caderno do
ensino fundamental
a
6 - SÉRIE
volume 1 - 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos
dos Professores
Ghisleine Trigo Silveira
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
AUTORES
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Vice-Governador
Alberto Goldman
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Secretária da Educação
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária-Adjunta
Iara Gloria Areias Prado
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenadora de Ensino do Interior
Aparecida Edna de Matos
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TéCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem,
Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã
Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de
Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de
Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira
e Yassuko Hosoume
Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de
Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença
de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi,
Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque,
Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e
Sayonara Pereira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos
Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane
Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José
Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires
Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da
Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange
Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial,
Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design
Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)
APOIO
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
CTP, Impressão e Acabamento
Imprensa Oficial do Estado de São Paulo
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino fundamental - 6a série, volume 1
/ Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-183-3
1. Matemática 2. Ensino Fundamental 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV.
Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 373.3:51
Prezado(a) professor(a),
Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das
prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, encaminhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.
As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos
pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova proposta em sala de aula no ano passado.
Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concretizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.
O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área
de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação
para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.
Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou
dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem
a eficácia deste trabalho.
Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamente iremos vencê-lo!
Contamos com você.
Maria Helena Guimarães de Castro
Secretária da Educação do Estado de São Paulo
SuMário
São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
13
Situação de Aprendizagem 1 – Investigando sistemas de numeração:
do Egito ao computador 13
Situação de Aprendizagem 2 – Frações e decimais: um casamento
com significado 26
Situação de Aprendizagem 3 – Multiplicação e divisão com frações
31
Situação de Aprendizagem 4 – Números negativos: desvendando as regras de sinais
Orientações para Recuperação
43
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para
a compreensão do tema 44
Considerações finais
45
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Fundamental
4
47
35
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA
CurriCulAr PArA o EStAdo
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do
Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão
também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas
durante a primeira fase de implantação da proposta.
Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida
das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto
na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e sugestões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam
ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.
A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.
Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de significados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e
consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o
que estava sendo proposto.
Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas para
o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia esse
processo.
Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação
da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,
gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.
Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no
contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia
escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da
aprendizagem e de seus resultados.
5
Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,
na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, revelando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas
e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Educação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e
recursos didáticos.
Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de
São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das
ações propostas para a construção de uma escola melhor.
O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que
acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a
em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será
apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi
alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos
Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.
Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para
que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo
este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que
pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade
a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever
esse sucesso, que também é de vocês.
Bom ano letivo de trabalho a todos!
Maria inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
6
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
FiCHA do CAdErno
Sistemas de numeração: da história às operações com frações,
decimais e negativos
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
temas e conteúdos:
Ensino Fundamental
6ª1º- bimestre de 2009
Sistemas numéricos, frações e decimais
Sistema posicional de numeração
Equivalência entre frações e decimais
Operações com frações (. e ÷) e decimais (.)
Números negativos
7
oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre não se afastam,
de maneira geral, do que é usualmente ensinado
nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros
didáticos. As inovações pretendidas referem-se
à forma de abordagem de tais materiais, sugerida ao longo dos Cadernos de cada um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar
os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais envolvidas,
especialmente as relacionadas com a leitura e
a escrita matemática, bem como os elementos
culturais internos e externos à Matemática.
8
Insistimos, no entanto, no fato de que somente
o professor, em sua circunstância particular, e
levando em consideração seu interesse e o dos
alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto tempo dedicar a
cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação na sala de aula. As
Situações de Aprendizagem são independentes
e podem ser exploradas pelos professores com
mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e o de sua classe. Naturalmente, em razão
das limitações no espaço dos Cadernos, nem
todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa
é a de que a forma de abordagem dos temas
seja explicitada nas atividades oferecidas.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão
organizados em oito unidades de extensões
aproximadamente iguais, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada
assunto com mais ou menos aprofundamento,
ou seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento dos temas. A critério do professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, enquanto
o de outra unidade pode ser tratado de modo
mais simplificado.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais disponíveis
(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
É desejável que o professor tente contemplar todas as oito unidades, uma vez que,
juntas, compõem um panorama do conteúdo
do bimestre, e, muitas vezes, uma das unidades contribui para a compreensão das outras.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável ao
desenvolvimento das competências esperadas
no presente bimestre.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Conteúdos básicos do bimestre
Um diagnóstico nas primeiras aulas deve
permitir ao professor identificar com clareza o
conhecimento numérico dos seus alunos. Nesta
primeira avaliação, ainda de caráter informal,
é importante que se verifique se os alunos conseguem resolver problemas envolvendo: 1) as
quatro operações com os números naturais;
2) soma e subtração com frações; 3) soma,
subtração e multiplicação com decimais1. Nesta proposta de grade curricular sugerimos que
tais contextos tenham sido trabalhados até a
5ª- série, contudo, muitas vezes alguns deles não
foram sistematizados a contento, o que indicará ao professor a necessidade de um período de
retomada dos conteúdos.
Nesta proposta de grade, o 1º- bimestre da
6ª- série será dedicado ao eixo números, com
objetivos de progresso no conhecimento numérico dos alunos em duas frentes, uma delas de ordem quantitativa, a outra de ordem
qualitativa. Por progresso na frente de
ordem quantitativa entendemos a expansão
do campo numérico dos naturais para os inteiros, sempre contextualizado em situações
desafiadoras que sinalizem a insuficiência dos
naturais para resolver alguns tipos de problemas como, por exemplo, aqueles relacionados
à ideia de representação de dívidas, ou ainda,
relacionados às escalas nas quais faça sentido
o uso de números simétricos (escalas termométricas, linha do tempo, etc.).
1
Ainda referindo-nos aos progressos na
frente de ordem quantitativa, no que diz
respeito às operações com decimais e com
frações, é desejável que o aluno aprenda na
6ª- série a dividir números com vírgula e a
multiplicar e dividir fração por fração (na
5ª- série o aluno deve aprender a multiplicar
fração por número inteiro). Um desafio sempre presente nesta série refere-se ao fato de
que muitas vezes o professor terá de cuidar
da sistematização dessas operações simultaneamente à presença de um aluno que ainda tem um conhecimento restrito da ideia
de fração. A ampliação desse conhecimento
será feita ao longo da série e em paralelo à
discussão dos processos operatórios, apostando-se, dessa forma, na noção de que o
tratamento espiralado do tema trará benefícios, tanto do ponto de vista de fixação das
representações e dos algoritmos quanto de
compreensão dos significados. Retomandose o tema em vários momentos do ano, e em
contextos diferentes, espera-se que cada aluno aprenda no seu ritmo e pelo caminho que
lhe seja o mais favorável.
Quanto aos progressos na frente de ordem
qualitativa, espera-se uma ampliação da ideia
de fração. Na 5ª- série as frações são apresentadas como relação entre a parte (numerador)
e o todo (denominador). Nesse contexto, o
material concreto, os desenhos e a malha quadriculada constituem ferramentas didáticas
importantes da prática docente. Na 6ª- série,
Usualmente chamamos de decimais os números escritos “com vírgula”, porém, todos os números reais poderiam
ser chamados de decimais se levarmos em consideração que a palavra decimal se refere ao “sistema decimal de
numeração”. Neste Caderno convencionamos chamar de decimais apenas os números escritos com vírgula, e cujas
casas depois da vírgula não sejam todas iguais a zero, ou todas iguais a 9. Como 0,999...= 1 e 3,0 = 3, diremos que
ambos são inteiros (essa discussão é aprofundada no Caderno do 1º- bimestre da 8ª- série).
9
as expectativas são as de que se amplie o conceito de fração para “algo que represente um
número” e “algo que possui outras representações” (notação decimal, porcentagem).
3
, que antes era compreendida
5
como “três partes de um total de cinco partes”, agora deverá ser compreendida também
como o “número obtido da divisão de 3 por
5”, ou como o decimal 0,6, ou, ainda, como
uma representação de 60% de alguma coisa.
A fração
Uma estratégia interessante que pode ser
utilizada na preparação do terreno para a discussão das novas ideias das frações e decimais
é a de discutir em mais detalhes as características principais do sistema posicional decimal
de numeração. Nas séries anteriores, o trabalho com material dourado, ábaco ou outros
recursos apresenta o sistema decimal de forma
bastante contextualizada e operacional, porém
nem sempre o foco é o de analisar em maiores
detalhes algumas importantes características
desse sistema, nem de compará-lo com outros sistemas de numeração. Essa forma de
trabalho, muito associada às possibilidades
cognitivas das crianças menores, não tem a
preocupação de investigar, por exemplo, por
que os agrupamentos no nosso sistema são
feitos em potências de 10, e não de 5, 12 ou
qualquer outro número, ou, ainda, por que
só precisamos de 10 símbolos para representar números no nosso sistema. O recurso da
história da Matemática, mais especificamente
da história dos sistemas antigos de numeração,
consiste em uma das formas mais interessantes de buscar respostas a essas perguntas.
10
Em relação à apresentação dos números negativos, que também está sendo sugerida nesta
proposta como um tema do 1º- bimestre, especial atenção deve ser dada às operações de multiplicação e divisão. Uma vez que a faixa etária
dos alunos de 6ª- série ainda demanda forte vínculo com o concreto, a utilização de estratégias
variadas na apresentação dessas operações favorece a construção de ideias com significado.
Mesmo sabendo que um dos objetivos centrais
seja o de que o aluno finalize a série operando
com destreza e agilidade com os números negativos, o percurso deve passar pela discussão de
contextos, de preferência concretos, que favoreçam justificativas para as regras de sinais e para
as operações formalizadas com os negativos.
Em termos de organização dos conteúdos
no bimestre, propomos uma divisão em oito
unidades, sendo as duas primeiras dedicadas
à discussão dos sistemas de numeração; a terceira e a quarta reservadas à multiplicação,
à divisão e à ampliação da ideia de fração; a
quinta para as operações com decimais, em
especial a divisão, que é o tema novo nesse
bloco; a sexta e sétima para as operações com
números negativos; e a oitava para o trabalho com expressões numéricas. Em relação à
metodologia, sugerimos que as Situações de
Aprendizagem utilizadas no bimestre valorizem a ideia de resolução de problemas, o que
inclui: 1) busca de situações desafiadoras que
mobilizem o interesse do aluno; 2) valorização
de estratégias diversificadas de abordagem na
resolução dos problemas; 3) busca de contextos, sejam eles na história da Matemática, nas
aplicações práticas da vida real ou na busca
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
de argumentos relacionados à ampliação de
horizontes das ideias matemáticas.
Para o trabalho específico com alguns temas das unidades, apresentaremos a seguir
quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e
4), lembrando que elas constituem uma das
formas de introduzir conteúdos da grade levando-se em consideração todas as preocupações do bimestre relatadas anteriormente.
É importante destacar ainda que as Situações de Aprendizagem propostas devem ser
compreendidas pelo professor como uma
forma de articulação dos conteúdos do bimestre, e não como uma estrutura que engesse o seu planejamento de curso. Os temas
e abordagens propostos são indicações que
sinalizam para um caminho que, certamente, poderá ser modificado, alterado, complementado, sintetizado ou reordenado pelo
professor, de acordo com suas necessidades
e interesses pedagógicos.
Situação de Aprendizagem 1
investigando sistemas de numeração: do
Egito ao computador
Comparamos os sistemas de numeração
egípcio, mesopotâmico, maia, chinês e romano com o nosso para poder melhor apreciá-lo
e compreendê-lo. A Situação de Aprendizagem propõe também a discussão sobre o sistema binário e sua aplicação na computação,
o que contextualiza de forma incisiva o tema
tratado em situações concretas da Matemática
aplicada.
Queremos que o professor esteja atento ao
fato de que a decisão sobre deslocar a discussão
sobre sistemas de numeração de povos antigos
da 5ª- série, que normalmente é apresentada nos
livros didáticos, para a 6ª- série tem objetivos
muito claros e bem definidos. Abordar sistemas de numeração de povos antigos na 5ª- série
muitas vezes restringe a discussão aos aspectos
históricos do tema, uma vez que o aluno ainda
não tem um conhecimento numérico formalizado sobre potências. Acreditamos que discussões acerca da base de numeração de sistemas
antigos, da característica posicional de alguns
sistemas em comparação a outros que não são
posicionais, da importância da concepção do
zero para a operacionalidade e a clareza de um
sistema, dos princípios aritméticos utilizados
em cada sistema, dentre outras, agregam maior
significado aos alunos de 6-a série do que aos
alunos de 5ª- série. Se o professor julgar que em
seu planejamento essa discussão pode ser feita
com sua turma de 5ª- série, sugerimos que aproveite o material desta Situação de Aprendizagem deslocando-o para a 5ª- série.
Situação de Aprendizagem 2
Frações e decimais: um casamento com
significado
Ampliamos a ideia de fração da 5ª- série
investigando a relação entre frações e números decimais por meio de representações em
malhas quadriculadas e partições de figuras.
O uso desses recursos torna os temas abordados mais concretos para muitos alunos, o
que, na faixa etária da 6a- série, ainda é um
aspecto importante a ser considerado pelo
professor ao planejar suas estratégias metodológicas de tratamento dos conteúdos da
grade curricular.
11
Situação de Aprendizagem 3
Multiplicação e divisão com frações
Apresentamos estratégias com o uso de figuras para discussão dos algoritmos da multiplicação e da divisão de frações. Além disso,
convencionamos a ideia de que uma fração pode
representar uma divisão, sem que nos importe,
nesse caso, se numerador e denominador são números inteiros ou não. A ampliação de significados da ideia de fração é um dos momentos mais
importantes da 6ª- série porque, a partir dele, o
aluno deve estabelecer de forma mais sistematizada a conexão entre temas que, até então, mantinham uma relação não muito evidente (relação
entre números decimais e frações).
Situação de Aprendizagem 4
números negativos: desvendando as regras
de sinais
Apresentamos diferentes contextos e estratégias para investigar as operações com números negativos. Discutiremos alguns problemas
relacionados à compreensão e ao uso dos registros das operações com números negativos,
e dedicaremos especial atenção às operações
de multiplicação e divisão com números negativos, que normalmente se constituem como
um ponto de dificuldade para os alunos. Ao
final propomos também um jogo que favorece
o desenvolvimento da prática das operações
com números negativos.
A Situação de Aprendizagem 1 relaciona-se
diretamente com os temas propostos nas
12
unidades 1 e 2; as Situações de Aprendizagem 2 e 3 com os temas das unidades 3, 4 e 5;
e a Situação de Aprendizagem 4 com os
temas das unidades 6 e 7. Todas as Situações
de Aprendizagem estão direta ou indiretamente relacionadas ao tema da unidade 8, que se
refere à sistematização dos assuntos do bimestre por meio do trabalho com expressões
numéricas na resolução, com significado, de
problemas concretos desafiadores.
Quadro geral de conteúdos do
1o- bimestre da 6a- série do
Ensino Fundamental
unidade 1 – Avaliação diagnóstica e sistema posicional de numeração.
unidade 2 – Sistemas antigos de numeração.
unidade 3 – Decimais e frações/Divisão
com decimais
unidade 4 – Multiplicação com frações.
unidade 5 – Divisão com frações.
unidade 6 – Soma e subtração com negativos.
unidade 7 – Multiplicação e divisão com
negativos.
unidade 8 – Expressões numéricas na resolução de problemas.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
SituAçõES dE APrEndizAGEM
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1
INVESTIGANDO SISTEMAS DE NUMERAçãO:
DO EGITO AO COMPUTADOR
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: sistema indo-arábico posicional decimal de numeração; potências; sistemas antigos de numeração (egípcio, mesopotâmico, maia, romano e chinês); sistema binário
e aplicações.
Competências e habilidades: reconhecer por meio da história dos sistemas de numeração a construção de ideias e do conhecimento matemático; estabelecer comparações entre sistemas de
numeração identificando semelhanças e diferenças entre eles; decodificar a estrutura lógica
da escrita matemática; transpor ideias relacionadas à base de um sistema de numeração para
aplicações práticas na computação (sistema binário).
Estratégias: resolução de situações-problema.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Nesta Situação de Aprendizagem será
proposta uma breve investigação de alguns
sistemas de numeração de povos antigos, possibilitando, com isso, a comparação das suas
características com as do nosso sistema. Por
meio dessa comparação espera-se que o aluno
investigue aspectos importantes de um sistema como, por exemplo, a operacionalidade
de um sistema posicional em relação aos sistemas não posicionais, a possibilidade do uso
de outras bases que não 10 em um sistema de
numeração, a importância do uso de um símbolo para o zero, dentre outros.
Como relatado na apresentação do Caderno,
o deslocamento desse tema de discussão – que
normalmente é tratado na 5ª- série – para a
6ª- série está relacionado ao fato de as possibilidades de ampliação e aprofundamento da discussão serem maiores com alunos de 6ª- série
do que com alunos de 5ª- série. Aproveitamos
o tema escolhido para explorar, por exemplo, potências, o que normalmente não seria
o foco de exploração na 5ª- série. Recomendamos também que o professor observe com
atenção o tipo de exploração feita nos exercícios desta Situação de Aprendizagem que
vão muito além de uma mera transposição da
escrita numérica de um sistema de numeração
para outro. Os exercícios propostos foram elaborados com a intenção de conduzirem uma
discussão mais aprofundada sobre a estrutura dos sistemas de numeração em comparação com o nosso sistema posicional decimal.
13
Caso o professor entenda que tais temas se adaptam melhor ao seu planejamento de 5ª- série, sugerimos que aproveite a discussão explorada a
seguir deslocando-a para a série anterior.
Como o interesse central da discussão é o de
podermos compreender melhor as características do nosso sistema de numeração, a escolha
dos sistemas de povos antigos que serão aqui
tratados pautou-se pela gama de possibilidades
que cada um deles pode permitir na comparação
com o nosso sistema. Os sistemas escolhidos,
e que serão apresentados a seguir, são: egípcio,
mesopotâmico, maia, romano e chinês.
O hieróglifo que representa 1 000 é uma
flor de lótus, muito presente às margens do
Rio Nilo. É curioso notar que o símbolo de
100 000 (um número grande) é um girino, que
normalmente é visto em grandes quantidades
nas margens dos rios.
A formação de números nesse sistema é
muito simples, usando-se apenas o princípio
aditivo, como se pode observar pelos exemplos a seguir:
4
17
Sistema egípcio antigo de numeração
Por volta de 3 000 a.C., os egípcios já tinham um sistema de escrita para a representação dos algarismos utilizando símbolos,
muitos dos quais fazendo alguma referência
à fauna e à flora das proximidades do Rio
Nilo, local onde habitavam. A base do sistema
egípcio de numeração, assim como a do nosso
sistema, é decimal, o que significa que os
agrupamentos são feitos em potências de 10.
Observe a tabela a seguir com os algarismos
hieroglíficos utilizados pelos egípcios antigos2.
253
1 100
Uma vez compreendido o funcionamento
do sistema egípcio, muito mais do que simplesmente transpor números do nosso sistema para o egípcio, e vice-versa, interessa-nos
aproveitar suas características para comparálas com as do nosso sistema.
Nesse sentido, apresentamos a seguir uma
série inicial de exercícios que caminham na direção desse objetivo.
100
2
14
101
102
103
104
105
106
Na tabela optamos por representar os números em potências de 10 porque fará parte desta atividade estabelecer a relação
entre a escrita convencional de um número no nosso sistema de numeração e a compreensão do seu significado utilizandose uma escrita com potências de 10. Entendemos que essa pode ser uma boa porta de entrada para o início da discussão
sobre potências na 6ª- série. Em particular, chamamos a atenção do professor para o fato de que tal abordagem exige que
se discuta, por exemplo, a ideia que está por trás da representação de um “número elevado a zero” por 1.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
1. A posição em que os algarismos são colocados no sistema egípcio interfere na
formação do número?
Não, como se pode ver no número 1 100, em
que a centena foi escrita à esquerda do milhar. Isso indica que o sistema egípcio não é
posicional, o que é uma diferença em relação
ao nosso sistema.
2. Qual é o maior número que pode ser formado com os símbolos do sistema egípcio?
9 999 999.
3. A distância média entre a Terra e o Sol
é de aproximadamente 150 000 000 km.
Os hieróglifos egípcios não são suficientes para representar esse número. Pesquise a fauna e a flora da região do Rio Nilo
e crie “novos hieróglifos” de forma que se
possa representar a distância Terra-Sol
no sistema egípcio de numeração.
É necessário criar símbolos para 10 000 000
e 100 000 000. Se, por exemplo, os símbolos
fossem X e Y, respectivamente, a distância
seria o número Y XXXXX.
Sistema indo-arábico
Sistema mesopotâmico
4. Com apenas dez algarismos podemos representar qualquer número no nosso sistema de numeração. Quantos hieróglifos
seriam necessários no sistema egípcio para
representar todos os números naturais?
Infinitos, sendo essa uma grande desvantagem desse sistema.
Sistema mesopotâmico antigo de
numeração
O sistema de numeração dos povos que
viveram na Mesopotâmia3, por volta de
2 000 a.C., também merece uma investigação
detalhada pelo fato de ser um dos mais antigos sistemas posicionais – característica que o
aproxima do nosso – e por ser um sistema de
base 60 – característica que o diferencia do nosso. A escrita mesopotâmica era feita em placas
de argila com o uso de bastonetes, cunhando-se
o barro, daí o nome escrita cuneiforme.
Observe com atenção as cunhagens usadas
para representar alguns números no sistema
de numeração da Mesopotâmia4.
Sistema indo-arábico
1
2
3
12
4
20
Sistema mesopotâmico
15
21
5
10
11
3
4
48
Mesopotâmia quer dizer “terras entre rios”, no caso os rios Tigre e Eufrates, localizados na região onde atualmente
fica o Iraque.
As marcas tracejadas vermelhas foram colocadas apenas para facilitar a leitura do número e a percepção da lógica
de funcionamento do sistema, não fazendo, portanto, parte da escrita numérica mesopotâmica.
15
Sistema indo-arábico
Sistema mesopotâmico
Sistema indo-arábico
84
59
119
60
120
61
63
559
72
600
Analisando com atenção a tabela, percebese que só existem dois tipos de cunhagens, que
são: , para o 1, e , para o 10. Essas marcas
eram feitas com o mesmo bastonete, mudando-se apenas sua inclinação de vertical para
horizontal. Do 1 ao 59, os números são formados usando-se apenas o princípio aditivo,
e cada grupo de dez marcas da unidade ()
é substituído pela marca de uma dezena (),
o que nos dá a falsa impressão de que se trata de um sistema decimal. Veja que o número
60 passa a ser representado novamente pela
marca da unidade, sugerindo, então, que os
agrupamentos são feitos em potências de 60.
De fato, o sistema mesopotâmico de numeração era posicional e sexagesimal (base 60).
601
60
2
602
16
Sistema mesopotâmico
600
60
1
601
60
0
600
No nosso sistema de numeração, as casas, ou
posições, são marcadas por potências de 10
(unidade, dezena, centena, milhar, dezena de
milhar, etc.), o que significa dizer, por exemplo, que um algarismo colocado na terceira
casa da direita para a esquerda representa o
total de centenas do número. Comparativamente, no sistema mesopotâmico as casas, ou
posições, da direita para a esquerda representam as seguintes potências de sessenta: 600,
601, 602, 603...
Seguem exemplos dos números 952, 25 704
e 43 203 escritos no sistema mesopotâmico,
com potências de 60, e no indo-arábico, com
potências de 10:
102
101
100
9
5
2
104
103
102
101
100
2
5
7
0
4
104
103
102
101
100
4
3
2
0
3
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Em uma primeira etapa da discussão, por
meio da investigação da lógica de funcionamento do sistema mesopotâmico, o aluno
estará desenvolvendo habilidades de observação, dedução e generalização, além de estar
revendo o conteúdo de potências. Em uma
segunda etapa, poderá desenvolver as habilidades de comparação e argumentação, como
sugerem os exercícios a seguir.
5. No sistema mesopotâmico, o número
 pode corresponder a diferentes números do nosso sistema. Explique essa
afirmação.
Na posição da unidade (1 = 60o) representaria o número 11, na posição do 60 representaria 660, na posição do 60² o número
39 600, etc. Poderíamos, ainda, imaginar
que cada um dos símbolos esteja ocupando
uma posição diferente, o que implicaria mais
possibilidades. Por exemplo, se  ocupa
a casa da unidade e  a casa do 60, o número representado seria o 601. Para saber
qual número estaria sendo representado, os
mesopotâmicos levavam em consideração o
contexto em que ele havia sido escrito, o que
gerava muitos erros ou ambiguidades.
6. Assim como o nosso sistema de numeração, o mesopotâmico também era posicional5, porém com certa ambiguidade na
escrita dos números, como você observou
no exercício anterior. Essa ambiguidade
5
poderia ser eliminada com a utilização de
um algarismo que era desconhecido dos
mesopotâmicos. Que algarismo é esse?
O zero. Por exemplo, o número 43 203 representado no sistema mesopotâmico não
possui algarismos na posição do 60, o que
só poderia ser corretamente indicado se o
sistema dispusesse de um símbolo gráfico especial para representar a ausência de
unidades naquela posição. É bem provável
que os mesopotâmicos ignoraram o zero
porque, segundo suas concepções, não fazia
sentido representar o “nada” por “alguma
coisa”. Uma primeira tentativa de resolver
essa ambiguidade foi feita deixando-se um
espaço maior entre os símbolos quando eles
representavam posições diferentes, mas isso
não se mostrou satisfatório porque muitas
vezes um símbolo aparecia sozinho. Na
prática, as ambiguidades eram resolvidas
pelo contexto em que o número aparecia,
identificando-se o que ele representava pela
ordem de grandeza que deveria ser considerada naquele contexto.
7. Invente um símbolo para o zero e escreva os números 11, 660 e 36 001 no
sistema mesopotâmico de numeração
utilizando seu símbolo.
Admitindo-se que o símbolo do zero
seja  ,então teremos 11=  , 660=   
e 36 001=  .
Na verdade, o sistema mesopotâmico torna-se posicional para além do número 59. Se fosse um sistema posicional
como o nosso, o mesopotâmico teria de utilizar 60 símbolos (algarismos) diferentes, sendo um deles um símbolo para
o zero. Se assim fosse, cada casa de uma potência de 60, ou seja, cada posição teria um, e apenas um, símbolo do
sistema. É razoável supor que isso não tenha sido dessa forma porque demandaria inúmeros bastonetes de formatos
diferentes para se fazer a escrita cuneiforme dos números.
17
8. Passe os números 758 e 226 para o
sistema mesopotâmico e, em seguida,
faça as contas armadas de soma e subtração entre esses números.
9. Identifique uma situação prática do
nosso dia a dia em que utilizamos a base
60 para fazer contas.
O sistema hora:minuto:segundo de medição do tempo utiliza base 60 já que 60
segundos formam 1 minuto e 60 minutos
formam 1 hora. Esse é um resquício do
passado distante mantido até hoje. As
hipóteses sobre as razões pelas quais os
mesopotâmicos estabeleceram um sistema
de base 60 não estão comprovadas. Algumas delas relacionam o fato a aspectos
da Astronomia (um ano tem aproximadamente 360 dias); outras admitem que
tenha surgido da fusão de dois sistemas
de numeração de povos antigos, um de base
10 e outro de base 6.
Para operar no sistema decimal, 10 unidades
transformam-se em 1 dezena, 10 dezenas em
1 centena, e assim por diante. No sistema
sexagesimal, como o mesopotâmico, o “vai
um” para a casa seguinte será feito em grupos de 60, e não de 10. A seguir apresentamos as contas armadas:
601 = 60
600 = 1
758
+
226
984
601 = 60
600 = 1
758
–
226
532
18
10. Passe os números 498 e 279 para o sistema romano de numeração e tente
efetuar a conta armada de subtração
desses números. Por que é difícil fazer
essa conta?
No sistema romano, os símbolos usados em
cada posição não necessariamente definem
o valor daquela posição, o que dificulta sua
praticidade para fazer contas armadas. Na
verdade, os próprios romanos utilizavam
seu sistema de numeração apenas para o
registro numérico e não para as operações,
que eram feitas com o ábaco. Com esse
exercício o aluno deve perceber que fazer
a conta armada DCXCVIII − CCLXXIX
não é nada prático porque as “posições”
de cada símbolo não marcam exatamente
unidade, dezena, centena, milhar, etc. Vale
lembrar que o sistema romano será tratado
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
mais adiante, podendo o professor deixar
os exercícios relacionados a esse tema para
outro momento.
Sistema maia antigo de numeração
tamente vigesimal (base 20), colocar zero à
direita de um número natural corresponderia
a multiplicá-lo por 20, o que não ocorre na
prática devido ao uso do 360 na casa que deveria ser ocupada pelo 400.
Vamos agora analisar o sistema de numeração do povo maia, que viveu por volta do
ano 500 d.C. na região onde hoje se localizam o México e a América Central. Lembramos ao professor que o estudo dos sistemas
de numeração de povos antigos sinaliza inúmeras possibilidades de interdisciplinaridade
com as disciplinas de História e Geografia.
No caso específico dos maias, tal estudo poderá valorizar o contato com seus notáveis
conhecimentos sobre Astronomia, calendário
1
2
3
4
5
9
10
19
6
e agricultura, bem como com seu engenhoso
sistema de numeração.
8
7
20
Da mesma forma que o sistema de numeração mesopotâmico e que o nosso, o maia
também era posicional, porém de base 20.
Para um sistema assim, espera-se que os algarismos multipliquem potências de 20, que
são 1, 20, 400, 8 000..., porém o sistema maia
operava com uma irregularidade nesse padrão: na posição de 20², em que o algarismo
Observação:
As anotações das potências em vermelho não fazem parte da escrita maia,
são meramente indicativas da operação que deve ser feita com os valores
numéricos dos símbolos na composição do número.
deveria ser multiplicado por 400, ele era multiplicado por 360. Em virtude dessa anomalia, o sistema maia, que tinha tudo para ser
tão operacional quanto o nosso, por ser posicional e ter um símbolo para representar o
zero, ficou privado desse benefício. Note que,
no nosso sistema, colocar zero à direita de
um número natural corresponde a multiplicá-lo por 10. Se o sistema maia fosse estri-
Um aspecto importante que diferencia o
sistema mesopotâmico do maia é o fato de que
o povo pré-colombiano concebeu um símbolo
para o zero. Observando atentamente alguns
exemplos de números na escrita maia, o aluno
poderá investigar sua lógica de funcionamento.
Depois da tabela apresentamos um exercício
significativo sobre o tema.
19
21
27
22
28
23
29
24
30
25
79
26
258
11. Preservada a lógica apresentada na
tabela, porém utilizando 360 no lugar
do 400 (que seria a próxima potência
de 20), descubra qual é o seguinte número maia:
que a dificuldade operacional do sistema romano diz respeito ao fato de que as posições
não marcam com clareza um agrupamento de
determinada potência. Vale observar que, apesar de seu sistema não ser operacional para a
realização de contas, isso não quer dizer que
os romanos antigos não fizessem contas. Os
calculistas romanos utilizavam o ábaco de fichas para a prática do cálculo.
Tal qual o sistema egípcio, o romano também era regido pela adição dos algarismos que
compõem o número, com a dificuldade adicional de que os romanos também usavam o princípio subtrativo na composição dos números.
Apresentamos a seguir uma tabela com os algarismos do sistema romano de numeração.
1
I
5
V
10
X
50
L
100 C
500 D (I C na origem do sistema romano)
41 453
Sistema romano antigo de numeração
O sistema romano de numeração antigo,
cujas marcas ainda estão presentes em nosso
tempo, não foi concebido para fazer contas,
mas sim para o registro e a escrita dos números. Um exercício interessante que o aluno
pode fazer depois que tenha aprendido a registrar alguns números no sistema romano é
o de tentar realizar contas armadas de adição
ou subtração com a escrita numérica desse sistema. Tal exercício deve sinalizar com clareza
20
1 000 M (CIC na origem do sistema romano)
Apesar de bem conhecida e explorada por
boa parte dos livros didáticos, a lógica de uso
do princípio subtrativo nem sempre é bem
compreendida pelo aluno, o que frequentemente implica erros do seguinte tipo:
Escrita correta do número 499: CDXCIX
Escrita errada do número 499: ID
Normalmente o aluno associa a ideia de
que todo signo numérico colocado à esquerda
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
de um algarismo de valor superior será dele
Justifique as escritas erradas dos núme-
abatido. Tal compreensão implica frequente-
ros da tabela por uma das duas regras
mente a escrita errada de números como 99 (o
e escreva corretamente os números no
aluno escreve IC quando o correto é XCIX),
sistema romano de numeração.
490 (o aluno escreve XD, quando o correto
é CDXC), 45 (o aluno escreve VL, quando o
correto é XLV), etc.
O que deve ser esclarecido sobre o uso do
princípio subtrativo na composição de números do sistema romano é a regra de que ele só
pode ser utilizado entre dois algarismos consecutivos da tabela ordenada dos algarismos,
e nunca devemos utilizar os algarismos V, L e
D para retiradas. Dessa forma, 499 não pode
ser escrito como ID porque do algarismo D só
Escrita errada
15
VX
49
IL
1500
DMM
999
IM
15  XV (justificativa do erro pela regra “b”)
49  XLIX (justificativa do erro pela regra “a”)
1 500  MD (justificativa do erro pela regra
“b”)
bolo imediatamente anterior a ele na tabela;
999  CMXCIX (justificativa do erro pela
regra “a”)
45 não pode ser escrito como VL porque o al-
13. Tente fazer a conta armada indicada
podemos retirar o algarismo C, que é o sím-
garismo V não pode ser utilizado para fazer
retiradas, etc.
12. A regra de uso do princípio subtrativo
na composição de números no sistema
adiante e, em seguida, registre as razões da dificuldade em usar o algoritmo (regras de cálculo) da subtração
para fazer a conta.
romano exige que:
a) o princípio subtrativo seja usado apenas entre algarismos consecutivos da
tabela ordenada de algarismos;
MDXLIX
– CCCXCXVIII
As dificuldades no uso do algoritmo
da subtração estão diretamente associadas
b) os algarismos correspondentes aos
ao fato de que nem sempre as posições são
nossos números 5, 50 e 500 (I, L e D)
marcadas com um único símbolo no sistema
não podem ser usados para fazer re-
romano, o que dificulta identificar o tipo de
tiradas na composição de um número
agrupamento que está sendo feito (unidades,
(podemos retirar deles o 1, o 10 e o
dezenas, centenas etc.). Essa observação pode
100, respectivamente, mas eles não
servir para o professor explorar/desdobrar al-
podem ser retirados do 10, do 100 e
guns aspectos na comparação entre o sistema
do 1 000, respectivamente).
romano e o nosso:
21
f o sistema romano não pode ser exatamente definido como decimal porque utiliza
símbolos para os números 5, 50 e 500;
f o sistema romano não possui as posições dos
agrupamentos muito bem marcadas, o que,
dito de outra forma, significa que ele não é
exatamente um sistema posicional como o
nosso (esse aspecto dificulta a operacionalidade do sistema para fazer contas);
f a escrita dos números em algarismos romanos é, em geral, mais extensa que a
escrita dos números no sistema indo-arábico de numeração, o que também é um
aspecto que dificulta a praticidade nos
registros numéricos.
Sistema chinês antigo de numeração
A história dos sistemas antigos de numeração da China é repleta de detalhes, que podem
ser encontrados na maioria dos livros de história da Matemática ou de história dos sistemas
de numeração. Resumidamente, existem dois
tipos de sistema de numeração na China antiga, ambos posicionais como o nosso, porém
com algumas diferenças particulares. Analisaremos brevemente os dois sistemas, lembrando
sempre que o nosso objetivo central é o de
compará-los com o nosso. Algarismos do sistema tradicional chinês de numeração:
1
7
22
2
8
3
9
4
10
5
100
6
1 000
O interesse do sistema chinês na comparação com o nosso reside no fato de que, como
o nosso, ele também utiliza o princípio multiplicativo na composição dos números, além de
também ser um sistema decimal. Veremos seu
funcionamento por meio de dois exemplos:
 26
2
.
10
+
6
 5 400
5
.
1000 +
4
.
100
O segundo sistema de numeração chinês
que comentaremos é o de barras, que foi concebido entre os séculos II a.C. e III d.C. Esse
sistema é posicional, como o nosso, sendo que
cada posição é marcada por um único símbolo. A tabela a seguir indica os dez primeiros
algarismos do sistema chinês de barras:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A partir dos números maiores que 9, a escrita passa a ser feita como veremos nos exemplos adiante:
 8 326
 934
Note na escrita dos números anteriores que
o espaçamento entre as posições de unidade, dezena, centena etc. deve ser dado de forma clara,
caso contrário pode haver ambiguidade na leitura
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
e na compreensão do número. Atentos a isso,
ao longo dos anos os chineses passaram a utilizar um sistema de barras horizontais e verticais
intercaladas. As unidades de casa ímpar (unidades simples, centenas, dezenas de milhar, milhões, etc.) eram expressas por meio do sistema
de barras verticais, e as unidades de casas
pares (dezenas, milhares, centenas de milhar,
dezenas de milhões, etc.) com barras horizontais. Segue adiante a tabela de barras
horizontais e alguns exemplos de números
nessa nova forma de escrita:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Exemplos:
 536
 98 432
É interessante observar que o sistema chinês
resolve bem a questão da ambiguidade de significado dos símbolos, que o sistema mesopotâmico não conseguiu resolver, porém também
lidava com a dificuldade de não ter um símbolo
para o zero. Por causa da ausência de símbolo para o zero, era difícil distinguir as notações de números como 5 444, 54 440, 50 444,
544 000, etc. Além disso, uma única barra vertical podia corresponder tanto ao 1 quanto ao
100, ao 10 000, ao 100 000, etc.
A solução encontrada por alguns foi deixar
um espaço vazio na posição que corresponderia ao zero, sendo que outros escribas optavam por uma notação mista entre o sistema de
barras e o sistema tradicional, descrito no início desta apresentação.
14. Usando apenas três barras verticais,
escreva todos os números possíveis no
sistema posicional chinês de numeração (resolva este exercício utilizando a
escrita apenas com barras verticais).
|||  3
| ||  12
|| |  21
Observação: infinitas outras possibilidades
poderiam ser elaboradas se incorporássemos
espaçamentos com o significado de zero na
posição correspondente ao espaçamento.
Sistema binário de numeração e os
computadores
Uma vez tendo conhecido sistemas posicionais de base 10, 20 e 60, poderíamos nos
fazer a seguinte pergunta: será que existe alguma aplicação moderna para sistemas de
outras bases?
A resposta a essa pergunta é sim, e a aplicação está muito mais perto de nós do que
podemos imaginar: os computadores. Veja em
que contexto isso ocorre.
Os elementos radioeletrônicos (válvulas, semicondutores) empregados nos computadores
são dispositivos construídos para responder a
sinais elétricos. Podemos dar dois tipos diferentes de comandos para um dispositivo com
essa característica, que são: “deixe passar a
corrente elétrica” (ligue) ou “não deixe passar
a corrente elétrica” (desligue). A linguagem
mais adequada para programar uma máquina
23
como essa é a binária (sistema de base 2), utilizando o algarismo 1 para o comando “liga”
e 0 para “desliga”. Em um sistema binário, os
algarismos 0 ou 1 multiplicam as potências de 2
para formar os números. Veja alguns exemplos
em que transformamos números do sistema decimal para o binário:
1 = 1 . 20 ⇒ 1
2 = 1 . 21 + 0 . 20 ⇒ 10
3 = 1 . 21 + 1 . 20 ⇒ 11
Será um número par.
16. Se um número binário termina em 00,
o que podemos afirmar sobre seu correspondente no sistema decimal?
É um múltiplo de 4.
17. Faça a conta armada de adição dos
números binários 1101 e 101.
4 = 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 ⇒ 100
10010.
19 = 1 . 24 + 0 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 = 10011
18. Na informática se diz que 1 byte corresponde a 8 bits. Sabendo que cada
bit pode assumir valor 0 ou 1, calcule
quantas são as possibilidades de combinações diferentes de 0 e 1 em um byte.
1024 = ··· ⇒ 10000000000
Na computação, os algarismos 0 e 1 usados no sistema binário são chamados de bits,
termo que deriva do inglês “binary digits”
(dígitos binários). Em geral, quando escrevemos os números no sistema binário gastamos mais bits do que o número de dígitos que
gastaríamos no sistema decimal (ex.: 1 024,
que é escrito com quatro dígitos no sistema
decimal, tem 11 bits no binário). Esse fato,
que constituiria um enorme problema para a
capacidade limitada de memória do homem,
não é um problema para o computador, que
possui uma enorme capacidade de armazenamento de dados.
Finalizaremos a discussão sobre a Situação de Aprendizagem 1 com a apresentação
de alguns exercícios para a reflexão sobre o
sistema binário de numeração. Tais exercícios podem ser realizados em situação de
discussão coletiva envolvendo o professor e
seus alunos.
24
15. Se um número binário termina em
zero, o que podemos dizer sobre seu
correspondente no sistema decimal?
2 elevado a 8, ou seja, 256 possibilidades.
19. Escreva o ano das Olimpíadas de Pequim
(2008) no sistema binário de numeração.
11111011000.
20. (Atividade com uso de calculadora)
Para quantificar a “capacidade de memória” dos computadores e dos periféricos que armazenam dados (disquetes,
CDs, pen drives), costuma-se usar múltiplos do byte (B), como indica a tabela
a seguir:
Nome
Símbolo
Valor atribuído
Quilobyte
KB
210 B
Megabyte
MB
210 KB
Gigabyte
GB
210 MB
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Quantos bytes cabem em um disquete
com capacidade de 1,44 MB? E em um
CD de 700 MB?
Aproximadamente 1 509 949 bytes no disquete e 734 003 200 bytes no CD (o professor poderá também pedir conversões
para bits).
Considerações sobre a avaliação
O tema tratado nesta Situação de Aprendizagem pode ser avaliado por meio de provas,
listas de exercícios ou trabalhos em grupo.
Nas provas ou listas de exercícios o professor
pode explorar as ideias que foram abordadas
nos exercícios apresentados nesta Situação
de Aprendizagem. Porém, é importante destacar que muitos desses exercícios foram elaborados e colocados neste material não com
a intenção de serem diretamente transpostos
para uma lista de exercícios para aluno, mas
sim com o objetivo de sinalizar possibilidades de abordagem dos temas desenvolvidos.
Recomendamos que os exercícios deste material sejam analisados e adaptados de forma
que o professor crie seu próprio material de
aula, adequado ao seu planejamento e às características particulares de suas turmas.
Com relação ao trabalho em grupo, propomos que o professor divida a classe em dez
grupos. Cada grupo terá de pesquisar e apresentar um sistema de numeração de algum
povo antigo. Caso o professor deseje que os
grupos trabalhem os mesmos sistemas que
foram apresentados em classe, dois grupos se
responsabilizarão pela apresentação do sistema egípcio, dois pelo sistema mesopotâmico,
dois pelo sistema maia, dois pelo sistema
romano e dois pelo sistema chinês. Alguns
desafios que podem ser colocados para cada
grupo são:
f Os grupos devem preparar uma apresentação para a classe dando conta de
esclarecer o funcionamento do sistema
e descrever suas características em comparação com o nosso.
f Os grupos devem apresentar para a
classe uma breve descrição histórica do povo antigo cujo sistema de
numeração está sendo investigado.
Essa descrição pode ser feita com o
acompanhamento dos professores de
História e Geografia.
f Os grupos devem pesquisar e trazer para
a classe pelo menos uma nova informação sobre o sistema de numeração investigado que não tenha sido apresentada
ou comentada pelo professor na classe
(exemplo de questões que podem ser
apresentadas: como os romanos escreviam
números muito grandes? Quais são as hipóteses sobre o uso da base 20 no sistema
maia de numeração? Quais as semelhanças
e diferenças entre o sistema chinês antigo e
o sistema chinês atual de numeração?).
Caso o professor prefira, poderá também
pedir que os grupos pesquisem outros sistemas antigos de numeração, como o dos gregos e o dos hebreus. Recomendamos que os
critérios de avaliação dos trabalhos incluam a
capacidade do grupo de responder às dúvidas
da classe em relação ao tema apresentado.
25
Outro trabalho individual ou em grupo
que pode ser proposto é a criação de um
sistema de numeração. O professor pode
preestabelecer as características do sistema
ou dar liberdade para que cada um crie seu
próprio sistema. Caso o professor opte por
não estabelecer as características do sistema,
é importante que ao menos sejam estabelecidas duas regras: 1) o sistema não pode
ter ambiguidade de escrita; 2) o sistema não
pode permitir duplicidade de escrita dos números. Essas regras podem servir de parâmetro para o professor avaliar a compreensão
dos alunos sobre como deve ser estabelecida
a lógica de um sistema funcional e operacional de numeração.
Outro conteúdo matemático que pode ser
avaliado com base em temas apresentados
nesta Situação de Aprendizagem é o trabalho
com potências. Tanto na escrita dos sistemas
posicionais de numeração dos povos antigos
quanto no trabalho com o sistema binário e
os computadores o professor deve encontrar
bom manancial para o trabalho com potências e suas propriedades operacionais.
Outro aspecto que deve estar claro é que
o estudo feito nesta Situação de Aprendizagem tem como objetivo central melhorar a
compreensão do aluno sobre a estrutura de
funcionamento do sistema indo-arábico posicional decimal de numeração. É importante, portanto, que frequentemente o professor
sinalize esse caminho e avalie os resultados
também sob esse ponto de vista.
Como fonte de pesquisa para os trabalhos
dos alunos e para a elaboração de atividades
do professor, relacionamos algumas referências bibliográficas sobre o assunto ao final do
Caderno. Pesquisas na internet também constituem uma valiosa ajuda para os trabalhos
em grupo, uma vez que muita informação sobre sistemas de numeração de povos antigos
pode ser encontrada na rede eletrônica.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2
FRAçÕES E DECIMAIS: UM CASAMENTO COM SIGNIFICADO
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: potências; frações: equivalentes, relação entre fração e decimais, novos
significados para fração; decimais (revisão da soma, subtração e multiplicação/aprendizagem
da divisão).
Competências e habilidades: estabelecer relação entre conceitos e linguagens: frações/decimais/
porcentagem; saber identificar e reconhecer informações numéricas envolvendo frações e decimais em contextos diversificados.
Estratégias: resolução de situações-problema; uso de malhas quadriculadas e de figuras.
26
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Nosso sistema de numeração é posicional,
de base 10, e nele conseguimos escrever qualquer número natural utilizando apenas dez
símbolos, que são os algarismos de 0 a 9. O
primeiro fato que nos interessa é mostrar que
tal sistema pode ser estendido para a representação de números não inteiros, bastando para
isso interpretar os algarismos à direita da vírgula como indicativos de divisões por potências de 10, como vemos no exemplo a seguir
da representação do número 4735,8902:
4
7
3
5
 103
 102
 101
 100
4 milhares 7 centenas
8
9
0
2
3 partes de 1 bolo que foi dividido em 4 partes
÷ 10
÷ 10
÷ 10
8
décimos
9
centésimos
0
milésimos
2 décimos
de
milésimos
2
3
, que pode significar três partes
4
de um bolo que foi dividido em quatro partes
iguais, pode também significar a divisão de
três bolos igualmente por quatro crianças. No
caso da segunda interpretação, um bom método para realizar a tarefa seria pegar cada um
dos bolos e dividi-los em quatro partes iguais,
cabendo uma parte para cada criança:
A fração
3 dezenas 5 unidades
÷ 10
1
todo (denominador)”, cabendo nesse momento estabelecer a equivalência entre essa ideia e
a de que uma fração representa também o resultado da divisão do numerador pelo denominador. Essa equivalência, apesar de motivação
supostamente natural, deve ser mostrada para
o aluno. Veja um caminho possível para isso.
3
4
O trabalho com potências de expoentes negativos normalmente é feito na 7ª- série, mas o
exemplo anterior também pode ser utilizado
para a atribuição de significado às potências
de expoentes negativos, bastando para isso
que se trabalhem regularidades e equivalência:
÷ 101 é equivalente a  10–1, ÷ 102 é equivalente a  10–2, etc.
É provável que a concepção sobre fração
que o aluno adquiriu nas séries anteriores seja
a de uma “relação entre parte (numerador) e
3 bolos divididos igualmente entre 4 crianças
Se quatro crianças querem repartir igualmente três bolos, a porção de bolo que caberá
a cada uma pode ser expressa por 3 ÷ 4; no
caso analisado, as figuras indicam que cada
3
de um bolo. Então, as excriança receberá
4
3
e 3 ÷ 4 têm de ser equivalentes.
pressões
4
Incorporar a ideia de que uma fração, como
3
, deve ser interpretada como o “resultado
4
27
de uma divisão” prepara o caminho para discussões na 7ª- série sobre os números racionais,
já que a fração passa agora a assumir status de
número. Essa não é uma ideia simples e, portanto, será compreendida e incorporada pelos
alunos gradativamente ao longo do ano. Um
exemplo que pode favorecer discussões a respeito da linguagem matemática e, em particular, do novo significado atribuído às frações é:
8
ou 2 . 2 são expressões
2 + 2 ou 12 ÷ 3 ou
2
simbólicas para o mesmo número, o 4.
Neste momento, uma lista de exercícios focada na questão da ampliação do campo da
linguagem matemática, nos novos significados
dados às frações, na equivalência de significados e, ainda, na introdução de ideias que serão
trabalhadas mais adiante no curso – como a
divisão de números com vírgula – contribuirá
para a aceleração do processo de aprendizagem. Professor, apresentamos a seguir uma
lista de exercícios para sua reflexão sobre possibilidades de abordagem do assunto tratado.
1. Um professor propôs para seus alunos
o seguinte problema: Cláudia tem 18
1
do arametros de arame. Ela corta
5
me para fazer uma tela que será usada na nova casa do seu cachorro. Que
comprimento de arame ela vai utilizar
na construção dessa tela? Justifique
sua resposta.
Veja a resposta dada por três estudantes:
João: 3,6 metros porque 18 ÷ 5 é igual
a 3,6.
Ana:
28
1
de 15 é igual a 3. Como eu quero
5
1
de 18, e 18 = 15 + 3, então o com5
primento usado de arame será “3 mais
1
de 3”.
5
1
léo:
em decimal é 0,2, então, eu mul5
tipliquei 0,2 por 18 e obtive 3,6.
Qual(is) dos estudantes está(ão) certo(s)?
Os três estão certos.
Observação: Ana encaminhou o problema para
3
o número misto 3
.
5
2
2. Mostre, por meio de desenhos, que
é
5
equivalente a 2 ÷ 5. (Para este exercício o
aluno deverá ter visto antes a equivalência
3
e 3 ÷ 4 por meio de figuras.)
entre
4
Cada pessoa receberá 2 ÷ 5
de uma pizza
3. Pinte nas três malhas a seguir o cor2 20
1
respondente às frações
,
e
10 100
5
respectivamente. Em seguida, responda: o
que se pode concluir sobre essas frações?
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Com exercícios semelhantes a esse o
professor pode trabalhar a ideia de frações equivalentes.
b)
c)
4. Em relação ao número 2,48, podemos
fazer sua leitura de inúmeras maneiras
diferentes como, por exemplo:
a) 2 inteiros, 4 décimos e 8 centésimos;
b) 2 inteiros e 48 centésimos;
c) 248 centésimos.
Utilizando as sequências horizontais de
quadrados a seguir, pinte-as corretamente para a representação do número 2,48
de acordo com cada uma das três leituras, mostrando em seguida a equivalência entre elas.
a)
b)
c)
a)
Note que a área total pintada em cada
sequência é a mesma.
Uma convenção que deve ser feita sox
bre a notação de fração
é a de que
y
ela também pode representar uma divisão de x por y não inteiros. Sendo assim, podemos representar, por exemplo,
o resultado da divisão de 2,38 por 0,4
2,38
com a fração
. Ao multiplicarmos
0,4
o numerador e o denominador de uma
fração por um mesmo número encontramos uma fração equivalente, portanto,
2,38
238
2,38 . 100
=
. Esse proce=
0,4
40
0,4 . 100
dimento indica que toda divisão entre
números decimais pode ser convertida
em uma divisão de números inteiros,
bastando para isso utilizar a ideia de
frações equivalentes. No caso do exemplo, dividir 2,38 por 0,4 é equivalente a
dividir 238 por 40.
Note que o encaminhamento dado permite que se discuta a regra prática de armar a conta de divisão com os decimais
e, em seguida, “igualar as casas depois
da vírgula e desprezar as vírgulas”.
A exploração dessa regra prática também pode ser feita utilizando-se apenas
x
como
a ideia de significado da fração
y
29
sendo o “número de vezes que y cabe em
x” (nesse caso estamos considerando x
e y inteiros), como veremos a seguir em
cima do mesmo exemplo já trabalhado.
Os decimais 2,38 e 0,4 são equivalente às
4
238
. Portanto, dividir 2,38
e
frações
100 10
por 0,4 é equivalente a fazer a divisão
4
238
. Se transformarmos essas fra÷
100 10
ções em frações de mesmo denominador,
realizar a divisão se reduz a fazer uma
divisão entre numeradores que, nesse
caso, serão números inteiros. Assim,
40
4
238
238
é equivalente a
÷
,
÷
100
10
100
100
que é equivalente a dividir 238 por 40,
4
cabe
porque o número de vezes que
10
238
em
é igual ao número de vezes que
100
40 cabe em 238.
Em resumo, toda divisão entre decimais
pode ser transformada em uma divisão
de inteiros, sendo que o procedimento
que normalmente se usa para isso na
conta armada (“igualar as casas depois
da vírgula e desprezar as vírgulas”) pode
ser justificado por meio de discussões
como as que foram apresentadas.
5. Encontre números inteiros cuja divisão dê o mesmo quociente que o das
seguintes divisões:
a) 4,3 ÷ 1,25;
b) 0,005 ÷ 0,2;
c) 12,28 ÷ 3,2.
Algumas possíveis soluções são:
a) 86 e 25
30
b) 1 e 40
c) 307 e 80
Considerações sobre a avaliação
Boa parte dos temas desenvolvidos nesta
Situação de Aprendizagem foi explorada utilizando-se como recurso as figuras e as malhas
quadriculadas. Entendemos que tais instrumentos podem favorecer a compreensão dos alunos
sobre o conceito de fração e suas diferentes representações e, dessa forma, recomendamos que
o professor também os utilize em alguma das
avaliações a serem propostas aos estudantes.
Ao final do trabalho com a Situação de
Aprendizagem apresentada, o aluno deve
x
compreender a fração
como relação pary
te-todo, como representação de um número,
como representação da divisão de x por y e
como porcentagem de alguma coisa. É provável que essas ideias sejam mais bem incorporadas ao longo de todo o ano letivo, porém,
é importante que neste momento o professor
crie instrumentos de avaliação que deem conta de identificar quais desses significados e interpretações foram apropriados pelos alunos e
quais devem ser retomados.
A passagem da notação de uma fração para
a notação decimal (dízima ou decimal finita)
é uma habilidade que deve ser verificada, bem
como a habilidade de converter um decimal
finito em fração irredutível. Nesta proposta de planejamento, a conversão das dízimas
periódicas em frações será tema tratado na
7ª- série, contudo, o professor pode pedir que
seus alunos convertam dízimas mais simples e
de uso frequente em frações irredutíveis, tais
1
1
como 0,333... em
, 0,111... em
, 0,666...
3
19
2
em
, etc.
3
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3
MULTIPLICAçãO E DIVISãO COM FRAçÕES
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: frações: multiplicação e divisão; decimais.
Competências e habilidades: ampliar as operações aritméticas com frações resolvendo problemas
com multiplicação e divisão; fazer transferência entre linguagens e identificar operações de multiplicação e divisão com frações em contextos concretos; utilizar a ideia de equivalência como
um recurso na resolução de problemas aritméticos com frações; compreender o uso do conectivo
“de” na linguagem escrita/oral quando associado a uma operação com frações.
Estratégias: resolução de situações-problema; uso de figuras (barras particionadas).
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Um dos objetivos da 6ª- série com o estudo
das frações é o de ampliar o universo das
operações para a multiplicação e a divisão.
De acordo com esta proposta curricular, na
5ª- série o aluno já terá se iniciado no estudo
da multiplicação de fração por número inteiro e, agora, essa ideia deve ser ampliada
para a multiplicação de fração por fração.
Ao final da série, é desejável que os alunos
saibam que o resultado da multiplicação
de duas frações será uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores das
frações que estão sendo multiplicadas, e o denominador é o produto dos denominadores
dessas frações. Porém, antes que se chegue à
mecanização desse algoritmo, é fundamental que seja trabalhado com os alunos o seu
significado. A seguir será apresentada uma
proposta geométrica para o trabalho com a
multiplicação de frações, mas é importante que
fique claro que inúmeras outras abordagens
podem ampliar de forma significativa as possibilidades de compreensão do tema, sendo
a apresentada apenas uma delas.
Quando trabalhamos com multiplicação
de números naturais dizemos, por exemplo,
que 3 . 5 pode significar “3 grupos de 5”.
O primeiro fator significa quantos grupos do
segundo fator nós temos, ou queremos. Na
multiplicação de número inteiro por fração
podemos fazer raciocínio análogo. Por exem1
significa “4 grupos de um terço”,
plo: 4 .
3
1
1
1
1
1
4
=
+
+
+
=
ou seja, 4 .
.
3
3
3
3
3
3
Sendo o produto comutativo, outra forma de
1
1
interpretar 4 .
seria
. 4 e, portanto,
3
3
1
seu significado passaria a ser “
de 4”, o
3
que é o mesmo que calcular a terça parte de
4. Note que a preposição de está diretamente associada à operação de multiplicação.
3
4
.
Estendendo essa ideia, calcular
4
5
3
4
é equivalente a calcular “
de
”, ou a
4
5
31
4
3
de
”. Compreendidos esses
5
4
aspectos de linguagem, veremos agora como
justificar um algoritmo para o produto de
frações por meio de argumentos geométricos
calcular “
e, para isso, usaremos como exemplo o pro3
4
∙
.
duto
4
5
Utilizaremos retângulos para representar a unidade e, em seguida, os dividiremos
em 4 partes iguais (marcando 3) e em 5 par3
4
∙
,
tes iguais (marcando 4). Se queremos
4
5
então estamos interessados em encontrar
3
4
4
“
de
”, ou seja, devemos pegar
da re4
5
5
3
presentação correspondente aos , o que pode
4
ser obtido por uma intersecção, como mostra a
sequência de figuras:
.
3
pelas linhas
das colunas marcadas em
4
4
marcadas em
, ou seja, pelo numerador da
5
primeira fração e o numerador da segunda.
Raciocínio análogo justifica o denominador
da fração resultante, 20, obtido do produto de 4 por 5. A prática de situações semelhantes a essa favorece a compreensão do
algoritmo do produto de frações e deve ser
trabalhada, mesmo sabendo-se que o objetivo final ao longo do ano seja a mecanização
de procedimentos de cálculo sem o recurso
das barrinhas. É importante ainda destacar
que essa forma de abordagem também pode
ser feita com frações impróprias, bastando
para isso iniciar o problema separando a parte inteira da parte não inteira. Por exemplo, a
7
, que corresponde a 2 inteiros mais
fração
3
1
, pode ser representada por dois retângu3
1
los inteiros mais
de outro retângulo. Com
3
essa representação, basta repetir os procedimentos descritos anteriormente que pode7
por
remos indicar o produto da fração
3
outra fração com o uso de figuras.
Também no que diz respeito à divisão de
frações, muitas estratégias podem ser utilizadas. Apresentaremos na sequência um
problema que favorece a utilização de argumentos geométricos para a compreensão
do algoritmo.
Na contagem final de quadradinhos para
representar a fração resultante da operação,
12
, o numerador 12 foi obtido do produto
20
Problema: Se
para pintar
2
de uma lata de tinta dão
3
3
de uma parede, que fração da
4
parede conseguirei pintar com 1 lata de tinta?
32
MAT_CP_6a_vol1_FINAL.indd 32
4/16/09 4:35:29 PM
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Fazendo uma analogia com inteiros, se o
problema se referisse a 2 latas de tinta dando
para pintar 6 paredes, com 1 lata pintaríamos
3 paredes, o que pode ser concluído pela conta 6 ÷ 2 = 3. Transferindo-se essa interpretação para o caso do problema, nossa resposta
3
2
÷
, que
pode ser obtida com a divisão
4
3
3
4
também pode ser denotada por
.
2
3
Se dividirmos a lata de tinta em 3 partes iguais, o problema nos diz que 2 delas
foram utilizadas. Dividindo-se a parede em
4 partes iguais (linhas horizontais na figura
a seguir), se subdividirmos cada parte da parede em 2 (pois foram utilizadas 2 partes de
tinta), a parede estará dividida em 4 . 2 = 8
partes. Podemos imaginar, portanto, que
cada parte de tinta permite pintar 3 dessas
partes da parede. Logo, a lata inteira, que
tem 3 partes, permite pintar 3 . 3 = 9 das
partes da parede. Então, a fração da parede
pintada será igual a:
3
9
3.3
4
=
, em que 4 . 2 é o número
=
8
4.2
2
3
de partes em que foi dividida a parede e 3 . 3 é
o total das partes que serão pintadas usando a
3 3
3.3
=
. , obtivemos
lata inteira. Como
4 2
4.2
uma expressão com produto de frações que é
equivalente à expressão inicial de divisão de
6
7
frações. Essa equivalência pode ser utilizada
para justificar o algoritmo de divisão de frações: “multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração”.
Outra estratégia que pode ser utilizada para
justificar a regra da divisão de frações faz uso
da ideia de frações equivalentes. Sabendo-se que
multiplicar numerador e denominador de uma
fração por um mesmo número gera uma fração
equivalente, então, no caso da fração6
3
4
2
3
,
para transformá-la em uma fração com numerador e denominador inteiros temos de
multiplicar numerador e denominador por
um número que seja simultaneamente múltiplo de 4 e de 3. Como m.m.c. (4, 3) = 12,
um múltiplo7 que cumpre nosso objetivo
é o 12. Note que, multiplicando-se numerador e denominador da fração por 12, a
regra prática de divisão de frações também
aparece naturalmente:
Lembramos mais uma vez que estamos convencionando a notação de fração como uma divisão, não necessariamente
entre inteiros.
O m.m.c. é o menor múltiplo que resolve nosso problema, contudo, é importante que os alunos percebam que
qualquer múltiplo comum resolveria a questão.
33
3
4
2
3
12 .
=
12 .
3
4
2
3
=
3
3
9
3.3
∙
=
=
4
2
8
4.2
O trabalho com exercícios de multiplicação
e divisão de frações deve ser feito com dois objetivos: fixação das regras práticas e aplicação
em situações-problema. Em um primeiro momento, é desejável que seja dada maior ênfase
à resolução de situações-problema do que à
fixação das regras, uma vez que por meio das
estratégias particulares utilizadas pelos alunos a regra prática poderá ganhar significado
naturalmente. A seguir apresentamos uma
pequena lista de problemas interessantes no
contexto desse assunto.
3
de uma
1. João colocou em uma jarra
4
garrafa de refrigerante. O conteúdo
da jarra foi repartido igualmente entre
6 pessoas. Calcule a fração do refrigerante que havia inicialmente na garrafa
que coube a cada uma das 6 pessoas.
1
8
1
de hora para terminar
4
suas três tarefas de casa. Se ela dividir
igualmente o tempo entre as tarefas,
quantas horas ela terá de dedicar a
cada uma?
2. Laura tem 3
1
1
e horas, ou ainda, sabendo-se que
12
12
de 60 minutos são 5 minutos, 1h05.
1e
Este problema sinaliza a importância de trabalhar a linguagem dos números mistos.
34
3. Rita comprou chocolate a granel e pa3
de quilo. Qual o
gou R$ 7,20 por
4
preço do quilo do chocolate que Rita
comprou?
R$ 9,60. Este problema sugere a importância de trabalhar contextos em que apareçam
tanto números com vírgula quanto frações.
7
do tanque A usan4. Podemos encher
8
2
do
da água contida no tanque B.
3
Supondo-se o tanque A completamente
vazio, que fração do tanque B seria necessária para encher o tanque A?
16
21
Considerações sobre a avaliação
Espera-se que ao final desta Situação de
Aprendizagem o aluno esteja habilitado a
operar multiplicações e divisões com frações. O reconhecimento e a interpretação
dessas operações devem ser trabalhados
com o uso de recursos geométricos (partições de barras), porém também é desejável
que o aluno comece gradativamente a trabalhar com destreza a multiplicação e a divisão de frações.
O professor pode avaliar a aprendizagem
por meio de provas e também de fichas de
exercícios, mas deve ter em vista que a incorporação plena das estratégias de cálculo com
multiplicação e divisão de frações só se dará
ao longo do ano, com a retomada do assunto
em outros momentos.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Recomenda-se também que o professor
trabalhe expressões numéricas com frações,
mas, sempre que possível, é preferível que
esse trabalho seja feito por meio de situaçõesproblema nas quais o aluno deve encontrar
(e resolver) uma expressão que represente determinada situação.
operações com decimais e com frações e sai-
Ao final da 6ª- série espera-se que o aluno saiba realizar isoladamente as quatro
artigos de jornais, revistas, textos dos livros
ba resolver expressões numéricas simples
envolvendo decimais e frações. Também faz
parte das expectativas de aprendizagem para
a série que ele saiba ler e interpretar informações na forma de frações ou decimais em
textos, sejam eles problemas de Matemática,
de História, Geografia, etc.
SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4
NÚMEROS NEGATIVOS: DESVENDANDO AS REGRAS DE SINAIS
tempo previsto: 2 semanas e meia.
Conteúdos e temas: números negativos: contextos e aplicações; números negativos: operações
e representações.
Competências e habilidades: identificar a insuficiência dos naturais para a resolução de novos
problemas; compreender significados associados à escrita dos números negativos, bem como
operações e expressões envolvendo números negativos; compreender a ideia de ordenação com
números negativos; estabelecer correspondência entre situações concretas e contextos matemáticos que justifiquem o uso de números negativos.
Estratégias: resolução de situações-problema; uso de jogos e recursos lúdicos.
roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
A apresentação dos inteiros negativos deve
ser feita buscando-se contextos reais em que
os números com sinais apareçam como, por
exemplo, nas escalas termométricas, na linha
do tempo ou na indicação dos andares “abaixo do térreo” de um edifício. Uma ideia que
também deve ficar clara é a de que os inteiros negativos podem ser conceituados a partir
da ideia de simetria em relação aos inteiros
positivos na reta numerada. Não por acaso
chamamos os números –3 e 3 de simétricos
(ou opostos, ou relativos) em relação à origem
da reta ordenada.
Somar números com sinais, multiplicar
número positivo por negativo e dividir número negativo por positivo são operações em
que a contextualização é quase que natural.
Alunos de 6ª- série relatam com certa facilidade situações que possam dar significado a
essas operações, como, por exemplo:
35
f uma dívida de R$ 10,00 e outra dívida de R$ 15,00 são equivalentes a
uma dívida de R$ 25,00, portanto,
(–10) + ( –15) = –25.
f se tenho R$ 240,00 no banco e dou um
cheque de R$ 300,00, ficarei com
um saldo devedor de R$ 60,00, portanto,
240 + (–300) = –60.
f três dívidas de R$ 10,00 são equivalentes a uma dívida de R$ 30,00, portanto,
3 . (–10) = –30.
f descer a profundidade de 9 metros em
relação ao nível do mar em três etapas
iguais significa dizer que em cada etapa
teremos de descer 3 metros, portanto,
–9 ÷ 3 = –3.
Uma importante ideia para o trabalho com
números negativos é a de que toda subtração pode
ser transformada em uma soma adicionando-se
o primeiro número com o oposto do segundo.
Vejamos alguns exemplos dessa passagem:
3 – 5 = 3 + (–5) = –2
5 e (–5)
são opostos
7 – (–3) = 7 + 3 = 10
(–3) e 3
são opostos
36
Em todas as situações analisadas até aqui
um dos maiores desafios didáticos, além da
busca de contextos concretos, é o trabalho
com o uso e a compreensão da linguagem.
O aluno de 5ª- série tem incorporada a ideia de
que o sinal de “menos” em 5 – 3 indica a operação de subtração e deverá compreender, a
partir de agora, que a expressão 5 – 3 pode ser
interpretada como a soma 5 + (–3). No caso
dessa nova interpretação, compreender que o
sinal que está à esquerda do número é o “sinal
do número” que deverá ser levado em consideração na hora de juntar (adicionar) “saldos
positivos” e “dívidas” é fundamental, e isso só
se concretizará para o aluno por meio de exercícios ao longo de todo o ano.
O trabalho com a análise e a compreensão
de extratos bancários adaptados geralmente
motiva os alunos e estabelece a interpretação
de algumas regras práticas de operações com
números negativos de forma natural. Para preparar atividades com extratos bancários, o professor deve esclarecer o significado de alguns
registros, como:
a) Saldo: quanto a pessoa tem na conta,
ou quanto ela deve ao banco (se o valor
for negativo).
b) Saque: valor que a pessoa retira de sua
conta, geralmente por meio de operação junto ao caixa do banco ou no caixa
eletrônico.
–10 – 4 = –10 + (–4) = –14
c) Cheque: valor que será debitado (retirado) da conta do cliente em virtude de
um pagamento a terceiros.
4 e (–4)
são opostos
d) depósito: valor que será acrescido à
conta do cliente.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Outras operações podem ser contextualizadas e, para isso, a análise de alguns extratos bancários junto com os alunos pode ser
bem ilustrativa.
Veremos a seguir uma atividade com extrato bancário em que o aluno deverá interpretar situações e significados das operações
indicadas, além de ter de fazer contas com
números negativos.
1. Ao imprimir o extrato bancário, um
cliente notou que dois campos saíram
borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a
identificar os valores borrados.
operação
Saldo
Cheque 345
Saldo (em r$)
528,00
– 145,00
Cheque 346
Saldo
310,00
Depósito
295,00
Outro tipo de operação que pode ser
contextualizada por meio de extratos
bancários é a de “retirada de uma retirada”. Imaginemos que um banco tenha
retirado indevidamente de um cliente a quantia de R$ 100,00. Esse valor
deve aparecer no extrato como “–100”.
Uma vez identificado que a retirada foi
um equívoco, o banco deve devolver ao
cliente os R$ 100,00, que do ponto de
vista contábil deve ser registrado como
uma correção equivalente a retirar a retirada indevida que foi feita. Admitindo
a conta de um cliente com R$ 500,00 de
saldo, os registros da retirada indevida e
da correção seriam assim:
operação
Saque
Saldo
R$ 420,00, o que significa que o cheque dado
foi suficiente para esgotar os R$ 605,00 e
ainda deixar negativa a conta em R$ 420,00.
Segue, portanto, que o valor do cheque foi de
605 + 420 = 1 025. Esse valor (com sinal
negativo) corresponde ao que deve ser colocado no segundo espaço borrado do extrato.
– 420,00
O cliente tinha R$ 528,00 na conta, deu um
cheque de R$ 145,00 e ficou, portanto, com
R$ 383,00. Em seguida, ele deu um cheque
de valor desconhecido e ficou com saldo de
R$ 310,00. Fazendo a conta 383 – 310 = 73,
descobre-se que o valor do cheque 346 foi
de R$ 73,00. Após o depósito de R$ 295,00,
o cliente ficou com 310 + 295 = 605. Após
efetuar um saque de valor desconhecido, seu
saldo parcial de R$ 605,00 ficou negativo em
Saldo
Retirada
Saldo
Correção
Saldo
Saldo (em r$)
500,00
–100,00
400,00
–(–100,00)
500,00
Com essa operação, o aluno deve perceber
que retirar uma retirada, que foi indicado
por –(–100,00), é equivalente a devolver
R$ 100,00, ou seja, –(–100) = 100.
37
2. Ao imprimir o extrato bancário, um
cliente notou que dois campos saíram
borrados. Analise atentamente as indicações do extrato e ajude o cliente a
identificar os valores borrados.
operação
Saldo (em r$)
–250 –(–400) – 320 = –R$ 170,00. Como o
saldo final do cliente é negativo em R$ 80,00,
segue que o depósito feito foi suficiente para
reduzir seu saldo parcial negativo de R$ 170,00
para um saldo negativo de R$ 80,00. Fazendo
a conta 170 – 80 = 90, descobrimos que o depósito indicado no segundo espaço borrado foi
de R$ 90,00.
Saldo
Cheque 165
Depósito
Saldo
Correção
Cheque 166
–380,00
560,00
–250,00
–(–400,00)
–320,00
Depósito
Saldo
–80,00
A análise desse extrato deve começar de baixo para cima, a partir do saldo negativo de
R$ 250,00. Um depósito de R$ 560,00 e um
cheque de R$ 380,00 implicam uma operação
de saldo positivo de R$ 180,00. A pergunta que
nos cabe responder agora é: qual é o saldo a
partir do qual um acréscimo de R$ 180,00 deixa como saldo final –R$ 250,00? Certamente
o saldo inicial era negativo em um valor que,
quando somado com R$ 180,00, resulta em
–R$ 250,00. O valor procurado é negativo e pode
ser obtido por meio da conta 180 + 250 = 430.
Segue, portanto, que o primeiro valor borrado é
–R$ 430,00. Partindo agora de um saldo
negativo de R$ 250,00, o banco devolveu
R$ 400,00 para o cliente por meio de uma
correção, e o cliente deu um cheque de
R$ 320,00, o que perfaz um saldo parcial de
38
Problemas de extrato bancário como
esse permitem que se trabalhe operações
com números negativos e que se introduza,
indiretamente, a ideia de equação, que também é um tema de estudo da 6ª- série.
Sempre que possível, recomenda-se que o
professor explicite aos alunos a relação intradisciplinar dos conteúdos de Matemática, ou
seja, que aponte a relação dos temas estudados com outros temas da Matemática, ou com
outras abordagens que não propriamente a do
contexto que se está estudando. Em relação ao
estudo dos números negativos, um contexto intradisciplinar que pode ser explorado é o dos
gráficos. Uma vez estabelecida a compreensão sobre ordenação dos negativos e sobre
as operações de adição e subtração com negativos, o professor pode apresentar para
os alunos o plano ortogonal ordenado com
números inteiros e problemas envolvendo situações concretas com números inteiros apresentados em gráficos de barras ou de linhas.
A seguir apresentamos algumas propostas
de atividades que exploram a intradisciplinaridade entre o estudo dos números negativos e
a análise e interpretação de gráficos.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
3. O gráfico indica o lucro mensal da sorveteria Ki-Fria ao longo dos oito primeiros
meses de um ano. Analise o gráfico e responda as perguntas abaixo.
4. O gráfico indica o número de gols que
um time fez e sofreu em dez partidas
do Campeonato Brasileiro de Futebol.
Calcule o saldo de gols desse time por partida, e o saldo geral de gols nas dez partidas.
Lucro da sorveteria Ki-Fria
10 000
5 000
0
13 400
12 000
Gols Pró
6
7 500
2 400
Janeiro Fevereiro Março Abril
Gols Contra
5
4 000
Junho Julho Agosto
4
Maio
Gols
15 000
–5 000
–10 000
–7 000
2
–15 000
–20 000
3
1
–16 500
–18 000
a) Qual o lucro total da Ki-Fria nos
oito meses?
–R$ 2 200,00 (vale comentar com os alunos que podemos nos referir ao valor negativo como “lucro negativo de R$ 2 200,00”,
ou como “prejuízo de R$ 2 200,00”.
b) Qual o lucro médio mensal da sorveteria no período analisado?
(−2200) ÷ 8 = −R$ 275,00.
c) Sabe-se que o lucro de janeiro foi publicado errado e que com a correção
o lucro nos oito meses analisados
passa a ser de R$ 1 500,00. Determine
qual seria o lucro correto de janeiro
após a correção.
−2 200 − 12 000 = −14 200 (se o lucro em
janeiro fosse zero, o saldo nos oito meses
seria negativo em R$ 14 200,00). Queremos
um lucro em janeiro que liquide o saldo
negativo total de R$ 14 200,00 e que ainda deixe um lucro positivo no período de
R$ 1 500,00, ou seja, o valor procurado
é 14 200 + 1 500 = R$ 15 700,00.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Partida 1: −1 Partida 2: 3 Partida 3: −2
Partida 4: −2 Partida 5: 1 Partida 6: −2
Partida 7: 0
Partida 8: –3 Partida 9: 1
Partida 10: –3
Saldo geral: –8 gols
Quanto à multiplicação e à divisão de números com sinais, caberá aqui uma análise
mais detalhada e, de preferência, com o uso
de abordagens diversificadas. Nós nos deteremos em apresentar apenas algumas propostas
para a discussão sobre o “produto de números
negativos” tendo como resultado “um número
positivo”, porque a divisão decorre naturalmente desse resultado, levando-se em consideração que toda divisão pode ser transformada
em uma multiplicação, como se pode observar
nos exemplos a seguir:
3 ÷ 2 = 3 . 0,5 ou 3 .
5 ÷ 6 = 5 . 0,16 ou 5 .
1
2
1
6
39
Discutiremos três estratégias diferentes
para a discussão sobre a regra de sinais na
multiplicação de números negativos e, em seguida, apresentaremos uma proposta lúdica
para a fixação de ideias relacionadas às operações e à ordenação de números com sinais.
1ª- estratégia: regularidades
Investigando regularidades na sequência a
seguir o aluno deve perceber que:
a) estamos diminuindo sempre uma unidade no primeiro fator da multiplicação;
b) estamos mantendo constante o segundo fator da multiplicação;
y
1
0
-a
x
-b
Se os segmentos são paralelos, os lados
dos triângulos formados pelos segmentos e
pelos eixos são proporcionais. Chamando de
–a
P .
P o ponto verde, temos que:
Multi=
1
–b
plicando-se os dois membros da igualdade
por (–b), concluímos que P = (–a) . (–b).
Esse resultado sugere que (–3) . ( –2)= 6.
c) o produto aumenta sempre 3 unidades.
Com isso, espera-se que ele preencha a lacuna e possa concluir que multiplicar dois números negativos resulta em um número positivo.
P
y
1
–3
(–3) . (–2) = 6
0
x
–2
4 . (–3) = –12 3 . (–3) = –9 2 . (–3) = – 6
1 . (–3) = –3 0 . (–3) = 0 –1 . (–3) =
2ª- estratégia: plano cartesiano e
proporcionalidade8
1. Admita que os segmentos indicados em
vermelho sejam paralelos. Determine a
localização do ponto marcado em verde e, em seguida, repita o procedimento
mostrando que –3 . (–2) = 6.
8
40
3ª- estratégia: busca de contexto
Imagine um tanque que possa ser esvaziado
por torneira de vazão –1 litro por minuto (o sinal de menos indica que o líquido é retirado do
tanque) e enchido por torneiras de vazão 1 litro
por minuto. Se podemos livremente colocar nesse tanque qualquer quantidade dessas torneiras,
fica evidente que, para efeito de manutenção do
fluxo de água no tanque, “retirar uma torneira de
vazão –1 l/min” é equivalente a “acrescentar uma
torneira de vazão 1 l/min”.
A situação descrita nesta atividade necessita de dois pré-requisitos de conteúdo: conhecimento sobre o plano
ordenado e a localização de pontos, e conhecimento sobre proporcionalidade. Ambos são temas da 6a série que, se
já tiverem sido discutidos pelo professor, possibilitarão o uso dessa estratégia. Vale lembrar também que, para o uso
dessa estratégia, o professor terá de estabelecer a proporcionalidade não com a ideia de “distância” (valor positivo),
mas sim com a de segmento orientado, em que o sinal deve ser levado em consideração.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
Utilizando a linguagem numérica, teremos:
que –1 . (–1) = 1, e da ideia de que – (–1) = 1,
essa apresentação também tem a vantagem de
constituir uma reformulação numérica da demonstração formal de que (–a) . (–b) = a . b,
encontrada em muitos livros.
“retirar uma torneira de vazão
–1 l/min” ⇒ –(–1)
“acrescentar uma torneira de vazão
1 l/min” ⇒ +1
Como dissemos anteriormente, a regra de
sinais da divisão de números negativos sai automaticamente da regra de sinais do produto
porque toda divisão pode ser convertida em
multiplicação. Por exemplo, sabemos que
–12 ÷ (–4) = 3 porque –12 ÷ (–4) é equivalente
a –12 . (–0,25), cujo resultado é 3 (trata-se de
um produto de números negativos).
Portanto, segue que –(–1) = 1.
O fluxo de zero torneira de vazão –1, que
é igual a zero, pode ser indicado da seguinte
maneira: 0 . (–1) = 0.
Uma vez que podemos interpretar zero
torneira como colocar e retirar uma torneira,
podemos representar a nova expressão por:
(1–1) . (–1) = 0.
Na 6ª- série, além de ampliar seus conhecimentos numéricos, o aluno aprende uma
série de novas representações de números e
operações numéricas. Em particular, as frações negativas são responsáveis por algumas
confusões por unirem duas novas linguagens
trabalhadas na série, a das frações e a dos números negativos.
a
,
Assim, mostrar a equivalência entre –
b
–a
a
e
torna-se necessário e é uma interesb
–b
sante oportunidade para retomar a ideia de
fração como representação do resultado de
uma divisão, e das regras de sinais nas operações com inteiros. Observe como isso pode ser
feito em termos numéricos:
Utilizando a propriedade distributiva no
produto, sabemos que a expressão é equivalente a: 1 . (–1) –1 . (–1) = 0.
Uma vez que 1 . (–1) é igual a “um negativo”9 e sabendo-se que o resultado da conta
que está do lado esquerdo do sinal de igual
tem de ser zero, então, necessariamente –1 . (–1)
tem de ser igual a 1:
1 . (–1) – 1 . (–1) = 0
–1
Como 1 . (–1) é igual a –1, então, –1
(–1) tem que ser o simétrico de –1
para que a igualdade seja nula. Ocorre
que o simétrico de –1, que pode ser
representado por –1 . (–1) é 1.
−
12 12
=
− −(12
=
÷
−(412
) =÷−43) = −3
4
4
12
−12
− =
−(12 ÷ 4) = −3
= −12 ÷ 4 =
−3
Além4 de contextualizar o produto4de números negativos por meio da verificação de
9
−12 −12
12
12
= −12=÷−412
=
÷
−34 =
−3
= 12 ÷
4
4
−4 −4
12
= 12 ÷ (−4) =
−3
−4
A contextualização do produto de positivo por negativo foi citada no início da atividade.
41
Veremos a seguir uma brincadeira que
pode ser feita na sala de aula para o treino de
cálculo com números negativos. O professor
deve dividir as carteiras da classe em pares
de fileiras. Por exemplo, em uma situação
com 36 alunos, arranje-os em quatro fileiras
e marque no chão duas linhas numeradas de
–6 a 6. O jogo será disputado entre os pares
de fileiras separadas pelas linhas numeradas
(veja figura).
o 0, o aluno B dá ordem “ande 2”, A vai para
2, C vai para 0, D dá ordem “ande –3”, B vai
para –3, etc. Depois que o último aluno tiver
se movimentado, o primeiro dá ordem para
o mesmo aluno que havia dado a primeira
ordem, e assim sucessivamente.
Depois que os alunos ganharem prática
com os movimentos, o professor poderá dificultar as coisas estabelecendo regras para os
movimentos como, por exemplo, “quero movimentos que façam duplas em um mesmo
número da reta”, “quero movimentos que coloquem todos os alunos em correspondência
com números pares”, etc.
Alguns outros jogos para fixação das operações com números negativos podem ser
encontrados nos livros didáticos e, em geral,
motivam os alunos para a aprendizagem.
Considerações sobre a avaliação
O trabalho com números negativos certaOs primeiros alunos das filas à direita das
linhas irão para a posição 0, e os primeiros
alunos das filas à esquerda das linhas darão
ordens para esse aluno do tipo “ande 3”,
“ande 2”, “ande –5”, etc. Depois do movimento, os segundos alunos das filas à direita ocupam a posição 0 e os segundos alunos
das filas à esquerda dão ordens de movimento para eles. Depois de duas ou três séries
completas de ordens dos alunos das filas à
esquerda, todos voltam aos seus lugares e
agora os alunos das filas à direita dão ordens
de movimentos para os das filas à esquerda.
Exemplo de movimento: o aluno A vai para
42
mente deverá ser retomado pelo professor ao
longo do ano em outros momentos para que
haja fixação de conceitos por parte do aluno,
bem como para que se desenvolva a destreza
no cálculo com negativos. No momento em
que o assunto é introduzido, o professor deve
dar menor atenção à avaliação de extensas
expressões numéricas envolvendo números
negativos, e maior atenção ao reconhecimento da linguagem e uso correto da escrita.
A partir da compreensão da relação existente entre a escrita das operações com negativos e o seu cálculo formal, o caminho para a
aprendizagem se torna mais tranquilo.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
As duas semanas reservadas para o assunto
no bimestre certamente não serão suficientes
para uma aprendizagem definitiva das regras
de operação com números negativos, porém,
na perspectiva de currículo em espiral, insistimos para o professor que contemple em seu
planejamento a retomada do assunto em diversos outros momentos do curso.
A avaliação da aprendizagem de operações com números negativos pode ser feita
por meio de provas, listas de exercícios e
da própria observação do professor sobre
a ação do aluno durante atividades lúdicas
que ele aplicar em sala de aula.
Um contexto que também pode ser utilizado para avaliação nas aulas introdutórias
sobre o assunto é o de trabalhos em que o
aluno tenha de procurar matérias em jornais,
revistas e livros em que apareçam números
negativos. Para atividades dessa natureza, o
aluno poderá ser orientado para:
f localizar material em que apareçam
números negativos;
f registrar com suas palavras o que compreendeu sobre os números e a informação a que se referem.
ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO
De forma geral, recomenda-se, com relação à recuperação, que o professor diversifique os instrumentos e/ou as estratégias
didáticas. Assim, por exemplo, caso tenha
optado por trabalhos em grupo na primeira
Situação de Aprendizagem, a recuperação
pode centrar-se em trabalhos individuais. Por
outro lado, caso tenha optado por provas, a
recuperação pode ser realizada por meio de
trabalhos em grupo.
Utilizando-se o mesmo princípio, a recuperação para a Situação de Aprendizagem 2
pode tomar por base a inserção de um novo
recurso didático, no caso a calculadora. Por
meio de uma atividade experimental com esse
instrumento, o professor poderá desencadear
uma situação na qual os alunos levantem
suas hipóteses sobre o significado de frações
como divisões, bem como sobre o significado
de frações equivalentes.
Com relação aos alunos que não atingiram as expectativas nas duas últimas Situações de Aprendizagem desenvolvidas para
o bimestre, o professor pode propor novas
listas de exercícios, diversificando estratégias de abordagem dos conceitos. Para isso,
pode apoiar-se também em livros didáticos
que apresentem propostas diferenciadas sobre o assunto e, portanto, possam ser utilizados como recurso para o preparo de listas de
exercícios e avaliações para alunos em processo de recuperação.
43
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E
DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA
Referências bibliográficas para aprofundamento:
FOMIN, I. Sistemas de numeração. São
Paulo: Atual, 1995.
COSTA, E. M. da. Matemática e origami:
trabalhando com frações. Rio de Janeiro:
Ciência Moderna, 2007.
EXPERIêNCIAS Matemáticas 5ª- série.
São Paulo: SE/CENP, 1994.
GUELLI, O. Números com sinais: uma grande invenção. São Paulo: Ática, 1995. (Coleção
Contando a história da Matemática, no- 7).
IFRAH, Georges. Os números, a história de
uma grande invenção. São Paulo: Globo, 1998.
Conteúdos
Sistema de numeração na
Antiguidade
Frações
44
IMENES, L. M.; Jakubovic, J.; Lellis, M.
Números negativos. São Paulo: Atual, 1996.
(Coleção Para que serve a Matemática?).
IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: os
números na história da civilização. São Paulo:
Scipione, 1989.
IMENES, L. M. Vivendo a Matemática: a numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 1989.
SMOOTHEY, M. Números. São Paulo:
Scipione, 1995. (Coleção Investigação matemática).
A tabela a seguir mostra onde estão contemplados os conteúdos do 1º- bimestre da 6ª- série,
nas edições de Experiências Matemáticas:
Atividade
(5a série) 1 e 2
(5a série) 23, 27, 29
(6a série) 13, 14
Números decimais
(5a série) 17, 18, 22
Números negativos
(6a série) 4, 5, 9
Página
17 e 29
225, 271, 293
159, 169
157, 165, 215
49, 63, 111
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
CONSIDERAçÕES FINAIS
Os conteúdos do 1º- bimestre da 6ª- série estão todos relacionados ao eixo números, incluindo a aprendizagem de novos números, de outras
operações com números já conhecidos e de uma
ampliação no campo das representações.
O professor deve estar atento ao fato de
que a consolidação das ideias trabalhadas no
bimestre só ocorrerá ao longo do ano letivo. É
de esperar, por exemplo, que, ao final do 1º- bimestre, muitos alunos ainda não estejam com
destreza e agilidade nos novos cálculos com números negativos, frações e decimais, o que não
implica dizer que não houve aprendizagem.
Diversificar os instrumentos avaliativos contribuirá não só para possibilitar ao aluno diferentes meios de expressar sua compreensão
dos conceitos, como também para que o professor avalie adequadamente a distância entre
a aprendizagem realizada e a aprendizagem
que se espera acerca dos temas tratados. Nesse sentido, sugere-se, além das provas, que se
avaliem listas de exercício, os registros feitos
pelos alunos (caderno, tarefas de casa, anotações pessoais) e a produção dos grupos de
trabalho. No que diz respeito às produções
feitas em pequenos grupos, é importante que,
a partir de objetivos bem definidos, o professor possa fazer observações sobre a participação solidária dos integrantes, a organização
dos grupos, a prontidão diante das instruções
dadas etc. O tema “sistemas de numeração de
povos antigos” nos parece bastante apropriado para trabalhos em equipe, uma vez que os
alunos podem investigar, do ponto de vista
matemático, sistemas de numeração não trabalhados em classe (gregos, hebreus, chineses). Outra atividade interessante que pode ser
feita é a criação de sistemas de numeração por
parte dos alunos. Para isso, é importante que
o professor defina com clareza as regras para
que o trabalho tenha consistência. Um exemplo de regras que podem cumprir tal objetivo
é: o sistema tem de ser posicional e com uma
base que não seja 10.
A seguir, relacionamos os conteúdos específicos do bimestre, que devem ser avaliados
segundo a grade proposta e suas respectivas
expectativas de aprendizagem:
f Sistema posicional de numeração: o aluno deve conseguir fazer a transposição da
linguagem oral para a linguagem da escrita numérica e compreender o seu significado. Por exemplo, ele deverá saber que
23,58 são 2 dezenas, 3 unidades, 5 décimos
da unidade e 8 centésimos da unidade.
f Números decimais: a soma, a subtração e a multiplicação de decimais
devem estar sistematizadas e a divisão deverá estar bem encaminhada.
Entende-se por “bem encaminhada” a
compreensão de que toda divisão de
decimais pode ser feita dividindo-se
números inteiros específicos. Pequenos
erros no algoritmo da divisão ainda
podem ser tolerados neste momento,
45
mas devem servir de sinalizador para
o professor da necessidade ou não de
retomada do assunto.
f Frações: o aluno deve saber multiplicar
e dividir frações. É possível que, ao sistematizar a multiplicação de frações, o
professor identifique alunos que estejam
errando a operação de soma de frações
avaliando equivocadamente, por analogia, que somar frações é “somar numerador com numerador e denominador
com denominador”. Outro equívoco
frequente que também pode ocorrer neste momento é o de transformar as frações de uma multiplicação em frações
de mesmo denominador. Nesse caso, o
aluno está transferindo por analogia os
procedimentos da adição de frações para
a multiplicação. É importante que o professor sinalize que nesse caso o equívoco
46
não implica erro, mas dificulta desnecessariamente os cálculos.
f Outro aspecto importante que deve ser
avaliado refere-se à compreensão dos novos significados atribuídos às frações.
f Números negativos: o aluno deverá conseguir fazer as quatro operações com
inteiros de forma isolada. Ao longo do
ano deseja-se que ele consiga fazer essas
operações em expressões, mas, para isso,
ele deverá incorporar com segurança as
convenções de linguagem.
Por fim, é importante que se diga que, na
medida do possível, o professor deverá trabalhar os conteúdos de maneira contextualizada
e desafiadora, e um bom caminho metodológico para isso é o explorar situações-problema
com significado e que exijam reflexão crítica
por parte do aluno.
Matemática – 6ª- série, 1o bimestre
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE/BIMESTRE
DO ENSINO FUNDAMENTAL
4o- bimestre
3o- bimestre
2o- bimestre
1o- bimestre
5a- série
nÚMEroS nAturAiS
- Múltiplos e divisores.
- Números primos.
- Operações básicas.
- Introdução às potências.
FrAçõES
- Representação.
- Comparação e
ordenação.
- Operações.
nÚMEroS dECiMAiS
- Representação.
- Transformação em fração
decimal.
- Operações.
6a- série
nÚMEroS nAturAiS
- Sistemas de numeração na
Antiguidade.
- O sistema posicional decimal.
nÚMEroS intEiroS
- Representação.
- Operações.
nÚMEroS rACionAiS
- Representação fracionária e
decimal.
- Operações com decimais
e frações.
7a- série
nÚMEroS rACionAiS
- Transformação de decimais
finitos em fração.
- Dízimas periódicas e
fração geratriz.
PotEnCiAção
- Propriedades para
expoentes inteiros.
8a- série
nÚMEroS rEAiS
- Conjuntos numéricos.
- Números irracionais.
- Potenciação e radiciação
em IR.
- Notação científica.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- A linguagem das potências.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Ângulos.
- Polígonos.
- Circunferência.
- Simetrias.
- Construções geométricas.
- Poliedros.
álGEbrA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
- Produtos notáveis.
- Fatoração algébrica.
álGEbrA
- Equações do 2º- grau:
resolução e problemas.
- Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
- Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1º- e 2º- graus.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Formas planas e espaciais.
- Noção de perímetro e área
de figuras planas.
- Cálculo de área por
composição e decomposição.
nÚMEroS/
ProPorCionAlidAdE
- Proporcionalidade direta e
inversa.
- Razões, proporções,
porcentagem.
- Razões constantes na
geometria: .
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Gráficos de setores.
- Noções de probabilidade.
álGEbrA/EQuAçõES
- Equações de 1º- grau.
- Sistemas de equações e
resolução de problemas.
- Inequações do 1º- grau.
- Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEoMEtriA/MEdidAS
- Proporcionalidade, noção
de semelhança.
- Relações métrica entre
triângulos retângulos.
- Razões trigonométricas.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
- Média aritmética.
- Problemas de contagem.
álGEbrA
- Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
- Conceito de equação.
- Resolução de equações.
- Equações e problemas.
GEoMEtriA/MEdidAS
- Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
- Área de polígonos.
- Volume do prisma.
GEoMEtriA/MEdidAS
- O número π; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo.
- Volume e área do cilindro.
SiStEMAS dE MEdidA
- Comprimento, massa e
capacidade.
- Sistema métrico decimal.
trAtAMEnto dA
inForMAção
- Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.
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