GEOMETRIA URBANA: CONSTRUINDO OS CONCEITOS DAS CÔNICAS
Claudianny Amorim Noronha (UFRN – PPGEd)
claudianny@bol.com.br
John Andrew Fossa (UFRN – PPGEd)
fosfun@digi.com.br
1 Introdução
Atualmente, o ensino da Geometria vem recebendo a importância que lhe cabe,
como um dos estudos mais ligados à prática social e eficiente no desenvolvimento do
raciocínio lógico-dedutivo. Desde então, contribuir para a prática de ensino de conceitos
que assegurem essa importância, bem como o seu avanço, torna-se interessante para
todos aqueles envolvidos com a aprendizagem.
Dessa forma, objetivando contribuir para o avanço do ensino da Geometria,
desenvolvemos um estudo que se direciona para a compreensão das definições das
cônicas, cujas propriedades têm considerável importância para a construção de
instrumentos que facilitam a vida de um grande número de pessoas e cujas formas são
vistas cotidianamente. Como exemplo, temos o jato de água lançado por uma
mangueira, os faróis de um carro, a antena parabólica e outros. Entretanto, ao serem
abordadas nas escolas, são vistas apenas como gráficos derivados de uma determinada função.
Neste texto, apresentaremos a descrição dos resultados da pesquisa que
realizamos com o objetivo de propor uma abordagem metodológica do ensino da
Geometria, baseada na relação entre a Geometria do Táxi, a modelagem e o uso da
intuição, pelos alunos, para construção dos conceitos de cônicas.
Durante a elaboração da proposta nos pareceu conveniente abordarmos alguns
assuntos que nos proporcionam um trabalho interdisciplinar, como por exemplo, a
importância social das disposições físicas das cidades e os benefícios que essas nos
trazem quando pensamos na locomoção, no comércio, etc., além de ser indiscutível os
benefícios que a utilização das propriedades das cônicas oferecem para o
desenvolvimento tecnológico, e de seus usos em diferentes áreas, como por exemplo, a
Geografia, a Física e outras.
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Elaboramos atividades baseadas na resolução de problemas, permitindo que os
alunos levantem hipóteses, testem-nas, discutam com os colegas e tirem suas
conclusões. Estes problemas baseiam-se no que conhecemos como modelagem
matemática, “conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir de
alguma forma, um problema em questão ou problema de situação real”
(BIEMBENGUT, 2000, p. 12), ou seja, utiliza-se da representação de algo que já se
conhece, mas que nem sempre é representado em sua essência e sim como uma
imitação, modelo, para resolver problemas que requerem um raciocínio matemático.
A “Geometria do Táxi” (KRAUSE, 1986, p. 2) ou “Geometria Urbana”
(FOSSA, 2001, p. 87), cujas propriedades podem ser encontradas com melhor descrição
em Fossa (2003), contribui com este trabalho ao permitir que se utilize como modelo
algo que faz parte do cotidiano dos moradores das cidades, o espaço urbano,
apresentado de forma simplificada de modo a imaginarmos uma cidade bem planejada,
onde os quarteirões tem o mesmo tamanho e as ruas são percorridos no sentido norte-sul
e leste-oeste.
O espaço é semelhante ao das coordenada cartesiana usual, mas permitirá que a
distância entre dois pontos seja encontrado de forma diferente da métrica euclidiana,
com a qual estamos acostumados, pois reflete a realidade de uma cidade, onde nos
limitamos a percorrer as ruas. A distância d ente dois pontos, A (x1, y1) e B (x2, y2), é
definida na Geometria Urbana através da soma das distancias horizontais e verticais,
dq( AB) = x 2 − x1 + y 2 − y1 . Usa-se o módulo das diferenças para garantir que a distância
seja não-negativa. Assim, a distância horizontal x entre quaisquer dois pontos é a
diferença entre os valores das coordenadas de x desses pontos. Semelhante a distância
vertical y é a diferença entre os valores de y.
Exemplo: Um carro sai do ponto A (1, 1) para o ponto B (4, 3), como mostra a
figura 1. Considerando que este carro não poderá passar por cima das casas e prédios,
como faremos para calcular a distância que ele percorrerá entre os dois pontos?
dq( A, B) = 4 − 1 + 3 − 1
B
dq( A, B) = 3 + 2 = 5
A
0
Figura 1
Resposta: a distância percorrida pelo carro será de 5 quarteirões.
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2 A pesquisa
Como já mencionamos acima, elaboramos atividades baseadas na modelagem
urbana, com as quais o aluno teria a oportunidade de construir o seu entendimento de
cônicas a partir de sua intuição. Para mais detalhes, ver Noronha (2003).
Estas atividades foram aplicadas com alunos de 7ª e 8ª série da escola Estadual
Castro Alves (Natal-RN). As atividades foram desenvolvidas em forma de curso extra e
teve total apoio das professoras que, ao terem conhecimento do conteúdo, faziam
referências ao curso durante as aulas e também cobravam a participação dos alunos
neste como forma de avaliação de seus desempenhos.
O curso foi aplicado no mês de Outubro de 2001 e teve duração de duas horas
diária durante cinco dias. Ocorreu fora do horário de aula, pois devido ao excesso de
paralisações ocorridas durante o ano letivo, tornou-se inviável que os professores
dispusessem de suas horas-aulas.
Os nossos dados incluem transcrições de entrevistas, notas de campo e as
atividades resolvidas pelos alunos. Durante a realização das atividades, procuramos dar
ênfase ao processo utilizado pelo aluno para chegar às suas conclusões, para que
pudéssemos compreender como eles entendiam e experimentavam o que lhes foi
atribuído através da atividade e, ainda, saber se havia alguma diferença em relação ao
nível cognitivo entre os alunos das séries em questão.
É importante ressaltar que, ao utilizar a Geometria Urbana, não objetivamos
distanciar os alunos da Geometria euclidiana, admitida pela escola como a geometria
padrão. Apenas utilizamos uma métrica diferente da usual e mais condizente com a
realidade do sujeito para chegar ao conteúdo curricular e efetivar a aprendizagem.
Procuramos elaborar situações-problema que permitissem ao aluno, como sujeito
epistemológico, construir seu conhecimento. Assim, recolocamos o escrito de Fossa
(2001, p. 89):
(...) o conhecimento é sempre uma construção do sujeito
epistemológico e, portanto, embora feito dentro de um mileau social, é
uma construção individual e, conseqüentemente, não é possível
transmiti-lo de uma forma acabada de uma pessoa para outra como
comumente se supõe.
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As turmas de ambas as séries estudavam no turno matutino. Dessa forma o curso
foi realizado no horário vespertino para a 7ª e, no noturno, para a 8ª série. Utilizamos
como espaço o auditório da escola, onde havia carteiras escolares como as da sala de
aula e um quadro de giz.
A turma da 7ª série tinha 25 alunos, cuja faixa etária estava entre os 12 e os 16
anos. Nenhum deles repetia esta série, mas todos se queixavam de dificuldades em
aprender os conteúdos de Matemática e assistiam à aula para poder melhorar as notas na
disciplina.
A turma da 8ª série tinha 15 alunos, cuja faixa etária entre os 14 e os 18 anos.
Nenhum deles repetia o ano letivo. Os alunos que freqüentavam regularmente o curso
tinham como objetivo complementar o conteúdo dado em sala de aula, para ter mais
condições de realizar a prova de seleção do CEFET (Centro Federal de Educação
Tecnológica), e, muitas vezes, ficavam após o curso para tirar algumas dúvidas do
conteúdo de sala de aula.
As atividades envolviam um contexto, a exemplo da primeira que relatava a
história de roubo de um supermercado, cabendo aos alunos decidirem se o sargento
Gomes, personagem da história, havia decidido certo entre duas patrulhas de policia
disponíveis para ir ao local do roubo. No início da atividade muitos alunos, tanto da 7ª
quanto da 8ª série, tiveram dificuldades em assimilar o mapa descrito na história (Figura
2) como um mapa urbano com ruas e prédios.
B
Sendo:
A, B- Carros de patrulha;
S- Supermercado preço
Sorridente.
G- Estação de polícia,
onde Gomes trabalha.
Caminhos
Gomes
A
S
G
Figura 2 – Mapa da 1ª atividade.
traçados
por
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Os alunos afirmaram que o carro B chegaria mais rápido, pois levaram em
consideração a medição dos dois caminhos que eles fizeram com a régua. Assim, todos
os grupos responderam que a solução dada pelo sargento era correta. Então, precisamos
lembrá-los de que estavam lhe dando com um mapa urbano da área de atuação de
Gomes na cidade e pedimos que pensassem mais um pouco sobre a situação.
A grande maioria quis desistir de achar outra solução. Alguns diziam que Gomes
estava errado, mas não apresentavam outra solução. Era evidente que achavam que era a
resposta que nós queríamos escutar por insistirmos tanto que eles refletissem sobre a
questão. Sem alternativa e sem querer dizer a eles o que fazer para não descaracterizar o
trabalho e repetir o que parecia fazer parte da realidade de sala de aula, resolvemos dar
algumas pistas, lembrando-os que o mapa se tratava do mapa de uma cidade, pedimos
que analisassem se o caminho escolhido por Gomes seria possível.
Os alunos refizeram as medições e encontraram o caminho que percorreria a
patrulha A como o mais curto e o que deveria ser escolhido por Gomes. Se estes alunos
tivessem usado devidamente a noção que possuem de espaço urbano, logo perceberiam
que Gomes estaria errado, já que seria inviável que os carros passassem por cima dos
quarteirões, mas talvez por não estarem muito acostumados com questões que lhes
fizessem refletir da forma como eles precisaram, buscando experiências que já
possuíam, tornou-se bem mais difícil resolver a questão.
Depois de ter encontrado as respostas das questões acima explicamos a eles o
que era um plano cartesiano. Citamos porque e em que o plano cartesiano é útil no diaa-dia, assim eles entenderam porque Gomes idealizou o mapa da forma vista, isso nos
deu o “gancho” para a introdução dos termos Geometria Euclidiana e Geometria
Urbana, dando ênfase às noções de distância das duas métricas (não trabalhamos com
fórmulas), ressaltando que a que é vista regularmente no conteúdo de sala de aula é a
primeira, mas que, por estar relacionado com as experiências vividas por eles no espaço
urbano, nós utilizaríamos a segunda geometria para que eles pudessem, mais facilmente,
conhecer alguns dos conteúdos da primeira.
É importante ressaltar que as atividades obedeciam a uma seqüência, da qual
uma dava subsídios para a resolução da próxima, possibilitando que os alunos criassem
seus esquemas para um melhor entendimento.
As primeiras atividades são caracterizadas, principalmente, pela identificação
das distâncias entre dois pontos através da contagem dos quarteirões. Além de trabalhar
a noção de distância, podemos, com estas atividades revisar as operações com frações e
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números decimais. No caso da 8ª série estas questões possibilitam ainda, trabalhar a
localização de pontos no plano cartesiano, assim o professor (a) poderá pedir que os
alunos indiquem a localização de cada ponto através de suas coordenadas no plano.
No decorrer destas atividades muitos alunos começaram medindo as distâncias
através da régua, então precisamos lembrá-los que estávamos usando a Geometria
Urbana e que eles deveriam buscar a distância entre os pontos solicitados na questão
como se fosse o mapa utilizado por Gomes nas questões anteriores.
Com a turma de 8ª série, além de trabalhar as distâncias, adequamos o quadro
para trabalhar as coordenadas dos pontos no plano cartesiano. Assim, além de informar
a distância entre os pontos solicitados nas duas questões, pedimos que os alunos desta
série nos indicassem as coordenadas desses pontos. Para isso acrescentamos em cada
uma das questões mais um ponto que seria a origem do plano. Não apresentamos a
atividade com a origem já acrescentada para a 8ª série, porque ainda não tínhamos
pensado em trabalhar as coordenadas até que no decorrer da aula percebemos o
interesse dos alunos e que, apesar destes estarem quase no final do ano letivo, ainda não
tinham visto o assunto.
y
y
A
C
B
R
E
D
F
D
0
x
G
x
C
Figura 3 – Mostra a origem do plano, acrescentada
para turma de 8ª série.
Figura 4 – Mostra a alteração na
origem do plano.
Numa atividade, como podemos observar na figura 3, as coordenadas de todos
os pontos eram positivas, enquanto que noutra, considerando que os alunos já trabalham
em sala-de-aula com operações com números negativos, estabelecemos no quadro
(Figura 4) a origem num ponto em que houvesse um certo equilíbrio em relação a isso.
Durante a resolução do objetivo principal das referidas atividades, que era
encontrar a distância urbana entre os pontos, percebeu-se a grande dificuldade que os
alunos das duas séries tinham em contar os meios de caminhos que precisavam de um
conhecimento de operações com frações ou com números decimais.
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Para garantir um melhor entendimento da atividade, precisamos fazer uma
revisão sobre o assunto que incluiu conhecer as partes fracionárias de um inteiro, a
conversão destas partes em números decimais e as operações de adição e subtração com
estes números. Em conseqüência, para desenvolver as primeiras cinco atividades,
necessitamos de dois dias do curso e, ainda, de meia hora a mais nestes dias.
Nas próximas quatro atividades, os alunos tiveram a oportunidade de conhecer a
circunferência urbana e, considerando que esta circunferência tem a mesma definição da
euclidiana, pudemos trabalhar a primeira dando referências a segunda e, além disso,
trabalhar também as definições de raio e diâmetro. Aproveitamos ainda, para trabalhar a
definição de losango e quadrado, nomes dados pelos alunos para a figura encontrada
(Figura 5) nestas atividades, pois muitos não levaram em conta o método que utilizaram
para encontrar a figura e a relação deste com a definição de circunferência, vista por
eles através da pesquisa feita em sala, ou até mesmo por não aceitar uma outra forma
para a circunferência se não a redonda.
Figura encontrada pelos alunos.
O
Figura 5 – Nesta atividade os alunos teriam que encontrar todos os pontos com distância de 3 unidades
do centro O.
Os alunos de ambas as séries se encontravam no mesmo nível de dificuldade.
Foram várias as barreiras encontradas para resolução das atividades de forma geral.
Entre elas, estava a dificuldade de interpretação, de reflexão, enfim, de uso do
raciocínio. Foi preciso muita conversa para que não os deixasse desistir, durante esta
tarefa. A primeira autora, ministrante do curso, aproximou-se muito da turma a ponto de
ser deixada em casa depois da aula, já que sua casa, aí usamos a noção de distância da
Geometria em questão, situava-se a 4 quarteirões da escola. Outra dificuldade foi que os
alunos tinham estudado muito pouco de geometria e nada sobre a circunferência neste
ano letivo, tentando buscar, por exemplo, o entendimento que os alunos tinham sobre
raio ou diâmetro, não obtivemos qualquer retorno.
Durante a resolução das atividades, a ministrante do curso, estava sempre
caminhando entre os grupos, participando de suas discussões para resolução do
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problema, conversando com os componentes e, assim, fazendo de forma informal
pequenas entrevistas e, nestas ocasiões, eles sempre conversavam muito sobre o dia-adia de sala de aula, sobre o que faziam quando não estavam na escola e, principalmente,
sobre a preocupação com as notas da disciplina.
Após encontrarem as figuras, os grupos trocavam idéias e eles mesmos
avaliavam a proposta de cada grupo. Em seguida, o trabalho passava a ser de pesquisa,
pois os grupos relacionavam o método que utilizaram para encontrar a figura, sua forma
e a definição destas nos livros didáticos, fazendo comparações entre estas e as urbanas.
O mesmo procedimento foi utilizado nas outras questões, onde foram trabalhados os
conceitos de elipse, hipérbole e parábola. Para cada figura, fazíamos a relação desta com
alguns instrumentos do dia-a-dia, ressaltando a sua utilidade (nos telescópios, nas
órbitas dos planetas, na construção de pontes, nas antenas de transmissão de imagens e
sons, etc.). Os exemplos dados impressionavam muito os alunos, em especial os
meninos que pretendiam fazer cursos técnicos ao passarem para o nível médio.
3 Conclusão
Durante a realização do curso, nos deparamos com algumas dificuldades, com as
quais não contávamos, à exemplo da falta de domínio nas operações com frações e
números decimais, em interpretação e outros aspectos. Entretanto, não vimos a
possibilidade de prorrogar o período do curso, pois na semana seguinte viria o período
de prova e, a seguir, os jogos escolares. Mas, estas dificuldades nos ajudaram a ver um
outro lado do trabalho que propomos, como, por exemplo, o uso do modelo urbano para
a realização de atividades com frações.
No que se refere às atividades, durante as entrevistas informais e através da
participação dos alunos, percebemos que estes conseguiram desenvolver uma
compreensão do que define as cônicas, através da atividade que os fez refletir e usar da
intuição para resolvê-la.
O uso da modelagem de um centro urbano bem planejado e a teoria
desenvolvida sobre a Geometria Urbana contribuíram bastante, proporcionando que os
alunos partissem de algo que já conheciam para a construção dos conceitos propostos.
Através da atividade de pesquisa, possibilitou-se ao aluno fazer uma comparação da
variação das formas das cônicas nos dois espaços apresentados, ajudando-os a ter uma
compreensão melhor do que define estes gráficos.
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A atividade possibilitou-nos trabalhar alguns assuntos que nos proporcionam um
trabalho interdisciplinar, tais como a importância social das disposições físicas das
cidades e os benefícios que essa nos traz, quando pensamos em situações como a
locomoção, o comércio e outros; a utilização das propriedades das cônicas no
desenvolvimento de instrumentos tecnológicos, a exemplo do microscópio, da antena
parabólica; os movimentos dos planetas; localizações geográficas, etc.
A partir do terceiro dia, percebemos que os alunos já resistiam menos às
atividades propostas e procuravam resolver suas atividades encontrando suas
estratégias, fossem elas baseadas totalmente em raciocínios matemáticos, a exemplo dos
pontos eqüidistantes da elipse, ou na sorte, com uma dose de matemática.
Durante a realização de nosso trabalho de pesquisa, deparamo-nos com uma
certa deficiência, não apenas no que se refere ao ensino da Geometria, mas, até mesmo,
da Aritmética. Este fato nos fez repensar o tempo determinado para a realização das
atividades e, ainda, as finalidades de nossa proposta. Para abordar um conteúdo de
forma interdisciplinar, precisamos ocupar um pouco mais de tempo e, até mesmo obter
ajuda de professores de outras disciplinas. Repensamos também as finalidades de nossa
proposta, porque vimos a oportunidade de abordar outros assuntos, a exemplo do estudo
de frações.
De acordo com as orientações e entrevistas informais que fazíamos durante o
curso, nossa atividade atingiu seus objetivos, concernente a realizar uma abordagem
metodológica de ensino da Geometria e, mais especificamente, para a construção dos
conceitos das cônicas, com os quais os alunos tiveram a oportunidade de, a partir do uso
de sua intuição, levantar hipóteses, testar, discutir com os colegas e tirar suas
conclusões, visto que eles conseguiram compreender não apenas o que define estes
gráficos, mas também suas variações de acordo com o espaço.
REFERÊNCIAS
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem matemática no ensino. São Paulo:
Contexto, 2000.
FOSSA, J. A. Ensaios sobre a educação matemática. Belém: EDUEPA, 2001
(Educação 2).
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FOSSA, J. A. Geometria Urbana. João Pessoa: UFPb, 2003.
KRAUSE, E. F. Taxicab Geometry: an adventure in Non – Euclidean Geometry. New
York: Cover Publications, 1986.
NORONHA, C. A. A modelagem e a geometria urbana: uma proposta para a
construção dos conceitos das cônicas. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação) –
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2003.
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A MODELAGEM E A GEOMETRIA URBANA: UMA PROPOSTA