1ª AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA – 3º BIMESTRE
Polinômios e Números complexos.
RESOLUÇÃO
(QUESTÃO 01) (VALOR: 10) (UFPR – PR - 2007) Sabendo que o polinômio p(x) = x4 - 3x3 + ax2 + bx - a é
divisível pelo polinômio q(x) = x2 + 1, é correto afirmar:
a) 2a + b = - 2
b) a + 2b = 1/2
c) a - 2b = 0
d) 2a - b = 3/4
e) a - b = - 1
Fazendo a divisão proposta no enunciado tem-se:
x4
– x4
0
–3x3
+ 0x3
– 3x3
3x3
0
+ ax2
–x2
+ (a – 1)x2
+ 0x2
(a – 1)x2
– (a – 1)x2
0
+ bx
↓
–a
↓
+ 3x
+ (b + 3)x
+ 0x
+ (b + 3)x
–(a – 1)
–2a + 1
x2
x2
+ 0x
– 3x
Assim o resto, r(x), da divisão é:
r(x) = (b + 3) x – 2a +1
Por outro lado os polinômios são divisíveis, portanto o resto é zero, isto é,
r(x) = (b + 3) x – 2a +1 = 0
b+3=0
b=–3
e
– 2a +1 = 0
e
a = 1/2.
Fazendo tentativas nas alternativas tem-se que a) está correto: 2.1/2 + (– 3) = – 2.
+1
+ (a – 1)
(QUESTÃO 02) (VALOR: 10) (FGV – SP – 2005) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + 2 satisfaz as
seguintes condições: P(-1) = 0; e P(x) - P(-x) = x3, qualquer que seja x real.
Então:
a) P(1) = -1
b) P(1) = 0
c) P(2) = 0
d) P(2) = -8
e) P(2) = 12
Sobre as condições que devem ser satisfeitas por P(x), obtém-se:
i) P(–1) = 0
⇒
ii) P(x) – P(–x) = x3
a.(–1)3 + b.(–1)2 + c.(–1) + 2 = 0
⇒
⇒
– a + b – c = –2.
ax3 + bx2 + cx + 2 – [a.( –x)3 + b.( –x)2 + c.( –x) + 2] = x3
3
2
3
ax3 + bx2 + cx + 2 – [–ax + bx – cx + 2] = x
3
2
3
3
2
ax + bx + cx + 2 + ax – bx + cx – 2 = x
3
2ax3 + 2cx = x .
3

b = − 2
−a + b − c = −2 
1
1
3


2a = 1
⇒ a=
⇒ P(x) = x 3 − x 2 + 2
Assim:

2
2
2


2c = 0

 c =0


1 3 3 2
1
3
Calculando: P(1) = (1) − (1) + 2 = 1
e
P(2) = (2)3 − (2)2 + 2 = 0
2
2
2
2
(QUESTÃO
03)
(VALOR:
10)
(UFPR
–
PR
p(x) = x4 - 5x3 + 10x2 - 5x + d, onde d é número real, é correto afirmar:
01) Se d = 16, então p(x) é o desenvolvimento de (x-2)4.
2003)
Sobre
o
polinômio
02) Se d = 0, então zero é uma raiz de p(x).
04) Se 1 for raiz de p(x), então d = 15.
08) Se d = -21, então p(x) é divisível por x+1.
01) Falso.
(x – 2)4 = ((x – 2)2)2 = (x2 – 4x + 4)2 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16
Ou
(x – 2)4 = 1.x4.(-2)0 + 4.x3.(-2)1 + 6.x2.(-2)2 + 4.x1.(-2)3 + 1.x0.(-2)4 = x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16
02) Verdadeiro.
p(0) = 04 – 5.03 + 10.02 – 5.0 + 0 = 0
04) Falso.
p(1) = 14 – 5.13 + 10.12 – 5.1 + d = 0
⇒
1 – 5 + 10 – 5 + d = 0 ⇒
d = -1
08) Verdadeiro.
-1
1
1
-5
-6
10
16
-5
-21
-21
0
(QUESTÃO 04) (VALOR: 10) (UNESP - SP - 2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então o conjugado de z, será
dado por
a) - 3 - i.
b) 1 - 3i.
c) 3 - i.
d) - 3 + i.
e) 3 + i.
Fazendo as multiplicações indicadas tem-se:
z = (2 + i).(1 + i).i = (2 + 2i + i + i2).i = (1 + 3i).i = i + 3i2 = -3 + i
Logo o conjugado de z, fica: z = −3 − i
(QUESTÃO 05) (VALOR: 10) (UEM - PR – 2002 - modificado) Sobre números complexos, assinale o que
for correto.
01) Se z = 4 + i e w = 4 − 1 i , então zw = 1.
17 17
02) i45 = - 1.
04)
z=
6 + 3i
4 + 2i
é um número real.
08) Se z = 2 + 3i, então |z| = 5.
16) Se i2 = - 1, então, i + i2 + i3 + ... + i1001 = i.
01) Verdadeiro.
2
17
 4 − i  16 − 4i + 4i − i
z.w = ( 4 + i ) . 
=
=
=1

17
17
 17 
02) Falso.
Fazendo 45÷4 obtém-se resto 1, portanto i45 = i1 = i.
04) Verdadeiro.
z=
6 + 3i 4 − 2i 24 − 12i + 12i − 6i2 24 + 6 3
⋅
=
=
=
4 + 2i 4 − 2i
4 2 + 22
20
2
08) Falso.
z = 2 + 3i ⇒ z = 22 + 32 = 13
16) Verdadeiro.
Tome-se, da soma, a seguinte sequência: i + i2 + i3 + i4 = i – 1 – i + 1 = 0.
Assim pode-se concluir que a cada sequência com 4 potências de i, o valor da soma se anula.
Como existem 1001 potências de i na soma, fazendo 1001÷4 obtém-se 250 sequências que se
anulam, restando apenas o termo i1001 = i1 = i.