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Cálculo Numérico
Introdução
Profª. Dra. Tina Andreolla
Email: [email protected]
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UTFPR
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Cálculo Numérico – Introdução
O que é o Cálculo
Numérico ?
3
Cálculo Numérico – Introdução

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de
ferramentas ou métodos usados para se obter a
solução de problemas matemáticos de forma
aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas
que não apresentam uma solução exata, portanto
precisam ser resolvidos numericamente.
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Cálculo Numérico – Introdução
Exemplo:
Circuito elétrico composto de uma
fonte de tensão e um resistor.
V  R i  0
V
i
R
i
V
R
Solução exata
Introdução de um diodo no circuito:
i D

kT  i

kT  i
v i  
ln  1 V  R  i  ln  1  0 V
q  Is 
q  Is

Solução utilizando
métodos numéricos
R
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Cálculo Numérico – Introdução
1. Um problema de Matemática pode ser resolvido
analiticamente, mas esse método pode se tornar
impraticável com o aumento do tamanho do
problema.
Exemplo: solução de
lineares.
sistemas
de
equações
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Cálculo Numérico – Introdução
2. A existência de problemas para os quais não existem
métodos matemáticos para solução (não podem ser
resolvidos analiticamente).
Exemplos:
a)
e
x2
dx
b) y  y 2  t 2
não tem primitiva em forma simples;
não pode ser resolvido analiticamente;
c) equações diferenciais parciais não lineares podem
ser resolvidas analiticamente só em casos
particulares.
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Cálculo Numérico – Introdução

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas
para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como
tais, não são exatos. Uma medida física não é um
número, é um intervalo, pela própria imprecisão das
medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do
erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação
do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos
métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do
erro, do desvio.
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Cálculo Numérico – Introdução
Função do Cálculo Numérico na Engenharia
“Buscar solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos
 modelo matemático”
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Cálculo Numérico – Introdução
Passos para a resolução de problemas
REFINAMENTO
MODELAGEM
PROBLEMA
RESULTADO DE
CIÊNCIAS AFINS
MENSURAÇÃO
RESULTADO
NUMÉRICO
ESCOLHA
DE MÉTODOS
TRUNCAMENTO
DAS ITERAÇÕES
ESCOLHA
DE PARÂMETROS
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Cálculo Numérico – Introdução
Fluxograma – Solução Numérica
PROBLEMA
modelagem
MODELO
MATEMÁTICO
LEVANTAMENTO
DE DADOS
PROBLEMA
CONSTRUÇÃO
DO MODELO
MATEMÁTICO
ESCOLHA DO
MÉTODO
NUMÉRICO
SOLUÇÃO
resolução
IMPLEMENTAÇÃO
COMPUTACIONAL
ANÁLISE DOS
RESULTADOS
VERIFICAÇÃO
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Cálculo Numérico – Introdução
Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

28 mortos, 98 feridos
Limitação na representação
numérica (24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do
tempo de lançamento
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Cálculo Numérico – Introdução
Influência dos Erros nas Soluções
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação
numérica (64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
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Cálculo Numérico – Introdução
Aplicações de cálculo numérico na engenharia.



Determinação de raízes de equações
Interpolação de valores tabelados
Integração numérica, entre outros.
14
Cálculo Numérico – Plano de Ensino






Objetivos
Ementa
Metodologia, Técnicas de Ensino
Recursos Didáticos
Avaliação
Bibliografia
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Cálculo Numérico – Objetivos do Curso

Fornecer condições para que os alunos possam
conhecer, calcular, utilizar e aplicar métodos
numéricos na solução de problemas de
engenharia.

Estudar a construção de métodos numéricos,
analisar em que condições se pode ter a
garantia de que os resultados computados estão
próximos
dos
exatos,
baseados
nos
conhecimentos sobre os métodos.
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O que a disciplina vai oferecer?

Visão de Engenharia x de Matemática/Computação

Conceitos e entendimentos básicos de CN
 Exemplos de custos de “erros numéricos” nas
engenharias
 Incrementação do perfil profissional

Noções de precisão e eficiência nas soluções

Introdução dos métodos tradicionais

Aplicação de ferramentas disponíveis
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Cálculo Numérico – Ementa
1. Noções básicas sobre erros.
2. Zeros reais de funções reais.
3. Resolução de sistemas de equações
lineares.
4. Interpolação.
5. Ajuste de curvas.
6. Integração Numérica.
7. Solução numérica de equações
diferenciais ordinárias.
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Metodologia & Técnicas de Ensino
 Aulas Expositivas;
 Aulas Práticas em Laboratório;
 Atividades individuais e em grupo.
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Cálculo Numérico – Recursos Didáticos
 Quadro;
 Data show;
 Laboratório de Informática;
 Programas de Simulação (Matlab, Mapple,
Mathematica).
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Cálculo Numérico – Avaliação
 Contínua, mediante avaliações individuais
e trabalhos em laboratório;
 Trabalhos interativos de pesquisa extraclasse individual e em grupo;
 Avaliações em sala, individual e em grupo.
 Listas de exercícios.
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Cálculo Numérico – Bibliografia

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico:
aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron,
1997.

HATTORI, M. T. H. & QUEIROZ, B. C. N. Métodos e Software
Numéricos. Departamento de Sistemas e Computação,
Universidade Federal de campina Grande, Campina Grande, 1995.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO,
M. L. B. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações),
2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987.

CHAPA, S. C. & CANALE, R. P. Numerical Methods for
Engineers, McGraw-Hill, 1990.
22

Plano de Ensino
Dinâmica 1:
Potencial Comunicativo









Vias de comunicação;
Objetivos;
Determinação da População;
Amostra;
Coleta dos dados;
Tratamento dos dados;
Apuração dos dados;
Interpretação dos resultados;
Apresentação dos resultados;
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POTENCIAL COMUNICATIVO
Escolha 20 palavras na lista abaixo que, por qualquer razão, mais o impressionam ou se destacam na sua percepção:
01 TROVEJAR
23 TIMBRE
45 AROMA
02 RETRATO
24 FOCALIZAR
46 RITMO
03 MORDIDA
25 PERFUME
47 ÚMIDO
04 DESAFINADO
26 OFUSCAR
48 RETÓRICA
05 AURÉOLA
27 BARULHO
49 GORJEIO
06 MEXER
28 PANORAMA
50 ÁSPERO
07 EMOÇÃO
29 ELOQUÊNCIA
51 PÁLIDO
08 TROMBETA
30 PERISCÓPIO
52 VOZERIO
09 APARÊNCIA
31 ASSOBIO
53 VELUDO
10 MIRAGEM
32 COLORIR
54 CLARIDADE
11 GRUNHIDO
33 CAMPAINHA
55 OBSERVAR
12 VENTANIA
34 MERGULHAR
56 SILÊNCIO
13 CONFORTO
35 DISCURSO
57 ARRANCAR
14 AUDIÊNCIA
36 QUEIMADA
58 BRILHANTE
15 DESBOTADO
37 MURMURAR
59 ORQUESTRA
16 COCEIRA
38 SABOROSO
60 PAISAGEM
17 RUBORIZAR
39 GESTICULAR
61 TEXTURA
18 PALPÁVEL
40 ESPINHO
62 ACÚSTICO
19 ILUMINAÇÃO
41 ESTAMPA
63 SEGURAR
20 DOÇURA
42 SENSAÇÃO
64 ESPELHO
21 ECO
43 SOTAQUE
65 SINFONIA
22 TRANSPARECER
44 VISUALIZAÇÃO
66 CENÁRIO
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Transfira suas respostas para o quadro a seguir,
marcando somente os números das palavras que
você escolheu e depois anotando abaixo, na linha dos totais,
quantas palavras foram marcadas em grupo A, B ou C.
Coluna A
Coluna B
Coluna C
2
5
1
4
3
6
9
10
8
11
7
12
15
17
14
21
13
16
19
22
23
27
18
20
24
26
29
31
25
34
28
30
33
35
36
38
32
41
37
43
39
40
44
51
46
48
42
45
54
55
49
52
47
50
58
60
56
59
53
57
64
66
62
65
61
63
25
Multiplique por cinco o total obtido em cada coluna
Coluna A = ____________ x 5 = _______(Visual) visão
Coluna B = ____________ x 5 = _______(Auditivo) audição
Coluna C = ____________ x 5 = _______(Cinestésico) sensação
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Coluna A
Coluna B
Coluna C
26