornam-se responsáveis por boa par-
car apenas uma delas. Do mesmo modo
te das dificuldades sentidas pelas crianças
que, em outras operações já exploradas,
no processo de divisão usual da escola.
esses processos não são ensinados a prio-
Ao contrário, quando as crianças tomam
ri, mas são organizados depois dos regis-
parte na construção, raciocinando direta-
tros livres dos alunos. Eles contribuem
mente sobre a realidade ou fazendo uso
realmente para o desenvolvimento do ra-
adequado de material manipulável, suas
ciocínio, pelo uso da tentativa e de uma
dificuldades diminuem.
compreensão clara da situação.
Divisões com dinheiro
O uso de material concreto
simbólico
Essas divisões levam a vários cálculos
mentais e representações alternativas. Devem
As duas situações de divisão apre-
ser feitas inicialmente com dinheiro de menti-
sentadas pertencem ao contexto cotidiano
ra (notas e moedas). Possibilitam a represen-
e, para resolvê-las, os alunos fizeram uso
tação do raciocínio do aluno, de maneira livre.
apenas da reflexão sobre a realidade. Não
24 reais
Sobram
foi utilizado material concreto. Será que
o uso de material concreto ajuda sempre?
2 crianças
__ para cada um
Claro que pegar 12 palitos e dividi-los por 4
crianças é uma ação bem clara. Para núme-
ais e 4 moedas de 1 real. Percebem logo que
ros maiores, como no caso de 240 balas para
cada uma vai receber 1 nota de 10 reais e 2
8 crianças, pode ficar complicado pegar 240
moedas de 1 real e colocam 12 (para cada
palitos. Pegar um material representacional,
um ) e 0 (após Sobram).
como material dourado, pode ser um facilitador aparente, mas também um afastamento da realidade - como ver balas nas
placas ou barrinhas? Pensar diretamente em
distribuir as balas, controlando a distribuição, é mais real. Ou usar o dinheiro de men-
Os alunos pegam 2 notas de 10 re-
O dinheiro permite que soluções se-
jam encontradas para situações com aparente dificuldade:
32 reais
Sobram
2 crianças
__ para cada um
tira, quando a situação envolver quantias.
Uma solução encontrada foi:
Devemos refletir sobre o que ocor-
re com os algoritmos formais, que são impostos aos alunos, sem fazer sentido para
32 reais
Sobram 0
2 crianças
1 de 10, 1 de 5, 1 de 1 = 16 reais
16 para cada um
38
A explicação foi: 3 notas de 10, dá
1. Mas, (segundo o aluno) tem que dividir as
uma para cada um e sobra uma; divide essa
sobras. 1000 tem que trocar tudo em 100, dá...
nota pra dois e dá 5 pra cada um; divide os
(um pouco de demora pra pensar) 3 de 100 pra
dois reais e dá 1 pra cada um . Cada um re-
cada um, sobra 100; (nessa altura ele riscou
cebe 10 + 5 + 1 = 16 reais.
o 1000 e escreveu 100). Tem 100 e tem mais
50 (alegrou-se), dá 50 pra cada um; (riscou a
Essa etapa de propostas de situações e
soluções livres pelas crianças pode se prolon-
sobra de 100 e a de 50). Esse 1 se quiser dá moedinha pra cada um.
gar por um ou dois bimestres, trazendo muito raciocínio, bem como confiança e prazer.
Tem a vantagem do 0 intercalado não repre-
tais, essas estratégias permitem ao aluno
sentar um problema – o aluno divide o que
compreender o que ele busca no processo
tem, em qualquer ordem, e no fim, soma.
de divisão. Como pode haver alguns resul-
Além de desenvolver cálculos men-
tados distintos, os alunos querem saber se
8205
Sobram
4
2 de mil, 1 de 50, 1 de 1
___ para cada um
Para explicar, os alunos imagina-
vam a existência de notas de 1000 e diziam:
8 de mil, dá 2 para cada um; 2 de 100... dá 50
para cada um; 5 de 1 real, dá 1 real para cada
um e sobra 1 real.
zer: “Você mesmo pode ver se acertou: soma
o dinheiro que cada um ganhou mais o que
sobrou e vê se dá o que tinha para dividir.”
A validação pela estimativa é im-
portante: o professor pode questionar, por
exemplo, se não poderia ter dado 3.000
para cada um (não, porque só aí teria gas-
Podiam ocorrer casos mais difíceis:
7204 reais
Sobra 1000
Sobra 50
Sobra 1
acertaram. Uma saída para o professor é di-
to 9000); ou por que não chegou a 2500
para cada um (3x2000=6000, 3x500 = 1500.
3 crianças
2 de mil, 1 de 50, 1 de 1
3 de 100, 1 de 50
2 mil, 300, não, 400 e 1.
Somando, daria 7500, mas não tinha essa
Deu 2401 pra cada um
A construção do algoritmo da
divisão
A explicação foi: 7 de mil, dá 2 de mil
quantia) levando a uma melhoria do cálculo mental e estimativas.
pra cada um (escreve 2 de mil), sobra mil (es-
Como no caso da multiplicação, os
creve); 2 de 100, (pensou um pouco) dá 50 pra
algoritmos serão anunciados como dicas
cada um (escreve 1 de 50), sobra 50 (escreve); 4
ou jeitos seguros de fazer a divisão, e que
reais, dá 1 pra cada um (escreve 1 de 1), sobra
podem facilitar os cálculos. São dois algo-
39
ritmos mais usuais da divisão – um que faz
E 12, dividido igualmente para 2, dá 6 moe-
apenas trocas no sistema decimal, outro
das de 1 para cada um. Marca 6 e embaixo,
por subtrações sucessivas.
pequeno, escreve de um. Registra os 12 já
Algoritmo das trocas decimais
Esse algoritmo faz mais sentido em
situações de partilha. Embora possa ser
usado em situações quotitivas, a associação dos procedimentos adotados com o
objetivo de formar quotas fica mais obscura. Pensando em 112, dividido para duas
crianças (partilha):
distribuídos e faz a subtração para indicar
quantas moedas de 1 sobraram.
112
-10
12
-12
0
2
10
1
5
De
dez
6
de
um
Algoritmo das subtrações sucessivas
112
2
5
de
dez
Esse algoritmo é bem apropria-
do para as situações quotitivas ou de
medida – ou seja, formar partes de tamanho pré-determinado e contar quantas foram formadas. Entretanto, com
uma verbalização adaptada, ele pode ser
Novamente, optamos por tomar re-
entendido para a situação de partilha.
presentação do dinheiro, em vez de falar em
Com 112 chicletes, preencher caixinhas com
centenas, dezenas e unidades, que é mais
2 chicletes. Quantas caixinhas serão cheias? abstrato para a criança.
Tem-se (ou ela pode pensar em): 1
nota de 100, 1 de 10, 2 moedas de 1.
112 CHICLETES
20 chicletes <- 10 (dá 10 chicletes para cada
uma, gasta 20 chicletes)
20 chicletes <- 10 (dá mais 10 para cada uma,
40
gasta 20 chicletes)
Lembrar que podem trocar a nota
de 100 por 10 notas de 10. Ficam 11 de 10 e
duas de 1. Lembrar que 11 não dá para dividir
igualmente para 2, mas 10 dá - são 5 de 10
para cada um e ainda sobra uma. Marca 5
Já gastou 40 chicletes
20 chicletes <- 10 (dá mais 10 para cada uma,
60
20 chicletes <80
e embaixo, pequeno, escreve de dez. No início, é adequado o registro das dez notas (de
10) já distribuídas e a subtração para indicar
a sobra de uma nota de dez.
20 chicletes <100
10 chicletes <110
Lembrar que podem trocar a nota
de 10 por 10 moedas de 1 e que ficam com
12 moedas de 1 (evitar a expressão abaixa o
2, que não tem significado para a criança).
Para 2 crianças
2 chicletes <112
gasta 20 chicletes)
Já gastou 60 chicletes
10 (dá mais 10 para cada uma,
gasta 20 chicletes)
Já gastou 80 chicletes
10 (dá mais 10 para cada uma,
gasta 20 chicletes)
Já gastou 100 chicletes
5 (dá mais 5 para cada uma,
gasta 10 chicletes)
Já gastou 110 chicletes
1 (dá mais 1 para cada uma,
gasta 2 chicletes)
Deu 56 chicletes para cada uma.
40
A sequência de quanto vão dando a
cada criança pode variar, não havendo uma
ordem fixa. No final, ao verem que não podem mais dar 10, a opção pode ser dar 2, 2 e
2, ou 1, 2, 1, 2.
Uma metodologia adequada é traba-
lhar ambos os algoritmos, sem exigir o domínio dos dois. As crianças percebem que
ambos conduzem ao mesmo número (com
interpretações diferentes nas respostas), e
que, portanto, podem recorrer a qualquer
um deles. Algumas preferem o primeiro;
outras, o segundo. Com o tempo, mesmo
o segundo, que parece longo, vai sendo otimizado, evoluindo para o algoritmo usual,
quando o aluno percebe que pode dar logo
50 e depois mais 6 a cada criança, e registra
no quociente: 5 (de 10) e 6.
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REFERÊNCIAS
BEHR et allii. Units of Quantity: A Conceptual Basis Common to Additive and Multiplicative
Structures. In: Harel, G. e CONFREY, J.(editores). The Development of Multiplicative Reasoning.
Albany: State University of New York Press, 1994.
BERTONI, N.E. E GUIDI, R. Numerização. Apostila mimeografada. Projeto “Um Novo Currículo
de Matemática da 1ª à 8ª Séries”. UnB, Dep.Matemática. PADCT/SPEC. Brasília: 1987.
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: 1997.
NUNES, T; CAMPOS, T.M.M.; MAGINA, S. e BRYANT, P. Introdução à Educação Matemática. São
Paulo: PROEM Editora Ltda, 2001.
VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques.
Paris: 1991.
______. Multiplicative conceptual field: what and why? In: HAREL, G. e CONFREY, J. (Orgs.). The
Development of Multiplicative Reasoning. Albany: State University of New York Press, 1994.
42
Presidência da República
Ministério da Educação
Secretaria de Educação Básica
TV ESCOLA/ SALTO PARA O FUTURO
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Setembro 2014
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