Introdução à Trigonometria
Circunferência e Relações
Trigonométricas
CICLO ou CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
-
B’
• Sistema de coordenas ortogonais;
• Circunferência de centro na origem do sistema, de raio
unitário r = 1;
• Arcos de origem ponto A (1,0);
• Medidas algébricas positivas no sentido anti-horário,
negativas sentido horário;
• Divisão dos quatros quadrantes sentido anti-horário
SENO
SENO
• marcado no eixo Y
• varia de –1 até 1  -1  sen  1
y
• sinal do seno:
1 B
A’
A
O
-1 B’
x
COSSENO
COSSENO
• marcado no eixo X
• varia de –1 até 1  -1  cos  1
y
• sinal do cosseno:
B
A’
-1
A
1 x
O
B’
SENO E COSSENO
y
B
sen 
P
N

A’
O
A
M
x
cos 
B’
Fatec- Se x é um arco do 3º
quadrante e cos x = -4/5, então sen x
é igual a:
a)
b)
c)
d)
3/5
-3/5
-9/25
-16/9
TANGENTE
y
t
B
P
t // y
M
tg 

A’
O
A
x
B’
TANGENTE
• marcada numa reta paralela ao
eixo y
• varia de –  até   -   tg  
y
• sinal da tangente:
B
A’
A
O
x
B’
SENO, COSSENO E TANGENTE
t
y
sen 
tg 

cos 
A
x
ARCOS NOTÁVEIS
sen
120°
90°
tg
60°
135°
45°
30°
150°
0°/360°
180°
0
cos
210°
225°
330°
315°
240°
300°
270°
SENO, COSSENO E TANGENTE DE ARCOS NOTÁVEIS DO 1º.
QUADRANTE
Ângulos complementares sen x= cos(90-x)
UFJF- O valor de sen² 10 +
sen²20+...+sen²70+sen²80+ sen² 90 é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
SIMETRIA DE ARCOS
150o
30o
1/2
3
2
210o
330o
SIMETRIA DE ARCOS
45o
135o
2
2
2
2
225o
315o
SIMETRIA DE ARCOS
60o
120o
3
2
1/2
240o
300o
GENERALIZANDO:
De um modo geral:
180o - 

A
180o + 
360o - 
UFJF- Dois ângulos distintos, menores que
360°, têm, para seno, o mesmo valor
positivo. A soma desses ângulos é igual a:
a) 45°
b) 90°
c) 180°
d) 270°
e) 360°
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
1º. Caso: ângulo do 2º. quadrante
y
/2
a = ( - x)
a

• sen ( - x) = sen x
x
O
• cos ( - x) = - cos x
• tg ( - x) = - tg x
3/2
0
2 x
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
2º. Caso: ângulo do 3º. quadrante
y
/2
a = ( + x)
• sen ( + x) = - sen x

a
x
O
• cos ( + x) = - cos x
• tg ( + x) = tg x
3/2
0
2 x
REDUÇÃO AO 1º. QUADRANTE
3º. Caso: ângulo do 4º. quadrante
y
/2
a = (2 - x)
• sen (2 - x) = - sen x

x
a
O
• cos (2 - x) = cos x
• tg (2 - x) = - tg x
3/2
0
2 x
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
I. sen2 x + cos2x = 1
sen x
II. tg x =
cos x
1
III. cotg x =
tg x
1
IV. sec x =
IV. sec x =
cos x
1
cos x
=
cos x
sen x
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
e) tg(a + b) =
tg a + tg b
1 - tg a.tg b
f)
tg(a - b) =
tg a - tg b
1 + tg a.tg b
ARCOS DUPLOS
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) =
2.tg x
1 - tg2 x
2
1-) FUVEST- Calcule o valor de
(tg10° + cotg10°)sen20°
a) 1
b)2
c) 3
d)4
UFJF- Sendo x+y=60º, o valor de
(cosx+ cosy)² + (senx + seny)²-2 é:
a) -2
b) -1/2
c) 0
d) 1
e) 2
CESGRANRIO- Se senx – cosx = ½ o valor
de senx cosx é igual a:
a) -3/16
b) -3/8
c) 3/8
d) ¾
e) 3/2
ARCOS METADE
a) cos
b) sen
c) tg
x
2
x
=±
2
x
1 + cosx
2
=±
2
=±
1 - cosx
2
1 - cosx
1 + cosx
TRANSFORMAÇÃO DE SOMA EM PRODUTO
p +q
p- q
a) senp + senq = 2sen
.cos
2
2
p-q
p +q
b) senp - senq = 2sen
.cos
2
2
p +q
p- q
c) cosp + cosq = 2cos
.cos
2
2
p +q
p- q
d) cosp - cosq = - 2sen
.sen
2
2
Estudo da função seno
x
sen x
0
0
/6
1/ 2
/4
/3
f(x) = sen x
/2
2/3
3/4
5/6

7/6
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
11/6
2
2/2
3/2
1
3/2
2/2
1/ 2
0
1 / 2
 2/2
 3/2
1
 3/2
 2/2
1 / 2
0
36
Estudo da função seno
Observações:
1ª) O domínio de f(x) = sen x é , pois para qualquer valor real de x
existe um e apenas um valor para sen x.
2ª) O conjunto imagem de f(x) = sen x é o intervalo [1,1].
3ª) A função seno não é sobrejetora, pois [1,1] 
imagem não é igual ao contradomínio.
, isto é, sua
4ª) A função seno não é injetiva, pois para valores diferentes de x
temos o mesmo f(x). Por exemplo,

5
 3 
sen = sen = sen    = ... = 1.
2
2
 2
5ª) A função seno é função ímpar, isto é, qualquer que seja xD(f) =
temos sen x = sen (x). Por exemplo,
 1
1
 
sen = sen    =  .
6 2
2
 6
37
Estudo da função seno
Periodicidade:
O período da função seno é de 2
e indicamos assim: p = 2
38
Estudo da função seno
Sinal:
A função é positiva para
valores do 1º e 2º quadrantes
e negativa para valores do 3º
e 4º quadrantes.
39
Estudo da função cosseno
f(x) = cos x
x
cos x
0
1
/6
3/2
2/2
1/ 2
0
1 / 2
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6

 2/2
 3/2
1
3/2
 3/2
 2/2
1 / 2
0
5/3
1/ 2
7/4
2/2
3/2
0
7/6
5/4
4/3
11/6
2
40
Estudo da função cosseno
Observações:
1ª) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide
transladada /2 unidades para a direita. A maioria dos aspectos
relevantes da função cosseno são os mesmos da função seno.
2ª) O domínio é o mesmo: D =
3ª) A imagem é a mesma: Im = [1,1].
4ª) O período é o mesmo: p = 2.
5ª) A função cosseno não é nem injetiva.
6ª) A função cosseno é par, pois temos cos x = cos (x).
41
Estudo da função cosseno
Sinal:
A função é positiva para
valores do 1º e 4º quadrantes
e negativa para valores do 2º
e 3º quadrantes.
42
Estudo da função tangente
x
cos x
0
0
/6
/4
f(x) = tg x
/3
3/3
1
2/3
3

 3
3/4
1
5/6
 3/3
0
/2

7/6
5/4
4/3
3/2
3/3
1
3

5/3
 3
7/4
1
11/6
 3/3
0
2
43
Estudo da função tangente
Observações:
1ª) Domínio: D =
2ª) Imagem: Im =



  x  | x =  k, k   .
2


.
3ª) A função tangente não é injetiva, mas é sobrejetiva.
4ª) A função tangente é função ímpar, isto é, tg x =  tg (x).
5ª) Período: p = .
44
Estudo da função tangente
Sinal:
A função é positiva para
valores do 1º e 3º quadrantes
e negativa para valores do 2º
e 4º quadrantes.
45
Funções trigonométricas
x
sen x
y = 2 + sen x
0
0
20 = 2

2

1
2 1 = 3
0
20 = 2
3
2
2
f (x) = 2  sen x, com x  .
1 2   1 = 1
0
20 = 2
46
Funções trigonométricas
f (x) = cos 2x, com x  .
x
2x
0
0
1

4

2
3
4


2

0
3
2
2
y = cos 2x
1
0
1
47
FUVEST- A figura a seguir mostra parte do
gráfico da função:
a) Senx
b) 2senx/2
c) 2senx
d) 2sen2x
e) sen2x
Lei dos senos
C
a
b
c
=
=
senA senB senC
a
b
B
A
c
Lei dos Cossenos
C
a
b
B
A
c
a = b  c  2bc cos A
2
2
2
b2 = a2  c2  2ac cos B
c2 = a2  b2  2ab cos C