CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação
Programa de Mestrado em Modelagem
Matemática e Computacional
Otimização de um Sistema de
Controle Conjunto de Geração
de Energia Hidrelétrica com o
emprego de Inteligência
Computacional
Dissertação de Mestrado, submetida ao Programa
de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e
Computacional, como parte dos requisitos exigidos
para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional.
Aluna: Carolina Gil Marcelino
Orientador: Prof. Dr. Paulo Eduardo Maciel de Almeida
Belo Horizonte - MG
Dezembro de 2012
Folha de aprovação.
Será fornecida pelo Programa de Pós-Graduação e
deverá substituir esta página.
ii
A474m
Marcelino. Carolina Gil, 1984Otimização de um Sistema de Controle Conjunto de Geração de Energia
Hidrelétrica com o emprego de Inteligência Computacional/ Carolina Gil
Marcelino - Belo Horizonte: CEFET-MG, 2012.
f. : il.
Inclui Bibliografia.
Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional)
- Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Orientador: Paulo Eduardo Maciel de Almeida.
1 - Otimização. 2 - Usinas Hidrelétricas. 3 - Inteligência Computacional. 4 - Algoritmos Evolutivos. 5 - Metaheurísticas. E.M. Almeida,
Paulo. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. III.
Título.
CDU 657.31
iii
“Não há maior demonstração de insanidade do que fazer a mesma coisa,
da mesma forma, dia após dia, e esperar resultados diferentes”.
(Albert Einstein)
iv
A Deus, o autor da vida.
A meus pais Herbert e Marília,
que me deram direito a vida.
Aos meus irmãos e amigos,
que trazem alegria a vida.
v
Agradecimentos
Agradeço a Deus, pelas suas infinitas misericórdias que se renovam a cada manhã,
por ter me guardado até aqui, e me agraciado com pessoas maravilhosas no caminho.
Aos meus pais Herbert e Marília pelo investimento de amor incondicional, carinho
e confiança dedicados à mim em todos estes anos.
Ao meu irmão Herbert Filho por estar comigo me alegrando nos momentos difíceis. Aos meus irmãos Camila e Thiago pelo incentivo e carinho, mesmo estando
distantes fisicamente. A minha irmã de coração Débora, pelas aulas de inglês, traduções, revisões, carinho e amizade. Aos meus amigos Elisângela, Armando, Ana
Paula, Poliana, Johnathan, Gabriela, Marcos, Amanda, Iuri, Daniel e Katiúscia por
todo incentivo e carinho. Aos meus familiares.
Ao singular Prof. Paulo Eduardo Maciel de Almeida, pela excelente orientação, paciência e confiança depositada no desenvolvimento deste trabalho. Por ter
sido mais que orientador, por ter sido como um pai, por ter me cobrado em muitos
momentos e me encorajando a seguir em frente transmitindo conhecimentos não só
teóricos, como também de vida.
Às professoras Hersília de Andrade e Santos e Elizabeth Fialho Wanner, pelos
conhecimentos transmitidos referentes a hidráulica e estatística, respectivamente.
Aos demais professores do PPGMMC, por transmitirem conhecimentos valiosos, em
cada disciplina vista no decorrer do curso. À Lenise, por toda atenção e carinho.
Aos companheiros de projeto de Pesquisa & Desenvolvimento Daniel Pereira e
Pedro Abrão, por todos os dias dedicados ao P&D, sobretudo pela amizade concretizada neste tempo. À CEMIG, na pessoa de Marcelo Abrantes e equipe, pela
confiança depositada, envio de dados e apoio financeiro. À ORTENG, na pessoa de
Pedro Lopes e equipe, por todo auxílio e tempo dedicados.
Aos novos amigos conquistados no CEFET-MG, Juliana, Flávia, Nilmar, José
Maurício, Sophia, Giselle Paranhos, Lillia, Gisele Xavier, Sílvia e Francielly, por todos os momentos de apoio mútuo. Aos professores e servidores do DECOM, Thiago
Souza, João Sarubbi, Adelson de Paula, Claudia Reis e Natália Vasconcelos pelo
apoio incondicional. Aos meus alunos do médio integrado, pelo respeito e carinho.
À todos, o meu muitíssimo obrigada.
vi
Resumo
O avanço do situação economica no Brasil, embasado no aumento da demanda
interna e na perspectiva de maior volume de investimentos, juntamente com o crescimento da população, o consumo das famílias e as oportunidades ligadas aos setores
de infraestrutura, fazem com que a necessidade de uma maior demanda de energia elétrica seja produzida a cada ano. Em produção de energia é comum usar o
termo "despacho elétrico". Neste contexto, uma programação de despacho ótimo
de unidades de geração hidrelétrica, cujo objetivo é a maximização da produção de
energia satisfazendo as condições de operação do sistema, faz com que uma maior
quantidade de potência elétrica possa ser gerada com o mínimo de vazão de água
possível em cada unidade produtiva. Esta é uma situação onde se busca obter eficiência energética. O escopo deste trabalho é o estudo de uma usina hidrelétrica
de grande porte, a modelagem matematica da geração hidrelétrica e a incorporação
das perdas hidráulicas inerentes aos condutos forçados. São obtidos os coeficientes operativos das unidades geradoras por meio da técnica estatística de regressão
não-linear multivariável. Além disto, são obtidas soluções de otimização com uso de
técnicas de computação evolutiva e são identificadas as melhores soluções por meio
de inferência estatística. Os algoritmos evolutivos geram populações de vazões, nas
quais cada indivíduo representa uma vazão factível para cada unidade geradora.
São apresentadas as análises dos resultados dos experimentos realizados em que o
melhor algoritmo, o DE/rand/1/bin, obteve 0,37% de economia de recursos hídricos
em simulação para uma projeção mensal. A porcentagem apresentada equivale a
uma economia de 6,3 milhões de m3 de água em um mês. Finalmente é discutida
a generalidade da modelagem proposta e as soluções encontradas pelos algoritmos
evolutivos, contemplando a possibilidade de sua utilização na solução deste mesmo
problema em usinas hidrelétricas similares ao caso de estudo aqui abordado.
PALAVRAS-CHAVE: Otimização, Inteligência Computacional, Usinas Hidrelétricas.
vii
Abstract
The increasing economic situation in Brazil, based on domestic demand rising and
prospect of more investment, together with growth population, household consumption and opportunities related to infrastructure sectors, causes a needing of a increase
of electricity demand that is produced each year. In energy production is common
to use the term "electric dispatch". In this context, a scheduling optimal dispatch
of hydroelectric generation units, whose goal is to maximize energy production satisfying the conditions of system operation, makes a larger amount of electric power
to be generated with minimal water flow, in each production unit. This is a situation
which seeks to obtain energy efficiency. The scope of this work is the study of a
a large hydroelectric plant, the mathematical modeling of hydroelectric generation
and the incorporation of hydroelectric losses inherent to penstocks. The operative
coefficients of the generating units are obtained through the statistical technique
of nonlinear regression multivariable. Moreover, optimization solutions a found by
means of evolutive computation techniques and the best techniques to solve the
problem are identified by statistics inference solutions. The evolutionary algorithms
generate populations of flows, in which each individual represents a feasible flow for
each generating unit. The analysis of the experiments results are displayed, in which
the best algorithm, DE/rand/1/bin, obtained 0,37% of saving in water resource simulation for a monthly projection. The percentage shown is equivalent to a saving
of 6,3 million m3 of water in a month. Finally we discuss the generality of the proposed modeling and the solutions found by evolutionary algorithms, contemplating
the possibility of its use in solving this same problem in hydropower plants similar
to the case study discussed here.
KEYWORDS: Optimization, Computational Intelligence, Power Plants.
viii
Lista de Abreviaturas e Siglas
AG Algoritmo Genético
AGB Algoritmo Genético Binário
AGR Algoritmo Genético Real
ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica
ANOVA Analise de Variância
DE Algoritmo de Evolução Diferencial
GMDH do inglês - Algorithm the Group Method of Data Handlind
GNU do inglês - General Public Licence
IA Inteligência Artificial
IC Inteligência Computacional
MLP do inglês - Multlayer Perceptron
MO Multiobjetivo
MW do inglês - Megawatt
ONS Operador Nacional do Sistema Elétrico
PSO do inglês - Particle Swarm Optimization
RNA Redes Neurais Artificiais
SBX do inglês - Simulated Binary Crossover
SIN Sistema Interligado Nacional
UHE Usina Hidrelétrica
ix
Sumário
1 Introdução
1.1 Contextualização . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Planejamento da Operação . . .
1.1.2 Despacho Elétrico . . . . . . . .
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Objetivo Geral . . . . . . . . .
1.2.2 Objetivos Específicos . . . . . .
1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Hipótese . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Planejamento dos Experimentos
1.4 Organização do Trabalho . . . . . . . .
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2 Fundamentação Teórica
2.1 Usina Hidrelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Descrição dos Componentes . . . . . . . . . . . .
2.2 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Otimização Mono-Objetivo . . . . . . . . . . . . .
2.3 Inteligência Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Regressão Não-Linear Multivariável . . . . . . . . . . . .
2.5 Redes Neurais Artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Algoritmo de Levenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . .
2.7 Algoritmos de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Operadores do Algoritmo Genético . . . . . . . .
2.7.3 Algoritmos de Evolução Diferencial . . . . . . . .
2.7.4 Operadores do Algoritmo de Evolução Diferencial
2.7.5 Estratégias Evolutivas do Algoritmo
de Evolução Diferencial . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Modelagem do Problema
3.1 Caracterização do Problema . . . . .
3.2 Estado da Arte . . . . . . . . . . . .
3.3 Escopo do Trabalho . . . . . . . . . .
3.4 Modelagem Matemática . . . . . . .
3.4.1 Modelo de Perdas Hidráulicas
3.4.2 Cálculo de Queda de Líquida
x
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3.5
3.4.3 Modelo de Rendimento
3.4.4 Modelo de Produção .
3.4.5 Modelo de Otimização
Considerações Finais . . . . .
de Turbina
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4 Estudo de Caso: UHE Instalada no Brasil
4.1 Dados reais da UHE . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Vazão Turbinada . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Potência Ativa . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Demanda Média do Período . . . . . .
4.1.4 Limites nas variáves do Sistema . . . .
4.2 Algoritmos Propostos . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Algoritmo Genético Binário Proposto .
4.2.2 Algoritmo Genético Real Proposto . .
4.3 Algoritmos de Evolução Diferencial Propostos
4.4 Modelo de Simulação Proposto . . . . . . . .
4.5 Experimentos Realizados . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Demanda Diária variada . . . . . . . .
4.5.2 Demanda Diária única . . . . . . . . .
4.5.3 Demanda Horária . . . . . . . . . . . .
4.6 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . .
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5 Análise Comparativa dos Algoritmos
5.1 Comparação estatística com gráfico de caixa . . . . . .
5.2 Método de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Análise multiobjetivo de um problema mono-objetivo .
5.4 Projeção de economia e de aumento na geração elétrica
5.4.1 Economia de recursos hídricos . . . . . . . . . .
5.4.2 Aumento na Geração Hidrelétrica . . . . . . . .
5.5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Conclusões e Trabalhos Futuros
92
Referências
95
A Dados dos Experimentos
100
A.1 Experimentos de Demanda Diária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.2 Experimentos de Demanda Horária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
xi
Lista de Tabelas
3.1
3.2
3.3
Parâmetros para exemplo de cálculo de perdas . . . . . . . . . . . . . 43
Coeficientes da Função dados pela RNA . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Coeficientes operativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Parâmetros do AGB . . . . . . . . . . . . . . . .
Parâmetros do AGR . . . . . . . . . . . . . . . .
Parâmetros de Inicialização dos Algoritmo DE . .
Resultados do Experimento Demanda diária única
Resultados do Experimento Demanda Horária . .
5.1
Tabela ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.1 Resultados - AGB . . . . . . . . . . . . .
A.2 Resultados - AGR . . . . . . . . . . . . .
A.3 Resultados - DE/best/1/bin . . . . . . .
A.4 Resultados - DE/rand/1/bin . . . . . . .
A.5 Resultados - DE/rand-to-best/2/bin . .
A.6 Resultados - Algoritmo DE/best/2/bin .
A.7 Resultados - Algoritmo DE/rand/2/bin .
A.8 Resultados - Algoritmo DE/best/1/exp .
A.9 Resultados - DE/rand/1/exp . . . . . . .
A.10 Resultados - DE/rand-to-best/2/exp . .
A.11 Resultados - Algoritmo DE/best/2/exp .
A.12 Resultados - DE/rand/2/exp . . . . . . .
A.13 Resultados Função Objetivo - Algoritmos
A.14 Tempo de Execução por Algoritmo . . .
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107
108
109
110
111
112
113
114
Lista de Figuras
1.1
1.2
Oferta interna de Energia Elétrica por fonte no Brasil . . . . . . . . .
Planejamento da Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Usina Hidrelétrica de Três Marias . . . . . . . . . . .
UHE Itaipu - Corte lateral . . . . . . . . . . . . . .
Turbina Kaplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva de Rendimento de unidade geradora . . . . . .
Taxonomia da Inteligência Artificial (Almeida, 2011)
RNA em formato de árvore binária . . . . . . . . . .
Esquema de execução do Algoritmo Genetico . . . . .
Representação gráfica do Método da Roleta . . . . .
Ideia geral do Método do Torneio . . . . . . . . . . .
Exemplo de Cruzamento binário de corte único . . .
Exemplo de operação de Mutação binária . . . . . . .
Estratégias de Evolução Diferencial . . . . . . . . . .
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Corte em usina, com tubulações expostas à jusante da barragem . .
Aumento da perda de carga em tubulações com curvas poligonais .
Exemplo de Conduto Forçado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Processo de Vetorização da Curva de Colina . . . . . . . . . . . . .
Gráfico dos pontos vetorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curva de Rendimento - Usando parâmetros da RNA . . . . . . . . .
Resultado da Regressão Linear Multivariável . . . . . . . . . . . . .
Gráfico dos pontos calculados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Superposição entre pontos vetorizados e pontos calculados . . . . .
Generalização da Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Superposição: Generalização X Vetorização . . . . . . . . . . . . . .
Processo de obtenção de um modelo matemático a partir de dados
construtivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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37
41
42
46
47
48
49
49
50
51
51
Exemplo de Alelo . . . . . . . . . . . . . .
Modelo de Simulação Proposto . . . . . .
Gráfico Típico de Potência Variada Gerada
Gráfico Típico de Vazão Turbinada . . . .
Gráfico Típico de Potência Gerada (UN) .
Gráfico Típico de Vazão Turbinada (UN) .
AGB - Potência Gerada . . . . . . . . . .
AGB - Vazão Turbinada . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
xiii
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1
3
. 52
60
62
63
64
64
65
67
67
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
AGB - Potência Gerada(UN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AGB - Vazão Turbinada (UN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AGR - Potência Gerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AGR - Vazão Turbinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AGR - Potência Gerada(UN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AGR - Vazão Turbinada (UN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/rand/1/bin - Potência Gerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/rand/1/bin - Vazão Turbinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/rand/1/bin - Potência Gerada(UN) . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/rand/1/bin - Vazão Turbinada (UN) . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/best/1/bin - Potência Gerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/best/1/bin - Vazão Turbinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/best/1/bin - Poteência Gerada(UN) . . . . . . . . . . . . . . . .
DE/best/1/bin - Vazão Turbinada (UN) . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolução da Função de Produtividade com emprego de AGB . . . .
Evolução da Função de Produtividade com emprego de AGR . . . . .
Evolução da Função de Produtividade com emprego de DE/best/1/bin
Evolução da Função de Produtividade com emprego de DE/rand/1/bin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
68
69
69
70
70
71
71
72
72
73
73
74
74
75
75
76
Gráfico de caixa da Função Objetivo . . . . . . . . . . . . .
Teste de Tukey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fronteira de Pareto AGB - pontos não dominados . . . . . .
Fronteira de Pareto AGR - pontos não dominados . . . . . .
Fronteira de Pareto DE/best/1/bin - pontos não dominados
Fronteira de Pareto DE/rand/1/bin - pontos não dominados
Comparação das Fronteiras de Pareto dos Algoritmos . . . .
81
82
85
85
86
86
87
xiv
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76
Capítulo 1
Introdução
Energia é um insumo necessário para o desenvolvimento social e econômico. Como
resultado da produção agrícola, atividades industriais e domésticas, a demanda por
energia aumenta consideravelmente, especialmente em países emergentes (Baños,
2011).
Dentre as diversas formas de energia está a elétrica, que é a energia baseada na
geração de diferenças de potencial elétrico entre dois pontos, que permitem estabelecer uma corrente elétrica entre ambos. Existem diversas tecnologias capazes de
gerar energia elétrica, as quais são: por meio do ar, por meio da radiação solar, por
meio nuclear, via calor, via água, entre outras. No Brasil, a forma mais utilizada
para geração é por meio da utilização da água, ou seja, energia hidrelétrica.
Figura 1.1: Oferta interna de Energia Elétrica por fonte no Brasil
FONTE - Tolmasquim (2011).
Como mostrado na Figura 1.1, o Brasil apresenta uma matriz de geração elétrica
de origem predominantemente renovável, sendo que a geração interna hidráulica
responde por montante superior a 74% da oferta. Segundo Tolmasquim (2011) houve
uma elevação na produção hidrelétrica de 4% em relação a 2010, e a tendência é de
que a demanda por energia aumente em torno de 5% a cada ano.
1
1.1
Introdução
2
Uma usina hidrelétrica aproveita o potencial hidráulico de um rio, para a geração de energia. A operação de um sistema de geração hidrelétrico, deve realizar
um planejamento de operação que seja capaz de atender uma determinada demanda
solicitada a ele pelo Operador Nacional do Sistema Elétrico - ONS. Este é o órgão
responsável pela coordenação e controle da operação da geração e transmissão de
energia elétrica no Sistema Interligado Nacional - SIN, sob a fiscalização e regulação da Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL. A demanda a ser entregue,
deve respeitar as restrições operativas visando determinar uma produtividade ótima
economizando matéria prima e reduzindo custos (ONS, 2012).
Grande parte das usinas instaladas no território brasileiro possuem sistema automatizado de controle para geração de energia, comumente chamado de controle
conjunto. Tais sistemas recebem a demanda de geração de energia e a divide para
cada unidade de geração composta pelo conjunto de turbina-gerador. No entanto,
não se pode afirmar que tal divisão é a melhor forma de geração, ou seja, se o conjunto gerador está atuando no seu ponto ótimo de operação, pois esta forma não
leva em conta as caracteristicas operativas de rendimento em particular de cada
conjunto turbina-gerador (Almeida, 2007).
O problema, ao se trabalhar com produtividade, é o de aumentar a eficiência na
utilização de potencial hidráulico. Para tanto é necessário o levantamento de um
modelo matemático que caracterize a operação de uma usina hidrelétrica, em termos
de produção de potência. Posteriormente aplicar ao modelo, técnicas de otimização
baseadas em ferramentas de inteligência computacional, visando a minimização de
vazão de água para produção, maximizando então, a produção elétrica, ou seja,
produzir mais utilizando menos.
1.1
Contextualização
O objetivo do planejamento da operação de um sistema de energia elétrica é atender
os requisitos do mercado com confiabilidade e com custo mínimo por consumo de
combustível nas usinas (Rodrigues, 2003). Durante o ano há o período de chuvas,
no qual o nível do reservatório de água é completamente ocupado, ao ponto de
algumas vezes a água ser escoada pelo vertedouro. No decorrer deste período, o
recurso hídrico é utilizado para geração, levando à baixa do nível do reservatório.
Em alguns casos o nível do reservatório pode baixar muito, ao ponto de em casos
extremos inviabilizar a operação das máquinas.
1.1
Introdução
3
Em outros casos, no mesmo curso de um rio, pode haver mais de uma usina, e a
decisão da utilização da água em uma usina não pode impactar a produção de outra.
Garantir a operação do sistema da energia demandada com uso de recurso mínimo
e levando em conta todas as restrições produtivas é uma tarefa complexa. Porém,
ela garante que, mesmo no período da seca, uma usina terá insumos suficientes para
a produção da energia necessária.
1.1.1
Planejamento da Operação
A energia em uma usina hidrelétrica está disponível no potencial existente do volume
de água em um reservatório, ou seja, a energia potencial é tão maior quanto maior
for o volume armazenado levando em conta também em consideração a diferença de
alturas entre o nível montante e o nível à jusante da barragem (Provençano, 2003).
A cadeia de planejamento deve levar em conta o fato de que a disponibilidade
de energia de recursos hidroenergéticos é variável ao longo do tempo. Um acúmulo
de recursos em períodos chuvosos, para que posteriormente possam ser utilizados
em períodos de estiagem, pode ser necessário. Este gerenciamento determina a
operação energética de um conjunto de usinas. De acordo com Arce (2006), as
etapas do planejamento da operação são: de longo, médio e curto prazo e podem
ser observadas na Figura 1.2.
Figura 1.2: Planejamento da Operação
Extraído de Arce (2006).
No Brasil, o planejamento a longo prazo tem em vista o horizonte de vários anos.
1.1
Introdução
4
Para este horizonte, os sistemas hidrelétricos e termoelétricos são representados de
modo agregado. O principal objetivo é estabelecer a proporção entre a geração
hidrelétrica e a termoelétrica, de modo a manter requisitos de mercado com nível
mínimo e confiabilidade (Araújo, 2010; Provençano, 2003).
No planejamento a médio prazo, voltado a usinas hidrelétricas, é criada uma política de armazenamento em cada reservatório que compõe o sistema. O horizonte
varia de alguns meses até um ano, com discretização mensal conforme a Figura 1.2.
Nesta etapa, as usinas já possuem sua representação individualizada com as respectivas metas semanais de geração.
O objetivo principal do planejamento da operação de curto prazo é procurar
compatibilizar a operação do sistema hidrelétrico ao longo do dia ou da semana,
com as metas energéticas estabelecidas pelo planejamento de médio prazo (Araújo,
2010). A operação de tempo real caracteriza-se em uma determinada usina atender
a uma demanda solicitada online pelo ONS. Nesta operação, o ONS estabelece um
tempo máximo aproximado de 10 (s) para que uma determinada usina, comece a
entregar uma demanda solicitada para aquela hora, ou períodos de horas.
Segundo Muller (2010), a supervisão da operação é uma gama de ações associadas ao acompanhamento e possíveis correções das condições operativas do sistema,
assegurando a continuidade e qualidade do suprimento de energia elétrica. Entre as
principais ações determinadas pela supervisão da operação estão: previsão de carga
em curto prazo, controle de cheias e controle de tensão.
1.1.2
Despacho Elétrico
Segundo Araújo (2010), dentro do planejamento de curto prazo é observado o problema de programação diária. Tal problema trata do atendimento da demanda e
geração de energia para o período de 24 horas.
De acordo com o planejamento de curto prazo, uma estimativa de produção por
hora é fornecida e cabe ao sistema de controle da usina, determinar quais e quanto
cada unidade geradora devem produzir. Assim, o despacho elétrico é definido como
a atribuição de valores de operação para cada conjunto turbina-gerador de uma
usina, dados alguns critérios a serem atendidos como a demanda de energia a ser
produzida, limites operativos destes conjuntos etc.
1.2
Introdução
5
Atualmente o modo controle conjunto recebe uma determinada demanda e a divide igualmente pelo número de máquinas disponíveis para operação. No entanto,
não se pode afirmar que tal divisão representa os melhores pontos de operação, ou
seja, se o conjunto gerador está atuando no seu ponto ótimo de operação.
O problema tratado neste trabalho se resume nas práticas de geração hidrelétrica
adotadas atualmente no país, que não exibem preocupação com os aspectos de sustentabilidade e uso racional de recursos, como por exemplo, a eficiência energética e
a economia de água. Para avançar em sua solução é proposta uma programação de
despacho ótimo de unidades de geração hidrelétrica, cujo objetivo é a maximização
da produção de energia satisfazendo as condições de operação do sistema, fazendo
com que uma maior quantidade de potência elétrica possa ser gerada com o mínimo
de vazão de água possível em cada unidade.
1.2
1.2.1
Objetivos
Objetivo Geral
O objetivo geral do projeto é desenvolver um modelo matemático e sua implementação na forma de um algoritmo capaz de aumentar a produtividade, em tempo
de operação, da geração hidrelétrica, em uma usina real com relação aos conjuntos turbina-gerador existentes na mesma. O tema da dissertação trata então da
eficiência na utilização de recursos hídricos para geração de energia elétrica.
1.2.2
Objetivos Específicos
Os objetivos específicos a serem alcançados são:
• Caracterizar os dados históricos de uma usina real e dos sistemas envolvidos
na geração hidrelétrica de energia como forma de obtenção de um modelo
matemático, que aborde a realidade do processo;
• Modelar matematicamente o processo de geração de energia elétrica, do ponto
de vista da eficiência do mesmo, com o propósito de subsidiar estudos sobre
as possibilidades de aumento da eficiência;
• Obter matematicamente, a partir de curvas de rendimento fornecidas, os coeficientes do modelo matemático de rendimento das unidades geradoras de uma
usina real;
1.3
Introdução
6
• Implementar e realizar experimentos para otimização da eficiência dos conjuntos turbina-gerador para uma usina real, incorporando as perdas hidráulicas
inerentes aos condutos forçados ligados aos conjuntos turbina-gerador, com
uso de técnicas de otimização;
• Avaliar os resultados obtidos e efetuar uma comparação objetiva dos resultados
obtidos pelos vários algoritmos de otimização utilizados.
1.3
Metodologia
O objeto de pesquisa desse trabalho pode ser classificado, em relação à sua natureza,
como sendo do tipo aplicada, pois tem como objetivo gerar conhecimentos práticos
à solução de problemas específicos. A seguir são apresentadas as etapas de metodologia realizadas para o cumprimento dos objetivos deste projeto:
1. Revisão de Literatura: inicialmente a metodologia utilizada se baseou na
revisão da literatura que trata do problema proposto. Tal revisão fez com que
as inserções de novas restrições ao modelo possam ser realizadas. Além disso, essa
revisão identificou o estado da arte de sistemas de controle conjunto e de otimização;
2. Análise de Dados: após a revisão da literatura, se iniciou a verificação dos
dados que serão concedidos pela usina real adotada como estudo de caso deste trabalho. Estes dados contemplarão o estado da usina em duas épocas do ano para
avaliação do nível de água do reservatório após o período de chuva e durante o inicio
da operação no período de estiagem;
3. Modelagem do Problema: modelar matematicamente o sistema de geração
de potência elétrica, tendo como base o modelo utilizado por Araújo (2010). Após
o estudo do modelo base, os seguintes modelos foram gerados e aplicados neste
trabalho:
• Modelo de Perdas Hidráulicas nos Condutos Forçados;
• Modelo de Rendimento de Turbina;
• Modelo de Produção de Potência Elétrica;
• Modelo de Otimização de Eficiência Produtiva ;
• Modelo de Simulação;
1.3
Introdução
7
4. Definição de Parâmetros de entrada: definir os parâmetros de entrada para
funcionamento dos modelos de otimização e de simulação na etapa de modelagem.
5. Definição dos parâmetros de saída: definir os parâmetros de saída a serem
entregues pelos modelos de otimização e de simulação na etapa de modelagem;
6. Implementações: definir e implementar as técnicas de inteligência computacional para otimização do sistema de geração de potência elétrica, em laboratório;
7. Testes: definir os experimentos a serem realizados para testar as soluções
implementadas;
8. Avaliação preliminar dos resultados dos experimentos: verificar se cada algoritmo de otimização cumpriu o atendimento da demanda solicitada, respeitando os
limites operativos impostos;
9. Avaliação estatística para comparação dos resultados obtidos por cada algoritmo implementado, visando encontrar qual obteve melhor desempenho de acordo
com os critérios comparativos estabelecidos;
10. Análise global dos resultados;
11. Conclusão e trabalhos futuros.
1.3.1
Hipótese
Espera-se que a conclusão desta pesquisa venha contribuir para a desconstrução da
hipótese levantada por Ribas (2002), de que:
"O ótimo operacional de uma usina hidrelétrica é atingido somente quando a
demanda de geração é dividida igualmente pelo número de unidades geradoras".
1.3.2
Planejamento dos Experimentos
1.3.2.1
Coleta de dados reais
A coleta de dados reais aconteceu em um período distinto do ano de 2011. Isto se faz
necessário para que sejam realizados testes em dois momentos: quando o reservatório
estiver cheio em sua totalidade e quando o mesmo estiver em uma época de seca.
1.4
Introdução
8
Isto vai identificar as características operativas de cada época possibilitando assim
verificar em qual delas há uma maior eficiência e por sua vez economia.
1.3.2.2
Despacho Horário e Despacho Diário
O experimento “Despacho Horário” se baseia na comparação entre a demanda solicitada ao algoritmo e o resultado que o mesmo informar. Por exemplo, se a demanda
que atende a geração da usina no horário de 13:00h é 320MW, o algoritmo deverá
escalonar a mesma para o número de unidades geradoras disponíveis de forma a
encontrar o ponto eficiente de cada uma delas.
Ao final será observado se a soma da geração de cada unidade atingiu a demanda
total de maneira eficiente identificando se houve economia de recursos hídricos. O
experimento “Despacho Diário” pretende avaliar o comportamento diário de despacho da usina real. Dadas como entrada diferentes demandas horárias no período de
24 horas, pretende-se avaliar o comportamento do algoritmo em atendê-las a ponto
de garantir a eficiência.
1.3.2.3
Validação
Os experimentos práticos realizados são necessários para validar o modelo proposto,
bem como verificar a eficiência dos algoritmos implementados comparando-os visando averiguar qual foi a melhor técnica para solução do problema.
1.4
Organização do Trabalho
O trabalho está dividido em sete capítulos. Este capítulo apresenta uma introdução
ao projeto desenvolvido e retratado nesta dissertação, contextualiza o processo de
planejamento e geração de energia hidrelétrica necessários a um entendimento amplo
do objeto deste estudo.
O Capítulo 2 descreve a fundamentação teórica básica de um sistema de geração e abrange todos os conceitos necessários para o entendimento aprofundado do
projeto, trata aspectos de geração de energia bem como as técnicas de inteligência
computacional adotadas para solução de regressão não linear multivariável.
O Capitulo 3 contempla a caracterização do problema, o estado da arte, bem
como a modelagem matemática adotada para resolução do mesmo, contendo exemplo de cálculos para cada modelo apresentado.
1.4
Introdução
9
O Capítulo 4 descreve algoritmos de otimização estudados para solução do problema incluindo os operadores utilizados. Neste capítulo também é apresentado o
modelo de simulação da solução.
O Capítulo 5 descreve o estudo de caso e apresenta os algoritmos de otimização
propostos contemplando também os experimentos realizados para validação da solução. Nele se encontra uma analise estatística preliminar que classifica os quatro
melhores algoritmos a serem analisados com maior critério estatístico.
O Capítulo 6 contempla uma analise estatística mais robusta para comparação
dos melhores algoritmos classificados no capítulo anterior. Entre as técnicas utilizadas estão a análise de caixas por meio de gráficos boxplot, a análise de variância
com método de Tukey e finalmente uma análise multiobjetivo para um problema
mono-objetivo é proposta. Além disto é feita uma projeção de economia de recursos hídricos e ganho na produção elétrica com o algoritmo classificado como melhor
solução geral.
O Capítulo 7 trata das conclusões do trabalho e apresenta possibilidades de
trabalhos futuros.
Capítulo 2
Fundamentação Teórica
2.1
Usina Hidrelétrica
Uma usina hidrelétrica (UHE) é um complexo de engenharia, um conjunto de obras
e de equipamentos, que tem por finalidade produzir energia elétrica utilizando o
potencial hidráulico existente em um rio. A Figura 2.1 mostra o esquema estrutural
de uma UHE contemplando seus principais componentes. Estes componentes serão
descritos na Seção 2.1.1.
Figura 2.1: Usina Hidrelétrica de Três Marias
FONTE - Cachapuz (2006).
Segundo Arce (2006), “a produção da energia elétrica é o resultado de um processo de transformação potencial e cinético. A energia potencial da água armazenada
no reservatório é transformada pela turbina em energia mecânica que através de um
eixo é transmitida ao gerador. No gerador, a energia mecânica é transformada em
10
2.1
Fundamentação Teórica
11
energia elétrica que, após passar por uma subestação elevadora de tensão, é injetada
no sistema de transmissão para a sua entrega aos centros de consumo”.
2.1.1
Descrição dos Componentes
Os setores que compõem uma usina hidrelétrica são basicamente: barragem, reservatório, vertedouro, tomadas d’água, condutos forçados, casa de força e conjuntos de
turbina-gerador. A barragem é uma barreira artificial, responsável por reter grandes
quantidades de água. A maior parte das barragens no Brasil são construídas geralmente em terra e concreto armado em cursos d’água. Os reservatórios de água são
unidades hidráulicas de acumulação e passagem de água, para atender a quantidade
de água necessária para geração, bem como a vazão ou o escoamento da mesma
quando necessário.
O vertedouro é basicamente um orifício controlado por comportas cuja função é
escoar o excesso de água descarregando-a para a jusante de forma segura. Ele é uma
estrutura que pode ser utilizada para diferentes finalidades, como por exemplo, medição e controle de vazão sendo estes os principais. A tomada d’água é a estrutura
ou o local cuja finalidade é controlar, regular, derivar e receber água diretamente
da fonte por uma entrada d’água construída a montante . Os condutos forçados são
tubos ou tubulações nos quais o fluido, neste caso a água, escoa em plena seção e
sob pressão.
Schreiber (1981) descreve que: “a casa de força tem a finalidade de alojar as
máquinas e os equipamentos, possibilitar sua montagem ou eventual desmontagem
e a sua operação e manutenção”. Nela estão a caixa espiral, os conjuntos de turbinagerador, o sistema de excitação e o regulador de velocidade, conforme Figura 2.2.
Nela é mostrado o corte lateral da UHE Itaipu incluindo a casa de força, na qual
podem ser identificados seus principais componentes. Dentre eles a unidades de
geração (turbina-gerador), o conduto forçado, o pórtico das comportas da tomada
d’água e demais equipamentos.
As turbinas hidráulicas usadas nas usinas podem ser de dois tipos: turbinas de
reação e turbinas de ação. De acordo com Schreiber (1981), “a turbina hidráulica de
reação é aquela em que o trabalho mecânico é obtido pela transformação de energia
cinética e de pressão da água, enquanto a de ação transforma apenas a energia
cinética da água”. Entre as turbinas existentes estão as de reação Pelton e as de
ação Francis e Kaplan.
2.1
Fundamentação Teórica
12
Figura 2.2: UHE Itaipu - Corte lateral
FONTE - Itaipu (2012)
A escolha da turbina deve levar em conta a queda líquida e a vazão disponíveis
ao longo de um período. A turbina a ser levada em conta neste projeto é a turbina
Kaplan, pelo fato de a UHE, estudo de caso deste projeto, possuir em sua casa de
força tal turbina. A Figura 2.3 é o corte lateral de uma turbina Kaplan.
Figura 2.3: Turbina Kaplan
FONTE - Schreiber (1981).
2.1
Fundamentação Teórica
13
Victor Kaplan construiu uma turbina semelhante à do tipo Francis, na qual a
água penetra na direção radial. As turbinas Kaplan diferem em essência, das turbinas Francis, pelo fato de terem as pás do rotor móveis. Como mostrado a turbina é
um equipamento composto de várias componentes, entre eles se destacam o distribuidor, o rotor e a pá. O distribuidor é o órgão fixo constituídos por pás (móveis em
torno de seu eixo) que formam canais, através dos quais se conduz a vazão turbinada
para o rotor. O rotor da turbina é o órgão giratório sobre o qual age a água que foi
conduzida a ele pelo distribuidor.
A turbina Pelton é um tipo de turbina moderna, que precisa de grandes quedas
e pequenas vazões. A turbina Francis é uma típica turbina de reação, na qual o
rotor recebe a água sob pressão na direção radial e a descarrega numa direção axial,
havendo transformação tanto de energia cinética como de energia de pressão em
trabalho. Segundo Schreiber (1981) “os geradores são máquinas destinadas a converter energia mecânica, produzida pela turbina, em energia elétrica”. Fisicamente o
gerador é composto da parte fixa, o estator e da parte rotativa, o rotor, que por sua
vez compõe-se do cubo com o eixo, que está diretamente acoplado ao eixo da turbina.
Os conjuntos turbina-gerador possuem uma curva específica que caracteriza o
seu rendimento dada uma vazão (unit discharge) e uma queda líquida (net head )
específica. Tal curva pode ser encontrada na literatura como Curva de Colina ou
Curva de Rendimento. A Figura 2.4 caracteriza uma típica curva de rendimento de
uma unidade geradora de turbina Francis instalada na usina de Itaipu.
Figura 2.4: Curva de Rendimento de unidade geradora
FONTE - Finardi (2005).
2.2
Fundamentação Teórica
14
Segundo Finardi (2005), o rendimento de uma turbina é dado por uma quadrática
na qual possui como parâmetros um conjunto de variáveis denominadas coeficientes
operativos. Tais parâmetros são obtidos por meio da técnica de regressão não-linear
multivariável, que será abordada na Seção 2.4 deste capítulo e com demostração da
utilização das abordagens utilizadas na Seção 3.4.3.
2.2
Otimização
A apuração da eficiência pode ser modelada, por exemplo, por meio de uma função
objetivo. De acordo com Konar (2005) normalmente busca-se maximizar ou minimizar os valores destas funções usando algoritmos de otimização, sempre respeitando
restrições impostas pelo problema. Porém, as funções objetivo em um sistema de
otimização devem ser modeladas buscando-se representar o sistema que será otimizado. Muitas vezes isto se torna um trabalho difícil, dependendo da complexidade
deste sistema.
A existência ou não de restrições define uma classificação do problema de otimização. São pesquisados tanto problemas irrestritos quanto problemas com restrições.
Deve-se levar em conta que esta área é vasta podendo ser agrupada em subáreas:
• Otimização Linear: usado quando as variáveis geralmente são contínuas e apresentam comportamento linear, tanto em relação às restrições como à função
objetivo;
• Otimização Não-Linear: usado quando o problema exibe qualquer tipo de nãolinearidade, seja na função objetivo ou em qualquer uma das suas restrições;
De acordo com Souza (2009) outras classificações são comumente empregadas:
1. Natureza das variáveis de projeto:
• Problema de Otimização Estática e Paramétrica;
• Problema de Otimização Dinâmica ou Otimização de Trajetórias;
2. Valores permitidos para as variáveis de projeto:
• Problema de Programação Inteira;
• Problema de Programação Real;
3. Natureza determinística dos termos:
• Problema de Programação Determinística;
2.2
Fundamentação Teórica
15
• Problema de Programação Estocástica;
4. Número de objetivos a serem definidos:
• Problema de Programação Mono-Objetivo;
• Problema de Programação Multi-Objetivo.
Considerando a última classificação, embora a formulação mono-objetivo represente
uma gama enorme de problemas, frequentemente observa-se situações que possuem
múltiplos objetivos. Estas situações geralmente possuem várias soluções que ponderam sobre os objetivos individuais. Uma análise de qual a melhor solução dado o
contexto é capaz de gerar a melhor situação para o problema.
2.2.1
Otimização Mono-Objetivo
O problema apresentado neste projeto é um típico problema de Otimização NãoLinear Mono-Objetivo, pelo fato da função de produção elétrica ser uma função
não-linear das variáveis de projeto. Assim, esta seção é destinada para explicar brevemente, como é caracterizado um problema mono-objetivo. Para a busca de uma
solução ótima, uma abordagem que pode ser utilizada é a escalar.
Quando um problema de otimização envolve apenas uma função objetivo ele é
caracterizado como problema mono-objetivo, caracterizando assim seu modo de otimização. Uma função do tipo escalar tem a forma f : Rn → R. Além de minimizar
ou maximizar uma determinada função objetivo, a otimização deve também atender as restrições impostas à função objetivo. Tais restrições podem ser por exemplo,
limitações físicas ou tecnológicas do problema. Um problema de otimização monoobjetivo que busca a minimização de uma função, pode ser expresso como:
x∗ = arg min f (x),
x
(
sujeito a :
gi (x) ≤ 0 i = 1, ..., r,
hj (x) = 0 j = 1, ..., p.
(2.1)
na qual:
• x∗ é o vetor de variáveis de otimização e f (x) é a função objetivo ;
• gi (x) ≤ 0, i = 1, · · · , r e hj (x) = 0, j = 1, · · · , p e são as restrições de
desigualdade e igualdade impostas ao problema, respectivamente;
2.3
Fundamentação Teórica
16
A primeira linha do problema (2.1) indica que é necessário encontrar o vetor
x ∈ Rn que minimize o valor da função f (x). A segunda linha mostra que uma
solução para este problema deve satisfazer as restrições impostas a ele.
∗
2.3
Inteligência Computacional
A Inteligência Computacional (IC) é uma área da Inteligência Artificial (IA) que
busca, por meio de técnicas inspiradas na natureza, o desenvolvimento de sistemas
inteligentes que imitem aspectos do comportamento humano, tais como: aprendizado, percepção, raciocínio, evolução e adaptação. Existem diversas técnicas em IC
como pode ser visto por meio da Figura 2.5.
Figura 2.5: Taxonomia da Inteligência Artificial (Almeida, 2011)
A seguir são descritos os conceitos básicos referentes a algumas técnicas de IC
apresentadas na Figura 2.5.
• A lógica fuzzy do inglês Fuzzy Logic. Basicamente a lógica fuzzy é uma extensão da lógica boolena que adimite valores lógicos intermediários entre falso (0)
e verdadeiro (1). Em seu trabalho, Almeida (2003) apresenta os modelos de
Mandani e de Takagi-Sugeno-Kang para definição e processamento de regras
de produção fuzzy;
2.4
Fundamentação Teórica
17
• Segundo Braga (2003), as Redes Neurais Artificiais (RNA) são modelos matemáticos que se assemelham às estruturas neurais biológicas e que tem capacidade computacional adquirida por meio de aprendizado e generalização;
• Segundo Carvalho (2003), Computação Evolutiva trata de sistemas para a resolução de problemas que utilizam modelos computacionais baseados na teoria
da evolução natural;
• Os sistemas especialistas são sistemas construídos de posse de informações de
especialistas de uma certa área. O sistema é alimentado com a experiência de
um ser humano e se torna capaz de auxiliar na tomada de decisões dado um
certo problema. Neles são implementados agentes inteligentes com capacidade
de que adotar a melhor ação possível diante de uma situação. Estão presentes
na resolução de uma infinidade de problemas.
Neste trabalho foram abordadas as seguintes técnicas de Computação Evolutiva,
para solução do problema de otimização: Algoritmos Genéticos e Algoritmos de
Evolução Diferencial (com uso de Estratégias Evolutivas diversas). Para solução da
regressão não-linear multivariável este trabalho abordou as técnicas: Algoritmo de
Levenberg-Marquardt e RNA. As seções 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7 irão abordar tais técnicas,
para um melhor entendimento da aplicação das mesmas neste trabalho.
2.4
Regressão Não-Linear Multivariável
Quando os dados se afastam da linearidade, deve-se cogitar o ajuste de uma outra
curva que não seja uma linha reta, no caso de uma função real de uma variável.
Em estatística, a regressão não-linear é uma forma de análise observacional em que
os dados são modelados por uma função que é uma combinação não-linear de parâmetros do modelo e depende de uma ou mais variáveis independentes (Freund, 2000).
Neste tipo de regressão, os dados são ajustados geralmente pelo método dos mínimos quadrados ou por algum método de aproximações sucessivas. Em busca de
se realizar uma regressão em uma determinada função, foi encontrado na literatura
o trabalho de Cogger (2012), no qual são abordadas diversas técnicas, entre elas o
Algoritmo de Hudson, o Algoritmo MARS (do inglês Multivariate Adaptive Regression Spline) e o Algoritmo HHP (do inglês Hinged Hyperplanes), para realização de
regressão não-linear multivariável.
2.5
Fundamentação Teórica
18
Além das já citadas a que se destacou para solução do problema específico é um
algoritmo denominado Algorithm the Group Method of Data Handlind (GMDH),
proposto por Ivakhnenko (1968) e aprimorado por Farlow (1984). Como outra
abordagem, este trabalho também utilizou o algoritmo de Levenberg-Marquardt
(Levenberg, 1944; Marquardt, 1963).
Ambas as técnicas utilizadas neste trabalho empregam o método de mínimos
quadrados para realizar a regressão não-linear multivariável numa função, como por
exemplo a apresentada pela Equação 2.2.
y(χ1 , χ2 ) = β0 + β1 χ1 + β2 χ2 + β3 χ1 χ2 + β4 χ21 + β5 χ22 ,
(2.2)
na qual
• y é a variável dependente ;
• χ1 e χ2 são as variáveis independentes ;
• β0 a β5 são os coeficientes da função.
Esta função foi adotada como exemplificação, pelo fato de possuir características
equivalentes a função de rendimento de uma unidade geradora apresentada na Seção
3.4.3. Nas seções seguintes, a técnica RNA será abordada como uma possível solução
de regressão, bem como o algoritmo de Levenberg-Marquardt, que é um algoritmo de
otimização baseado no método de mínimos-quadrados para minimização de funções.
A realização desta regressão específica se fez necessária para obtenção de parâmetros
usados na função de rendimento das unidades turbina-gerador instaladas.
2.5
Redes Neurais Artificiais
Segundo Braga (2003), as RNA são modelos matemáticos não lineares generalizados,
cujos parâmetros são identificados a partir de um conjunto de dados e por meio de
algoritmos eficientes. Pelos conceitos apresentados, podemos dizer que uma RNA
pode ser treinada da fins de realização de determinadas tarefas, pois as mesmas
podem ser programadas para tanto.
Em busca de se realizar a obtenção de coeficientes de uma determinada função
de rendimento conjuntos turbina-gerador, foi adotada como abordagem a solução de
Farlow (1984) com uso do Algoritmo GMDH.
2.6
Fundamentação Teórica
19
Este algoritmo foi implementado com uso de RNA pela National Academy of
Sciences the Ucraine (www.gmdh.net), e possui licença de código aberto General
Public Licence (GNU).
A demonstração da utilização desta técnica se encontra na Seção 3.4.3. Tal solução dispõe de uma RNA Multlayer Perceptron (MLP) com backpropagation. Uma
MLP apresenta um poder computacional maior do que aquele apresentado pelas
redes de uma única camada. O processamento realizado por cada neurônio de uma
determinada camada é definido pela combinação dos processamentos realizados pelos neurônios da camada anterior que estão conectados a ele.
Quando se segue da primeira camada intermediária em direção a camada de
saída, as funções implementadas se tornam cada vez mais complexas (Braga, 2007).
A RNA de Farlow (1984) pode ser caracterizada pela Figura 2.6.
Figura 2.6: RNA em formato de árvore binária
A rede é uma estrutura de árvore binária com a entrada variáveis sendo os
nós folha. A estrutura binária da rede significa que cada nó tem exatamente duas
entradas, mas cada nó pode ser ligado a qualquer número de nós da camada seguinte.
Os três nós acima da camada de entrada são, cada um multinomiais completas de
2o grau de dois nós na camada anterior. Nós da segunda camada são, portanto, da
forma da Função 2.2. Tal rede pode ser caracterizada por uma RNA do tipo MLP.
2.6
Algoritmo de Levenberg-Marquardt
Em diversas aplicações da visão computacional é necessário estimar os parâmetros
de um determinado modelo que melhor se ajustam a um conjunto de dados experimentais. Normalmente, para uma melhor exatidão, um algoritmo de minimização
não-linear pode ser utilizado.
2.7
Fundamentação Teórica
20
A maioria dos algoritmos utilizados é baseada no Método de Newton. Entre eles,
salienta-se o Método de Levenberg-Marquardt (Levenberg, 1944; Marquardt, 1963),
bastante utilizado na visão computacional sempre que se deseja ajustar um modelo
a um conjunto de dados experimentais. Este método é uma derivação do Método
de Newton que é de convergência mais rápida.
Como forma de se diversificar a abordagem para obtenção dos coeficientes de
uma determinada função de rendimento de conjuntos turbina-gerador, também foi
utilizada uma classe específica contida na toolbox estatística do software MATLAB
Versão 2012. Esta toolbox contém uma classe específica para realização de regressão não linear multivariável, chamadaNonLinearModel.fit. Tal classe incorpora o
algoritmo Levenberg-Marquardt.
2.7
Algoritmos de Otimização
Um algoritmo é uma sequência de ações executáveis para a obtenção de uma solução
para um determinado tipo de problema. Um algoritmo pode também ser definido
como um mapeamento recursivo ou ainda com base no conceito de mapeamento de
um ponto para um conjunto (Takahashi, 2007).
Os algoritmos serão as implementações práticas dos métodos de otimização, cujo
objetivo é determinar as soluções do problema. Esses algoritmos irão chamar subrotinas que executam a avaliação das funções objetivo, funções de cálculo de perdas
e rendimento, bem como as restrições. Os algoritmos propostos para otimização
do problema são: Algoritmos Genéticos (AG) e Algoritmos de Evolução Diferencial
(DE) do inglês Differential Evolution.
2.7.1
Algoritmos Genéticos
Um Algoritmo Genético (AG) é uma técnica de busca utilizada na ciência da computação para achar soluções aproximadas em problemas de otimização e busca.
AG são uma classe particular de algoritmos evolutivos que usam técnicas inspiradas
pela biologia evolutiva como hereditariedade, mutação, seleção natural e cruzamento
(Goldberg, 1999).
AG são implementados como uma simulação de computador em que uma população de representações abstratas de solução é selecionada em busca de soluções
melhores. A evolução geralmente se inicia a partir de um conjunto de soluções criado
2.7
Fundamentação Teórica
21
aleatoriamente e é realizada por meio de gerações. A cada geração, a adaptação de
cada solução na população é avaliada. Alguns indivíduos são selecionados para a
próxima geração, e recombinados ou mutados para formar uma nova população.
A nova população é utilizada como entrada para a próxima iteração do algoritmo.
Este ciclo é executado até que se encontre soluções candidatas, que atendam o
resultado esperado pela função objetivo implementada, dado um critério de parada,
o que é exemplificado pela Figura 2.7.
Figura 2.7: Esquema de execução do Algoritmo Genetico
FONTE - Adaptado de Souza (2009).
É importante ressaltar que a representação de um cromossomo é fundamental
para um algoritmo genético. A representação binária é a maneira básica de traduzir
a informação do problema em uma maneira viável de tratamento pelo computador,
porém muitas vezes não é a melhor opção.
Em alguns casos, o mais natural seria representar diretamente os parâmetros a
serem otimizados como números reais, pois deste modo espera-se maior desempenho
computacional. Assim eliminaria a necessidade de conversão de dados reais para binários (para o cruzamento e mutação) e vice-versa. De acordo com Carvalho (2003),
as operações realizadas são definidas da seguinte forma:
Seleção: é realizada uma seleção de M < N indivíduos dentre os N indivíduos
existentes, sendo que cada indivíduo pode ser selecionado mais de uma vez. A
probabilidade de um indivíduo ser selecionado a cada vez é proporcional ao valor da
fração de sua função de ajuste em relação à soma das funções de ajuste de todos os
indivíduos.
2.7
Fundamentação Teórica
22
Elitismo: caso o melhor indivíduo não tenha sido selecionado para a nova população, ele é nela introduzido, com a exclusão de um elemento qualquer, escolhido
aleatoriamente.
Cruzamento: operador responsável pela recombinação de características dos
indivíduos pais durante a reprodução, permitindo que as próximas gerações herdem
estas características.
Mutação: é o operador responsável pela introdução e manutenção da diversidade genética da população, alterando arbitrariamente um ou mais componentes de
uma estrutura escolhida, o que fornece meios para introdução de novos elementos
na população.
Avaliação: para que o processo de seleção privilegie indivíduos mais aptos, a
cada cromossomo da população é atribuído um valor dado por uma função denominada função de aptidão. A aptidão pode ser vista como uma nota que mede o
quão boa é a solução codificada por um indivíduo, e é baseada no valor da função
objetivo do problema.
No Algoritmo 1 é apresentado o fluxo geral do ciclo de vida de um Algoritmo
Genético.
Algoritmo 1: Algoritmo Genético Canônico
início
t=0;
Gerar População Inicial P (0);
para cada indivíduo i da população atual P (t) faça
Avaliar aptidão do individuo i;
fim
enquanto Critério de parada não for satisfeito faça
t = t + 1;
Selecionar população P (t) a partir de P (t − 1);
Aplicar operadores de cruzamento sobre P (t);
Aplicar operadores de mutação sobre P (t);
Avaliar P (t);
fim
fim
FONTE - Carvalho (2003).
2.7
Fundamentação Teórica
2.7.2
23
Operadores do Algoritmo Genético
Como na seção anterior, um conjunto de operadores é necessário para que em uma
determinada população, seja possível gerar populações sucessivas, melhorando sua
aptidão com o tempo. Nesta sessão, serão abordados os operadores utilizados nos
AG implementados.
2.7.2.1
Operadores de Seleção
O princípio básico para funcionamento do AG é que um critério de Seleção vai fazer
com que, após muitas gerações, sejam gerados indivíduos mais aptos à solução do
problema. Entre os métodos de seleção, destacam-se neste trabalhos os Métodos da
Roleta e o Método do Torneio.
O método da roleta é o método de seleção mais simples e mais usado (Carvalho,
2003). Os indivíduos de uma população são selecionados para a próxima geração
utilizando uma “roleta”. Cada indivíduo é representado na roleta por uma fatia
proporcional a seu índice de aptidão. Assim, os indivíduos que possuem maior
aptidão ocupam maiores fatias na roleta e os com pouca aptidão, fatias menores, o
que está representado na Figura 2.8.
Figura 2.8: Representação gráfica do Método da Roleta
FONTE - Carvalho (2003).
No método do torneio, dado N indivíduos em uma população, onde os mesmos são
escolhidos aleatoriamente e com a mesma probabilidade, o cromossomo com maior
aptidão dentre estes N cromossomos é selecionado para população intermediária,
repetindo-se este processo até que a mesma seja preenchida. Este método pode der
exemplificado pela Figura 2.9.
2.7
Fundamentação Teórica
24
Figura 2.9: Ideia geral do Método do Torneio
FONTE - Carvalho (2003).
2.7.2.2
Operadores de Cruzamento
O cruzamento é a operação responsável pela recombinação de características de
indivíduos pais durante a reprodução, fazendo com que as próximas gerações herdem estas características. Entre os diversos operadores de cruzamento, se destacam
neste trabalho o cruzamento de ponto único, aqui usado na representação binária
de indivíduos e o cruzamento binário simulado (SBX) do inglês Simulated Binary
Crossover ), aqui usado para cruzamento na representação real de indivíduos.
O cruzamento de ponto único se caracteriza na escolha de um único ponto de
corte no indivíduo para cruzamento, assim as informações genéticas são trocadas.
As informações anteriores a este ponto em um dos pais são ligadas às informações
posteriores a este ponto no outro pai. Segundo Takahashi (2010), no cruzamento
binário com um ponto de corte, um índice ic é aleatoriamente sorteado no intervalo
[1, l − 1]. As cadeias binárias dos pais são divididas neste índice ic e os filhos são
criados a partir destes fragmentos. Este processo é exemplificado pela Figura 2.10,
para o caso l = 8 e ic = 3. O filho (1) é formado pelos primeiros ic bits do primeiro
pai e os bits de ic + 1 até l do segundo pai.
Figura 2.10: Exemplo de Cruzamento binário de corte único
FONTE - Takahashi (2010).
2.7
Fundamentação Teórica
25
Segundo Takahashi (2010), uma abordagem para o cruzamento real é definir operadores que produzam uma distribuição dos filhos centrada nos pais. Dessa forma,
os filhos tendem a se parecer com um dos pais. Alguns autores dedicam esforços na
definição de operadores que apresentem essa característica.
Um dos operadores mais conhecidos, que possuem esta característica é o cruzamento SBX proposto por Deb (1995) e segundo ele, dado dois pais p1 e p2 , o
cruzamento gera dois filhos q 1 e q 2 a partir de
1
q 1 = ((1 + α)p1 + (1 − α)p2 ),
2
(2.3)
1
q 2 = ((1 − α)p1 + (1 + α)p2 ),
2
em que α é um número aleatório dado por
(
α=
1
2u ηc −1
1
2(1−u)
1
ηc −1
se u ≤ 0, 5,
caso contrario,
(2.4)
na qual,
• u é um número aleatório entre 0 e 1 e,
• ηc é um valor positivo que define o quão próximo dos pais serão criados os
novos indivíduos.
2.7.2.3
Operadores de Mutação
Entre os métodos de mutação, destacam-se neste trabalho a mutação binária e a
mutação polinomial. A mutação binária se dá por meio da alteração arbitraria de
um ou mais componentes de um indivíduo, conforme Figura 2.11 . Este operador
consiste em aplicar aos indivíduos uma taxa de probabilidade de mutação (0 ≤ Pm ≤
1). Geralmente se utiliza uma taxa de mutação pequena (0, 001 ≤ Pm ≤ 0, 1).
Figura 2.11: Exemplo de operação de Mutação binária
Adaptado de Carvalho (2003).
2.7
Fundamentação Teórica
26
A mutação polinomial foi descrita por Deb (1995, 2002) e utilizada no trabalho de
Leidemer (2009). Dados indivíduos com representação real, tal mutação é realizada
em cada parâmetro do indivíduo com uma probabilidade pm . Dado um parâmetro v
com valores máximos e mínimos (v max e v min ), o parâmetro v ∗ criado pela mutação
é dado por,
v ∗ = v + (v max − v min )τ,
(2.5)
em que τ tem distribuição da densidade polinomial conforme,
(
τ=
1
2r ηm +1 − 1 se r ≤ 0, 5,
1
1 − [2(1 − r)] ηm +1
se r ≥ 0, 5,
(2.6)
na qual
• r é um número aleatório, e;
• ηm é o índice de distribuição da mutação.
2.7.3
Algoritmos de Evolução Diferencial
O algoritmo de evolução diferencial (DE), proposto por Storn (1995), consiste em
gerar aleatoriamente uma população de indivíduos, onde cada um representa um
ponto de busca no espaço de soluções potenciais de um dado problema. Em geral,
esta população inicial é criada aleatoriamente a partir de uma distribuição de probabilidade uniforme, quando não há nenhum conhecimento sobre o problema.
A população inicial sofre modificações dando lugar a uma nova população de
mesmo tamanho, gerando uma nova população, até que o procedimento de otimização seja encerrado, por exemplo, ao se atingir um número máximo de iterações.
As modificações ocorrem com a geração de novos indivíduos, denotados vetores
modificados ou doadores, por intermédio da adição da diferença ponderada entre
dois indivíduos aleatórios da população a um terceiro indivíduo também escolhido
aleatoriamente. Esta operação é chamada mutação.
Em seguida é escolhido aleatoriamente outro vetor, denominado vetor alvo, cujas
componentes são misturadas com as componentes do vetor doador, resultando no
vetor experimental. Este processo é conhecido por cruzamento.
2.7
Fundamentação Teórica
27
Se o valor da função objetivo aplicada ao vetor experimental for menor do que o
valor dela aplicada ao vetor alvo, então o vetor experimental substitui o vetor alvo
na geração seguinte; caso contrário, o vetor alvo é mantido na próxima geração, caracterizando assim a operação de seleção. O Algoritmo 2 mostra o ciclo de execução
do DE.
Algoritmo 2: Algoritmo DE/x/y/z
início
Inicializar D, NP, CR, F e GenMax;
Gerar uma população inicial aleatória com m indivíduos;
Avaliar cada indivíduo da população;
enquanto Critério de parada não for satisfeito faça
para Cada indivíduo faça
Selecionar randomicamente cada 3 indivíduos da população;
Usar uma estratégia evolutiva conforme DE/x/y/z;
Comparar indivíduo com sua versão experimental e selecionar o de menor
custo para a nova população;
Avaliar custo do indivíduo selecionado;
O melhor segue para próxima geração;
fim
fim
fim
Onde se lê DE/x/y/z, indica que o pseudo-código apresentado está fazendo menção as estratégias evolutivas utilizadas. Tais estratégias serão discutidas no decorrer
do texto.
2.7.4
Operadores do Algoritmo de Evolução Diferencial
Em seu trabalho, Bergamashi (2010) propôs um estudo geral sobre o algoritmo
de Storn (1995). Tal estudo colaborou fortemente para o entendimento das funcionalidades dos operadores de seleção, mutação e cruzamento dos Algoritmos DE
implementados neste trabalho. Assim como nos AG, também nos algoritmos DE
são necessários um conjunto de operadores para que a partir de uma determinada
população, seja possível gerar populações sucessivas, melhorando sua aptidão com
o tempo. Nesta sessão, serão abordados os operadores utilizados nos algoritmos DE
implementados.
2.7.4.1
Operadores de Mutação
O processo de mutação proposto por Storn (1995), pode ser descrito matematicamente como,
V q+1 = Xθq + Fp (Xβq − Xγq ) ou
(2.7)
2.7
Fundamentação Teórica
28
q
V q+1 = Xbest
+ Fp (Xβq − Xγq ).
O parâmetro V q+1 identifica o vetor doador criado. Os parâmetros Xθq , Xβq e
q
Xγq são vetores distintos sorteados aleatoriamente na população. O parâmetro Xbest
é o melhor vetor da q-ésima população e o parâmetro Fp é fator de perturbação
q
aplicado. O vetor Xθq ou o vetor Xbest
sofre uma perturbação da diferença ponderada resultante da multiplicação da diferença vetorial entre Xβq e Xγq , pelo fator de
perturbação, gerando assim o vetor doador V q+1 .
Caso o numero de indivíduos da população seja relativamente grande, podese melhorar a diversidade da população perturbando o vetor com duas diferenças
ponderadas na criação do vetor doador, conforme
V q+1 = Xθq + Fp (Xβq − Xγq + Xδq − Xµq ) ou
(2.8)
q
V q+1 = Xbest
+ Fp (Xβq − Xγq + +Xδq − Xµq ).
Neste caso são selecionados cinco vetores distintos da q-ésima população.
2.7.4.2
Operadores de Cruzamento
Na operação de cruzamento é escolhido outro vetor distinto aleatoriamente, chamado de vetor alvo (Xaq ). Em Storn (1995) é apresentado um tipo de cruzamento,
denominado binomial (devido a experimentos binomiais independentes), que consiste em misturar as componentes do vetor alvo com as do vetor doador, gerando
assim o vetor experimental (U q+1 ). O vetor experimental é obtido conforme a regra
apresentada,
i
Uq+1

i

 Vq+1 , se ri ≤ Pc
=
i = 1, 2, ..., n,


Xqa,i , seri > Pc
(2.9)
O parâmetro ri é composto por números aleatórios no intervalo [0,1]. Os parâi
i
metros Uq+1
, Vq+1
e Xqa,i , são as respectivas componentes dos vetores experimental,
doador e alvo para i = 1, 2, ..., n. O parâmetro Pc é a probabilidade de cruzamento
informada pelo usuário e deve estar no intervalo [0,1].
Um outro operador de cruzamento foi desenvolvido por Storn (1997), denominado cruzamento exponencial. Neste operador o vetor experimental (U q+1 ) é obtido
realizando a troca de variáveis entre o vetor doador V q+1 e o vetor alvo Xqa,i .
2.7
Fundamentação Teórica
2.7.4.3
29
Operadores de Seleção
No operador de seleção os custos (valor da função objetivo) do vetor experimental
e do vetor alvo são calculados e comparados conforme,
Se f (U q+1 ) ≤ f (Xaq ), entao Xaq+1 sera substituido por U q+1 ;
(2.10)
Se f (U q+1 ) > f (Xaq ), entao Xaq+1 sera substituido por Xaq ; .
Num problema de minimização, aquele que tiver o menor custo segue na próxima
geração, por exemplo, se o vetor de menor custo no caso for o vetor experimental
ele substitui o vetor alvo e vice-versa. O procedimento é realizado até que se atinja
o critério de parada.
2.7.5
Estratégias Evolutivas do Algoritmo
de Evolução Diferencial
O algoritmo DE pode variar conforme a escolha do usuário. Tal algoritmo depende
do tipo de indivíduo a ser modificado na constituição do vetor doador, do número de
indivíduos considerados nesta constituição e, também do tipo de cruzamento a ser
utilizado no procedimento. Estas diferentes maneiras são chamadas de estratégias
da Evolução Diferencial e podem ser escritas como DE/x/y/z, sendo que:
• x especifica o vetor a ser perturbado, podendo ser rand (um vetor da população
escolhido aleatoriamente) ou best (o vetor de menor custo da população);
• y determina o número de diferenças ponderadas usadas para a perturbação do
vetor definido por x, e;
• z determina o tipo de cruzamento (exp: exponencial; bin: binomial).
Desta forma é possível estabelecer dez formas de estratégias evolutivas para uso
de algoritmos DE. A Figura 2.12 apresenta a tabela que contém estas dez estratégias
evolutivas.
2.8
Fundamentação Teórica
30
Figura 2.12: Estratégias de Evolução Diferencial
Adaptado de Bergamashi (2010).
2.8
Considerações Finais
Este capítulo apresentou a fundamentação teórica necessária para o conhecimento
básico de uma usina hidrelétrica, a definição de um problema de otimização, bem
como a definição de IC. Estabeleceu um estudo sobre regressão não-linear multivariável, apresentando duas possíveis metodologias para a obtenção dos coeficientes
operativos de uma unidade geradora, assim possibilitando o desenvolvimento da
modelagem matemática do problema. Por fim expôs os algoritmos evolutivos a serem implementados para fins de otimização. Uma vantagem do uso de algoritmos
evolutivos está no fato da independência de domínio, pois é possível elaborar um
algoritmo geral para resolução de problemas de otimização distintos.
Além disto, tais algoritmos são métodos de busca aleatória, proporcionando melhores soluções do que heurísticas comuns quando se dispõe de pouca informação
sobre o espaço de busca. O problema tratado neste trabalho não é simples de se resolver com técnicas convencionais, devido à não linearidade do mesmo. Uma vez que
se encontrou resultados satisfatórios na literatura, para o problema de despacho de
energia, com a utilização de algoritmos evolutivos observados nos trabalhos de Dudek (2004), França (2010), Araújo (2010) e Baños (2011), este trabalho considerou
o uso de algoritmos evolutivos como uma estratégia de solução para o problema.
Capítulo 3
Modelagem do Problema
3.1
Caracterização do Problema
Um sistema de potência é constituído essencialmente de três partes: os centros geradores, os centros consumidores e o sistema de escoamento de fluxo de potência.
Este último, por sua vez é dividido entre os sistemas de transmissão, subtransmissão
e distribuição. Em cada uma destas partes existem limites de operação dos equipamentos elétricos de tal forma a assegurar a geração de energia de forma limpa
e segura determinando assim a qualidade no fornecimento de energia elétrica aos
centros consumidores.
Garantir a geração de potência com a utilização mínima de recursos hídricos, levando em conta as restrições operativas de uma usina hidrelétrica, e de todo sistema
de potência conectado é um grande desafio. O Problema caracteriza-se em otimizar a eficiência produtiva de energia elétrica, ou seja, gerar maior potência com o
mínimo de recurso hídrico necessário.
3.2
Estado da Arte
Diversos trabalhos sobre despacho otimizado de geração em usinas, tanto termoelétricas, quanto hidrelétricas podem ser encontrados na literatura. Dentre estes,
alguns podem ser destacados por sua relevância e modo com que o problema foi
tratado.
Utilizando RNA de fluxo não-linear, Heredia (1995) formulou um modelo para
otimização de produção térmica de eletricidade em curto prazo, um sistema de energia, a fim de obter o mínimo custo de geração térmica ao longo do período diário.
31
3.2
Modelagem do Problema
32
Os resultados obtidos indicam que a solução para este problema é possível, e que os
recursos computacionais necessários são moderados. A formulação é mais vantajosa
do que a uma dissociação, porque uma única iteração leva a otimização do ideal e,
não ser nescessário repetir com otimizações e atualizações dos multiplicadores de
Lagrange ou de hidro gerações, o que poderia não convergir para o ótimo do problema.
Segundo Carneiro (1999), “ em geração de energia, coordenar a operação de um
sistema hidrelétrico consiste em determinar quanto cada usina deve gerar a cada
instante, a fim de que o sistema consiga atender à carga que lhe é solicitada, a
um mínimo custo, respeitando critérios de confiabilidade. Trata-se de uma tarefa
bastante complexa, principalmente porque estes sistemas usualmente são altamente
interligados, tanto elétrica quanto hidraulicamente”. Carneiro (1999) procura por
meio de RNA solucionar o problema de operação de usinas em conjunto, localizadas
no sudeste do país. Os testes realizados mostraram que a RNA conseguiu convergir
para o comportamento ótimo da operação do sistema teste implementado, porém o
tempo computacional foi de custo elevado.
Segundo Arce (1999), o problema do despacho de máquinas numa hidrelétrica
surge quando os estudos do planejamento de curto prazo, a programação e mesmo
a operação em tempo real define a quantidade de energia que a usina deve produzir
ao longo do período de planejamento ou da programação. Seu trabalho propõe um
algoritmo capaz de encontrar o número mínimo ou máximo de unidades geradoras, a
fim de se atender uma demanda de geração informada. Os resultados obtidos foram
satisfatórios.
Arce (2002) propôs uma solução para despacho ótimo de unidades geradoras
usando um modelo de programação dinâmica. O estudo de caso abordado foi a
UHE de Itaipú. O modelo foi desenvolvido para otimizar o número de unidades
geradoras em operação em cada hora do dia visando atingir o agendamento de
geração total da planta, da forma mais econômica. Os resultados obtidos mostram
que o número de conjuntos turbina-gerador despachados tem uma grande influência
sobre a eficiência hidrelétrica em geral, e, portanto, é um aspecto fundamental a ser
considerado no despacho de unidades de geração hidrelétrica. No caso de Itaipú, a
economia esperada em termos de uma maior eficiência, em relação a melhor faixa
operativa, estão na faixa de milhões de dólares por ano.
3.2
Modelagem do Problema
33
Por meio de métodos convencionais de Otimização Não-Linear: relaxação Lagrengeana, método do gradiente, Provençano (2003) formulou sua solução de despacho econômico. Porém ele concluiu que o modelo implementado demonstrou-se
ineficiente do ponto de vista computacional, ou seja, seu algoritmo obteve um alto
custo de execução inviabilizando seu uso prático em ambientes reais de operação em
tempo real.
Dudek (2004) utilizou algoritmos genéticos como abordagem para solucionar o
problema de despacho diário de produção de energia. Seu trabalho levou em conta
os custos operativos de ligar/desligar unidades geradoras mostrando que a ocorrência deste evento traz prejuízos financeiros para a produção. O algoritmo proposto
dá uma solução estável e aceitável para o problema perto do ótimo, porém o custo
computacional de execução do mesmo é alto até mesmo utilizando processadores
paralelos.
Finardi (2005) propôs uma modelagem matemática para resolver o problema
despacho de unidades geradoras hidrelétricas. A modelagem desenvolvida utiliza
uma meta de quantidade de água a ser descarregado por cada usina hidrelétrica
do sistema de energia. Considerando a não-linearidade da função de produção das
unidades geradoras e a presença de zonas proibidas de operação, a metodologia
proposta define a geração ótima para cada unidade geradora. Os resultados deste
trabalho mostram que a modelagem adotada cumpriu a meta de otimização desejada, tornando-a um excelente referencial para o problema proposto neste projeto.
Takigawa (2010) usou como estratégia de otimização metodologias da Relaxação
Lagrangeana e do Lagrageano Aumentado. O autor constatou que o uso de Relaxação Lagrangeana obteve inviabilidade operativa da solução primal, assim inseriu
as heurísticas de princípio do Problema Auxiliar e o Método Não-Linear de Gauss
Seidel para recuperar a solução do problema.
Como outra abordagem para otimização de unidades geradoras de energia, Liu
(2010) fez uso da técnica de computação evolucionária Particle Swarm Optimization
- PSO. O problema da geração por unidade hidrelétrica foi transformado em um
problema de otimização sem restrições por meio do método da função penalidade.
Para melhorar a diversidade e capacidade de busca ao PSO foi incorporado um
operador de cruzamento genético e uma inércia auto-adaptativa para diminuir o
peso. Esta medida trouxe um bom desempenho para minimizar o custo da geração.
A modelagem matemática abordada e o algoritmo obtiveram excelentes resultados.
3.2
Modelagem do Problema
34
França (2010) utilizando algoritmos genéticos propôs um modelo para despacho ótimo em sistemas hidrotérmicos bem como hidráulicos considerando custos
de partida/parada de geradores, por meio de um operador genético que objetiva a
minimização. O modelo adota um esquema de decomposição que permite apenas a
utilização de variáveis da parte elétrica da formulação, sendo que as variáveis hidráulicas são representadas de forma indireta usando simulação hidráulica (não tratada
no artigo). Os resultados obtidos em sistema de teste destacam a importância da
representação de custos de partida/parada nos sistemas hidrotérmicos, e os experimentos realizados indicam que utilizando o operador se obteve 78,6% de diminuição
de paradas e partidas de máquina.
Em seu trabalho de dissertação, Araújo (2010) fez uso da modelagem matemática
elaborada e descrita em Finardi (2005), que simplifica a geração de energia num polinômio de grau sete em função da vazão turbinada. Araújo (2010) também utilizou
todos parâmetros de inicialização de sua solução extraídos de Finardi (2005), bem
como os parâmetros referentes aos coeficientes operativos de um conjunto gerador.
Com a aplicação de técnicas de Inteligência computacional foi possível obter uma
solução factível para o problema de otimização para uma usina hidrelétrica fictícia.
Na busca de encontrar o melhor algoritmo para satisfazer a solução, foram implementados diversos algoritmos entre eles: Algoritmo Busca Gradiente, Algoritmo
Correção de Posto1, Algoritmo Quasi-Newton, Algoritmo elipsoidal, Algoritmo Genético. Araújo (2010) concluiu que os algoritmos de busca (gradiente, correção de
posto e Quase-Newton) não conseguiram soluções factíveis para o problema. O Algoritmo Elipsoidal apresentou um desempenho melhor em relação aos de direção de
busca, mas ainda assim encontrou soluções locais e nem sempre conseguiu atender
a restrição de demanda.
O Algoritmo Genético de Araújo (2010) apresentou o melhor resultado de implementação, conseguindo atender a demanda solicitada em alguns casos. Tal trabalho
aborda apenas experimentos para o planejamento de operação no contexto diário.
É notado que a solução permite que as máquinas sejam desligadas, o que pode comprometer o funcionamento de uma usina real. A modelagem matemática adotada é
simplista, não contemplando estudos sobre perdas hidráulicas ou até mesmo obtenção dos coeficientes de produção de uma unidade geradora. O custo computacional
da melhor solução obtida pelo Algoritmo Genético apresentado está em torno de 95s
a cada hora de geração. Os testes foram gerados com a utilização de uma máquina
Intel Dual Core 2.10 GHz, com 3 GB de memória RAM, em ambiente Windows. Os
testes apontam a utilização de 100% de memória e CPU respectivamente.
3.2
Modelagem do Problema
35
Baños (2011) realizou uma revisão das técnicas até então efetuadas para otimização aplicada à geração de energia renovável e sustentável. Este estudo cita as
diversas formas de energia, dentre elas a hidrelétrica. Como solução de despacho
ótimo, os artigos por ele visitados apresentam as técnicas: Algoritmos Genéticos e
Particle Swarm Optimization. A primeira conclusão desta revisão é que o número de
trabalhos de pesquisa que utilizam métodos de otimização para resolver problemas
de energia renováveis tem aumentado dramaticamente nos últimos anos, porém na
maioria dos casos o custo computacional é elevado até mesmo utilizando processamento paralelo.
Rajan (2011) apresentou uma abordagem para resolver o problema de despacho
utilizando Simulated Anneling. Seu objetivo foi encontrar o escalonamento para geração de tal modo que o custo operacional total viesse a ser minimizado. Obteve
sucesso em suas simulações com desempenho computacional satisfatório.
Pezzini (2011) enuncia em seu artigo técnicas de otimização para melhorar a eficiência energética em sistemas de energia. Tal estudo foi motivado pelo fato de a união
européia assinar o tratado de Kyoto, em Maio de 2002 e desde então estudiosos vem
buscando encontrar novas técnicas para redução em 20% de produção energética até
2020, que é um dos objetivos de tal tratado. As técnicas citadas são: Algoritmos
de busca, Algoritmos Evolucionários, Simulated Anneling , Busca Tabu, Ant Colony
Optimization, Particle Swarm Optimization, Algoritmos Genéticos, Redes Neurais
e Técnicas de Programação Evolucionária. Entre elas, Algoritmos Genéticos são
recomendados para minimização de perdas e maximização de eficiência. Algoritmos
PSO são recomendados para geração ótima de potência.
No entanto, a partir da revisão bibliográfica realizada, foi possível observar que
nenhuma técnica é ideal para o tratamento de problemas complexos como controle
de tensão e despacho ótimo e que na maioria das vezes o usual é a combinação de
várias técnicas a fim de se chegar ao objetivo final. Nesta revisão foi perceptível
notar que a maioria dos trabalhos trataram o problema de despacho a nível do planejamento diário, e que não é interessante para uma usina parar/iniciar unidades
geradoras durante a produção energética.
Além disto, os trabalhos relacionados indicam que as soluções encontradas possuem entre médio/alto custo computacional para a solução, até mesmo com uso de
metaheurísticas relativamente rápidas. Este trabalho abordou o problema de despacho em duas fazes de operação, o despacho diário e o despacho horário em tempo
3.4
Modelagem do Problema
36
real. A abordagem de otimização de despacho elétrico em tempo real é pouco difundida na literatura. Esta maneira de tratar o problema possibilita além de estudos do
comportamento de uma usina para medidas de planejamento futuro, a operação em
tempo real de uma usina otimizando o sistema de geração economizando insumos,
neste caso a água.
3.3
Escopo do Trabalho
Araújo (2010) utilizou o modelo matemático proposto por Finardi (2005) e implementou soluções por meio de técnicas de determinísticas de inteligência computacional e Algoritmos Genéticos, para um problema fictício de geração de energia
conforme detalhamento descrito na Seção 3.2. O escopo deste trabalho se baseia
inicialmente em estudar uma UHE de grande porte real e em operação, modelar
matematicamente a geração hidrelétrica incorporando as perdas inerentes aos condutos forçados, obter os coeficientes operativos das unidades geradoras por meio da
técnica estatística de regressão não-linear multivariável. Realizar também a implementação de soluções de otimização e identificar por meio de análise estatística as
melhores soluções.
Este trabalho apresenta uma abordagem distinta para o tratamento do problema
de despacho ótimo de usinas hidrelétricas brasileiras, diferenciando-se dos trabalhos
correlacionados encontrados na literatura apresentados na Seção 3.2. Propõe ainda
uma nova e melhor abordagem de solução para o problema, com relação ao trabalho
base realizado por Araújo (2010), o que pode ser comprovado nos capítulos 4 e 5
deste texto. Nas seções seguintes é apresentada a modelagem matemática proposta
por este trabalho, com exemplos de cálculo para cada modelo exposto.
3.4
Modelagem Matemática
Nesta seção é descrita a modelagem matemática proposta para solução do problema
de despacho elétrico. A função que calcula a produção de energia de uma unidade
hidrelétrica em megawatt - MW, segundo Schreiber (1981), é dada pela Equação
3.1,
phjt = g · ηjt · hljt · qjt ,
na qual
(3.1)
3.4
Modelagem do Problema
37
• phjt é a potência gerada pela unidade geradora (j) no estágio de tempo (t);
• g é a aceleração da gravidade (9, 8 · 10−3 kg/m2 s2 ). A gravidade aqui é apresentada desta maneira a fim de se converter automaticamente kilowatts para
megawatts;
• ηjt é o rendimento da unidade geradora (j) no estágio de tempo (t);
• hljt é a queda líquida na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t) e
• qjt é vazão turbinada na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t).
A queda bruta (Hb) de uma barragem se da pela subtração do valor de nível
montante pelo valor de nível jusante da mesma, este dado é facilmente medido e
entregue pelo sistema de controle-conjunto de uma usina. Logo, a queda liquida
(hljt ) nada mais é que a subtração da queda bruta pelas perdas hidráulicas totais.
Neste trabalho, considerou-se como parâmetro de perdas totais, as perdas relativas
ao atrito nos condutos forçados.
Nas usinas hidrelétricas, as tubulações que ligam a tomada d’água às turbinas na
casa de força são comumente condutos forçados, (Quintela, 1981; Schreiber, 1981).
Entende-se por condutos forçados aquele no qual o fluido escoa à plena seção e sob
pressão. A Figura 3.1 apresenta, dentre outros componentes da casa de força tais
como tomada d’água, gerador, turbina e canal de fuga, a imagem de um conduto
forçado.
Figura 3.1: Corte em usina, com tubulações expostas à jusante da barragem
FONTE - Schreiber (1981)
3.4
Modelagem do Problema
38
De modo geral, o escoamento de um fluido não é descrito pelo movimento individual de cada uma de suas partículas, mas é especificado por sua densidade (ρ) e
velocidade de escoamento numa determinada posição e num determinado instante.
Segundo Fox (2006), a área que estuda este fenômeno é a Mecânica dos Fluidos que
define dois tipos de escoamento, o escoamento laminar e o escoamento turbulento.
Em tubulações, a variação na velocidade de escoamento está associada as diferentes áreas das seções transversais dos tubos e ao grau de aspereza de sua superfície
interna. Essa variação na velocidade provoca uma perda de energia hidráulica, denominada de perda de carga, que pode ser dividida em:
• Perda distribuída (∆Hd ), devido ao atrito do fluido com as paredes do conduto,
ao longo de toda a sua extensão, com área transversal constante;
• Perda localizada (4Hl ), devido a singularidades, tais como ampliações, reduções, curvas, válvulas com área transversal não constante.
Os cálculos hidráulicos têm a finalidade de determinar as perdas de carga na
tubulação. O modelo de cálculo de perdas hidráulicas totais apresentado no decorrer
do texto tem como base teórica as obras de Schreiber (1981), Porto (2004) e Netto
(1998). As perdas totais (∆Hjt ), referentes ao atrito do fluido nos condutos forçados
são calculadas pela Equação 3.2,
∆Hjt = ∆Hd + ∆Hl ,
(3.2)
na qual
• ∆Hd são as perdas de carga da tubulação (m);
• ∆Hl são as perdas de carga nas curvas (m).
As perdas distribuídas (∆Hd ) são uniformes em qualquer trecho de uma tubulação
(com diâmetro constante), independente da posição da tubulação. As perdas de
carga distribuídas, devido ao atrito do fluido com as paredes do conduto ao longo
de toda a sua extensão, são obtidas pela Equação 3.3,
∆Hd = F
na qual
L V2
,
D 2g
(3.3)
3.4
Modelagem do Problema
39
• F é o fator de perda na tubulação;
• L é o comprimento da tubulação (m);
• D é diâmetro da tubulação (m);
• V é a velocidade do fluido (m/s);
• g é a aceleração da gravidade. Aqui considerada igual a (9.8 m/s2 ).
O fator de perda da tubulação (F ) é obtido pela Equação 3.4,
F = {(
ξ
5.74
64 8
2500 6 −16
) + 9.5[ln(
+
) ] },
)−(
0.9
Rey
3.7D Rey
Rey
(3.4)
na qual
• D é o diâmetro da tubulação (m);
• ξ é a rugosidade relativa da tubulação (k/D);
• Rey é o Número de Reynolds.
O valor de ξ é estimado pela razão entre uma constante k, que representa a rugosidade absoluta da tubulação, e o seu diâmetro (Porto, 2004). Segundo Schreiber
(1981), o valor aproximado de k, para tubulações antigas é 0,2.
Osborne Reynolds (1883) procurou observar o comportamento dos líquidos em
escoamento. Reynolds observou e definiu que quando as partículas do fluido apresentam trajetórias bem definidas que não se cruzam, tal regime de escoamento é
definido como laminar.
Quando as partículas do fluido se misturam de forma não linear, isto é, de forma
caótica com turbulência e redemoinhos, o escoamento é definido como turbulento. O
número de Reynolds é um parâmetro que leva em conta a velocidade entre o fluido
que escoa e o material que o envolve. A velocidade do fluido é dada pela Equação
3.5,
V =
na qual
Q
,
A
(3.5)
3.4
Modelagem do Problema
40
• Q é a vazão turbinada no instante t;
• A é a área total da tubulação.
Por sua vez a área total da tubulação é obtida pela Equação 3.6,
A=π
D4
,
4
(3.6)
na qual
• D é o diâmetro da tubulação (m);
• π = 3,14.
Reynolds, após suas investigações, concluiu que o melhor critério para se determinar o tipo de escoamento de uma determinada tubulação, não se prende exclusivamente da velocidade do fluido, mas ao valor de uma expressão sem dimensões
conforme Equação 3.7,
Rey =
ρV D
,
µ
(3.7)
na qual
• ρ é a massa especifica do fluido;
• V é a velocidade do fluido (m3 /s2 );
• µ é a viscosidade dinâmica do fluido (m3 /s2 ).
Se o escoamento verificar um Rey superior a 4000, o movimento nas condições
correntes será turbulento, enquanto no regime laminar estável ocorre com Rey inferior a 2000 (Netto, 1998). As perdas de carga localizadas (4Hl ), ou locais, são
assim determinadas pelo fato de decorrerem especificamente de pontos ou partes da
tubulação, e são obtidas pela Equação 3.8,
∆Hl = λ
na qual
• λ é o fator de perda nas curvas;
V2
,
2g
(3.8)
3.4
Modelagem do Problema
41
• V é a velocidade do fluido;
• g é a aceleração da gravidade. Aqui considerada igual a (9.8 m/s2 ).
Segundo Schreiber (1981), com suficiente aproximação as condições naturais os
valores do coeficiente (λ) podem ser obtidos por meio de observação do gráfico expresso pela Figura 3.2, no qual se compara os valores dos eixos x (valor de λ) e y
(ângulo da curva em graus). O autor sugere que se faça isto, uma vez que o texto
não demonstra nenhuma equação para obtenção do valor de λ.
Via de regra, nas tubulações de usinas hidrelétricas as curvas não são circulares,
mas sim poligonais, compostas de pequenos trechos retos com ângulos de desvio de
o
10 a 25 (Schreiber, 1981). Neste caso, os valores obtidos do gráfico da Figura 3.2
devem ser aumentados da seguinte forma para ângulos até 45o :
• Ângulo de desvio de 10 a 15 %: Aumento de 2% ;
• Ângulo de desvio de 15 a 22 %: Aumento de 3%.
Figura 3.2: Aumento da perda de carga em tubulações com curvas poligonais
FONTE - Schreiber (1981).
Por exemplo, o ponto referenciado por uma seta na Figura 3.2 indica que uma
curva de aproximadamente 40o possui um valor de λ igual a 0,10 para o caso de
valor de a aproximadamente igual a 2. O parâmetro a é obtido pela razão entre o
raio da tubulação e diâmetro da mesma. No caso desta curva específica, o valor de
λ sofrerá um percentual de acréscimo de 3%, se tornando então igual a 0,103.
3.4
Modelagem do Problema
3.4.1
42
Modelo de Perdas Hidráulicas
Para melhor entendimento do estudo de perdas hidráulicas inerentes dos condutos
forçados, apresentado anteriormente, é estabelecido neste trabalho um modelo de
cálculo de perdas.
Como mostrado um conduto possui divisões, onde aqui elas são representadas
pelas seções retas e pelas curvas existentes no mesmo. Assim a perda total (∆Hjt )
pode ser modelada matematicamente conforme a Equação 3.9,
C(n)
S(n)
∆Hjt
L V2 X V2
λ ,
F
+
=
D
2g
2g
c=1
s=1
X
(3.9)
na qual é apresentado o somatório das perdas da tubulação reta com o somatório
das perdas nas curvas. Logo, ao aplicar as equações 3.4, 3.5 e 3.6 na Equação 3.3 é
obtida a Equação 3.10 para cálculo de perdas distribuídas,
S(n)
∆Hd =
X
s=1
{(
64 8
ξ
5.74
2500 6 −16 L
Q2
) + 9.5[ln(
+
)
−
(
)
]
}
·
. (3.10)
Rey
3.7D Rey 0.9
Rey
D 2(πgA2 )
Da mesma forma, ao aplicar as equações 3.5 e 3.6 na Equação 3.8, é obtida a
Equação 3.11,
C(n)
∆Hl =
X
c=1
λ·
Q2
.
2(πgA2 )
(3.11)
Desta forma, o modelo de perdas apresentado neste trabalho pode ser aplicado
para cálculo de perdas devido ao atrito de condutos forçados semelhantes ao apresentado na Figura 3.3.
Figura 3.3: Exemplo de Conduto Forçado
FONTE - Imagem cedida pela concessionária de energia
Para interpretação da Figura 3.3 são usadas as seguintes legendas:
3.4
Modelagem do Problema
43
• TD: Tomada d’água;
• S1: Seção 1 da tubulação reta. Comprimento: 91,60m;
• S2: Seção 2 da tubulação reta. Comprimento: 86,26m;
• S3: Seção 3 da tubulação reta. Comprimento: 13,40m;
• C1: Curva hidráulica. Ângulo: 24o ;
• C2: Curva hidráulica. Ângulo: 24o ;
3.4.1.1
Exemplo de Cálculo de Perdas Hidráulicas
Para exemplo de aplicação do modelo de perdas apresentado anteriormente, se levará
em conta o conduto apresentado pela Figura 3.3. Neste exemplo foram considerados
constantes os parâmetros apresentados pela Tabela 3.1, obtidos pelo estudo de um
conduto específico contido na planta baixa referente aos condutos forçados de uma
usina.
Tabela 3.1: Parâmetros para exemplo de cálculo de perdas
Parâmetro Valor Parâmetro Valor
Q (m3 /s)
135,00
g (m/s2 )
9,8
S1 (m)
91,60
S2 (m)
86,26
S3 (m)
13,40
D (m)
6,60
C1 (o )
24
C2 (o )
24
Parâmetro Valor
Rey
4000
k
0,082
ξ
0,030
π
3,14
Como observado na Figura 3.3, o conduto possui três seções de tubulação reta
(S1, S2, S3 respectivamente) e duas curvas (C1 e C2 respectivamente). O parâmetro
(λ) é dado em relação ao ângulo da curva. A seguir são apresentados os cálculos de
perdas nestes trechos.
• Perda distribuída no trecho S1, com uso da Equação 3.10:
∆Hd = {(
(
64 8
0, 030
5, 74
) + 9, 5 · [ln(
+
)−
4000
3, 7 · 6, 6 40000,9
2500 6 −16 160
(135, 00)2
) ] }·
·
= 0, 1501.
4000
6, 6 2 · (9, 8 · (3, 14 · (6,6)4 )
4
• Perda distribuída no trecho S2, com uso da Equação 3.10:
∆Hd = {(
0, 030
5, 74
64 8
) + 9, 5 · [ln(
+
)−
4000
3, 7 · 6, 6 40000,9
3.4
Modelagem do Problema
(
44
(135, 00)2
2500 6 −16 86, 26
) ] }·
·
= 0, 0859.
4000
6, 6 2 · (9, 8 · (3, 14 · (6,6)4 )
4
• Perda distribuída no trecho S3, com uso da Equação 3.10:
∆Hd = {(
(
0, 030
5, 74
64 8
) + 9, 5 · [ln(
+
)−
4000
3, 7 · 6, 6 40000,9
2500 6 −16 13, 40
(135, 00)2
) ] }·
·
= 0, 0126.
4000
6, 6 2 · (9, 8 · (3, 14 · (6,6)4 )
4
• Perda localizada da curva hidráulica C1, com uso da Equação 3.11:
∆Hl = 0, 082 ·
(135, 00)2
2 · (3, 14 · 9, 8 ·
(6,6)4
)
4
= 0, 0525.
• Perda localizada da curva hidráulica C2, com uso da Equação 3.11:
∆Hl = 0, 082 ·
(135, 00)2
2 · (3, 14 · 9, 8 ·
(6,6)4
)
4
= 0, 0525.
Logo, as perdas totais do conduto apresentado neste exemplo, em metros calculadas pela Equação 3.9, são
∆Hjt
S(3)
X
C(2)
L V2 X V2
λ ,
+
F
=
D 2g
2g
c=1
s=1
∆Hjt ' 0, 1501 + 0, 0859 + 0, 0126 + 0, 0525 + 0, 0525,
∆Hjt ' 0, 30635(m).
3.4.2
Cálculo de Queda de Líquida
Como já informado, o parâmetro de queda líquida (hljt ) é obtido pela subtração do
valor de queda bruta (Hbjt ) pelas perdas hidráulicas totais referentes ao atrito nos
condutos forçados (∆Hjt ). Logo, a obtenção do valor de queda líquida é dada pela
Equação 3.12,
hljt = Hbjt − ∆Hjt ,
(3.12)
3.4
Modelagem do Problema
3.4.2.1
45
Exemplo de Cálculo Queda Líquida
Para exemplo, seja considerado que o sistema de geração mediu os níveis montante
e jusante, e constatou um valor de queda bruta (Hbjt ) igual a 50 (m) em dado
instante (t). Se a vazão vertida neste instante for 135,00 (m3 /s) conforme o exemplo
de cálculo de perdas apresntado, a perda hidráulica seria de 0,30635 (m). Logo, a
queda líquida (hljt ) no instante (t) calculada pela Equação 3.12 é
hljt = Hbjt − ∆Hjt ,
hljt = 50 − 0, 30635,
hljt = 49, 6465(m).
3.4.3
Modelo de Rendimento de Turbina
Embora Finardi (2005) tenha afirmado que a eficiência global de uma unidade de
produção hidrelétrica pode ser computada como o produto das eficiências do gerador e turbina, esta abordagem não leva em consideração as perdas hidráulicas e o
derramamento de água na turbina. A modelagem da eficiência de uma unidade de
produção é descrita pela função quadrática apresentada pela Equação 3.13,
2
2
ηjt = ρ0j + ρ1j hljt + ρ2j qjt + ρ3j hljt qjt + ρ4j hljt
+ ρ5j qjt
,
(3.13)
na qual
• ηjt é o rendimento de uma unidade geradora (j) nos estágio de tempo (t) (%);
• ρ0j , ... , ρ5j são coeficientes obtidos da curva de rendimento por meio da
técnica de regressão não-linear multivariável;
• hljt é a queda líquida na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t);
• qjt é vazão turbinada na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t).
Levando em conta de que a usina estudada, possui apenas uma curva de rendimento característica para todas os conjuntos-geradores, o modelo de perdas abordado neste trabalho se torna justificado não somente para o cálculo do rendimento
dos conjuntos-geradores, bem como diferenciá-los, uma vez que cada máquina receberá então uma queda líquida específica.
3.4
Modelagem do Problema
3.4.3.1
46
Obtenção dos coeficientes operativos
Para encontrar um conjunto de pontos, a fim de se realizar a regressão não-linear
multivariável, foi realizada uma vetorização da curva de rendimento fornecida pela
usina estudada. Usando técnicas de programação, um algoritmo foi implementado
para a leitura das imagens. O algoritmo lê cada curva em separado identificando os
pontos do gráfico, que são os pixeis positivos da imagem.
Cada pixel carrega a informação de um ponto do eixo X, Y e Z da curva de
rendimento, gerando assim uma matriz de 6969 pontos (Vazão X Queda Liquida X
Rendimento) com relação aos níveis de rendimento do conjunto-gerador. A curva
de rendimento foi redesenhada no software GIMP, e de posse dos pontos entregues
pelo algoritmo gerador da matriz de parâmetros foi possível refazer a curva em
ambiente MATLAB. Os intervalos respeitados pela vetorização, respeitando a curva
de rendimento foram:
• Variável independente: Vazão [50, 150] (m3 /s) ;
• Variável independente: Queda Líquida [32, 56] (m) ;
• Variável dependente: Rendimento [83, 93] (%).
A Figura 3.4 apresenta as imagens do processo de vetorização citado.
Figura 3.4: Processo de Vetorização da Curva de Colina
3.4
Modelagem do Problema
47
Como resultado, a Figura 3.5 apresenta os pontos reais gerados por meio da
vetorização da imagem da curva de rendimento fornecida pela concessionária de
energia. Nela estão presentes os 6969 pontos referentes a queda líquida, vazão e
rendimento da turbina.
Figura 3.5: Gráfico dos pontos vetorizados
Após a obtenção dos pontos foi realizada a regressão não-linear multivariável.
Para tal realização da regressão foram abordadas duas técnicas distintas, uma com
uso de RNA e outra com uso do Algoritmo de Levenberg-Marquardt. A seguir serão
apresentados os resultados obtidos por meio destas técnicas.
3.4.3.2
Coeficientes Obtidos com uso de RNA
A RNA utilizada é a descrita na Seção 2.5 deste trabalho. Para entrada da RNA
foram informados mil pontos dos 6969 pontos adquiridos na vetorização realizada.
Ao utilizar a RNA de Farlow (1984), os parâmetros da Tabela 3.2 foram encontrados.
Tabela 3.2: Coeficientes da Função dados pela RNA
Parâmetro
Valor
ρ0
0,783931013
ρ1
0,003723267
ρ2
-0,005387764
ρ3
0,000101871
ρ4
-6,70E-07
ρ5
1,43E-09
3.4
Modelagem do Problema
48
Ao aplicar tais parâmetros com intervalos de queda liquida [32:0.1:56] e vazão
[50:0.1:150], caracterizados por hljt e qjt respectivamente na Equação 3.13, obteve-se
o seguinte resultado comparativo em relação a curva dos pontos vetorizados, visto
pela Figura 3.6
Figura 3.6: Curva de Rendimento - Usando parâmetros da RNA
A Figura 3.6 mostra que a regressão, embora tenha atingido vários pontos da
curva vetorizada, não apresentou uma boa exatidão dada a amostra de pontos de
entrada na RNA. Assim, se conclui que esta abordagem não é eficiente para esta
quantidade de pontos. Uma amostra menor poderia invalidar a regressão, pois não
atingiria pontos suficientes no intervalo de rendimento [83, 93] %.
3.4.3.3
Coeficientes Obtidos com uso do Algoritmo Levenberg-Marquardt
Após a verificação do resultado da regressão realizada com a RNA, foi necessário encontrar uma melhor abordagem. Como segunda opção para realização da regressão
foi utilizada a clase NonLinearModel.fit da toolbox estatística do MATLAB 2012.
Tal classe tem implementada em seu núcleo o Algoritmo de Levenberg-Marquardt
citado na Seção 2.6 deste trabalho.
Como parâmetros de entrada foram utilizados aproximadamente mil pontos referentes, dos 6969 adquiridos pela vetorização, onde foram consideradas como variáveis independentes (queda liquida e vazão) e variável dependente (rendimento).
Os pontos foram escolhidos num intervalo de 7 pontos, visando obter uma margem
satisfatória de pontos no intervalo de rendimento [83, 93] %.
3.4
Modelagem do Problema
49
A seguir são apresentados os resultados da regressão, onde são estimados os coeficientes e apresentados, os resíduos (SE) e o p-valor (pValue) para cada coeficiente,
que representam a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais
extrema quanto aquela observada em uma amostra, assumindo verdadeira a hipótese
nula (FREUND, 2000). A Figura 3.7 mostra a saída da regressão.
Figura 3.7: Resultado da Regressão Linear Multivariável
Como mostrado, os resíduos da aproximação foram irrisórios enquanto o p-valor
foi nulo, atendendo a premissa de sua característica. Com a utilização da toolbox
estatística do MATLAB 2012 foi possível uma aproximação de 99% da regressão.
Para validação da aproximação segue o resultado gráfico apresentado pelas figuras, 3.8, 3.9 e 3.10. A Figura 3.8 apresenta o cálculo de rendimento por meio
dos 6969 pontos de vazão e queda liquida vetorizados, pelos coeficientes operativos
encontrados aplicados à Equação 3.13.
Figura 3.8: Gráfico dos pontos calculados
3.4
Modelagem do Problema
50
O comportamento do gráfico de pontos calculados apresentado pela Figura 3.8
é similar ao comportamento do gráfico de vetorização apresentado pela Figura 3.5,
isto valida a regressão realizada e pode ser confirmada pela superposição destes dois
gráficos gerando a Figura 3.9.
Figura 3.9: Superposição entre pontos vetorizados e pontos calculados
O gráfico da Figura 3.9 apresenta a validação da regressão realizada. Nela é
apresentada a interposição dos gráficos contidos nas figuras 3.5 e 3.8.
A fim de se verificar a generalização dos coeficientes operativos foi gerado um
gráfico de meshgrid 3D com a utilização dos parâmetros da Tabela 3.3, que detalha
os coeficientes obtidos por meio do algoritmo de Levenberg-Marquardt. Foram utilizados intervalos de queda liquida [32:0.1:56] e vazão [50:0.1:150] aplicados a Equação
3.13 juntamente com coeficientes operativos informados na Tabela 3.3. Como saída
gráfica obteve-se o gráfico apresentado pela Figura 3.10.
Tabela 3.3: Coeficientes operativos
Coeficiente
ρ0j
ρ1j
ρ2j
ρ3j
ρ4j
ρ5j
Valor
0,1463
0,018076
0,0050502
-3,5254e-05
-0,00112337
-1,4507e-05
3.4
Modelagem do Problema
51
Figura 3.10: Generalização da Regressão
O gráfico da Figura 3.10 apresenta claramente a visualização da colina característica do conjunto gerador de uma usina. Para validar o gráfico de generalização,
o mesmo foi superposto ao gráfico de vetorização apresentado pela Figura 3.5. Finalmente é apresentado pela Figura 3.11 o gráfico de interposição dos gráficos de
vetorização e generalização apresentados anteriormente.
Figura 3.11: Superposição: Generalização X Vetorização
3.4
Modelagem do Problema
52
Os gráficos comprovam que a aproximação realizada é satisfatória dando credibilidade aos coeficientes estimados pela técnica de regressão não-linear multivariável
aqui abordada. A Figura 3.12 resume o processo de realização da regressão nãolinear multivariável.
Figura 3.12: Processo de obtenção de um modelo matemático a partir de dados
construtivos
3.4.3.4
Exemplo de Cálculo Rendimento de Conjunto-Gerador
Como exemplo, se considerou que após o calculo de perdas hidráulicas o valor de
queda líquida (hljt ) encontrado foi 49,6465 (m), utilizando uma vazão de 135,00
(m3 /s). O rendimento do conjunto-gerador no instante (t) calculado pela Equação
3.13 é igual a,
2
2
ηjt = ρ0j + ρ1j hljt + ρ2j qjt + ρ3j hljt qjt + ρ4j hljt
+ ρ5j qjt
,
ηjt = 0, 1463 + 0, 018076 · 49, 6465 + 0, 0050502 · 135, 00+
(−3, 5254e − 05) · 49, 6465 · 135, 00 + (−0, 000112337) · 49, 64652 +
(−1, 4507e − 05) · 135, 002 ∼
= 0, 9357.
3.4
Modelagem do Problema
3.4.4
53
Modelo de Produção
Como as equações de cálculo de rendimento da turbina dependem diretamente da
vazão e da queda líquida, a função de produção foi simplificada por Finardi (2005)
e utilizada no modelo de Araújo (2010) como um polinômio de sétimo grau, levando
em consideração somente a vazão e coeficientes associados aos seus termos, conforme
Equação 3.14:
pjt (qj ) = ρ0j qj + ρ1j qj2 + ... + ρ6j qj7 .
(3.14)
Segundo Finardi (2005), estes coeficientes ρ0j ,..., ρ6j são parâmetros dependentes
de características operativas e são calculados por meio da curva de rendimento, perdas nos condutos, perdas brutas, entre outros. Porém na modelagem de rendimento
proposta por Finardi (2005) é possível encontrar apenas 6 coeficientes operativos, e
nesta função são mencionados 7. Assim, fazer uso desta função se torna impossível
para solução do problema. Outro fato relevante é que o autor não explica ou justifica
a construção desta equação.
Tendo em vista este problema de modelagem, este trabalho proprõe uma função
diferente para cálculo de potência elétrica conforme Equação 3.15,
phjt = g · [ρ0j + ρ1j hljt + ρ2j qjt + ρ3j hljt qjt +
(3.15)
2
2
ρ4j hljt
+ ρ5j qjt
] · [Hbjt − ∆Hjt ] · qjt ,
na qual
• phjt é a potência gerada pela unidade geradora (j) no estágio de tempo (t);
• g é a aceleração da gravidade (9, 8 · 10−3 kg/m2 s2 );
• ρoj ...ρ5j são os coeficientes operativos da unidade geradora;
• hljt é a queda líquida na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t);
• qj e qjt correspondem a vazão turbinada na unidade geradora (j) no estágio de
tempo (t);
• Hbjt é queda bruta na unidade geradora (j) no estágio de tempo (t) e
3.4
Modelagem do Problema
54
• ∆Hjt são as perdas totais referentes aos condutos forçados na unidade geradora
(j) no estágio de tempo (t).
A função de produção, proposta pela Equação 3.15, traz parâmetros calculados que foram abordados ao longo da modelagem, salvo o parâmetro vazão (qjt ).
Segundo Schreiber (1981), a vazão é um parâmetro complexo de ser calculado ou
medido, pois o mesmo depende dos níveis de pressão entre a entrada dá água na
tomada d’água e de sua saída pelo canal de fuga após a passagem pela turbina.
Para calculo deste parâmetro, este trabalho propõe o uso de técnicas de inteligência
computacional, na sub-área de computação evolutiva, visando encontrar aproximações ótimas de vazão para cada unidade geradora buscando minimizar o valor deste
parâmetro.
3.4.4.1
Exemplo de Cálculo de Potência Hidréletrica
Para exemplo, seja considerado o valor para queda líquida (hljt ) de 49,6465 (m)
calculado anteriormente pela Equação 3.12, e que a vazão seja 135,00 (m3 /s). Utilize
também o rendimento do conjunto-gerador no instante (t) calculado pela Equação
3.13, incorporada a função de produção. Usando estes dados, a potência hidrelétrica
gerada no instante (t) é
2
2
phjt = g · [ρ0j + ρ1j hljt + ρ2j qjt + ρ3j hljt qjt + ρ4j hljt
+ ρ5j qjt
] · [Hbjt − ∆Hjt ] · qjt
phjt = 0, 0098 · 0, 9357 · 49, 6465 · 135, 00,
phjt = 61, 4589(M W ).
3.4.5
Modelo de Otimização
De acordo com a modelagem, apresentada até o momento, o objetivo da otimização
seria maximizar a função de produção, levando em conta todas as unidades geradoras
conforme a Equação 3.16.
F1 =
J
X
phjt .
(3.16)
j=1
O balanço de vazão de água entre as unidades é estabelecido por meio da Equação
3.17. O parâmetro Q representa a vazão objetivo geral da planta hidrelétrica,
3.4
Modelagem do Problema
55
F2 =
J
X
qjt = Q.
(3.17)
j=1
Com base na modelagem de produção de potência apresentada, estabelece-se
então o seguinte modelo para eficiência de produção hidrelétrica, em termos do vetor
de variáveis de otimização representado pelas vazões instantâneas de cada unidade
geradora,
x = [q1t , q2t ...qjt ],
(3.18)
e composto pela função objetivo:
PJ(r)
j=1 phjt
,
M aximize F (x) = PJ(r)
q
j=1 jt
(3.19)
sujeito a:
J(r)
X
phjt ∼
= D,
j=1
qjt min ≤ qjt ≤ qjt max,
phmin
jk
∅j
X
Zjk ≤ phjt ≤
k=1
Zjk ∈ {0, 1},
phmax
jk
∅j
X
Zjk ,
k=1
∅j
X
Zjk ≤ 1.
k=1
A função objetivo determina o quanto de energia a usina é capaz de produzir
com um determinado volume de água. Maximizar a função significa produzir maior
potência utilizando menor vazão de água. O numerador é a função de produção, à
medida que o valor cresce a função objetivo aumenta seu valor.
O denominador quando reduzido também aumenta o valor da razão de produtividade. A razão está sujeita a restrições de demanda operativa, ou seja, a soma de
toda a produção das unidades geradoras deve ser igual ao valor de demanda solicitada a usina.
3.5
Modelagem do Problema
56
A produção deve respeitar os limites operativos das unidades geradoras apresentados pelas restrições da função objetivo. A primeira restrição indica que a potência
a ser entregue deve ser aproximadamente igual à demanda solicitada no despacho
elétrico, o ONS aceita um erro percentual de até 0,5% acima ou abaixo do valor
solicitado.
A segunda restrição informa que a vazão calculada deve respeitar os limites mínimos e máximos de capacidade da unidade geradora. A terceira restrição indica que a
potência gerada também deve respeitar os limites mínimos e máximos de capacidade
da unidade geradora. A quarta restrição informa que cada unidade geradora possui
apenas uma zona de operação. Como função de fitness para avaliação das soluções,
é usada a própria função objetivo apresentada pela Equação 3.19.
3.5
Considerações Finais
Estudos foram levantados por Dudek (2004) e França (2010) para verificação dos
custos de parada e partida de conjuntos-geradores. Ambos os trabalhos concluem
que tal custo é alto, tanto financeiro quanto de manutenção. Desta forma, todo sistema de geração deve evitar ao máximo esta ocorrência. Este trabalho não incluiu
tais custos, pois para a usina estudada o ideal é que nenhum conjunto gerador pare
pelo fato da mesma ser uma usina de base da concessionária.
Este capítulo apresentou uma modelagem matemática consistente e a realização
de exemplos de cálculo. Tal modelagem, que contempla as perdas hidráulicas inerentes aos condutos forçados, não foi encontrada na literatura. Portanto este trabalho
estabeleceu uma nova modelagem matemática que representa a produção de energia
hidrelétrica de maneira original. Para reproduzí-la a fim de se otimizar outra UHE
é necessário apenas que se tenha em mãos a curva de rendimento e as informações
de construção dos condutos forçados da usina a ser estudada.
Capítulo 4
Estudo de Caso: UHE Instalada no
Brasil
Uma usina hidrelétrica se caracteriza pela quantidade de energia que ela pode prover
num determinado intervalo de tempo ao SIN. Em janeiro de 2002 havia registro de
129 usinas hidrelétricas em operação no Brasil e 304 empreendimentos de pequeno
porte. A ANEEL considera UHE ou empreendimentos de grande porte, toda e qualquer usina com capacidade nominal superior a 30 MW (ANEEL, 2002).
Dada esta informação, o estudo de caso deste trabalho é uma UHE de grande
porte instalada no Brasil, pois sua capacidade nominal é superior a premissa estabelecida pela ANEEL. Este capítulo vai abordar as características gerais desta usina,
que possui em operação 06 conjuntos geradores, bem como os experimentos realizados para solução do problema de despacho elétrico, com a utilização dos algoritmos
de otimização propostos.
4.1
Dados reais da UHE
Para criação do modelo matemático proposto e desenvolvimento das soluções de
otimização, se fez necessária a obtenção dos parâmetros de inicialização (demanda
da usina por hora, limites operativos e coeficientes de produção) da usina. A usina
concedeu uma massa de dados para análise do período de geração entre 28/07/11 a
11/08/11, considerado intermediário entre cheia e seca. A massa de dados contempla
um relatório geral de hidrologia e também o relatório individual de geração de suas
unidades geradoras. Não foi possível realizar testes com base no histórico de período
propriamente de cheia ou seca, devido a falta de dados, porém isto não afetou a
caracterização da usina.
57
4.1
Experimentos
58
A seguir são apresentados os dados considerados, com medidas de média e desvio
padrão de cada parâmetro do modelo.
4.1.1
Vazão Turbinada
• Desvio padrão da vazão está alto em todas as unidades de geração, ou seja as
vazões (hora em hora) se alteram bastante ao longo do dia e período;
• Vazão mínima 84 m3 /s e máxima 140 m3 /s.
4.1.2
Potência Ativa
• Desvio padrão da potência está baixo (em 3.5 MW) em relação a média;
• A potência (MW) está variando entre 40 MW e 65 MW por máquina obedecendo os limites operativos de produção unitária (35 MW à 66 MW).
4.1.3
Demanda Média do Período
No período, a demanda de geração média da usina foi de 320 MW sendo que o
máximo da usina para 06 conjuntos geradores é de 396 MW. Conclui-se que nesse
período a UHE estudada teve uma moderada demanda de geração. Porém normalmente a usina trabalha em sua capacidade nominal. Este fenômeno é observado, pois
a usina referida é uma usina base da concessionaria, que tem como característica
manter sua geração no limite máximo operativo, denominado de geração nominal.
4.1.4
Limites nas variáves do Sistema
Os dados até então apresentados em 4.1 não puderam ser usados como parâmetros
de entrada, pois os mesmos não são dados de medição real da usina. Trata-se de
dados calculados pelo antigo método de medição de vazão conhecido como sistema
de controle Inter-Kenedy, que os arredonda automaticamente. Tal sistema é responsável pelo controle da malha e por todo o equipamento elétrico e hidráulico da usina.
O modo de operação otimizado irá atuar sob o Inter-Kenedy, com a função de
informá-lo apenas o despacho elétrico ótimo, calculado por um dos algoritmos de
otimização implementados. Assim, para teste destes algoritmos, foram respeitadas
as seguintes restrições operativas da usina:
• Limites operativos das unidades geradoras (Potência): 35MW a 66MW;
4.2
Experimentos
59
• Limites operativos das unidades geradoras (Vazão): 70 a 140 m3 /s;
• Limites operativos das unidades geradoras (Rendimento): 83 a 93 %, e;
• Limites operativos das unidades geradoras (Queda Líquida): 32 a 56 m.
4.2
Algoritmos Propostos
A estrutura flexível dos algoritmos evolucionários faz com que seja possível construilos de diversas maneiras diferentes. Cada variação do operador no interior de um
algoritmo leva a uma diferente versão algoritmo com o seu próprio desempenho associado (Carrano, 2011). Dada esta informação, as seções posteriores identificam os
doze algoritmos propostos para resolução do problema de despacho ótimo.
Os algoritmos implementados consideraram os seguintes critérios:
• Possibilitar testes de geração de demanda horária;
• Possibilitar testes de geração de demanda diária (período de 24 horas);
• Estabilizar testes de geração de demanda diária com demanda fixa no período.
• Restringir o algoritmo para que não haja parada de máquina.
• Respeitar as restrições operativas inseridas na função-objetivo.
4.2.1
Algoritmo Genético Binário Proposto
Como primeira abordagem de solução, o AG proposto por Araújo (2010) foi estudado. Tal algoritmo não contemplava as reais necessidades de experimentos pois não
respeitava os critérios informados na Seção 4.2. Assim foi construído um novo AG
com representação de indivíduos binários, doravante denominado Algoritmo Genético Binário (AGB).
O AGB foi implementado com base no AG canônico apresentado na seção 2.7.1.
Foram utilizados os seguintes operadores de seleção, cruzamento e mutação, respectivamente: método da roleta, cruzamento binário de ponto único e mutação com
alteração arbitrária de bit, discutidos na Seção 2.7.2 deste trabalho. Nele o indivíduo
é uma palavra binária que corresponde a vazão total para atendimento da demanda,
onde cada alelo é uma vazão factível para uma determinada unidade geradora no
intervalo de tempo (t).
4.2
Experimentos
60
No estudo de caso, cada indivíduo binário possui 6 alelos codificados em 16
bits cada um. Para se representar, por exemplo, uma vazão de 120 m3 /s o alelo
correspondente teria a forma representada pela Figura 4.1.
Figura 4.1: Exemplo de Alelo
A representação binária do indivíduo aumenta o tempo de execução do mesmo,
devido às conversões de valores binários em real e vice-versa, nas operações de
cruzamento e mutação. Os parâmetros de inicialização do mesmo estão expostos na
Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Parâmetros do AGB
Parâmetro
Tamanho da População
Tamanho do Indivíduo
Probabilidade de Cruzamento
Probabilidade de Troca de bits
Probabilidade de Mutação
Gamma da Função de Ajuste
Número máximo de gerações
Valor
50
16
0,6
0,5
0,02
1,8
50
Os parâmetros do AGB foram estabelecidos com base nos valores utilizados por
Araújo (2010). Optou-se em usar os mesmos parâmetros para melhor comparação
de resultados dos trabalhos, uma vez que o algoritmo de Araújo (2010) se mostrou
inconsistente na entrega da demanda, desligando máquinas e em certos experimentos, não respeitando os limites operativos, além de apresentar tempo de execução
aproximado de 95s por cada hora de geração.
4.2.2
Algoritmo Genético Real Proposto
Dado que o problema tratado é com parâmetros de tipo real, é proposto também
um algorítimo com representação real de indivíduos. Tal algoritmo foi denominado
de Algoritmo Genético Real (AGR). O AGR também foi implementado com base
no AG-Canônico apresentado na Seção 2.7.1.
Nele foram utilizados os seguintes operadores de seleção, cruzamento e mutação,
respectivamente: método do torneio, cruzamento SBX e mutação polinomial, discutidos na Seção 2.7.2 deste trabalho.
4.4
Experimentos
61
O indivíduo é um vetor de números reais 1x6, onde cada célula é uma vazão factível
para uma determinada unidade-geradora no intervalo de tempo (t). Os parâmetros
de inicialização do mesmo estão expostos na Tabela 4.2.
Tabela 4.2: Parâmetros do AGR
Parâmetro
Tamanho da População
Probabilidade de Cruzamento
Probabilidade de Troca de bits
Probabilidade de Mutação
Gamma da Função de Ajuste
Número máximo de gerações
Valor
50
0,6
0,5
0,02
1,8
50
A escolha dos parâmetros de inicialização se manteve similar a do AGB para fins
de critérios de comparação dos algoritmos.
4.3
Algoritmos de Evolução Diferencial Propostos
Buscando comparar técnicas de otimização evolutivas, este trabalho propõe também
a implementação de Algoritmos DE, por tratarem também indivíduos com representação real. Aqui os indivíduos também são representados como um vetor 1x6,
onde cada célula é uma vazão factível. As estratégias evolutivas citadas na Seção
2.7.5 deste trabalho foram implementadas gerando assim 10 algoritmos de evolução
diferencial distintos, que obedeceram os parâmetros contidos na Tabela 4.3.
Tabela 4.3: Parâmetros de Inicialização dos Algoritmo DE
Parâmetro
Valor
Tamanho da População
50
Probabilidade de Cruzamento 0,5:0,8
Fator de Perturbação
0,3:0,8
Número máximo de gerações
50
Dimensão
1
4.4
Modelo de Simulação Proposto
Para simulação da solução do problema, é proposto o modelo apresentado na Figura
4.2. Como pode ser visto, como parâmetros de entrada serão fornecidos ao modelo,
a demanda desejada e o nível de queda bruta da usina no instante (t).
4.5
Experimentos
62
Figura 4.2: Modelo de Simulação Proposto
A partir da demanda, o algoritmo de otimização irá primeiramente, encontrar
a vazão ótima para cada unidade geradora. Tal vazão será usada para cálculo de
perdas hidráulicas, dispostas na Seção 3.4.1. Ao subtrair a queda bruta informada
pelas perdas a queda líquida será encontrada, conforme a Seção 3.4.2. Utilizando a
queda líquida calculada, a vazão e os coeficientes operativos gerados pelo algoritmo
de Levenberg-Marquardt na Seção 3.4.3, será possível o cálculo do rendimento do
conjunto turbina-gerador.
Assim, o modelo de produção, disposto na Seção 3.4.4, poderá ser aplicado. Este
conjunto possibilitará que o modelo de otimização estabelecido e disposto na Figura
4.2 possa ser implementado, gerando como saídas: a vazão ideal, o despacho ótimo
e o máximo de produtividade.
4.5
Experimentos Realizados
A seguir são apresentados os experimentos realizados com uso do modelo de simulação apresentado. Os algoritmos propostos para resolver o problema foram desenvolvidos utilizando o MATLAB 2012, e os experimentos foram realizados em uma
máquina Intel Dual Core 2.10 GHz, com 3 GB de memória RAM, em ambiente
Windows.
4.5
Experimentos
63
Com o propósito de implementar o modelo de otimização apresentado pela Figura
4.2 foi criado um procedimento apresentado no Algoritmo 3.
Algoritmo 3: Pseudo-código do Modelo de Simulação
início
Inicializar Demanda, Queda Bruta, Limites Operativos, Coeficientes Operativos e
Período de Geração;
Informar qual algoritmo evolutivo será usado;
enquanto Critério de parada não for satisfeito faça
Algoritmo Evolutivo gera vazões para cada unidade geradora;
De posse da vazão encontrada;
1. Calcular perdas hidráulicas para cada unidade geradora;
2. Calcular queda líquida para cada unidade geradora;
3. Calcular rendimento para cada unidade geradora;
4. Calcular potência para cada unidade geradora;
5. Maximizar Eficiência produtiva da usina;
6. Avaliar a qualidade das vazões geradas;
fim
Gerar gráficos e relatórios;
fim
4.5.1
Demanda Diária variada
Como demonstração de estabilidade das soluções obtidas pelos algoritmos AGB,
AGR e DE, segue um exemplo de comportamento que mostra uma demanda diária,
em que a maioria das soluções tem o mesmo comportamento das figuras 4.3 e 4.4,
quando são solicitadas demandas variadas ao longo do dia. Neste experimento foi
informada queda bruta de 54 m.
Figura 4.3: Gráfico Típico de Potência Variada Gerada
4.5
Experimentos
64
Como pode ser visto no gráfico da Figura 4.3, a potência gerada sobrepôs a
demanda solicitada identificando que o algoritmo cumpriu a demanda. Além disto
é visível neste experimento que a vazão entregue pelo algoritmo foi menor do que a
vazão de pior caso, que é a vazão normalmente utilizada em modo controle conjunto.
Figura 4.4: Gráfico Típico de Vazão Turbinada
Como mostrado pela Figura 4.4 é perceptível o modo otimizado economizou
água durante a geração em comparação ao modo controle conjunto. Para verificar
o comportamento de cada unidade-geradora, foram gerados gráficos unitários que
podem ser vistos pelas figuras 4.5 e 4.6.
Figura 4.5: Gráfico Típico de Potência Gerada (UN)
4.5
Experimentos
65
Figura 4.6: Gráfico Típico de Vazão Turbinada (UN)
Como visto, as unidades respeitaram os limites de potência e vazão estabelecidos
pelo sistema, pois os valores encontrados tanto para potência quanto para vazão estão entre as linhas pontilhadas, que representam os respectivos limites nos gráficos
das figuras 4.5 e 4.6 discutidos na Seção 4.1.4 deste texto. Uma característica interessante é que cada unidade recebeu uma demanda distinta ao longo da geração.
Por hora de geração, cada um dos algoritmos imprime um pequeno relatório que
consta a vazão ideal encontrada por ele para cada unidade geradora, e os valores
obtidos para cada parâmetro do problema. Com a vazão é possível obter a potência calculada respectiva, por meio dos cálculos prévios realizados para obtenção da
queda líquida e rendimento da unidade geradora conforme o Algoritmo 3.
Em todos os experimentos realizados, os valores de vazão são aleatórios devido
a característica heurística dos algoritmos. Logo, cada unidade geradora recebe uma
potência distinta a cada execução. Além disto, os algoritmos apresentam em todas
as simulações realizadas, indicações de economia de recursos hídricos na geração,
quando comparados com a vazão comumente utilizada pelo modo controle conjunto
de geração. Esta informação é confirmada pelo gráfico da Figura 4.4.
Isto mostra que é possível obter a otimização do sistema, sem que as máquinas
recebam a mesma demanda, colaborando então para a desconstrução da hipótese
levantada por Ribas (2002).
4.5
Experimentos
4.5.2
66
Demanda Diária única
A fim de se verificar o comportamento dos algoritmos para uma demanda única ao
longo do dia este experimento foi realizado. A demanda a ser testada de 356 MW,
que corresponde a 90% da capacidade nominal da usina, foi escolhida pelo fato de
usinas de grande porte gerarem em média de 80% a 90% de sua capacidade nominal.
Esta escolha também tem o propósito de verificar se em 90% da capacidade nominal,
os algoritmos vão apresentar economia de água na geração.
Como nível de queda bruta, foi adotada queda igual a 54 (m), por ser uma queda
característica entre o períodos de cheia e baixa da barragem. Este experimento foi
executado para cada algoritmo proposto visando verificar o erro médio quadrático
(EMQD) com relação a demanda horária entregue, a variância deste erro (VEMQD)
e a variância do resultado da função objetivo (VFO). As tabelas referentes a cada
algoritmo se encontram no Apêndice A. Como resultado é apresentada a Tabela 4.4
que contém o resumo dos resultados obtidos.
Tabela 4.4: Resultados do Experimento Demanda diária única
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Algoritmo
EMQD
Algoritmo Genético Binário 0,00376
Algoritmo Genético Real
0,22790
DE/rand/1/bin
0,30133
DE/best/1/bin
0,32695
DE/rand-to-best/1/bin
0,27276
DE/best/2/bin
0,90787
DE/rand/2/bin
0,21396
DE/best/1/exp
0,37189
DE/rand/1/exp
0,61822
DE/rand-to-best/1/exp
0,74281
DE/best/2/exp
1,03344
DE/rand/2/exp
0,51615
VEMQD
VFO
0,004383083 0,0043830832
0,000247284 0,0002472844
0,283703991 0,2837039913
0,21875946 0,2187594601
0,447376794 0,4473767938
3,001963517 3,0019635170
0,569657138 0,5696571383
5,382757658 5,3827576576
0,748493991 0,7484939913
35,52590501 35,5259050060
6,482282872 6,4822828720
0,327636893 0,3276368930
Neste teste, os AG (AGB e AGR) obtiveram menor erro e a menor variância se
comparados aos DE, embora estes terem execuções de cerca de 50% mais rápidas. Os
DE implementados com operador de cruzamento exponencial, obtiveram os piores
resultados. Levando em consideração estes dados, é perceptível que os algoritmos
AGB, AGR, DE/best/1/bin e DE/rand/1/bin, apresentaram os melhores resultados,
pelo fato de apresentarem menor variância no resultado da função objetivo e menor
variância de erro médio quadrático.
4.5
Experimentos
67
A título de exemplo, as figuras 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 mostram os valores de potência
e vazão obtidos a partir de uma execução típica do AGB.
Figura 4.7: AGB - Potência Gerada
Figura 4.8: AGB - Vazão Turbinada
O gráfico apresentado pela Figura 4.7 mostra que o AGB cumpriu a demanda
solicitada de 356MW, pois a demanda gerada pelo AGB sobrepõe a demanda solicitada. Nota-se pelo gráfico apresentado na Figura 4.8 que ao comparar a vazão
utilizada pelo AGB em relação a vazão utilizada normalmente pelo modo controle
conjunto (“vazão de pior caso”), o algoritmo AGB obteve economia de água durante
a geração.
4.5
Experimentos
68
Com relação ao comportamento individual de cada conjunto gerador, os gráficos
apresentados nas figuras 4.9 e 4.10 demonstram claramente que o algoritmo AGB
respeitou os limites operativos de potência entregando um despacho diferenciado
para cada gerador. É visto que o AGB respeitou os limites de vazão impostos em
cada unidade.
Figura 4.9: AGB - Potência Gerada(UN)
Figura 4.10: AGB - Vazão Turbinada (UN)
4.5
Experimentos
69
A título de exemplo, as figuras 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 mostram os valores de
potência e vazão obtidos a partir de uma execução típica do AGR.
Figura 4.11: AGR - Potência Gerada
Figura 4.12: AGR - Vazão Turbinada
O gráfico apresentado pela Figura 4.11 mostra que o AGR cumpriu a demanda
solicitada de 356MW, pois a demanda gerada pelo AGR sobrepõe a demanda solicitada. Nota-se pelo gráfico apresentado na Figura 4.12 que ao comparar a vazão
utilizada pelo AGR em relação a vazão utilizada normalmente pelo modo controle
conjunto (“vazão de pior caso”), o algoritmo AGR também obteve economia de água
durante a geração.
4.5
Experimentos
70
Com relação ao comportamento individual de cada conjunto gerador, os gráficos
apresentados nas figuras 4.13 e 4.14 demonstram claramente que o algoritmo AGR
respeitou os limites operativos de potência entregando um despacho diferenciado
para cada gerador. É notado que o AGR respeitou os limites de vazão impostos em
cada unidade.
Figura 4.13: AGR - Potência Gerada(UN)
Figura 4.14: AGR - Vazão Turbinada (UN)
4.5
Experimentos
71
O algoritmo DE/rand/1/bin se comportou de maneira similar aos algoritmos
AGB e AGR. Porém apresentou sinuosidades na entrega da demanda. A título de
exemplo, as figuras 4.15, 4.16, 4.17 e 4.18 mostram os valores de potência e vazão
obtidos a partir de uma execução típica do DE/rand/1/bin.
Figura 4.15: DE/rand/1/bin - Potência Gerada
Figura 4.16: DE/rand/1/bin - Vazão Turbinada
O gráfico apresentado pela Figura 4.15 mostra que o DE/rand/1/bin cumpriu
a demanda solicitada de 356MW, pois a demanda gerada pelo algoritmo sobrepõe
a demanda solicitada, mesmo apresentando sinuosidade. Nota-se pelo gráfico apresentado na Figura 4.16 que ao comparar a vazão utilizada pelo DE/rand/1/bin em
relação a vazão utilizada normalmente pelo modo controle conjunto (“vazão de pior
caso”), este algoritmo também obteve economia de água durante a geração.
4.5
Experimentos
72
Com relação ao comportamento individual de cada conjunto gerador, os gráficos apresentados nas figuras 4.17 e 4.18 demonstram claramente que o algoritmo
DE/rand/1/bin respeitou os limites operativos de potência entregando um despacho
diferenciado para cada gerador. É visto que o DE/rand/1/bin respeitou os limites
de vazão impostos em cada unidade.
Figura 4.17: DE/rand/1/bin - Potência Gerada(UN)
Figura 4.18: DE/rand/1/bin - Vazão Turbinada (UN)
4.5
Experimentos
73
Finalmente, é apresentado o comportamento do algoritmo DE/best/1/bin. A
título de exemplo, as figuras 4.19, 4.20, 4.21 e 4.22 mostram os valores de potência
e vazão obtidos a partir de uma execução típica do DE/best/1/bin.
Figura 4.19: DE/best/1/bin - Potência Gerada
Figura 4.20: DE/best/1/bin - Vazão Turbinada
O gráfico apresentado pela Figura 4.19 mostra que o DE/best/1/bin cumpriu a
demanda solicitada de 356MW, pois a demanda gerada pelo algoritmo sobrepõe a
demanda solicitada. Nota-se pelo gráfico apresentado na Figura 4.20 que ao comparar a vazão utilizada pelo DE/best/1/bin em relação a vazão utilizada normalmente
pelo modo controle conjunto (“vazão de pior caso”), este algoritmo também obteve
economia de água durante a geração.
4.5
Experimentos
74
Com relação ao comportamento individual de cada conjunto gerador, os gráficos apresentados nas figuras 4.21 e 4.22 demonstram claramente que o algoritmo
DE/best/1/bin respeitou os limites operativos de potência entregando um despacho
diferenciado para cada gerador. É perceptível que o DE/best/1/bin respeitou os
limites de vazão impostos em cada unidade.
Figura 4.21: DE/best/1/bin - Poteência Gerada(UN)
Figura 4.22: DE/best/1/bin - Vazão Turbinada (UN)
Os experimentos aqui apresentados identificam que os algoritmos se mostram
estáveis, que cumprem as premissas de testes e respeitam os limites operativos,
economizando matéria prima de geração, que é água.
4.5
Experimentos
4.5.3
75
Demanda Horária
Para nova verificação do comportamento dos algoritmos selecionados em 4.5.2 foi
gerado o experimento de demanda horária. Para tal, foi estabelecida uma demanda
horária de 320 MW, uma vez que esta é uma demanda típica da usina observada
no período histórico estudado descrito na Seção 4.1.3. A seguir são apresentados
pelas figuras 4.23, 4.24, 4.26 e 4.25, os gráficos de comportamento típico da função
de avaliação de cada algoritmo em relação a função objetivo que é a maximização
da produtividade da usina.
Figura 4.23: Evolução da Função de Produtividade com emprego de AGB
Figura 4.24: Evolução da Função de Produtividade com emprego de AGR
Os gráficos das figuras 4.23 e 4.24 mostram que o AGB e o AGR convergiram
para o melhor resultado a partir da 35a iteração. É possível notar que houve sinuosidade no AGB, apresentando quedas e altas até atingir a estabilidade.
4.5
Experimentos
76
O AGR obteve menor sinuosidade, em comparação ao AGB. Por sua vez os gráficos
apresentados nas figuras 4.26 e 4.25 mostram o DE/best/1/bin convergiu para o melhor resultado a partir da 45a e o DE/best/1/bin não convergiu em 50 iterações. Isto
é justificável pois o DE/rand/1/bin usa aleatoriedade em seu operador de mutação
um vetor aleatório em cada geração, conforme explicado na Seção 2.7.5, enquanto o
DE/best/1/bin usa para mutação sempre o melhor indivíduo da geração anterior.
Figura 4.25: Evolução da Função de Produtividade com emprego de DE/best/1/bin
Figura 4.26: Evolução da Função de Produtividade com emprego de DE/rand/1/bin
4.5
Experimentos
77
Como exemplo de saída típica de hora de geração é apresentada a Tabela 4.5.
Tabela 4.5: Resultados do Experimento Demanda Horária
Geração por Algoritmos na Hora 1 | (Hb) = 54m
AGB
3
Máquina phjt (M W ) qjt (m /s) ηjt (%) hljt (m)
∆Hjt (m)
1
49,719
101,41
0,93
53,796
0,20377
2
59,383
121,04
0,93
53,83
0,17007
3
62,218
126,81
0,93
53,833
0,16745
4
44,282
90,253
0,93
53,834
0,1656
5
57,078
116,33
0,93
53,834
0,1656
6
47,512
96,838
0,93
53,833
0,16745
Total
320,19
652,68
Demanda Solicitada: 320 (M W )
Diferença
0,19
2,37
Vazão no modo CC: 655,05 (m3 /s)
AGR
3
Máquina phjt (M W ) qjt (m /s) ηjt (%) hljt (m)
∆Hjt (m)
1
51,047
104,14
0,93
53,785
0,21489
2
47,343
96,515
0,93
53,821
0,17935
3
58,589
119,44
0,93
53,823
0,17659
4
49,178
100,25
0,93
53,825
0,17464
5
60,31
122,94
0,93
53,825
0,17464
6
53,653
109,37
0,93
53,823
0,17659
Total
320,12
652,65
Demanda Solicitada: 320 (M W )
Diferença
0,12
2,4
Vazão no modo CC: 655,05 (m3 /s)
DE/best/1/bin
Máquina phjt (M W ) qjt (m3 /s) ηjt (%) hljt (m)
∆Hjt (m)
1
48,763
99,441
0,93
53,804
0,19595
2
54,589
111,26
0,93
53,836
0,16354
3
55,81
113,74
0,93
53,839
0,16103
4
56,429
115,00
0,93
53,841
0,15925
5
53,122
108,26
0,93
53,841
0,15925
6
51,438
104,83
0,93
53,839
0,16103
Total
320,15
652,51
Demanda Solicitada: 320 (M W )
Diferença
0,15
2,54
Vazão no modo CC: 655,05 (m3 /s)
DE/rand/1/bin
Máquina phjt (M W ) qjt (m3 /s) ηjt (%) hljt (m)
∆Hjt (m)
1
54,087
110,39
0,93
53,759
0,24149
2
51,44
104,91
0,93
53,798
0,20155
3
57,261
116,78
0,93
53,802
0,19845
4
54,239
110,61
0,93
53,804
0,19625
5
49,489
100,92
0,93
53,804
0,19625
6
53,441
108,99
0,93
53,802
0,19845
Total
319,96
652,6
Demanda Solicitada: 320 (M W )
Diferença
-0,04
2,45
Vazão no modo CC: 655,05 (m3 /s)
4.6
Experimentos
78
Como visto na Tabela 4.5, os algoritmos calculam no intervalo de busca a vazão
factível e posteriormente os demais parâmetros da função de produção. Os algoritmos calcularam com precisão as perdas hidráulicas gerando assim o valor de queda
liquida. De posse da queda líquida e da vazão foi calculado o rendimento da unidade.
Assim foi possível gerar a potência unitária, que é o produto entre os parâmetros
descritos e a aceleração da gravidade, conforme a Equação 3.1.
A Tabela 4.5 exibe os valores de vazão qjt obtidos por cada algoritmo sendo
perceptível observar que cada unidade-geradora recebe uma vazão diferenciada em
cada algoritmo. Mostra também, que o parâmetro de rendimento ηjt da unidade geradora atingiu o ponto ótimo de rendimento de 93% em cada uma das seis unidades
no experimento realizado em cada algoritmo. Nela podemos verificar o resultado obtido pelo cálculo de perdas hidráulicas por meio do parâmetro ∆Hjt e ainda o valor
encontrado para o parâmetro de queda líquida hljt para cada unidade-geradora em
cada algoritmo. Por último a tabela apresenta os valores de potência phjt obtidos
pelo modelagem matemática implementado, por unidade geradora em cada algoritmo, sendo possível evidenciar que os valores são distintos entre si e proporcionam
assim, uma economia de recursos hídricos maximizando a produtividade.
Com os resultados totais de potência e vazão é possível comparar a demanda
solicitada e a demanda entregue por acada um dos algoritmos. É notado que o erro
em relação a demanda entregue é muito baixo, o que viabiliza o resultado apresentado por cada algoritmo. É possível observar que a vazão total resultante de cada
algoritmo é menor que a vazão usual utilizada em modo controle conjunto (CC),
que é quando se divide a demanda igualmente pelo número de máquinas. Neste experimento por exemplo, a demanda dividida igualmente pelo número de máquinas é
53,33 MW por unidade o que acarreta uma vazão unitária de 109,175 m3 /s. Neste
contexto o fator de produtividade da usina em modo controle conjunto para este
experimento é de 0,48.
De posse de cada potência unitária é possível fazer uso da função objetivo descrita
na Seção 3.4.5 deste trabalho. Os valores de otimização de maximização da produtividade encontrados neste experimento foram 0,4905 (pelo AGB), 0,4904 (pelo AGR),
0,4906 (pelo DE/rand/1/bin) e 0,4902 (pelo DE/rand/1/bin). Neste experimento
isolado, o algoritmo que obteve a maior economia de vazão e consequentemente o
maior índice de produtividade foi o DE/best/1/bin, com 2,54 m3 /s que em uma
hora equivalem aproximadamente a 9,1 milhões de litros de água e a 0,4906 de
produtividade, respectivamente.
4.6
4.6
Experimentos
79
Considerações Finais
Este capítulo apresentou o estudo de caso do trabalho e aplicou a modelagem matemática, juntamente com os algoritmos de otimização e o modelo de simulação
propostos em alguns experimentos preliminares. Foi possível observar nestes experimentos que as restrições do problema foram respeitadas e que houve otimização
da função de produtividade proposta.
Também se classificou entre os doze algoritmos implementados os melhores resultados identificando os algoritmos AGB, AGR, DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin,
como os melhores. Porém, não foi possível estabelecer neste momento a classificação dentre estes. Com o intuito de identificar tal classificação o Capítulo 5 deste
trabalho propõe um novo experimento e uma analise estatística dos resultados para
assim buscar a classificação entre AGB, AGR, DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin de
melhor solução para o problema.
Capítulo 5
Análise Comparativa dos Algoritmos
De acordo com o critério estabelecido na Seção 4.5.2, dos doze algoritmos implementados foram selecionados quatro para análise comparativa. Este capítulo vai fazer
uso de técnicas estatísticas encontradas na literatura, a fim de classificar dentre
AGB, AGR, DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin as melhores abordagens para solução
do problema de geração em questão. Para cada um dos quatro algoritmos foram realizadas trinta execuções afim de garantir o teorema do limite central de normalidade.
Para testes foram utilizados os dados contidos nas tabelas A.13 e A.14.
5.1
Comparação estatística com gráfico de caixa
O gráfico de caixa “boxplot” apresenta características importantes de um conjunto
de dados por meio do seu resumo das cinco medidas, formado pelos seguintes valores: valor mínimo, primeiro quartil, segundo quartil, terceiro quartil e valor máximo
apresentados numa caixa. Como método estatístico preliminar gerou-se o gráfico
de caixa apresentado na Figura 5.1, que compara os resultados da função objetivo
obtidos em cada execução dos algoritmos. A mesma figura ainda apresenta uma
tabela especificando os outiliers detectados e identificados por pequeno círculos.
É perceptível que em relação aos AG houve menor dispersão nos resultados.
Porém o AGR apresentou muitos outliers (valores atípicos), ou seja, observações
que apresentam um grande afastamento das demais da série. Por outro lado, os
algoritmos DE apresentaram menor quantidade de outliers. O DE/rand/1/bin foi
o algoritmo que apresentou maior caixa. O gráfico indica que abaixo da mediana
(quartil inferior) se encontra a média indicada pelo ponto. Ele também obteve os
maiores valores mínimos e máximos, além de dois outliers mínimos.
80
5.2
Análise Comparativa dos Algoritmos
81
Outro indicativo de assimetria da série são as linhas formadas nas extremidades
dos quartis, por estarem demasiadamente longas. Este comportamento confirma o
resultado apresentado no experimento de verificação da evolução de resultados da
função de produtividade apresentado na Seção 4.5.3, no qual é possível se verificar
que o método não convergiu até o número de gerações executadas.
Figura 5.1: Gráfico de caixa da Função Objetivo
O Algoritmo DE/best/1/bin apresentou um gráfico de boxplot menor se comparado aos demais, isto indica maior estabilidade de resultados do mesmo. Nele, a
média se encontra abaixo da mediana, isto indica que o valor central da série (mediana) é praticamente a média da série indicando a robustez do algoritmo.
Isto mostra que aparentemente todas as vezes que é executado, os resultados
são compatíveis com os anteriores. Tal algoritmo apresentou apenas um outlier
inferior. As linhas das extremidades dos quartis se mantiveram de tamanho razoável,
indicando simetria na série. Nota-se que ao comparar as medianas do AGB e do
DE/best/1/bin, a do AGB está aproximadamente 0,00025 acima, onde este valor é o
valor máximo de sua série. Por outro lado o valor máximo da série do DE/best/1/bin
está aproximadamente 0,00025 acima do valor máximo do AGB.
5.2
Método de Tukey
Em seu trabalho, Carrano (2011) mostra que algoritmos evolutivos não podem ser
comparados apenas pelo desempenho computacional, devido ao fato dos mesmos serem heurísticas estocásticas de busca, onde a cada execução se pode ter um resultado
diferenciado.
5.2
Análise Comparativa dos Algoritmos
82
Dentre as técnicas citadas em Carrano (2011), se encontram: teste de hipótese,
bootstrapping, teorema do limite central, dominância e eficiência, teste t-student e
Análise de Variância - ANOVA com Teste de Tukey, pelo fato desta análise possuir
comparações entre múltiplos conjuntos. Este trabalho vai abordar a ANOVA com
teste de Tukey para buscar encontrar alguma nova informação que diferencie os algoritmos acima citados. Dada sua característica de análises de múltiplos conjuntos de
dados, o mesmo se mostra uma boa ferramenta para análise dos quatro algoritmos
propostos.
Este método estatístico pode ser interpretado como a comparação das médias
entre os diferentes grupos, com a variância entre todos os indivíduos dentro desses
grupos. A estratégia de Tukey consiste em definir a menor diferença significativa
entre as médias. A hipótese a ser considerada neste teste é a de igualdade de resultados das séries dos conjuntos de dados e adotou-se intervalo de confiança de 95%.
A Figura 5.2 mostra a saída gráfica e respectivas tabelas do teste de Tukey realizado, na qual A1, A2, D1 e D2 são AGB, AGR, DE/best/1/bin e DE/rand/1/bin,
respectivamente.
Figura 5.2: Teste de Tukey
5.2
Análise Comparativa dos Algoritmos
83
Tabela 5.1: Tabela ANOVA
G.L.
Fator
Resíduos
Níveis
A1-A2
D1-A1
D2-A1
D1-A2
D2-A1
D2-D1
Soma de Quad.
0,000016375100
0,000032212897
Centro
0,000537437242
-0,000248331311
-0,000449146642
-0,000785768554
-0,000986583884
-0,000200815330
Quad. Médio
Estat. F
0,000005458367
19,6558
0,000000277697
Limite.Inferior Limite.Superior
0,000182766405
0,000892108079
-0,000603002148
0,000106339526
-0,000803817479 -0,000094475804
-0,001140439391 -0,000431097716
-0,001341254721 -0,000631913047
-0,000555486167
0,000153855507
P-valor
0,000000000226
P-valor
0,000767973571
0,266857980728
0,006924187546
0,000000391168
0,000000000299
0,455314170898
Ao considerar um nível de significância de 95%, a saída gráfica indica que não
é rejeitada a hipótese de igualdade entre as médias dos fatores: (D1,A1); (D2,D1)
respectivamente. Em outras palavras, este teste indicou que os resultados dos algoritmos AGB e DE/best/1/bin quando comparados e os resultados dos algoritmos
DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin quando comparados não aparentam evidências estatísticas suficientes para mostrar que estes fatores analisados, no caso os algoritmos
comparados, são diferentes.
A Tabela 5.1 associada ao resultado gráfico comprova a análise de variância realizada. Neles são informados o p-valor geral da ANOVA que tende ao valor nulo e o
erro quadrático apresentou um valor baixo. O dado p-valor foi definido na Seção 2.6.
Também são apresentados para cada comparação de algoritmos os limites inferior e
superior, o centro da série, além do p-valor de cada comparação. O p-valor baixo
indica que a diferença entre os algoritmos é notada, enquanto o valor alto indica
que existe uma pequena diferença entre os algoritmos quando comparados. Logo, a
tabela também comprova a similaridade entre os algoritmos AGB e DE/best/1/bin
e DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin quando comparados.
Pelo fato dos algoritmos AGB, DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin terem apresentado comportamento similar, este trabalho propõe uma análise multiobjetivo para
o problema mono objetivo proposto, visando definir qual é a melhor solução para
o problema dentre os quatro algoritmos propostos para análise. Tal análise sera
realizada na seção seguinte.
5.3
Análise Comparativa dos Algoritmos
5.3
84
Análise multiobjetivo de um problema monoobjetivo
Como informado na Seção 1.1.1, os sistemas de geração de uma usina têm um tempo
máximo de aplicação do set-point por unidade geradora de 10s. Este trabalho abordou o problema de forma mono-objetivo. Esta seção propõe uma análise multiobjetivo (MO) para o problema mono-objetivo, levando em conta o valor da função
objetivo e o valor de tempo de execução de cada um dos algoritmos, onde se guardou
os resultados de ambos os parâmetros de cada algoritmo para cada uma das trinta
execuções realizadas. Na análise foram utilizados os dados contidos nas tabelas A.13
e A.14 referentes aos algoritmos AGB, AGR, DE/rand/1/bin e DE/best/1/bin. Em
uma análise deste tipo, os objetivos geralmente são conflitantes. Para diferenciar
soluções obtidas em uma análise MO, uma abordagem bastante difundida na literatura é o conceito de dominância de Pareto.
Segundo Ticona (2008) e Carrano (2011), o conceito de dominância de Pareto é
utilizado para comparar soluções factíveis do problema. Dadas duas soluções x e y,
diz-se que x domina y (denotado x y) se as seguintes condições são satisfeitas:
1. A solução x é pelo menos igual a y para todos os objetivos;
2. A solução x é superior a y para pelo menos um objetivo.
Assim, existe um conjunto de soluções que possuem vantagens sobre as outras,
um conjunto de alternativas ótimas que são não-dominadas entre si. O conjunto de
soluções não dominadas de um problema é comumente chamado na literatura afim
de “Fronteira de Pareto”. Desta forma foi realizada a dominância de Pareto com
os parâmetros índice de produtividade (resultado da função objetivo) e tempo de
execução.
O algoritmo utilizado para verificação da dominância da fronteira de Pareto foi
implementado por Freitas (2012) e utilizado neste trabalho. Tal algoritmo não é
multiobjetivo, é apenas um algoritmo que calcula e informa a frente de Pareto dado
um conjunto de pontos. O intuito deste gráfico é apresentar uma fronteira de Pareto,
a partir de um conjunto de soluções e da definição apresentada acima de dominância
entre soluções MO, com a utilização dos parâmetros de maximização da produção e
de minimização do tempo de execução de cada algoritmo.
5.3
Análise Comparativa dos Algoritmos
85
Essa fronteira foi gerada, para cada algoritmo, combinando os 30 pares de valores
correspondentes à produtividade e ao tempo de execução e em seguida, rodando um
algoritmo de não-dominância. As figuras 5.3, 5.4, 5.5 e 5.6 mostram a Fronteira de
Pareto obtida em cada algoritmo implementado.
Figura 5.3: Fronteira de Pareto AGB - pontos não dominados
Figura 5.4: Fronteira de Pareto AGR - pontos não dominados
5.3
Análise Comparativa dos Algoritmos
Figura 5.5: Fronteira de Pareto DE/best/1/bin - pontos não dominados
Figura 5.6: Fronteira de Pareto DE/rand/1/bin - pontos não dominados
86
5.3
Análise Comparativa dos Algoritmos
87
As fronteiras foram geradas com a utilização do algoritmo proposto por Freitas
(2012), que é uma implementação baseada no algoritmo fast-non-dominated-sort de
Deb (2002). Para uma análise geral, foi gerado um gráfico contendo as fronteiras
de Pareto dos quatro algoritmos propostos, o mesmo é apresentado na Figura 5.7.
Os algoritmos mostram que ao realizar a análise MO proposta, o algoritmo que
possui a melhor fronteira de Pareto é o DE/best/1/bin, pois o conjunto indica que a
produtividade está estável e possui o menor tempo de execução. Em um problema
deste tipo, estabilidade no valor de produtividade, mesmo que ligeiramente menor
que os valores de produtividade obtidos pelos demais algoritmos e um tempo menor
de execução são fatores essenciais e de muita importância.
Figura 5.7: Comparação das Fronteiras de Pareto dos Algoritmos
O segundo melhor comportamento desta análise foi o DE/rand/1/bin pois os
pontos obtidos pelo conjunto de Pareto deste com relação ao DE/best/1/bin dominam os pontos dos demais algoritmos. Uma informação importante para esta análise
é a de que ao realizar a dominância de Pareto em todos os pontos apresentados pela
Figura 5.7, a fronteira de Pareto a ser formada apresentaria apenas os pontos do
DE/best/1/bin e alguns pontos do DE/rand/1/bin. O terceiro melhor comportamento é apresentado pelo algoritmo AGR e o pior conjunto de resultados observado
é o correspondente ao AGB, que obteve um tempo de execução superior aos demais.
5.3
Análise Comparativa dos Algoritmos
88
Para classificar os algoritmos de maneira geral, foram levadas em conta as três
análises estatísticas propostas. Como melhor comportamento geral, incluindo gráfico de caixa, o teste de Tukey e análise de dominância da Fronteira de Pareto, se
classifica como melhor solução o algoritmo DE/best/1/bin. Tal algoritmo possui
melhor simetria na série do conjunto de dados em relação à função objetivo. Isto
pôde ser observado no gráfico de caixa pois o mesmo possuiu a menor representação
de caixa e mostrou-se robusto pelo fato da média e a mediana serem praticamente
o mesmo valor. Possui resultados similares a dois outros algoritmos de acordo com
o teste de Tukey. Apresenta ainda o melhor conjunto ótimo de Pareto na análise de
dominância, pois possui menor tempo de execução em relação aos demais e valor de
produtividade máxima pouco abaixo ao do DE/rand/1/bin. Além disto o comportamento da evolução dos resultados apresentados pela Figura 4.25 mostra melhor
comportamento se comparado ao DE/rand/1/bin.
Como segunda melhor solução geral a análise indica o algoritmo DE/rand/1/bin.
Apesar de possuir uma leve assimentria de resultados com relação à função objetivo observada no gráfico de caixa, mesmo apresentou ser similar ao algoritmo
DE/best/1/bin no teste de Tukey e obteve a segunda melhor fronteira de Pareto.
Porém este algoritmo apresentou um gráfico de evolução de resultados de uma hora
de geração referente as 50 iterações com alta dispersão, visto pela Figura 4.26. O
algoritmo AGB foi classificado como terceira melhor opção. Embora tenha apresentado o pior conjunto de Pareto na análise de dominância, este algoritmo apresentou,
em seu gráfico de caixa, baixa simetria de resultados em relação à função objetivo.
Além disto, apresentou similaridade de resultados com o algoritmo DE/best/1/bin
no teste de Tukey.
O pior conjunto geral de resultados observados é o correspondente ao AGR. Tal
algoritmo apresentou o terceiro melhor conjunto de Pareto, porém não apresentou
similaridade com nenhum outro algoritmo e obteve um número elevado de outliers no
gráfico de caixa. Esta análise chega à conclusão de que os algoritmos implementados,
no contexto geral da análise estatística realizada, são classificados da seguinte maneira: o algoritmo que obteve melhor resultado geral foi o DE/best/1/bin, seguido
do DE/rand/1/bin, e posteriormente do AGB e em último lugar ficou o algoritmo
AGR devido à grande dispersão de resultados. A análise realizada contribui para
a literatura, comprovando que algoritmos de evolução diferencial superam algoritmos genéticos, não apenas em funções analíticas as quais se conhece o resultado,
conforme discutido no artigo Carrano (2011), como também em funções similares a
tratada na função objetivo deste trabalho.
5.4
Análise Comparativa dos Algoritmos
89
Novos testes estatísticos podem ser feitos para classificar de maneira global o
desempenho dos quatro algoritmos simultaneamente. Tais testes são propostos como
continuidade do trabalho.
5.4
Projeção de economia e de aumento na geração
elétrica
Visto que os algoritmos foram classificados e que o DE/best/1/bin obteve melhor
resultado geral, esta seção propõe um estudo de projeção de economia de recursos
hídricos e produção elétrica com uso deste algoritmo, tomando como base o resultado obtido no experimento da Seção 4.5.2, em que tal algoritmo obteve economia
significativa de 2,54 m3 /s. As projeções serão apresentadas nas seções 5.4.1 e 5.4.2.
5.4.1
Economia de recursos hídricos
Para uma hora de geração, os resultados obtidos pelo algoritmo DE/best/1/bin
mostraram que a vazão necessária para gerar a potência demandada, em modo
otimizado, foi equivalente a 652,6 m3 /s e que a vazão de pior caso, ou seja, a vazão
atualmente usada pelo controle conjunto neste cenário de teste é de 655,05 m3 /s,
conforme a Tabela 4.5. Para o cálculo da projeção da economia de recursos hídricos
por segundo é proposta a Equação 5.1.
PJ(r)
P Cehm = 1 − (
j=1
qjt
qT cc
),
(5.1)
na qual,
• P Cehm é o percentual de economia de recursos hídricos mensal;
•
PJ(r)
j=1
qjt é o somatório de vazão total em m3 /s;
• qT cc é a vazão total em m3 /s entregue pelo sistema atual em controle conjunto.
Neste caso, o percentual de economia de recursos hídricos por segundo é igual a
P Cehm = 1 − (
652, 6
),
655, 05
P Cehm = 0, 0037.
5.4
Análise Comparativa dos Algoritmos
90
Para fins de se verificar a economia mensal é necessário multiplicar o valor de
vazão do controle conjunto pelo tempo relativo a um mês (em segundos), e após
isto, aplicar o percentual obtido pela Equação 5.1. A demostração deste cálculo é
apresentado pela Equação 5.3,
Economia = P Cehm · (qT cc · 3600 · 24 · 30).
(5.2)
Logo a economia hídrica obtida para a projeção de um mês é igual a
Economia = 0, 0037 · (655, 05 · 3600 · 24 · 30),
Economia = 6282191, 52.
O cálculo mostra que as expectativas de economia de recursos hídricos nesta
projeção foram alcançadas, uma vez que o resultado apresentou economia de 0,37
% no mês. O percentual encontrado pela Equação 5.1 reflete aproximadamente a
uma economia de 6,3 milhões de m3 de água, no período de um mês, conforme
demonstração de cálculo realizada por meio da Equação 5.3.
5.4.2
Aumento na Geração Hidrelétrica
Visando verificar o aumento na geração de energia elétrica com o uso do modo
otimizado é proposta a realização de uma projeção horária. A Equação 5.4 calcula
o resultado percentual de aumento da produção elétrica no intervalo de uma hora
conforme,
P Cgpe = (
P Tmo
) − 1,
P Tcc
na qual
• P Cgpe é o percentual de ganho na produção elétrica;
• P Tmo é a potência total gerada no modo otimizado;
• P Tcc é potência total gerada no modo controle conjunto.
(5.3)
5.5
Análise Comparativa dos Algoritmos
91
O modo controle conjunto faz uso para entrega da demanda em média 108,78
m /s de água em cada conjunto gerador, esta vazão gera aproximadamente 53,20
MW por máquina, totalizando uma produção de 319,08 MW/hora. O modo otimizado obteve no experimento de demanda única uma geração de 320,15 MW/hora,
conforme a Tabela 4.5. Ao aplicar este valores na Equação 5.3, obtém-se um percentual de ganho igual a
3
P Cgpe =
320, 15
− 1,
319, 08
P Cgpe = 0, 0033.
As expectativas de ganho na produção elétrica nesta projeção também foram
atingidas, uma vez que o resultado apresentou aumento aproximado de 0,33% em
uma hora de geração.
5.5
Considerações Finais
Este capítulo apresentou a análise comparativa dos algoritmos propostos AGB,
AGR, DE/best/1/bin e DE/rand/1/bin, por meio de técnicas estatísticas. A análise
possibilitou classificar as soluções e identificar como o melhor algoritmo de solução
geral, o algoritmo DE/best/1/bin. Após esta identificação, foi apresentada uma
projeção mensal de economia e aumento de produção para a usina estudada. Foram apresentados os resultados das projeções, mostrando que o uso do algoritmo
evolutivo DE/best/1/bin conseguiu em simulação superar o modo controle conjunto
usado atualmente na usina estudada.
Capítulo 6
Conclusões e Trabalhos Futuros
Este trabalho contribui para resolver o problema de despacho elétrico de uma UHE
instalada no Brasil, com uso de técnicas de inteligência computacional. Para solução do problema em questão, uma nova proposta de modelagem matemática foi
desenvolvida. Diversos algoritmos de otimização foram implementados visando encontram uma solução para o problema. Foram realizados experimentos para validar
as propostas de algoritmos. Os experimentos apresentaram excelentes resultados,
primeiramente mostrando que todos os algoritmos respeitaram as restrições do problema, atenderam a demanda solicitada e economizaram vazão durante a geração,
de acordo com as seções 4.5.1, 4.5.2 e 4.5.3 do Capítulo 4.
Após a validação dos algoritmos por meio dos experimentos realizados, uma
abordagem para classificação dos melhores algoritmos foi feita. Foram realizados os
testes estatísticos de gráficos de caixa na Seção 5.1, o teste de Tukey na Seção 5.2 e
posteriormente o método de dominância de Pareto na Seção 5.3. Como o problema
tratado neste trabalho é mono-objetivo o teste de dominância de Pareto realizado
foi uma maneira diferente para analise comparativa dos algoritmos mono-objetivos
aqui apresentados trazendo grande contribuição na classificação dos mesmos.
Após a análise foi possível destacar o algoritmo DE/best/1/bin como melhor
solução implementada neste trabalho. Foi realizada uma projeção de economia de
recursos hídricos para o período de um mês. O algoritmo apresentou economia de
0,37%, que é o equivalente a 6,8 milhões de m3 de água em um mês. Também
foi realizada uma projeção de aumento de produção elétrica, como resultado ficou
evidenciado que no período de uma hora há um aumento de 0,33% na produção de
energia elétrica.
92
6.0
Conclusões e Trabalhos Futuros
93
O objetivo geral do projeto de desenvolver um modelo matemático e sua implementação na forma de um algoritmo capaz de aumentar a produtividade, em tempo
de operação, da geração hidrelétrica, em uma usina real com relação aos conjuntos
turbina-gerador existentes na mesma foi atingido. Este objetivo foi atingido e apresentado nos Capítulos 3 e 4. Os objetivos específicos listados abaixo também foram
atingidos:
• Foram caracterizados os dados históricos de uma usina real e dos sistemas
envolvidos na geração hidrelétrica de energia como forma de obtenção de um
modelo matemático, que aborda realidade do processo, como foi apresentado
na Seção 4.1 do Capítulo 4;
• Foi modelado matematicamente o processo de geração de energia elétrica, do
ponto de vista da eficiência do mesmo, com o propósito de subsidiar estudos sobre as possibilidades de aumento da eficiência, como foi mostrado no
Capitulo 3;
• Foram obtidos matematicamente, a partir de curvas de rendimento fornecidas,
os coeficientes do modelo matemático de rendimento das unidades geradoras
de uma usina real, como mostrado na Seção 3.4.3 do Capítulo 3;
• Foram implementados e realizados experimentos para otimização da eficiência dos conjuntos turbina-gerador para uma usina real, incorporando as perdas hidráulicas inerentes aos condutos forçados ligados aos conjuntos turbinagerador, com uso de técnicas de otimização, como foi discutido nas seções
4.2.1, 4.2.2 e 4.3 do Capítulo 4;
• Foram avaliados os resultados obtidos e comparados de forma objetiva os resultados obtidos pelos vários algoritmos de otimização utilizados, de acordo
com a abordagem apresentada no Capítulo 5.
Como contribuição científica este trabalho propôs uma nova modelagem de produção de energia hidrelétrica, incluindo as perdas hidráulicas inerentes aos condutos
forçados. Os algoritmos evolutivos abordados cumpriram os objetivos de otimização. Foi realizada uma análise estatística de resultados de forma inovadora, com
referência ao tipo de problema mono-objetivo abordado.
6.0
Conclusões e Trabalhos Futuros
94
Em relação às contribuições referentes a produção e eficiência energética, este
trabalho contribuiu de forma eficiente pois apresentando uma clara economia de
recursos hídricos, bem como um aumento significativo na produção de energia hidrelétrica.
Em relação ao aspecto ambiental, a água é um recurso natural de extrema importância no planeta e é de fundamental importância que o ser humano busque formas
de usar este recurso de forma racional e inteligente. Este trabalho demonstrou que
é possível realizar a geração de energia hidrelétrica com uso dos recursos hídricos no
curso de um rio, economizando milhões de litros de água na geração.
Como propostas de trabalhos futuros destacam-se:
• Encontrar técnicas sistemáticas para definição dos melhores parâmetros de
inicialização dos algoritmos evolutivos abordados neste trabalho, bem como a
utilização de outros métodos evolutivos com algoritmos imunológicos, algoritmos baseados na evolução social e algoritmos de otimização por enxame de
partículas;
• Realizar novos experimentos e projeções para o período de planejamento anual,
com discretização mensal, visando descobrir a real economia dentro de um ano
com relação a vazão de água;
• Realizar novos testes estatísticos de análise múltipla nos algoritmos AGB,
AGR, DE/best/1/bin e DE/rand/1/bin para classificação automática dos mesmos. Tais testes incluem o teste de Kruskal-Wallis e Dominância estocástica;
• Implementar e testar o algoritmo DE/rand/1/bin na linguagem de máquina
do equipamento supervisório em ambiente de produção da usina hidrelétrica;
• Realizar uma abordagem multiobjetivo do problema minimizando vazão e minimizando a temperatura dos geradores com objetivo de minimizar recursos
hídricos de geração e resfriamento, bem como maximizar a produtividade.
Para isto será necessário o levantamento de um modelo matemático característico de máquinas síncronas (geradores).
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Apêndice A
Dados dos Experimentos
A.1
Experimentos de Demanda Diária
Este apêndice apresenta o experimento de demanda diária única, relatado na Seção
4.5.2, para cada um dos 12 algoritmos implementados informados na Tabela 4.4. A
seguinte legenda é considerada para análise das tabelas:
HP - Hora de Produção (h)
DS - Demanda Solicitada (MW)
VV - Vazão Vertida (m3 /s)
DE - Demanda Entregue (MW)
FO - Função Objetivo (DE/VV)
EQDE - Erro Quadrático da Demanda Entregue
EMQDE - Erro Médio Quadrático da Demanda Entregue
VADE - Variância da Demanda Entregue
VAFO - Variância da Função Objetivo
Os resultados dos experimentos serão mostrados, cada um em uma página a
seguir. Cada página contém a tabela de dados e os gráficos de potência gerada e
vazão vertida, de cada algoritmo implementado.
100
Apêndice A
101
01) ALGORITMO GENÉTICO BINÁRIO - AGB
Tabela A.1: Resultados - AGB
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo Genético Binário|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 726,6242 356,0492 0,490005 0,00242
356 726,8667 355,9117 0,489652 0,00780
356 727,1637 355,9803 0,489546 0,00039
356 726,2387 355,9195 0,490086 0,00648
356 726,1447 356,0049 0,490267 0,00002
356 727,499 356,0165 0,48937 0,00027
356 727,906 356,0752 0,489177 0,00565
356 726,495 356,0087 0,490036 0,00008
356 726,5089 355,8407 0,489795 0,02537
356 726,2696 355,9893 0,490161 0,00011
356 725,9503 355,8629 0,490203 0,01881
356 726,1425 355,8594 0,490068 0,01976
356 726,7396 356,0061 0,489867 0,00004
356 726,3391 355,7839 0,489832 0,04669
356 726,7076 356,0478 0,489946 0,00228
356 726,1852 355,9873 0,490216 0,00016
356 727,2074 356,0715 0,489642 0,00511
356 726,4993 355,8991 0,489882 0,01017
356 725,4995 355,4285 0,489909 0,32659
356 726,0923 356,0043 0,490302 0,00002
356 726,4459 355,9945 0,49005 0,00003
356 727,2309 355,9785 0,489499 0,00046
356 727,7308 356,216 0,489489 0,04664
356 726,4063 355,8949 0,489939 0,01105
EMQDE
0,00376
VADE
0,004383083
VAFO
0,0043830832
AGB - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
102
02) ALGORITMO GENÉTICO REAL - AGR
Tabela A.2: Resultados - AGR
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo Genético Real|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 729,984 355,5934 0,487125 0,16534
356 726,7444 355,5085 0,489179 0,24160
356 726,3966 355,5181 0,489427 0,23219
356 726,0572 355,5339 0,489678 0,21724
356 726,0342 355,5377 0,489698 0,21375
356 725,9157 355,5179 0,489751 0,23238
356 725,9247 355,5301 0,489762 0,22079
356 725,9109 355,5267 0,489766 0,22398
356 725,9253 355,532 0,489764 0,21905
356 725,8511 355,4988 0,489768 0,25118
356 725,9115 355,5244 0,489763 0,22622
356 725,908 355,5228 0,489763 0,22771
356 725,9014 355,52 0,489763 0,23043
356 725,8604 355,504 0,489769 0,24597
356 725,8887 355,518 0,489769 0,23228
356 725,9048 355,5263 0,48977 0,22436
356 725,8994 355,5258 0,489773 0,22490
356 725,8902 355,523 0,489775 0,22756
356 725,886 355,5197 0,489773 0,23069
356 725,8638 355,513 0,489779 0,23713
356 725,8907 355,5224 0,489774 0,22809
356 725,8886 355,5215 0,489774 0,22892
356 725,8721 355,5137 0,489775 0,23645
356 725,9039 355,5293 0,489775 0,22153
EMQDE
0,22790
VADE
0,000247284
VAFO
0,0002472844
AGR - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
103
03) ALGORITMO DE/best/1/bin
Tabela A.3: Resultados - DE/best/1/bin
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand/1/bin|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 726,56 355,2444 0,48894 0,57097
356 727,5737 355,7377 0,488937 0,06882
356 729,972 356,1892 0,487949 0,03581
356 728,9556 356,3867 0,4889 0,14953
356 726,7018 355,3336 0,488968 0,44402
356 731,0148 357,4471 0,488974 2,09413
356 725,9655 354,9683 0,48896 1,06450
356 727,4472 355,6731 0,488933 0,10684
356 726,0371 355,0015 0,488958 0,99694
356 725,5137 355,4635 0,489947 0,28781
356 725,5137 355,4635 0,489947 0,28781
356 730,7104 356,5611 0,487965 0,31485
356 728,6231 356,9783 0,489935 0,95707
356 725,5137 355,4635 0,489947 0,28781
356 726,7018 355,3336 0,488968 0,44402
356 727,9964 356,6749 0,489941 0,45556
356 728,5137 356,201 0,488942 0,04038
356 728,1261 356,7376 0,489939 0,54405
356 729,2434 357,2844 0,489939 1,64975
356 728,1406 356,0179 0,488941 0,00032
356 727,9964 356,6749 0,489941 0,45556
356 726,563 355,971 0,489938 0,00084
356 730,2636 355,6384
0,487
0,13074
356 727,1424 356,2574 0,489942 0,06627
EMQDE
0,30133
VADE
0,283703991
VAFO
0,2837039913
DE/best/1/bin - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
104
04) ALGORITMO DE/rand/1/bin
Tabela A.4: Resultados - DE/rand/1/bin
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo Genético DE/best/1/bin|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 725,6065 355,3388 0,489713 0,43713
356 727,0951 355,3446 0,488718 0,42950
356 723,7221 354,4176 0,489715 2,50400
356 729,5331 356,5703 0,488765 0,32528
356 729,5961 356,5724 0,488726 0,32765
356 728,7048 356,1279 0,488714 0,01636
356 730,2815 356,225 0,487791 0,05060
356 729,5766 356,5729 0,488739 0,32817
356 728,8198 355,7294 0,48809 0,07320
356 728,7048 356,1279 0,488714 0,01636
356 727,0951 355,3446 0,488718 0,42950
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
356 727,2657 355,4282 0,488718 0,32695
EMQDE
0,32695
VADE
0,21875946
VAFO
0,2187594601
DE/rand/1/bin - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
105
05) ALGORITMO DE/rand-to-best/2/bin
Tabela A.5: Resultados - DE/rand-to-best/2/bin
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand-to-best/2/bin|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 727,4157 355,5357 0,488766 0,21554
356 727,4597 355,5546 0,488762 0,19835
356 730,6332 356,3372 0,48771 0,11372
356 729,3596 356,433 0,488693 0,18752
356 725,9472 355,5142 0,489725 0,23596
356 723,4644 354,2999 0,489727 2,89017
356 725,8191 355,4541 0,489728 0,29804
356 727,2165 355,407 0,488722 0,35169
356 727,4867 355,5555 0,488745 0,19758
356 727,2038 356,129 0,489724 0,01663
356 726,565 355,8188 0,489727 0,03285
356 727,5869 354,9051 0,487784 1,19885
356 727,8486 356,4447 0,489724 0,19778
356 727,1914 356,1232 0,489724 0,01518
356 726,0284 354,8442 0,488747 1,33581
356 727,3092 355,4469 0,488715 0,30591
356 729,6334 357,3178 0,489722 1,73671
356 725,289 355,1925 0,489725 0,65208
356 729,1247 356,3395 0,488722 0,11528
356 725,9109 355,4999 0,489729 0,25014
356 728,7797 356,9002 0,489723 0,81037
356 725,8296 355,4565 0,489724 0,29537
356 725,1666 355,1367 0,489731 0,74522
356 729,9398 356,7805 0,488781 0,60919
EMQDE
0,27276
VADE
0,447376794
VAFO
0,4473767938
DE/rand-to-best/2/bin - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
106
06) ALGORITMO DE/best/2/bin
Tabela A.6: Resultados - Algoritmo DE/best/2/bin
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/best/2/bin|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 730,1846 356,9689 0,488875 0,93874
356 723,8438 355,3875 0,490973 0,37518
356 727,6286 357,2483 0,490976 1,55825
356 725,1768 355,3291 0,48999 0,45016
356 727,4788 356,4271 0,489948 0,18244
356 726,3378 356,6103 0,49097 0,37246
356 732,4517 358,1595 0,488987 4,66352
356 725,0769 355,2557 0,489956 0,55391
356 728,0173 356,6799 0,489933 0,46229
356 730,3085 357,8387 0,489983 3,38099
356 726,6629 356,0308 0,489953 0,00095
356 733,6572 358,2945 0,488368 5,26455
356 731,4668 357,2454 0,488396 1,55111
356 730,3116 356,4243 0,488044 0,17999
356 730,5665 357,9655 0,489983 3,86301
356 725,4785 355,4542 0,489958 0,29785
356 731,4794 358,4083 0,489977 5,80001
356 729,5556 357,499 0,490023 2,24714
356 729,1019 357,2398 0,489972 1,53717
356 727,9968 356,6858 0,489955 0,47027
356 729,1019 357,2398 0,489972 1,53717
356 728,4347 356,9365 0,490005 0,87700
356 727,9308 355,9242 0,488953 0,00574
356 730,3526 357,1292 0,488982 1,27505
EMQDE
0,90787
VADE
3,001963517
VAFO
3,0019635170
DE/best/2/bin - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
107
07) ALGORITMO DE/rand/2/bin
Tabela A.7: Resultados - Algoritmo DE/rand/2/bin
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand/2/bin|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 730,2879 356,9887 0,488833 0,97759
356 729,8166 356,3112 0,48822 0,09686
356 725,8968 355,549 0,489807 0,20336
356 724,6277 354,182 0,488778 3,30516
356 724,0626 354,65 0,489806 1,82243
356 727,6582 354,9405 0,487785 1,12264
356 727,7521 355,7119 0,488782 0,08302
356 729,7692 356,6936 0,488776 0,48109
356 726,9257 356,0476 0,489799 0,00227
356 727,9123 355,8438 0,488855 0,02441
356 728,4099 355,3465 0,487839 0,42710
356 729,229 356,4739 0,488837 0,22455
356 728,2163 355,9826 0,488842 0,00030
356 727,9452 356,5447 0,489796 0,29668
356 726,6542 355,1679 0,488772 0,69234
356 729,3768 355,8088 0,487826 0,03657
356 728,6835 356,9103 0,489802 0,82871
356 728,1134 355,9123 0,488814 0,00770
356 728,0574 355,9094 0,488848 0,00822
356 728,6835 356,9103 0,489802 0,82871
356 729,5048 356,5791 0,488796 0,33537
356 728,8976 356,3128 0,488838 0,09787
356 727,8268 355,7884 0,488837 0,04477
356 728,2163 355,9826 0,488842 0,00030
EMQDE
0,21396
VADE
0,569657138
VAFO
0,5696571383
DE/rand/2/bin - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
108
08) ALGORITMO DE/best/1/exp
Tabela A.8: Resultados - Algoritmo DE/best/1/exp
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/best/1/exp|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 720,5841 352,7674 0,489558 10,44978
356 722,733 353,833 0,489576 4,69608
356 729,0258 356,2013 0,488599 0,04054
356 734,3551 357,3584 0,486629 1,84526
356 727,5104 356,1646 0,489566 0,02708
356 731,2104 355,3806 0,486017 0,38362
356 729,6857 355,825 0,487642 0,03062
356 725,4175 354,4106 0,488561 2,52605
356 727,5104 356,1646 0,489566 0,02708
356 729,7486 356,5598 0,488606 0,31341
356 727,2685 355,3481 0,488606 0,42495
356 730,3763 356,8402 0,48857 0,70594
356 723,5282 354,2148 0,489566 3,18690
356 727,9319 356,3713 0,489567 0,13783
356 729,8193 356,5484 0,488543 0,30075
356 729,8193 356,5484 0,488543 0,30075
356 731,9939 356,534 0,487072 0,28520
356 726,3951 355,6151 0,489562 0,14815
356 730,1298 357,4473 0,489567 2,09469
356 727,4084 355,3999 0,488584 0,36016
356 724,8572 354,1374 0,488562 3,46919
356 727,5104 356,1646 0,489566 0,02708
356 727,1347 355,2397 0,488547 0,57798
356 729,4766 357,1274 0,489567 1,27108
EMQDE
0,37189
VADE
5,382757658
VAFO
5,3827576576
DE/best/1/exp - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
109
09) ALGORITMO DE/rand/1/exp
Tabela A.9: Resultados - DE/rand/1/exp
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand/1/exp|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 726,3398 355,145 0,488952 0,73101
356 727,6986 355,8397 0,488993 0,02570
356 724,7409 355,0937 0,48996 0,82132
356 726,3436 355,1485 0,488954 0,72508
356 726,0822 355,057 0,489004 0,88933
356 730,4031 357,8714 0,489964 3,50206
356 726,3436 355,1485 0,488954 0,72508
356 728,847 356,4001 0,488992 0,16012
356 726,8568 355,4384 0,489007 0,31543
356 729,8644 357,608 0,489965 2,58574
356 725,1335 355,2849 0,489958 0,51135
356 728,39 356,8785 0,489955 0,77183
356 728,6794 357,024 0,48996 1,04855
356 728,051 355,978 0,488947 0,00048
356 729,0155 357,1851 0,489955 1,40440
356 726,7342 356,0737 0,489964 0,00543
356 728,6624 357,0131 0,489957 1,02633
356 729,2135 355,8528 0,487995 0,02167
356 725,748 354,8851 0,488992 1,24296
356 727,0424 356,2182 0,489955 0,04759
356 727,9597 355,9497 0,488969 0,00253
356 727,9597 355,9497 0,488969 0,00253
356 727,9597 355,9497 0,488969 0,00253
356 727,9597 355,9497 0,488969 0,00253
EMQDE
0,61822
VADE
0,748493991
VAFO
0,7484939913
DE/rand/1/exp - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
110
10) ALGORITMO DE/rand-to-best/2/exp
Tabela A.10: Resultados - DE/rand-to-best/2/exp
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand-to-best/2/exp|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 729,8371 355,6927 0,487359 0,09444
356 726,3433 354,7142 0,488356 1,65322
356 733,4623 357,4669 0,487369 2,15184
356 728,4977 356,4777 0,489333 0,22824
356 729,8371 355,6927 0,487359 0,09444
356 723,5568 354,0678 0,489343 3,73348
356 730,2393 356,6195 0,48836 0,38373
356 732,6705 357,091 0,487383 1,19032
356 729,6123 355,5922 0,487371 0,16631
356 728,624 355,065 0,487309 0,87422
356 730,4354 356,0092 0,487393 0,00008
356 726,5453 354,8201 0,488366 1,39219
356 730,5551 356,0557 0,487377 0,00310
356 726,3127 353,9347 0,487303 4,26554
356 728,4136 354,9959 0,487355 1,00816
356 730,5551 356,0557 0,487377 0,00310
356 728,566 355,0846 0,487375 0,83792
356 728,8251 355,1952 0,487353 0,64771
356 717,9018 350,587 0,488349 29,30102
356 728,8837 355,9575 0,48836 0,00181
356 724,2306 353,6815 0,488355 5,37526
356 724,3542 353,7154 0,488318 5,21932
356 726,9501 355,7219 0,489335 0,07732
356 727,6134 356,0451 0,489333 0,00203
EMQDE
0,74281
VADE
35,52590501
VAFO
35,5259050060
DE/rand-to-best/2/exp - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
111
11) ALGORITMO DE/best/2/exp
Tabela A.11: Resultados - Algoritmo DE/best/2/exp
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/best/2/exp|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 723,3729 352,8624 0,487802 9,84451
356 727,6215 354,65
0,48741 1,82259
356 726,8452 354,9757 0,488379 1,04909
356 730,0976 356,5614 0,488375 0,31518
356 731,1158 357,0836 0,488409 1,17416
356 729,2185 355,4088 0,487383 0,34954
356 727,5864 355,3261 0,488363 0,45417
356 730,2426 355,8366 0,487285 0,02670
356 725,7964 354,4699 0,488387 2,34124
356 729,1446 356,1232 0,488412 0,01517
356 727,7087 356,1257 0,48938 0,01581
356 725,9347 355,2796 0,48941 0,51896
356 721,4966 353,1072 0,489409 8,36805
356 734,0372 357,7619 0,487389 3,10442
356 729,487 355,456 0,487268 0,29590
356 724,3459 353,7523 0,488375 5,05228
356 728,2662 354,9911 0,487447 1,01780
356 724,4033 354,5197 0,489396 2,19114
356 726,8452 354,9757 0,488379 1,04909
356 725,7029 355,1528 0,489391 0,71781
356 728,7073 355,8901 0,488386 0,01207
356 726,8452 354,9757 0,488379 1,04909
356 728,9785 356,7472 0,48938 0,55828
356 731,1158 357,0836 0,488409 1,17416
EMQDE
1,03344
VADE
6,482282872
VAFO
6,4822828720
DE/best/2/exp - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
112
12) ALGORITMO DE/rand/2/exp
Tabela A.12: Resultados - DE/rand/2/exp
HP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Algoritmo DE/rand/2/exp|
DS
VV
DE
FO
EQDE
356 724,4055 355,0688 0,490152 0,86711
356 727,3954 355,8113 0,489158 0,03559
356 724,4055 355,0688 0,490152 0,86711
356 727,4553 355,8393 0,489156 0,02583
356 723,0899 354,4229 0,49015 2,48738
356 726,7293 356,2011 0,490143 0,04045
356 729,5859 356,1956 0,488216 0,03827
356 727,8586 356,7552 0,490144 0,57040
356 731,0301 356,8704 0,488175 0,75752
356 726,1601 355,2235 0,489181 0,60288
356 729,1415 356,6796 0,489178 0,46190
356 728,9183 356,5615 0,489165 0,31525
356 729,9344 356,3542 0,4882 0,12548
356 727,3746 355,0057 0,488064 0,98867
356 727,3046 355,0866 0,488223 0,83427
356 729,7962 356,9775 0,489147 0,95552
356 725,9842 355,8414 0,49015 0,02516
356 724,0394 354,8895 0,490152 1,23322
356 727,8586 356,7552 0,490144 0,57040
356 728,7886 356,4817 0,489143 0,23206
356 727,7362 355,9515 0,489122 0,00235
356 729,0228 355,8616 0,488135 0,01914
356 731,2517 356,9676 0,48816 0,93625
356 728,3221 356,2861 0,489188 0,08186
EMQDE
0,51615
VADE
0,327636893
VAFO
0,3276368930
DE/rand/2/exp - Potencia Gerada e Vazão Vertida
Apêndice A
A.2
113
Experimentos de Demanda Horária
Esta seção apresenta o experimento de demanda horária única, relatado na Seção
4.5.3, onde os valores da função objetivo para cada um dos quatro algoritmos testados neste experimento (AGB, AGR, DE/best/1/bin e DE/rand/1/bin) se encontram
na Tabela A.13.
Tabela A.13: Resultados Função Objetivo - Algoritmos
Função Objetivo - Produtividade
Iteração
AGB
AGR
DE/best/1/bin DE/rand/1/bin
1
0,490535 0,490161
0,490248
0,488532
2
0,490940 0,490659
0,490246
0,490772
3
0,490698 0,489500
0,490251
0,489850
4
0,490861 0,489563
0,489915
0,489623
5
0,490355 0,490020
0,490071
0,490614
6
0,490136 0,490362
0,490617
0,490418
7
0,490576 0,490886
0,490494
0,490046
8
0,490661 0,491004
0,490191
0,488829
9
0,490508 0,491011
0,490142
0,489793
10
0,490760 0,491137
0,490403
0,490006
11
0,490093 0,491133
0,490403
0,490352
12
0,490657 0,491128
0,490403
0,489878
13
0,490715 0,491106
0,490403
0,490993
14
0,490552 0,491047
0,490403
0,490751
15
0,490604 0,491112
0,490403
0,489689
16
0,490855 0,491127
0,490403
0,490041
17
0,490815 0,491146
0,490403
0,489190
18
0,490349 0,491198
0,490403
0,490222
19
0,490650 0,491151
0,490403
0,490049
20
0,490628 0,491146
0,490403
0,490262
21
0,490708 0,491135
0,490403
0,490368
22
0,490952 0,491171
0,490403
0,488478
23
0,490361 0,491156
0,490251
0,490604
24
0,490890 0,491199
0,490252
0,489302
25
0,490165 0,491704
0,490249
0,490894
26
0,490202 0,491883
0,490249
0,490772
27
0,490628 0,492359
0,490253
0,490280
28
0,490083 0,491986
0,490266
0,490492
29
0,490940 0,492476
0,490259
0,491212
30
0,490023 0,492355
0,490256
0,491110
Apêndice A
114
Os tempos de execução do experimento relatado na Seção 4.5.3 estão dispostos
na Tabela A.14.
Tabela A.14: Tempo de Execução por Algoritmo
Iteração
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
AGB
19,6042
19,5775
20,2759
19,5017
19,7893
19,7329
19,7404
19,6585
19,5467
19,7043
19,7364
19,6381
20,1297
19,5838
19,9106
19,8506
20,3639
19,3917
19,7686
19,6834
19,9351
19,7984
19,7326
19,74
20,1056
20,2971
20,6015
19,7732
20,1792
19,9126
Tempo de Execução (s)
AGR DE/best/1/bin
16,0729
4,9549
16,2123
4,9561
16,3693
4,9607
16,2453
4,9145
16,2002
4,9495
16,2062
4,9353
16,6228
4,9434
16,5328
4,9118
16,3096
4,9407
16,4343
4,9667
16,3217
5,0277
17,5496
4,9677
16,3776
4,9328
16,4424
4,9453
16,5819
4,9221
16,3027
4,9523
16,3768
4,9661
16,3659
5,0574
17,7919
4,9212
16,4263
4,9596
16,4251
4,9549
16,2723
4,9607
16,4327
4,9495
16,3572
4,9434
16,3705
4,9407
16,5997
5,0277
16,3061
4,9328
16,4545
4,9221
16,3234
4,9661
16,359
5,0574
DE/rand/1/bin
5,8586
5,8564
5,3461
5,0008
5,4307
5,1777
5,8097
5,8987
5,8487
5,3744
5,2987
4,9993
5,8787
5,437
4,9159
5,8997
5,8620
5,8657
5,8641
5,8702
5,8908
5,8816
5,8923
5,8722
5,8558
5,8276
5,8811
5,8725
5,8769
5,8917