COLÉGIO ANCHIETA = BA
AVALIAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA _2004
3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
ELABORAÇÃO: PROFESSOR OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
01.
I)
II)
Numa classe de 27 alunos verificamos que:
14 alunos gostam de futebol.
O número de alunos que só gostam de voleibol é o dobro do número de alunos que só
gostam de futebol.
O número de alunos que gostam de futebol e voleibol é o dobro do número de alunos que
não gostam desses esportes.
Qual a probabilidade de escolhendo-se um aluno ao acaso, ele goste de somente um desses
esportes?
III)
01)
2
9
02)
4
9
03)
3
5
04)
2
5
05)
1
3
RESOLUÇÃO:
E
V
F
x
Determinado o valor de x, o diagrama
passa a apresentar os seguintes dados
14 - x
2x
E
4
Pelas informações da questão podemos construir o
diagrama acima.
Como na classe temos 27 alunos: x/ + 14 - x/ + 2x +
⇒
28 + 4x + 14 – x = 54 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
V
F
14 - x
2
14 - x
= 27
2
10
8
5
Logo a probabilidade é de
12 4
=
27 9
RESPOSTA: Alternativa 02
02. A negação da proposição: “Todo aluno estudioso passará
profissional” é
no vestibular e será um bom
01) “Todo aluno estudioso passará no vestibular e não será um bom profissional”.
02) “Todo aluno estudioso não passará no vestibular e não será um bom profissional”.
03) “Existe aluno estudioso que não passará no vestibular porém será um bom profissional”.
04) “Existe aluno estudioso que não passará no vestibular ou será um mau profissional”.
05) “Algum aluno estudioso não passará no vestibular ou será um bom profissional”.
RESPOSTA: Alternativa 03.
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
03.
A
Na figura os triângulos ABC e ACD são eqüiláteros . sabendose que os lados desses triângulos medem 6cm, calcule a razão
entre a medida do lado MN e da área do triângulo AMN, onde
M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB e
N
B
AD
01)
D
M
2
3
3
2
02)
03)
3
5
04)
4
3
05)
C
3
4
RESOLUÇÃO:
A
1
Pela lei dos cossenos: x² = 9 + 9 − 2/ × 3 × 3 ×  −  ⇒ x² = 27 ⇒
 2/ 
3
M
x= 3 3
A área do triângulo AMN: S =
Então a razão pedida:
3 3
9 3
4
=
1
3
9 3
× 3× 3 ×
⇒
.
2
2
4
3
120°
x
N
D
B
4
.
3
C
RESPOSTA: Alternativa 04
04. Na figura, as retas r e t são paralelas ao lado BC . Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a
36cm², calcule, em decímetros quadrados a área do trapézio DEFG.
$
'
*
)
(
U
W
%
01) 0,8
02) 0,08
&
03) 0,6
04) 0,06
RESOLUÇÃO:
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2
05) 0,09

$
' x
$
$
$
1
' x *(
(
) %
y
2
)
y
& %
Os triângulos ADG, AEF e ABC são semelhantes ⇒
Então a área do trapézio DEFG é :
*
&
1 3 6
= =
⇒ x = 2 e y = 6..
x y 12
(2 + 6) × 2 = 8 cm² = 0,08dm².
2
RESPOSTA; Alternativa 02
05.
Um obelisco tem a forma de uma pirâmide triangular regular. O lado da base mede 6m e a altura 3m.
Quantos litros de tinta são necessários para pintar a superfície lateral desse obelisco, sabendo que para
pintar 3 m² da superfície gastará 1,5" de tinta.
Considere 3 = 1,7.
01) 15,3
02) 14,8
03) 12,6
04) 11,2
05) 10,8
RESOLUÇÃO:
V
Como a base da pirâmide é um triângulo eqüilátero a sua altura mede
( )
1
6 3
= 3 3 e o seu apótema AH mede 3 3 = 3 . Para determinar a medida
2
3
da altura de uma face lateral (apótema da pirâmide) apliquemos o teorema de
Pitágoras no triângulo retângulo VHA: a² = 9 + 3 = 12 ⇒ a = 2 3 .
3
a
3× 2 3 × 6
= 18 3 = 18 × 1,7 = 30,6 m²
2
Como para cada 3m² são necessários 1,5" de tinta, ao todo serão gastos
A área lateral do obelisco é:
1,5 ×
H
6
A
30,6
= 15,3 litros de tinta.
3
RESPOSTA: Alternativa 01.
06.
Considerando o cubo da figura, onde M é o centro da face ABCD, a única
proposição falsa é:
01) As retas EH e FB são reversas.
02) As retas AB e GC são ortogonais.
03) Não existe reta do plano ABCD que seja perpendicular à reta HM
04) Existem infinitos planos paralelos às retas EH e FB.
05) O triângulo HBC é retângulo.
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3
H
G
F
E
D
C
M
A
B

RESOLUÇÃO:
03) Falsa. ( Existe a reta AC)
RESPOSTA: Alternativa 03
07.
O resto da divisão do polinômio P(x) = x³ + mx² +m +1 por x-1 é igual a 3. Qual o resto da divisão de
P(x) por x-2.
01)
23
11
02)
2
2
03)
9
2
04) 10
05) 8
RESOLUÇÃO:
P(1) = 1 +m + m + 1 = 3 ⇒ 2m = 1 ⇒ m =
1
23
x2 3
.
⇒ P(x) = . x 3 + + ⇒ P(2) = 8 + 2 + 1,5 = 11,5 =
2
2
2 2
RESPOSTA: Alternativa 01.
08.
Uma das raízes da equação x³ - 7x² +mx – 15 = 0, m ∈ R, é igual a 2 – i.
Qual o valor de m?
01) 12
02) 13
03) 15
04) 16
05) 17
RESOLUÇÃO:
Se 2 – i. é uma das raízes da equação x³ - 7x² +mx – 15 = 0, então 2 + i também o é. A terceira raiz será o
número real a.
Por uma das relações de Girard: 2 – i + 2 + i + a = 7 ⇒ a =3 ⇒ P(a) = 0 ⇒ 27 – 63 + 3m – 15 = 0 ⇒
3m = 51. ⇒ m = 17.
RESPOSTA: Alternativa 05.
09.
x+2 1 -4
14 14 28
5 10 é:
4 8 9
A solução da equação: x - 1 1 2 = 48 + 5
x +3 2 -6
01) 6
02) -6
03) 8
04) -8
05) 10
RESOLUÇÃO:
x+2 1 -4
14 14 28
x - 1 1 2 = 48 + 5 5 10 ⇒
x +3 2 -6
4 8 9
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4

1 1 2
- 6(x + 2) - 8(x - 1) + 2(x + 3) + 4(x + 3) - 4(x + 2)+ 6(x - 1) = 48 + 14 × 5 1 1 2 ⇒
4 8 9
-6x = 48 ⇒ x = -8.
RESPOSTA: Alternativa 04.
10.
2x + 3y = ax
Determinar todos os valores de b de modo que o sistema 
tenha a possibilidade de ser
bx - 4y = ay
indeterminado.
01) b ≤ -1
02) b ≤ 0
03) b ≥ 0
04) b ≤ 3
05) b ≥ 1
RESOLUÇÃO:
2x + 3y = ax
(2 - a)x + 3y = 0
. Para que este sistema tenha outras soluções distintas da trivial é

⇒
bx - 4y = ay
bx - (4 + a)y = 0
necessário que:
− 2 ± 4 + 4(3b + 8)
a-2
3
=
⇒ 3b = 8 +2a + a² ⇒ a² + 2a – (3b + 8) = 0 ⇒ a =
⇒
b
4+a
2
2 2 9 + 3b
a= − ±
⇒ 9 + 3b ≥ 0 ⇒ b ≥ -3.
2
RESPOSTA: Alternativa 04.
11.
Certa importância é aplicada para render 20% ao mês de juros compostos. Quantos meses são necessários
para o montante obtido ser igual a 9 vezes a importância aplicada?
Considere log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
01),4
02) 6
03) 12
04) 8
05) 10
RESOLUÇÃO:
Consideremos como C a importância aplicada e n o tempo de aplicação: 1,2n C = 9C ⇒ 1,2n = 9 ⇒
log(1,2n) = log9 ⇒ n. log1,2 = log9 ⇒ n(log12-log10) = 2log3 ⇒ n( 2log2+log3-1) = 2log3 ⇒
n(0,6+0,48-1) = 0,96 ⇒ 0,08n = 0,96 ⇒ n = 12 ⇒
RESPOSTA: Alternativa 03.
12.
Um produto sofreu aumentos sucessivos de 20%, 40% e em seguida, uma redução de 10%. O aumento
acumulado foi igual a:
01) 51,2%
02) 52,4%
03) 59,4%
04) 48,2%
05) 50%
RESOLUÇÃO:
Seja C o preço inicial do produto. Pelas informações o preço final é:
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5

C.1,2.1,4.0,9 = 1,512C = C +0,512C ⇒ um aumento de 51.2%.
RESPOSTA; Alternativa 01.
13.
Considere a série de números: 4, 3, 1, 4, 1, 3, 5, 4.
Sendo Mo, Md e M , respectivamente, moda , mediana e média aritmética dessa distribuição, é verdade que:
01) Mo < Md < M
02) Md < Mo < M
03) M < Md < Mo
04) Md < M < Mo
05) M < Mo < Md
RESOLUÇÃO:
Coloquemos a série em ordem crescente: 1, 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5.
Mo = 4.
A posição do elemento mediano é
M =
8 +1
3+ 4
= 4,5 ⇒ Md =
= 3,5 .
2
2
1 + 1 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 25
=
= 3,125
8
8
RESPOSTA: Alternativa 03.
14.
O gráfico ao lado representa a função f(x) = a log (bx+2).
y
4
1
O valor de (f o f )   é:
2
01) 1
2
02) 2
03) 3
04) 4
05) 6
-1 0
RESOLUÇÃO:
Pelo gráfico f(0) = 2 ⇒ a log (2).=2 ⇒ a =
2
2
; f(-1) = 4 ⇒
log(-b+2) = 4 ⇒ log(-b+2) = 2log2⇒
log2
log2
Log(-b+2) = log2² ⇒ -b+2 = 4 ⇒ b = -2 ⇒ f(x) =
1
1
Cálculo de (fof)   : f   =
2
2
2
log(-2x+2) .
log2
2
2
log(1) = 0 e f(0) =
log2 = 2.
log2
log2
RESPOSTA: Alternativa 02.
15.
 x + 1 , se - 2 ≤ x < 1
Considere a função f tal que f (x) =  2
.
x - 4x, se 1 ≤ x ≤ 4
Pode-se afirmar que:
01) (f o f )( 0 ) = 0.
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6
x

02) f é injetora.
03) f é crescente no intervalo de [2,4].
04) A imagem de f é [-3,2[.
05) A equação f(x) = 1 tem 3 soluções.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente tracemos o gráfico da função:
2
y
1
−2
−1
−1
x
1
2
3
4
5
−2
−3
−4
01)
02)
03)
04)
05)
Falso: (f o f )( 0 ) = f(1) = -3.
Falso: f(-2) = f(0) = 1
Verdadeiro : análise do gráfico.
Falso: a imagem da função é op intervalo [-4,2[.
Falso: Tem duas soluções: -2 e 0.
RESPOSTA: Alternativa 03.
16.
Seja a reta que passa pelos pontos A= (1,4) e B = (-2,5) e é perpendicular à reta definida pela equação:
y + x mx - 1
=
. O valor de m é:
3
2
01) 2
02) 3
03) 4
04) 5
05) 6
RESOLUÇÃO:
A tangente da reta que passa pelos pontos A= (1,4) e B = (-2,5) é: a =
Sendo a reta de equação
5−4
1
=- .
3
− 2 −1
y + x mx - 1
=
perpendicular à reta AB, sua tangente é: a’ = 3.
3
2
Colocando a equação dada na sua forma reduzida: 3y + 3x = 2mx – 2 ⇒ y =
2m - 3
= 3 ⇒ 2m – 3 = 9 ⇒ m = 6
3
RESPOSTA: Alternativa 05
17.
n
Determine o valor de n sabendo que
∑ (2k - 4) = 108
k =1
01) 8
02) 10
03) 12
04) 15
05) 18
RESOLUÇÃO:
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7
2m - 3
2
x- ⇒
3
3

an = 2k – 4 ⇒ a1 = -2; a2 = 0; a3 = 2.;...........; an = 2n – 4 que é um PA de razão 2
∑ (2k - 4) = 108 ⇒ (−2 + 2n2 - 4)n = 108 ⇒ -3n +n² = 108 ⇒ n² - 3n – 108 = 0 ⇒ (n-12)(n+9) = 0 ⇒
n
k =1
n = 12 ( n > 0 ).
RESPOSTA: Alternativa 03.
18.
Numa P.G. a razão entre o sétimo e o segundo termos, é igual a 32. Sabendo que a soma desses termos é
igual a 99, calcule o quinto termo dessa P.G.
01) 12
02) 18
03) 24
04) 30
05) 32
RESOLUÇÃO:
Pela primeira informação:
aq 6
aq
= 32 ⇒ q 5 = 32 ⇒ q = 2 .
Pela segunda informação: aq6 + aq = 99 ⇒ 64a + 2a = 99 ⇒ a =
( )
99 3
3 4
2 = 24.
= ⇒ a5 =
66 2
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
19.
Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, quantos números de 4 algarismos podemos formar começando
e terminando com algarismo ímpar.
01) 164
02) 180
03) 210
04) 240
05) 256
RESOLUÇÃO:
Não existe condição para que os diversos algarismos sejam diferentes e como as maiores dificuldades
estão na primeira e última ordens devemos começar o preenchimento das ordens por elas:
Para estas duas ordens existem 4 possibilidades (1, 3, 5 ou 7)
1
2
6
3
Escolhido o 1, por exemplo, para a última ordem restam então 3 possibilidades ( 3, 5, ou 7).
Escolhido o 3, por exemplo, para a segunda ordem restam 5 possibilidades ( 2, 4, 5, 6 ou 7).
Escolhido o 2, por exemplo, para a terceira ordem restam 4 possibilidades ( 4, 5, 6 ou 7).
Então a quantidade total de números é: 4 × 3 × 5 × 4 = 240.
3457-42ªAvalMat3ªEM4und-2004/fab
8

RESPOSTA: Alternativa 04
20.
Quantos são os anagramas da palavra SALTO que começam por consoante e têm as letras A e L, juntas
em qualquer ordem?
01) 25
02) 30
03) 36
04) 42
05) 60
RESOLUÇÃO:
Pensemos em dois casos:
I- Começando pela consoante L
L A
As letras serão distribuídas pelas casas vazias.
II- Começando por qualquer das consoantes T
ou S.
T
A L
T
L A
Para o caso I: existem, então, 3! possibilidades.
Para o caso II: se escolhermos T para a primeira casa à esquerda, as outras “três” posições serão
preenchidas pelo grupo [AL] e pelas letras S e O. Como a primeira letra a ser escolhida poderia ser o S e
o grupo o [LA], existem, então, 2!.3!.2! possibilidades.
Assim o total de anagramas é: 3! + 2!.3!.2! = 6 + 24 = 30.
RESPOSTA: Alternativa 02
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9