UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEMICA DE FÍSICA
PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Mecânica Quântica III
Professor: Rômulo Rodrigues
Aluno: Diego Barros
Objetivos
•
Calculo dos comutadores das matrizes de rotação abaixo usando o programa MAPLE
 Rˆ y ( ), Rˆ z ( ) 


•
e
 Rˆ x ( ), Rˆ z ( ) 


Calculo dos comutadores dos momentos angulares abaixo a partir dos comutadores das
matrizes de rotação
 Jˆ y , Jˆ z 


e
 Jˆ x , Jˆ z 


Usando a subroutina conSakurai escrita em MAPLE
encontramos o comutador:
 Rˆ y ( ), Rˆ z ( )   Rˆ x ( 2 )  1ˆ


Consequência do postulado do mesmo grupo
 D( Rˆ y ( )), D( Rˆ z ( ))   D( Rˆ x ( 2 ))  1ˆ


Análogo a teorias de translação e evolução temporal, temos:

 D( Rˆ y ( ))  1ˆ  i


 ˆ
ˆ  i
D
(
R
(

))

1
z

Jˆ y
Jˆz
Assim:
ˆ
ˆ 
ˆ  

J
J
J
y
2
z
,1ˆ  i   1ˆ  i x   1ˆ
1ˆ  i

 

Usando propriedades do comutador, obtemos:
ˆ   Jˆ y   Jˆ y
ˆ 
ˆ

J
J
2 Jz
z
z
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1,1  1, i   i
,1  i
, i   i
 
 


 
2
ˆ
i

i

i



2 Jx
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1,1  1, J z    J y ,1     J y , J z   i

 



   
ˆ
 i   ˆ ˆ 
2 Jx
   J y , J z   i
 
 Jˆ y , Jˆ z   i Jˆ x


2
Analogamente:
 Rˆ x ( ), Rˆ z ( )   1ˆ  Rˆ y ( 2 )


Consequência do postulado do mesmo grupo:
 D( Rˆ x ( )), D( Rˆ z ( ))   1ˆ  D( Rˆ y ( 2 ))


Sabemos que:

ˆ
ˆ
D
(
R
(

))

1
 i

x


 D( Rˆ ( ))  1ˆ  i
z


Jˆx
Jˆz
Resultado obtido
via conSakurai
Assim:
ˆ 
ˆ
J
Jˆ x ˆ
Jˆ z  ˆ  ˆ
y
2
1

i

,1

i


1

1

i











Novamente usando propriedades do comutador, obtemos:
ˆ
ˆ   Jˆ   Jˆ
ˆ 

J
J
J
2
ˆ ˆ   1,
ˆ i z   i x ,1ˆ   i x , i z   i y
1,1
 

 
 

2
ˆ
J
i

i

i



ˆ ˆ   1,
ˆ Jˆ    Jˆ ,1ˆ  
ˆ , Jˆ   i 2 y
1,1

J
 
 z
 x     x z 
Jˆ y
 i   ˆ ˆ 
2
   J x , J z   i
 
 Jˆ x , Jˆ z   i Jˆ y


2
Vamos verificar nosso resultado com a relação de comutação, dada por:
 Jˆi , Jˆ j   i ìjk Jˆk


 Jˆ1 , Jˆ3   i 132 Jˆ2


 Jˆ x , Jˆ z   i ( 1) Jˆ y


 Jˆ x , Jˆ z   i Jˆ y


 Jˆ2 , Jˆ3   i


 Jˆ y , Jˆ z   i


 Jˆ y , Jˆ z   i


231 Jˆ1
(1) Jˆk
Jˆk
OBS: Calculo do símbolo de Levi-Civita
Sabemos que:
123  1
Permutando 3 com 2
132  1
Analogamente:
123  1
Permutando 2 com 1
213  1
Permutando 3 com 1
231  1