A
INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL
MATEMÁTICA I - GESTÃO
PAEF - 22 / 07 / 2004
Duração: 2:30 horas
NOME:
TURMA:
Primeira Parte (12 valores)
Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas.
Indique apenas a resposta correcta.
1. Seja a função fÝxÞ = x 2 e x , para qual dos intervalos a função admite inversa:
X
Ý?K, KÞ Ý?K, ?2Þ Ý?K, 0Þ
Ý?2, KÞ
2. Seja a função y = fÝxÞ definida implicitamente pela equação ln y ? xy = 0, e fÝ0Þ = 1. A
equação da recta tangente ao gráfico de fÝxÞ no ponto x = 0 é:
X
x+1
2x ? 1
2x + 1
x?1
x
se ?1 ² x < 0
e ?1
lnÝx + eÞ b se x ³ 0,
3. A função FÝxÞ=
ax
é contínua para que valores de a e b:
X
-a, b
a=b
a b = ?1
ab = 1
4. Seja FÝxÞ = x a fÝxÞ, com a ® 0. A elasticidade de FÝxÞ em ordem a x, El x FÝxÞ, é igual a
X
a +El x fÝxÞ
x a El x fÝxÞ
a El x fÝxÞ
1 +El x fÝxÞ
5. A área compreendida entre o gráfico da função fÝxÞ = x 2 ln x e o eixo das abcissas no
intervalo x 5 ße ?2/3 , e 1/3 à é igual a (note que e ?2/3 < 1 < e 1/3 )
X
2
9
+
1
3
e ?2
2
9
?
1
3
e ?2
? 29 ?
1
3
e ?2
? 29 +
1
3
e ?2
6. Seja fÝxÞ = ax 2 + e bx , com a e b constantes. A função fÝxÞ é convexa para:
X
-b > 0 e -a
-a < 0 e -b < 0
-a > 0 e -b
-a, b
fÝtÞ
7. Seja fÝxÞ uma função par com fÝfÝxÞÞ = f v ÝxÞ. Então, d X
fÝxÞdx é igual a
dt ?fÝtÞ
X
0
2f v ÝtÞfÝtÞ
2ßf v ÝtÞà 2
ßf v ÝtÞà 2
8. Considere a função fÝxÞ = 2x 3 ? x, no intervalo ß0, 2à. Qual das seguintes afirmações
completa correctamente a sguinte frase: ”O Teorema do Valor Médio...”:
não se aplica no intervalo especificado.
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y = ?
X
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y =
2
3
2
3
.
.
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y = 1.
Classifique cada uma das seguintes afirmações com V se Verdadeira e com F se Falsa.
9. Sejam f e g duas funções de x definidas num intervalo aberto I,
F
se fÝx 0 Þ = gÝx 0 Þ para algum x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
V
se fÝxÞ = gÝxÞ para todo o x 5 I e se x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
10. Sejam a n , s n e k, respectivamente, o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a razão
de uma série geométrica,
n
V se k ® 1, então s n = a 1 1 ? k .
1?k
F
se lim n¸K a n = 0, a série diverge.
11. Seja fÝxÞ uma função côncava e gÝxÞ uma função convexa, ambas duas vezes diferenciáveis
no intervalo I,
F
se hÝxÞ : h v ÝxÞ = g v ÝxÞf v ÝxÞ, então se f e g forem decrescentes hÝxÞ é convexa -x 5 I.
V
se 0 < V < 1, então V fÝxÞ ? Ý1 ? VÞ gÝxÞ é uma função côncava -x 5 I.
12. Seja fÝxÞ uma função contínua no intervalo I = ßa, bà,
V
se fÝxÞ ² 0 para x 5 I, então a área compreendida entre a função ßfÝxÞà 2 o eixo
b
das abcissas no intervalo I é A = X ßfÝxÞà 2 dx.
a
F
b fÝxÞ
m fÝxÞ
se c : a < c < b então o integral X x ? c dx = lim m¸c X x ? c dx.
c
b
Segunda Parte (8 valores)
Na segunda parte, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas.
2
1. Seja fÝxÞ uma função com derivada f v ÝxÞ = 2e2 x ? e . Determine os pontos extremos de
ex ?x+1
fÝxÞ e respectivos valores extremos no intervalo ß?1, 1à, sabendo que fÝ0Þ = 0 (integre por
substituição).
K
1
2. Estude para que intervalos de x a série >
n é convergente. Encontre a expressão da
n=0 Ý1 + xÞ
soma da série quando é convergente.
3. Considere a função fÝxÞ com derivada f v ÝxÞ = ßgÝln xÞà x onde g é uma função diferenciável.
i. Encontre a expressão de f vv ÝxÞ.
ii. Encontre a aproximação de Taylor de segunda ordem de fÝxÞ em torno de x = 1, sabendo
que: fÝ1Þ = 1; gÝ0Þ = e; g v Ý0Þ = 2.
Questão 1.
Os candidatos a pontos extremos no intervalo são os extremos do intervalo e os pontos de
estacionariedade:
i. Encontrar os pontos de estacionariedade:
f v ÝxÞ = 0 ù
2 e2 x ? e
= 0 ù 2 e2 x ? e = 0
2
ex ?x+1
T
e x2 ? x ? 1 ® 0
resolvendo a primeira equação:
eÝ2 e x ? 1Þ = 0 ù 2 e x ? 1 ù x = 1
2e
resolvendo a segunda equação usando a fórmula resolvente
e x2 ? x + 1 = 0 ù x =
1± 1?4e
2e
como 1 ? 4 e < 0 a equação não tem raízes e logo e x 2 ? x + 1 ® 0 é uma condição universal.
O único ponto de estacionariedade é x = 21e .
ii. A função fÝxÞ encontra-se resolvendo o problema de valor inicial
f v ÝxÞ =
2 e2 x ? e
,
e x2 ? x + 1
fÝ0Þ = 0
ii.1. Integrando por substituição f v ÝxÞ
X e2xe2 ?xx?+e1 dx + C
2
fÝxÞ =
Fazendo
u = gÝxÞ = e x 2 ? x ? 1 ö fÝuÞ = 1u
resulta que
du = g v ÝxÞdx ù du = Ý2e x ? 1Þdx.
Reescrevendo o integral e usando a substituição
X e2xe2 ?xx?+e1 dx + C = e X e x 2 ?1 x + 1 Ý2e x ? 1Þdx + C = e X 1u du + C
2
aplicando as regras de integração
e X 1u du + C = e ln |u| + C = e ln |e x 2 ? x + 1| + C
como e x 2 ? x + 1 > 0 para todo o x,
fÝxÞ = e lnÝe x 2 ? x + 1Þ + C
ii.2. A constante C encontra-se resolvendo o problema de valor inicial
fÝ0Þ = 0 ù e ln 1 + C = 0 ù C = 0
logo
fÝxÞ = e lnÝe x 2 ? x + 1Þ
iii. Os valores extremos e correspondentes pontos extremos encontram-se avaliando a função
nos pontos de estacionariedade e nos pontos extremos do intervalo.
fÝ?1Þ = e lnÝe + 1 + 1Þ = e lnÝ2 + eÞ
fÝ1Þ = e lnÝe ? 1 + 1Þ = e ln e = e
f
1
2e
= e ln e
1
2e
2
? 1 +1
2e
= e ln
1 ? 1 +1
4e
2e
= e ln 1 ? 1
4e
Ý?1Þ > fÝ1Þ > f 2e1 , x = ?1 e x = 2e1 são respectivamente ponto máximo e ponto
mínimo da função fÝxÞ no intervalo ß?1, 1à e e lnÝ2 + eÞ e e ln 1 ? 4e1 são os respectivos valores
máximo e mínimo.
Questão 2.
K
i. É uma série geométrica porque pode escrever-se como > n=1 a k n?1 fazendo:
K
>
n=0
1
=
Ý1 + xÞ n
K
>
n=1
1
=
Ý1 + xÞ n?1
e logo o primeiro termo é a = 1 e a razão é k =
ii. A série converge se |k| < 1 :
|k| < 1 ù
1
1+x
<1ù
K
>
n=1
1
1+x
n?1
1 .
1+x
1
< 1 ù |1 + x| > 1 T 1 + x ® 0
|1 + x|
resolvendo a inequação
1 + x > 1 U 1 + x < ?1 ù x > 0 U x < ?2
e a segunda condição equivale a x ® ?1. A intersecção dos dois conjuntos dá os valores de x para
os quais a série é convergente
x 5 Ý?K, ?2Þ W Ý0, KÞ
1
iii. Se x 5 Ý?K, ?2Þ W Ý0, KÞ então a série converge para s = a 1?k
s=
1
=
1
1 ? 1+x
1
1+x?1
1+x
1
x
1+x
x
= 1+
x
Questão 3
i. A segunda derivada encontra-se diferenciando logaritmicamente a expressão de f v ÝxÞ
i.1. Logaritmizar ambos os membros da expressão
ln f v ÝxÞ = x lnßgÝln xÞà
i.2. Diferenciar ambos os membros da equação usando a regra do produto no segundo membro
ßgÝln xÞà v
f vv ÝxÞ
f vv ÝxÞ
v
=
lnßgÝln
xÞà
+
x
ÝlnßgÝln
xÞàÞ
ù
=
lnßgÝln
xÞà
+
x
gÝln xÞ
f v ÝxÞ
f v ÝxÞ
usando a regra de derivação da função composta
g v Ýln xÞ 1x
g v Ýln xÞ
f vv ÝxÞ
f vv ÝxÞ
= lnßgÝln xÞà + x
ù v
= lnßgÝln xÞà +
gÝln xÞ
gÝln xÞ
f ÝxÞ
f v ÝxÞ
e resolvendo em ordem a f vv ÝxÞ
f vv ÝxÞ =
g v Ýln xÞ v
f ÝxÞ ù
gÝln xÞ
g v Ýln xÞ
lnßgÝln xÞà +
ßgÝln xÞà x
gÝln xÞ
lnßgÝln xÞà +
ù f vv ÝxÞ =
ii. A aproximação de Taylor de segunda ordem em torno de x = 1 é
fÝxÞ p fÝ1Þ + f v Ý1ÞÝx ? 1Þ + 1 f vv Ý1ÞÝx ? 1Þ 2
2
onde
fÝ1Þ = 1
f v Ý1Þ = gÝln 1Þ = gÝ0Þ = e
g v Ýln 1Þ
gÝln 1Þ =
f vv Ý1Þ = lnßgÝln 1Þà +
gÝln 1Þ
g v Ý0Þ
= lnßgÝ0Þà +
gÝ0Þ =
gÝ0Þ
= Ýln e + 2e Þe = Ý1 + 2e Þe =
= e + 2.
Logo a aproximação vem
fÝxÞ p 1 + eÝx ? 1Þ + 1 Ýe + 2ÞÝx ? 1Þ 2
2
B
INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO- UTL
MATEMÁTICA I - GESTÃO
PAEF - 22 / 07 / 2004
Duração: 2:30 horas
NOME:
TURMA:
Primeira Parte (12 valores)
Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas.
Indique apenas a resposta correcta.
1. Seja a função fÝxÞ = x 2 ln x, para qual dos intervalos a função admite inversa:
X
Ý?K, KÞ Ý0, KÞ
Ý?K, e ?1/2 Þ
Ýe ?1/2 , KÞ
2. Seja a função y = fÝxÞ definida implicitamente pela equação xy = ln y, e fÝ0Þ = 1. A
equação da recta tangente ao gráfico de fÝxÞ no ponto x = 0 é:
X
x?1
x+1
2x ? 1
2x + 1
3. A função FÝxÞ=
x
se ?1 ² x < 0
e ?bx ? 1
lnÝx + eÞ a se x ³ 0,
é contínua para que valores de a e b:
X
-a, b
a = ?b
ab = 1
a b = ?1
a
4. Seja FÝxÞ = ßfÝxÞà , com a ® 0. A elasticidade de FÝxÞ em ordem a x, El x FÝxÞ, é igual a
X
ßEl x fÝxÞà a
x a El x fÝxÞ
a +El x fÝxÞ
a El x fÝxÞ
5. A área compreendida entre o gráfico da função fÝxÞ = 3x 2 ln x e o eixo das abcissas no
intervalo x 5 ße ?2/3 , e 1/3 à é igual a (note que e ?2/3 < 1 < e 1/3 )
X
2
3
+ e ?2
? 23 ? e ?2
2
3
? e ?2
? 23 + e ?2
6. Seja fÝxÞ = a ln x + e bx , com a e b constantes. A função fÝxÞ é convexa para:
-b > 0 e -a
-a > 0 e -b
X
-a < 0 e -b
-a, b
fÝtÞ
7. Seja fÝxÞ uma função impar com fÝfÝxÞÞ = f v ÝxÞ. Então, d X
fÝxÞdx é igual a
dt ?fÝtÞ
X
0
2f v ÝtÞfÝtÞ
2ßf v ÝtÞà 2
ßf v ÝtÞà 2
8. Considere a função fÝxÞ = 4x 3 ? x, no intervalo ß0, 2à. Qual das seguintes afirmações
completa correctamente a sguinte frase: ”O Teorema do Valor Médio...”:
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y =
1
2
.
não se aplica no intervalo especificado.
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y = ?
X
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y =
2
3
2
3
.
.
Classifique cada uma das seguintes afirmações com V se Verdadeira e com F se Falsa.
9. Sejam f e g duas funções de x definidas num intervalo aberto I,
V
se fÝxÞ = gÝxÞ para todo o x 5 I e se x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
F
se fÝx 0 Þ = gÝx 0 Þ para algum x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
10. Sejam a n , s n e k, respectivamente, o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a razão
de uma série geométrica,
F
se lim n¸K a n = 0, a série converge.
1 .
1?k
11. Seja fÝxÞ uma função côncava e gÝxÞ uma função convexa, ambas duas vezes diferenciáveis
no intervalo I,
F
V
F
se k ® 1, então a soma da série é s = a 1
se hÝxÞ : h v ÝxÞ = g v ÝxÞf v ÝxÞ, então se f fôr crescente e g decrescente
hÝxÞ é convexa -x 5 I.
se 0 < V < 1, então V fÝxÞ + Ý1 ? VÞ gÝxÞ é uma função côncava -x 5 I.
12. Seja fÝxÞ uma função contínua no intervalo I = ßa, bà,
V
se fÝxÞ ² 0 para x 5 I, então a área compreendida entre a função |fÝxÞ| o eixo
b
das abcissas no intervalo I é A = X |fÝxÞ|dx.
a
V
b fÝxÞ
m fÝxÞ
se c : a < c < b então o integral X x ? c dx = ? lim m¸c X x ? c dx.
c
b
Segunda Parte (8 valores)
Na segunda parte, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas.
2
1. Seja fÝxÞ uma função com derivada f v ÝxÞ = 2e2 x ? e . Determine os pontos extremos de
ex ?x+1
fÝxÞ e respectivos valores extremos no intervalo ß?1, 1à, sabendo que fÝ0Þ = 0 (integre por
substituição).
K
1
2. Estude para que intervalos de x a série >
n é convergente. Encontre a expressão da
n=0 Ý1 + xÞ
soma da série quando é convergente.
3. Considere a função fÝxÞ com derivada f v ÝxÞ = ßgÝln xÞà x onde g é uma função diferenciável.
i. Encontre a expressão de f vv ÝxÞ.
ii. Encontre a aproximação de Taylor de segunda ordem de fÝxÞ em torno de x = 1, sabendo
que: fÝ1Þ = 1; gÝ0Þ = e; g v Ý0Þ = 2.
C
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MATEMÁTICA I - GESTÃO
PAEF - 22 / 07 / 2004
Duração: 2:30 horas
NOME:
TURMA:
Primeira Parte (12 valores)
Na primeira parte, cada questão vale um valor e as respostas erradas serão penalizadas.
Indique apenas a resposta correcta.
x
1. Seja a função fÝxÞ = ex , para qual dos intervalos a função admite inversa:
X
Ý0, KÞ
Ý1, KÞ
Ý?1, KÞ
Ý?K, KÞ
2. Seja a função y = fÝxÞ definida implicitamente pela equação xy = 2 ln y, e fÝ0Þ = 1. A
equação da recta tangente ao gráfico de fÝxÞ no ponto x = 0 é:
X
1
2
x?1
2x ? 1
3. A função FÝxÞ=
1
2x + 1
x+1
2
x
se ?1 ² x < 0
1 ? e ?bx
lnÝx + eÞ a se x ³ 0,
é contínua para que valores de a e b:
X
ab = 1
a b = ?1
a = ?b
-a, b
x
4. Seja FÝxÞ = a fÝxÞ, com a ® 0. A elasticidade de FÝxÞ em ordem a x, El x FÝxÞ, é igual a
X
xa x +El x fÝxÞ
a x El x fÝxÞ
ln a + El x fÝxÞ
x ln a +El x fÝxÞ
5. A área compreendida entre o gráfico da função fÝxÞ = 9x 2 ln x e o eixo das abcissas no
intervalo x 5 ße ?2/3 , e 1/3 à é igual a (note que e ?2/3 < 1 < e 1/3 )
X
2 ? 3e ?2
2 + 3e ?2
?2 ? 3e ?2
?2 + 3e ?2
6. Seja fÝxÞ = ax 2 + b ln x, com a e b constantes. A função fÝxÞ é convexa para:
X
-a > 0 e -b < 0
-a e -b > 0
-a, b
-a > 0 e -b
fÝtÞ
7. Seja fÝxÞ uma função par com fÝfÝxÞÞ = f v ÝxÞ. Então, d X
fÝxÞdx é igual a
?fÝtÞ
dt
X
0
2ßf v ÝtÞà 2
2f v ÝtÞfÝtÞ
ßf v ÝtÞà 2
8. Considere a função fÝxÞ = x 3 ? 5x, no intervalo ß0, 2à. Qual das seguintes afirmações
completa correctamente a sguinte frase: ”O Teorema do Valor Médio...”:
X
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y =
2
3
.
não se aplica no intervalo especificado.
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y = ?
aplica-se no intervalo especificado, sendo Y =
2
3
.
5.
Classifique cada uma das seguintes afirmações com V se Verdadeira e com F se Falsa.
9. Sejam f e g duas funções de x definidas num intervalo aberto I,
F
se fÝx 0 Þ = gÝx 0 Þ para algum x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
V
se fÝxÞ = gÝxÞ para todo o x 5 I e se x 0 5 I, então f v Ýx 0 Þ = g v Ýx 0 Þ.
10. Sejam a n , s n e k, respectivamente, o termo geral, a soma dos n primeiros termos e a razão
de uma série geométrica,
V
se lim n¸K a n ® 0, a série diverge.
n
se k ® 0, então s n = a 1 1 ? k .
1?k
11. Sejam fÝxÞ e gÝxÞ duas funções convexas, ambas duas vezes diferenciáveis no intervalo I,
F
F
se hÝxÞ : h v ÝxÞ = g v ÝxÞf v ÝxÞ, então se f e g forem decrescentes hÝxÞ é convexa -x 5 I.
F
se 0 < V < 1, então V fÝxÞ + Ý1 ? VÞ gÝxÞ é uma função côncava -x 5 I.
12. Seja fÝxÞ uma função contínua no intervalo I = ßa, bà,
V
se fÝxÞ ² 0 para x 5 I, então a área compreendida entre a função ßfÝxÞà 3 o eixo
a
das abcissas no intervalo I é A = X ßfÝxÞà 3 dx.
b
V
c fÝxÞ
m fÝxÞ
se c : a < c < b então o integral X x ? c dx = lim m¸c X x ? c dx.
a
a
Segunda Parte (8 valores)
Na segunda parte, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar. Justifique as respostas.
2
1. Seja fÝxÞ uma função com derivada f v ÝxÞ = 2e2 x ? e . Determine os pontos extremos de
ex ?x+1
fÝxÞ e respectivos valores extremos no intervalo ß?1, 1à, sabendo que fÝ0Þ = 0 (integre por
substituição).
K
1
2. Estude para que intervalos de x a série >
n é convergente. Encontre a expressão da
n=0 Ý1 + xÞ
soma da série quando é convergente.
3. Considere a função fÝxÞ com derivada f v ÝxÞ = ßgÝln xÞà x onde g é uma função diferenciável.
i. Encontre a expressão de f vv ÝxÞ.
ii. Encontre a aproximação de Taylor de segunda ordem de fÝxÞ em torno de x = 1, sabendo
que: fÝ1Þ = 1; gÝ0Þ = e; g v Ý0Þ = 2.