Capítulo 6 – Utilizando a entropia
6.1 – A desigualdade de Clausius
 Q 
  T b  0
 Q 
  T b  CICLO
CICLO  Entropia produzida
CICLO  0
Irreversibilidades internas são nulas
CICLO  0
Irreversibilidades internas presentes
CICLO  0
Impossível
6.2 – Variação de entropia
 2 Q 
S2  S1   

 1 T INT REV
 Q 
dS  

 T INT REV
6.3 – Valores de entropia
6.3.1 – Considerações gerais
 y Q 
Sy  Sx   

 x T INT REV
Sx = Valor de referência para a entropia
s = entropia específica [J/kg.K]
Valores de saturação:
s  (1 x).sl  x.sg )
s  sl  x.(sg  sl )
Gráficos de entropia (T x s) :
T [K]
s1
Processo isoentrópico
s2
s [J/kg.K]
Gráficos de entropia (h x s) :
h [J/kg]
s1
Processo isoentrópico
s2
s [J/kg.K]
Equações T.dS :
QINT REV
 dU  (W )INT REV
(W )INT REV  p.dV
V = volume
 Q 
dS  
 QINT REV  T.dS

 T INT REV
T.dS  dU  p.dV
[J]
Equações T.dS :
H  U  p.V
Entalpia:
diferenciando:
dH  dU  d(p.V )
dH  dU  p.dV  V.dp
dH  V.dp  dU  p.dV
T.dS  dU  p.dV
T.dS  dH  V.dp
[J]
T.ds  du  p.dv
T.ds  dh  v.dp
[J/kg]
T.ds  d u  p.dv
T.ds  d h  v.dp
[J/kmol]
Exemplo de aplicação: Mudança de fase
líquido saturado para vapor saturado > pressão constante
T.ds  dh  v.dp
T [K]
s1
dp  0
dh
ds 
T
s2
s [J/kg.K]
sg  sl 
hg  hl
T
[J/kg]
6.3.2 – Variação de entropia de um gás ideal
T.ds  du  p.dv
T.ds  dh  v.dp
du p
ds 
 .dv
T T
dh v
ds 
 .dp
T T
[J/kg]
Gás ideal:
du  c v (T).dT dh  cp (T).dT pv  RT
dT
dp
dT
dv
ds  c p (T).
 R.
ds  c v (T ).
 R.
T
p
T
v
dT
dp
dT
dv
ds  c p (T).
 R.
ds  c v (T ).
 R.
T
p
T
v
cp (T)  c v (T)  R
 v2 
dT
s(T2 , v 2 )  s(T1, v1 )   c v (T ).
 R.ln 
1
T
 v1 
2
 p2 
dT
s(T2 ,p2 )  s(T1,p1 )   c p (T ).
 R.ln 
1
T
 p1 
2
s ( T)  
o
T
0
c p ( T)
T
Estado e valor de referência:
.dT
s o ( T) 
T2
c p ( T)
T1
T

Entropia específica é zero
em um estado onde a T = 0
K e pressão é 1 atm
Entropia específica a uma
temperatura T e pressão de 1 atm
.dT  
T2
c p ( T)
T
0
.dT  
T1
0
c p ( T)
T
.dT
 p2 
dT
s( T2 , p2 )  s( T1 , p1 )   c p ( T).
 R. ln 
T1
T
 p1 
T2
 p2 
s( T2 , p2 )  s( T1 , p1 )  s ( T2 )  s ( T1 )  R. ln 
 p1 
o
o
6.4 – Variação de entropia em processos
internamente reversíveis
 Q 
dS  

 T INT REV
QINT REV
 T.dS
2
QINT REV   T.dS
1
T
2
1
s
Ciclo de Carnot
T
T
2
3
2
3
1
4
1
4
s
Ciclo de potência
(sentido horário)

Wciclo
Área  1  2  3  4  1

Qentra Área  2  3  a  b  2
s
Ciclo de refrigeração
(sentido anti-horário)
6.5 – Balanço de entropia para
sistemas fechados
6.5.1 – Desenvolvendo o balanço
 2 Q   1 Q 
 
 1
   2

 T b  T INT REV
2
R
I
1
 1 Q 
S1  S2   

2 T

INT REV
 2 Q 
 1
  (S1  S2 )  
 T b
 2 Q 
S2  S1   


 1 T b
Variação de entropia = transferência de entropia + geração de entropia
6.5.2 – Formas do balanço de entropia - sist. fechados
S2  S1  
j
Qj
Tj


Q
dS
j

 
dt
j Tj
[J/K]
[W/K]
6.5.3 – Avaliando geração e transferência de entropia
6.5.4 – Exemplos
6.5.5 – Princípio do Aumento de Entropia
6.6 – Balanço de entropia para volumes de controle

Q
dS VC
j
 es e   m
 s s s   VC

 m
dt
j Tj
e
s
[W/K]
taxa de geração de
entropia no V.C.
taxa de transferência de
entropia para o V.C.
taxa de variação de entropia no V.C.

Q
j
dS

 
dt
j Tj
[W/K]
6.6.1 – Análise de V.C. em regime permanente
Várias entradas - Várias saídas
 m   m
e
s
kg / s
 W
 
0Q
 m e (he  Ve2 2  gze )   m s (hs  Vs2 2  gzs )
VC
0
j

Q
j
Tj
 es e   m
 s s s   VC
 m
e
6.6.2 – Exemplos
s
W
[W/K]
6.7 – Processos isoentrópicos
6.7.1 - Considerações gerais
T [K]
s1
h [J/kg]
s2
s3
s [J/kg.K]
Processo isoentrópico
s [J/kg.K]
6.7.2 - Modelo de gás ideal
 p2 
s( T2 , p2 )  s( T1 , p1 )  s ( T2 )  s ( T1 )  R. ln 
 p1 
o
 p2 
0  s ( T2 )  s ( T1 )  R. ln 
 p1 
o
o
 s o ( T2 )  s o ( T1 ) 
p2
 exp

p1
R


p2 exp[s o ( T2 ) / R ] pr 2


o
p1 exp[s ( T1 ) / R ] pr1
o
 p2 
s ( T2 )  s ( T1 )  R. ln 
 p1 
o
o
 s o ( T2 )  s o ( T1 ) 
p2  p1. exp

R


pr = "pressão relativa"
Tab A-22 e A-23 = propriedades do ar como gás ideal
Uma relação entre os volumes específicos e as temperaturas do ar em
dois estados que possuam a mesma entropia específica pode ser desenvolvida:
pv  RT
p2 pr 2

p1 pr1
v  RT / p
v 2 RT2 pr1

.
v1
pr 2 RT1
v 2 v r1

v1 v r 2
(s1  s 2 )
v 2 RT2 p1

.
v1
p2 RT1

RT2 pr1
.
RT1 pr 2
Admitindo calores específicos constantes
 v2 
dT
s(T2 , v 2 )  s(T1, v1 )   c v (T ).
 R.ln 
1
T
 v1 
2
 p2 
dT
s(T2 ,p2 )  s(T1,p1 )   c p (T ).
 R.ln 
1
T
 p1 
2
Processo isoentrópico:
 T2 
 v2 
0  c v . ln   R. ln 
 T1 
 v1 
kR
c p ( T) 
k 1
T2  v1 
  
T1  v 2 
k 1
T2  p2 
  
T1  p1 
 T2 
 p2 
0  c p . ln   R. ln 
 T1 
 p1 
R
c v ( T) 
k 1
(k 1) k
p2  v1 
  
p1  v 2 
k
k
cp
cv
p
T
n=k
n=± v=cte
n=0 p=cte
n=0
n=1
n=1 T=cte
n=±
n=k s=cte
v
s
Processo politrópico: pvn = cte
p2  v1 
  
p1  v 2 
k
k
1 1
k
2
p v  p2 v  cte
k
cp
cv
6.8 – Eficiência isoentrópica
p1
1
h [J/kg]
T1
p2
(h1-h2s)
(h1-h2)
2
2s
Processo real
Eficiência isoentrópica
de turbinas

W
VC
 h1  h2

m
s [J/kg.K]
Processo isoentrópico
 
W
 VC   h1  h2 s
 m

  s

W
h1  h2
VC
t  

WVC s h1  h2 s
 
t  80 a 90%
h [J/kg]
(h1-h2s)
p1
1
0  (h1  h2s )  (V12  V22s ) 2
T1
p2
V12  0
(h1-h2)
2
2s Processo
real
V2 s  2(h1  h2 s )
0  (h1  h2 )  (V12  V22 ) 2
V2  2(h1  h2 )
s [J/kg.K]
V1
V2s
V2
Eficiência isoentrópica
de bocais
V2
h1  h2
b 
 2
V2 s
h1  h2 s
t  90 a 95%
h [J/kg]
2s
2
Processo real
(h2s-h1)
(h2-h1)
p2
p1
1
Eficiência isoentrópica
de compressores
(bombas)
Processo isoentrópico
s [J/kg.K]




 
W
VC 
 h2 s  h1


m s
c




 

W

VC s

W
VC
 
W
VC 
 h2  h1


m 

h2 s  h1
h2  h1
t  75 a 85%
6.9 – Calor e trabalho
em processos reversíveis (regime permanente)
Calor transferido
0
j

Q
j
Tj
0
 es e   m
 s s s   VC
 m
e
[W/K]
s
isotérmico e reversível (uma entrada e uma saída)

Q
 (s1  s 2 )
0  VC  m
T
 
Q
 VC 

 m

  int rev

2
1
T.dS
[W/K]
T
2
1
s
Trabalho (transferido)
2
2
 W
 m

Q
[(
h

h
)

(
V

V
VC
s
e
s
e ) 2  g(zs  ze )]
[W]


Q
W
VC
 VC  (hs  he )  (Vs2  Ve2 ) 2  g(zs  ze )


m
m


W
Q
VC
 VC  (h1  h2 )  (V12  V22 ) 2  g(z1  z2 )


m
m
Reversível:
 
W
 VC 

 m



int rev

2
1
T.ds  (h1  h2 )  ( V12  V22 ) 2  g(z1  z2 )
 
W
 VC 

 m



int rev

2
1
T.ds  (h1  h2 )  ( V12  V22 ) 2  g(z1  z2 )

T.ds  dh  vdp
2
1
2
T.ds  (h2  h1 )   vdp
1
 
2
W
2
2
 VC 


vdp

(
V

V
) 2  g(z1  z2 )
1
2

 m

1


int rev
V12  V22
z1  z2
p
 
2
W
 VC 


vdp

 m

1
  int rev
2
1
v
Escoamento incompressível (por exemplo: Bombas hidraúlicas)
 
2
W
 VC 
   vdp
 m

1


int rev
 
W
 VC 
  v(p2  p1 )
 m



int rev
 
2
W
2
2
 VC 


vdp

(
V

V
) 2  g(z1  z2 )
1
2

 m

1


int rev

2
1
vdp  (V22  V12 ) 2  g(z2  z1 )  0
Equação de Bernoulli - Escoamento compressível
Trabalho em processos politrópicos
pvn = cte
 
2
2 dp
W
1/n
VC


   vdp  (cte)  1 / n
 m

1
1 p


int rev
 
W
n
 VC 


(p 2 v 2  p1 v1 )
 m


n 1

int rev
 
W
 VC 
 p1 v1 . ln(p2 / p1 )
 m



int rev
(n  1)
(n  1)
Caso do gás ideal :
 
W
nR
 VC 


( T2  T1 )
 m


n 1

int rev
(n  1)
(n1) n



 WVC 
nRT1  p2 


 

 1 (n  1)
 m

n  1  p1 

  int rev

 
W
 VC 
 RT1 . ln(p2 / p1 ) (n  1)
 m



int rev
T2  p2 
  
T1  p1 
(n1) n
Sexta lista de exercícios
6.28 - 6.51 - 6.69 - 6.91 - 6.100 - 6.114 - 6.153