X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
SÍNTESE DE COMPENSADOR DINÂMICO DE SAÍDA PARA SISTEMAS
CONTROLADOS VIA REDE
Vitor M. Moraes∗, Eugênio B. Castelan∗, Ubirajara F. Moreno∗
∗
Grupo de Controle de Sitemas Mecatrônicos - GSM, Departamento de Automação e Sistemas - DAS
Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Florianópolis, SC, Brasil
Emails: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract— This paper presents a method for synthesis of dynamic output-feedback controller partially depended on parameter for networked control systems. The results are described in terms of linear matrix inequalities based in a polytopic model for the system. Moreover, a restriction related with temporal performance for
the closed-loop system is included in the stability condition. A numerical example and simulation are provided
in order to illustrate the proposed method.
Keywords—
networked control systems, linear matrix inequalities, output dynamic compensator.
Resumo— Este artigo apresenta uma proposta para sı́ntese de compensador dinâmico, parcialmente dependente de parâmetro, para sistemas controlados via rede. Os resultados são desenvolvidos em termos de desigualdades matriciais lineares, considerando para isso um modelo politópico para o sistema de controle. Adicionalmente,
uma restrição temporal, relacionada ao desempenho do sistema em malha fechada, é acrescentada à condição de
estabilidade. O método proposto é ilustrado a partir de um exemplo com resultados numéricos e simulação.
Palavras-chave—
saı́da.
1
sistemas de controle via rede, desigualdades matriciais lineares, compensador dinâmico de
Introdução
Sistemas controlados através de redes de comunicação (NCS, do inglês Networked Control
Systems) podem ter o desempenho prejudicado
devido aos atrasos ocorridos durante a troca de
informações entre os componentes do sistema de
controle. Usualmente, o compartilhamento do
meio de transmissão faz com que estes atrasos sejam variantes no tempo, tornando difı́ceis a análise e o projeto de controladores que garantam a
estabilidade e desempenho desejados ao processo.
A crescente utilização deste tipo de sistema
nas mais diversas áreas, tem proporcionado um
correspondente avanço em pesquisas relacionadas ao tema (Baillieul and Antsaklis, 2007; Ge
et al., 2007; Hespanha et al., 2007; Tang and
Yu, 2007). Algumas aplicações tı́picas envolvem,
por exemplo: robótica móvel, circuitos automotivos, processos industriais, automação residencial,
cirurgia remota, entre outras.
Na literatura podem ser encontradas várias
propostas referentes à sı́ntese de controladores
para esta classe de sistemas. A maioria desses estudos utilizam a teoria de Lyapunov como
base para a definição das condições de estabilidade (Hetel et al., 2007; Izák et al., 2009; Yue
et al., 2004; Cloosterman et al., 2010; Zhang and
Yu, 2008; Dan et al., 2008; Gao et al., 2008),
complementarmente utilizando técnicas de controle robusto para a modelagem do sistema, por
exemplo, sistemas politópicos e sistemas limitados por norma. Existem, também, trabalhos que
fazem uso de uma abordagem com base em funções de transferência (Santos et al., 2007; Kao and
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
Lincoln, 2004; Cervin et al., 2004), por vezes utilizando o conceito de margem de jitter para o desenvolvimento do trabalho.
No entanto, grande parte dos resultados são
demonstrados para aplicação em controles por realimentação de estados, o que na prática nem sempre é viável. Desse modo, dando sequência ao estudo apresentado em Moraes et al. (2010) e motivado pelo trabalho de Castelan et al. (2010), no
presente artigo é proposto um método para cálculo
de um compensador dinâmico de saı́da para sistemas controlados via rede. Do mesmo modo que no
trabalho anterior, é considerada a utilização de estampas de tempo, proporcionando ao controlador
informações temporais relacionadas aos instantes
de ocorrência dos eventos do sistema de controle.
Isto possibilita, por exemplo, o cálculo de um compensador parcialmente dependente de parâmetro.
Os resultados são descritos em termos de LMIs
(Boyd et al., 1994).
O texto está organizado da seguinte forma:
na seção 2 são descritas as caracterı́sticas do sistema e seu respectivo modelo. Na seção 3 são mostrados alguns conceitos preliminares, usados como
base na seção 4 para o cálculo de um compensador dinâmico de saı́da. Na seção 5 os resultados
numéricos e simulados obtidos para um exemplo
são apresentados.
Notações: A′ corresponde à matriz transposta de A.
I denota uma matriz identidade de dimensão apropriada.
A > B significa que A − B é simétrica positiva definida. ∗
refere-se à blocos simétricos. (•) representa um elemento
da matriz que não tem influência para o desenvolvimento.
[ 0]
diag(A, B) é uma matriz bloco diagonal A
0 B .
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2
2.1
Formulação do Problema
Sistema de Controle via Rede
No decorrer deste trabalho é considerado um
sistema cuja topologia básica pode ser vista na
figura 1, onde as setas indicam o sentido da troca
de informações entre os componentes do sistema
de controle.
Figura 1: Sistema de Controle via Rede.
2.2
Para este sistema, admite-se que o processo
é linear e invariante no tempo (LTI) e sua dinâmica pode ser descrita por equações no espaço de
estados:
ẋ(t) = M x(t) + N u(t)
y(t) = Cx(t)
(1)
com x(t) ∈ ℜn , u(t) ∈ ℜm , y(t) ∈ ℜp , M ∈ ℜn×n ,
N ∈ ℜn×m e C ∈ ℜp×n . Os sensor é regido a
tempo, ou seja, realiza a leitura das saı́das do sistema a cada intervalo de tempo T , enviando ao
controlador as informações amostradas. O atuador é regido a evento e funciona como um segurador de ordem zero, atualizando o valor do sinal
de controle sempre que uma nova informação proveniente do controlador é recebida. O controlador
também é regido a evento, enviando ao atuador
um novo valor do sinal de controle sempre que recebe uma mensagem do sensor (Moraes, 2010).
Considera-se ainda a utilização de protocolos
deterministas para a comunicação, o que possibilita um correto escalonamento dos processos que
acessam a rede de modo a garantir o cumprimento
de todos os deadlines. Ainda assim, a utilização
de uma rede de comunicação, para troca de informações entre os componentes do sistema de controle, implica em um atraso τ entre os instantes
de medição e atuação, podendo ocasionar perda de
desempenho do sistema em malha fechada. Este
atraso é composto de duas parcelas, τ = τsc + τca ,
sendo a primeira, τsc , referente ao tempo gasto no
envio da mensagem do sensor para o controlador,
e a segunda, τca , referente ao tempo gasto para
envio da mensagem do controlador ao atuador.
É importante ressaltar que, eventualmente, a
rede pode estar ocupada no momento em que algum componente tente acessá-la, provocando um
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
tempo de espera. Esta espera pode ser variante
no tempo, portanto seu efeito deve ser acrescentado aos valores correspondentes das parcelas do
atraso. Apesar disso, devido às caracterı́sticas inerentes às redes determinı́sticas e protocolos de comunicação correspondentes, o atraso é limitado.
Assim, assumindo um deadline máximo igual ao
perı́odo de amostragem, tem-se 0 < τmin ≤ τ ≤
τmax ≤ T . Outra caracterı́stica considerada é
a utilização de mensagens contendo estampas de
tempo, possibilitando o cálculo de um sinal de controle dependente do parâmetro τ (ou de um valor
estimado de τ como em (Hetel et al., 2011)).
Desse modo, de acordo com as caracterı́sticas apresentadas para o sistema, o problema consiste na sı́ntese de compensador dinâmico, possivelmente parcialmente dependente do parâmetro
τ , que garanta a estabilidade e um certo grau de
desempenho temporal para o sistema em malha
fechada.
Representação Politópica
Para representar o sistema (1) em tempo discreto, com relação aos instantes de amostragem,
deve-se considerar o efeito ocasionado pelo atraso
τ no valor do sinal de controle aplicado durante o
intervalo de tempo t ∈ [kT, (k + 1)T ], isto é:
{
[
]
uk−1 , t ∈ kT, kT + τk
[
]
u(t) =
(2)
uk ,
t ∈ kT + τk , (k + 1)T
o que implica na seguinte representação (Åström
and Wittenmark, 1997):
xk+1 = Axk + Γ1 uk−1 + Γ0 uk
yk = Cxk
(3)
onde
A = eM T
∫ T −τk
Γ0 =
eM s ds N
0
∫
Γ1 =
T
T −τk
eM s ds N = B − Γ0
∫T
com B = 0 eM s ds N . Γ0 e Γ1 correspondem às
incertezas exponenciais, dependentes do atraso τk .
Fazendo uso da teoria de conjuntos convexos, as matrizes incertas do sistema (3) podem
ser expressas em uma forma politópica adicionada de uma incerteza limitada por norma (Hetel
et al., 2007) 1 :
Γ0 (τk ) =
h+1
∑
µi (τk )Γh0i + ∆Γ0 (τk )
i=1
1 Apenas
os cálculos referentes à matriz incerta Γ0 são
mostrados; as equações correspondentes à Γ1 podem ser
deduzidas a partir da relação Γ1 = B − Γ0 .
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]
[
h−1
onde Γh0i = Mh!
ϕi N , para i =
··· M
I
2!
1, . . . , h + 1, e:
 h 
 h 
 h 
α I
α I
α I
 .. 
 .. 
 .. 
ϕ1 =  .  ϕ2 =  .  · · · ϕh+1 =  . 
αI
αI
3
Considere o sistema em malha fechada (5) e
uma função candidata de Lyapunov dependente
de parâmetro:
αI
com α = T − τmax e α = T − τmin . Os valores de
ponderação µi (τk ) correspondem à solução para o
sistema linear:


 

1
1 ··· 1
1 
1
µ
1k
α

 αk 
α
·
·
·
α
α
 2
  µ2k   2 
α

  
α2 · · · α2 α2 

  ..  = αk 
 ..

.. . .
.
..  .   .. 
 .
 . 
. ..
.
. 
µ(h+1)k
h
h
h
h
αkh
α
α
α
··· α
onde αk = T − τk .
O termo ∆Γ0 (τk ) representa uma incerteza residual e pode ser tratado como uma restrição por
norma (Garcia et al., 1994):
∆Γ0 (τk ) ≤ γ02 .
V (zk , τk ) = zk′ Q−1 (τk )zk
Sistema em Malha Fechada
Como extensão do estudo apresentado em
Moraes et al. (2010), para o presente trabalho
considera-se o compensador dinâmico de saı́da
parcialmente dependente do parâmetro τk :
ζk+1 = Ac (τk )ζk + Bc yk + F1 (τk )uk−1 + F0 (τk )uk
uk+1 = Cc ζk + Dc yk + K1 uk−1 + K0 uk
(4)
onde
[Ac (τk ) F1 (τk ) F0 (τk )] =
h+1
∑
µi (τk )[Aci F1i F0i ]
i=1
Definindo, então, uma variável de estado auxiliar xk tal que xk = xk − Buk , com B ∈
ℜn×m , e um vetor de estados aumentado zk =
[x′k ζk′ u′k−1 u′k ]′ ∈ ℜl , l = 2(n + m), uma representação do sistema em malha fechada é dada
por:
zk+1 = H(τk )zk + E∆(τk )Dzk
(5)
∑h+1
onde H(τk ) = i=1 µi (τk )Hi . As matrizes Hi são
dadas por:

A + BDc C
 Bc C

Hi = 
0
Dc C
BCc
Aci
0
Cc
Γ1i + BK1
F1i
0
K1

Ω
F0i − Bc CB 


I
K0 − Dc CB
com Ω = Γ0i + BK0 − (A + BDc C)B,
 
I
[
]
0
0 0 I 0

E = 
,
D
=
,
0
0 0 0 I
0
e ∆(τk ) = [∆Γ1 (τk ) ∆Γ0 (τk )] uma matriz que
contém as incertezas limitadas por norma, e portanto:
∆(τk ) ≤ γ 2
(6)
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
(7)
∑h+1
com Q(τk ) = i=1 µi (τk )Qi , Qi = Q′i > 0.
Por definição, o sistema em malha fechada é
robustamente assintóticamente estável, com um
coeficiente de contração λ ∈ (0, 1], se:
∆V (zk , τk ) = V (zk+1 , τk+1 )−λV (zk , τk ) < 0 (8)
∀zk ∈ ℜl , zk ̸= 0, e ∀τk ∈ [τmin , τmax ].
Esta condição aplicada ao sistema (5), resulta
em2 :
(
)′
(
)
H + E∆D (Q+ )−1 H + E∆D − λQ−1 < 0 (9)
3.1
2.3
Resultados Preliminares
Condição de Estabilidade
Lema 1 Seja λ ∈ (0, 1] e γ que verifique (6). O
sistema em malha fechada (5) é robustamente assintóticamente estável, com um coeficiente de contração λ, se existem matrizes simétricas positivas definidas Qi ∈ ℜl×l , matrizes U ∈ ℜl×l e
R ∈ ℜn×n , e um escalar σ > 0 que verificam:

−Qj
 U ′ Hi′

 0
γR′ E ′
Hi U
λ(Qi − U − U ′ )
DU
0
0
U ′ D′
−σI
0

γER

0
<0

0
′
σI − R − R
(10)
onde i, j = 1, ..., h + 1.
Prova: Realizando a combinação convexa para os
termos indicados pelos ı́ndices i e em seguida para
j, sabendo que (σI − R′ )σ −1 I(σI − R) ≥ 0, e
aplicando o complemento de Schur, a equação (10)
implica na desigualdade dependente do parâmetro
τ:


−Q+ + σγ 2 EE ′
HU
0

U ′ H′
λ(Q − U − U ′ ) U ′ D′  < 0
0
DU
−σI
Aplicando novamente o complemento de Schur:
[
−Q+ + σγ 2 EE ′
U ′ H′
]
HU
<0
λ(Q − U − U ′ ) + σ −1 U ′ D′ DU
Esta notação pode ser reescrita da forma seguinte:
[
]
−Q+
HU
+
′ ′
′
U H λ(Q − U − U )
[ ]
[
]
]
[
γE [ ′
0
γE 0 + σ −1
0
σ
′ ′
0
U D
]
DU < 0
(11)
2 Por simplicidade de notação os termos (τ ) serão omik
tidos nas próximas equações e os termos (τk+1 ) serão substituı́dos pelo ı́ndice + .
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Assim, levando em consideração que ∆′ ∆ ≤ γ 2 , a
equação (11) é equivalente à (Wu et al., 2009):
[
−Q
U ′ H′
+
]
HU
+
λ(Q − U − U ′ )
([ ]
γE −1 [
He
γ ∆ 0
0
DU
)
]
<0
que corresponde à:
[
]
(H + E∆D)U
<0
λ(Q − U − U ′ )
−Q+
′
U (H + E∆D)′
(12)
Sabendo que (Q − U ′ )Q−1 (Q − U ) ≥ 0, a equação
(12) implica em:
[
−Q+
(H + E∆D)′
]
(H + E∆D)
<0
−λQ−1
2
que é equivalente à equação (9).
4
Sı́ntese do Compensador Dinâmico de
Saı́da
Motivado pelo trabalho de Castelan et al.
(2010), para o cálculo do compensador dinâmico
considerado, são definidas matrizes U e U −1 tais
que:

X
Z
U =
Π1
Π3
N
(•)
(•)
(•)
0
0
I
0


0
Y

0
W
 , U −1 = 
Σ1
0
I
Σ3
M 0
(•) 0
(•) I
(•) 0

0
0

0
I
de onde segue que:
XY + N W = I.
de modo que:
X
Z
Π1
Π3
0
0
I
0

 ′
0
Y
I
0
′
 , Θ UΘ = 
0
0
I
0
T′
X
Π1
Π3
Σ′1
0
I
0

Σ′3
0

0
I
com
T ′ = Y ′ X + W ′ Z + Σ′1 Π1 + Σ′3 Π3 .
é tal que o sistema em malha fechada (5) é robustamente assintóticamente estável.
Prova: Pré- e pós- multiplicando (10) por
diag{Θ′ , Θ′ , I, I} e sua transposta, respectivamente, fazendo R = ηI e definindo variáveis auxiliares:

D̂ = Dc





Ĉ = Cc Z + K1 Π1 + (K0 − Dc CB)Π3 + Dc CX





B̂ = Y ′ BDc + W ′ Bc + Σ′3 Dc



F̂1i = W ′ F1i + Y ′ (Γ1i + BK1 ) + Σ′3 K1
′
′
′

F̂0i = Σ1 + W (F0i − Bc CB) + Σ3 (K0 − Dc CB)



+Y ′ (Γ0i + BK0 (A + BDc C)B)




Âi = F̂0i Π3 + F̂1i Π1 + (W ′ Aci + Σ′3 Cc + Y ′ BCc )Z


(
)

+ Y ′ (A + BDc C) + W ′ Bc C + Σ′3 Dc C X
a equação definida pelo Lema 1 é equivalente à
equação (15).
2
5
Exemplo e Simulação
Considere um sistema composto de um duplo
integrador:
[
]
[ ]
[
]
0 1
0
M=
, N=
, C= 1 0 .
0 0
1
O perı́odo de amostragem considerado é T = 0, 1s
e o atraso variante é limitado por τmin = 0, 001s e
τmax = T .
Na tabela 1 são mostrados os menores valores
obtidos para o coeficiente de contração λ, considerando dois valores distintos para a ordem de aproximação, h, no cálculo do modelo politópico: para
cada um dos modelos politópicos, considerou-se
três valores diferentes para o parâmetro η; para
cada um desses valores realizou-se uma busca linear pelo menor valor de λ para o qual as LMIs
(15) obtiveram resultado factı́vel.
Tabela 1: Valores numéricos mı́nimos obtidos para o
coeficiente de contração λ.
h=1
h=2
h=3
η=1
0, 9877
0, 9786
0, 9786
η = 25
0, 8772
0, 8190
0, 8189
η = 50
0, 8886
0, 8149
0, 8148
(14)
Lema 2 Seja λ ∈ (0, 1], η > 0 e γ que verifique
(6). Se existem matrizes Q̂i , Y , X, T , Σ1 , Σ3 ,
Π1 , Π3 , Âci , B̂, F̂1i , F̂0i , Ĉ, D̂, K1 , K0 e um
ISSN: 2175-8905 - Vol. X


Dc = D̂





Cc = (Ĉ − K1 Π1 − (K0 − Dc CB)Π3 − Dc CX)Z −1




Bc = (W ′ )−1 (B̂ − Y ′ BDc − Σ′3 Dc )




F = (W ′ )−1 (F̂1i − Y ′ (Γ1i + BK1 ) − Σ′3 K1 )


 1i
F0i = Bc CB + (W ′ )−1 (F̂0i − Σ′1 − Σ′3 (K0 − Dc CB)


−Y ′ (Γ0i (
+ BK0 − (A + BDc C)B)




Aci = (W ′ )−1 (Âi − F̂0i Π3 − F̂1i Π1



(
)



− Y ′ (A + BDc C)
+ W ′ Bc C + Σ′3 Dc C X)Z −1


)



−Σ′3 Cc − Y ′ BCc
(13)
Define-se também uma matriz auxiliar Θ:


Y I 0 0
 W 0 0 0

Θ=
Σ1 0 I 0
Σ3 0 0 I

I
0
UΘ = 
0
0
escalar σ > 0 que verifiquem (15), então o controlador (4) com
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−Q̂12j
−Q̂22j
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
−Q̂13j
−Q̂23j
−Q̂33j
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
−Q̂14j
−Q̂24j
−Q̂34j
−Q̂44j
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
F̂1i
Γ1i + BK1
0
K1
λ(Q̂13i − Σ′1 )
λ(Q̂23i − Π′1 )
λ(Q̂33i − 2I)
∗
∗
∗
∗
Y ′ A + B̂C
A + B D̂C
0
D̂C
λ(Q̂11i − Y ′ − Y )
∗
∗
∗
∗
∗
∗
Âi
...
AX + B Ĉ + Γ1i Π1 + (Γ0i − AB)Π3 ...
Π3
...
Ĉ
...
λ(Q̂12i − T ′ − I)
...
λ(Q̂22i − X − X ′ )
...
∗
...
∗
...
∗
...
∗
...
∗
...

F̂0i
0
0
γηY ′

Γ0i + BK0 − (A + B D̂C)B
0
0
I


I
0
0
0


K0 − D̂CB
0
0
0


′

λ(Q̂14i − Σ3 )
0
0
0

 < 0, ∀i, j = 1, ..., h + 1
λ(Q̂24i − Π′3 )
Π′1
Π′3
0


λ(Q̂34i )
I
0
0


λ(Q̂44i − 2I)
0
I
0


∗
−σI
0
0


∗
∗
−σI
0
∗
∗
∗
σI − 2ηI
Observa-se que, para cada situação, maiores
valores na ordem de aproximação permitem melhorar os resultados obtidos para o coeficiente de
contração. No entanto, salienta-se que, no exemplo utilizado, valores de h > 2 não implicaram em
melhoras significativas, quando ocorreram. Também é válido ressaltar que quanto maior h, maior a
quantidade de vértices do sistema politópico, consequentemente a complexidade numérica na resolução das LMIs e no cálculo realizado pelo controlador também aumentam.
Para as simulações foram consideradas duas
ordens de aproximação para o sistema politópico,
h = 1 e h = 2, com η = 25 e λ = 0, 9 em ambos
os casos. As matrizes do compensador dinâmico
para cada situação são mostradas na tabela 2.
(15)
2
x1 (t)
−Q̂11j
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
h=1
h=2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
tempo, [s]
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
tempo, [s]
6
7
8
9
10
1
x2 (t)

















0
-1
-2
Figura 2: Dinâmica dos estados do sistema.
2
1
0
-1
-2
u(t)

-3
-4
-5
O atraso variável foi gerado como uma distribuição uniforme, onde os limites utilizados correspondem aos valores mı́nimo e máximo possı́veis,
τmin e τmax , respectivamente. Ressalta-se que a
mesma sequência de atrasos foi utilizada para os
dois casos simulados.
Na figura 2 são mostrados os comportamentos
dos estados do sistema, para uma condição inicial
x0 = [1, 7 − 0, 3]′ . Por fim, na figura 3 é mostrada
uma comparação entre os sinais de controle gerados por cada um dos controladores considerados.
Como pode ser visto nos gráficos apresentados, os
comportamentos dinâmicos nos dois casos são distintos, embora próximos. A maior diferença pode
ser observada na amplitude do sinal de controle
para cada situação.
Os resultados apresentados nesta seção foram
obtidos com o auxı́lio das ferramentas computacionais: Yalmip (Löfberg, 2004), Sedumi (Sturm,
1999) e True-time (Cervin et al., 2003).
ISSN: 2175-8905 - Vol. X
-6
h=1
h=2
-7
-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo, [s]
Figura 3: Sinal de controle.
6
Conclusão
Neste artigo foi apresentado um estudo sobre
a estabilidade em sistemas controlados via rede,
sendo proposta uma metodologia para cálculo de
um compensador dinâmico de saı́da parcialmente
dependente de parâmetro. Os cálculos deste compensador são descritos em termos de desigualdades matricias lineares, e a validade ilustrada a partir de um exemplo com resultados numéricos e simulação.
Agradecimentos
Os autores agradecem à CAPES e ao CNPq
pelo auxı́lio financeiro fornecido.
520
X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente
18 a 21 de setembro de 2011
São João del-Rei - MG - Brasil
Tabela 2: Resultados numéricos obtidos para η = 25 e λ = 0, 9.
[
Aci
Bc
F1i
F0i
Cc
h = 1, (i = 1, 2)
] [
]
−0, 0319 0, 0297
−0, 0320 0, 0337
,
−0, 4832 0, 4862
−0, 4833 0, 4888
[
]
−52, 8339
−26, 3751
[
] [
]
0, 0527
−0, 1288
,
−1, 9158
0, 7877
[
] [
]
0, 1060
0, 2529
,
3, 3116
0, 5873
[
]
−0, 0806 0, 0841
[
0, 6010
0, 5627
h = 2, (i = 1, 2, 3)
[
] [
−0, 0568
0, 6009 −0, 0590
0, 6009
,
,
−0, 0564
0, 5628 −0, 0557
0, 5628
[
]
13, 1569
−22, 2940
[
] [
] [
]
−2, 1675
0, 7063
0, 5938
,
,
−1, 8684
0, 5063
0, 5705
[
] [
] [
]
3, 4198
0, 5684
0, 6814
,
,
3, 1045
0, 7288
0, 6622
[
]
0, 0750 0, 0017
]
Dc
−4, 1624
−2, 7276
K1
−0, 1006
−0, 0837
K0
−0, 0640
−0, 0860
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