Centro de Educação
Campus Universitário
Cidade Universitária
Recife-PE/BR CEP: 50.670-901
Fone/Fax: (81) 2126-8952
E. Mail: [email protected]
www.ufpe.br/ppgedumatec
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
E TECNOLÓGICA
CURSO DE MESTRADO
RITA DE CÁSSIA GOMES DE LIMA
O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO DE ALUNOS DA
EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS:
DO INÍCIO DA ESCOLARIZAÇÃO ATÉ O ENSINO MÉDIO
RECIFE
2010
RITA DE CÁSSIA GOMES DE LIMA
RITA DE CÁSSIA GOMES DE LIMA
O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO DE ALUNOS
DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS:
DO INÍCIO DA ESCOLARIZAÇÃO ATÉ O ENSINO MÉDIO
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Educação Matemática
e Tecnológica do Centro de Educação da
Universidade Federal de Pernambuco
como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Educação Matemática
e Tecnológica.
Orientadora: Profª Drª Rute Elizabete de
Souza Rosa Borba
Recife
2010
Lima, Rita de Cássia Gomes de
O raciocínio combinatório de alunos da educação de
jovens e adultos: do início da escolarização até o ensino
médio / Rita de Cássia Gomes de Lima: O Autor, 2010.
151 f. : il. ; quad. ; tab. ; 30 cm.
Orientadora: Profª. Dra. Rute E. de S. R. Borba
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de
Pernambuco, CE. Mestrado em Educação Matemática
e Tecnológica, 2010.
Inclui bibliografia e anexos.
1. Matemática - estudo e ensino 2. Educação de
jovens e adultos I. Título.
37
372.7
CDU (2.ed.)
CDD (22.ed.)
UFPE
CE2010046
“As teorias do desenvolvimento referem-se,
historicamente, de modo predominante à criança
e ao adolescente, não tendo estabelecido, na
verdade, uma boa psicologia do adulto. Os
processos de construção do conhecimento e de
aprendizagem dos adultos são, assim, muito
menos explorados na literatura psicológica do
que aqueles referentes às crianças e
adolescentes” (OLIVEIRA. 1999).
“O campo da Educação Matemática é também
um campo possível de contestação, onde a
subversão pode estar a serviço de uma
Educação que se contraponha aos processos de
exclusão” (KNIJNIK, 1998).
AGRADECIMENTOS
Na vida, o que vale mesmo é o amor que sentimos, nem tanto o amor que
recebemos, pois do que vale um coração sem a experiência da doação do amor?
Creio que nada. E é em nome do amor que escrevo essas poucas linhas em
agradecimento aos que tanto me iluminaram nesta caminhada.
Agradeço ao meu amor maior, Deus. Sem o Senhor, não sou nada e
tampouco teria encontrado pessoas tão maravilhosas, encantadoras, dedicadas,
amorosas, pacientes, enfim, verdadeiros seres divinos em forma de família e
amigos. Sem as Tuas mãos, sempre a me guiar, teria me perdido ao longo da
jornada e quando, mesmo cansada me entregava à dor, foi sempre em Teu amor
paciente, solidário e revigorante que me sentia acolhida e pronta para retornar à
caminhada.
Agradeço à minha orientadora Rute Borba por toda a dedicação, carinho e
paciência. Por todos os ensinamentos não só pedagógicos, mas de vida. A essa
mãe acadêmica que soube cuidar dessa sua filha tão bem como só as mães sabem
fazer.
Aos meus pais, Dulce (in memoriam) e Arnaldo, agradeço pelos anos de luta
por minha educação, pelo exemplo de vida, apoio e, principalmente, amor
incondicional. Ao meu irmão, Ricardo, agradeço pela paciência, apoio e amor que
cultivamos em toda a nossa vida. Sem vocês três, meu mundo seria vazio. E mesmo
com a saudade da mãe/companheira honrosa, amorosa, dedicada e guerreira,
enfrentamos juntos desafios, vencemos e continuamos a lutar em nome de um
tesouro chamado família. Amo vocês!
Aos meus primos Rudrigo Lima, Isa Brito, Marcus Lima, Janaína Lima, Márcia
Calado e Júnior Calado, agradeço pelo apoio nas horas difíceis e alegrias
proporcionadas. Pessoas que além do laço sanguíneo, construíram laços de eterna
amizade.
Aos meus tios amados, pessoas que me acolhem com ternura.
Agradeço às minhas mães do coração, Ester e Tia Francisca, que sempre
acreditaram em mim e são os pilares de minha vida neste momento, os ombros que
me confortam, as mãos que me consolam, os olhares que me guiam e as vozes que
me animam.
Aos anjos que Deus colocou em minha vida ao longo dos anos em forma de
amigos:
Danielle Rodrigues, amiga/irmã que sempre me apoiou e confiou em mim,
que foi uma das responsáveis por hoje eu ter chegado aqui, amiga que sempre me
incentivou e me acolheu. Você é e sempre será fonte de sabedoria na qual sempre
quero me refrescar;
Patrícia Correia, amiga que foi responsável por eu ter conhecido Rute e
pessoa que também sempre me apoiou. Paty, obrigada por todo desprendimento e
carinho;
Maurício Lima, amigo que, além do incentivo, trouxe novas perspectivas à
minha vida. Jamais esquecerei da oportunidade de lecionar em sua escola, da mãe
que compartilhou comigo quando mais precisei (Dona Irene) e de tudo que aprendi
com você;
Maria Auxiliadora Rattes, amiga/irmã/mãe/conselheira que adentrou em minha
vida para trazer luz. Pessoa adorável, iluminada, dedicada, honrosa, zelosa, gentil,
alegre... Dôra, obrigada pelo apoio e pelo grande incentivo. Você me ensinou e me
ensina a sempre buscar ser uma pessoa melhor;
Andréa Duda e Daniela Salgues, amigas/irmãs de décadas que acompanham
toda minha história, inclusive acadêmica, e são fontes de inspiração, alegria e apoio;
Maria Letícia, amiga que apoiou-me e incentivou-me a entrar no mestrado;
Izauriana Borges (Dainha), amiga que foi professora e psicóloga quando
precisei;
Michela Macêdo e Marcela Farias, amigas que encontrei a pouco, mas que
desde sempre amei;
Tia Lourdes, pelo apoio de sempre e por ser essa tia tão maravilhosa!
Às amigas/professoras do grupo GERAÇÃO (Grupo de Estudos em
Raciocínio Combinatório do Centro de Educação da UFPE), Cristiane Pessoa,
Glauce Vilela, Cristiane Rocha, Martha Ferraz, Michaelle Moraes, Juliana Azevedo e
Rute Borba, por todo o incentivo, ensinamentos e apoio. Construímos juntas um
grupo, além de vencedor, purpurinado.
Agradeço a Gilda Guimarães por todo o empenho em ajudar-me e pela
professora dedicada, guerreira e forte que sempre lutou por seus ideais.
Agradeço a Ana Selva e Anna Paula Lima pelas valiosas sugestões efetuadas
quando da qualificação do projeto e as estas e a Maria da Conceição, agradeço
pelas contribuições no momento da defesa.
Aos meus companheiros de jornada no EDUMATC, a turma Número 1 desta
Pós-Graduação, pessoas comprometidas com a educação.
À direção, coordenação e professores do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática e Tecnológica da Universidade de Pernambuco.
À CAPES, órgão financiador deste trabalho.
Agradeço ao amor de todos que, de uma forma ou de outra, influenciou
significativamente para meu desenvolvimento como profissional e como pessoa.
Amo todos vocês!
RESUMO
Neste estudo analisamos a compreensão de alunos da Educação de Jovens e
Adultos em processo de escolarização sobre problemas de estrutura multiplicativa,
mais especificamente os que envolvem o raciocínio combinatório. Participaram da
pesquisa 150 alunos de cinco instituições (uma municipal, duas estaduais, uma
federal e uma mantida pelo Serviço Social do comércio (SESC). Os alunos
resolveram dezesseis questões envolvendo problemas de estrutura multiplicativa,
incluindo os de raciocínio combinatório de naturezas distintas (arranjo, combinação,
permutação e produto cartesiano). Na análise dos resultados verificamos o
desempenho em relação às variáveis série e tipo de problema (variáveis
controladas) e da faixa etária, atividades profissionais e estratégias apresentadas
pelos alunos (variáveis não controladas experimentalmente). Das variáveis
trabalhadas, a única que não exerceu influência no desempenho dos educandos foi
a faixa etária, sendo as demais fatores interferentes. Observamos também que
alunos desta modalidade de ensino resistem a usar representações não-formais
para a resolução dos problemas combinatórios e os que o fazem utilizam-se mais da
listagem de possibilidades. Percebemos que o trabalho do educador no auxílio aos
alunos no processo de construção desses conceitos é fundamental para o
desenvolvimento dos conhecimentos de Combinatória, sendo essencial que o
professor reconheça como válidos os conceitos já adquiridos pelos alunos, antes
mesmo da formalização dos mesmos, para que assim se possa ampliar e aprofundar
o raciocínio combinatório dos estudantes.
Palavras-chave: Educação de Jovens e Adultos; Estruturas Multiplicativas;
Raciocínio Combinatório.
ABSTRACT
In the present study, adults’, in initial process of schooling, understanding of
problems of multiplicative structures – in particular those of combinatorial reasoning –
was analysed. One hundred and fifty adult students of five institutions (a municipal
one, two state ones, one federal and a philanthropic institution) took part in the
research. The students solved 16 multiplicative structure problems, including some
that involved combinatorial reasoning of distinct natures (arrangements,
combinations, permutations and Cartesian products). In data analysis, students’
performance was observed in relation to the variables school year and problem type
(controlled variables) and age, professional activity and strategies presented by
students (variables not experimentally controlled). Of the variables considered, the
only one that did not present evidence of influence on performance was age, all the
others influenced performance. It was also observed that students in initial process of
schooling resist in using non-formal symbolic representations whilst solving
combinatorial problems and those that do so, use mostly the listing of possibilities.
Teaching is, thus, fundamental in the development of Combinatorics knowledge,
being essential the recognition of concepts acquired before formalization, so that
students’ combinatorial reasoning may be increased and enriched.
Keywords:
Reasoning.
Adult
initial
schooling;
Multiplicative
Structures;
Combinatorial
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Atividade de Configurações proposta por Abrahamson e Cendak
(2006) …............................................................................................................ 68
Figura 2. Solução incorreta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) do P
3 (Participante 3), sexo feminino, doméstica, 43 anos de idade, um ano de
estudo, Módulo I da Educação de Jovens e Adultos ….................................... 86
Figura 3. Solução correta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) do P
128 (Participante 128), sexo masculino, estudante, 38 anos de idade, oito a
dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica …................................................... 86
Figura 4. Solução correta do Problema 14 (quotição) do P 42 (Participante
42), sexo masculino, caminhoneiro, 20 anos, nenhum a quatro anos de
estudo, Módulo II da EJA …..............................................................................
87
Figura 5. Solução correta do Problema 14 (quotição) do P8 (Participante 8),
sexo masculino, 20 anos, estudante, nenhum a quatro anos de estudo,
Módulo I da EJA …............................................................................................ 87
Figura 6. Solução incorreta do Problema 7 (arranjo) do P 123 (Participante
123), sexo masculino, eletricista, 21 anos de idade, mais de dez anos de
estudo, PROEJA – Mecânica ........................................................................... 94
Figura 7. Solução correta do Problema 7 (arranjo) do P 129 (Participante
129), sexo masculino, 28 anos de idade, estudante, oito a dez anos de 94
estudo, PROEJA Mecânica …...........................................................................
Figura 8. Solução correta do Problema 7 (arranjo) do P 130 (Participante
130), sexo masculino, 19 anos de idade, estudante, oito a dez anos de
estudo, PROEJA – Mecânica …........................................................................ 95
Figura 9. Solução incorreta do Problema 7 (arranjo) do P 134 (Participante
134), sexo masculino, 50 anos, torneiro mecânico, oito a dez anos de
estudo, PROEJA – Mecânica …........................................................................ 95
Figura 10. Solução incorreta do Problema 4 (permutação) da P3
(Participante 3), sexo feminino, 43 anos de idade, doméstica, nenhum a
quatro anos de estudo, Módulo I da EJA …...................................................... 97
Figura 11. Solução incorreta do Problema 4 (permutação) do P 123
(Participante 123), sexo masculino, eletricista, 21 anos de idade, mais de dez 97
anos de estudo, PROEJA – Mecânica …...........................................................
Figura 12. Solução incorreta do Problema 2 (combinação) do P 122
(participante 122), sexo masculino, motorista, 28 anos de idade, mais de dez
anos de estudo, PROEJA – Mecânica …........................................................... 98
Figura 13. Solução correta do Problema 15 (produto cartesiano direto) do P
105 (Participante 105), sexo masculino, motorista, 32 anos de idade, mais de
dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica ….................................................... 103
Figura 14. Solução correta do Problema 15 (produto cartesiano direto) do P
62 (Participante 62), sexo, feminino, estudante, 14 anos de idade, oito a dez
anos de estudo, Módulo III da EJA …................................................................ 103
Figura 15. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) –
resposta correta (explicitando estratégia). P 57 (Participante 57), sexo
masculino, estudante, 17 anos de idade, cinco a sete anos de estudo, 108
Módulo II da EJA …............................................................................................
Figura 16. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) –
apenas resposta correta. P 31 (Participante 31), sexo masculino, estudante,
27 anos de idade, cinco a sete anos de estudo, Módulo II da EJA …............... 108
Figura 17. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 130 (Participante 130), sexo masculino,
estudante, 19 anos de idade, oito a dez anos de estudo, PROEJA –
Mecânica …....................................................................................................... 111
Figura 18. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 124 (participante 124), sexo masculino, mecânico,
20 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica …........ 112
Figura 19. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) –
resposta correta (explicitando estratégia). P 8 (participante 8), sexo
masculino, estudante, 20 anos de idade, nenhum a quatro anos de estudo,
Módulo I da EJA …............................................................................................. 121
Figura 20. Solução correta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) –
resposta correta (explicitando estratégia). P 110 (participante 110), sexo
feminino, doméstica, 33 anos de idade, cinco a sete anos de estudo, Módulo
IV da EJA …....................................................................................................... 122
Figura 21. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 123 (participante 123), sexo masculino, eletricista,
21 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA …............................ 122
Figura 22. Solução correta do Problema 16 (combinação) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 99 (participante 99), sexo masculino, vendedor,
19 anos de idade, mais de dez anos de estudo, Módulo IV da EJA …...........
123
Figura 23. Solução correta do Problema 13 (arranjo) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 130 (participante 130), sexo masculino, estudante,
19 anos de idade, oito a dez anos de estudo, PROEJA- Mecânica …............... 124
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Significados, características e exemplos de cada tipo
de problema combinatório ….............................................................
59
Quadro 2. Tipos de respostas apresentadas pelos alunos
investigados ao resolverem os problemas de Combinatória
propostos (adaptado de Pessoa, 2009).............................................
106
Quadro 3. Estratégias apresentadas pelos alunos ao resolverem
os problemas multiplicativos e de Combinatória …...........................
113
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Distribuição dos participantes por módulo e instituição …
Tabela 2. Distribuição dos participantes por faixa etária e módulo ..
Tabela 3. Distribuição dos participantes por gênero e módulo ….....
Tabela 4. Distribuição dos alunos por profissão e módulo …...........
Tabela 5. Distribuição dos participantes por sexo, módulo e anos
de estudo ….......................................................................................
Tabela 6. Distribuição de significância entre os módulos (série) …..
74
76
76
77
77
85
Tabela 7. Distribuição dos participantes por módulo e acerto total
de significâncias entre os módulos (séries) …..................................
Tabela 8. Distribuição dos participantes por módulo (série) e faixa
etária ….............................................................................................
Tabela 9. Distribuição dos participantes por módulo (série) e
atividades profissionais ….................................................................
85
88
89
Tabela 10. Percentual de acerto, por problema multiplicativo e
módulo (série) …...............................................................................
90
Tabela 11. Percentuais de dois acertos por problema combinatório
e módulos (série) …...........................................................................
91
Tabela 12. Percentuais de um acerto por problema combinatório e
por módulo (série) ….........................................................................
92
Tabela 13. Distribuição dos problemas por significância …...........
93
Tabela 14. Distribuição dos participantes por anos de estudo e
faixa etária …...................................................................................
Tabela 15. Percentuais de acerto total por anos de estudo ….........
99
100
Tabela16. Distribuição dos participantes por anos de estudo e
módulo …..........................................................................................
Tabela 17. Distribuição dos participantes por faixa etária e
atividades profissionais ….................................................................
101
102
Tabela 18. Percentuais de distribuição dos participantes por faixa
etária e acerto total ….......................................................................
102
Tabela 19. Percentuais de distribuição dos participantes por acerto
total e profissão ….............................................................................
Tabela 20. Percentuais de tipo de resposta por módulo …..............
Tabela 21. Percentuais de tipo de resposta por atividades
profissionais e tipo de problema …...................................................
Tabela 22. Percentuais de tipo de estratégia …...............................
Tabela 23. Percentuais de tipo de estratégia por atividades
profissionais e tipo de problema …...................................................
104
107
110
114
119
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO …............................................................................................. 17
CAPÍTULO 1: EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS …........................
26
1.1 Breve Histórico da Educação de Jovens e Adultos ...............................
1.2 Leis e Diretrizes para a Educação de Jovens e Adultos ….............
1.3 A Educação de Jovens e Adultos e o Ensino de Matemática ….......
27
30
35
CAPÍTULO 2: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E O CAMPO
DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS......................................................
42
2.1 A Teoria dos Campos Conceituais …...................................................... 43
2. 2 O Campo das Estruturas Multiplicativas …............................................
47
53
CAPÍTULO 3: O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO …...................................... 54
3.1 Breve Histórico da Combinatória …........................................................ 55
3.2 Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório …..................................
71
CAPÍTULO 4: MÉTODO …......................................................................
4.1. Objetivos …...................................................................................
4.1.1. Geral ….................................................................................
4.1.2. Específicos …........................................................................
4.2. Participantes ….............................................................................
4.3. Procedimento …............................................................................
72
72
72
73
78
CAPÍTULO 5: APRESENTAÇÃO, ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS
83
RESULTADOS …....................................................................................
5.1. Desempenho em função da série …..............................................
5.2. Desempenho por tipo de problema multiplicativo e combinatório ...
5.3. Desempenho em função dos anos de estudo …............................
5.4. Desempenho em função da faixa etária …....................................
5.5. Desempenho por profissão exercida ….........................................
5.6. Tipos de respostas apresentadas pelos alunos nos módulos e nas
atividades profissionais ….......................................................................
5.7. Tipos de estratégias utilizadas pelos alunos por tipo de problemas
multiplicativos e por profissões …............................................................
84
89
99
102
103
105
112
CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS …..........................................
125
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS …....................................................
133
ANEXOS
17
____________________
INTRODUÇÃO
____________________________
18
O objetivo deste trabalho foi analisar a compreensão de alunos da Educação
de Jovens e Adultos (EJA) em processo de escolarização sobre problemas de
estrutura multiplicativa, mais especificamente os que envolvem o raciocínio
combinatório. Participaram do estudo alunos da Educação de Jovens e Adultos de
cinco módulos desta modalidade de ensino (Módulos I, II, III, IV e PROEJA Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação Básica
na Modalidade de Educação de Jovens e Adultos). Para cada módulo participaram
30 alunos. Os estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental eram da rede
municipal de ensino de Olinda e do Serviço Social do Comércio (SESC). Os alunos
dos anos finais do Ensino Fundamental foram todos de uma única escola da rede
estadual de ensino do Estado de Pernambuco. Os participantes do Ensino Médio
pertenciam a uma instituição federal de ensino, todos eram do segundo período do
curso de Mecânica e já haviam realizado o Ensino Médio anteriormente.
A Educação de Jovens e Adultos nas redes municipais e estaduais de ensino
em Pernambuco organizam os anos iniciais desta modalidade de ensino em
módulos. Cada módulo corresponde a dois anos do ensino regular, ou seja, o
Módulo I corresponde aos segundo e terceiro anos do Ensino Fundamental; o
Módulo II corresponde aos quarto e quinto anos; o Módulo III corresponde aos sexto
e sétimo anos; e o Módulo IV corresponde aos oitavo e nono anos do Ensino
Fundamental.
O PROEJA é organizado em períodos e tem uma duração de seis períodos no
curso de Mecânica. Vale salientar que no momento da coleta havia apenas turmas
em períodos iniciais de seus cursos e a instituição autorizou a realização da
pesquisa em apenas uma turma.
Como um dos focos da presente pesquisa foi a Educação Matemática de
Jovens e Adultos julgamos necessário entender um pouco sobre esta modalidade de
ensino.
A Educação de Jovens e Adultos é um campo que vai além da escolarização
em seu sentido estrito, pois ela abrange diversos processos formativos como
iniciativas, visando a qualificação profissional, o desenvolvimento comunitário, a
formação política e outras questões culturais conduzidas em outros espaços que
não o escolar. Quando os processos de escolarização da Educação de Jovens e
Adultos são focalizados no âmbito escolar, com suas regras, espaços e tempos
delimitados,tem-se, também, um fértil campo de estudo, visando inovações práticas
19
e teóricas.
Esta modalidade de ensino é elemento importante da história de nosso país,
pois a mesma é uma realidade brasileira que passou por várias fases diferentes até
chegar ao estágio atual, passando de uma educação cujos propósitos se restringiam
à cristianização e à sedimentação do colonizador para uma educação que visa a
confiança na capacidade dos jovens e adultos.
Na atualidade, o Brasil ainda adota práticas de alfabetização na decodificação
do sistema alfabético como uma estratégia de política pública mais difundida, o que
dificulta a exploração do potencial formativo dos ambientes urbanos e de trabalho e
dos meios de comunicação e informação. Esse tipo de prática inibe a formação de
políticas intersetoriais que criem uma articulação entre “o ensino básico, as políticas
culturais, de qualificação profissional e geração de trabalho e renda de formação
para a cidadania, de educação ambiental e para a saúde” (Di Pierro, 2008).
Esta prática vai contra as metas discutidas na V Confitea – Conferência
Internacional de Educação de Adultos, realizada em Hamburgo, Alemanha, no ano
de 1997 – que teve como um dos temas principais abordados a garantia ao direito
universal à alfabetização e à educação básica como ferramentas para a
democratização do acesso à cultura aos meios de comunicação e às novas
tecnologias da informação, sendo esta modalidade de ensino valorizada na
contribuição a uma sociedade mais consciente com relação à igualdade entre
homens e mulheres, à formação para o trabalho, à preservação do meio ambiente e
da saúde.
Segundo Di Pierro (2001), nas concepções mais restritas do fenômeno
educativo, a educação de jovens e adultos não se apresenta ligada ao pensamento
político e à reflexão pedagógica, ou seja, nestas concepções restritas não há, para a
esta modalidade de ensino, uma visão crítica de mundo nas quais os educandos
sejam agentes de sua própria história sócio-cultural. Mas, quando a visão do
fenômeno educativo é sistêmica e ampla, a EJA é considerada como parte
integrante da história da educação de nosso país, um importante espaço de luta
para a democratização do acesso ao conhecimento.
Para Oliveira (1999), quando nos referíamos à Educação de Jovens e Adultos
no Brasil, falávamos de um adulto que era um indivíduo proveniente, em sua maior
parte, de áreas rurais que chegava às grandes metrópoles e que procurava
tardiamente a escola para alfabetizar-se ou cursar algumas séries do ensino
20
supletivo. Hoje a identidade da Educação de Jovens e Adultos apresenta-se de
forma diferente. Temos mais alunos em centros urbanos provenientes do próprio
centro e não vindos de meios rurais. Outro fator importante que caracteriza essa
clientela atualmente é a presença significativa de jovens em salas de EJA.
Também sendo um excluído da escola, contudo, geralmente incorporado aos
cursos supletivos em fases mais adiantadas da escolaridade, com chances maiores
de concluir o Ensino Fundamental ou Médio e estando mais ligado ao mundo
urbano, o jovem atualmente compõe boa parte das turmas de alunos dessa
modalidade de ensino. Segundo Ferrari e Amaral (2005), o censo de 2000 já
indicava uma parcela de aproximadamente três milhões de estudantes na EJA dos
quais 79% eram jovens, caracterizando, desta forma, um novo perfil dessa clientela.
Para compreender como jovens e adultos da EJA pensam e aprendem é
necessário, segundo Oliveira (1999), percorrer três campos que contribuem para a
definição do seu lugar social:
1. A condição de não-criança, que reflete diretamente as práticas escolares,
no que diz respeito ao fato que é ainda possível encontrar alunos com idade acima
de
14 anos
freqüentando
turmas
para crianças, em
situações
bastante
constrangedoras, bem como turmas da EJA utilizando livros direcionados a crianças
e, ainda, professores com práticas que infantilizam estes alunos. Tal infantilização
tende a gerar atitudes de resistência, pois os educandos adultos vêem-se negados
em suas características de faixa etária.
2. A condição de excluído da escola está relacionada aos fatores que levam
o aluno da EJA a desistir da escola, sejam estes externos (sociais, econômicos) ou
mesmo os que são gerados dentro da própria escola mediante práticas pedagógicas
que provocam o insucesso do aluno, levando-o a sentir-se culpado por isto.
3. A condição de membros de determinados grupos culturais, que se
refere diretamente à diversidade de vivências e experiências que fazem os alunos
serem portadores de uma cultura específica, de um conhecimento próprio de um
grupo.
Estas condições devem ser reconhecidas quando do levantamento dos
conhecimentos de alunos da EJA e quando da proposição de atividades para esta
modalidade de ensino.
De acordo com Fonseca (2002), a vida adulta proporciona experiências que
21
adolescentes e crianças ainda não vivenciaram e mesmo que atualmente os sujeitos
entrem precocemente na fase adulta cada etapa da vida humana tem suas
peculiaridades e a maneira como cada um as vivencia é sensivelmente diferente.
Em relação à aprendizagem da Matemática, Fonseca (2002), coloca que
existem traços muito próprios da relação dos educandos jovens e adultos com o
conhecimento matemático, pois dela surge uma relação utilitária, ou seja, um
indivíduo que necessita ser sujeito de conhecimento que precisa realizar-se na
atualidade.
Na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1986), o conhecimento não
é compreendido isoladamente, ele deve ser inserido dentro de um campo conceitual
que se relaciona com outros conhecimentos. Assim, um conceito se desenvolve na
relação com outros conceitos, por meio de diferentes tipos de problemas, utilizando
várias situações e simbolismos. Nessa teoria, defende-se que no estudo do
desenvolvimento conceitual deve-se considerar um triplet (como o autor acima
designa) de três conjuntos: (S) o conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
(I) o conjunto de invariantes que constituem as diferentes propriedades do conceito,
e (R) o conjunto de representações simbólicas usadas para representar invariantes e
situações.
Campo Conceitual é, portanto, “um conjunto de situações cujo domínio requer
uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações simbólicas e
estreita conexão” (VERGNAUD, 1986).
Deste modo, a compreensão de conceitos pode começar antes mesmo do
início do ensino formal e ser influenciada tanto por experiências no âmbito escolar
como fora dela.
Em relação ao raciocínio combinatório, o estudo de Pessoa (2009) aponta
dados interessantes com relação aos tipos de respostas e estratégias utilizadas por
alunos dos sete aos dezessete anos. Neste estudo observou-se que os alunos, de
modo geral, são capazes de compreender problemas que envolvem raciocínio
combinatório e, mesmo quando estes não chegam ao final da resolução e não
encontram a resposta correta, desenvolvem estratégias diversas na resolução dos
problemas, demonstrando compreensão dos significados e invariantes implícitos nos
problemas.
O raciocínio combinatório é um modelo matemático utilizado não somente nas
escolas,
mas
também
na
vida
cotidiana,
sendo,
portanto,
importante
o
22
desenvolvimento de estudos nesta temática. Esse tipo de raciocínio é aplicado em
diversas áreas: em problemas de transporte, de elaboração de horários e planos de
produção, programação linear, biologia molecular, lógica, teoria da informação,
economia etc. (Guirado e Cardoso, 2007).
Segundo Morgado, Pitombeira de Carvalho, Carvalho e Fernandez (1991), a
Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações
discretas. São destacados dois tipos de problemas freqüentes em análise
combinatória: (1) demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um
conjunto finito dado e que satisfazem certas condições e (2) contar ou classificar os
subconjuntos de um conjunto finito e que satisfazem certas condições dadas.
A Análise Combinatória, para Merayo (2001), é a técnica de saber quantos
elementos têm em um conjunto sem ter que necessariamente contá-los, porque para
isto não é preciso listar ou enumerar todos os elementos do conjunto. Dentre os
problemas combinatórios, Merayo (2001) anuncia os arranjos, as permutações e as
combinações, situações distintas das trabalhadas nos anos iniciais de ensino – os
produtos cartesianos. No presente estudo abordamos os problemas mais comuns de
análise combinatória: produtos cartesianos, permutações, combinações e arranjos.
Para Nesher (1988, apud Nunes e Bryant, 1997), o tipo de problema
multiplicativo mais difícil para as crianças é o que envolve produtos cartesianos, ou
seja, um tipo de situação que requer raciocínio combinatório. São distinguidos por
esta autora dois motivos para que isto ocorra: (1) o problema envolve dois conjuntos
básicos mais um terceiro conjunto, o qual é identificado pela combinação de cada
elemento em um conjunto básico com cada elemento do outro conjunto; (2) a
correspondência um-a-muitos não é explicitamente indicada na formulação verbal.
De acordo com Brown (1981), este é um problema mais difícil do que outros
problemas de relação um-a-muitos. Este resultado também foi obtido mais
recentemente por Pessoa, Silva e Matos Filho (2005).
Diante do levantamento de estudos que abordam o raciocínio combinatório,
observamos que estes focam um ou alguns dos quatro tipos de problemas que
envolvem esse raciocínio. Merayo (2001) trabalhou com arranjo, combinação e
permutação. Nunes & Bryant (1997), Vergnaud (1990) e os Parâmetros Curriculares
Nacionais (1997) abordam o produto cartesiano. Pessoa e Borba (2009) sugerem
uma classificação única que engloba estes quatro tipos de problemas.
O raciocínio combinatório não aparece com ênfase nos problemas de
23
estrutura multiplicativa que alunos da EJA solucionam em sala de aula, embora este
seja um raciocínio fundamental para que os educandos possam compreender as
estruturas multiplicativas.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) destacam quatro grupos
de situações relacionadas às estruturas multiplicativas no ensino da Matemática que
precisam ser exploradas nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Entre elas estão
as situações “associadas à ideia de Combinatória” (PCN, 1997).
Na área da Educação Matemática observamos, nas últimas décadas, uma
variedade de pesquisas realizadas. Neste conjunto, muitas são as pesquisas sobre o
processo de elaboração das crianças e adolescentes em relação a diversos
conceitos matemáticos. Contudo, estudos que abordem como jovens e adultos
constroem esses conceitos são relativamente pouco numerosos. Menos ainda
encontramos pesquisas que abordem a compreensão de alunos da Educação de
Jovens e Adultos sobre a Combinatória.
Para o desenvolvimento desta dissertação procuramos estudos que abordam
o desenvolvimento de conceitos, em especial os que investigaram desenvolvimentos
conceituais em raciocínio combinatório, e efetuamos um levantamento realizado com
alunos da EJA dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental e Médio
Profissionalizante desta modalidade de ensino. Todos os alunos resolveram as
mesmas questões que apresentavam problemas de estrutura multiplicativa:
multiplicação, divisão, produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação.
Abordar estes problemas de naturezas diferentes em um teste foi necessário para
que pudéssemos comparar com estudos anteriores que afirmam que problemas que
envolvem o raciocínio combinatório são os mais difíceis dentro do campo das
estruturas multiplicativas e também para que pudéssemos identificar quais dentre
estes problemas os alunos apresentam maior dificuldade.
Carraher, Carraher, e Schliemann (1988), em suas pesquisas efetuadas com
profissionais de áreas diversas com relação à experiência social e à formação de
conceitos matemáticos, observaram que é possível a construção de conhecimentos
matemáticos no exercício de algumas profissões e que estes desenvolvem
estratégias de cálculo para resolver situações-problema que envolvem o seu
contexto de trabalho e, além disso, se depararam com o fato de que a experiência
social combinada com a experiência escolar melhoram o desempenho matemático.
Outros dois estudos, focando números decimais, apontam resultados
24
importantes na área da Educação Matemática de jovens e adultos. O estudo de
Silva (2006), realizado com 64 estudantes, metade adultos e a outra metade
crianças, 32 portadores de escolaridade em números decimais e os demais
detentores apenas de experiência extra-escolar, observou que os adultos tiveram um
desempenho superior ao das crianças, inclusive alguns não escolarizados se saíram
melhor do que as crianças que haviam estudado decimais na escola. Gomes (2007)
focou os conhecimentos de alunos jovens e adultos em relação aos números
decimais, buscando referências em suas atividades profissionais (marceneiros e
pedreiros) para resolverem as situações propostas. Os resultados demonstraram
que a experiência de pedreiros e marceneiros foi significativa na formação do
conceito de número decimal, por causa das estratégias de cálculo usadas e pelas
habilidades demonstradas por eles.
Schliemann (1988), que desenvolveu uma pesquisa, referente ao raciocínio
combinatório, com três grupos de sujeitos: cambistas do jogo do bicho, estudantes
recém aprovados no vestibular e trabalhadores que eram do mesmo grupo
socioeconômico que os cambistas. Observou-se que os cambistas comparados com
os outros profissionais demonstraram um melhor desempenho. Dos três grupos o
que teve um melhor desempenho foi o dos estudantes, contudo a diferença não foi
estatisticamente significativa. No estudo concluiu-se que a experiência dos
cambistas auxiliou no desempenho e que a experiência escolar também exerceu
influência no desempenho dos estudantes, ou seja, que não é necessário o apoio
em fórmulas matemáticas para solucionar estes tipos de problemas. O interessante
é combinar a experiência escolar com a diária.
Bryant, Morgado e Nunes (1992) realizaram uma pesquisa que envolveu trinta
e duas crianças entre oito e nove anos, resolvendo problemas de correspondência
um-a-muitos simples e problemas de produtos cartesianos (um tipo de situação
combinatória). As crianças foram divididas em dois grupos. Observou-se que
nenhuma das crianças de oito anos respondeu corretamente os problemas de
produto cartesiano sem o apoio do material completo e os que tinham material
completo tiveram melhor desempenho, embora não tenha sido estatisticamente
significativa a diferença entre os dois grupos. Observou-se também que os alunos
de nove anos não apresentaram um resultado satisfatório.
O presente estudo tem por objetivo analisar a compreensão de indivíduos da
Educação de Jovens e Adultos em todos os níveis desta modalidade de ensino
25
sobre problemas de estruturas multiplicativas, especificamente os que envolvem o
raciocínio combinatório. Dentre os possíveis campos conceituais, tem-se, segundo
Vergnaud (1986), as estruturas aditivas (conceitos de número natural, de adição, de
subtração, de número inteiro relativo, de medida, etc.) e as estruturas multiplicativas
(conceitos relacionados à multiplicação, à divisão, ao número racional, ao raciocínio
combinatório etc.).
Para Pessoa (2009), tanto na escola como fora dela problemas que envolvem
situações nas quais é necessário categorizar elementos e combiná-los estão
presentes no cotidiano. E para resolver situações que se apresentam ao educando
em seu dia-a-dia, o mesmo precisa colocar em ação seus conhecimentos
adquiridos, provocando a formação de novos saberes. Assim, na escola os estudos
de conteúdos, relacionados ou aparentemente sem relação, proporcionam aos
alunos desenvolvimento de certos conceitos e possibilitam fazer a relação com
situações nas quais estes conceitos são vivenciados.
Assim, como se pode observar, problemas que envolvem o raciocínio
combinatório apresentam-se como um desafio para os educandos de diferentes
faixas etárias.
Com este estudo buscamos compreender como alunos jovens e adultos
resolvem problemas que envolvem raciocínio combinatório, com a finalidade de
contribuir para esta área, pois é importante entender como essa clientela pensa
sobre problemas dessa natureza, quais suas dificuldades e facilidades, estratégias
utilizadas e quais conhecimentos prévios eles possuem.
O primeiro capítulo desta dissertação trata da educação de jovens e adultos
no Brasil, abordando as leis e diretrizes da EJA e discutindo também a Educação
Matemática nesta modalidade de ensino. Visando uma melhor compreensão sobre o
desenvolvimento de conceitos, fez-se necessário subdividir o segundo capítulo em
duas partes: A Teoria dos Campos Conceituais e as Estruturas Multiplicativas. No
terceiro capítulo abordamos o Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório. No
capítulo seguinte são apresentados os objetivos da pesquisa e discutimos o método
utilizado para o desenvolvimento do estudo. Em seguida, no Capítulo 5,
apresentamos os resultados obtidos com análise e discussão dos mesmos. No
Capítulo 6 são apresentadas as conclusões tiradas e as implicações educacionais
que surgiram a partir da realização do estudo.
26
____________
CAPÍTULO 1
EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
__________________
27
1.1 Breve Histórico da Educação de Jovens e Adultos
Para a realização deste estudo foi necessário um levantamento de produções
acadêmicas que envolvem a Matemática na Educação de Jovens e Adultos, além de
trabalhos sobre o desempenho de alunos na resolução de problemas que envolvem
o raciocínio combinatório. Nessa busca, encontramos poucos estudos sobre este
último tópico e uma gama considerável de trabalhos sobre a Educação de Jovens e
Adultos. Portanto, muito poucos estudos foram identificados que se dedicaram ao
levantamento
de
estratégias
e
dificuldades
na
resolução
de
problemas
combinatórios de alunos jovens e adultos.
A Educação de Jovens e Adultos na história da educação brasileira passou
por modificações ao longo dos anos. Com o desenvolvimento da economia
capitalista de produção no século XVII, a mão-de-obra um pouco mais qualificada
passou a ser mais exigida. Isto levou a esforços para a institucionalização da escola.
Embora a escolarização tenha passado a ser um item elementar na
sociedade capitalista em pleno desenvolvimento, a burguesia não podia permitir que
as camadas menos favorecidas fossem instruídas a ponto de elevar o nível das
técnicas, pois isto poderia significar um risco à subversão da ordem. A solução a
este impasse foi favorecer aos filhos da elite uma educação humanística de “tipo
clássico”, e às massas caberiam uma educação elementar, limitada a ler, escrever e
contar, pois estes eram conhecimentos indispensáveis no manejo das máquinas.
Na década de 40 se constitui no Brasil a educação de jovens e adultos como
tema de política educacional. Embora já se mencionasse em textos normativos, em
meados da década de 30, essa modalidade de ensino começou a tomar corpo
mesmo na década seguinte com iniciativas concretas e uma preocupação em
oferecer às camadas populares, até então excluídas da escola, os benefícios da
escolarização.
De acordo com Beiseigel (1999), a Campanha Nacional de Educação de
Jovens e Adultos, da década de 40, foi parte importante da história da educação no
Brasil, pois esta foi uma política governamental que exprimia o entendimento da
educação de adultos como elemento essencial na elevação dos níveis educacionais
da população em seu conjunto. Ela tinha por objetivo levar a “educação de base” ou
“educação fundamental” a todos os brasileiros iletrados nas cidades e nas áreas
rurais. Porém, ela perdeu força em meados dos anos 50 devido às críticas em
28
função dos métodos utilizados.
O trabalho de Paulo Freire passou a direcionar experiências diversas de
educação de adultos, organizadas por atores distintos, com graus variados de
ligação com o aparato governamental – os programas do Movimento de Educação
de Base (MEB) e o Movimento de Cultura Popular do Recife foram alguns exemplos
disso.
Em 1963, após a II Conferência Internacional de Educação de Adultos, em
Montreal, essa modalidade de ensino passou a ser vista de duas formas: como
continuação da educação formal, permanente, e como uma educação de base ou
comunitária. Um ano após, no Brasil, o Ministério da Educação organizou o último
dos programas de porte nacional desse ciclo, o Programa Nacional de Alfabetização
de Adultos, cujo planejamento incorporou largamente as orientações de Paulo
Freire. Ações como essa acabaram por desaparecer durante o regime militar devido
à violenta repressão do governo.
A partir de 69 o governo federal organizou o Movimento Brasileiro de
Alfabetização (MOBRAL) que foi concebido como um sistema que visava ao controle
da alfabetização da população, principalmente a rural. Diferente do que aconteceu
na Campanha de 1947, o governo federal investiu significativamente em recursos na
montagem de uma organização de âmbito nacional e autônoma em relação às
secretarias estaduais e ao próprio Ministério da Educação.
Após a III Conferência no ano de 1972, em Tóquio, a Educação de Adultos
volta a ser entendida como suplência da Educação Fundamental, reintroduzindo
jovens e adultos, principalmente analfabetos, no sistema formal de educação.
Em 1985, na cidade de Paris, surge o conceito de Educação de Adultos na IV
Conferência Internacional de Educação de Adultos. Neste mesmo ano, foi extinto o
MOBRAL e a Fundação Educar foi criada em meio ao processo de abertura política.
Diferentemente do MOBRAL, a Fundação Educar passou a fazer parte do Ministério
da Educação, exercendo a supervisão e o acompanhamento junto às instituições e
secretarias que recebiam os recursos transferidos para execução de seus
programas.
Em 1990, o Governo Collor fechou a Fundação Educar, não criando nenhuma
outra que assumisse suas funções. A partir de então, tem-se a ausência do Governo
Federal como articulador nacional e indutor de uma política de educação de
alfabetização de jovens e adultos no Brasil.
29
Embora nas últimas décadas o Brasil tenha conseguido avanços significativos
no campo da educação, em relação à Educação de Jovens e Adultos ainda há muito
o que ser feito, principalmente no que se refere ao diversos tipos de analfabetismo.
São 65 milhões de jovens e adultos com mais de quinze anos de idade sem o ensino
fundamental completo, sendo 33 milhões analfabetos funcionais e 14,6 milhões
analfabetos absolutos (PNAD, 2003 apud Henriques e Ireland, 2008). Quando
analisadas a partir do recorte geográfico, de gênero e de raça/etnia, verifica-se que
as taxas de analfabetismo são diferentes. As maiores taxas de analfabetismo
encontram-se na região Nordeste. Entre os negros (média nacional) a taxa é de
12,9%, duas vezes mais superior que a encontrada entre os brancos. Com relação
ao gênero, o analfabetismo entre as mulheres chega a 52%. Diante desta realidade,
o governo atual expressa a alfabetização como prioridade política. A EJA neste
momento não passa a ser vista como etapa abreviada de alfabetização, mas
diretamente articulada com o aumento da escolarização de jovens e adultos.
A educação de jovens e adultos, hoje, compõe a dimensão da inclusão. “A
articulação com cursos de profissionalização explicita o papel da alfabetização como
portal de entrada da inclusão e da cidadania” (Henriques e Ireland, 2008).
Lançado em 2003, o Brasil Alfabetizado tem por principal objetivo a inclusão
pela efetiva alfabetização de pessoas jovens e adultas com quinze ou mais anos que
não tiveram acesso à leitura e à escrita. Esse programa do governo pretende,
segundo Henriques e Ireland (2008), ser um portal de entrada à cidadania.
“O governo definiu o Brasil Alfabetizado como
uma campanha plural, que acolhe toda sorte
de iniciativas já em andamento e uma
diversidade de metodologias de alfabetização.
Representantes de várias instituições e
segmentos sociais terão assento no Conselho
Nacional de Alfabetização, que orientará os
rumos futuros do Programa” (DI PIERRO &
GRACIANO, 2003).
Este Programa, através do MEC – Ministério da Educação e do Desporto –
contribui financeiramente com órgãos públicos estaduais e municipais, instituições
de ensino superior e organizações sem fins lucrativos que desenvolvem ações de
alfabetização, compreendendo também o incentivo à leitura e a difusão de livros
para recém alfabetizados.
Paiva (1987) sintetiza a história da Educação de Jovens e Adultos no Brasil
30
em três períodos: 1º - de 1946 a 1958, quando foram realizadas campanhas
nacionais de iniciativa oficial para erradicar-se o analfabetismo; 2º - de 1958 a 1964,
sendo em 1958 realizado o 2º Congresso Nacional de Educação de Adultos, tendo a
participação marcante de Paulo Freire. Esse congresso abriu as portas para o
problema da alfabetização que desencadeou o Plano Nacional de Alfabetização de
Adultos, dirigido por Paulo Freire e extinto pelo Golpe de Estado de 1964; 3º - o
MOBRAL, que foi concebido como um sistema que visava ao controle da
alfabetização da população, principalmente a rural. Com a redemocratização (1985),
a “Nova República” extinguiu o MOBRAL, criou a Fundação Educar e outras
iniciativas surgiram.
1.2 Leis e Diretrizes para a Educação de Jovens e Adultos
A Constituição de 1988 ratificou o dever do Estado em proporcionar
escolaridade básica, independentemente da idade, elevando, assim, a Educação de
Jovens e Adultos ao mesmo patamar da educação de crianças de 07 a 14 anos,
garantindo a sua obrigatoriedade e gratuidade.
Atualmente, o sistema educacional brasileiro está organizado em dois níveis:
Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio) e Ensino
Superior. A Educação Básica é flexível para atender aos jovens e adultos e os
portadores de necessidades especiais. A Educação profissional é opcional e
complementar à Educação Básica, podendo ser cursada ao mesmo tempo ou após
a mesma.
Nosso sistema de ensino permite a participação da iniciativa privada, porém é
direito do cidadão e dever do Estado sua oferta pública e gratuita no nível
fundamental, médio e na educação infantil.
Sancionada em 20 de dezembro de 1996, a Lei nº 9394 estabeleceu as
diretrizes e bases da Educação Nacional e reservou a Seção V, Artigos 37 e 38, para
a Educação de Jovens e Adultos, nos quais estão explicitadas as responsabilidades
do poder público para com essa parcela da população, viabilizando e estimulando o
acesso e a permanência do trabalhador na escola, pois os sistemas de ensino
assegurarão gratuitamente aos jovens e adultos, que não puderam efetuar os
estudos na idade regular, oportunidades educacionais apropriadas. (Haddad, 1998).
Na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional nº 9.394/96, constam no
31
Título V, Capítulo II, Seção V, dois artigos relacionados, especificamente, à
Educação de Jovens e Adultos:
Art. 37 - A educação de jovens e adultos será
destinada àqueles que não tiveram acesso ou
continuidade
de
estudos
no
ensino
fundamental e médio na idade própria.
§ 1º Os sistemas de ensino assegurarão
gratuitamente aos jovens e aos adultos, que
não puderam efetuar os estudos na idade
regular,
oportunidades
educacionais
apropriadas, consideradas as características
do alunado, seus interesses, condições de
vida e trabalho, mediante cursos e exames.
§ 2º O Poder Público viabilizará e estimulará
o acesso e a permanência do trabalhador na
escola, mediante ações integradas e
complementares entre si.
Art. 38 - Os sistemas de ensino manterão
cursos
e
exames
supletivos,
que
compreenderão a base nacional comum do
currículo, habilitando ao prosseguimento de
estudos
em
caráter
regular.
§ 1º Os exames a que se refere este artigo
realizar-se-ão:
I. no nível de conclusão do ensino
fundamental, para os maiores de quinze
anos; II. no nível de conclusão do ensino
médio, para os maiores de dezoito anos.
§ 2º Os conhecimentos e habilidades
adquiridos pelos educandos por meios
informais serão aferidos e reconhecidos
mediante exames (Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional, 1996).
Essa lei se distingue da Lei 5692/71 em ao menos um aspecto importante que
se refere à distinção entre a Educação de Jovens e Adultos (Capítulo II. Seção V.
art.37 e 38), destinada àqueles que não tiveram acesso aos estudos no Ensino
Fundamental e Médio e a Educação Profissional (Capítulo III. art. 39 a 42), voltada
para o aprimoramento e qualificação daqueles vinculados à vida produtiva.
Um outro aspecto importante, estabelecido pela Nova Lei, refere-se à redução
da idade mínima de acesso aos exames supletivos:
I Maiores de 15 anos: no nível de conclusão do ensino fundamental,
(anteriormente o limite era de 18 anos);
II Maiores de 18 anos: no nível de conclusão do ensino médio, (anteriormente
o limite era de 21 anos).
Um dos objetivos e prioridades no Plano Nacional de Educação é a
32
“Garantia de ensino fundamental a todos os
que não tiveram acesso na idade própria ou
que não o concluíram. A erradicação do
analfabetismo faz parte dessa prioridade,
considerando-se a alfabetização de jovens e
adultos como ponto de partida e intrínseca
desse nível de ensino. A alfabetização dessa
população é entendida no sentido amplo de
domínio dos instrumentos básicos da cultura
letrada,
das
operações
matemáticas
elementares, da evolução histórica da
sociedade humana, da diversidade do espaço
físico e político mundial e da constituição da
sociedade brasileira. Envolve, ainda, a
formação do cidadão responsável e
consciente de seus direitos”. (Plano Nacional
de Educação - Introdução: objetivos e
prioridades dois, 2000).
Os alunos da Educação de Jovens e Adultos têm seu direito assegurado no
Título VIII, Capítulo III, Seção I – da Educação da Constituição Federal, Artigo 208,
Inciso I, que garante a provisão pública de “ensino fundamental obrigatório e
gratuito, assegurada, inclusive, sua oferta para todos os que a ela não tiveram
acesso na idade própria”.
Para Rocha, Karl, Veiga & Guimarães (2002), a Educação de Jovens e
Adultos deve ser sempre uma educação multicultural, uma educação que
desenvolva o conhecimento e a integração na diversidade cultural, uma educação
para a compreensão mútua, contra a exclusão por motivos de raça, sexo, cultura ou
outras formas de discriminação e, para isso, o educador deve conhecer bem o
próprio meio do educando, pois somente conhecendo a realidade desses jovens e
adultos é que haverá uma educação de qualidade.
Em 1997 foi realizada em Hamburgo, Alemanha, a V Conferência
Internacional de Educação de Adultos – Confitea – na qual 1500 participantes
firmaram acordo diante do direito dos cidadãos de todo o planeta à aprendizagem no
desenvolver da vida.
O objetivo da Educação de Jovens e Adultos de acordo com a Declaração de
Hamburgo aprovada na V Confitea é de desenvolver a autonomia e a
responsabilidade de cada indivíduo e comunidade no enfrentamento das mudanças
socioeconômicas e culturais do mundo atual, em meio a uma cultura de paz e
democrática que promova a coexistência tolerante e a participação coletiva e
consciente dos cidadãos.
33
De acordo com o Art. 3º da Declaração de Hamburgo entende-se por
Educação de Adultos,
“O conjunto de processos de aprendizagem,
formal ou não, graças ao qual as pessoas
consideradas adultas pela sociedade a que
pertencem
desenvolvem
as
suas
capacidades,
enriquecem
os
seus
conhecimentos e melhoram as suas
qualificações técnicas e profissionais, ou as
reorientam de modo a satisfazerem as suas
próprias necessidades e as da sociedade. A
educação de adultos compreende a educação
formal e a educação permanente, a educação
não-formal e toda a gama de oportunidades
de educação informal e ocasional existentes
numa sociedade educativa multicultural em
que são reconhecidas as abordagens teóricas
e baseadas na prática” (Declaração de
Hamburgo, 1997, apud VÓVIO e IRELAND,
2008).
Embora encontros como estes ocorram com a finalidade de promover
melhoramentos e valorização da Educação de Jovens e Adultos, grande parte dos
governos mundiais reduziram financiamento público para aprendizagem dos adultos.
Isso ocorre em grande parte devido à prioridade concedida à educação de crianças
e adolescentes por parte dos governos nacionais e de agências internacionais como
o Banco Internacional para Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD).
No Brasil, embora a Declaração de Hamburgo tenha influenciado o Parecer
do relator das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação de Jovens e
Adultos, é predominante, ainda, a visão compensatória que atribui à Educação de
Jovens e Adultos (EJA) a mera função de reposição de escolaridade não realizada
na infância ou adolescência, distanciando-se, assim, da multiplicidade de processos
formais e informais de aprendizagem e educação continuada ao longo da vida,
necessárias, de acordo com o conceito de formação de adultos adquirido a partir da
V Confitea.
Pensar na EJA, no mundo globalizado, é compreendê-la como um direito de
todos, que se dá ao longo de toda a vida e, que pode ser adquirida nos diversos
setores que compõem a sociedade. A Educação de Adultos na visão da Declaração
de Hamburgo, no seu artigo 3º, é vista como um processo que engloba as
(...) aprendizagens, formal ou informal, onde
pessoas
consideradas
'adultas'
pela
34
sociedade desenvolvem suas habilidades,
enriquecem seu conhecimento e aperfeiçoam
suas qualificações técnicas e profissionais,
direcionando-as para a satisfação de suas
necessidades
(Declaração
e
de
as
da
sua
Hamburgo,
sociedade.
1997,
apud
VÓVIO e IRELAND, 2008).
Daí, compreender que a EJA representa um resgate da dívida social para com
aqueles que não tiveram acesso ao código escrito como um bem social,
indispensável para a conquista de uma cidadania plena.
O Brasil precisa, ainda, implementar mudanças no sistema educativo, que
garantam a todos oportunidades de acesso e permanência numa escola que
trabalhe os conhecimentos científicos e tecnológicos, na perspectiva de fazê-los
operar, rever e reconstruir saberes, para que possam enfrentar o mundo do trabalho
cada vez mais exigente e competitivo.
A vida cotidiana dos jovens e adultos é constituída de situações problemáticas
com as quais se defrontam diariamente, e sua resolução depende de sua
capacidade de organizar seu pensamento, de criar, de programar e controlar ações,
de comparar resultados, de reconhecer erros e refazer ações e, sobretudo, pela
capacidade de tomar decisões.
A Câmara de Educação Básica (CEB) do Conselho Nacional de Educação
(CNE) teve aprovados o Parecer CNE/CEB nº 04, em 29 de janeiro de 1998, e o
Parecer CNE/CEB nº 15, de 1º de junho de 1998, cujas homologações resultaram
nas Resoluções CNE/CEB nº 02 de 15/4 e CEN/CEB nº 3 de 23/6, ambas de 1998.
De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, a Câmara de
Educação Básica respondia à sua atribuição de deliberar sobre as diretrizes
curriculares propostas pelo Ministério da Educação e do Desporto (art. 9º, § 1º,
alínea “c" da Lei nº 4.024/61, com a versão dada pela Lei nº 9.394/96). Assim, as
Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio
se estenderiam e passariam a viger para a Educação de Jovens e Adultos. De
acordo com a lei nº 9.394/96, a EJA passou a ser uma modalidade da Educação
Básica nas etapas do Ensino Fundamental e Médio, com suas especificidades,
recebendo, deste modo, um tratamento voltado a ela.
35
1.3 A Educação de Jovens e Adultos e o Ensino de Matemática
Ao se falar em Educação Matemática de Jovens e Adultos estamos nos
referindo a uma educação básica voltada a sujeitos que não iniciaram ou estão
reiniciando a vida escolar, mas que possuem ricas experiências anteriores –
incluindo muitos conhecimentos matemáticos. Referimos-nos, de um modo mais
amplo, a um público de excluídos sociais que procuram ser re-incluídos (ou
incluídos) numa oportunidade de escolarização que reconheça suas aprendizagens
anteriores.
Para Melo e Passeggi (2006), nas aulas de Matemática é que observamos
acentuadamente a baixa auto-estima dos alunos da Educação de Jovens e Adultos.
De modo geral, esses alunos apresentam dificuldades na resolução de situaçõesproblema propostas pelo professor quando solicitados a utilizar-se do registro
escrito. Contudo, muitos conseguem resolvê-las mediante procedimentos de cálculo
utilizados no cotidiano, realizando operações mentalmente com rapidez.
A Matemática é elemento importante para o exercício da cidadania, o que
exige que as pessoas sejam cada vez mais escolarizadas. Provavelmente este é um
dos motivos pelos quais jovens e adultos procurem (re)inserir-se na escola, na
esperança de melhoria das condições de vida. A aprendizagem da Matemática na
Educação de Jovens e Adultos deve se justificar “com oportunidades de fazer
emergir uma emoção que co-move os sujeitos enquanto resgata (e atualiza)
vivências, sentimentos, cultura e, num processo de confronto e reorganização,
acrescenta mais um elo à história do conhecimento matemático” (FONSECA, 2002).
É por meio das experiências vividas, habilidades, cultura, valores e
capacidade de reflexão que os alunos da EJA levam seus conhecimentos à escola.
Estes aspectos, quando trabalhados na instituição escolar, devem considerar as
formas como os alunos percebem o que está sendo ensinado ou como lêem o
mundo, propiciando a problematização da realidade de forma a levá-los a uma
intervenção na mesma.
Em todos os níveis e modalidades de ensino, em particular na EJA, é
necessário respeitar e considerar os conhecimentos incorporados intuitivamente
pelos alunos do modelo cultural ao qual pertencem.
Carvalho (1995), afirma que muitas vezes a escola não reconhece o
conhecimento matemático do aluno advindo da prática social, o que faz urgente
36
repensar a formação do professor que atua na EJA.
A escola não pode deixar de reconhecer que o educando cria maneiras
próprias de resolução de problemas para viver num mundo letrado e situar-se nele,
estabelecer relações, elaborar hipóteses, enfim, envolve-se em atividades que se
constituem em conhecimentos matemáticos não sistematizados.
Com relação à valorização dos saberes dos educandos, Paulo Freire (1996),
ensina que a escola precisa não apenas respeitar os conhecimentos que os
educandos socialmente constituíram em suas práticas, como também possibilitarlhes uma reflexão sobre esses saberes e a sua relação com o estudo dos conteúdos
escolares. Considerar os conhecimentos anteriores dos alunos é a prática na qual o
educador está dando vez ao aprendiz, reconhecendo que ele não é agente passivo
da história, mas sujeito que a constrói.
Entre muitos alunos da EJA práticas de cálculo oral são frequentes e, sobre o
cálculo mental, Melo e Passeggi (2006) afirmam que este não deve ser substituído
pelo cálculo escrito, mas é essencial reconhecer sua relevância. Faz-se, portanto,
mister a socialização dos procedimentos utilizados pelos alunos na resolução dos
problemas, pois, assim, o educando pode relacionar o trabalhado na escola com o
fazer matemático do seu cotidiano.
Freire (1986) afirma que o aprendizado de cada indivíduo ocorre de forma
diferente, de acordo com a maneira em que ele se encontra inserido no mundo.
Assim, se cada educando aprende de um jeito próprio, distinto dos demais, de
acordo com sua vivência, é necessário também que o educador não só respeite os
saberes com que os educandos chegam até ele, mas também, é necessário “discutir
com os alunos a razão de ser de alguns desses saberes em relação com o ensino
de conteúdos” (FREIRE, 1996).
Ressaltando a importância de se valorizar e estabelecer conexão entre os
conhecimentos anteriores dos educandos jovens e adultos com os científicos no
processo de ensino-aprendizagem, temos que retomar três condições analisadas
por Oliveira (1999):
1) A condição de não-criança – observa-se ainda práticas de infantilização
da Educação de Jovens e Adultos, uma vez que alguns livros didáticos e certas
práticas docentes enfatizam procedimentos e métodos voltados ao público infantil.
Na psicologia observam-se mais estudos sobre o processo de desenvolvimento
cognitivo de crianças e adolescentes, contudo, os processos de aprendizagem dos
37
adultos são poucos explorados, pois se encara essa fase da vida humana como um
período de estabilidade e ausência de mudanças. Porém, é necessário distinguir
adultos de crianças. Os adultos trazem consigo uma história diferente das crianças,
pois vivenciaram mais eventos, estão inseridos no mundo do trabalho e as relações
interpessoais são distintas das vividas pelas crianças. As peculiaridades da vida
adulta permitem que o educando traga consigo diferentes habilidades e dificuldades
e que tenha uma capacidade maior de reflexão sobre o conhecimento e seus
próprios processos de aprendizagem.
2) A condição de excluídos da escola – a situação de exclusão contribui
para desenhar a especificidade de jovens e adultos como sujeitos de aprendizagem.
Como este público não é o “público alvo”, currículos, programas, procedimentos
metodológicos são concebidos para crianças e adolescentes. Essas inadequações
levam, muitas vezes, à evasão escolar. Há, frequentemente, uma distância entre a
escola e alunos jovens e adultos, o que pode conduzir ao afastamento desses
alunos. Porém, devemos levar em consideração que fatores sociais e econômicos
também são relevantes nessa ação exclusiva. Outro fator importante é o afetivo,
pois muitos alunos deixam de frequentar a escola por vergonha, pois acreditam que
serão os únicos adultos em salas de aula com crianças.
3) A condição de membros de determinados grupos culturais – o
problema da Educação de Jovens e Adultos remete-nos a uma questão de
especificidade cultural. É necessário que suas especificidades culturais sejam
examinadas com relação a outros aspectos que os definem como um grupo com
vivências e experiências próprias.
Estudos apontam, segundo Fonseca (2002), que alunos da EJA têm anseio
por dominar conceitos e procedimentos da Matemática, isto é parte importante para
alunos que voltam ou começam a estudar. Contudo, não é apenas buscar adquirir
dentro da escola um instrumental para uso imediato no cotidiano, pois boa parte dos
conhecimentos e habilidades matemáticas eles já possuem e dominam bem, como
observam Carraher, Carraher e Schliemann (1988).
Para Fonseca (2002) seria necessário atribuir sentido ao envolvimento
consciente com práticas e critérios matemáticos. E essa conscientização não estaria
atrelada apenas à capacidade de selecionar e utilizar estratégias matemáticas de
forma eficaz, mas ter uma visão crítica da função social dessas práticas e critérios,
de sua seleção e utilização, de suas expressões e de seus registros. Caso contrário,
38
o ensino de Matemática poderá contribuir para a evasão escolar, dando razões aos
alunos para se distanciarem cada vez mais da escola e permitindo a reprodução de
fórmulas de discriminação etária, cultural ou social, justificando, assim, o insucesso
dos processos de ensino/aprendizagem.
Na Educação de Jovens e Adultos, a escola deve possibilitar acesso
democrático à cultura letrada. Assim sendo, a educação matemática não apenas
dará acesso a um vocabulário específico, mas proporcionará provimento de modos
de tratamento, organização e registro da informação, orientando a compreensão e
viabilizando a comunicação. Isto dará uma resignificação à dinâmica dialógica entre
educador e educando, auxiliando o seu desenvolvimento profissional, cultural,
intelectual e ético.
Durante anos no Brasil, a EJA esteve particularmente voltada à questão da
alfabetização restringindo, assim, seu campo de atuação. Atualmente a concepção
de EJA tende a ampliar seus horizontes, pois pretende oferecer aos jovens e adultos
conteúdos de aprendizagem imprescindíveis à sua inserção social, ajudando no trato
com ferramentas essenciais para que continuem aprendendo.
Segundo Arroyo (2003), é possível construir uma escola para a Educação de
Jovens e Adultos que nasce no âmbito escolar, a partir das vivências cotidianas nas
quais surgem as dificuldades, expectativas, desejos e propostas relacionadas à
aquisição de conhecimento dos envolvidos no processo educacional.
Fonseca (2002) orienta que uma proposta educativa precisa indagar seus
alunos sobre suas expectativas, demandas e desejos, questionando-se a si mesma
sobre a realidade de sua disposição e sobre a disponibilidade de suas condições
para atender os anseios dos alunos ou com eles negociar. Percebemos, entretanto,
que muitas propostas não têm priorizado o aluno em suas elaborações.
Para Arroyo (2005), o direito à Educação de Jovens e Adultos deverá
ultrapassar a oferta de uma segunda oportunidade de escolarização. É necessário
reconhecer esses alunos como sujeitos de direitos humanos. O autor defende que a
história da EJA pode fornecer didáticas, conteúdos, processos, tempos e espaços a
serem levados em conta na sua reconfiguração. Nesta perspectiva é necessário
considerar os conhecimentos anteriores dos educandos jovens e adultos, incluindo
nessa necessidade de (re)conhecimento a base cultural desses indivíduos, pois
segundo Sacristán (2000), a escola deve considerar os conteúdos culturais dos
aprendizes jovens e adultos.
39
Para Silva (2006), uma contribuição importante para o processo de ensinoaprendizagem na EJA é o levantamento dos conhecimentos matemáticos desse
público. Desta forma, os educadores devem adotar uma prática reflexiva, avaliando
suas ações e contribuições para a facilitação do processo de aprendizagem.
De acordo com Fonseca (2002), a idade cronológica do indivíduo proporciona
experiências, as quais crianças e adolescentes ainda não puderam vivenciar.
Mesmo que o desenvolvimento socioeconômico e cultural tenha acelerado a entrada
precoce na vida adulta, cada fase da vida humana tem suas peculiaridades e o
modo como cada um se insere nela é sensivelmente diferente.
Ao contrário da educação de crianças e adolescentes que tem uma referência
no porvir, na educação de adultos a Matemática adquire um caráter de atualidade,
num resgate de um indivíduo que necessita ser sujeito de conhecimento que precisa
realizar-se no presente. E assim, a Matemática pode proporcionar experiências
significativas por não serem apenas vivenciadas, mas também apreciadas pelo
educando.
Estudos sobre a Educação de Jovens e Adultos e o ensino da Matemática
demonstram esforços para contribuir com o desenvolvimento da EJA no país. Um
exemplo é o estudo de Silva (2006), que realizou uma pesquisa com 64 estudantes,
32 adultos e 32 crianças, metade portadores de escolaridade em números decimais
e os demais detentores apenas de experiência extra-escolar. Observou-se que o
desempenho dos adultos foi estatisticamente superior ao das crianças e que mesmo
adultos não escolarizados em decimais desempenharam-se bem melhor que
crianças que já haviam estudado decimais na escola.
Sobre saberes de adultos e crianças sobre números decimais, alguns adultos
não escolarizados, neste estudo de Silva, conseguiram resolver problemas com
números decimais melhor que alguns já escolarizados. Assim, a falta de efeito da
escolarização no desempenho dos participantes revela quanto o ensino deste
conteúdo precisa ser revisto, para que se possa proporcionar aos alunos
aprendizagens significativas.
Os índices de reprovação em Matemática mostram que é necessário que o
educador tome consciência de que esta disciplina acaba excluindo os alunos no
processo educativo, o que nega o direito à cidadania.
Silva & Monteiro (2000, 2001a e 2001b) realizaram estudos com adultos com
pouca escolaridade. Foram levantadas situações nas quais os educandos teriam se
40
sentido “lesados” no exercício da sua cidadania. Constatou-se que os jovens e
adultos detêm saberes experienciais e do quanto eles necessitam aprender para
conseguirem enfrentar as situações diárias. Os alunos que participaram destas
pesquisas destacaram como ponto crucial em suas atividades comerciais ou
profissionais a importância em se dominar o código escrito na representação
matemática.
Fantinato (2004) aborda três eixos de análise com foco na educação
matemática como construto da formação para o exercício da cidadania. O primeiro
se refere à educação matemática enquanto instrumento de conscientização política;
o segundo enquanto instrumento para o mercado de trabalho e o terceiro
considerando os modos próprios de raciocínio matemático do educando enquanto
ferramenta para sobreviver. Fantinato encontra dados semelhantes aos de Silva &
Monteiro, nos quais os alunos de EJA ignoram os centavos no cálculo e arredondam
o valor dos produtos para cima para “não arriscar de não ter dinheiro na hora do
caixa” (FANTINATO, 2004).
Carraher, Carraher e Schliemann (1988), em suas pesquisas efetuadas com
profissionais de áreas diversas com relação à experiência social e à formação de
conceitos matemáticos, descobriram que é possível a construção de conhecimentos
matemáticos no exercício de algumas profissões e que estes desenvolvem
estratégias de cálculo para resolver situações-problema que envolvem o seu
contexto de trabalho e, além disso, se depararam com o fato de que a experiência
social combinada com a experiência escolar melhoram o desempenho matemático.
Schliemann (1988) desenvolveu uma pesquisa com três grupos de sujeitos
(20 cambistas do jogo do bicho, 20 estudantes recém aprovados no vestibular –
metade havia escolhido a área de ciências exatas e tecnologia e a outra metade
cursos da área de humanas e sociais – e 20 trabalhadores que eram do mesmo
grupo socioeconômico que os cambistas, mas exerciam funções que não exigiam o
uso da análise combinatória). Todos responderam a questões que envolviam
problemas combinatórios. Observou-se que os cambistas comparados com os
outros profissionais demonstraram um bom desempenho. No grupo dos estudantes
verificou-se não existir nenhuma relação entre o nível de desempenho nos
problemas de permutação e o reconhecimento de que eram problemas já estudados
pelos alunos na escola em análise combinatória. Concluiu-se que por terem
experiência com o jogo do bicho, os cambistas descobriram estratégias para
41
solucionar as permutações possíveis entre os elementos de um conjunto. Os
estudantes entre os três grupos apresentaram melhor desempenho, seguido pelos
cambistas. Embora estes tenham se saído bem, se evidenciou que a experiência
funcional dos mesmos não é suficiente para promover uma evolução sistemática
deste conhecimento. Também não é suficiente o apoio em fórmulas matemáticas
para solucionar estes tipos de problemas. O interessante é combinar a experiência
escolar com a diária.
No estudo de Gomes (2007) sobre os conhecimentos de alunos jovens e
adultos em relação aos números decimais, os participantes também buscaram
referências em suas atividades profissionais (marceneiros e pedreiros) para
resolverem as situações propostas. Assim, a experiência de pedreiros e marceneiros
foi significativa na formação do conceito de número decimal, devido às estratégias
de cálculo usadas e pelas habilidades demonstradas por eles.
O conjunto de discussões e estudos aqui expostos evidencia que
conhecimentos matemáticos se desenvolvem dentro fora da sala de aula e levantar
os saberes anteriormente desenvolvidos por alunos pode servir de ponto de partida
para construções posteriores – o que pode ser o caso do desenvolvimento do
entendimento multiplicativo e, em particular, do raciocínio combinatório. No próximo
capítulo serão discutidos pressupostos teóricos que justificam o desenvolvimento de
conceitos dentro de campos, inter-relacionando multiplicação e divisão e outros
conceitos correlatos.
42
______________
CAPÍTULO 2
A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS E O
CAMPO DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
______________________
43
2.1 A Teoria dos Campos Conceituais
Gérard Vergnaud amplia e direciona, com sua teoria, o foco dos estudos de
Jean Piaget das operações lógicas gerais, das estruturas gerais de pensamento,
para o estudo do funcionamento cognitivo do “sujeito-em-ação”. De acordo com
Vergnaud (1998), o desenvolvimento cognitivo depende de situações e de
conceitualizações específicas necessárias para lidar com elas. No entanto, segundo
Vergnaud, no momento em que passamos a nos preocupar com aquilo que é
trabalhado em sala de aula, somos obrigados a nos interessar pelo conteúdo do
conhecimento (1996). Assim, o autor anteriormente citado, no que se refere à
Matemática, ao se interessar por conceitos matemáticos específicos, interessou-se
pelas
dificuldades próprias a estes conceitos. Para Vergnaud (1982), o
conhecimento está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte do
sujeito, ocorre durante um longo período de tempo, através de experiência,
maturidade e aprendizagem.
Nessa teoria, o cerne do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização
(Vergnaud, 1996). É ela a peça chave da cognição (Vergnaud, 1998). Assim, devese dar toda atenção aos aspectos conceituais dos esquemas e à análise conceitual
das situações para as quais os estudantes desenvolvem seus esquemas, dentro ou
fora da escola (Vergnaud, 1994).
A Teoria dos Campos Conceituais não é uma teoria de ensino de conceitos
explícitos e formalizados, trata-se de uma teoria psicológica do processo de
conceitualização que permite localizar e estudar continuidades e rupturas entre
conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual (Vergnaud, 1990). Ela
é ampla, pois envolve a complexidade decorrente da necessidade de abranger em
uma
única
perspectiva
teórica
todo
o
desenvolvimento
de
situações
progressivamente dominadas, dos conceitos e teoremas necessários para operar
eficientemente nessas situações, e das palavras e símbolos que podem representar
eficazmente esses conceitos e operações para os estudantes, dependendo de seus
níveis cognitivos.
Além do conceito de campo conceitual, outros conceitos são fundamentais
nesta teoria: os conceitos de esquemas, situação, invariantes operatórios (teoremaem-ação e conceito-em-ação), e a conceitualização propriamente dita.
Campo Conceitual é definido por Vergnaud (1983) de maneira mais ampla,
44
como um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos,
procedimentos e representações diferentes, mas relacionados, ou seja, é um
conjunto de situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de
naturezas distintas. Nessa perspectiva, o campo das estruturas multiplicativas
consiste de todas as situações que envolvem uma multiplicação, uma divisão ou
uma combinação dessas operações (Vergnaud, 1983). Já o campo das estruturas
aditivas é o conjunto de situações cujo domínio requer uma adição, uma subtração
ou uma combinação de tais operações.
Vergnaud (1983) define conceito como uma composição de três conjuntos:
(S) conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
(I) conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais
repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios
associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que podem ser reconhecidos e
usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto;
(R) conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e
diagramas, sentenças formais, etc.) que podem ser usadas para indicar e
representar esses invariantes e, consequentemente, representar as situações e os
procedimentos para lidar com elas.
Com relação às situações, Vergnaud (1990) recorre ao sentido de situação
que é atribuído pelo psicólogo, no qual os processos cognitivos e as respostas do
sujeito são função das situações com as quais ele é confrontado. Vergnaud (1990)
também destaca duas ideias principais em relação ao sentido de situação: variedade
e história, ou seja, em um certo campo conceitual, existe uma variedade de
situações e os conhecimentos dos educandos são moldados pelas situações que
eles encontram (a história delas) e que, em seguida, dominam, particularmente
pelas primeiras situações suscetíveis de dar sentido aos conceitos e procedimentos
que desejamos que aprendam (Vergnaud, 1990).
Embora as situações deem sentido ao conceito, ou seja, são responsáveis
pelos sentidos atribuídos ao conceito, e que um conceito se torne significativo
através da variedade de situações, o sentido não está nas situações em si mesmas
nem nas palavras nem nos símbolos. O sentido é uma relação do sujeito com as
situações e com os significantes.
As classes de situações são distinguidas por Vergnaud de duas formas:
1. Classes de situações as quais o sujeito domina num certo momento de seu
45
desenvolvimento e, sob certas circunstâncias, possui competências necessárias
para poder tratar quase que imediatamente da situação;
2. Classes de situações para as quais o sujeito não possui todas as
competências necessárias para lidar com a situação, desta forma, para enfrentá-la
ele é obrigado a refletir e explorar durante certo tempo, levando-o eventualmente ao
sucesso ou ao fracasso.
Para o autor acima mencionado, o conceito de esquema não funciona do
mesmo modo nas duas classes. Na primeira, observam-se, para uma mesma classe
de situações, condutas amplamente automatizadas, organizadas por um só
esquema, enquanto que na segunda observa-se a sucessiva utilização de vários
esquemas, que podem entrar em competição e que, para atingir a meta desejada,
devem ser acomodados, descombinados e recombinados.
Quando ocorre do indivíduo utilizar um esquema ineficaz para uma
determinada situação, ele muda de esquema ou modifica o mesmo (Vergnaud,
1990). Na ideia piagetiana, os esquemas estão no centro do processo de adaptação
das estruturas cognitivas, i.e, na assimilação e acomodação. Porém, Vergnaud
amplia esse conceito de esquema, afirmando que os esquemas devem relacionar-se
com as características das situações às quais se aplicam.
São os invariantes operatórios que fazem a ligação entre teoria e prática,
pois a percepção, a busca e a seleção de informações baseiam-se no sistema de
conceitos-em-ação disponíveis ao sujeito e nos teoremas-em-ação subjacentes à
sua conduta (Vergnaud, 1996).
Conceitos-em-ação e teorema-em-ação são expressões que designam os
conhecimentos contidos nos esquemas. São designados por Vergnaud (1996) pela
expressão invariantes operatórios. Teorema-em-ação é uma hipótese considerada
verdadeira sobre o real; conceito-em-ação é uma categoria de pensamento
considerada relevante. Essas duas expressões, que designam invariantes
operacionais, referem-se a componentes essenciais dos esquemas e determinam as
diferenças entre eles, pois a forma como se reage diante de situações dependem
dos teoremas possuídos e das conceitualizações desenvolvidas.
De acordo com Vergnaud (1990; 1996), há uma relação dialética entre
teoremas-em-ação e conceitos-em-ação, uma vez que conceitos são ingredientes1
1
Segundo Vergnaud (1998), são ingredientes de um esquema: 1) metas e antecipações; 2) regras de
ação; 3) invariantes operatórios e 4) possibilidades de inferência.
46
de teoremas e teoremas são propriedades que dão aos conceitos seus conteúdos.
Por gerarem ações, os esquemas são fundamentais, mas podem gerar essas
ações porque contêm invariantes operatórios (teoremas e conceitos-em-ação) que
formam o núcleo da representação. Contudo, um conceito-em-ação só é um
conceito científico e um teorema-em-ação só é um teorema verdadeiro se esses se
tornam explícitos. Muito embora os conceitos e os teoremas sejam explícitos,
podendo ser discutido suas veracidades e pertinências, o mesmo não acontece com
os invariantes operatórios, mas conceitos-em-ação e teoremas-em-ação podem,
progressivamente, tornarem-se verdadeiros conceitos e teoremas científicos. O
status do conhecimento é muito diferente quando ele é explicitado ao invés de ficar
totalmente imerso na ação. O conhecimento explícito pode ser comunicado a outros
e discutido, o conhecimento implícito não (Vergnaud, 1998).
Muitas vezes os alunos não conseguem explicar ou expressar de maneira
natural os teoremas e conceitos-em-ação que utilizam em determinadas situações.
Em uma situação, os trabalhos com dados e as sequências de cálculos a serem
realizados dependem dos teoremas-em-ação e da identificação de diferentes tipos
de elementos pertinentes. Na maioria das vezes, os conceitos e teoremas-em-ação
permanecem implícitos, podendo tornarem-se explícitos sendo aí que entra o papel
do ensino, ou seja, para auxiliar o aluno na construção dos conceitos e teoremas
explícitos e cientificamente aceitos, partindo de seus conhecimentos implícitos.
No triplet indicado por Vergnaud (1983), que define um conceito, temos S (o
conjunto de situações que dão sentido ao conceito), que é a realidade, I (invariantes
operatórios) e R (representações simbólicas), que são a representação dessa
realidade, que podem ser considerados como dois aspectos interagentes do
pensamento, o significado (I) e o significante (R).
Vergnaud (1983) usa o termo representação como sendo o de um sistema
simbólico que significaria algo para o sujeito: um sistema de signos e uma sintaxe,
ou operações sobre elementos do sistema. Para este autor, o melhor critério para
aquisição de conceitos seria através da habilidade em resolver situações em
linguagem natural e que a simbolização ajudaria nisso (Vergnaud, 1982, p. 57).
Desta forma, como há problemas mais fáceis que outros, também existem
representações simbólicas mais potentes que outras. Vergnaud fala em teorias de
representação e afirma que, para que estas sejam mais úteis, devem conter a ideia
de que as representações oferecem possibilidades de inferências (Vergnaud, 1998),
47
que nos tornem capazes de antecipar eventos futuros e gerar condutas para chegar
a algum efeito positivo ou evitar algum efeito negativo. Segundo ele, temos
representações computáveis para gestos e ações do mundo físico, e também para
comportamentos verbais e interações sociais. Essas representações podem ser
corretas ou não, precisas ou vagas, implícitas ou explícitas, mas, em todo caso, elas
funcionam como substitutos computáveis da realidade. Então, o conhecimento se
constrói na constituição progressiva de representações mentais que são
homomórficas à realidade para alguns aspectos e para outros não (Vergnaud, 1990).
Conforme se domine progressivamente um campo conceitual, os teoremasem-ação vão se aproximando de teoremas científicos. Semelhantemente, à medida
que se adquire mais conhecimentos científicos, os modelos mentais aproximam-se
dos modelos científicos.
2.2 O Campo das Estruturas Multiplicativas
Campo Conceitual é definido por Vergnaud (1983) como um conjunto de
situações que para se dominá-las é preciso articular vários outros conceitos de
diferentes naturezas. A definição de campo conceitual é bastante clara, porém, as
fronteiras cognitivas entre os campos conceituais não são necessariamente bem
definidas.
Dentre os possíveis campos conceituais, tem-se, segundo Vergnaud (1986),
as estruturas aditivas (conceitos de número natural, de adição, de subtração, de
número inteiro relativo, de medida, etc.) e as estruturas multiplicativas (conceitos
relacionados à multiplicação, à divisão, ao número racional, ao raciocínio
combinatório etc.). Nessa perspectiva, o campo das estruturas multiplicativas
consiste de todas as situações que envolvem necessariamente uma multiplicação,
uma divisão ou uma combinação dessas operações (Vergnaud, 1990) e o campo
das estruturas aditivas é o conjunto de situações cujo domínio requer uma adição,
uma subtração ou uma combinação de tais operações.
Muitos conceitos matemáticos estão envolvidos nas situações que constituem
o campo conceitual das estruturas multiplicativas e no pensamento necessário para
realizar tais situações. Dentre os conceitos citados por Vergnaud (1990) estão o de
função linear, função não-linear, espaço vetorial, análise dimensional, fração, razão,
taxa, número racional, multiplicação e divisão.
48
De acordo com Nunes e Bryant (1997), comumente vemos a multiplicação e
divisão como operações distintas e que devem ser ensinadas após o aluno ter
aprendido a adição e a subtração. Pode-se, entretanto, defender que há uma
estreita relação entre a multiplicação e divisão e estas operações não
necessariamente precisam ser tratadas após um domínio mais amplo da adição e
subtração. Embora possam ser tratadas simultaneamente, há uma forte distinção
entre os campos multiplicativo e aditivo. Apesar da multiplicação poder ser resolvida
via adição de parcelas repetidas, segundo Nunes e Bryant há bases de raciocínio
diferenciadas entre adição/subtração e multiplicação/divisão. Para Nunes e Bryant
(1997), as escolas costumam ensinar adição antes da multiplicação por diversas
razões, sendo uma delas a de que a multiplicação é considerada mais difícil que a
adição. Outro motivo é de que acredita-se que a adição conduz à multiplicação, pois
alguns aspectos da adição formam a base da multiplicação. Embora essas duas
razões sejam em parte verdade, segundo estes autores, seria errado tratar a
multiplicação como uma forma mais complicada de adição e a divisão como forma
mais complicada de subtração, pois há mais na compreensão da multiplicação e
divisão do que simplesmente calcular quantidades. Assim, as crianças devem
“aprender e entender um conjunto inteiramente novo de sentidos de número e um
novo conjunto de invariáveis, todas as quais estão relacionadas à multiplicação e à
divisão, mas não à adição e à subtração” (NUNES & BRYANT, 1997). No campo
aditivo a base é a relação parte-todo e no multiplicativo é a correspondência um-amuitos.
Com relação às diferenças conceituais, Vergnaud (1991) coloca que, mesmo
quando procedimentos de cálculos são iguais, a ampliação da perspectiva conceitual
de uma criança exige a competência para a realização do cálculo relacional que a
torna capaz de escolher a operação adequada ao que o problema propõe e para
realizar o cálculo numérico apropriado. Vale salientar que cálculo relacional envolve
operações de pensamento necessárias para a compreensão das relações
envolvidas na operação e o cálculo numérico envolve as resoluções dos algoritmos
e outros procedimentos de cálculo propriamente ditos.
Nas estruturas multiplicativas, o cálculo relacional foi classificado de formas
distintas por alguns autores, mas, a maioria das categorias se inter-relacionam. A
seguir serão apresentadas as classificações de problemas multiplicativos segundo
Vergnaud (1983, 1991), os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1997) e
49
Nunes e Bryant (1997).
Vergnaud (1983, 1991), descreve três classes de problemas multiplicativos
que envolvem relações ternárias e quaternárias: isomorfismo de medidas, produto
de medidas e proporções múltiplas2. Cada uma apresenta subclasses de problemas.
De acordo com cada tipo de problema, existem complexidades distintas, podendo
ser resolvidos através da multiplicação ou divisão ou até mesmo pela combinação
das duas, contudo, o grau de dificuldade do problema será determinado pela sua
estrutura e não pela aplicação de uma ou outra operação.
Os problemas de isomorfismo de medidas envolvem uma relação quaternária
entre quantidades, na qual duas delas são medidas de um tipo e as outras são
medidas de outro tipo, envolvendo uma proporção direta simples entre esses dois
espaços de medidas. Um exemplo: “Um pacote de sabonete tem 9 sabonetes.
Quantos sabonetes há em quatro pacotes?”. Este problema envolve multiplicação, já
para a divisão poderíamos ter a seguinte questão: “Marta tem 63 adesivos em sua
coleção. Em cada página do álbum ela colou 9 adesivos. Quantas páginas do álbum
ela já usou?”. Este problema é, segundo a classificação de Vergnaud, do tipo
isomorfismo de quotição. O outro tipo é de isomorfismo de partição. A seguir temos
um exemplo de partição: “Para enfeitar a loja no Natal, Seu Marcos comprou 7
árvores pequenas de Natal e 56 bolas vermelhas. Ele quer enfeitar cada arvore com
a mesma quantidade de bolas. Quantas bolas ele vai colocar em cada árvore?”.
Os problemas de produto de medidas envolvem uma relação ternária, na qual
uma quantidade é o produto das outras duas no plano numérico e no dimensional.
Sua estrutura consiste na composição cartesiana de duas medidas para encontrar a
terceira. Por exemplo, para a multiplicação (problema direto) temos a seguinte
situação: “Na fabrica “Bola Tudo” há 4 tamanhos de bolas e estas são feitas em 7
desenhos diferentes. Quantos tipos de bolas são fabricadas?”. Para a divisão
(problema inverso), temos o seguinte exemplo: “A loja “Tudo sofá” vende sofás de 3
tamanhos diferentes (grande, médio e pequeno) e em cores diferentes. Se na loja
são vendidos 18 sofás diferentes, quantas são as cores que podem ser
escolhidas?”.
De acordo com Pessoa (2009), os problemas de produto de medidas nem
sempre são fáceis de analisar por parte dos alunos, pois envolvem duas medidas
2
Neste trabalho discutiremos apenas isomorfismo de medidas e produto de medidas, pois proporções
múltiplas não serão foco de análise no mesmo. Ressalta-se que proporções múltiplas constituem-se
em problemas com base no isomorfismo de medidas, mas que envolvem mais que quatro elementos.
50
distintas e é necessário encontrar uma terceira medida diferente das outras duas.
Desta forma, segundo a autora acima citada, os problemas de produto de medidas
podem ser mais difíceis do que os de isomorfismo de medidas.
Segundo Vergnaud (1991), o esquema mais natural para representar a
relação que existe entre produto de medidas é o quadro cartesiano, pois é a noção
de produto cartesiano que explica a estrutura de produto de medidas.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN – Brasil, 1997), o
cálculo relacional dos problemas multiplicativos pode ser agrupado em quatro
grupos de situações: comparativa, proporcionalidade, configuração retangular e
combinatória.
Na situação comparativa é estabelecida uma comparação entre as
quantidades trabalhadas, como, por exemplo: “Marcelo tem oito bolas de gude e
João tem o triplo dessa quantidade. Quantas bolas de gude João tem?”.
Na proporcionalidade a ideia envolvida é a de proporção comparando razões.
Por exemplo: “Maria subirá cinco lances de escada e em cada lance há nove
degraus. Quantos degraus Maria subirá?”.
A configuração retangular está associada à distribuição espacial e envolve
situações ligadas ao cálculo da área. Um exemplo: “Numa sala as bancas estão
dispostas em oito filas e em cada fila há sete bancas. Quantas bancas há ao todo
nessa sala?”.
A combinatória envolve situações em que é necessário escolher e agrupar
elementos de um grupo. Tem-se, por exemplo: “O restaurante “QDelicia” serve vários
tipos de pratos prontos (prato quente e sobremesa). Se há 6 opções de pratos
quentes e 4 opções de sobremesa, quantos tipos de pratos prontos o restaurante
serve?”.
Nunes e Bryant (1997) distinguem três tipos principais de situação
multiplicativa: 1) situação de correspondência-um-a-muitos; 2) situações que
envolvem relações entre variáveis; e 3) situações que envolvem distribuição e
divisões sucessivas.
As situações de correspondência-um-a-muitos envolvem dois novos sentidos
de número: a proporção – expressada por um par de números que permanece
invariável em uma situação, mesmo quando o conjunto varia; e fator escalar –
referente ao número de replicações aplicadas a ambos os conjuntos, mantendo a
proporção constante.
51
Nesta situação temos três tipos de problemas: multiplicação direta, problema
inverso de multiplicação e produto cartesiano. Tem-se por exemplos:
•
Problema de multiplicação direta
Na padaria “Pão Quente” cada pão de forma é cortado em 8 fatias. Quantas
fatias serão obtidas se 9 pães forem cortados?
•
Problema inverso de multiplicação
Marta tem 63 adesivos em sua coleção. Em cada página do álbum ela colou 9
adesivos. Quantas páginas do álbum ela já usou?
•
Problema de produto cartesiano
Na fabrica “Bola Tudo” há 4 tamanhos de bolas e estas são feitas em 7
desenhos diferentes. Quantos tipos de bolas são fabricadas?
As situações de relações entre variáveis (co-variação) são aquelas nas quais
duas ou mais variáveis co-variam como uma consequência de convenção ou de
causa. Neste caso, as variáveis são quantidades contínuas, constituindo, assim, um
caso particular de correspondência um-a-muitos.
As situações que envolvem distribuições são diferentes da adição e da
subtração porque elas envolvem o estabelecimento de uma relação multiplicativa
entre dois ou mais conjuntos. As relações parte-todo estão também envolvidas em
distribuição e divisão, mas nestas últimas é necessário considerar três elementos: o
tamanho do todo, o número de partes e o tamanho das partes, que deve ser o
mesmo para todas as partes. Tem-se, por exemplo: “Maria fez quinze sanduíches.
Ela tem três filhos. E quer partilhar igualmente esses sanduíches entre seus filhos.
Com quantos sanduíches cada criança ficará?”. Nesta situação as crianças precisam
enfrentar as relações entre três conjuntos: o número total de sanduíches, o número
de filhos e o número de sanduíches por filho. Mantendo o número de crianças e
aumentando o de sanduíches, aumenta-se o número de sanduíches por filho, mas,
se o número de sanduíches permanece o mesmo e aumenta-se o número de filhos,
haverá menos sanduíches por filho. Semelhantemente, nas situações de corte
sucessivo, varia-se o valor correspondente a cada unidade.
Assim, há novas
52
relações a serem entendidas com a distribuição e cortes sucessivos que não se
encontram na situação de correspondência-um-a-muitos (multiplicação direta), na
qual a proporção permanece sempre fixa. Os problemas aqui classificados por
Nunes e Bryant (1997) como produto cartesiano, combinatória para os Parâmetros
Curriculares Nacionais (1997) e como produto de medidas por Vergnaud (1983,
1991), no presente estudo adotamos a denominação produto cartesiano, expressa
por Pessoa (2009) em sua tese de doutorado.
Os problemas discutidos acima por Vergnaud, Nunes e Bryant e os PCN no
campo da Combinatória tratam apenas do produto cartesiano, contudo, no estudo de
Pessoa (2009), além dessas classificações, trata-se também de mais outros três
tipos de problemas combinatórios: arranjos, combinações e permutações. Deste
modo, nesta pesquisa trataremos de analisar a compreensão de jovens e adultos em
raciocínio combinatório envolvendo os quatro tipos de problemas trabalhados por
Pessoa (2009): Arranjo, Combinação, Permutação e Produto Cartesiano, discutidos
em maior detalhamento no próximo capítulo.
Diante da discussão do campo conceitual multiplicativo, em particular do
domínio das situações combinatórias, o presente estudo objetiva levantar os
esquemas e teoremas-em-ação utilizados pelos alunos da EJA, que evidenciam os
conceitos-em-ação por eles já construídos, bem como o que ainda é necessário
desenvolver, de modo a que possuam um amplo conhecimento da Combinatória.
53
____________________
CAPÍTULO 3
O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO
___________________________
54
3. 1 Breve Histórico da Combinatória
Acredita-se que o conceito de número e o processo de contagem tenham sido
desenvolvidos antes dos primeiros registros históricos, pois a partir do momento que
se precisaram efetuar contagens, o ser humano começou uma sistematização no
processo de contar. Gradativamente surgiram, assim, os sistemas de agrupamento
simples, os multiplicativos, os cifrados e o posicional.
A Combinatória tem como base a contagem e desde cedo este campo da
Matemática relacionou-se com a arte de contar. Não um contar simples de
elementos, mas uma contagem de agrupamentos possíveis a partir de dados
elementos e determinadas condições. Diferentes formas de análise combinatória
surgiram, assim, ao longo da história das civilizações.
De acordo com Esteves (2001), o livro chinês I – King ou Livro das
permutações, datado de 1182 – 1135 a.C., é provavelmente o registro mais antigo
que aborda a Combinatória.
A partir do século XVII, a Combinatória passou a ser desenvolvida em grande
escala, principalmente para resolver problemas de jogos de azar. Girolamo Cardano
(1501 – 1576) escreveu um manual do jogador (De Ludo Aleae) publicado em 1663,
no qual problemas de análise combinatória e probabilidade aparecem.
O “problema de pontos” (introduzido na obra Suma de Pacioli em 1494) está
ligado à origem da probabilidade e que se utiliza de análise combinatória, tendo sido
analisado por vários matemáticos do século XVI e XVII. O grande avanço neste
problema se deu em 1654, quando Chevalier de Méré propôs esse problema a
Pascal que, por sua vez, o levou a Fermat, ocorrendo, assim, uma correspondência
entre os dois matemáticos. Cada um chegou ao resultado correto, embora de
maneiras distintas.
Outros
importantes
contribuidores
do
desenvolvimento
da
Análise
Combinatória foram: Jakob Bernoulli (1654 – 1705) que na segunda parte de sua
obra, Ars Conjectandi, se dedicou à Teoria das combinações e permutações, que
descrevia quase toda a teoria da Análise Combinatória; Euler (1707 – 1783), que
desenvolveu em seu livro clássico, Introductio in Analysin Infinitorum, a técnica das
funções geradoras, utilizada para abordar o problema das partições de um inteiro;
F.P. Ramsey (1903 – 1930) que em seu teorema afirma que se tivermos no plano um
conjunto de pontos n, com n ≥ 6, tais que nenhum subconjunto com três pontos seja
55
colinear, e, se unirmos todos os pontos dois a dois, usando duas cores distintas para
traçar os segmentos de retas que unirão os pontos, então forçosamente terá se
formado um triângulo cujos lados são todos da mesma cor.
Deste modo, observamos que o desenvolvimento da Combinatória foi um
processo longo até se chegar ao que hoje se tem em relação aos tipos de problemas
combinatórios e às expressões formais que os caracterizam.
3.2 Desenvolvimento do Raciocínio Combinatório
No campo da Educação Matemática temos uma grande variedade de
pesquisas. Muitas tratam das elaborações de crianças, adolescentes, adultos e
professores, referentes a diversos conceitos matemáticos presentes nos currículos
escolares. A literatura nesta área do conhecimento já apresenta muitos resultados
relevantes
da
compreensão
das
estruturas
multiplicativas. Porém,
poucas
investigações foram realizadas no que concerne à construção de conceitos e
relações multiplicativas em problemas que envolvem o raciocínio combinatório, e
menos ainda na Educação de Jovens e Adultos.
De acordo com Vergnaud (1983, 1991), os problemas de produto de medidas
pertencem ao campo conceitual das estruturas multiplicativas. Assim, para haver um
amplo domínio dos problemas multiplicativos, faz-se necessária a compreensão dos
problemas combinatórios.
Para Placha (2009), problemas de produto de medidas não são frequentes
entre os que as crianças solucionam em sala de aula, embora envolvam o raciocínio
combinatório, essencial na Matemática e também aplicável na solução de problemas
de outras áreas. Privando alunos de discutirem situações combinatórias,
compromete-se a ampliação de seus conhecimentos multiplicativos e de seus
desenvolvimentos referente a novas maneiras de pensar.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) destacam grupos de situações
relacionadas às estruturas multiplicativas que precisam ser exploradas nas séries
iniciais do Ensino Fundamental. Entre elas estão “as situações associadas à ideia de
combinatória” (Brasil – Ministério da Educação, 2001), ou seja, reconhece a
importância de se trabalhar nos anos iniciais com a Combinatória.
“Bernoulli, em 1713, define a Combinatória como a arte de enumerar
todas as maneiras possíveis em que um número dado de objetos pode ser
56
misturado e combinado de modo que não falte nenhum” (BATANERO, GODINO
E NAVARRO-PELAYO, 1997).
Sendo a contagem de elementos de diferentes conjuntos uma das primeiras
aprendizagens da criança, para a resolução de problemas Combinatórios, é preciso
que se supere a simples ideia de enumeração de elementos de um conjunto para
passar à contagem de grupos de objetos.
A Análise Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e
relações discretas, tendo dois tipos de problemas frequentes em destaque: (1)
demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado e
que satisfazem certas condições e (2) contar ou classificar os subconjuntos de um
conjunto finito e que satisfazem certas condições dadas (Morgado, Pitombeira de
Carvalho, Pinto de Carvalho & Fernadez, apud Pessoa e Borba, 2008).
De acordo com Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997), os problemas de
enumeração são um tipo de problema combinatório, assim como os problemas de
existência (se podem ou não existirem determinadas possibilidades em certas
condições), de contagem (a determinação do número total de possibilidades de
certas situações), de classificação (a verificação de possíveis organizações de
possibilidades)
e
de
optimização
(condições
ideais
para
que
terminadas
possibilidades existam).
Segundo Merayo (2001), apud Pessoa e Borba (2008), Análise Combinatória
é o procedimento que permite saber quantos elementos tem em um conjunto sem
precisar contá-los, ou seja, não é necessário listar ou enumerar todos os elementos
do conjunto.
Para Nesher (1988), apud Nunes e Bryant (1997), e Brown (1981), apud
Pessoa e Matos Filho (2005), dentre os problemas multiplicativos os mais difíceis
para as crianças são os que envolvem produto cartesiano. Dois são os motivos para
que isso ocorra, segundo Nesher: o problema envolve dois conjuntos básicos mais
um terceiro conjunto, o qual é identificado pela combinação de cada elemento em
um conjunto básico com cada elemento do outro conjunto; e a correspondência uma-muitos não é explicitamente indicada na formulação verbal. Destaca-se que estas
autoras não consideraram permutações, combinações e arranjos em suas análises,
mas apenas o produto cartesiano como problema combinatório.
Apesar de serem de natureza mais complexa, segundo Borba, Rocha, Martins
e Lima (2009), a prática docente tem mostrado que problemas de raciocínio
57
combinatório podem despertar nos alunos curiosidades e a participação na sala de
aula. Essa interação com esse conhecimento matemático possibilita aos alunos
intervir mais no desenvolvimento das aulas, nas atividades propostas, nos
problemas a serem resolvidos. Observa-se, também, que a Combinatória é
importante no desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático de alunos, como já
anteriormente apontado por Inhelder e Piaget (1955).
De acordo com Inhelder e Piaget (1955), operações combinatórias
representam mais do que um mero ramo da Matemática, a capacidade combinatória
é fundamental para o raciocínio dedutivo hipotético. Para estes autores, os
adolescentes, por meio da maturação, descobrem formas sistemáticas de
enumeração combinatória.
Para Fischbein (1975, apud Batanero, Godino Navarro-Pelayo, 1997),
mesmo tendo a capacidade de resolver problemas de combinatória, nem sempre
adolescentes alcançam esta habilidade sem ensino específico.
De acordo com Fischbein e Gazit (1988, apud Batanero et al, 1997), até
mesmo crianças de 10 anos podem aprender noções de combinatória com o auxílio
da árvore de possibilidades. O mais importante dos estudos de Fischbein é o alerta
da necessidade de ensino formal para o desenvolvimento do raciocínio
combinatório.
Embora a Combinatória seja um conhecimento matemático importante a ser
estudado, observa-se um número relativamente pequeno de estudos que tratam
especificamente deste campo3. Este é um campo importante – tanto para o
desenvolvimento de outros conceitos matemáticos, como para o domínio de
algumas situações práticas.
Pessoa (2009) entende raciocínio combinatório como
Um tipo de pensamento que envolve
contagem, mas que vai além da enumeração
de elementos de um conjunto. Na
combinatória contam-se, baseando-se no
raciocínio
multiplicativo,
grupos
de
possibilidades, através de uma ação
sistemática, seja pelo uso de fórmula, seja
pelo desenvolvimento de uma estratégia que
dê conta de atender aos requisitos desses
3
O Grupo de Estudos em Raciocínio Combinatório do Centro de Educação da Universidade Federal
de Pernambuco (Geração) realizou um levantamento do Estado da Arte dos trabalhos relacionados
ao Raciocínio Combinatório e, neste estudo, constatou-se que são poucas as pesquisas nesta área.
Parte deste levantamento será aqui apresentado.
58
tipos de problemas, como a constituição de
agrupamentos,
a
determinação
de
possibilidades e sua contagem. Assim, a
Análise Combinatória é a parte da Matemática
que estuda os agrupamentos a partir de
alguns critérios; a Combinatória é o assunto
referente a esta parte da Matemática e que
está diretamente relacionada com os
problemas de produto cartesiano, permutação,
arranjo
e
combinação;
o
raciocínio
combinatório é a forma de pensar referente à
Combinatória; e combinação é um dos
significados dos problemas de combinatória,
juntamente com arranjo, produto cartesiano e
permutação” (PESSOA, 2009).
A autora acima citada se refere aos tipos de problemas de combinatória
referindo-se a significados de problemas de combinatória, cada um com
características de levantamento de possibilidades – por contagem direta ou indireta.
Os significados da combinatória apresentados pela mesma são: produtos
cartesianos, combinações, arranjos e permutações.
Estudos anteriores abordaram problemas que envolviam estes tipos de
significados, contudo, encontramos apenas na pesquisa de Pessoa e Borba (2007)4,
uma organização única que envolve esses quatro tipos de problema, pois estas
autoras
consideram
que
os
mesmos
são
característicos
do
pensamento
combinatório, o que contribui para a reflexão teórica da importância de se trabalhar
em sala de aula com a diversidade de problemas de combinatória.
O presente estudo se apoia na categorização adotada por Pessoa e Borba
(2007) – produto cartesiano, permutação, arranjo e combinação – utilizando-se de
problemas trabalhados pelas mesmas em seus estudos, bem como de problemas
propostos por Selva e Borba (2008). No Quadro 1 apresentamos exemplos e
características de cada significado. Para cada tipo de problema de combinatória há
um invariante, contudo, o invariante geral da combinatória é o fato de que todos
combinam elementos.
4
Desde então as autoras citadas têm proposto esta forma de classificar os problemas de
Combinatória.
59
SIGNIFICADO
CARACTERÍSTICA
EXEMPLO
Produto
Cartesiano Envolve
dois
conjuntos Na fábrica “Bola Tudo” há 4
(Nunes e Bryant, 1997), básicos mais um terceiro que tamanhos de bolas e estas
Produto
de
Medidas com a combinação de seus são feitas em 7 desenhos
(Vergnaud, 1983, 1991) elementos resultará em um diferentes. Quantos tipos de
ou Combinatória (PCN, novo conjunto.
1997)
Arranjo
simples
repetição)
bolas são fabricadas? (Selva e
Borba, 2008).
(sem É dado um grupo maior e Para representante de uma
dele
tirado
elementos
a sala de aula se candidataram
serem organizados; a ordem 3
pessoas
(João,
é importante na composição Mariana,Vítor).
das possibilidades.
Quantas
maneiras diferentes poderão
ser escolhidos o representante
e
Combinação
(sem repetição)
o
vice-representante?
(Pessoa, 2009).
simples É dado um grupo maior e Três alunos (Mário, Raul e
dele
tirado
elementos
a Júnior)
participam
serem organizados; a ordem concurso
dos
elementos
não
em
gera sorteadas
iguais.
novas possibilidades.
de
que
um
serão
duas
bicicletas
Quantos
resultados
diferentes podem ser obtidos
Permutação
(sem repetição)
simples Todos
os
elementos
no concurso? (Pessoa, 2009).
são Calcule o número de palavras
usados em ordens diferentes.
que
podem
ser
(existentes
ou
usando
palavra
a
criadas
inventadas)
AMOR.
(Pessoa, 2009).
Quadro 1. Significados, características e exemplos de cada tipo de problema
combinatório.
Borba, Rocha, Martins e Lima (2009), realizaram um levantamento do estado
da arte referente ao desenvolvimento do raciocínio combinatório e probabilidade no
Ensino Fundamental, Médio e Superior, com a finalidade de entender melhor os
resultados de pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de conceitos
combinatórios. Salienta-se que na Combinatória há o estudo de possibilidades,
essencial para o desenvolvimento da compreensão de probabilidade. A revisão dos
60
estudos efetuada por Borba e colaboradoras, a partir de anais de eventos nacionais
e internacionais, foi dividida em quatro aspectos: 1) Análise de recursos didáticos; 2)
Reflexões sobre a formação e a prática docente; 3) Investigações de conhecimentos
de alunos e 4) Relatos de experiências vivenciadas em sala de aula.
No estudo de Borba et al (2009) foi observado um número relativamente
pequeno de estudos que tratam especificamente do raciocínio combinatório o que
denota, segundo as autoras, uma necessidade dentro da Educação Matemática,
uma vez que no estudo da Combinatória há grandes possibilidades de
desenvolvimento matemático dos alunos e consequente domínio de várias situações
práticas.
A seguir são apresentadas as pesquisas analisadas de acordo com as quatro
categorias definidas por Borba et al (2009).
A) Análises de recursos didáticos
No trabalho Livro Didático: como estão abordando os problemas de raciocínio
combinatório no Ensino Fundamental, Matos Filho e Pessoa (2006), analisaram oito
coleções de livros didáticos de Matemática da 1ª à 4ª série do Ensino Fundamental,
sendo quatro coleções que foram aprovadas pelo Plano Nacional do Livro Didático
2004 e quatro coleções que não foram submetidas ao programa. Os autores
buscaram: a) identificar os problemas que envolvem raciocínio combinatório e como
estes são abordados antes da introdução formal da multiplicação, b) verificar como o
conceito de multiplicação é tratado, se apenas como a soma de parcelas repetidas
ou se existe uma abordagem mais ampla ligada à idéia de combinatória, c) verificar
se os problemas de raciocínio combinatório estabelecem ligação com a construção
de conceitos de probabilidade e estatística e d) observar quais as orientações
fornecidas pelos manuais dos livros didáticos para os professores em relação ao
trabalho com os problemas de Combinatória.
Os principais resultados obtidos pelo estudo foram:
1) Todas as coleções analisadas mostraram um baixo percentual de
problemas de raciocínio combinatório, quando comparados ao todo de problemas de
estrutura multiplicativa ou, até mesmo, algumas não apresentaram problemas de
raciocínio combinatório; 2) 87% dos livros didáticos analisados estabeleceram uma
relação conceitual entre a multiplicação e o raciocínio combinatório e duas coleções
61
estabelecem também uma ligação com a ideia de proporção; 3) 62,5% dos livros
analisados apresentam os problemas de raciocínio combinatório sempre após os
problemas de multiplicação e estes últimos são apresentados sempre após os de
adição e subtração, vinculando a construção do conceito de multiplicação ao
conceito de adição; 4) Mais da metade (62,5%) dos livros didáticos não trazem
sugestões e orientações que possam auxiliar os professores no trabalho com os
problemas de raciocínio combinatório.
Matos Filho e Pessoa (2006) chegaram à conclusão de que, apesar das
orientações sugeridas pelos documentos oficias e pelas diversas pesquisas que
justificam o trabalho com os problemas de raciocínio combinatório, os livros didáticos
apresentam um número muito reduzido desses problemas. Desta forma, torna-se
necessária uma maior atenção dos autores/editores em relação ao número de
problemas de raciocínio combinatório propostos em suas obras, bem como há
necessidade de melhor orientação ao professor – por meio de pressupostos
teóricos,
referências
bibliográficas,
resultados
de
pesquisas,
explicações,
orientações e sugestões.
Outra investigação na temática identificada foi a pesquisa de Sandoval,
Trigueros e Lozano (2007), intitulada Uso de um interactivo para el aprendizaje de
algunas ideas sobre combinatoria en primaria, motivada por resultados da avaliação
nacional de educação do México, a qual indicou que grande parte dos alunos da
escola primária mexicana não consegue resolver problemas que necessitem de
análise combinatória. A proposta das autoras para a superação das dificuldades dos
estudantes foi o desenvolvimento de um software – Diagrama de Arbol – criado para
explorar ideias relacionadas à Combinatória por meio da construção de diagramas
de árvore.
A pesquisa de Sandoval et al (2007) foi realizada com 25 estudantes
mexicanos de 11 a 13 anos de 5º e 6º anos que utilizaram o software, o qual permite
o cálculo de arranjos, combinações, permutações e produtos cartesianos, utilizando
cores para diferenciar as possibilidades geradas. Observou-se que o software
permitiu que os alunos representassem os problemas e desenvolvessem estratégias
de resolução mais eficientes. As autoras afirmaram que objetivam em estudos
futuros investigar com profundidade como as ideias de combinatória se modificam
na utilização deste interativo e como o aprendizado pode ser transferido para
ambientes de papel e lápis.
62
Embora a avaliação tenha sido positiva de Sandoval et al (2007), é necessário
atentar para cuidados que professores precisam ter ao proporem o uso de
diagramas – com ou sem recurso informático – pois em alguns casos, como os de
combinação, os alunos precisarão excluir casos repetidos gerados na árvore de
possibilidades.
B) Reflexões sobre a formação e a prática docente
Rodrigues (2006), em seu estudo Formação matemática de professores de
atuação multidisciplinar nas séries iniciais do ensino fundamental: indicativos para
estudos de noções de probabilidade, buscou identificar os conhecimentos referentes
à probabilidade que devem ser abordados durante a formação de professores das
séries iniciais, objetivando uma melhor formação nesse conteúdo. Nessa pesquisa,
foram feitas análises de livros, sites e anais de congressos que versam sobre
formação de professores, em particular aqueles que ensinam Matemática, como
também foram pesquisados autores que escreveram sobre os papéis e lugares da
probabilidade.
Segundo Rodrigues (2006), o estudo de probabilidade na escola deve
objetivar: a) desenvolver a criticidade do aluno; b) lidar com a chamada era da
informação; c) contemplar os desenvolvimentos da ciência; d) romper com o
determinismo e a linearidade, predominantes nos currículos de Matemática; e)
contribuir para a alteração da imagem social da Matemática que é tida como ciência
pronta e acabada.
Este autor advoga que definições, fórmulas e regras sejam justificadas como
tratamento mais econômico para se representar simbolicamente uma ideia ou
conceito matemático que pode ser inicialmente concebido intuitivamente. Acrescenta
ainda, que os professores deveriam se sentir confortáveis com o que ensinam,
compreendendo – no caso específico de noções de probabilidade – os conceitos e
ideias básicas que estão sendo mobilizados. O mesmo acredita que os formadores
deveriam envolver os futuros professores em experiências matemáticas através de
situações didáticas para o estudo de probabilidade e outros tópicos da Matemática.
Os resultados mostram, por um lado, que a formação matemática dos
professores de séries iniciais é problemática e que a discussão entre fatores como:
a) o baixo desempenho matemático que muitos desses futuros professores têm ao
63
ingressarem na instituição universitária; b) o tempo destinado à sua formação
matemática e; c) o fato de que esses professores têm ao seu encargo diversas
disciplinas a ensinar, precisam ser observados pelas instituições formadoras.
No estudo intitulado Estágio de docência e a formação do professor de
Matemática: uma experiência com análise combinatória por meio da resolução de
problemas, Cyrino e Teixeira (2007), buscaram analisar o estágio de docência
desenvolvido na disciplina Metodologia e Prática de Ensino de Matemática II com
Estágio Supervisionado na UEL (Universidade Estadual de Londrina). Os estagiários
planejaram, desenvolveram e avaliaram uma oficina, cujo conteúdo abordado foi o
de análise combinatória. A oficina, desenvolvida em 12 horas, foi aplicada aos
sábados numa escola estadual e teve como objetivo propiciar discussões com os
alunos e desencadear, nos processos de sistematização, a construção de conceitos,
a explicação e a dedução de algumas de fórmulas a serem utilizadas.
Os autores acima citados afirmam que a atividade de docência permitiu aos
estagiários desenvolver a capacidade de análise e reflexão sobre as situações de
ensino e aprendizagem da Matemática e sobre os problemas da prática profissional
do professor, mobilizando saberes adquiridos e construindo novos conhecimentos.
Esta conclusão foi feita a partir da construção da oficina, na qual os estagiários
puderam refletir sobre os conceitos, as fórmulas e o porquê de muitos
procedimentos que são utilizados na resolução de problemas de análise
combinatória, bem como no relacionamento com os alunos em sala de aula, ao
percebê-los como sujeitos ativos no processo de aprendizagem.
Pinheiro e Sá (2007) apresentaram um estudo intitulado O ensino de análise
combinatória: a prática pedagógica predominante segundo os docentes, no qual
realizaram uma investigação com a colaboração de 20 professores de Ensino Médio
de Belém do Pará e a questão-base de pesquisa era: Qual é a prática pedagógica
predominante no ensino de análise combinatória no Ensino Médio? Os autores
utilizaram como instrumento um questionário fechado contendo itens sobre dados
pessoais, formação acadêmica e procedimentos metodológicos desenvolvidos
durante as aulas ministradas pelos professores participantes do estudo.
Mesmo com professores neste estudo tendo especialização na área de
Matemática ou em Educação, a maior parte deles indicou que a sua prática
predominante no ensino de Análise Combinatória era partir de definições e, em
seguida, apresentar exemplos, propriedades e exercícios. Mesmo tendo participado
64
de cursos de formação continuada, estes docentes utilizavam-se exclusivamente de
métodos formais nas aulas de Análise Combinatória. Já os que apresentavam
menos tempo lecionando Combinatória (quatro professores), indicaram que partem
de uma situação-problema para, em seguida, formalizar os conceitos. Observou-se,
também, que o recurso didático, praticamente exclusivo utilizado pelos professores –
graduados e pós-graduados – era o livro didático.
Pinheiro e Sá (2007) chegaram à conclusão de que, mesmo alguns
professores tendo apontado a resolução de problemas ou a modelagem no
desenvolvimento da aula de Análise Combinatória, ainda é muito forte a tendência
de apresentar fórmulas e, a seguir, aplicações das mesmas.
No estudo Investigando a aprendizagem de análise combinatória simples em
uma turma de licenciandos em Matemática submetida a uma prática de ensino
tradicional, de Rocha (2007), objetivou-se identificar a compreensão dos graduandos
sobre os conceitos de análise combinatória simples, acompanhando esse avanço ao
longo de uma prática tradicional de ensino. Os participantes eram 17 alunos do sexo
masculino com idade entre 18 e 27 anos e apenas 10 destes participaram de todo
processo da intervenção. Foi elaborado um pré-teste sobre Combinatória com cinco
questões para comparação com o resultado final. Os resultados do pré-teste indicam
que apesar de haver uma quantidade significativa de tentativas para resolver os
problemas propostos, os participantes obtiveram um resultado bem inferior ao
esperado para uma turma de futuros professores (dois sujeitos acertaram uma
questão enquanto outro apenas duas). Estes tinham dificuldades em definir ou
exemplificar noções básicas da Combinatória (apenas 20% conseguiram enunciar
corretamente o Princípio Multiplicativo ou as noções de Arranjo ou Combinação). Os
temas que fizeram parte das aulas foram o princípio multiplicativo, o princípio aditivo,
arranjos, combinações e permutações, por se acreditar serem noções exploradas
em qualquer curso de combinatória simples.
Após as aulas, poucos avanços foram observados, indicando dificuldades
persistentes dos licenciandos, embora reconhecessem a relevância do ensino de
Combinatória na Matemática e que, mais importante que a memorização de
fórmulas, seria os alunos compreenderem o Princípio Fundamental da Contagem.
65
C) Investigações de conhecimentos de alunos
Frant, Castro e Lima (2001), realizaram um estudo intitulado Pensamento
combinatório: uma análise baseada na estratégia argumentativa, com os objetivos
de verificar como ocorre a produção de significados em campos semânticos distintos
e de como elaborar atividades que não escamoteiem este processo de saltos e
rupturas em simples passagens. As autoras partiram dos argumentos básicos de
que não é o mesmo usar o princípio multiplicativo e o princípio aditivo e que a
multiplicação, no caso combinatório, é mais complexa que na adição de parcelas
iguais.
Frant et al (2001) acompanharam a resolução de três alunos da 6ª série, de
um problema combinatório, e analisaram o processo de desenvolvimento das
argumentações e ações destes alunos. O problema colocado era: Em uma reunião,
algumas pessoas compareceram. Elas se cumprimentavam umas as outras
apertando suas mãos. Uma pessoa observa que no total foram 66 apertos de mãos.
Quantas pessoas estavam nesta reunião? Os alunos eram solicitados a afirmarem
como haviam pensado para resolverem a situação e a compartilharem suas ideias
com o grupo, a partir do levantamento de questões sobre a situação-problema, do
registro inicial de suas ideias e do registro, em seguida, de suas ideias após as
discussões, de modo que seus colegas e professores pudessem entendê-las.
O foco da análise de Frant et al (2001) recaiu sobre: 1) a reconstrução de
sequências coerentes de raciocínio; 2) o completar de implícitos nas falas dos
estudantes; 3) a identificação dos significados produzidos; 4) a caracterização dos
argumentos através de esquemas; e 5) a interpretação desses esquemas, a partir do
Modelo de Estratégia Argumentativa (Frant e Rabello, 2000), modelo alternativo para
a análise do discurso em sala de aula, buscando analisar a produção dos
significados nos argumentos e não nas palavras.
Jan e Amit (2006), realizaram um estudo intitulado What's the connection
between ears and dice? They both promote probabilistic understanding, no qual
relatam um jogo de dados que objetivava investigar conceitos de probabilidade, a
partir de conflitos, argumentações, persuasões e consensos. Participaram do estudo
alunos de 7º e 8º anos de escolas israelenses. A situação colocada para os alunos
era: O jogador A ganhará um ponto se a soma de dois dados lançados for 2, 3, 4,
10, 11 ou 12 e o jogador B ganhará um ponto se a soma de dois dados lançados for
66
5, 6, 7, 8 ou 9. Questionava-se, então: Qual dos dois jogadores possui maior
probabilidade de completar 10 pontos antes do outro jogador?
A partir da apresentação da regra do jogo, os alunos iniciaram os
questionamentos sobre a equidade de oportunidades para ambos vencerem. Nesta
situação, os jogadores iniciaram um processo de cálculo do espaço amostral,
visando identificar a quantidade de eventos e, assim, sugerir as regras justas para o
jogo.
Amit e Jan (2006), apresentaram no mesmo evento do estudo anterior
relatado, ou seja no PME 30 (30th Annual Meeting of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education), um estudo intitulado Autodidactic Learning of
Probabilistic Concepts Through Games, realizado com alunos israelenses dos anos
6 a 9 que não possuíam experiência formal com probabilidades. Estes participaram
de um jogo de lançar moedas, com o objetivo de levá-los a desenvolver
terminologias
e
conceitos
probabilísticos.
Os alunos
foram
convidados
a
responderem questões sobre as chances de ocorrência de um evento, sob
diferentes situações, e a convencerem seus colegas de corrigirem suas respostas.
As principais conclusões tiradas por Amit e Jan (2006) apontam para um
desenvolvimento intuitivo de conceitos probabilísticos. Os alunos construíram formas
de quantificar probabilisticamente, usando frações e percentagens. Sem a
intervenção do conhecimento formal, eles criaram uma ligação entre tamanho da
amostra e probabilidade de um evento, e construíram uma linguagem probabilística
própria, com a finalidade de uma comunicação recíproca. Esta constatação contradiz
achados parciais anteriores, que afirmam que existe uma tendência para ignorar
intuitivamente a influência do tamanho da amostra na estimativa de probabilidades.
Soares e Moro (2006), num estudo intitulado Psicogênese do raciocínio
combinatório e problemas de produto cartesiano na Escola Fundamental,
descreveram níveis e subníveis da construção inicial do raciocínio combinatório de
alunos de 5ª e de 6ª série do Ensino Fundamental, com o objetivo de verificar a
possibilidade de descrição psicogenética do raciocínio combinatório. Participaram do
estudo 60 alunos de uma escola pública de periferia (31 da 5ª série (atual 6º ano) e
29 da 6ª série (atual 7º ano) com idades entre 10 anos e 7 meses e 11 anos e 11
meses) que responderam um teste escolar com uso de caneta e papel no qual
constavam 4 problemas de produto cartesiano com duas e/ou três variáveis e
valores numéricos pequenos e/ou grandes, sem e com presença de valores
67
distractores5.
Foram categorizados, por Soares e Moro (2006), quatro níveis de construção
de raciocínio combinatório: 1) ausência de solução combinatória; 2) primeiros
indícios de soluções combinatórias; 3) alguma aproximação de soluções
combinatórias e 4) presença de soluções combinatórias.
Examinando-se descritivamente as frequências e os percentuais das soluções
dos participantes, conforme o nível de raciocínio combinatório que elas revelaram,
foram detectados indícios de relação negativa entre avanço na escolaridade
(soluções de nível mais adiantado na 5ª e não na 6ª serie). Tais indícios, porém são
muito perturbados pela alta incidência de soluções de Nível 1, ou seja, a ausência
de solução combinatória em ambas as séries, independentemente do problema, com
percentuais que variaram de 60,0% a 82,8%. De outra parte, não são claros os
indícios de relação entre níveis de solução e tipo de problema trabalhado, pois, para
qualquer um deles há percentuais relativamente altos de soluções correspondentes
ao Nível 1.
As autoras destacam os limites do estudo relatado e de seus resultados, tais
como: a amostra restrita, de grupos pequenos de alunos de 5ª e 6ª série (6º e 7º
anos, respectivamente), escolhidos por conveniência, mas concluem ser necessário
um trabalho escolar com problemas de produto cartesiano desde os anos iniciais de
escolarização, devendo ocorrer em um crescendo entre anos em atenção ao seu
significado matemático específico; como circunstância de construção do raciocínio
combinatório, entre outras relações significativas ao desenvolvimento cognitivo do
aluno, com prováveis reflexos em outras áreas de sua aprendizagem escolar.
Abrahamson e Cendak (2006), realizaram um estudo intitulado The odds of
understanding the law of large numbers: a design for grounding intuitive probability in
combinatorial analysis. Neste estudo, 28 alunos norte-americanos, dos Anos 4 a 6,
participaram de uma entrevista clínica, tendo como objetivos levantar: a) as intuições
dos alunos relacionadas à probabilidade; (b) o acesso de um conjunto de
ferramentas de aprendizagem para a articulação dessas intuições e (c) a utilidade
dos eixos de aprendizagem e ferramentas no trabalho de suporte das diagnoses,
design e análise de dados.
A situação proposta aos alunos por Abrahamson e Cendak era a de um
5
Valores distractores são valores expressos no enunciado de um problema, mas que não têm
relação com a questão, ou seja, devem ser desconsiderados na solução do problema.
68
recipiente contendo 100 bolas verdes e 100 bolas azuis, e um instrumento de
seleção de quatro bolas, conforme a figura que segue, na qual se perguntava: Quais
as possíveis configurações que podem ser encontradas nesse experimento? Os
alunos utilizaram lápis e papel para construírem a torre de cartões de papel, cada
uma apresentando uma configuração diferente.
Figura 1. Atividade de configurações proposta por Abrahamson e Cendak (2006)
Após chegarem ao fim das 16 combinações possíveis, observou-se que
todos, exceto dois estudantes, inicialmente predisseram que blocos com duas bolas
verdes e duas azuis era a configuração mais comum. Nenhum estudante iniciou uma
exploração do espaço combinatório como um meio de validar aquela intuição. No
final, os alunos entenderam que as classes de eventos têm diferentes
probabilidades, de acordo com seus tamanhos.
Pessoa (2009) buscou levantar a compreensão de problemas combinatórios
de alunos do segundo ano do Ensino Fundamental ao final do Ensino Médio,
observando as estratégias utilizadas por esses alunos. Participaram do estudo 568
alunos de quatro escolas pernambucanas (duas públicas e duas particulares). Os
alunos resolveram oito problemas com os quatro tipos de problemas combinatórios
(arranjo, combinação, permutação e produto cartesiano), dois para cada tipo de
problema. Evidenciou-se que muitos alunos são capazes de resolver problemas
combinatórios e, mesmo não chegando ao final da solução, alunos de séries
distintas desenvolvem estratégias para encontrar a resposta correta, utilizando-se de
representações
simbólicas
diversas
que,
segundo
a
autora,
“demonstram
compreensão dos significados e invariantes implícitos nos problemas” (PESSOA,
2009).
Os resultados deste conjunto de estudos evidenciam compreensões de
Combinatória de diferentes níveis de escolarização mas também apontam algumas
dificuldades persistentes que devem ser alvo do ensino formal.
69
D) Relatos de experiências vivenciadas em sala de aula.
Um dos relatos de experiência identificados foi o de Fontes e Fontes (2007),
intitulado Análise combinatória: uma abordagem através de contexto. Os autores
propuseram
uma
abordagem
contextualizada
de
problemas
de
Análise
Combinatória, visto que os alunos consideram este um dos conteúdos da
Matemática dos mais difíceis de ser compreendido devido, segundo os alunos, à não
aplicabilidade na vida cotidiana.
A metodologia adotada por Fontes e Fontes (2007) foi a de elaboração de
problemas “autênticos”, baseados em situações que, embora por vezes fictícias,
representassem os tipos de problemas encontrados na vida real.
Os autores avaliaram a experiência como positiva, apontando a necessidade
de se buscar suporte em meios de comunicação como internet, revistas e jornais
para elaboração de questões que tenham significados para os alunos, de modo que
os conteúdos matemáticos abordados estejam relacionados ao cotidiano dos
estudantes.
Santos (2008) observou, em seu relato de experiência com uma turma de
alunos da Educação de Jovens e Adultos com a finalidade de possibilitar aos seus
educandos a construção e desenvolvimento do conceito de multiplicação através do
raciocínio combinatório utilizando-as na resolução de problemas do contexto social
por diferentes procedimentos (cálculos mentais, cálculos escrito), que no
aprendizado da multiplicação, os problemas combinatórios são importantes, no
entanto, em muitos desses problemas é difícil os alunos perceberem a presença da
multiplicação. De modo geral, os alunos da EJA não apresentaram maiores
dificuldades em situações com relação ternária entre três quantidades (numéricas ou
dimensionais), em que uma é produto das outras duas, embora não relacionassem
as mesmas à multiplicação.
Com estes estudos concluímos que é necessário um maior investimento na
formação de professores quanto ao ensino e a aprendizagem de conceitos
combinatórios, de modo a possibilitar que conhecimentos intuitivos de alunos sejam
identificados e explorados no ensino formal da Análise Combinatória e não apenas a
exploração de fórmulas. Livros didáticos e outros recursos precisam ampliar os tipos
de problemas abordados – em situações significativas aos alunos – e mais
orientações se tornam necessárias para que professores saibam como melhor
70
explorar as situações propostas em manuais e em recursos tecnológicos, como
softwares educativos.
Sendo
relativamente
baixo
o
número
de
estudos
sobre
raciocínio
combinatório, divulgados em eventos recentes da área de Educação Matemática,
torna-se necessário que mais estudos sejam realizados, dada a importância deste
raciocínio no desenvolvimento lógico matemático dos alunos.
O presente estudo buscou contribuir para o acréscimo de investigações sobre
raciocínio combinatório, em particular na Educação de Jovens e Adultos.
No capítulo que se segue discutiremos o método utilizado no percurso da
pesquisa.
71
_____________________
CAPÍTULO 4
MÉTODO
___________________________
72
Neste capítulo é apresentado o percurso metodológico escolhido para este
estudo com seus objetivos gerais e específicos. Nele são descritos os participantes,
especificando quantidade e caracterização dos mesmos e das escolas onde a
pesquisa foi realizada – apresentando a forma como cada escola organiza a
educação de jovens e adultos e como foram escolhidas. Os procedimentos
metodológicos adotados são expostos, apresentando o teste utilizado e a maneira
como ele foi aplicado. Por fim, é descrita a forma como os resultados foram
analisados.
4.1 Objetivos
4.1.1 Geral
Analisar a compreensão de indivíduos da Educação de Jovens e Adultos em
cinco níveis desta modalidade de ensino sobre problemas de estruturas
multiplicativas, especificamente os que envolvem o raciocínio combinatório.
4.1.2 Específicos
•
Verificar se entre os problemas multiplicativos os que envolvem o raciocínio
combinatório são os que apresentam maiores dificuldades por parte dos
alunos;
•
Levantar os tipos de problemas de Combinatória que os alunos de EJA têm
maior e menor dificuldade;
•
Analisar as estratégias utilizadas por esses alunos na resolução de problemas
de Combinatória de diferentes naturezas;
•
Comparar os resultados obtidos por estudos anteriores com alunos do Ensino
Fundamental e Médio sobre este conteúdo matemático.
•
Comparar os desempenhos em função das atividades profissionais exercidas
pelos alunos de EJA;
•
Comparar o desempenho em função da escolaridade.
73
4.2 Participantes
Participaram deste estudo 150 alunos da Educação de Jovens e Adultos de
escolas públicas (uma municipal, duas estaduais e uma federal e uma mantida pelo
Serviço Social do Comércio - SESC) do Estado de Pernambuco, sendo 30 alunos de
cada módulo desta modalidade de ensino. As instituições foram escolhidas por
conveniência, por disponibilizarem tempo e espaço para a realização da pesquisa.
As turmas a participarem do estudo também foram escolhidas por conveniência, de
acordo com a disponibilidade dos professores em conceder tempo de aula e espaço
físico para a coleta. Para que em cada módulo fosse possível ter o mesmo
quantitativo de alunos, foi necessário para os dois primeiros módulos da EJA efetuar
a coleta de dados em mais de uma instituição.
A instituição pública municipal atende alunos dos anos inicias do Ensino
Fundamental para a Educação de Jovens e Adultos. Na primeira instituição pública
estadual os alunos eram dos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental. A
segunda instituição estadual atende apenas alunos dos anos finais do Ensino
Fundamental. Para cada módulo da EJA nesta escola havia ao menos duas turmas.
Nas turmas destas três escolas não encontramos um número elevado de alunos.
Apenas na segunda escola estadual as turmas chegavam a conter cerca de 25 a 30
alunos. A instituição federal de ensino atende uma clientela voltada a cursos
profissionalizantes. Nesta instituição, os cursos que atendem alunos da EJA são
denominados de PROEJA – Programa Nacional de Integração da Educação
Profissional com a Educação Básica na Modalidade de Educação de Jovens e
Adultos. Este modelo de curso será descrito mais adiante. Cada período do curso
deste programa tem aproximadamente uma duração de seis semestres. Na
instituição pública mantida pelo Serviço Social do Comércio (SESC), o Ensino
Fundamental para Jovens e Adultos é direcionado a comerciários, dependentes e
usuários que não frequentaram a escola nos anos regulares. Cada turma é
composta de, no máximo, 30 alunos. É organizado em ciclos de aprendizagem,
respeitando a mesma organização das demais instituições de ensino.
A seguir apresentamos uma tabela da distribuição dos participantes por
módulo e instituição.
74
Tabela 1. Distribuição dos participantes por módulo e instituição
Módulos
Instituição
Municipal
Estadual 1
Estadual 2
Federal
SESC
Total
Módulo I
10
10
10
30
Módulo II
10
10
10
30
Módulo III
30
30
Módulo IV
30
30
PROEJA
30
30
Como podemos observar na Tabela 1, trabalhamos com quatro esferas do
sistema educacional brasileiro: Municipal, Estadual, Federal e mantida pelo Serviço
Social do Comercio (SESC). Com exceção da instituição federal, todas as escolas
organizam a Educação de Jovens e Adultos da seguinte maneira: Módulo I –
referente aos dois primeiros anos do Ensino Fundamental 1 (atualmente
denominados 2º e 3º anos); Módulo II – dois últimos anos do Ensino Fundamental 1
(atualmente denominados 4º e 5º anos); Módulo III – dois primeiros anos do Ensino
Fundamental 2 (atualmente denominados 6º e 7º anos); Módulo IV – dois últimos
anos do Ensino Fundamental 2 (atualmente denominados 8º e 9º anos). Os alunos
do Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a Educação
Básica na Modalidade de Educação de Jovens e Adultos – PROEJA – que
participaram deste estudo pertencem ao segundo período do curso de Mecânica. Os
cursos de PROEJA desta instituição são organizados em períodos de seis meses.
Ao todo são seis períodos para cada curso.
O Programa Nacional de Integração da Educação Profissional com a
Educação Básica na Modalidade de Educação de Jovens e Adultos – PROEJA abrange cursos que, como o próprio nome diz, proporcionam formação profissional
com escolarização para jovens e adultos. A idade mínima para acessar os cursos do
PROEJA é de 18 anos na data da matrícula e não há limite máximo. A base legal do
Programa é o Decreto no 5.840, de 13 de julho de 2006. Outros atos normativos que
fundamentam o PROEJA são: a Lei no 9.394, de 20 de dezembro de 1996, o
Decreto no 5.154, de 23 de julho de 2004, os Pareceres CNE/CEB nº 16/99, nº
11/2000 e nº 39/2004 e as Resoluções CNE/CEB nº 04/99 e nº 01/2.
De acordo com o MEC (Brasil, 2007) e a partir da construção do projeto
pedagógico integrado, os cursos PROEJA podem ser oferecidos das seguintes
75
formas:
•
Educação profissional técnica de nível médio com ensino médio, destinado a
quem já concluiu o ensino fundamental e ainda não possui o ensino médio e
pretende adquirir o título de técnico.
•
Formação inicial e continuada com o ensino médio, destinado a quem já
concluiu o ensino fundamental e ainda não possui o ensino médio e pretende
adquirir uma formação profissional mais rápida.
•
Formação inicial e continuada com ensino fundamental (5ª a 8ª série ou 6º a
9º ano), para aqueles que já concluíram a primeira fase do ensino
fundamental.
•
Dependendo da necessidade regional de formação profissional, são, também,
admitidos cursos de formação inicial e continuada com o ensino médio. Os
cursos podem ser oferecidos de forma integrada ou concomitante. A forma
integrada é aquela em que o estudante tem matrícula única e o curso possui
currículo único, ou seja, a formação profissional e a formação geral são
unificadas. Na forma concomitante, o curso é oferecido em instituições
distintas, isto é, em uma escola o estudante terá aulas dos componentes da
educação profissional e em outra do ensino médio ou do ensino fundamental,
conforme o caso. As instituições que optarem pela forma concomitante devem
celebrar convênios de intercomplementaridade, visando o planejamento e o
desenvolvimento de projetos pedagógicos unificados.
No decorrer do estudo tivemos a necessidade de criar grupos de faixa etária,
uma vez que as idades apresentavam-se muito variadas. Para tanto organizamos os
participantes em três grupos de idade distintos.
Segundo Palácios e Oliva (2004), de um modo geral, costumamos entender a
etapa da adolescência iniciando-se por volta dos 12, 13 anos até aproximadamente
os 20 anos de idade. De acordo com Palácios (2004), é comum fazer uma
fragmentação da idade adulta e da velhice agrupando-as de forma que possamos
falar de idade adulta inicial, que vai dos 25 aos 40 anos; idade adulta média, dos 40
aos 65 anos; idade adulta tardia ou velhice precoce, dos 65 aos 75 anos e velhice
tardia, mais de 75 anos. Contudo, o valor atribuído a essa fragmentação é relativo e
outros agrupamentos também podem ser feitos.
76
Assim sendo, neste estudo optamos por realizar uma fragmentação seguindo,
em parte, a orientação de Palácios. Houve necessidade de junção de faixas etárias
para possibilitar as análises estatísticas efetuadas. A seguir, apresentamos a Tabela
2 com a distribuição dos alunos por faixa etária e módulo.
Tabela 2. Distribuição dos participantes por faixa etária e módulo
Módulo
Faixa
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
4
9
17
5
15
10
15
11
4
14
12
4
14
13
3
etária
14 – 25
26 – 40
41 – 66
Na Tabela 3 apresenta-se a distribuição dos participantes em relação ao
gênero e módulo.
Tabela 3. Distribuição dos participantes por gênero e módulo
Módulo
Gênero
Feminino
Masculino
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
23
7
22
8
17
13
15
15
4
26
Dos que participaram da pesquisa, pode-se observar suas ocupações na
Tabela 4, apresentada a seguir. Procuramos organizar os participantes em grupos
profissionais a partir das funções exercidas em cada uma delas.
Cada grupo foi formulado de acordo com as funções exercidas por cada
profissão. Em atividades domésticas inserimos as seguintes ocupações: dona-decasa, doméstica, serviços gerais, auxiliar de serviços gerais, servente, diarista, babá
e copeira. Em atividades de produção de alimentos temos: cozinheira e auxiliar de
cozinha. Em atividade com transporte temos: mecânico, caminhoneiro e motorista. O
quarto grupo é composto apenas por estudantes. No quinto – o de atividades
comerciais – temos: vendedores e comerciantes. No sexto – atividades em
atendimento e serviço em alimentação – temos: garçom e garçonetes. O sétimo – o
de atividades de construção civil - temos: pedreiro, serralheiro, eletricista e torneiro
mecânico. No oitavo e último grupo – caracterizado como outros, devido ao número
reduzido em cada profissão – temos: cabeleireira, manicure, segurança, operador de
77
máquina, auxiliar prático, costureira, autônomo, técnico de farmácia, auxiliar de
escritório, aposentado e equitador6
Tabela 4. Distribuição dos alunos por profissão e módulo
Módulo
Profissão
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Atividades
16
20
8
6
2
domésticas
Atividades de
1
-
-
1
-
alimentos
Atividades com
1
1
-
1
7
transporte
Estudantes
Atividades
6
-
5
1
16
1
15
4
12
1
comerciais
Atividades de
-
-
3
-
-
alimentação
Atividades da
1
1
1
1
3
construção civil
Outras
Total
5
30
2
30
1
30
2
30
5
30
produção de
atendimento e
serviço em
A distribuição dos alunos em relação aos anos de estudo, gênero e módulo
seguem na Tabela 57 apresentada abaixo.
Tabela 5. Distribuição dos participantes por sexo, módulo e anos de estudo
Gênero
Feminin
o
Masculin
o
Total
6
7
Anos de
estudos
0-4 anos
5-7 anos
8-10 anos
Mais de
10 anos
0-4 anos
5-7 anos
8-10 anos
Mais de
Módulo I
Módulo II
Módulos
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
17
6
-
18
4
-
3
9
5
-
1
9
5
-
2
2
5
2
-
6
2
-
3
6
4
-
3
3
4
5
8
18
30
30
30
30
30
10 anos
Equitador é um cavaleiro; que sabe equitação.
As tabelas desta seção apresentam como os dados foram organizados para serem analisados.
78
4.3 Procedimentos
Os alunos resolveram, individualmente, um teste contendo 16 questões
multiplicativas e de combinatória (duas questões para cada tipo de problema). Os
problemas multiplicativos foram necessários para verificar o desempenho dos alunos
na resolução das questões e para confirmar a hipótese de que os problemas do tipo
que envolve o raciocínio combinatório são os que se apresentam como os mais
difíceis para os alunos, conforme indicado em estudos anteriores. Numa folha à
parte do teste, os alunos responderam a um pequeno questionário para que fosse
possível traçar o perfil dos mesmos.
Cada questão foi disposta de forma que nenhum dos tipos ficasse próximos
um do outro, por exemplo, se a primeira questão fosse de multiplicação direta a
seguinte não poderia ser do mesmo tipo, pois o aluno poderia ser levado a utilizar a
mesma estratégia de resolução para ambas as questões.
O teste aplicado com os alunos da Educação de Jovens e Adultos foi
elaborado a partir do estudo de Selva e Borba (2008) intitulado Sondando o
conhecimento de professoras sobre o desenvolvimento conceitual multiplicativo. Os
problemas de combinatória fazem parte do estudo de Pessoa (2009), “Quem dança
com quem: a compreensão do raciocínio combinatório dos 7 aos 17 anos”.
Não foi estipulado tempo para a resolução dos problemas. Nos anos iniciais
do Ensino Fundamental a pesquisadora leu cada questão quantas vezes se fizeram
necessária para os alunos, pois alguns ainda não dominavam a leitura e escrita.
Todas as questões apresentam desenhos, pois no estudo de Selva e Borba (2008)
os problemas foram apresentados desta maneira. Deste modo, decidimos utilizar
desenhos em todas as questões de combinatória.
Seguem os problemas na ordem em que foram apresentados para os alunos.
01. Marta tem 63 adesivos em sua coleção. Em cada página do álbum ela colou 9
adesivos. Quantas páginas do álbum ela já usou?
(Quotição)
79
02. Uma escola tem 9 professores (Cristiano, Isabel, Pedro, Sandra,Vítor,
Nívea,Roberto,Laura e Mateus) dos quais 5 devem representar a escola em um
congresso. Quantos grupos diferentes de 5 poderemos fazer?
(Combinação)
03. A escola “Mundo da Aprendizagem” conseguiu uma doação de 42 cadeiras. Ela
tem 6 salas de aula e quer colocar a mesma quantidade de cadeiras em cada sala.
Quantas cadeiras novas serão colocadas?
(Partição)
04. Calcule o número de palavras que podem ser criadas (existentes ou inventadas)
usando a palavra AMOR.
A
M
O
R
(Permutação)
05. A loja “Tudo sofá” vende sofás de 3 tamanhos diferentes (grande, médio e
pequeno) e em cores diferentes. Se na loja são vendidos 18 sofás diferentes
quantas são as cores que podem ser escolhidas?
“Fabricamos seu sofá no
tamanho e cor que você quiser”
(Produto cartesiano Inverso)
06. Na padaria “Pão Quente” cada pão de forma é cortado em 8 fatias. Quantas
fatias serão obtidas se 9 pães forem cortados?
“Fatie seu pão na hora!”
(Multiplicação direta)
07. Para representante de uma sala de aula se candidataram 3 pessoas (João,
80
Mariana,Vítor). Quantas maneiras diferentes poderão ser escolhidos o representante
e o vice-representante?
(Arranjo)
08. Na fabrica “Bola Tudo” há 4 tamanhos de bolas e estas são feitas em 7
desenhos diferentes. Quantos tipos de bolas são fabricadas?
(Produto Cartesiano Direito)
09. Para enfeitar a loja no Natal, Seu Marcos comprou 7 arvores pequenas de Natal
e 56 bolas vermelhas. Ele quer enfeitar cada arvore com a mesma quantidade de
bolas. Quantas bolas ele vai colocar em cada arvore?
(Partição)
10. De quantas formas diferentes poderei arrumar as fotos de meu irmão, meu pai e
minha mãe na estante, de modo que elas fiquem lado a lado?
(Permutação)
11. O supermercado “PreçoCerto” organiza os sabonetes em pacotes com 4
sabonetes cada. Na prateleira tem 9 pacotes. Quantos sabonetes estão à venda?
SÓ H OJE!
SABONETES EM
PROMOÇÃO!
APROVEITE!
(Multiplicação)
12. Na sorveteria “Friofrio” você escolhe o sabor e a calda do seu sorvete. Há 4 tipos
e caldas: chocolate, morango, caramelo e ameixa e ao todo tem-se 32 opções
81
diferentes de sorvete. Quantos sabores diferentes são oferecidos?
(Produto Cartesiano Inverso)
13. As quartas de final da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes
seleções: Brasil, França, Alemanha e Argentina.De quantas maneiras diferentes
podemos ter os três primeiros colocados?
(Arranjo)
14. No campeonato de vôlei de uma escola se inscreveram 48 crianças. Cada time é
formado por 6 crianças. Quantos times irão disputar o campeonato?
(Quotição)
15. O restaurante “QDelicia” serve vários tipos de pratos prontos (Prato quente e
sobremesa). Se há 6 opções de pratos quentes e 4 opções e sobremesa, quantos
tipos de pratos prontos o restaurante serve?
“Prato Pronto: Prato quente e sobremesa”
Escolha sua opção!
Pratos quentes
Sobremesa
Bife
Bolo
Filé
Doce de goiaba
Frango
Salada de frutas
Macarronada
sorvete
Peixe
Sopa
(Produto Cartesiano Direto)
16. Três alunos (Mário, Raul e Júnior) participam de um concurso em que serão
sorteadas duas bicicletas iguais. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos
82
no concurso?
(Combinação)
Após a coleta de dados, os mesmos foram analisados por meio do Statistical
Package for the Social Sciences - SPSS. Os dados foram analisados quantitativa e
qualitativamente.
Foram analisados os desempenhos dos participantes a partir das variáveis
controladas: série e tipos de problemas; e das variáveis externas: anos de estudo,
faixa etária e profissão exercida. Também foram analisados os tipos de respostas e
estratégias utilizadas pelos alunos. Estas análises são apresentadas e discutidas no
capítulo que segue.
83
_____________________
CAPÍTULO 5
APRESENTAÇÃO, ANÁLISE E DISCUSSÃO
DOS RESULTADOS
_____________________________
84
Com a finalidade de analisar a compreensão de indivíduos da Educação de
Jovens e Adultos em todos os níveis desta modalidade de ensino sobre problemas
de estruturas multiplicativas, em especial os que envolvem o raciocínio combinatório,
tivemos como objetivos específicos: verificar se entre os problemas multiplicativos os
que envolvem o raciocínio combinatório são os que apresentam maior dificuldade
por parte de alunos da Educação de Jovens e Adultos; levantar os tipos de
problemas de Combinatória que os alunos de EJA têm maior e menor dificuldade;
analisar as estratégias utilizadas por esses alunos na resolução de problemas de
Combinatória de diferentes naturezas; comparar os resultados obtidos por estudos
anteriores com alunos do Ensino Fundamental e Médio sobre este conteúdo
matemático; comparar os desempenhos em função da escolaridade.
Para atingir estes objetivos, analisamos os resultados quantitativamente com
o auxílio do Statistical Package for the Social Sciences – SPSS. Com este programa
estatístico pudemos analisar diferenças de desempenho por módulo (série), por tipo
de problema (as duas variáveis controladas), por anos de escolaridade, por idade,
por profissão e por gênero (variáveis externas não controladas). Os desempenhos
por tipos de problema e as estratégias utilizadas pelos alunos foram também
analisados qualitativamente. Com respeito às estratégias, procuramos analisar a
relação dessas com o nível escolar e com os anos de escolaridade.
A seguir, apresentaremos os resultados obtidos e análises efetuadas em
relação ao desempenho dos alunos da EJA do Módulo I até o Programa Nacional de
Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na Modalidade de
Educação de Jovens e Adultos (PROEJA), da série, dos tipos de problemas, da
idade e da profissão exercida. Nas discussões efetuadas buscaremos relacionar os
resultados da presente pesquisa com as discussões teóricas anteriormente
efetuadas e com resultados obtidos em estudos empíricos anteriores.
5.1 Desempenho em função da série (módulos)
Por meio da ANOVA (Análise de variância) realizada, verificou-se que entre os
módulos houve diferenças significativas no desempenho dos alunos (F (4, 149) =
21.732, p < 0.001). Os testes post-hoc realizados indicaram diferenças significativas
(em nível p < 0.001) entre alguns dos cinco módulos, conforme se pode observar na
Tabela 6. Os desempenhos no PROEJA foram significativamente superiores aos
85
desempenhos nos demais níveis e os desempenhos dos participantes do primeiro
módulo em comparação aos dos dois últimos da EJA também evidenciaram
diferenças significativas, uma vez que os alunos dos módulos referentes às séries
finais do Ensino Fundamental apresentaram desempenhos superiores aos das
séries inicias. Não foram observadas diferenças significativas entre os desempenhos
dos alunos do Módulo I e Módulo II nem entre os do Módulo III e IV.
Tabela 6. Distribuição de significâncias entre os módulos (séries)
Módulo/Séri
e
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Módulo I
0.989
0.004
0.227
0.001
Significância*/Módulo (série)
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
0.989
0.019
0.487
0.001
0.004
0.019
0.578
0.001
PROEJA
0.227
0.487
0.578
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
-
* Foi considerado significante p inferior ou igual a 0.05.
Na Tabela 7 pode-se observar a distribuição dos participantes por módulo e
acerto total. Verificamos, assim, que houve progressos de um nível de ensino para
outro, com um destaque maior no desempenho dos alunos do último nível de
escolarização, no caso os alunos do PROEJA. Nos Módulos I e II há praticamente o
mesmo número de participantes que acertam entre nenhuma e oito questões, o
mesmo ocorrendo entre os participantes dos Módulos III e IV. O que muda entre os
alunos dos dois primeiros módulos (correspondentes às séries iniciais do Ensino
Fundamental) e os dos dois seguintes (correspondentes às séries finais) é o
acréscimo no número de participantes que acertam mais de oito questões. Há um
evidente avanço no desempenho dos alunos do PROEJA, com a maioria destes
alunos acertando mais de oito questões.
Tabela 7. Distribuição dos participantes por módulo e acerto total
Módulos (séries)
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Total de acertos
0 – 8 acertos
Mais de 8 acertos
30
30
27
26
22
3
4
8
86
Nas Figuras 2 e 3 podem ser observadas respostas distintas de alunos de
níveis diferentes de ensino para uma mesma questão. Na Figura 2 a aluna do
primeiro módulo da EJA parece não ter compreendido o problema e dá como
resposta um dos dados do enunciado, sem explicitar como chegou à solução
registrada por ela. Provavelmente ela chegou à conclusão de que se a loja produz
18 sofás diferentes é possível que sejam 18 cores diferentes de sofás. Ela não
considerou que é uma cor para cada conjunto de tamanho de sofá. Se forem três
tamanhos diferentes e a loja faz ao todo 18 sofás distintos a loja trabalha com seis
cores diferentes. Já o aluno do PROEJA percebeu essa relação e conseguiu chegar
ao resultado correto da questão utilizando-se do algoritmo da divisão.
Figura 2. Solução incorreta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) do P3 (Participante 3),
sexo feminino, doméstica, 43 anos de idade, um ano de estudo, Módulo I da Educação de
Jovens e Adultos.
Figura 3. Solução correta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) do P 128 (Participante
128), sexo masculino, estudante, 38 anos de idade, oito a dez anos de estudo, PROEJA –
Mecânica.
Nas Figuras 4 e 5 observamos um mesmo procedimento utilizado por alunos
de níveis diferentes de ensino (Módulos I e II da EJA) para a resolução do mesmo
problema multiplicativo. Os dois alunos usaram a representação icônica para obter o
resultado correto do problema. Com estas quatro soluções apresentadas,
87
exemplifica-se como não houve diferença significativa de desempenho entre os
Módulos I e II da EJA e que houve diferença significativa entre o Módulo I e o
PROEJA.
Figura 4. Solução correta do Problema 14 (quotição) do P 42 (Participantes 42), sexo
masculino, caminhoneiro, 20 anos, nenhum a quatro anos de estudo, Módulo II da EJA.
Figura 5. Solução correta do Problema 14 (quotição) do P 8 (Participante 8), sexo masculino, 20
anos, estudante, nenhum a quatro anos de estudo, Módulo I da EJA
Observa-se, assim, que o efeito da escolarização evidenciou-se entre grupos
distantes, mas não entre grupos próximos, ou seja, entre módulos seguidos não
houve diferenças significativas de desempenho, mas entre módulos iniciais e finais
as diferenças de desempenho eram altamente significativas. Estes dados
assemelham-se ao que foi observado também em relação a anos de escolarização.
Se a diferença de anos de escolarização era pequena, os desempenhos não se
diferenciaram significativamente, mas quando as diferenças eram grandes (como no
caso dos participantes com mais de 10 anos de escolarização) diferenças
significativas foram observadas. Assim, o efeito da escolarização sobre o
desempenho foi fortemente evidenciada quando os participantes possuíam um
número elevado de anos de escolarização e estavam frequentando séries mais
avançadas.
Os dados aqui obtidos se assemelham aos de Pessoa (2009). No estudo de
Pessoa os alunos evidenciaram avanços significativos no final da primeira fase (5º
Ano) e da segunda fase (9º Ano) do Ensino Fundamental e também no final (3º Ano)
do Ensino Médio. Esses avanços foram creditados à maturidade e/ou vivência de
experiências fora e dentro da sala de aula, que não necessariamente estivessem
88
relacionadas diretamente ao ensino da Combinatória. A autora justificou que no 5º
Ano do Ensino Fundamental (no qual concentra-se o estudo das estruturas
multiplicativas) e no 3º Ano do Ensino Médio (no qual já ocorreu o aprendizado da
Análise Combinatória) as experiências escolares podem ter tido uma influência
maior no desempenho, mas há evidências de que outras experiências podem
influenciar o desenvolvimento do raciocínio combinatório pois, de acordo com a
autora acima citada, “nos anos finais do Ensino Fundamental os alunos melhoram
significativamente mesmo sem instrução escolar específica” (PESSOA, 2009).
A maturação pode ser um dos fatores que influencia o desenvolvimento
matemático, mas acredita-se que há limites na influência deste fator e que outros
fatores podem ter uma influência mais forte no desempenho.
Pode-se observar, por meio do exame da Tabela 8 que há uma concentração
maior de jovens nos últimos módulos da Educação de Jovens e Adultos. Verificamos
que o número de alunos jovens nesta modalidade de ensino aumenta conforme a
elevação do nível escolar. Os educandos adultos são em número maior nas séries
iniciais, principalmente no Módulo I, referente ao segundo e terceiro anos do Ensino
Fundamental I. Desse modo, os alunos mais jovens foram os que evidenciaram
maior desempenho nas questões propostas e essa variável – idade dos
participantes – será analisada em maior detalhamento em uma seção posterior.
Tabela 8. Distribuição dos participantes por módulo (série) e faixa etária
Módulo
(série)
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Total
14 - 25
4
5
15
14
14
52
Faixa etária
26 - 40
Total
41 - 66
9
15
11
12
13
60
17
10
4
4
3
38
30
30
30
30
30
150
Com relação à distribuição dos alunos por profissão, conforme mostrado na
Tabela 9, pode-se observar que nos dois primeiros módulos da EJA há um número
maior de participantes em atividades domésticas, são 24% do total de participantes
(36 dos 150 participantes) nesta atividade profissional. Observa-se, assim, que 67%
dos alunos do total de participantes dos dois primeiros módulos (36 de 54
participantes) estão no grupo das atividades domésticas.
89
A atividade profissional com maior número de participantes é o de estudantes.
Pode-se perceber que o número dos que exercem exclusivamente a atividade de
estudante aumenta de acordo com o aumento do nível escolar.
A influência da variável profissão exercida sobre o desempenho será
analisada em uma seção posterior do presente estudo.
Discutiremos adiante a influência da idade para observar se procede ou não o
que Fischbein (1975) afirma, em termos de que a habilidade na resolução de
problemas combinatórios nem sempre é alcançada na idade adulta, assim é preciso
que haja instrução escolar específica para que essa habilidade aconteça.
Tabela 9. Distribuição dos participantes por módulo (série) e atividades profissionais
Módulo
(série)
Módulo I
Módulo
A
B
C
Profissão
D
E
F
G
H
Total
16
20
1
-
1
1
6
5
1
-
1
1
5
2
30
30
II
Módulo
8
-
-
16
1
3
1
1
30
III
Módulo
6
1
1
15
4
-
1
2
30
IV
PROEJA
2
-
7
12
1
-
3
5
30
Total
52
2
10
54
7
3
7
15
150
A – Atividades domésticas; B – Atividades de produção de alimentos; C – Atividades com transporte;
D – Estudantes; E – Atividades comerciais; F – Atividades de atendimento e serviço em alimentação;
G – Atividades da construção civil; H – Outras.
5.2 Desempenho por tipo de problema multiplicativo e combinatório
Na Tabela 10 pode-se perceber que, dentre os problemas multiplicativos, os
que envolvem o raciocínio combinatório – no caso o produto cartesiano – é o tipo de
problema que os alunos apresentaram maior dificuldade. Observa-se que em todas
as séries a dificuldade maior foi com os problemas de produto cartesiano. No
Módulo I nenhum dos participantes foi capaz de acertar todos os problemas deste
tipo e no Módulo II muito poucos foram capazes de fazê-lo. Nas outras séries, o
desempenho nos problemas de produto cartesiano foi mais baixo, principalmente no
PROEJA cujos alunos apresentaram um muito bom desempenho nas demais
questões.
90
O resultado encontrado como verificamos na Tabela 10 confirma o encontrado
por Nesher (1988) que afirmou que dentre os problemas multiplicativos os mais
difíceis para as crianças são os que envolvem produto cartesiano, pois este tipo de
problema envolve dois conjuntos básicos que combinados resultam em um terceiro
conjunto distinto, composto por elementos de um e do outro conjunto básico e a
correspondência um-a-muitos não é explicitamente indicada na formulação verbal.
Destaca-se que esta autora não considerou permutações, combinações e arranjos
em sua análise, mas apenas o produto cartesiano como problema combinatório.
Tabela 10. Percentual de acerto por problema multiplicativo e módulo (série)8
Módulo
(série)
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Multiplicação
37
23
43
43
80
Problemas Multiplicativos
Quotição
Partição
PCD
20
13
43
33
80
37
30
37
30
90
3
23
17
20
PCI
3
17
7
10
PCD = Produto Cartesiano Direto; PCI = Produto Cartesiano Inverso.
Borba, Selva, Luna, Silva e Ferreira (2008) também identificaram o produto
cartesiano como sendo um tipo de problema mais difícil que outros problemas
multiplicativos. Segundo estas autoras, outro possível motivo para esta dificuldade
pode ser a pouca familiaridade dos alunos com este tipo de problema, pois os
mesmos são pouco vivenciados em sala de aula, além de neste tipo de problema a
relação um-para-muitos não ser explícita e serem três naturezas distintas de
elementos envolvidas.
À semelhança do observado em Selva et al (2008), os problemas de
multiplicação direta apresentaram-se como os mais fáceis. Dentre os multiplicativos
que envolviam divisão, de modo geral, os de partição foram os que os alunos
demonstraram um melhor desempenho em quase todas as séries, mas poucas
foram as diferenças entre os desempenhos entre problemas de divisão partitiva e
quotitiva.
Os estudos de Selva (1998) e Selva, Borba, Magina, Spinillo e Campos
8
Para a elaboração da Tabela 10 optamos por considerar apenas os alunos que acertaram as duas
questões de cada tipo de problema.
91
(2006) apontam que não há diferenças significativas no desempenho dos alunos em
problemas de partição e quotição, contudo, é possível argumentar que problemas de
quotição têm um grau maior de dificuldade na compreensão do problema, pois é um
problema inverso de multiplicação, o que exige do aluno mais uma operação mental
– a inversão. Os problemas de partição podem ser considerados como problemas
diretos de divisão e, assim, podem ser considerados como mais fáceis de
compreender. Outra questão apontada pelas autoras acima para o fato de que os
problemas de quotição podem apresentar-se como mais difíceis é devido à baixa
frequência com que são trabalhados em sala de aula.
Os resultados do presente estudo replicam, assim, os achados de estudos
anteriores realizados com crianças. Dessa forma, as dificuldades na resolução de
problemas de crianças e de jovens e adultos se assemelham. Os problemas de
multiplicação direta são os mais facilmente resolvidos, seguidos dos de divisão
(partitiva e quotitiva) e, por fim, há um desempenho mais fraco nos problemas de
produto cartesiano (direto e inverso).
Ao analisar o desempenho dos alunos por módulo e tipo de problemas de
Combinatória, percebemos, ao examinar a Tabela 11, que, dentre os problemas
combinatórios, os de produto cartesiano são os que apresentam menor dificuldade
por parte dos alunos. Apenas alguns dos alunos do Programa Nacional de
Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na Modalidade de
Educação de Jovens e Adultos – PROEJA conseguiram acertar as duas questões
para os demais tipos de problemas de Combinatória, ou seja, problemas de arranjos,
permutações e combinações.
Tabela 11. Percentuais de dois acertos por problema combinatório e módulos (série)9
Módulo
(série)
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Arranjo
13
Problemas de Combinatória
Combinação Permutação
PCD
3
7
3
23
17
20
PCI
3
17
7
10
PCD = Produto Cartesiano Direto; PCI = Produto Cartesiano Inverso.
Na Tabela 12 pode-se observar o percentual de acerto dos alunos que
9
Esta tabela apresenta o percentual de acertos dos alunos que responderam corretamente as duas
questões de cada tipo de problema.
92
responderam corretamente apenas uma das questões para cada tipo de problema
combinatório. Nesta tabela observamos que o desempenho dos alunos foi melhor
nos problemas de produto cartesiano, seguido pelos de combinação. Os problemas
de permutação e de arranjo apresentaram um menor percentual de acerto.
Tabela 12. Percentuais de um acerto por problemas combinatórios e módulos (série)
Módulo
(série)
Módulo I
Módulo II
Módulo III
Módulo IV
PROEJA
Arranjo
3
3
7
27
Problemas Multiplicativos
Combinação Permutação
PCD
3
3
7
40
10
3
33
17
13
47
27
40
PCI
17
20
33
7
10
PCD = Produto Cartesiano Direto; PCI = Produto Cartesiano Inverso.
Os resultados aqui encontrados se assemelham em alguns aspectos e se
diferenciam em outros aos de estudo anteriormente realizado. No estudo de Pessoa
(2009), os problemas de produto cartesiano apresentaram-se como os mais fáceis
entre os problemas combinatórios, exatamente como ocorrido no presente estudo.
Diferentemente dos resultados obtidos neste estudo, os problemas mais difíceis
encontrados por Pessoa (2009) foram os de permutação e combinação, sendo que
este último apresentou os percentuais mais baixos de acertos em todos os níveis de
ensino e o problema de permutação foi o de mais difícil compreensão no Ensino
Fundamental I. No presente estudo, os problemas de permutação e arranjo foram os
mais difíceis para os alunos da Educação de Jovens e Adultos.
Em todos os módulos (séries) os problemas de produto cartesiano,
especialmente o de produto cartesiano direto, foram os que apresentaram o maior
percentual de acertos. De acordo com o estudo de Pessoa (2009), isso pode
acontecer por influência da escola, pois os problemas que envolvem o raciocínio
combinatório geralmente são explicitamente trabalhados com as crianças a partir do
3º ou 4º ano do Ensino Fundamental, sendo o produto cartesiano trabalhado em
conjunto com outros significados das estruturas multiplicativas, por exemplo,
proporcionalidade, configuração retangular e comparativa.
Embora os PCN (1997) orientem para que os problemas combinatórios
(arranjo, permutação e combinação) sejam trabalhados desde cedo, foi evidenciado
no estudo de Barreto, Amaral e Borba (2007), que há um trabalho não sistematizado
93
e implícito em alguns livros didáticos de anos iniciais de escolarização com estes
tipos de problemas de Combinatória e apenas o produto cartesiano é explicitamente
trabalhado.
Na análise de variância realizada encontramos diferenças significativas no
desempenho (em nível de p< 0.001) entre os tipos de problemas, segundo disposto
na Tabela 13.
Tabela 13. Distribuição dos problemas por significância
Tipos de Problemas
Multiplicação
PCD
PCI
Partição
Quotição
Problema
PCD
PCI
Combinação
Permutação
Arranjo
Partição
Quotição
Combinação
Permutação
Arranjo
Partição
Quotição
Combinação
Permutação
Arranjo
Combinação
Permutação
Arranjo
Combinação
Permutação
Arranjo
Significância
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
PCD = Produto Cartesiano Direto; PCI = Produto Cartesiano Inverso.
Observamos que, de modo geral, os desempenhos entre os problemas
multiplicativos que não envolvem o raciocínio combinatório e os que envolvem o
raciocínio combinatório foram significativamente diferentes, apresentando os alunos
da EJA maiores dificuldades com os problemas combinatórios. De acordo com o
teste post-hoc efetuado (Tukey HSD), não há diferença significativa de desempenho
entre os problemas de produto cartesiano direto e inverso; problemas de partição e
quotição; combinação e permutação; combinação e arranjo e permutação e arranjo.
Estes resultados evidenciam que, de modo geral, os alunos desempenharam-se de
modo
semelhante
nos
problemas
de
divisão
e
também
nos
problemas
combinatórios.
Nas Figuras 6, 7, 8 e 9, apresentamos alguns exemplos de alunos que
compreenderam os diferentes tipos de problemas e outros que tiveram dificuldade
94
em compreendê-los. Temos as resoluções corretas e incorretas de alunos do mesmo
nível de ensino, apresentando cada um uma forma diferente de resolver a mesma
questão.
O aluno representado pela Figura 6 utiliza o Princípio Fundamental da
Contagem para resolver o problema de arranjo. Embora sua resposta esteja correta,
o fatorial de três (P3!) indica que ele quis utilizar-se da fórmula para o arranjo,
contudo, não a soube efetuar. Desta maneira seu procedimento foi inadequado, pois
o aluno tenta utilizar uma fórmula não adequada para a situação, o que nos leva a
pensar que “não basta conhecer as fórmulas, mas é necessário saber utilizá-las nas
situações corretas, ou seja, é preciso estar atento ao cálculo relacional, observando
bem as características da situação e optando por procedimento adequado à mesma”
(PESSOA, 2009).
Figura 6. Solução incorreta do Problema 7 (arranjo) do P 123 (Participante 123), sexo
masculino, eletricista, 21 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
Figura 7. Solução correta do Problema 7 (arranjo) do P 129 (Participante 129), sexo masculino,
28 anos de idade, estudante, oito a dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
07. Para representante de uma sala de aula se candidataram 3 pessoas (João, Mariana,Vítor). Quantas maneiras diferentes
poderão ser escolhidos o representante e o vice-representante?
95
Figura 8. Solução correta do Problema 7 (arranjo) do P 130 (Participante 130), sexo masculino,
19 anos de idade, estudante, oito a dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
Figura 9. Solução incorreta do Problema 7 (arranjo) do P 134 (Participante 134), sexo
masculino, 50 anos, torneiro mecânico, oito a dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
A Figura 7 representa a estratégia de um aluno que resolve o problema via
multiplicação. Na Figura 8 o aluno utilizou a listagem de possibilidades para chegar
ao resultado correto do problema, tendo percebido a necessidade de retirar
conjuntos menores para gerar novas possibilidades e percebendo ainda, que a
ordem neste tipo de problema é importante e que gera novas possibilidades. Dessa
forma, o aluno estava atento aos invariantes do problema de arranjo. Já o aluno
representado pela Figura 9 percebeu que era necessário retirar do conjunto maior
elementos que formassem um novo conjunto, porém, não percebeu que variando a
ordem desses elementos obteria novas possibilidades.
Segundo Pessoa (2009), dos tipos de problemas combinatórios menos
trabalhados no Ensino Fundamental – arranjo, combinação e permutação – os
problemas de arranjo se apresentam como os mais fáceis, isso baseado no
desempenho dos alunos participantes de sua pesquisa. Isso aconteceu porque este
problema de Combinatória apresenta como um de seus invariantes o agrupamento
de conjuntos menores que a quantidade dada pelo conjunto maior. Por exemplo, é
dado um conjunto de quatro elementos e solicita-se que se formem agrupamentos
de um, dois e três elementos. De acordo com este invariante de arranjos, tendo n
elementos, poderão ser formados agrupamentos ordenados de um elemento, dois
elementos ... p elementos, com 0 < p < n, sendo p e n números naturais. Outro
96
invariante conceitual é que a ordem dos elementos gera novas possibilidades.
Assim, para listar as possibilidades não será preciso desconsiderar algumas delas.
No problema de combinação é necessário desconsiderar metade das possibilidades,
pois existem casos iguais que variam em ordem, mas que não geram novas
possibilidades.
A maioria dos alunos dos cinco níveis de ensino não percebeu alguns dos
invariantes do arranjo, pois eles não selecionaram apenas alguns elementos do
conjunto e/ou não esgotaram todas as possibilidades ou não fizeram uso de
fórmulas adequadas.
Diferentemente das crianças, os jovens e adultos apresentaram uma
resistência em resolver os problemas através de desenhos e através da listagem de
possibilidades. Apesar de serem procedimentos não formalizados que podem
auxiliar na solução de problemas de diversas naturezas, inclusive de situações
combinatórias, os jovens e adultos tendiam a resistir na utilização destes
procedimentos. O que se pode perceber é que este grupo buscava utilizar-se mais
dos algoritmos para a resolução das situações e quando não sabiam utilizá-los
preferiram deixar as questões em branco.
Os problemas de permutação necessitam de uma sistematização bem
rigorosa para que o aluno não se perca na organização das possibilidades, pois ao
reconhecer os invariantes da permutação o aluno necessita considerar que todos os
elementos serão usados cada um apenas uma vez e a ordem dos elementos gera
novas possibilidades. Tanto no estudo de Pessoa (2009) quanto neste, ocorreu com
certa frequência nas soluções de permutação que os alunos não buscaram esgotar
todas as possibilidades, listando apenas alguns acasos.
A seguir temos exemplos de soluções de alunos de diferentes níveis de
ensino nos problemas de permutação.
Na Figura 10 evidencia-se a dificuldade de uma aluna em resolver este tipo
de problema. A aluna percebeu uma das propriedades da permutação, que é utilizarse de todos os elementos do conjunto para formar novas possibilidades. Contudo,
ela não esgotou todas as possibilidades, finalizando antes do término da solução
completa da situação e não executou a questão de forma sistematizada.
97
Figura 10. Solução incorreta do Problema 4 (permutação) da P3 (Participante 3), sexo feminino,
43 anos de idade, doméstica, nenhum a quatro anos de estudo, Módulo I da EJA.
Salienta-se que nenhum aluno do primeiro ao quarto módulo acertou as duas
questões de permutação e apenas 7% dos alunos do PROEJA conseguiram obter a
resposta correta nas duas questões que envolviam esse tipo de problema
combinatório. Dentre os alunos que acertaram apenas uma questão de permutação,
10% dos alunos acertaram uma das duas questões e este percentual diminui para
3% no quarto módulo da EJA. No PROEJA observamos um aumento do percentual,
com 33% dos alunos acertando ao menos uma das duas questões. Muitos alunos
utilizaram listagem de possibilidades para resolver os problemas de permutação,
contudo, muitos destes não perceberam a necessidade de enumerar todas as
possibilidades.
O aluno representado pela Figura 11, apesar de ter encontrado a resposta
correta, utilizou um procedimento inadequado para a questão. Ele utilizou o Princípio
Fundamental da Contagem, o que validaria sua resposta, contudo, ao registrar C4
ele demonstrou estar tentando utilizar a fórmula da combinação e não da
permutação.
Figura 11. Solução incorreta do Problema 4 (permutação) do P 123 (Participante 123), sexo
masculino, eletricista, 21 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
De um modo geral, os problemas de combinação foram os mais difíceis,
quando comparados com os demais e quando consideramos apenas dois acertos.
98
Este tipo de problema exige que o aluno perceba que, assim como os problemas de
arranjo, tem-se um conjunto maior e que são retiradas dele possibilidades para
formar subconjuntos. Contudo, diferente dos problemas de arranjo, a ordem dos
elementos não gera novas possibilidades. Por exemplo, três alunos (Mário, Raul e
Júnior) participam de um concurso em que serão sorteadas duas bicicletas iguais.
Quantos resultados diferentes podem ser obtidos no concurso? Aqui poderemos ter
Mário e Raul; Mário e Júnior; Júnior e Raul. Se considerássemos Raul e Mário seria
a mesma coisa que Mário e Raul, pois neste problema a ordem dos elementos não
gera novas possibilidades. Desta forma, teremos três resultados obtidos no
concurso.
Figura 12. Solução incorreta do Problema 2 (combinação) do P 122 (participante 122), sexo
masculino, motorista, 28 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA – Mecânica.
É importante atentar para o fato de que um dos problemas de combinação
envolvia números grandes e isto exigia que os alunos efetuassem uma rigorosa
sistematização, pois dificilmente conseguiriam obter o resultado correto usando uma
estratégia menos formal. Vale ressaltar que nenhum aluno dos 150 que participaram
deste estudo acertaram a questão de combinação que envolvia números grandes.
Diante dos resultados obtidos, ficou evidente que os problemas de produto
cartesiano são os mais fáceis do que os demais problemas combinatórios, embora
seja o mais difícil entre os outros problemas multiplicativos. Dentre os outros
problemas combinatórios, o que apresentou maior percentual de acerto foi o de
arranjo, seguido pelo de combinação e por fim pelo de permutação.
Na Figura 12 observamos que o aluno utilizou uma multiplicação inadequada,
usando os dados do enunciado para obter um produto. É necessário deixar claro
que o ensino da Combinatória envolve problemas multiplicativos, contudo, deve ser
realizada uma multiplicação adequada e não simplesmente o produto das
quantidades envolvidas no problema. Especificamente na combinação é preciso
99
atentar para a necessidade de dividir o total de possibilidades pelo número de
repetições, pois neste problema não ocorrem novas possibilidades devido à ordem
dos elementos.
Este estudo difere em parte do de Pessoa (2009) e de Correia e Fernandes
(2007), apud Pessoa, 2009), no percentual de acertos encontrados nos problemas
de arranjos, seguidos dos problemas de permutação e como mais difíceis os de
combinação. Segundo Pessoa (2009), estes três tipos de problemas requerem que
os alunos compreendam quais elementos dos conjuntos dados podem ser
selecionados e como serão organizados. Nos problemas de permutação a
dificuldade está em organizar todos os elementos em ordens variadas e nas
combinações é preciso verificar quais casos são idênticos para não contá-los duas
vezes.
A seguir será apresentado e discutido o desempenho em função dos anos de
estudo dos participantes da pesquisa.
5.3 Desempenho em função dos anos de estudo
Como anteriormente mencionado, organizamos os anos de estudos em
quatro categorias: nenhum a quatro anos de estudo; cinco a sete anos de estudo;
oito a dez anos de estudo e mais de dez anos de estudo. Na Tabela 14 pode-se
observar a distribuição dos alunos por anos de estudo e faixa etária.
Tabela 14. Distribuição dos participantes por anos de estudo e faixa etária
Faixa etária
14 – 25
26 – 40
41 – 66
0-4
3
4
8
Anos de estudo
5-7
8 – 10
6
12
19
18
16
6
Mais de 10
31
19
8
Verificamos que os participantes mais jovens (de 14 a 25 anos de idade)
tendiam a ter mais anos de estudo (mais de 8). Os participantes da segunda faixa
etária (dos 26 aos 40 anos de idade) se distribuíam majoritariamente nas faixas de
cinco a sete, de oito a 10 e mais de dez anos de estudo. Dentre os alunos mais
velhos, a maior concentração era na faixa dos cinco aos sete anos de estudo e
poucos destes tinham mais de oito anos de estudo. Observa-se, assim, que os mais
100
novos tendiam a ter mais tempo de estudo e os mais velhos apresentavam menor
tempo de estudo.
Na análise de variância (ANOVA) realizada, observou-se que houve
diferenças significativas entre os anos de estudo em relação ao acerto total no teste
(F (3, 149) = 10.787, p < 0.001). Por meio dos post-hocs realizados (Bonferroni e
Tukey) verificou-se que há diferença significativa de desempenho entre os
participantes com nenhum e quatro anos e aqueles com mais dez anos de estudo
(p = 0.017); entre os com cinco a sete anos de estudo em relação aos com mais de
dez anos de estudo (p < 0.001) e entre os com oito a dez anos em relação àqueles
com mais de dez anos de estudo (p = 0.003). Observou-se, assim, que a variável
anos de estudo teve efeito no desempenho dos participantes, mas apenas os que
tinham mais de dez anos de estudo desempenharam-se significativamente melhor
em relação aos outros participantes. Desta forma, apenas os que possuíam muitos
anos de estudo conseguiram evidenciar um melhor conhecimento dos problemas
multiplicativos.
Na Tabela 15 pode-se verificar os percentuais de acerto dos alunos por anos
de estudo.
Tabela 15. Percentuais de acerto total por anos de estudo
Anos de estudo
0 – 4 anos de estudo
5 – 7 anos de estudo
8 – 10 anos de estudo
Mais de 10 anos de
Acerto total
0 – 8 acertos
Mais de 8 acertos
10
26
23
31
1
2
7
estudo
De modo geral, conforme os anos de escolarização aumentam observa-se um
maior número de acertos no teste. O acréscimo no número de acertos é mais
evidente nos alunos com mais de dez anos de estudo. Entre os alunos das outras
três faixas de anos de estudo também há melhoras de desempenho, pois da
primeira faixa (até quatro anos de estudo) e a segunda (de cinco a sete anos)
observa-se um elevado acréscimo no número de participantes com até seis acertos
e entre a segunda faixa e a terceira (de oito a 10 anos de estudo) há um pequeno
acréscimo no número daqueles que acertaram mais de oito questões.
101
Examinando em maior detalhamento quem são os participantes que possuem
maior tempo de escolarização, na Tabela 16 pode-se observar que nem sempre há
uma relação direta entre anos de escolarização e a série frequentada. Há, porém,
uma tendência de que os alunos das séries mais avançadas tenham maior tempo de
estudo.
Tabela 16. Distribuição dos participantes por anos de estudo e módulo (série)
Anos de
Módulo I
Módulo II
Módulo
Módulo
0–4
5–7
8 – 10
Mais de
12
10
6
2
2
22
3
3
III
1
5
15
9
IV
4
12
14
30
15
41
36
58
10
Total
30
30
30
30
30
150
estudo
Total
Módulo
PROEJA
Esta tendência de relacionar-se anos de escolarização com a série
frequentada fica evidente também no Gráfico 1. Pode-se observar neste gráfico um
gradativo aumento daqueles que têm mais de 10 anos de estudo e o avanço nas
séries frequentadas, pois os alunos que têm mais anos de estudo concentram-se
nas séries finais do Ensino Fundamental e no PROEJA. Como, porém, não há
sempre no caso destes alunos da EJA uma relação direta entre os anos de
escolarização e a série frequentada.
30
20
0 - 4 anos
10
5- 7 anos
8 - 10 anos
0
M ódulo IM ódulo M ódulo M ódulo PROEJA
II
III
IV
+ 10 anos
Gráfico 1 - Distribuição dos participantes por anos de estudo e módulo (série)
Na próxima seção deste capítulo será discutido o efeito específico da faixa
etária do participante sobre o seu desempenho nas questões que envolviam
problemas multiplicativos.
102
5.4 Desempenho em função da faixa etária
Na Tabela 17 se pode observar que há praticamente todas as profissões
identificadas em todas as faixas etárias e que estes dois fatores – idade e profissão
– isolados ou em conjunto podem ter influenciado os desempenhos dos
participantes. Nesse sentido, nesta seção será discutida a influência da idade no
desempenho e na próxima seção se discutirá o papel da profissão no desempenho
dos participantes do estudo.
Tabela 17. Distribuição dos participantes por faixa etária e atividades profissionais
Faixa
etária
14 – 25
26 – 40
41 – 66
Total
A
B
C
Profissões
D
E
4
25
23
52
1
1
2
3
7
7
39
13
2
54
1
4
2
7
Total
F
G
H
1
2
3
2
2
3
7
2
6
7
15
52
60
38
150
A – Atividades domésticas; B – Atividades de produção de alimentos; C – Atividades com transporte;
D – Estudantes; E – Atividades comerciais; F – Atividades de atendimento e serviço em alimentação;
G – Atividades da construção civil; H – Outras.
Na Tabela 18 pode-se observar a distribuição dos participantes por faixa
etária e acerto total no teste. Por meio da análise de variância efetuada, verificamos
que não há uma diferença significativa no desempenho dos participantes em função
de suas idades (F (2, 149) = 1.194, p = 0.306). Observa-se que, independentemente
da faixa etária, a maioria dos participantes acertou entre zero a oito das questões
Tabela 18. Percentuais de distribuição dos participantes por faixa etária e acerto total
Faixa etária
14 – 25 anos
26 – 40 anos
41 – 66 anos
0 – 8 acertos
85
92
95
Mais de 8 acertos
15
8
5
Pode-se observar nas Figuras 13 e 14 soluções corretas realizadas por
alunos de níveis de ensino e faixa etárias diferentes. Com estes exemplos, tem-se
uma amostra que evidencia que participantes de todas as faixas etárias
apresentavam procedimentos corretos e incorretos, não sendo o fator idade um
elemento diferenciador de desempenho.
103
Figura 13. Solução correta do Problema 15 (produto cartesiano direto) do P 105 (Participante
105), sexo masculino, motorista, 32 anos de idade, mais de dez anos de estudo, PROEJA –
Mecânica.
Figura 14. Solução correta do Problema 15 (produto cartesiano direto) do P 62 (Participante
62), sexo, feminino, estudante, 14 anos de idade , oito a dez anos de estudo, Módulo III da EJA
.
5.5 Desempenho em função da profissão exercida
Na Tabela 19 pode-se observar a distribuição dos participantes por acerto
total e profissão exercida. Verificamos que 30% dos profissionais da atividade
doméstica acertam até oito questões e apenas 5% destes acertam mais de oito
questões no teste. O percentual de até oito acertos também é alto no grupo dos
estudantes, mas é no grupo de estudantes que se encontra o maior número de
participantes com mais de oito acertos. Nos demais grupos, com exceção das
atividades de transporte, os percentuais tendem a manter-se constantes.
Estudos anteriores evidenciam que jovens e adultos sofrem influência de suas
atividades profissionais no desenvolvimento de conceitos matemáticos.
No estudo de Gomes (2007) sobre os conhecimentos de alunos jovens e
adultos em relação aos números decimais, os participantes buscaram referências
em suas atividades profissionais (marceneiros e pedreiros) para resolverem as
situações propostas. Assim, a experiência de pedreiros e marceneiros foi
significativa na formação do conceito de número decimal devido às estratégias de
cálculo usadas e pelas habilidades demonstradas por eles.
104
Tabela 19. Percentuais de distribuição dos participantes por acerto total e profissão
Profissões
A
B
C
D
E
F
G
H
Total de acertos
0 – 8 acertos
Mais de 8 acertos
33
1
5
33
4
2
3
9
1
1
1
4
1
1
1
A – Atividades domésticas; B – Atividades de produção de alimentos; C – Atividades com transporte;
D – Estudantes; E – Atividades comerciais; F – Atividades de atendimento e serviço em alimentação;
G – Atividades da construção civil; H – Outras.
Segundo Silva (2006), o homem em diversos contextos desenvolve atividades
que envolvem inúmeros problemas com números e operações, grandezas e
medidas, relações espaciais e tratamento da informação. Assim, os conhecimentos
vão sendo construídos nos diferentes âmbitos da vida – no trabalho, no convívio
social e nas relações interpessoais.
No estudo realizado com 64 estudantes, sendo 32 alunos da Educação de
Jovens e Adultos dos módulos I e IV, 32 crianças do 2º ano do 2º ciclo e do 2º ano
do 3º ciclo que objetivou investigar o que adultos e crianças sabiam sobre números
decimais antes e após o ensino formal e em que sentido os saberes de adultos e
crianças se diferenciava, Silva (2006) observou que os adultos tiveram um
desempenho melhor do que as crianças. Mesmo aqueles que não tinham
escolarização obtiveram melhores resultados no teste que as crianças que já
possuíam experiência escolar na aprendizagem de números decimais. Esse grupo
superou o das crianças na representação simbólica testada (oral e escrita), nos dois
significados dados ao decimal (fração e divisão), em relação às propriedades de
comparação e de conversão de decimais e quando os problemas eram inseridos em
diferentes contextos (métrico e monetário). Um dos destaques de seu estudo é que
adultos não escolarizados em números decimais são capazes de abordar com
sucesso problemas envolvendo decimais.
No presente estudo observou-se que o exercício de atividades profissionais
domésticas não parece auxiliar no desenvolvimento do raciocínio combinatório, mas,
embora não havendo direta relação com a Combinatória, outras profissões podem
indiretamente influenciar o desempenho na solução de situações combinatórias.
105
Certamente a atividade de estudante – em particular os que tiveram oportunidade de
alcançar mais elevados níveis de escolarização, possibilitam direta e indiretamente
ao desenvolvimento do raciocínio combinatório.
A seguir serão apresentados e discutidos os diferentes tipos de respostas
apresentadas pelos participantes do presente estudo.
5.6 Tipos de respostas apresentadas pelos alunos nos módulos e nas
atividades profissionais
Na análise quantitativa do desempenho dos alunos, verificamos os acertos
totais no teste, contudo, é necessário atentar para outros aspectos a serem
analisados e que se constituem como elementos fundamentais nesta pesquisa. Os
tipos de respostas são um desses aspectos a serem considerados na análise.
Como já mencionamos anteriormente, os jovens e adultos que participaram
deste estudo demonstraram uma tendência em resistir a utilizar-se de outras formas
de resolução que não o modo formal. Isto pode explicar, pelo menos em parte, o
elevado índice de respostas em branco. Parece haver indícios de que muitos
participantes preferiam deixar a questão em branco a buscar procedimentos
informais de resolução. As falas de alguns participantes, de um estudo piloto
anteriormente realizado, evidenciam este procedimento, pois alguns afirmavam que
não havia números no enunciado e, portanto, não havia como realizar alguma
operação para encontrar a solução do problema. Outra possibilidade é a de que os
participantes deixaram as questões em branco não porque resistiam em usar
procedimentos informais, mas porque não entendiam o que de fato estava sendo
solicitado no enunciado das questões.
No Quadro 2 são apresentados os tipos de respostas utilizados na análise de
dados do presente estudo. Esta categorização de respostas é de Pessoa (2009).
106
1. Em branco
Não é possível saber se nestes casos o aluno não respondeu porque não
sabia, não se interessou ou se considerou o problema de difícil resolução.
2. Apenas resposta
incorreta
O aluno apresentou apenas a resposta errada para o problema proposto,
embora seja possível, muitas vezes, inferir qual a operação por ele realizada.
3. Resposta
incorreta, sem o
estabelecimento
de relação correta
Incompreensão do problema – o aluno apresentou uma resposta incorreta e
na sua resolução não há indícios de relação com a questão proposta.
4. Resposta
incorreta ou
incompleta, com o
estabelecimento
de relação correta,
utilizando uma
estratégia não
sistemática
Apresenta certa compreensão do problema – o aluno errou a resposta ou não
conseguiu completá-la, entretanto, sua estratégia de resolução é válida para o
que é solicitado, mantém uma relação com a lógica do problema, entretanto,
não organizou sistematicamente a estratégia, listando, desenhando, fazendo
árvore de possibilidades, quadros, diagramas ou outra estratégia de maneira
não sistemática, sem controlar os elementos, não conseguindo esgotar todas
as possibilidades.
5. Resposta
incorreta ou
incompleta, com o
estabelecimento
de relação correta,
utilizando uma
estratégia
sistemática
O aluno apresentou certa compreensão do problema, contudo, mesmo
utilizando uma estratégia mais organizada, mais sistemática, errou a resposta
ou não conseguiu chegar ao final da resolução. Sua estratégia de resolução é
válida para o que é solicitado, mantém uma relação com a lógica do problema,
entretanto, na maioria das vezes, neste caso, o aluno não conseguiu esgotar
todas as possibilidades para o tipo de problema proposto.
6. Apenas resposta
correta
O aluno apresentou apenas a resposta certa para o problema proposto,
embora seja possível, muitas vezes, inferir qual a operação por ele realizada.
7. Resposta
correta
(explicitando
estratégia)
O aluno conseguiu compreender a lógica do problema e chegar à resposta
correta, utilizando e explicitando uma estratégia válida e encontrando formas
de esgotar todas as possibilidades.
Quadro 2. Tipos de respostas apresentadas pelos alunos investigados ao resolverem
os problemas de Combinatória propostos (Pessoa, 2009).
Em todos os níveis de escolarização também observamos percentuais
elevados de respostas incorretas. Isto parece indicar que os alunos não
conseguiram compreender o que foi solicitado nas questões nas quais apresentaram
respostas incorretas. Assim como no estudo de Pessoa (2009), os participantes
apresentaram respostas aleatórias incorretas.
Pode-se observar na Tabela 20 os tipos de resposta, em função do tipo de
problema e do módulo frequentado pelo participante.
107
Tabela 20. Percentuais de tipo de resposta por módulo (série) e tipo de problema
Módulos (séries)
MI
MII
MIII
MIV
PEjA
Tipos de respostas
4
5
1
2
3
Mult.
Quo.
Part.
PCD
PCI
Comb.
Perm.
Arr.
Mult.
Quo.
Part.
PCD
PCI
Comb.
Perm.
Arr.
Mult.
Quo.
Part.
PCD
PCI
Comb.
Perm.
Arr.
Mult.
Quo.
Part.
PCD
PCI
Comb.
Perm.
Arr.
Mult.
Quo.
Part.
PCD
PCI
Comb.
Perm.
36
33
22
30
35
33
32
38
23
22
23
37
33
40
18
32
8
18
8
15
20
33
17
32
24
37
33
55
42
48
28
64
4
13
10
17
13
12
18
43
25
56
47
57
37
55
15
38
15
48
38
53
48
61
22
33
20
24
29
50
40
56
10
22
7
13
18
32
28
28
6
11
2
17
28
31
38
10
7
8
5
11
7
15
7
10
17
12
5
15
5
17
2
3
10
13
10
17
15
8
8
5
5
7
2
18
16
17
3
7
17
17
8
5
4
3
2
3
16
2
7
2
17
3
2
30
2
23
7
12
17
Arr.
20
33
7
8
6
7
8
2
7
2
7
3
7
4
7
2
4
2
2
10
3
17
7
5
25
16
2
2
27
7
18
3
2
2
15
7
15
15
10
2
3
20
14
16
7
2
2
3
16
15
18
13
22
6
7
14
27
7
5
15
7
30
7
14
45
28
37
33
24
2
2
34
18
30
23
18
2
72
37
77
26
38
7
17
5
5
22
Problemas:
Mult=Multiplicação; Quo=Quotição; Part=Partição; PCD=Produto Cartesiano Direto; PCI=Produto Cartesiano
Inverso; Comb=Combinação; Perm=Permutação; Arr=Arranjo.
Tipos de respostas:
1 – Em branco; 2 – Apenas resposta incorreta; 3 - Resposta incorreta, sem o estabelecimento de relação correta;
4 - Resposta incorreta ou incompleta, com o estabelecimento de relação correta, utilizando uma estratégia não
sistemática; 5 – Resposta incorreta ou incompleta, com o estabelecimento de relação correta, utilizando uma
estratégia sistemática; 6 – Apenas resposta correta; 7 – Resposta correta (explicitando estratégia).
Módulos: MI – Módulo I; MII – Módulo II; MIII – Módulo III; MIV – Módulo IV; PEJA – PROEJA.
108
Pode-se perceber, na Tabela 20, que a categoria apenas resposta incorreta
apresenta percentuais elevados em relação aos outros tipos de respostas, porém, a
categoria de respostas em branco também apresenta percentuais altos.
Os percentuais de respostas corretas, explicitando ou não estratégias,
tenderam a aumentar no decorrer dos anos escolares, chegando a ter seus maiores
índices no PROEJA. Há, desse modo, indícios de que a experiência escolar pode
estar interferindo no avanço do desempenho, pois conforme se avança na
escolarização, as experiências escolares dos alunos aumentam.
A seguir são apresentados dois protocolos (Figuras 15 e 16) que mostram
soluções nas quais o tipo de resposta é correta, com e sem explicitação de
estratégia.
Figura 15. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 57 (Participante 57), sexo masculino, estudante, 17 anos de idade,
cinco a sete anos de estudo, Módulo II da EJA.
Figura 16. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) – apenas resposta
correta. P 31 (Participante 31), sexo masculino, estudante, 27 anos de idade, cinco a sete anos
de estudo, Módulo II da EJA.
Nos exemplos acima, as soluções dos alunos do Módulo II da EJA
exemplificam bem a diferença entre as categorias apenas resposta correta e
resposta correta (explicitando estratégia) O aluno representado pela Figura 19
acerta o problema e explicita a estratégia através da adição repetida de
parcelas repetidas. Embora o mesmo tenha registrado o algoritmo da
multiplicação corretamente, consideramos que o procedimento utilizado pelo
mesmo para conseguir chegar a um resultado foi somar as parcelas, no caso da
109
questão de produto cartesiano demonstrada acima, as parcelas de tamanhos de
bolas. Provavelmente, em seguida, ele registrou a “conta” de multiplicação para
deixar claro que tipo de algoritmo é utilizado nesta questão e para validar sua
resposta. O aluno representado pela Figura 16 pertence ao mesmo nível de
ensino do aluno anterior. Este dá o resultado correto para este problema, porém,
não registra o procedimento utilizado na resolução da questão.
A categoria apenas resposta correta ocorreu em um percentual alto,
principalmente nos módulos das séries finais do Ensino Fundamental e do Ensino
Médio Profissionalizante. Nas séries finais do Ensino Fundamental para a EJA e no
Ensino Médio Profissionalizante há uma concentração maior da categoria apenas
resposta correta. É provável que os alunos que apresentaram este tipo de resposta
usaram cálculo mental para resolver as questões.
Quando o aluno demonstra compreensão do que é proposto no problema,
mas a resposta é incorreta, significa que o mesmo consegue desenvolver
estratégias válidas para a resolução do problema, contudo, não consegue chegar à
resposta correta. Nesta perspectiva, poderíamos categorizar este caso como
resposta incorreta com o estabelecimento de relação, usando estratégia sistemática
ou estratégia não sistemática. De acordo com Pessoa (2009), o que ocorre na
maioria das vezes é que os alunos não conseguem esgotar todas as possibilidades,
pois esta dificuldade só aparece nos alunos que compreenderam o tipo de problema.
Os percentuais de respostas incorretas com estabelecimento de relação
correta utilizando uma estratégia sistemática são relativamente baixos em todas as
séries, mas os percentuais são mais altos no tipo de resposta incorreta com
estabelecimento de relação correta utilizando uma estratégia não sistemática. Isso
demonstra que há uma dificuldade em estabelecer uma relação correta e elaborar
uma estratégia sistematizada. Dessa maneira, fica evidente nos resultados obtidos
no presente estudo que não adianta o ensino de Combinatória sem que este seja
realizado de maneira que possibilite aos educandos entender os significados
envolvidos em cada tipo de problema, enfatizando a necessidade de sistematização
e do esgotamento de possibilidades.
A seguir, será discutida a relação entre o tipo de resposta apresentada e a
profissão exercida pelo participante (Tabela 21).
110
Tabela 21. Percentuais de tipo de resposta por atividades profissionais e tipo de problema
Problemas:
Mult=Multiplicação; Quo=Quotição; Part=Partição; PCD=Produto Cartesiano Direto; PCI=Produto Cartesiano
Inverso; Comb=Combinação; Perm=Permutação; Arr=Arranjo.
Tipos de respostas:
1 – Em branco; 2 – Apenas resposta incorreta; 3 - Resposta incorreta, sem o estabelecimento de relação
111
correta; 4 - Resposta incorreta ou incompleta, com o estabelecimento de relação correta, utilizando uma
estratégia não sistemática; 5 – Resposta incorreta ou incompleta, com o estabelecimento de relação correta,
utilizando uma estratégia sistemática; 6 – Apenas resposta correta; 7 – Resposta correta (explicitando
estratégia).
A partir do que vemos na Tabela 21, percebemos que se fôssemos fazer um
ranking das atividades profissionais que tiveram um melhor desempenho por
respostas corretas com explicitação de estratégia teríamos em primeiro lugar o
grupo de atividades com transporte, em segundo o da construção civil e o terceiro
das atividades comerciais. Obviamente não pretendemos realizar esse ranking
dando melhor destaque a um e a outro. Observamos, entretanto, que algumas
profissões apresentaram um desempenho melhor do que as outras no percentual de
acertos. Não parece haver, entretanto, uma relação explicativa entre as profissões
exercidas e o desempenho nos problemas, o que pode ter ocorrido foi uma interação
entre este fator e outras variáveis – tais como a escolarização.
Os grupos com menores percentuais na categoria respostas corretas com
explicitação de estratégia foram os de atividades domésticas e de serviço e
atendimento em alimentação, tendo estes grupos um percentual maior em questões
deixadas em branco e respostas incorretas.
Ressalta-se também que os mais bem sucedidos foram aqueles que ousaram
criar estratégias para a resolução das situações, ou seja, não ficaram presos à
realização de operações formais convencionais. A seguir apresentamos soluções de
alunos que exemplificam que muitos participantes bem sucedidos buscaram
métodos informais de solução das questões.
Figura 17. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta (explicitando
estratégia). P 130 (Participante 130), sexo masculino, estudante, 19 anos de idade, oito a dez
anos de estudo, PROEJA - Mecânica.
O aluno representado pela Figura 17 apresentou solução correta para a
Questão 10, referente à permutação. O participante utilizou listagem de
possibilidades para chegar ao resultado correto.
112
Outro exemplo bem sucedido é o do Participante 124 (Figura 18). Este aluno
obteve a resposta correta por meio do uso de um diagrama para resolver o
problema.
Figura 18. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta (explicitando
estratégia). P 124 (participante 124), sexo masculino, mecânico, 20 anos de idade, mais de dez
anos de estudo, PROEJA - Mecânica.
Na seção a seguir apresentamos os percentuais de tipo de estratégias de
acordo com os problemas multiplicativos e a profissão.
5.7 Tipos de estratégia utilizada pelos alunos por tipos de problema
multiplicativo e por profissão
Baseamos-nos nas categorias de Pessoa (2009) e Selva et al (2008) para
criarmos um novo quadro de categorias de estratégias que atendesse às análises
propostas nesse estudo.
A
partir
desses
dois
estudos
elaboramos
um
novo
quadro
que
compreendesse as estratégias utilizadas pelos alunos tanto em problemas
multiplicativos como em problemas combinatórios.
Vale salientar que este novo quadro (Quadro 3) de categorias foi organizado
em ordem de grau de eficiência, sendo a primeira correspondente ao menor nível e
o último ao maior nível de eficiência. Vale destacar, ainda, que dentre os problemas
de multiplicação, de divisão e de combinatória buscou-se organizar as categorias em
ordem de eficiência dentro de cada uma dessas subcategorias. Poder de
generalização é um dos aspectos considerados no julgamento de eficiência, pois
estratégias informais são válidas em muitos casos, mas, em particular, quando
quantidades maiores são envolvidas nas situações, procedimentos mais formais são
mais eficientes.
113
1 – Não explicitou estratégia
Quando o aluno apenas forneceu a resposta, correta ou incorreta.
Desse modo fica difícil precisar com certeza qual estratégia foi
utilizada para a resolução.
2 – Não identificada
Não foi possível identificar o procedimento utilizado pelo aluno.
3 – Dá como respostas um dos dados
O aluno utilizou como resposta os dados do enunciado. A resposta
é incorreta.
4 – Registra uma operação e efetua outra
O aluno registrou uma operação e efetuou outra. A resposta é
incorreta.
5 – Adição e/ou subtração dos dados
O aluno utilizou os valores apresentados no enunciado numa
soma ou subtração. A resposta é incorreta.
6 - Adição e/ou subtração inadequada de
parcelas repetidas
O aluno utilizou a adição ou subtração de parcelas repetidas, mas
esta é inadequada para o que o problema solicita. A resposta é
incorreta.
7 - Adição e/ou subtração adequada de
parcelas repetidas
O aluno utilizou a adição ou subtração de parcelas repetidas para
resolver o problema, geralmente substituindo a multiplicação
adequada. A resposta pode estar correta ou não.
8a – Multiplicação inadequada
O aluno relacionou o problema a um produto em situações nas
quais ela não se aplica. A resposta é incorreta.
8b – Multiplicação adequada
O aluno relacionou o problema a um produto, com a possibilidade
correta de seu uso. A resposta pode estar correta ou não.
9a – Desenha e distribuição
O aluno desenhou a quantidade do enunciado e realizou uma
distribuição dessa quantidade.
9b – Desenha o todo e agrupa
O aluno desenhou a quantidade total do enunciado e depois
realizou agrupamentos. A resposta pode estar correta ou não.
9c – Desenha a cota até atingir o todo
O aluno utilizou-se dos desenhos das cotas para ao final somar e
chegar ao total. A resposta pode estar correta ou não.
9d – Algoritmo da divisão
O aluno utilizou-se do algoritmo da divisão para resolver a
questão. A resposta pode estar correta ou não.
10a – Desenho de possibilidades/
representação icônica
O aluno faz um desenho/representação icônica das possibilidades,
utilizando-se dos dados, podendo a resposta estar correta ou não,
havendo, ou não, sistematização no processo de resposta e com
ou sem o esgotamento de todas as possibilidades.
10b – Listagem de possibilidades
O aluno realizou uma listagem com nomes ou símbolos. A
resposta pode estar correta ou não, havendo, ou não o
estabelecimento de relação e/ou o esgotamento de todas as
possibilidades.
10c – Árvore de possibilidades
O aluno construiu uma árvore de possibilidades, podendo
apresentar uma resposta correta ou incorreta, com ou sem
sistematização dos elementos, com ou sem esgotamento de
possibilidades.
10d – Quadro/diagrama
O aluno construiu um quadro ou um diagrama para representar o
processo de solução. Pode haver resposta correta ou incorreta,
com ou sem sistematização, com ou sem esgotamento de
possibilidades.
10e – Percepção ou busca de regularidade
O aluno utiliza-se de uma estratégia qualquer para resolver o
problema e no desenvolvimento desta percebeu que pode
generalizar as descobertas iniciais para os casos seguintes. A
resposta pode estar correta ou não.
10f – Uso inadequado de fórmulas
Quando for utilizada pelo aluno uma fórmula inadequada para a
resolução do problema . Resposta incorreta sem relação.
10g – Princípio Fundamental da Contagem
Quando for utilizada pelo aluno o PFC para resolver a questão. A
resposta pode estar correta ou não.
10h – Uso adequado de fórmulas
Quando for utilizada pelo aluno uma fórmula adequada ao
problema. A resposta pode estar correta ou não.
114
Quadro 3. Estratégias apresentadas pelos alunos ao resolverem os problemas
multiplicativos e de Combinatória.10
Pode-se observar que há uma forte relação entre a estratégia utilizada e a
forma de representação simbólica a ela associada. Desta maneira, apresentaremos,
a seguir, as representações utilizadas pelos participantes do estudo nos tipos de
problema.
A Tabela 22 apresenta os percentuais dos tipos de problemas por módulos e
estratégias.
Tabela 22. Percentuais de tipo de estratégia por módulos (séries) e tipo de problema
10
A categorização foi adaptada de Pessoa (2009) e de Selva, Borba, Campos, Silva, Ferreira e Luna
(2008).
115
Tabela 22. (Continuação) Percentuais de tipo de estratégia por módulos (séries) e tipo de
problema
Problemas:
Mult=Multiplicação; Quo=Quotição; Part=Partição; PCD=Produto Cartesiano Direto; PCI=Produto
Cartesiano Inverso; Com=Combinação; Per=Permutação; Arr=Arranjo.
Tipos de estratégias:
1 - Não explicitou estratégia; 2 - Não identificada; 3 - Dá como resposta um dos dados; 4 - Registra
uma operação e efetua outra; 5 - Adição e/ou subtração dos dados; 6 - Adição e/ou subtração
inadequada de parcelas repetidas; 7 - Adição e/ou subtração adequada de parcelas repetidas; 8a Multiplicação inadequada; 8b - Multiplicação adequada; 9a - Desenha e distribui; 9b - Desenha o todo
e agrupa; 9c - Desenha a cota até atingir o todo; 9d - Algoritmo da divisão; 10a - Desenho de
possibilidades/representação icônica; 10b - Listagem de possibilidades; 10c - Árvore de
possibilidades; 10d - Quadro/diagrama; 10e - Percepção ou busca de regularidade; 10f - Uso
inadequado de fórmulas; 10g - Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 10h - Uso adequado de
fórmulas.
Mesmo quando os educandos utilizavam fórmulas, era necessário que eles
percebessem que era preciso fazê-lo de maneira adequada. Assim, a escola – em
sua proposta de ensino sistematizado – deve ajudar o aluno a pensar sobre a lógica
implícita em cada tipo de problema. Quando o educando utiliza repetidamente
fórmulas de modo inadequado, evidencia-se que o ensino mesmo formalizando não
está atendendo às necessidades de compreensão do aluno.
De acordo com Pessoa (2009), é necessário desde o Ensino Fundamental I
explorar as estratégias espontâneas para a resolução dos problemas de situações
116
que envolvem significados e invariantes diversos, assim, estimula-se o uso de
diferentes formas de representações simbólicas (Vergnaud, 1986). É importante
explorar os conceitos-em-ação dos alunos para partir dos conhecimentos que eles
possuem com o objetivo de aprofundar os saberes relacionados à Combinatória.
Acompanhando as estratégias utilizadas pelos educandos, pode-se identificar quais
teoremas-em-ação os mesmos estão utilizando para que assim possam ser
auxiliados no desenvolvimento das relações predicativas (Vergnaud, 2009) das
situações combinatórias.
Dentre as estratégias utilizadas para resolução dos problemas de permutação
a mais usada foi a listagem de possibilidades, principalmente na quarta questão
(anagramas da palavra AMOR). Os alunos, em sua maioria, tentaram resolver este
problema através da listagem de possibilidades. Os alunos da EJA demonstraram
bastante empenho em solucionar este problema, provavelmente porque ele envolve
formação de novas palavras. Os alunos perceberam que este problema trata de
contagem de elementos de conjuntos. Os mesmos estabeleceram relações,
compreenderam do que tratavam os problemas e buscaram estratégias válidas para
resolvê-los. A dificuldade estava na resolução numérica. Mesmo elaborando
estratégias distintas para solucionar os problemas, muitos dos alunos não
conseguiram esgotar todas as possibilidades.
Para Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997) a listagem é uma estratégia
adequada a problemas de enumeração, sendo este um tipo de problema
combinatório que solicita que sejam listados os casos possíveis para uma
determinada situação.
Conforme passam os anos escolares, verificamos um aumento no uso da
multiplicação, seja ela adequada ou inadequada. Isto pode ocorrer devido às
experiências escolares, pois no decorrer dos anos, os alunos vão se familiarizando
com esta operação. Assim, a influência do ensino escolar auxilia na percepção de
que há uma relação entre os problemas de combinatória e a multiplicação.
O uso de fórmulas e do Princípio Fundamental da Contagem apenas
apareceu na turma de PROEJA (referente ao Ensino Médio). Isso evidencia que o
que é trabalhado na escola pode ter importância para o aluno, já que após aprender
a trabalhar com fórmulas, esses alunos do PROEJA passaram a usá-las, embora
numa frequência muito baixa. No presente estudo, o uso de fórmulas foi, na maioria
das vezes, inadequado. Os alunos reconheceram que podiam usar as fórmulas, mas
117
não demonstram saber usá-las adequadamente.
Das vinte e uma categorias elaboradas, algumas não apareceram nas
resoluções dos participantes. As mais frequentes foram: não explicitou estratégia,
multiplicação inadequada, multiplicação adequada, algoritmo da divisão e listagem
de possibilidades. Apenas 4% do total de participantes utilizou corretamente o
Princípio Fundamental da Contagem.
Assim como no estudo de Pessoa (2009), encontramos um baixo percentual
do uso de adições e subtrações na resolução dos problemas combinatórios.
Salienta-se que utilizar-se dessas operações para resolver problemas de raciocínio
combinatório levaria ao erro. Contudo, ao contrário do que Pessoa afirma em sua
pesquisa, que esse baixo percentual evidencia que os alunos compreendem os
problemas desse tipo, neste estudo, o percentual de questões em branco foi
bastante alto. Isso indica que os alunos, em sua maioria, provavelmente não
compreenderam
os
problemas
de
natureza
combinatória.
Nos
problemas
multiplicativos (multiplicação, quotição e partição) os alunos não demonstraram
maiores dificuldades em compreender qual tipo de operação precisariam ser
realizadas para cada resolução do problema. A estratégia do algoritmo da divisão,
assim como no estudo de Pessoa (2009), foi pouco mobilizada pelos participantes
na solução dos problemas combinatórios, indicando que os alunos perceberam que
por meio desta estratégia não conseguiriam resolver os problemas.
Como já mencionado anteriormente, os jovens e adultos demonstraram
resistência em usar outras formas de representação que não as formais.
Encontramos um baixo percentual de alunos que utilizaram desenhos e/ou
representações icônicas. Esse tipo de representação aparece mais nos primeiros
anos de escolarização. Isso reflete a prática escolar de não incentivar maneiras
diversas de resolver problemas, o que é importante no desenvolvimento de
conceitos matemáticos, pois permite melhor compreensão das propriedades de cada
tipo de problema. “Esta estratégia, que deveria ser incentivada pela escola, serve
como um apoio ao que o aluno representa mentalmente sobre a resolução e as
possíveis soluções para o que o problema solicita” (PESSOA, 2009).
Diferentemente do estudo de Pessoa (2009), nesta pesquisa nenhum aluno
usou a árvore de possibilidades para resolver problemas de Combinatória. Para
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1997) a árvore de possibilidades é uma
importante representação, pois auxilia na visualização da estrutura do problema.
118
É possível, segundo Fischbein, Pampu e Minzat (1970), que crianças de 10
anos aprendam noções de Combinatória a partir árvore de possibilidades e isso
pode ser verdade também para os alunos da EJA. Na presente pesquisa foi
mais frequente a listagem de possibilidades, pois talvez seja uma estratégia
considerada pelos alunos mais transparente do que a árvore de possibilidades.
Segundo Piaget e Inhelder (1951), independentemente de instrução
escolar, é no estágio das operações formais que se desenvolve a capacidade de
descobrir uma abordagem sistemática para encontrar todas as permutações
entre os elementos de um conjunto. Considerando essa afirmativa, acreditamos
que os indivíduos podem desenvolver o raciocínio lógico independentemente de
instrução escolar, contudo, há que se alertar ao fato de que a instrução escolar
é necessária para o desenvolvimento de sistematização e compreensão de
conhecimentos de Combinatória.
Os estudos de Fischbein, Pampu e Minzat (1970) confirmam este
posicionamento. Estes autores mostram que com ensino específico o desempenho
em tarefas de combinatória pode ser melhorado. Os resultados do presente estudo
parecem apontar para evidências de influência da escola e de experiências extraescolares no desempenho dos participantes.
Ao perceberem os invariantes de cada tipo de problema, os alunos buscaram
estratégias que correspondiam ao solicitado na situação. Acertando, ou não, a busca
por estratégias demonstra interesse do aluno em determinar que tipo de
procedimento pode ser usado em determinada situação.
Esteves e Magina (2001), em um estudo sobre o uso de representações
realizado com alunos de 8ª série do Ensino Fundamental e de 2º ano do Ensino
Médio, observaram que em algumas situações as representações ajudaram e em
outras provocaram uma interpretação errônea do problema, principalmente quando o
problema envolvia grandes quantidades. No presente estudo também observou-se
como foram efetuadas escolhas adequadas e inadequadas de estratégias com suas
respectivas representações simbólicas. Compreender essas relações permite a
criação
de
situações-problema
que
favoreçam
o
desenvolvimento
dos
conhecimentos matemáticos do aluno para situações mais elaboradas.
A Tabela 23 apresenta os percentuais dos tipos de estratégias por atividades
profissionais e tipo de problemas.
119
Tabela 23. Percentuais de tipo de estratégia por atividades profissionais e tipo de problema
120
Tabela 23. (Continuação)Percentuais de tipo de estratégia por atividades profissionais e tipo
de problema
A – Atividades domésticas; B – Atividades de produção de alimentos; C – Atividades com transporte;
D – Estudantes; E – Atividades comerciais; F – Atividades de atendimento e serviço em alimentação;
G – Atividades da construção civil; H – Outras.
Problemas:
Mult=Multiplicação; Quo=Quotição; Part=Partição; PCD=Produto Cartesiano Direto; PCI=Produto
Cartesiano Inverso; Comb=Combinação; Perm=Permutação; Arr=Arranjo.
Tipos de estratégias:
1 - Não explicitou estratégia; 2 - Não identificada; 3 - Dá como resposta um dos dados; 4 - Registra
uma operação e efetua outra; 5 - Adição e/ou subtração dos dados; 6 - Adição e/ou subtração
inadequada de parcelas repetidas; 7 - Adição e/ou subtração adequada de parcelas repetidas; 8a Multiplicação inadequada; 8b - Multiplicação adequada; 9a - Desenha e distribui; 9b - Desenha o todo
e agrupa; 9c - Desenha a cota até atingir o todo; 9d - Algoritmo da divisão; 10a - Desenho de
possibilidades/representação icônica; 10b - Listagem de possibilidades; 10c - Árvore de
possibilidades; 10d - Quadro/diagrama; 10e - Percepção ou busca de regularidade; 10f - Uso
inadequado de fórmulas; 10g - Princípio Fundamental da Contagem (PFC); 10h - Uso adequado de
fórmulas.
De acordo com o que observamos na Tabela 23, os que apenas estudavam
tendiam a utilizar-se mais de procedimentos formais, estando estes certos ou não.
As estratégias mais utilizadas foram o algoritmo da divisão e da multiplicação e a
121
listagem de possibilidades. Contudo, a listagem de possibilidades é mais utilizada
pelos grupos profissionais que não obtiveram um bom desempenho. Estes grupos
usaram esta estratégia mais especificamente em uma questão de permutação na
qual era necessário escrever palavras que existiam ou não com as letras da palavra
AMOR. Quando utilizados os procedimentos formais por alunos das séries iniciais da
EJA, estes tendiam a usá-los de forma incorreta.
A seguir, apresentaremos algumas das estratégias mais utilizadas pelos
alunos na resolução de cada um dos problemas combinatórios.
Produto Cartesiano Direto
Figura 19. Solução correta do Problema 8 (produto cartesiano direto) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 8 (participante 8), sexo masculino, estudante, 20 anos de idade,
Nenhum a quatro anos de estudo, Módulo I da EJA.
O aluno representado pela Figura 19 efetuou uma adição repetida de parcelas
iguais, contudo, para isto utilizou uma representação icônica para resolver o
problema. Sua estratégia de solução é válida, pois, uma vez percebidas as relações
envolvidas no enunciado, o participante conseguiu desenvolver um procedimento de
resolução adequado.
122
Produto Cartesiano Inverso
Figura 20. Solução correta do Problema 5 (produto cartesiano inverso) – resposta correta
(explicitando estratégia). P 110 (participante 110), sexo feminino, doméstica, 33 anos de idade,
Cinco a sete anos de estudo, Módulo IV da EJA.
A aluna representada na Figura 20 utilizou o algoritmo da divisão para
resolver o problema. Evidencia-se que ela compreendeu o enunciado da situação.
Também podemos dizer que provavelmente esta aluna foi influenciada pela
instrução escolar, ou seja, a utilização do algoritmo da divisão foi por ela
reconhecido como adequado para resolver situações como esta – de relação inversa
de produto cartesiano.
Permutação
O aluno representado na Figura 21 usou o Princípio Fundamental da
Contagem para responder a questão.
Figura 21. Solução correta do Problema 10 (permutação) – resposta correta (explicitando
estratégia). P 123 (participante 123), sexo masculino, eletricista, 21 anos de idade,
Mais de dez anos de estudo, PROEJA.
123
Combinação
Figura 22. Solução correta do Problema 16 (combinação) – resposta correta (explicitando
estratégia). P 99 (participante 99), sexo masculino, vendedor, 19 anos de idade,
Mais de dez anos de estudo, Módulo IV da EJA.
Na Figura 22 observamos que o participante utiliza-se de um diagrama para
auxiliar na resolução do problema. Desta forma, fica evidenciado que ele
compreendeu as propriedades do problema e com isso elaborou uma estratégia que
o ajudou na solução da questão e na validação de sua resposta.
Arranjo
A seguir, temos um exemplo de solução realizado por um aluno do PROEJA
(Figura 23). Este participante efetuou a listagem dos países participantes da Copa.
No decorrer do processo, ele percebeu que havia uma regularidade e não chegou a
listar as possibilidades restantes. O procedimento seguinte não foi registrado pelo
mesmo, mas supomos que percebendo a regularidade, o educando calculou
mentalmente as possibilidades restantes. Ficou evidenciado que o aluno
compreendeu as relações implícitas no problema e buscou uma forma de organizar
sua solução de maneira sistemática, uma vez que o mesmo lista as possibilidades
organizadamente, país por país, e percebeu uma regularidade presente na situação.
124
Figura 23. Solução correta do Problema 13 (arranjo) – resposta correta (explicitando
estratégia). P 130 (participante 130), sexo masculino, estudante, 19 anos de idade,
Oito a dez anos de estudo, PROEJA- Mecânica.
Essa representação simbólica foi espontaneamente criada pelo aluno para a
resolução da situação e se mostrou uma estratégia eficiente de solução do
problema, demonstrando, através desta representação, que compreendeu os
significados e invariantes implícitos no problema.
Percebemos que os alunos pesquisados utilizam diferentes formas de
resolução. Embora se tenha observado resistência da maioria dos participantes
em utilizarem representações simbólicas, menos formais, encontramos algumas
estratégias interessantes e bem semelhantes às encontradas por Pessoa
(2009). Observamos que o uso de variadas representações pode estar
associada à reflexão dos significados e invariantes das situações apresentadas.
Desta
forma,
consideramos
essencial
levar
em
consideração
as
representações usadas pelos alunos na resolução dos problemas, pois estas
possibilitam que os mesmos explicitem o seu nível de conhecimento e de
entendimento em relação aos problemas e seus significados e invariantes. É
necessário, também, que os alunos sejam estimulados a utilizarem variadas
formas de representação – das informais às mais formalizadas – nas quais se
evidenciem as particularidades de casa situação trabalhada.
125
_____________________
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
___________________________
126
Nos capítulos iniciais deste estudo foram discutidos os aspectos mais
relevantes da Educação de Jovens e Adultos e a Educação Matemática voltada a
este público, voltamos-nos ao Campo das Estruturas Multiplicativas para tratarmos
do raciocínio combinatório. Em conseguinte detalhamos o percurso metodológico
utilizado e os resultados obtidos a partir dos mesmos. Neste momento abordaremos
as considerações finais desta pesquisa e algumas implicações pedagógicas que
decorrem das análises realizadas ao longo deste estudo, relacionadas ao raciocínio
combinatório.
É necessário ressaltar a importância de se investigar o desempenho dos
alunos da Educação de Jovens e Adultos, modalidade de ensino esta que apresenta
poucas produções acadêmicas relacionadas ao desenvolvimento cognitivo deste
público que apresenta características peculiares provenientes de seu processo
histórico-social e cultural.
Ciente dessa importância, buscamos contribuir para este campo da educação
brasileira com a realização desta pesquisa que procurou analisar a compreensão de
alunos da Educação de Jovens e Adultos em todos os níveis desta modalidade de
ensino sobre problemas de estruturas multiplicativas, mais especificamente os que
envolvem o raciocínio combinatório.
Dentre as variáveis analisadas as que controlamos foram série e tipo de
problema. Embora as demais variáveis (profissão exercida, anos de estudo e faixa
etária – variáveis externas) não tenham sido controladas nesta pesquisa algumas
delas exerceram influência no desempenho dos alunos na resolução dos problemas
multiplicativos.
Um dos objetivos principais do estudo foi comparar o desempenho em função
da escolaridade. Este é um aspecto importante, pois os alunos da EJA fazem parte
de um público que procura (re)inserir-se no âmbito escolar o que caracteriza um
compromisso social para que nesta nova oportunidade tenham a garantia de uma
educação que favoreça o desenvolvimento de seus conhecimentos.
Quando relacionados com os anos de escolarização, percebeu-se que à
medida que avançavam na escolarização também ocorreram avanços nos
desempenhos com relação à compreensão dos significados dos problemas, ou seja,
no sentido que avançavam nos anos escolares, os alunos iam utilizando os
conceitos-em-ação característicos de cada tipo de problemas dos conceitos
combinatórios.
127
Uma variável importante no estudo foi a das séries (módulos), pois
percebemos que a escolarização é um fator que influencia fortemente no
desempenho dos alunos. O desempenho dos educandos do Ensino Médio
Profissionalizante – PROEJA foi significativamente superior ao dos demais níveis e o
desempenho no primeiro módulo em comparação aos dois últimos da EJA também
apresentaram uma diferença significativa, uma vez que os desempenhos dos alunos
dos módulos referentes às séries finais do Ensino Fundamental foram superiores
aos das séries inicias. Nesta perspectiva, percebemos que o ensino da Combinatória
é elemento fundamental no desenvolvimento do raciocínio combinatório, pois com o
passar dos anos escolares, o desempenho melhora no que se refere a este
raciocínio. Pessoa (2009), alerta para o fato de que outros conhecimentos
matemáticos e de outras áreas (adquiridos dentro e fora da escola) também podem
influenciar na construção do raciocínio combinatório. Dessa forma, é preciso
reconhecer que tanto o ensino direto quanto o implícito de princípios combinatórios
têm forte influência no desenvolvimento de uma nova forma de pensar dos
estudantes.
O nível de ensino e os anos de escolarização mostraram-se variáveis
interferentes no desempenho dos participantes da pesquisa, pois à medida que os
anos escolares passaram o desempenho avançou, quanto mais tempo de escola,
melhor o desempenho nos problemas combinatórios. A diferença no desempenho foi
mais significativa entre os módulos do Ensino Fundamental e a turma de Mecânica
do PROEJA, mas observamos diferenças significativas também entre os módulos I,
III e IV.
A partir da análise de desempenho dos participantes, pudemos observar quais
problemas multiplicativos os alunos da Educação de Jovens e Adultos apresentam
maior e menor dificuldade. Obtivemos fortes evidências com relação aos
procedimentos utilizados pelos sujeitos da pesquisa na resolução dos problemas
multiplicativos, em especial os de raciocínio combinatório, porém, o que pensam
quando resolvem tais tipos de problemas seria mais facilmente identificado através
de outros métodos, como uma entrevista clínica piagetiana. Pudemos identificar
significados de Combinatória mais facilmente compreendidos, bem como formas de
representação simbólica preferidas e pudemos inferir sobre os invariantes
operatórios que os alunos percebem ao resolver os problemas.
Dentre os
problemas combinatórios os de combinação e arranjo apresentaram-se como os que
128
os alunos demonstraram um mais fraco desempenho. Dentre as estratégias a mais
utilizada pelos participantes foi a listagem de possibilidades.
Consideramos ainda a importância desta pesquisa em investigar dentro da
Educação Matemática o raciocínio combinatório. Este é um modo de pensar
presente em diversas situações cotidianas nas quais é necessário realizar um
agrupamento dado um conjunto de elementos com a finalidade de atender a critérios
específicos para determinar o total de agrupamentos possíveis.
Com o levantamento de estudos que abordam o raciocínio combinatório
verificamos que estes focam um ou alguns dos quatro tipos de problemas
combinatórios. Pessoa e Borba (2007, 2009) sugerem o trabalho com os quatro tipos
de problemas (permutação, arranjo, combinação e produto cartesiano), pois as
relações básicas de Combinatória contidas nestes quatro tipos de problemas levam
os estudantes a terem contato com a variedade de situações que pode possibilitar
um mais amplo desenvolvimento do raciocínio combinatório.
Embora cada situação combinatória apresente uma particularidade as
mesmas têm características que as aproximam, desta maneira, fazem parte de um
mesmo campo conceitual, o das estruturas multiplicativas (Vergnaud, 1991).
A variável externa profissão, embora não tenha sido controlada, nos mostra
que o exercício profissional é um fator que pode influenciar o desempenho dos
participantes na resolução de problemas combinatórios. O grupo das atividades
domésticas foi o que apresentou maior percentual de no máximo oito acertos,
enquanto que grupos como o de transporte teve um percentual maior que este grupo
em mais de oito acertos. Estudos anteriores apontam para o fato de que o exercício
profissional exerce influência no desempenho dos sujeitos na resolução de
problemas matemáticos. No estudo de Schiliemann (1988), por exemplo, realizado
com cambistas do jogo do bicho, estudantes universitários e trabalhadores de
condições sociais e financeiras semelhantes aos dos cambistas demonstra que
apesar de não terem passado pela formalização de conceitos combinatórios os
cambistas
apresentaram
bom
desempenho,
ficando
atrás
dos
estudantes
universitários. A autora acima citada conclui que tanto conhecimentos informais
como os formais são necessários ao desenvolvimento dos conhecimentos
matemáticos, mais especificamente os que envolvem a permutação.
Nesta perspectiva, o desenvolvimento do conhecimento combinatório ocorre,
atrelado a algumas variáveis que fazem grande diferença no desempenho dos
129
alunos. Os educandos apresentam desempenho mais satisfatório ou menos
satisfatório, dependendo dessas variáveis. Alguns problemas são de mais fácil
compreensão e outros mais difíceis, devido à estrutura do problema e do trabalho
realizado em sala de aula. Neste sentido, o cálculo relacional será mais fácil ou difícil
dependendo da natureza da situação e da experiência dos alunos em lidarem com
proposições semelhantes.
De modo geral, os alunos têm melhor desempenhos nos problemas de
multiplicação direta, quotição e partição. É provável que isto aconteça porque desde
os anos iniciais do Ensino Fundamental trabalhe-se com esses tipos de problemas
em sala de aula. Esse melhor desempenho confirma o que foi pontuado por Nesher
(1988) e Brown (1981) que entre os problemas multiplicativos os de produto
cartesiano são os mais difíceis.
Estudos anteriores pontuaram que problemas que envolvem a partição e a
quotição não apresentam diferenças significativas no desempenho dos alunos
(Selva, 1998; Selva et al, 2006), embora os de quotição apresentaram-se como um
pouco mais difíceis. Um motivo apontado pelas autoras acima citadas foi o fato de
que problemas de quotição podem ser considerados como problemas inversos de
multiplicação, o que exige que o aluno realize uma inversão mental. Já a partição
são considerados problemas diretos de divisão e são mais usualmente trabalhados.
Os resultados mostram que os problemas de produto cartesiano são os mais
fáceis entre os problemas combinatórios, seguido dos problemas de permutação,
combinação e arranjo. Isto indica que é necessário perceber a natureza variada dos
problemas, identificando seus invariantes. Estudos anteriores apontam que dentre
os problemas combinatórios os de arranjo são os mais fáceis seguidos dos de
permutação e combinação (Pessoa, 2009). Observamos que estes dados coincidem
com os encontrados neste estudo quando observamos os acertos dos alunos nas
duas questões de cada tipo de problema.
Segundo Vergnaud (1983), o melhor critério para aquisição de conceitos é
através da habilidade em resolver situações em linguagem natural e utilizar símbolos
para ajudar na resolução de problemas.
Diferentemente de estudos anteriores, que apontam que mesmo quando os
alunos não conseguem obter a resposta correta muitos demonstram compreender
as relações envolvidas e utilizam diversas estratégias válidas para resolverem as
questões, encontramos no presente estudo percentuais baixos de sujeitos que
130
tenham usado estratégias distintas das formais para resolverem os problemas
propostos. Dentre os que utilizaram formas distintas das formais para a resolução
dos problemas, encontramos estratégias semelhantes aos evidenciados por Pessoa
(2009) com crianças de sete a dezessete anos, como o uso da listagem de
possibilidades. Esta representação entre os problemas combinatórios apresentou
um percentual maior do que uso de fórmulas e/ou quadro ou diagramas. Contudo, os
alunos usaram mais multiplicação e adição de parcelas repetidas para resolver estes
tipos de problemas, mesmo o percentual tendo sido menores do que os observados
na não apresentação de estratégia.
A maior parte dos alunos respondeu as questões utilizando procedimentos
formais, contudo, é nas séries iniciais da EJA que observamos formas distintas de
resolver os problemas. A mais usual foi a representação icônica e a listagem de
possibilidades na questão quatro (problema de permutação que trabalha a formação
de palavras existentes ou não com as letras da palavra AMOR), entre os alunos
destes módulos iniciais. Em todos os níveis, esta foi uma questão em que os alunos
tentaram resolver através da listagem de possibilidades. Ninguém obteve sucesso
na resolução, pois apesar de alguns terem percebido o que o enunciado pedia
nenhum aluno esgotou todas as possibilidades.
A análise de tipos de respostas e de estratégias evidencia, porém, que os
procedimentos mais bem sucedidos e os tipos de respostas que mais se aproximam
das corretas se concentram mais nos alunos do PROEJA – Programa Nacional de
Integração da Educação Profissional com a Educação Básica na Modalidade de
Educação de Jovens e Adultos. Assim, fica evidenciado que a escolarização é
determinante no desempenho dos alunos e que o ensino da Combinatória se faz
essencial para o desenvolvimento do raciocínio combinatório.
As representações simbólicas são parte importante no processo de
compreensão dos significados, na construção do pensamento combinatório. O uso
de diferentes representações mostra formas distintas de compreender o problema.
Os tipos de respostas e as estratégias utilizadas pelos alunos nos mostram como
esse desenvolvimento do raciocínio combinatório ocorre. É necessário que a escola
encoraje o uso de representações distintas e não apenas as formais para a
resolução de problemas, pois elas indicam o nível de compreensão dos alunos e
qual ação deve ser tomada pelo professor. É preciso que o educador esteja atento
às estratégias usadas pelos educandos, com a finalidade de aproveitá-las no sentido
131
de perceber o que mobiliza os alunos na compreensão dos problemas
combinatórios, pois daí será possível ajudá-los a avançar nas estratégias de solução
e na compreensão da Combinatória. O acompanhamento das estratégias dos alunos
permite identificar quais conceitos-em-ação e quais teoremas-em-ação os alunos
utilizam no desenvolvimento do pensamento combinatório.
Diante dos resultados obtidos, observamos que a escola é essencial para o
desenvolvimento do conhecimento combinatório, pois é ela que guiará os educandos
à formalização dos conhecimentos sobre este raciocínio através da percepção dos
conceitos-em-ação e dos teoremas-em-ação que os alunos usam. Percebemos
também que os alunos utilizam formas distintas de resolução e isto indica que este
conhecimento é já mobilizado antes mesmo da formalização. Deste modo,
entendemos que é papel da escola fornecer aos alunos oportunidade de
desenvolver formas distintas de resolução, a fim de propiciar uma melhor
compreensão desses educandos sobre raciocínio combinatório. Assim, os mesmos
poderão desenvolver melhor o processo de sistematização, aprofundamento,
ampliação e formalização dos seus conhecimentos em Combinatória.
Estudos anteriores em raciocínio combinatório forneceram subsídios para a
construção deste estudo. A contribuição desta pesquisa em relação às outras já
realizadas é que focamos um grupo específico de estudantes, alunos da Educação
de Jovens e Adultos. Este público, embora muito estudado em relação à sua história
social, cultural e econômica, ainda apresenta poucos estudos sobre a forma de
pensar dessa clientela com relação à resolução de problemas matemáticos. No
sentido de contribuir para a melhora deste grupo específico, decidimos realizar este
estudo em cinco níveis da EJA, a fim de entender como esses alunos compreendem
Combinatória.
Este estudo nos possibilitou inferir sobre algumas variáveis na relação dos
alunos da EJA na resolução de problemas multiplicativos (anos de escolarização,
atividades profissionais, faixa etária, tipos de respostas e estratégias apresentadas)
principalmente nos problemas de Combinatória. Deste modo, novas pesquisas
podem ser efetuadas no intuito de investigar com mais profundidade como esses
alunos relacionam esses conhecimentos e como eles se dão de forma mais
explícitas em relação aos problemas combinatórios. Podemos, ainda, realizar
intervenções em sala de aula a partir dos dados obtidos neste estudo, utilizando-se
desses resultados para verificar como se dá o ensino de Combinatória e como esses
132
alunos se apropriam desses conhecimentos.
Outra investigação que pode ser realizada é com indivíduos que não estejam
em processo de escolarização e/ou sejam de um grupo específico profissional, com
a finalidade de verificar quais representações são utilizadas por esses na resolução
de problemas que envolvem o raciocínio combinatório.
Outra possibilidade é verificar o uso do material manipulativo na resolução de
problemas que envolvam a Combinatória por alunos jovens e adultos observando,
assim, quais estratégias essa clientela utiliza diante de recursos distintos.
Esperamos ter contribuído para a compreensão de como alunos da EJA
desenvolvem o raciocínio combinatório, evidenciando fatores que contribuem para
esta construção. A apresentação das estratégias utilizadas pelos alunos e as
dificuldades registradas pelos mesmos nos tipos de problemas podem contribuir
para reflexão de como estes problemas podem ser trabalhados em sala de aula.
133
_________________
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
_______________________________
134
ABRAHAMSON, Dor & CENDAK, Rose. The odds of understanding the law of large
numbers: a design for grounding intuitive probability in combinatorial analysis. In:
Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the
Psychology of Mathematics Education-PME 30 - Praga, República Tcheca, 2006.
AMIT, Miriam & JAN, Irma. Autodidactic learning of probabilistic concepts through
games. In: Proceedings of the 30th Conference of the International Group for
the Psychology of Mathematics Education -PME 30 - Praga, República Tcheca,
2006.
ARROYO, Miguel. Reflexão sobre a reorganização e reorientação curricular da
Educação de Jovens e Adultos na perspectiva da proposta de Reorganização e
Reorientação curricular. São Paulo, 2003.
______________. Educação de jovens-adultos: um campo de direitos e de
responsabilidade pública. In: SOARES, Leôncio; GIOVANETTI, Maria Amélia;
GOMES, Nilma (org). Diálogos na Educação de Jovens e Adultos. Belo
Horizonte, Minas Gerais: Autêntica, 2005.
BAIL, Viviane Schumacher. Educação matemática de jovens e adultos, trabalho e
inclusão. Florianópolis: Insular, 2002.
BARRETO, Fernanda; AMARAL, Fábio & BORBA, Rute. Como o raciocínio
combinatório tem sido apresentado em livros didáticos de séries iniciais. Caderno
de Trabalhos de Conclusão de Curso de Pedagogia, Recife: UFPE, 2007,
v. 2, p. 1-21.
BATANERO, Carmen; GODINO, Juan & NAVARRO-PELAYO, Virginia. Combinatorial
Reasoning and its Assessment In: Gal, I. & Garfield, J. B. (editors). The Assessment
Challenge in Statistics Education. IOS Press, 1997.
BEISIEGEL, Celso de Rui. Questões da atualidade na educação popular: ensino
fundamental de jovens e adultos analfabetos ou pouco escolarizados. São
Paulo: FEUSP (texto apresentado em mesa redonda na 22ª Reunião Anual da
ANPEd), Caxambu, Mg: set. 1999.
BINI, Márcia Bárbara. Atividades interativas como geradoras de situações no
Campo Conceitual da Matemática. Dissertação (Mestrado em Educação em
Ciências e Matemática). Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.
Porto Alegre, 2008.
BORBA, Rute., ROCHA, Cristiane., MARTINS, Glauce., & LIMA, Rita de Cássia. O
que dizem os estudos recentes sobre o raciocínio combinatório? Anais do X
Encontro Gaúcho de Educação Matemática. Inijuí, 2009.
BORBA, Rute E. S. R.; SELVA, Ana C. V.; LUNA, Maria Helena T.; SILVA, Dayse B. e
FERREIRA, Maria N. P. Sondando o conhecimento de professoras sobre o
desenvolvimento conceitual multiplicativo. Anais do 2º SIPEMAT – Simpósio
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Recife, UFRPE, 2008.
BRASIL. MEC. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Disponível em:
135
<http://www.mec.gov.br>. Acesso em: 21 de julho de 2008.
______. Plano Nacional de Educação. Disponível em: <http://www.mec.gov.br>.
Acesso em: 21 de julho de 2008.
BRASIL, MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. 1º e 2º ciclos.
Secretaria de Ensino Fundamental, 1997.
BRASIL, MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais. Matemática. 3º e 4º ciclos.
Secretaria de Ensino Fundamental, Brasília, 1997.
BROWN, Margareth. Number operations. In: Hart, Kathleen (ed.) Children’s
understanding of Mathematics: 11-16. .Windsor :NFER-Nelson, 1981, pp.23-47.
BRYANT, Peter, MORGADO, Luísa & NUNES, Terezinha. Children’s understanding
of multiplication. Proceedings of the Annual Conference of the Psychology of
Mathematics Education. Tokyo, 1992.
CARRAHER, Terezinha, CARRAHER, David. & SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida
dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988.
CARVALHO, Dione L. de. A interação entre o conhecimento matemático da
prática e o escolar. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação,
Universidade de Campinas, Campinas, 1995.
CORREIA, P. F. & FERNANDES, J. A. Estratégias intuitivas de alunos do 9º ano de
escolaridade na resolução de problemas de combinatória. Libro de Actas do
Congresso
Internacional
Galego-Português
de
Psicopedagoxia. A.
coruña/Universidade de Coruña: Revista Galego-Portuguesa de Psicoloxia e
Educación, 2007.
COSTA, Claudinei. As concepções dos professores de Matemática sobre o uso
da modelagem no desenvolvimento do raciocínio combinatório no ensino
fundamental. 161 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2003.
CYRINO, Márcia & TEIXEIRA, B. Estágio de docência e a formação do professor de
Matemática: uma experiência com análise combinatória por meio da resolução de
problemas. In: Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo
Horizonte, 2007.
DI PIERRO, Maria Clara & GRACIANO, Mariângela. A educação de jovens e
adultos no Brasil: Informe apresentado à Oficina Regional da UNESCO para
América Latina y Caribe. São Paulo: Ação Educativa. Junho de 2003.
<WWW.acaoeducativa.org.br/dowload/relorealc.pdf >. Acesso em 2 de fevereiro de
2009.
136
DI PIERRO, Maria Clara. Um balanço da evolução recente da educação de jovens e
adultos no Brasil. In: VÓVIO, Cláudia Lemos; IRELAND, Timothy denis. (org.).
Construção coletiva: Contribuições à Educação de Jovens e Adultos. 2ª ed.
Brasília: UNESCO, MEC, RAAAB, 2008.
DI PIERRO, Maria Clara. Descentralização, focalização e parceria: Uma análise
das tendências nas políticas públicas de educação de jovens e adultos.
Educação e Pesquisa, São paulo, v. 27, n. 2, p. 321 – 337, jul/dez, 2001.
ESTEVES, Inez. & MAGINA, Sandra. Investigando os fatores que influenciam o
raciocínio combinatório em adolescente de 14 anos – 8ª série do Ensino
Fundamental. Anais do VII Encontro Nacional de Educação Matemática. Rio de
Janeiro, 2001.
FANTINATO, Maria Cecília. A construção de saberes matemáticos entre jovens e
adultos no Morro de São Carlos. In: Revista Brasileira de Educação, n. 27, 2004.
FISCHBEIN, Efraim & GAZIT, Avikam. The Combinatorial Solving Capacity in
Children and Adolescents, Zentralblatt f ¨ur Didaktitk der Mathematik 5, 1988, pp.
193–198.
FISCHBEIN, Efraim. The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children,
Reidel, Dordrecht, 1975.
FISCHBEIN, Efraim; PAMPU, Ileana & MINZAT, Ion. Effects of age and instruction on
combinatory ability in children. The British Journal of Educational Psychology, nº
40, 1970.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. (org.). Letramento no Brasil: habilidades
matemáticas: reflexão a partir do INAF 2002 – São Paulo: Glogal: Ação educativa
Assessoria, Pesquisa e informação Instituto Paulo Montenegro, 2004.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. Educação Matemática de jovens e adultos:
especificações, desafios e contribuições. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
FONTES, M. & FONTES, D. Análise combinatória: uma abordagem através de
contexto. In: Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo
Horizonte, 2007.
FRANCHI, Anna. Considerações sobre a Teoria dos Campos Conceituai. In:
Educação Matemática: Uma Introdução. São Paulo: EDUC/PUC – SP, 2002.
FRANT, Janete; CASTRO, Mônica & LIMA, Tânia. Pensamento Combinatório: Uma
análise baseada na Estratégia Argumentativa. Anais da 24ª Reunião Anual da
Associação Nacional de Pesquisa e Pós-Graduação em Educação (ANPEd).
Caxambu, MG, 2001.
____________. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática
educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.
137
____________e BETTO. Esta escola chamada vida. Depoimentos ao repórter
Ricardo Kotscho. São Paulo: Ática, 1986.
GOMES, Maria José. Profissionais fazendo Matemática: O conhecimento de
números decimais de alunos pedreiros e marceneiros da Educação de Jovens
e Adultos. Dissertação de Mestrado da UFPE, 2007.
HENRIQUES, Ricardo; IRELAND, Timothy. A política de educação de jovens e
adultos no Governo Lula. In: VÓVIO, Cláudia Lemos; IRELAND, Timothy Denis.
(org.) Construção coletiva: Contribuições à educação de jovens e adultos. 2ª
ed. Brasília: UNESCO, MEC, RAAAB, 2008.
INHELDER, Barbara & PIAGET, Jean. De la logique de l’enfant à la logique se
l’adolescent. Paris: Presses Universitaires de France, 1955.
JAN, Irma & AMIT Miriam. What's the connection between ears and dice? They both
promote probabilistic understanding. In: Proceedings of the 30th Conference of
the International Group for the Psychology of Mathematics Education -PME 30.Praga, República Tcheca, 2006.
MATOS FILHO, Maurício & PESSOA, Cristiane. Livro Didático: como estão
abordando os problemas de raciocínio combinatório no Ensino Fundamental? VI
Encontro Pernambucano de Educação Matemática - VI EPEM, Caruaru, 2006.
MELO, Maria José Medeiros Dantas & PASSEGGI, Maria da Conceição. A
matemática na educação de jovens e adultos: algumas reflexões. Horizontes, v.
24,
n.1,
p.23-32.
jan.
e
jun
de
2006.
Disponível
em:
<www.saofrancisco.edu.br/edusf/publicacoes/RevistaHorizontes/Volume_01/upçoad
Address/Art2%5B6170%5D.pdf >. Acesso em: 2 de fevereiro de 2009.
MERAYO, Felix. Matemática Discreta. Madri: Editora Thomson Paraninfo S.A.,
2001.
MORGADO, Augusto, PITOMBEIRA DE CARVALHO, João, PINTO DE CARVALHO,
Paulo. & FERNANDEZ, Pedro. Análise combinatória e probabilidade. Rio de
Janeiro: Graftex, 1991.
NESHER, Pearla. Multiplicative school word problems: theoretical approaches and
empirical findings. In: J. Hiebert and M. Behr (eds.): Number concepts and
operations in the middle grades. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum
Associates, 1988, p. 19-40.
NUNES, Terezinha & BRYANT, Peter. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1997.
NUNES, Terezinha, CAMPOS, Tânia, MAGINA, Sandra, & BRYANT, Peter.
Introdução à Educação Matemática: os números e as operações numéricas.
São Paulo: PROEM, 2001.
OLIVEIRA, Marta Kohl de. Jovens e adultos como sujeitos de conhecimento e
aprendizagem. Revista Brasileira de Educação. São Paulo: ANPED – Associação
138
Nacional de Pesquisa e Pós-Graduação em Educação, n.12, 1999, p. 59-73.
PALACIOS, Jesús. Mudança e desenvolvimento durante a idade adulta e a velhice.
In: COLL, César; MARCHESI, Álvaro e PALACIOS, Jesús. (org). Desenvolvimento
psicológico e educação. 2 ed. Porto Alegre: Artmed, 2004.
PALACIOS, Jesús; OLIVA, Alfredo. A dolescência e seu significado evolutivo. In:
COLL, César; MARCHESI, Álvaro e PALACIOS, Jesús. (org). Desenvolvimento
psicológico e educação. 2 ed. Porto Alegre: Artmed, 2004.
PAIVA, Vanilda Pereira. Educação popular e educação de adultos. 4 ed. São
Paulo, Loyola, 1987
PESSOA, Cristiane. Quem dança com quem: O desenvolvimento do raciocínio
combinatório do 2º ano do Ensino Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio.
Tese (Doutorado em Educação). Universidade Federal de Pernambuco, Recife,
2009.
PESSOA, Cristiane & BORBA, Rute. Resolução de problemas de raciocínio
combinatório por alunos do 6º ao 9º ano. Anais do 19º Encontro de Pesquisa
Educacional do Norte e Nordeste, João Pessoa, 2009.
PESSOA, Cristiane & BORBA, Rute. Quem dança com quem: o desenvolvimento
do raciocínio combinatório de crianças de 1ª a 4ª série. ZETETIKÉ – Cempem –
FE – Unicamp, v. 17, jan-jun, 2009.
PESSOA, Cristiane & MATOS FILHO, Maurício. Raciocínio combinatório: uma
análise dos livros didáticos de matemática de 1ª a 4ª séries Anais da VII Reunião
de Didática da Matemática do Cone Sul, Águas de Lindóia, 2006b.
PESSOA, Cristiane; SILVA, Cledjane & MATOS FILHO, Maurício. Como os alunos
de 3ª e 5ª série resolvem os problemas de estrutura multiplicativa? Anais do XI
Encontro Baiano de Educação Matemática, Salvador, 2005.
PESSOA, Cristiane. & BORBA, Rute. Como crianças de 1ª à 4ª série resolvem
problemas de raciocínio combinatório? Anais do 2º Simpósio Internacional de
Pesquisa em Educação Matemática. Recife, 2008.
PESSOA, Cristiane & BORBA, Rute. Estratégias de resolução de problemas de
raciocínio combinatório por alunos de 1ª a 4ª série. In: ENCONTRO NACIONAL DE
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais do Encontro Nacional
de Educação Matemática. Belo Horizonte, 2007.
PIAGET, Jean & INHELDER, Barbra. La génese de l’idée de hasard chez l’enfant.
Paris, Press Universitaires de France, 1951.
PINHEIRO, Carlos & SÁ, Pedro. de. O ensino de análise combinatória: a prática
pedagógica predominante segundo os docentes. Anais do IX Encontro Nacional
de Educação Matemática (ENEM), Belo Horizonte, 2007.
139
PLACHA, Kelly Cristine.; MORO, Maria Lúcia faria. Problemas de Produto
Cartesiano, Raciocínio Combinatório e Intervenção do professor. Psicologia:
Teoria e Pesquisa. Jan/mar. Vol. 25, n. 1, 2009.
RIBEIRO, Vera Maria Masagão. BRASIL. MEC. Proposta Curricular do 1º
segmento da Educação de Jovens e Adultos: Ensino Fundamental. 3ª edição.
São Paulo/Brasília, 2001. Disponível em: <http://www.mec.gov.br>. Acesso em: 21
de julho de 2008.
ROCHA, José de Arimatéa. Investigando a aprendizagem de análise combinatória
simples em uma turma de licenciandos em matemática submetida a uma prática de
ensino tradicional. Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática
(ENEM), Belo Horizonte, 2007.
ROCHA, Halline Fialho da. KARL, Helena de Azevedo. VEIGA, Marise Schmidt. &
GUIMARÃES, Michelle. As práticas educativas na Educação de Jovens e
Adultos. Relatório de Pesquisa apresentado como requisito de conclusão do Curso
de Pedagogia da Faculdade de Educação da Universidade Católica de Petrópolis –
UCP. Petrópolis, 2002.
RODRIGUES, José Maria. Formação matemática de professores de atuação
multidisciplinar nas séries iniciais do Ensino Fundamental: indicativos para estudos
de noções de probabilidade. In: Anais do III Seminário Internacional de Pesquisa
em Educação Matemática, Águas de Lindóia, São Paulo, 2006.
SANDOVAL, Ivone; TRIGUEIROS, Maria & LOZANO, Dolores. Uso de un interactivo
para el aprendizaje de algunas ideas sobre combinatoria en primaria. In: Anais do
XII Comitê Interamericano de Educação Matemática, Querétaro, México, 2007.
SANTOS, L. F. Raciocínio Combinatório na EJA. Anais do VIII Encontro Sergipano
de Educação Matemática. VIII Encontro Sergipano de Educação Matemática,
Aracajú, 2008.
SCHLIEMANN, Analúcia. A compreensão da análise combinatória: desenvolvimento,
aprendizagem escolar e experiência diária. In: CARRAHER, Terezinha Nunes;
CARRAHER, David & SCHLIEMANN, Analúcia. Na vida dez, na escola zero. São
Paulo: Cortez, 1988.
SELVA, Ana Coelho Vieira & BORBA, Rute Elizabete de Souza Rosa. Sondando o
conhecimento de professoras sobre o desenvolvimento conceitual multiplicativo.
Anais do 2º SIPEMAT – Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática. Recife: UFPE, 2008
SELVA, Ana; BORBA, Rute; CAMPOS, Tânia; BIVAR, Dayse; FERREIRA, Maria
Neuza; LUNA, Maria Helena. O raciocínio multiplicativo de crianças de 3ª e 5ª séries:
O que compreendem? Que dificuldades apresentam? Anais do 2º Simpósio
Internacional de Educação Matemática. Recife, 2008.
SELVA, Ana.; BORBA, Rute.; MAGINA, Sandra.; SPINILLO, A. & CAMPOS, T. A
resolução de problemas multiplicativos por crianças das séries iniciais do Ensino
Fundamental – o que resolvem e por que resolvem? Anais do III SIPEM, São Paulo,
140
2006.
SELVA, Ana Coelho Vieira. Discutindo o uso de materiais concretos na resolução de
problemas de divisão. In Schliemann, A. & Carraher, D. (orgs). A compreensão de
conceitos aritméticos. Ensino e Pesquisa. São Paulo. Papirus editora: 95-119,
1998.
SILVA, Valdenice. Números decimais: No que os saberes de adultos diferem dos
de crianças? Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade Federal de
Pernambuco. Recife, 2006.
SILVA, Valdenice. & MONTEIRO, Carlos. “Atitudes no currículo da Educação de
Jovens e Adultos”. In: Anais do XV EPENN – Encontro de Pesquisa Educacional
do Norte e Nordeste – UFMA, Maranhão, Jun de 2001.
________________. Currículo e cidadabia na Educação de Jovens e Adultos. In:
Anais da 53ª Reunião Anual da SBPC. Realizada na UFBA, Salvador, Jun de
2001.
________________. Currículo e Educação de Jovens e Adultos: Abordando a
cidadania. In: Anais da 23ª Reunião Anual da ANPEd – Caxambu, Minas Gerai,
2000.
SOARES, Maria. Teresa. & MORO, Maria Lúcia. Psicogênese do raciocínio
combinatório e problemas de produto cartesiano na escola fundamental. Anais do III
Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Águas de
Lindóia, SP, 2006.
VERGNAUD, Gérard. A classification of cognitive tasks and operations of thought
involved in addition and subtraction problems. In Carpenter, Thomas, Moser, Joseph
& Romberg, Thomas. (Eds.), Addition and subtraction: a cognitive perspective.
Hillsdale, N. J.: Lawrence Erlbaum, 1982.
________________. Multiplicative structures. In: Lesh, R. & Landau, M. (Eds.).
Acquisition of mathematics: Concepts and processes. New York: Academic
Press, 1983.
__________________. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das
matemáticas Um exemplo: as estruturas aditivas. Análise Psicológica, 1, 1986, pp.
75-90.
__________________. La théorie de champs conceptuels. Recherches en
Didactique de Mathématiques, , vol 10, n°2.3, Pensée Sauvage: Grenoble, França.
1990, pp. 133-170.
________________. El niño, las matemáticas y la realidad - Problemas de la
enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Mexico: Trillas,
1991.
________________. Multiplicative conceptual field: what and why? In Guershon, H.
141
and Confrey, J. (1994). (Eds.) The development of multiplicative reasoning in the
learning of mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press, 1994,
pp. 41-59.
_______________. A trama dos campos conceituais na construção dos
conhecimentos. Revista do GEMPA, nº 4, Porto Alegre, 1996, pp. 9-19.
________________. A comprehensive theory of representation for mathematics
education. JMB – Journal of Mathematical Behavior. CRNS, Paris, nº 17 (2), 1998,
pp. 167-181.
________________. The theory of conceptual fields. Human Development. 52,
2009, p. 83-94.
142
______________________
ANEXOS
_________________________
143
ANEXO 1 – QUETIONÁRIO
1 – Nome : ___________________________ Idade : __________________
2 – Sexo : Feminino ( )
Masculino ( )
3 – Profissão : _____________________ Tempo de profissão : ________________
4 – Local de nascimento : ______________________________________________
5 – Quantos anos já estudou?
1 – Nenhum ( )
2–1( )
3 – 2 a 4 anos ( )
4 – 5 a 7 anos ( )
5 – 8 a 10 anos ( )
6 – Mais ______
144
ANEXO 2 – TESTE MULTIPLICATIVO
Escola:_________________________________________________________
Nome:_________________________________________________________
Data:_________ Idade: ______Série:__________Turma:________________
01) Marta tem 63 adesivos em sua coleção. Em cada página do álbum ela colou 9 adesivos.
Quantas páginas do álbum ela já usou?
Resposta:___________________________________________________________________
02)Uma escola tem 9 professores (Cristiano, Isabel, Pedro, Sandra,Vítor,
Nívea,Roberto,Laura e Mateus) dos quais 5 devem representar a escola em um congresso.
Quantos grupos diferentes de 5 poderemos fazer?
Resposta:___________________________________________________________________
145
03) A escola “Mundo da Aprendizagem” conseguiu uma doação de 42 cadeiras. Ela tem 6
salas de aula e quer colocar a mesma quantidade de cadeiras em cada sala. Quantas cadeiras
novas serão colocadas?
Resposta:___________________________________________________________________
04) Calcule o número de palavras que podem ser criadas (existentes ou inventadas) usando a
palavra AMOR.
A
M
O
R
Resposta:___________________________________________________________________
146
05) A loja “Tudo sofá” vende sofás de 3 tamanhos diferentes (grande, médio e pequeno) e em
cores diferentes. Se na loja são vendidos 18 sofás diferentes quantas são as cores que podem
ser escolhidas?
“Fabricamos seu sofá no
tamanho e cor que você quiser”
Resposta:___________________________________________________________________
06) Na padaria “Pão Quente” cada pão de forma é cortado em 8 fatias. Quantas fatias serão
obtidas se 9 pães forem cortados?
“Fatie seu pão na hora!”
Resposta:___________________________________________________________________
147
07) Para representante de uma sala de aula se candidataram 3 pessoas (João, Mariana,Vítor).
Quantas maneiras diferentes poderão ser escolhidos o representante e o vice-representante?
Resposta:___________________________________________________________________
08) Na fabrica “Bola Tudo” há 4 tamanhos de bolas e estas são feitas em 7 desenhos
diferentes. Quantos tipos e bolas são fabricadas?
Resposta:___________________________________________________________________
148
09) Para enfeitar a loja no Natal, Seu Marcos comprou 7 arvores pequenas de Natal e 56 bolas
vermelhas. Ele quer enfeitar cada arvore com a mesma quantidade de bolas. Quantas bolas ele
vai colocar em cada arvore?
Resposta:___________________________________________________________________
10. De quantas formas diferentes poderei arrumar as fotos de meu irmão, meu pai e minha
mãe na estante, de modo que elas fiquem lado a lado?
Resposta:___________________________________________________________________
149
11) O supermercado “PreçoCerto” organiza os sabonetes em pacotes com 4 sabonetes cada.
Na prateleira tem 9 pacotes. Quantos sabonetes estão à venda?
SÓ HOJE!
SABONETES EM
PROMOÇÃO!
APROVEITE!
Resposta:___________________________________________________________________
12) Na sorveteria “Friofrio” você escolhe o sabor e a calda do seu sorvete. Há 4 tipos e caldas:
chocolate, morango, caramelo e ameixa e ao todo tem-se 32 opções diferentes de sorvete.
Quantos sabores diferentes são oferecidos?
Resposta:___________________________________________________________________
150
13.) As quartas de final da Copa do Mundo serão disputadas pelas seguintes seleções:
Brasil,França,Alemanha e Argentina. De quantas maneiras diferentes podemos ter os três
primeiros colocados?
Resposta:___________________________________________________________________
14.)No campeonato de vôlei de uma escola se inscreveram 48 crianças. Cada time é formado
por 6 crianças. Quantos times irão disputar o campeonato?
Resposta:___________________________________________________________________
151
15). O restaurante “QDelicia” serve vários tipos de pratos prontos (Prato quente e sobremesa).
Se há 6 opções de pratos quentes e 4 opções e sobremesa, quantos tipos de pratos prontos o
restaurante serve?
“Prato Pronto: Prato quente e sobremesa”
Escolha sua opção!
Pratos quentes
Sobremesa
Bife
Bolo
Filé
Doce de goiaba
Frango
Salada de frutas
Macarronada
sorvete
Peixe
Sopa
Resposta:___________________________________________________________________
16) Três alunos (Mário, Raul e Júnior) participam de um concurso em que serão sorteadas
duas bicicletas iguais. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos no concurso?
Resposta:___________________________________________________________________