4ª aula
Nome:
Maria Cristina Kessler
Claudio Gilberto de Paula
Pergunta:
Você já aprendeu como calcular
um ângulo sabendo o valor da
função, por exemplo, sabendo o
seno do ângulo.
Retomando...
E se o ângulo não for do 1º
quadrante?
For do 2º?
Sen x = 0,5.
Ou do 3º?
Acionando-se a função sen-1(x)
da calculadora se pode ler no
visor:
x = 30º
Ou mesmo do 4º quadrante?
Para estes casos precisamos
reduzir ao 1º quadrante.
O que vem a ser isso?
Na aula anterior você deve ter
percebido que diferentes ângulos
podem apresentar o mesmo valor
para as funções trigonométricas.
Por exemplo:
sen45° = sen135° = sen225°= sen315°
Assim...
Reduzir ao 1º Q é encontrar o
ângulo do 1º Q cujas razões são
iguais, em valor absoluto, às razões
de ângulos maiores que 90º.
Vamos ver os seguintes casos:
Relações entre
ângulos do 1º e 2º Q
Relações entre
ângulos do 1º e 3º Q;
Relações entre
ângulos do 1º e 4º Q;
Relações entre ângulos do
1º e 2º Q
Usando a
calculadora
determine os
valores de:
Ângulo
Estabeleça uma relação entre
estes ângulos, situados no 1o e no
2o quadrante, que apresentam o
mesmo valor para o seno.
Seno do ângulo
30º
150º
60º
120º
65º
115º
Utilize 4 casas decimais
Dica: observe a soma destes ângulos
que apresentam o mesmo valor para
o seno.
Observe que os segmentos
verde e vermelho são iguais,
ou seja
sen â = sen bˆ
Quando isto acontece?
O segmento verde representa o sen â
ˆ
O vermelho representa o sen b
â é um ângulo do 1º Q
bˆ é um ângulo do 2º Q
quando â + bˆ = 180°,
ou bˆ = 180º - â .
Estas
considerações
permitem
determinar o seno de um ângulo do
2º quadrante a partir de sua relação
com um ângulo do 1º quadrante.
Vejamos:
Precisamos descobrir qual o
ângulo do 1º quadrante que
apresenta este mesmo valor
para o seno.
O ângulo do 1º quadrante é
sen(155°) = sen (
)=
sen(180°) = sen(
)=
sen(98°) = sen(
)=
Agora vamos descobrir qual o
ângulo do 2º quadrante que
também apresenta este valor
para o seno.
ˆ = 180°.
Lembrete: sen â = sen bˆ quando â + b
DESAFIO
Logo:
Sabendo que sen(x) = 0,6947 e
que x é um ângulo do 2°
quadrante, determine o ângulo x.
x=

a]Sabendo que sen x = 0,2079 e
que x  2º Q então x =
b] Sabendo que sen x = 0,5878 e que
x  2º Q então x =
c]Sabendo que sen x = 0,2924 e
que x  2º Q então x
d] Sabendo que sen x = 0,9781e
que x  2º Q então x =
Virando a folha
tem mais...

TUDO TRANQUILO?

Para as demais razões trigonométricas o raciocínio é semelhante
desde que se observe o sinal de cada uma delas no 2º quadrante.
VEJAMOS...
Ângulo
30º
150º
55º
125º
85º
95º
cos
tan
cot
sec
csc

Sabendo que tan x = - 0,3640 e
que x  2º Q então x =
Para descobrir o ângulo do 1º Q
que apresenta o mesmo valor
para a tangente introduza na
calculadora 0,3640.
0,3640
Desconsidere o sinal pois no 1º Q
todas as seis funções têm sinal
positivo.
Para acionar a função tan-1.tecle
INV e depois TAN
Agora que você conhece o ângulo
“â” do 1º Q, determine o bˆ do 2º Q,
Lembre-se: â + bˆ = 180°.
filme

a] Sabendo que tan x = - 0,1405 e
que x  2º Q então x =
b] Sabendo que cos x = -0,9063 e que
x  2º Q então x =
c] Sabendo que tan x = - 11,4301 e
que x  2º Q então x =
AINDA NÃO ACABOU ...
d] Sabendo que cos x = - 0,2079 e
que x  2º Q então x =
Sabendo que sec x = - 1,4663 e que
x  2º Q , determine x
Como a calculadora não tem esta
função teremos que usar a relação:
cos x = 1/ sec x .
1,4663
Introduza na calculadora o
valor 1, 4663 e tecle 1/x
O visor mostrará o valor do
cosseno.
Para encontrarmos o ângulo
correspondente a este valor
do cosseno aciona-se a tecla cos-1.
Tecle INV e depois COS.
O visor mostrará o valor do
ângulo x, no caso 133º.
filme
a] Sabendo que csc x = 2,3662 e
que x  2º Q então x =
b] Sabendo que cot x = -0,1763 e que
x  2º Q então x =
c] Sabendo que sec x = - 4,8097 e
que x  2º Q então x =
Relações entre ângulos do
1º Q e 3º Q
Usando a calculadora determine os valores de:
Ângulo
sen
cos
tan
Observe que determinados ângulos
apresentam o mesmo valor para o
seno, porém com sinais contrários.
Na caixa abaixo estabeleça uma
relação entre estes ângulos
situados no 1º Q e no 3º Q.
30º
210º
60º
240º
65º
245º
Dica: observe a diferença
entre estes ângulos
Observe que os segmentos
verde e vermelho são iguais
em módulo porém
apresentam sentidos
contrários.
bˆ
sen bˆ = - sen â
Quando isto
acontece?
O segmento verde representa o sen â
ˆ
O vermelho representa o sen b
â é um ângulo do 1º Q
bˆ é um ângulo do 3º Q
Quando bˆ - â = 180°,
ou bˆ = 180º + â .
A partir dessas considerações
complete as sentenças abaixo:
Podemos encontrar as razões
trigonométricas de ângulos do 3Q a
partir das relações abaixo:
sen bˆ = - sen â = - sen ( bˆ - 180º )
sen(195°) = -sen (
)=
sen(227°) = -sen (
)=
sen(198°) = -sen (
)=
cos bˆ = - cos â = - cos ( bˆ - 180º )
tg bˆ
= tg â
cot bˆ = cot â
=
tg ( bˆ - 180º)
=
cot ( bˆ -180º )
sec bˆ = - sec â = - sec ( bˆ -180º)
csc bˆ = - csc â = - csc ( bˆ - 180º)
Resolva agora as questões abaixo
considerando x um ângulo do 3º Q:
a) Se cos x = - 0,8480 então x =
b) Se tan x = 2,0503 então x =
c) Se cos x = -0,5736 então x =
d) Se csc x = -2,3662 então x =
e) Se cot x = 0,1763 então x =
f) Se sec x = - 4,8097 então x =
Relações entre ângulos do
1º Q e 4º Q
Usando a calculadora determine os valores de:
Ângulo
sen
cos
tan
Observe que determinados ângulos
apresentam o mesmo valor para o
seno, porém com sinais contrários.
Na caixa abaixo estabeleça uma
relação entre estes ângulos
situados no 1º Q e no 4º Q.
30º
330º
60º
3000º
65º
295º
Dica: observe a SOMA
destes ângulos

ESTÁ QUASE
NO FIM!
Observe que os segmentos
verde e vermelho são iguais
em módulo porém apresentam
sentidos contrários.
bˆ
â
â
sen bˆ = - sen â
Quando isto
acontece?
O segmento verde representa o sen â
ˆ
O vermelho representa o sen b
Quando bˆ + â = 360°,
â é um ângulo do 1º Q
ou bˆ = 360º - â .
bˆ é um ângulo do 4º Q
Pode-se escrever também que:
a) Se cos x = - 0,8480 então x =
sen bˆ = - sen â = - sen (360º - â)
b) Se tan x = 2,0503 então x =
cos bˆ = cos â = cos (360º - â)
tg bˆ = - tg â = -tg (360º - â)
c) Se cos x = -0,5736 então x =
d) Se csc x = -2,3662 então x =
cot bˆ = - cot â = -cot(360º - â)
sec bˆ = sec â = sec (360º - â)
csc bˆ = - csc â = - csc (360º - â)
e) Se cot x = 0,1763 então x =
f) Se sec x = - 4,8097 então x =
Lembre-se:
Para salvar o que escreveu você
deve :
1 - Sair do modo de
apresentação (clicando no
botão esc );
2 – Salvar.
Registre abaixo suas dificuldades.
Explicite quais os conceitos que não
compreendeu bem, exercícios que
não conseguiu resolver, etc.