1.1
Ideais
De…nição 1.4 Seja A um anel e I A um subanel.
I é um ideal à esquerda de A quando ele (além de ser subanél de A) é fechado relativamente à
multiplicação à por elementos de A esquerda:
a 2 A; b 2 I ) ab 2 I:
I é um ideal à direita de A quando ele (além de ser subanél de A) é fechado relativamente à multiplicação por elementos de A à direita:
a 2 A; b 2 I ) ab 2 I:
I é um ideal de A quando ele (além de ser subanél) é ideal à esquerda e à direita, simultaneamente:
a 2 A; b 2 I ) ab; ba 2 I:
Dizemos que I é um ideal próprio de A quando ele é diferente de f0g e diferente de A,
f0g
I
A:
Dizemos que I é um ideal maximal de A quando I =
6 A e os únicos ideais de A que contêm I são o
próprio I e A:2
@J A = I J A:
Dizemos que I é um ideal principal de A quando existe a 2 A tal que
I = aA = fab; b 2 Ag :
2 Noutras palavras: I é um ideal propriamente contido em A que não está propriamente contido noutro ideal propriamente
contido em A.
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1.3.1
Fatos sobre Z
Teorema 1.1 Z é um domínio principal, i.e., todo ideal de Z é ideal principal.
Dem. (Temos que provar que todo ideal de Z é ideal principal.)
Seja I
Z um ideal. Se I = f0g, então I = 0Z é um ideal principal. Daqui por diante, suponha que
I 6= f0g. De…na
M := I \ Z+ = fn 2 I = n > 0g :
Como I 6= f0g, segue que existe a 2 I, a 6= 0; como a 2 I implica a 2 I, segue que a 2 M ou a 2 M ,
donde concluimos que M 6= ;; como M é limitado inferiormente por 0 e 0 6= M , o Princípio da Boa
Ordenação garante que M possui um elemento mínimo maior do que ou igual a 1, digamos m:
m := min M
1:
Da de…nição de m, segue que m 2 I; como I é um ideal, segue que mZ I. Para concluir a demonstração,
basta mostrar a inclusão inversa! Com efeito, suponha por hipótese de absurdo que I * mZ; então existe
n 2 I, n 6= mk 8k 2 Z. Novamente pelo Princípio da Boa Ordenação, dessa condição podemos concluir que
existe k0 2 Z tal que
mk0 < n < m (k0 + 1) ;
como n; mk0 2 I, segue que m
~ := n
mk0 2 I; pelas desigualdades acima, segue
0<m
~ < m;
portanto, m
~ 2M em
~ < min M – absurdo! Isso conclui a demonstração.
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