CEFET/RJ - Engenharia - Cálculo a Várias Variáveis
Professor: Roberto Carlos Antunes Thomé
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homepage: www.rcthome.pro.br
PROVA 01
Nome do Aluno(a):
[5,0 pontos] (1) Suponha que você está subindo uma montanha cuja forma é dada pela
equação 0, 005x2 + 0, 01y 2 + z = 1000, onde x, y e z são medidos em metros e você está em um
ponto P com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo
aponta para o Norte.
(a) Qual é a forma dessa montanha? Faça um esboço da superfı́cie dessa montanha.
(b) Encontre a equação do plano tangente à superfı́cie da montanha no ponto P .
(c) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?
(d) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?
(e) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
[1,0 ponto] (2) Mostre que
5x2 y 3
(x,y)→(0,0) (x + 2y 3 )2 + 3x2 y 3
lim
não existe.
[2,0 pontos] (3) Suponha que f seja uma função diferenciável nas variáveis x e y, onde
g(u, v) = f (eu + sen v , eu + cos v). Use a tabela de valores abaixo para calcular gu (0, 0) e
gv (0, 0).
f g fx fy
(0, 0) 3 6 4 8
(1, 2) 6 3 2 5
[2,0 pontos] (4) Um pacote com o formato de uma caixa retangular pode ser enviado como
encomenda postal se a soma do comprimento e cintura (perı́metro da secção transversal ortogonal
ao comprimento) for de, no máximo, 108 polegadas (1 polegada = 2,54 centı́metros). Determine
as dimensões do pacote de maior volume que pode ser enviado como encomenda postal.