GEOMETRIA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO
Primeiro semestre de 2003
Profa. Sandra Augusta Santos
MA520Z
Sala IM111
Atividade 3
O Postulado de Pasch
Introdução e objetivos
O chamado Postulado de Pasch (ver quadro abaixo) é uma referência ao matemático
alemão Moritz Pasch (1843-1931), que o enunciou pela primeira vez em 1882, e o utilizou
em seu trabalho de sistematização da Geometria no lugar do Postulado da Separação do
Plano (conforme ref.[1], p.61, e exercício 1.10 da ref. [3], p.29)
Nesta atividade, trabalharemos com os conceitos primitivos de ponto e reta e com as
noções de estar entre e de separação, envolvendo segmentos, semi-retas e semiplanos, com
ênfase na distinção entre um postulado e um teorema. Exercitaremos o raciocínio lógico por
meio de provas formais. A ferramenta computacional servirá como ambiente de
experimentação e rascunho no acompanhamento das demonstrações.
Palavras-chave: reta; ponto; estar entre; separação; segmento; semi-reta; semiplano;
conjunto convexo; postulado; teorema.
Postulado de Pasch (PP)
Postulado da Separação do Plano (PSP)
Dados três pontos A, B e C, não
colineares e uma reta r, no plano
determinado por estes três pontos, e
que não contém nenhum deles, se r
passa por um ponto de AC então
também passa por um ponto de BC ou
de AB .
Dada uma reta, os pontos do plano que a
contém e que não pertencem a ela
formam dois conjuntos disjuntos tais que
(1) cada um dos conjuntos é convexo;
(2) se o ponto P pertence a um dos
conjuntos e Q ao outro, então o segmento
PQ interseciona a reta dada.
Preparação
i. Dê três exemplos de conjuntos que sejam a união de dois conjuntos disjuntos. Faça
uma das descrições por meio de esquemas ou diagramas, a outra em palavras e a
terceira usando símbolos matemáticos.
ii. Reveja as definições de conjunto convexo, semi-reta e semiplano, e mostre que:
(a) uma semi-reta é um conjunto convexo;
(b) um semiplano, unido com sua reta origem, formam um conjunto convexo.
iii. Seja Α um conjunto de pontos e seja Β a união de todos os segmentos da forma
PQ , onde P e Q pertencem a Α. Pode-se afirmar que o conjunto Β é convexo?
Justifique. (Exercício 12 da ref. [2],p.63)
iv. Um lado. Mostre que, assumindo o Postulado da Separação do Plano como
postulado, o Postulado de Pasch vale como um teorema. Esquematicamente,
(PSP) → (PP). Este é exatamente o exercício 1.10 de nosso livro-texto: ref. [3],
p.29. Sugestão: suponha, como hipótese de absurdo, que (PP) não vale, e chegue a
uma contradição.
No laboratório
O outro lado. Analisaremos agora a implicação: (PP) → (PSP). Em palavras, assumindo a
validade do Postulado de Pasch, vamos mostrar que o Postulado da Separação do Plano
vale como um teorema. Seguiremos o roteiro da ref. [1], p.62-64, com pequenas
modificações.
Inicialmente, vejamos que, se três pontos pertencem a uma mesma reta, para eles se
verifica uma proposição análoga à do Postulado de Pasch: toda reta que corte um dos três
segmentos determinados pelos pontos dados, mas não passe por nenhum deles, corta
também mais um, e apenas mais um, dos outros dois segmentos.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que A–B–C, isto é, que B está entre A e C. Então,
todos os pontos de AB e de BC pertencem a AC , e cada ponto de AC pertence a AB ou
a BC (B pertence a ambos). Portanto, se uma reta nas condições enunciadas corta AB , ela
não corta BC mas corta AC ; se corta BC ela não corta AB mas corta AC ; e, se corta
AC , corta AB ou BC (ou exclusivo).
1. Construa, no Tabulæ, os elementos necessários para acompanhar o raciocínio
acima. Explore o caráter dinâmico do programa: uma construção é suficiente para
verificar as três possibilidades, basta mover a reta ou os pontos do segmento
convenientemente.
Passemos agora à demonstração propriamente dita. Seja uma reta do plano π .
Começaremos mostrando que é possível particionar o conjunto π −
em dois
subconjuntos, K1 e K2, que verificam as condições enunciadas no (PSP).
Para tanto, seja A um ponto de π − e definamos K1 mediante as seguintes condições: a1) A
pertence a K1; b1) um ponto X, distinto de A, pertence a K1 se, e somente se, AX ∩ = φ
(onde φ denota conjunto vazio). Definamos agora o conjunto K2 pela condição: a2) um
ponto Y de π − , distinto de A, pertence a K2 se, e somente se, AY ∩ ≠ φ .
2. Abra uma nova seção no Tabulæ e construa todos os elementos que apareceram nas
definições acima: a reta , os pontos A, X e Y, os segmentos AX e AY , e as
possíveis interseções desses segmentos com a reta . Rotule, com a caixa de texto,
as regiões correspondentes aos subconjuntos K1 e K2.
2
É óbvio que K1 é não vazio, pois o ponto A é um elemento de K1. Para mostrar que K 2 ≠ φ ,
tomemos um ponto P em , e consideremos a semi-reta oposta àquela de origem P e que
passa por A. Seja Y é um ponto dessa semi-reta, distinto de sua origem P. Então,
AY ∩ = {P} , pois A e Y são pontos de semi-retas opostas, de origem P. Logo, Y ∈ K 2 e
portanto, K 2 é não vazio.
3. Prossiga com a construção iniciada no item 2, acrescentando o ponto P e as semiretas nas condições acima, e convença-se que K 2 ≠ φ .
Seja X um ponto de π − , X ≠ A . Naturalmente, AX ∩ = φ ou AX ∩ ≠ φ , e então, X
pertence a K1 ou X pertence a K2. Portanto, K 1 ∪ K 2 = π − . Suponhamos que pudesse
existir um ponto X de π − , X ≠ A , tal que X ∈ K 1 ∩ K 2 . Isso implicaria que AX ∩ = φ
e AX ∩ ≠ φ , o que é absurdo. E como A está apenas em K1, pode-se concluir que
K1 ∩ K 2 = φ .
4. Reveja o enunciado do (PSP) e convença-se de que, com o desenvolvimento acima,
mostramos que os conjuntos K1 e K2 particionam π − em dois conjuntos disjuntos.
Vamos provar que K1 é um conjunto convexo. Sejam X e Z dois pontos distintos de K1. Se
X = A , então, por b1), XZ ∩ = AZ ∩ = φ . O mesmo ocorre se Z = A :
XZ ∩ = XA ∩ = φ . Agora, se X ≠ A e Z ≠ A , então AX ∩ = φ e AZ ∩ = φ . Pelo
(PP), válido mesmo no caso em que X, Z e A sejam colineares, conforme provado no início
de nossa argumentação, como não corta AX nem AZ , também não pode cortar XZ .
Logo, XZ ∩ = φ . Portanto, K1 é um conjunto convexo.
A convexidade de K2 segue de modo análogo: sejam Y ≠ A e W ≠ A dois pontos distintos
de K2. Por a2), AY ∩ ≠ φ e AW ∩ ≠ φ . Pelo (PP), ainda que A, Y e W sejam colineares,
como corta AY e AW , então não pode cortar YW . Em outras palavras, YW ∩ = φ
e, portanto, K2 é um conjunto convexo.
5. Retome sua construção do item 3 e complete-a para acompanhar o raciocínio da
prova da convexidade dos conjuntos K1 e K2, desenvolvida acima. Procure perceber
as diferenças desta prova em comparação à sua demonstração para o item ii.(b), da
preparação.
Podemos agora passar ao aspecto central da tese. Tomemos dois pontos B e C em π −
consideremos os casos:
e
C1) B ∈ K 1 e C ∈ K 1 . Se B = A , então BC ∩ = AC ∩ = φ pois C ∈ K1 . Analogamente
se procede para C = A . No caso B ≠ A e C ≠ A , então AB ∩ = φ e AC ∩ = φ . Mas
não pode cortar apenas um dos segmentos
então, pelo (PP), BC ∩ = φ . De fato,
determinados pelos pontos A, B e C. Cabe lembrar que, mesmo no caso de A, B e C serem
colineares, mostramos que a conclusão do Postulado de Pasch é válida.
3
C2) B ∈ K1 e C ∈ K 2 (ou vice-versa). Então, se B = A , temos BC ∩ = AC ∩ ≠ φ (pois
C ∈ K 2 ). Se B ≠ A , temos AB ∩ = φ e AC ∩ ≠ φ . Cortando AC e não cortando AB ,
a reta corta necessariamente BC , devido ao (PP) e à proposição análoga ao (PP) quando
os pontos são colineares. Logo, BC ∩ ≠ φ .
C3) B ∈ K 2 e C ∈ K 2 . Então AB ∩ ≠ φ e AC ∩ ≠ φ . Como, por (PP) e pela proposição
análoga ao (PP) quando os pontos são colineares, a reta não pode cortar mais do que dois
segmentos determinados por A, B e C, segue que BC ∩ = φ .
Concluímos, portanto, a prova da implicação (PP) → (PSP).
6. Prosseguindo com a sua construção no Tabulæ, complete-a para acompanhar a
finalização da prova acima. Observe que o dinamismo do programa permite que os
casos C1), C2) e C3) sejam analisados a partir da mesma construção.
Para entregar
I. Existem diferenças entre um postulado e um teorema? Explique.
II. Na prova da convexidade dos conjuntos K1 e K2, desenvolvida no laboratório, a
argumentação é essencialmente diferente da que você deve ter usado no item ii.(b)
da preparação. Comente sobre estas diferenças.
III. Mostre que o Postulado de Pasch implica no resultado a seguir:
Resultado: Dado um triângulo ABC, e uma reta
no mesmo plano do
triângulo, se
não contém nenhum vértice do triângulo, então
não pode
intersecionar todos os três lados desse triângulo.
Referências
[1] I. Fetissov, A demonstração em geometria (trad. Hygino H. Domingues). São Paulo:
Atual, 1994. Coleção Matemática: Aprendendo e Ensinando.
[2] E. E. Moise, Elementary Geometry from an advanced standpoint. 2nd edition. New
York: Addison Wesley, 1974.
[3] E. Q. F. Rezende & M. L. B. Queiroz, Geometria Euclidiana Plana e construções
geométricas. Campinas, SP: Editora da Unicamp; São Paulo: Imprensa Oficial, 2000.
4