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REVISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO, VOL. 5, NÚMERO 1, MAIO DE 2015
Estudo de Otimização do Método Iterativo WCIP
Hugerles Sales Silva† , Arthur de Araújo Farias† , Georgina Karla de Freitas Serres† , Alexandre Jean René
Serres∗† e Henri Baudrand‡
∗ Universidade Federal de Campina Grande – UFCG, Campina Grande, Brasil
† Grupo de Radiometria – UFCG
‡ L.A.P.L.A.C.E – G. R. E, ENSEEIHT, Toulouse - França
E-mails: {hugerles.silva, arthur.farias}@ee.ufcg.edu.br, [email protected],
[email protected], [email protected]
Resumo— Este trabalho apresenta um estudo de otimização
do método iterativo WCIP baseado no conceito de ondas para
simulação de circuitos planares. Esse método é formulado para
resolver problemas eletromagnéticos independente das caracterı́sticas dielétrica ou metálica da interface, cujo princı́pio é o de
relacionar as ondas incidentes e refletidas nos meios situados dos
dois lados da interface. A relação entre essas ondas é desenvolvida
a partir do coeficiente de reflexão, formulado no domı́nio modal,
e do coeficiente espalhamento, formulado no domı́nio espacial. O
circuito planar simulado é de uma antena patch com filtragem
no domı́nio modal como ferramenta de otimização. Os resultados
mostram que o WCIP apresenta-se como uma excelente técnica
de modelagem eletromagnética.
Palavras-chave— WCIP, Transformada de Fourier Modal,
Filtragem no domı́nio modal, Antena patch.
I. I NTRODUÇ ÃO
XISTEM numerosos estudos que propõem técnicas
baseadas em modelagem eletromagnética aplicadas ao
desenvolvimento de ferramentas de simulação para circuitos
com uma camada e multicamadas. Grande parte dos métodos
de modelagem eletromagnética são desenvolvidos aplicando-se
métodos numéricos. Um grande número de técnicas analı́ticas
e numéricas são reportadas na literatura para análise de estruturas integradas monolı́ticas MMIC (Monolithic Microwave
Integrated Circuit) e circuitos planares [1,2,3,4]. Essas técnicas
têm despertado grande interesse. Entre as teorias dos circuitos
passivos planares, uma variedade de métodos numéricos para
fins especiais têm sido utilizados, entre eles os métodos
integrais, como os métodos dos momentos e o método de
Galerkin; e os métodos diferenciais, como o FDTD (Finite
Difference Time-Domain) [5] e o método dos elementos finitos
[6].
Um método iterativo é definido como aquele que resolve
um problema encontrando uma sucessão de aproximações
começando por um valor inicial. O princı́pio desse método está
na busca recursiva por uma solução. Para isto, é necessário
que todas as equações sejam relacionadas entre si e que
o resultado da última equação seja um dado de entrada
da primeira. O método iterativo denominado Wave Concept
Iterative Procedure (WCIP) é utilizado no estudo de circuitos
planares de micro-ondas com uma camada e multicamadas
[7-8]. Esse método baseia-se na formulação do problema em
E
Artigo recebido em 22 de dezembro de 2014. Artigo aceito em 08 de
abril de 2015.
termos de ondas transversais e apoia-se, principalmente, em
duas equações, uma no domı́nio espacial e a outra no domı́nio
modal. Esse método foi desenvolvido para resolver problemas
eletromagnéticos independente das caracterı́sticas dielétricas
ou metálicas da interface.
O conceito de onda utilizado no WCIP traduz as condições
de contorno para os campos elétricos e magnéticos na presença
de descontinuidades, interfaces ar-dielétrico ou dielétricodielétrico, no interior de um guia de ondas. O princı́pio
do método é relacionar as ondas incidentes e refletidas nos
meios situados dos dois lados de uma interface. A relação
entre essas ondas é desenvolvida a partir do coeficiente de
reflexão, formulado no domı́nio modal, e do coeficiente de espalhamento, formulado no domı́nio espacial. Nesse método, a
transformação das equações do domı́nio espacial para o modal
ou do domı́nio modal para o espacial é realizada utilizando-se
a Transformada de Fourier Modal (Fourier Modal Transform FMT) ou sua inversa, respectivamente [7]. O referido método
permite determinar a distribuição dos campos eletromagnéticos
e densidade de corrente em todos os pontos da ou das
interfaces do circuito, e definir os parâmetros impedância
(Z), admitância (Y ) e os parâmetros de espalhamento (S) da
estrutura em análise. O critério de parada das iterações para
estabilização da solução utiliza a convergência da impedância
vista pela fonte e quando ela é atingida o processo iterativo é
interrompido [8].
As principais vantagens do método são sua grande facilidade
de implementação e rapidez de execução, oferecendo maior
agilidade ao projetista.
Além dessa seção introdutória, o artigo está dividido em
mais três seções. A Seção II apresenta a teoria relacionada
à formulação do método iterativo WCIP, assim como seu
funcionamento. A Seção III descreve a simulação de uma
antena patch. Por fim, a Seção IV expõe as conclusões e os
trabalhos futuros.
II. WCIP - Wave Concept Iterative Procedure
A. Princı́pio do método iterativo
Uma visão do processo é mostrada na Fig. 1. O método
consiste em fazer uma transformação.
O método iterativo é iniciado a partir da excitação da
estrutura por uma fonte unitária. As ondas excitadas A01 e
A02 , geradas a partir da fonte, produzem as ondas incidentes.
REVISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO, VOL. 5, NÚMERO 1, MAIO DE 2015
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Após usar a FMT, essas ondas dão origem às ondas refletidas.
Essas ondas são calculadas no domı́nio modal da seguinte
maneira
] [
[
]
] [ (1)TE
(1)TE
B1
(kx , ky )
ΓTE
0
A1
(kx , ky )
1
=
(1)TM
(1)TM
0 ΓTM
B1
(kx , ky )
(kx , ky )
A1
1
para o meio 1 e
[
] [
(1)TE
ΓTE
B2
(kx , ky )
2
=
(1)TM
0
(kx , ky )
B2
Essas ondas, denominadas por A1 e A2 , ao passarem pela FMT
dão origem às ondas refletidas B1 e B2 . O WCIP possui duas
equações principais acopladas que ligam diretamente as ondas
incidentes e as ondas refletidas, sendo elas:
(1)
e
⃗ = ΓA.
⃗
B
(2)
−1
Às ondas refletidas, é aplicada a FMT
e dão origem
às ondas incidentes. Essa sequência é gerada até n-ésima
vez, quando a convergência é atingida. Nas equações (1) e
(2), S representa um parâmetro de espalhamento no nı́vel da
interface dielétrica que relaciona as ondas incidentes às ondas
refletidas, no domı́nio espacial; Γ representa um parâmetro de
reflexão que relaciona as ondas refletidas às ondas incidentes,
no domı́nio modal e A0 representa a onda de excitação criada
pela fonte, representada no domı́nio espacial [8].
Não há nenhuma onda refletida presente na inicialização do
processo, isto é, B 1 = 0 e B 2 = 0.
B. Funcionamento do WCIP
Fazendo uso da equação (1), durante a primeira iteração,
obtém-se as seguintes estruturas:
(1)
(0)
(0)
(1)
(0)
(0)
Ω
Ω
B2 (x, y) + A01 (x, y), (3)
B1 (x, y) + S12
A1 (x, y) = S11
Ω
Ω
A2 (x, y) = S21
B1 (x, y) + S22
B2 (x, y) + A02 (x, y), (4)
em que Ω é a interface do circuito. Na primeira iteração não
há a presença de ondas refletidas. Logo,
(1)
(1)
A1 (x, y) = A01 (x, y) e A2 (x, y) = A02 (x, y).
(5)
Conclui-se então, no inı́cio do processo, que as ondas incidentes são iguais as ondas geradas pela fonte. Ao calcu(1)
(1)
lar A1 (x, y) e A2 (x, y) busca-se então os valores destas
componentes nos modos TE e TM. Faz-se isso usando a
Transformada de Fourier Modal, ou seja, saindo do domı́nio
espacial para o modal,
[
]
(1)TE
A1
(kx , ky )
= FMT(A11 (x, y)),
(6)
(1)TM
A1
(kx , ky )
e
[
(1)TE
A2
(kx , ky )
(1)TM
A2
(kx , ky )
]
= FMT(A12 (x, y)).
ΓT2 M
][
(1)TE
]
A2
(kx , ky )
(1)TM
(kx , ky )
A2
para o meio 2. Nestas equações, kx e ky representam as constantes de propagação do eixo x do eixo y, respectivamente.
B11 (x, y) e B21 (x, y) são enfim determinados fazendo uso da
Transformada Modal Inversa de Fourier.
Fig. 1: Princı́pio da formulação do WCIP.
⃗ = SB
⃗ + A0
A
0
(7)
C. Parâmetro de espalhamento
O parâmetro de espalhamento S é visto como a resultante
da soma das condições de contorno e de descontinuidade dos
diferentes domı́nios. Esse parâmetro é definido no domı́nio
espacial e traduz as condições de contorno e as relações de
continuidade dos campos tangenciais no nı́vel da interface que
separa os dois meios [7].
O parâmetro de espalhamento deve ser definido para o
domı́nio metálico (Hm ), dielétrico (Hd ), da fonte (Hf ) e da
carga (Hc ).
1) Condições de contorno no domı́nio do metal: Inicialmente, considere a função indicadora
{
1 sobre o metal.
Hm =
(8)
0 caso contrário.
As condições de contorno afirmam que o campo elétrico
tangencial em cada lado da interface é nulo sobre o metal, ou
seja:
⃗1 = E
⃗ 2 = 0.
E
(9)
Deduz-se, a partir de operações algébricas, que
]
] [
][
[
⃗1
⃗1
A
B
−Hm
0
(10)
=
⃗2 .
⃗2
0 −Hm
A
B
2) Condições de contorno no domı́nio do dielétrico: Seja
a função indicadora
{
1 sobre o dielétrico.
Hd =
(11)
0
caso contrário.
As condições de contorno impõe a igualdade dos campos
elétricos tangenciais dos dois lados da interface e a nulidade
da densidade de corrente sobre o dielétrico. Essas condições
são dadas por:
⃗1 = E
⃗ 2 ̸= 0 e J⃗1 + J⃗2 = 0.
E
(12)
√
Z01
, Z01 e Z02 como sendo a impedância
Definindo η =
Z02
caracterı́stica e as impedâncias do meio 1 e 2, respectivamente,
e fazendo uso de operações algébricas obtemos a seguinte
relação:


η2 − 1
2η
[
]
[
]
⃗1
⃗1
 − η 2 + 1 Hd η 2 + 1 Hd  A
B


 A
⃗2 = 
⃗ 2 . (13)
η2 − 1
2η
B
H
H
d
d
η2 + 1
η2 + 1
18
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D. Condições de contorno no domı́nio da fonte
F. Parâmetro de reflexão
A fonte planar tem apenas uma polarização, orientada na
direção paralela às paredes magnéticas. Na direção perpendicular, o domı́nio da fonte age como um metal. A representação
elétrica da fonte é equivalente a uma fonte de campo elétrico
de intensidade constante chamada de E0 e com impedância
denominada Z0 . No desenvolvimento a seguir, considere a
função indicadora
{
1 sobre a fonte.
Hs =
(14)
0 caso contrário.
O coeficiente de reflexão relaciona as ondas incidentes às
ondas refletidas. Seu desenvolvimento é feito no domı́nio
modal e possui expressões diferentes para os modos TE e TM.
1) Fonte bilateral: A fonte é bilateral se ela está conectada
a dois meios de uma determinada região da superfı́cie [4].
Fazendo uso da lei de Ohm,
E⃗1 = E⃗2 = E0 − Z0 (J⃗1 + J⃗2 ).
e
⃗2 =
A
√
2 Z01 Z02 Z0
⃗1
B
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
−Z01 Z02 − Z01 Z0 + Z02 Z0 ⃗
+
B2
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
√
Z01 Z02
+
E0 .
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
Em termos das ondas incidentes e refletidas,
(
)
( √
)
Z01
⃗ 1 = Z0 − Z01 B
⃗ 1 + E0
A
.
Z0 + Z01
Z0 + Z01
TE(TM)
em que Ymn
é a admitância do modo e depende da altura
do meio considerado (li ).
i
Sabendo que γmn
representa a constante de propagação no
meio i considerado e é dada por
√(
)2 ( )2
nπ
mπ
i
+
− µ0 ϵ0 ϵri ω 2 ,
γmn =
(22)
wx
wy
TE,i
Ymn
=
i
γmn
jωϵ0 ϵri
TM,i
e Ymn
=
.
i
jωµ0 µi
γmn
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
⃗ 2 = −B2 .
e isso implica que, A
E. Condições de contorno no domı́nio da carga
As expressões (16) e (17) no domı́nio da carga são equivalentes às do domı́nio da fonte, tanto para o caso em que a
carga é unilateral quanto bilateral. Naturalmente, a impedância
da fonte, Z0 , é substituı́da pela impedância da carga, zc e
E0 = 0.
(23)
No domı́nio modal, a relação entre as ondas refletidas e
incidentes são dadas pelas equações (24) e (25).
⃗ TE(TM) (kx , ky ) = ΓTE(TM) A
⃗ TE(TM) (kx , ky ),
B
1
1
1
(24)
⃗ TE(TM) (kx , ky ).
A
ΓTE(TM)
2
2
(25)
⃗ TE(TM) (kx , ky )
B
2
No meio 2,
⃗2 = 0
E
(21)
as admitâncias dos modos TE e TM podem ser reescritas como
2) Fonte unilateral: A fonte unilateral conecta-se a apenas
um dos meios. Aqui, adota-se o meio 1. Nesse meio, as
condições de fronteira impõe sobre a fonte
⃗ 1 = E0 − Z0 J⃗1 .
E
TM
TE
1 − Z0i Ymn
1 − Z0i Ymn
e ΓTM
,
mn =
TE
TM
1 + Z0i Ymn
1 + Z0i Ymn
(15)
Escrevendo a equação (15) em termos das equações de ondas
incidentes e refletidas, tem-se
⃗1
⃗ 1 = −Z01 Z02 − Z01 Z0 + Z02 Z0 B
A
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
√
2 Z01 Z02 Z0
⃗2
+
B
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
√
Z01 Z02
+
E0 ,
Z01 Z02 + Z01 Z0 + Z02 Z0
ΓTE
mn =
=
G. Filtragem no domı́nio modal
A filtragem modal como primeira ferramenta de otimização
consiste em zerar uma porcentagem fixa dos modos de ordem
superiores. No programa original, as matrizes no domı́nio
espacial e no domı́nio modal são de dimensões iguais. Por
exemplo, se a discretização no domı́nio espacial é feita com
uma malha de 128 × 128 pı́xeis, no dominio modal é feita
por uma matriz de 128 × 128 modos. Os modos de ordem
superiores, modos evanescentes, não são necessários para
análise de circuitos planares quando se trata de propagação.
III. S IMULAÇ ÕES
A estrutura analisada com o WCIP foi uma antena patch.
O conceito de antena planar foi introduzido em 1953 por
Deschamps [10]. Desde os anos 80, as antenas de microfita
são muito utilizadas pela sua configuração planar, por terem
custo menor, peso menor e pela possibilidade de produção
em massa. Todas as vantagens compensam largamente as suas
limitações, tais como ganho menor e largura de faixa estreita
[11].
A antena foi projetada utilizando as seguintes relações [12]:
√
c
2
W =
,
(26)
2fr ϵr + 1
(
)− 12
ϵr + 1 ϵr − 1
h
ϵref =
+
1 + 12
,
(27)
2
2
W
c
− 1∆L
(28)
L= √
2f ϵref
em que
∆L = 0, 412h
(ϵref + 0, 3)( W
h + 0, 264)
.
(ϵref + 0, 258)( W
h + 0, 8)
(29)
REVISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO, VOL. 5, NÚMERO 1, MAIO DE 2015
No método WCIP, implementado utilizando o ambiente
MatLab, a interface é discretizada em M × N pı́xeis. Os resultados de simulação obtidos no domı́nio espacial confirmam
que as condições de contorno e de continuidade das grandezas
eletromagnéticas sobre cada um dos materiais que constituem
a descontinuidade Ω são respeitadas.
O guia de ondas retangular simulado tem dimensão 64 × 64
mm2 . São escolhidos para a discretização da interface M =
257 e N = 257 pı́xeis. As dimensões de cada pı́xel nos eixos
wy
x
Ox e Oy são de ∆x = 2w
M e ∆y = N , ou seja, ∆x = 0,5 mm
e ∆y = 0,25 mm. A impedância interna da fonte Z0 possui
valor de 50Ω.
A antena simulada possui 4 domı́nios metálicos e um
domı́nio de fonte. O design da antena patch pode ser visto
na Fig. 2. A fonte localizada é quadrada, de comprimento
Sx = 1, 566 mm e de largura igual a W = 1, 566 mm. A
interface é compreendida por um meio superior, composto pelo
ar, e um meio inferior com substrato dielétrico de altura l1 =
0.8 mm e de permissividade ϵr = 4,3.
19
Fig. 3: Parte real de Zin para v = 0%.
Fig. 4: Parte imaginária de Zin para v = 0%.
Fig. 2: Design da antena patch.
A simulação ocorreu para um número de iterações (nit )
variando de 0 à 4500 e foi zerada a porcentagem de 0%, 25%
e 50% dos modos de ordem superior nas matrizes no domı́nio
modal. Nas Figs. 3, 4 e 5 são apresentados, respectivamente,
o comportamento da parte real de Zin , imaginária de Zin ,
que são os parâmetros de convergência do método, e o
comportamento do parâmetro S11 da antena para v = 0%. A
partir de 3000 iterações, tanto a parte real quanto a imaginária
de Zin começam a convergir. O parâmetro de reflexão da
antena, S11 , apresenta três frequências de ressonâncias. Nesta
simulação estão presentes todos os modos no domı́nio modal.
Em outra etapa de simulação foi estabelecido v = 25% e
nit variando de 0 à 4500. Mesmo com a filtragem realizada,
os resultados para S11 e Zin ainda são confiáveis, pois apresentam o mesmo comportamento. Ao aumentar a porcentagem
de modos a serem zerados o tempo de processamento se torna
muito menor. Nas Figs. 6, 7 e 8 são plotados o comportamento
da parte real de Zin , imaginária de Zin e o parâmetro S11
da antena para v = 25%. Nas Figuras 9, 10 e 11 são
ilustrados, respectivamente, o comportamento da parte real de
Fig. 5: S11 para v = 0%.
Zin , imaginária de Zin e o parâmetro S11 da antena para
v = 50%. Para v = 25% e v = 50%, é necessário aumentar
o valor do número de iterações para que Zin possa vir a
convergir. Isto ocorre porque os modos de ordem superior
no domı́nio modal estão sendo desprezados. Em ambas as
filtragens, S11 apresenta 3 frequências de ressonância.
A antena patch simulada com o WCIP também foi simulada
com o software ADS da Agilent para comparar os resultados
obtidos, ilustrado na Fig. 12 com o parâmetro S11 da antena.
Uma forma de obter resultados mais próximos ao valor teórico
é aumentar o número de pı́xeis e/ou de iterações.
A Figura 13 apresenta uma comparação entre os valores das
frequências de ressonância (fr ) para a antena patch simulada
20
REVISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO, VOL. 5, NÚMERO 1, MAIO DE 2015
Fig. 6: Parte real de Zin para v = 25%.
Fig. 7: Parte imaginária de Zin para v = 25%.
Fig. 9: Parte real de Zin para v = 50%.
Fig. 10: Parte imaginária de Zin para v = 50%.
Fig. 8: S11 para v = 25%.
Fig. 11: S11 para v = 50%.
com o ADS da Agilent e o método WCIP. O WCIP apresenta
valores muito próximos do software comercial da Agilent.
IV. C ONCLUS ÕES E T RABALHOS F UTUROS
O WCIP apresenta-se como uma excelente técnica, baseada
em modelagem eletromagnética, aplicada ao desenvolvimento
de ferramentas de simulação para circuitos com uma camada
e multicamadas. Na simulação realizada, o método forneceu
excelente desempenho na análise de uma antena patch, apresentou rápida resposta e tempo de processamento menor
devido a realização de uma filtragem no domı́nio modal
quando comparado à simulação no WCIP para 100% dos
modos e tem vantagem de ser independente da complexidade
da geometria do circuito. Os resultados da simulação foram
comparados com os resultados de um software comercial, o
ADS da Agilent, que utiliza o método dos momentos. O WCIP
permite determinar a distribuição de campos eletromagnéticos
e densidade de corrente, em todos os pontos da ou das
interfaces do circuito, e definir os parâmetros impedância
(Z), admitância (Y ) e os parâmetros de espalhamento (S) da
estrutura em análise somente a partir destes pontos.
Como trabalho futuro, propõe-se de expressar o método
diretamente no domı́nio modal para diminuir as dimensões
das matrizes e consequentemente diminuir o tempo de processamento.
REVISTA DE TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO, VOL. 5, NÚMERO 1, MAIO DE 2015
21
[9] Serres, A.; Serres, G. K. F.; Fontgalland, G.; Freire, R.C.S.; Baudrand, H., Analysis of multilayer amplifier structure by an efficient
iterative technique, Magnetics, IEEE Transactions on, vol. 50, no. 2, pp.
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[10] Deschamps, G. A. Microstrip microwave antennas, 3rd USAF Symposium on Antennas, 1953.
[11] Balanis, C. A. Antenna theory: analysis and design. Wiley-Interscience,
2005.
[12] Antar, Y. M. M. Microstrip antenna design handbook, Antennas and
Propagation IEEE Magazine, vol.45, no.2, pp. 86- 86, April 2003.
Fig. 12: S11 simulado no software ADS da Agilent.
Fig. 13: Comparação entre os valores das frequências de
ressonância para a antena patch simulada com o ADS da
Agilent e com o método WCIP.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem à Universidade Federal de Campina
Grande (UFCG) e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento
Cientı́fico e Tecnológico (CNPq) pelo suporte dado à pesquisa.
R EFER ÊNCIAS
[1] Rizzoli, V.; Masotti, D.; Costanzo, A.; Arbizzani, N., Coupled numerical
and field-theoretical computation of the effects of circuit-package interactions on the linear and nonlinear performance of active MMIC’s, Microwave Symposium Digest, 2009. MTT ’09. IEEE MTT-S International,
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technique for MMIC’s, Acta Electronica Sinica, Vol. 20, No. 2, pp. 17-25,
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electromagnetic simulation of uniplanar MMIC’s, International Conference on Microwave and Millimeter Wave Technology Proceedings, 1998.
[4] Chow, Y. L.; She, X. Y.; Howard, G.; Stubbs, M. G.; Gaudreault, M., A
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planar microstrip structures, IEEE Transactions on Microwave Theory
and Techniques, vol.51, no.3, pp.1018,1025, Mar 2003.
[7] Serres, A. J. R, Aplicação do método iterativo baseado no conceito de
ondas (WCIP) na análise de antenas e circuitos planares multicamadas.
Tese de doutorado. Universidade Federal de Campina Grande, UFCG Campina Grande, Brasil, 2011.
[8] Serres, A.; Fontgalland, G.; Farias, J. E. P.; Baudrand, H., An eficient
algorithm for planar circuits design, IEEE Transactions on Magnetics,
vol.46, no.8, pp.3441 - 3444, August 2010.