Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos / Lei dos Senos
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Matemática Básica II - 2015.1
18 de agosto de 2015
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicação da Lei dos Senos
Sumário
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Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplicação da Lei dos Senos
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Aplicação da Lei dos Senos
Sumário
1
Lei dos Cossenos
2
Lei dos Senos
3
Aplicação da Lei dos Senos
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Lei dos Cossenos
Lei dos Senos
Aplicação da Lei dos Senos
Ângulos Agudos
Lei dos Cossenos
Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices
A, B, C respectivamente, tem-se
a2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos Ab
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmação para ângulos agudos.
b 2 + (b − c. cos A)
b2
a2 = (c.senA)
b + b 2 − 2bc cos Ab + c 2 . cos2 (A)
b
a2 = c 2 .sen2 (A)
b + c 2 . cos2 (A)]
b + b 2 − 2bc cos Ab
a2 = [c 2 .sen2 (A)
a2 = c 2 + b 2 − 2bc cos Ab
h = c.senAb
x = c. cos Ab
a2 = h2 + (b − x)2
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Agudo
EXEMPLO: Determine x.
a2 = b 2 + x 2 − 2b.x. cos 600
1
312 = 122 + x 2 − 2.12.x.
2
961 = 144 + x 2 − 12x
x 2 − 12x − 817 = 0
a = 31
b = 12
Ab = 600
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22 .853
√
12 ± 2 853
x=
2
Como se√
trata de uma medida,
x = 6 + 853 ∼
= 35, 2
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale também para ângulos
obtusos.
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale também para ângulos
obtusos.
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso
b 2 + (b − c. cos A)
b2
a2 = (c.senA)
b + b 2 − 2bc cos Ab +
a2 = c 2 .sen2 (A)
b
c 2 . cos2 (A)
b =
h = c.sen(π − A)
c.senAb
b =
x = c. cos(π − A)
b
−c. cos A
b + c 2 . cos2 (A)]
b +
a2 = [c 2 .sen2 (A)
2
b − 2bc cos Ab
a2 = c 2 + b 2 − 2bc cos Ab
a2 = h2 + (b + x)2
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Aplicação da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Ângulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x.
x 2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x 2 = 196 + 169 − 364.(− cos 450 )
√
2
2
x = 365 + 364.
√2
2
x = 365 + 182. 2
x∼
= 24, 94
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EXERCÍCIO: As diagonais de um paralelogramo medem 24.2cm e
35.4cm, e se intersectam formando um angulo de 65.50 . Encontre
a medida do lado menor do paralelogramo.
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EXERCÍCIO: Resolva o triângulo a = 412, b = 342, Cb = 151.50
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EXERCÍCIO: Dois aviões deixam um aeroporto ao mesmo tempo.
Suas velocidades são 130 milhas por hora e 150 milhas por hora. O
ângulo entre seus cursos é de 360 . Depois de uma hora e meia,
qual a distância entre os dois aviões?
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Sumário
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Lei dos Senos
Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices
A, B, C respectivamente, tem-se
a
senAb
=
b
senBb
=
c
senCb
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Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = a.c.senBb
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c.senBb
b
abc
=
2.Area(∆ABC )
senBb
1
Area(∆ABC ) = a.h
2
1
b
Area(∆ABC ) = a.(c.senB)
2
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Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = b.a.senCb
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c.senCb
c
abc
=
2.Area(∆ABC )
senCb
1
Area(∆ABC ) = b.h
2
1
Area(∆ABC ) = b.(a.senCb)
2
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Lei dos Senos
2.Area(∆ABC ) = b.c.senAb
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c.senAb
a
abc
=
senAb 2.Area(∆ABC )
1
Area(∆ABC ) = c.h
2
1
b
Area(∆ABC ) = c.(b.senA)
2
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Lei dos Senos
Lei dos Senos
Para um triângulo ABC com lados a, b, c opostos aos vértices
A, B, C respectivamente, tem-se
a
senAb
=
b
senBb
=
c
senCb
Exercı́cio
Resolva o triângulo Ab = 42.50 , Bb = 71.40 , a = 215cm
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Exercı́cio
Se Ab = 310 , s = 11 e r = 12, encontre x e y .
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Exercı́cio
Um homem está voando de balão em linha reta com velocidade
constante de 5 pés por segundo, mantendo uma altitude constante.
Quando ele avista o estacionamento de um supermercado, ele nota
que o ângulo de depressão do balão ao carro de um amigo que está
nesse estacionamento é de 350 . Um minuto e meio depois, depois
de sobrevoar o carro de seu amigo, ele olha para trás e vê o amigo
entrando no carro, constatando que o ângulo de depressão agora é
de 360 . Nesse instante, qual a distância entre as duas pessoas?
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Exercı́cio
Mostre que em qualquer triângulo vale a relação
senAb < senBb + senCb
Se A, B, C são os vértices e a, b, c, respectivamente, os lados
opostos aos vértices, então, pela lei dos senos, tem-se
a
senAb
=
b
senBb
=
c
senCb
b y = senBb e z = senCb é
Daı́, o triângulo com lados x = senA,
semelhante ao triângulo ∆ABC
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Como em todo triângulo, a medida de um
lado é SEMPRE menor que a soma dos
outros dois lados, temos:
x < y + z, y < x + z e z < x + y , ou seja
senAb < senBb + senCb
senBb < senCb + senAb
senCb < senAb + senBb
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Cálculo de distância inacessı́vel
Suponha que se queira calcular a distância d de A a P,
considerando que não há como fazer a medida diretamente.
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Cálculo de distância inacessı́vel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distância x,
entre A e B, possa ser calculada diretamente.
Desta forma, construiu-se o triângulo ∆ABP e os ângulos
b Bb e Pb podem ser determinados.
A,
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Cálculo de distância inacessı́vel
Pela Lei dos Senos:
x
senPb
=
d
senBb
e portanto,
d=
x.senBb
senPb
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