Texto complementar
Mostrando que 2
é irracional
Cláudio Possani
matemática
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Matemática
Assunto: Números irracionais
Mostrando que 2 é irracional
Suporemos que 2 é um número racional e mostraremos que essa afirmação nos leva a uma contradição.
2 é um número racional se existem a e b inteiros, b  0, tal que a 5
b
Suponhamos que a e b não são ambos pares.
2
a
a a
5 2 ⇒ ? 5 2 ou a2 5 2b2
b
b b
Se o quadrado de a é par, então a é par (ver quadro abaixo).
a 5 2k
a 2 5 2b2 ⇒ (2k)2 5 2b2 ⇒ 4k 2 5 2b2, ou seja, b2 5 2k 2
Se o quadrado de b é par, então b é par.
Se n é par, então n 5 2k, com k natural.
n2 5 (2k)2 5 4k2 5 2(2k2)
n2, que é o quadrado de um número natural qualquer, par, é igual ao produto de 2 por um
número natural 2k2.
Portanto, n2 é par.
Isso contradiz a hipótese inicial de que a e b não são ambos pares. Portanto, não existe número racional
a
a a
tal que ? 5 2.
b
b b
Provamos que 2 não é racional.
Uma demonstração geométrica de que 2 é irracional
O objetivo desta nota é divulgar junto aos leitores da RPM uma demonstração da irracionalidade de 2 ,
extremamente elegante e fundada em argumentos geométricos. Aparentemente, o argumento central já
fora utilizado pelos gregos na demonstração da incomensurabilidade do lado e da diagonal de um quadrado.
Para maiores detalhes, ver o artigo “Grandezas incomensuráveis e números irracionais”, publicado na RPM 5.
p
Começamos observando que, da igualdade 2 5 , obtemos p2 5 2q 2 5 q 2 1 q 2, que é a relação do
q
p
Teorema de Pitágoras. Assuma, por absurdo, que 2 5 , com p e q números inteiros positivos e primos
q
entre si. Assim, existirá um triângulo retângulo isósceles de lados inteiros p (hipotenusa) e q (cateto). Observe
que quaisquer dois triângulos retângulos isósceles são semelhantes e, como p e q não possuem fator
comum, esse triângulo de lados p, q e q é o menor triângulo retângulo isósceles de lados inteiros.
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Na figura, )AD é um arco de circunferência de raio q e centro C,
com D  tCBu. Toma-se E em tABu de modo que D 5 90°. Daí segue
que tDEu é tangente ao arco de circunferência mencionada e, também, que EA 5 ED, já que são segmentos tangentes à circunferência traçados a partir de um ponto externo.
Como B B 5 45°, segue que o triân­gulo EDB é isósceles e retângulo.
ED 5 DB 5 p – q, que é inteiro.
C
p
q
Também EB é inteiro, pois
D
EB 5 p – AE 5 q – ED 5
5 q – (p – q) 5 2q – p.
Assim, o triângulo DEB é retângulo isósceles e possui lados
inteiros menores do que p e q. Isso é um absurdo que seguiu da
p
suposição 2 5 , com p e q inteiros primos entre si. A conclusão
q
é que 2 é irracional. Bonito, não é?
A
E
B
POSSANI, Cláudio. Uma demonstração geométrica de que 2 é irracional. Texto cedido pela
Sociedade Brasileira de Matemática, publicado originalmente na Revista do Professor
de Matemática (http://www.rpm.org.br/). Rio de Janeiro: SBM, n. 57, p. 16-17, 2005.
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