Universidade do Algarve
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento de Matemática
Programa da disciplina de
Álgebra I
Curso da Licenciatura em Matemática
Ano Lectivo 2005/2006
1. Corpo docente
Aulas teóricas e
teórico-práticas
Gabinete
Extensão
tel.
Correio
electrónico
Paulo Semião
3.13 Ed. C II
7655
[email protected]
Portal
da
disciplina
http://w3.ualg.pt/~psemiao/Ensino.htm
A regência da disciplina está a cargo do docente das aulas teóricas.
2. Objectivos gerais
Proporcionar ao aluno uma formação básica em Álgebra, para que possa entender e
compreender, não só os conhecimentos transmitidos durante a leccionação da
disciplina, mas também adquirir uma sólida base matemática, de modo a que, possa
mais tarde, aprender pelos seus próprios meios. Estimular o interesse pela disciplina,
bem como, o desenvolvimento do raciocínio e do espírito crítico.
Em relação à matéria leccionada, far-se-á o estudo das estruturas algébricas básicas,
nomeadamente, semigrupo, monóide e grupo, dando-se ênfase aos conceitos
relacionados com a teoria de grupos.
Aulas teóricas:
O objectivo principal das aulas teóricas é transmitir aos alunos os fundamentos
teóricos da matéria proposta para a disciplina, bem como incentivar-lhes o interesse
pela mesma e, caso necessitem ou pretendam aprofundar determinadas matérias,
apontar-lhes outros caminhos e sugestões de leitura.
Aulas teórico-práticas:
O objectivo principal das aulas teórico-práticas é pôr os alunos a interpretar e a
resolver os exercícios propostos ao longo do semestre. A sua resolução é parte
integrante do estudo e não um simples complemento. No início de cada aula o
docente propõe um conjunto de exercícios a resolver e, no começo de cada secção
da matéria, o docente mostrará como se deve resolver um exercício tipo.
Por último, deve salientar-se, que só tem sentido tentar a resolução de problemas e
exercícios após o estudo, cuidadoso, da matéria exposta nas aulas teóricas, tudo o
resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer
fundamentação.
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Horário de esclarecimento de dúvidas:
Dia da semana
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
Sexta-feira
Horário de atendimento
10:30-13:00
Para além do horário de dúvidas, os alunos podem, e devem, tirar quaisquer
dúvidas da matéria. Aconselha-se deste modo o aluno a fazê-lo, para evitar um
“acumular” de dúvidas e incertezas, que dada a natureza da disciplina, será sempre
de evitar.
3. Regime lectivo
A disciplina tem a duração de um semestre lectivo, com uma carga horária semanal de
duas horas teóricas e três horas teórico-práticas, repartidas, respectivamente, por duas
aulas teóricas de uma hora e, duas aulas teórico-práticas de hora e meia,
correspondendo a um total de 4 créditos (nacionais) equivalendo a 7 créditos ECTS1.
A frequência às aulas teóricas e teórico-práticas não é obrigatória, no entanto,
aconselha-se a fazer uma leitura, cuidadosa, da matéria leccionada, bem como, a
resolução do caderno de exercícios proposto para a disciplina.
4. Regime de avaliação e cronograma de actividades lectivas
A disciplina terá um único momento de avaliação, antes do exame final. A nota de
frequência resultará do valor obtido nesse momento de avaliação.
O referido momento de avaliação será realizado na 2.ª semana de Dezembro, em data
e hora a combinar com os alunos e, terá a duração máxima de três horas. Em relação à
matéria leccionada e que irá constar no respectivo momento de avaliação,
exceptuando os exames finais, esta, terminará, uma semana antes da data de realização
do referido momento de avaliação.
Para a dispensa de exame final, a nota de frequência terá que ser superior ou igual a
9.5 valores. Quando a nota de frequência for superior a 15 valores, os alunos poderão,
se assim o desejarem, apresentar-se a uma prova oral. Caso não o façam, a sua
classificação na disciplina será 15 valores.
1
European Credit Transfer System
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5. Conteúdo programático e respectiva duração
Capítulo 1. Noções sobre conjuntos, operações e divisibilidade.
2-3
Capítulo 2. Estruturas algébricas básicas.
9
Capítulo 3. Estruturas livres e apresentações.
2-3
Total: 13-15
semanas
semanas
semanas
semanas
6. Conteúdo programático detalhado
Capítulo 1. Noções sobre conjuntos, operações e divisibilidade.
Noção intuitiva de conjunto e de cardinal de um conjunto. Operações fundamentais sobre
conjuntos (união, intersecção, subtracção, o conjunto das partes de um conjunto e produto
cartesiano). Definição de aplicação e de restrição de uma aplicação a um conjunto.
Operações unárias, binárias e n-árias. Imagem directa e inversa de uma aplicação.
Aplicações injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Operações fundamentais sobre aplicações
(composição, soma e produto de aplicações). Relações de equivalência. Definição de
divisão nos inteiros, elemento associado e número primo. O máximo divisor comum e o
mínimo múltiplo comum.
Capítulo 2. Estruturas algébricas básicas.
Definição das principais estruturas algébricas, nomeadamente grupóide, semigrupo,
monóide e grupo. Definição das principais subestruturas, nomeadamente, subgrupóide,
subsemigrupo, submonóide e subgrupo. O subgrupo das unidades de um grupo. Soma e
produto de partes de um monóide e de grupo. Soma, produto cartesiano, intersecção e união
de monóides e de grupos. Grupo dos inteiros módulo n. Grupos de permutação, grupo
simétrico e grupo alternante. Teorema de Cayley.
Definição de morfismo entre as principais estruturas. Noções de morfismo injectivo,
sobrejectivo, bijectivo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e
automorfismo. Imagem directa e inversa de subestruturas, em particular, núcleo e imagem
de um morfismo. Operações fundamentais sobre morfismos, nomeadamente, composição,
soma e produto de morfismos. Os grupos HG e Aut(G).
Relações de congruência e coconjuntos. Teorema de Lagrange. Índice de um subgrupo no
grupo. Monóide e grupo gerado por um conjunto, em particular, monóides e grupos cíclicos.
Noção de ordem de um elemento de um grupo. Grupos normais e quociente. Teoremas do
isomorfismo.
Monóides e grupos actuando sobre conjuntos. Órbita de um elemento e subgrupo de
isotropia. Definição de grupo-p e resultados principais sobre grupos de Sylow.
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Capítulo 3. Estruturas livres e apresentações.
Produtos (Somas) directas internas. Decomposição de grupos cíclicos. Cadeias de
subgrupos. Monóides e grupos livres. Grupos apresentados.
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7. Bibliografia
Livros de texto:
[1] Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, 1990.
[2] A. Monteiro e I. Matos, Álgebra - Um primeiro curso, Liv. Escolar Editora, 1995.
[3] N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman, 1985.
[4] J. Durbin, Modern Algebra - An Introduction, John Wiley, 1992.
[5] M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, 1996.
[6] W. Adkins and S. Weintraub, Algebra - An Approach via Module Theory,
Springer-Verlag, 1992.
[7] W T. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, 1974.
[8] P. Cameron, Introduction to Algebra, Oxford University Press, 1998.
Livros de exercícios:
[9] Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and
Geometry, Gordon and Breach Publishers, 1996.
[10] F. Ayres, Álgebra Moderna (Colecção Schaum), McGraw-Hill, 1965.
Textos de apoio:
[11] Caderno de exercícios práticos.
As referências de [1] a [10] encontram-se na biblioteca da Universidade, e os textos de
apoio [11] são entregues aos alunos no início e ao longo do decorrer do programa da
disciplina. O programa da disciplina na parte respeitante a monóides e grupos, segue
relativamente de perto o conteúdo do livro [3], com algumas alterações, tendo em vista
uma melhor clarificação e compreensão dos assuntos envolvidos.
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