Conceito de Simetria em Livros Didáticos de Matemática para o
Ensino Fundamental
Cláudio Roberto Cavalcanti da Fonseca 1
Resumo
O propósito deste trabalho é apresentar o projeto de pesquisa de mestrado cujo tema está ligado ao
conceito de simetria. A investigação deste conceito dar-se-á nos livros didáticos de matemática aprovados
no Programa Nacional do Livro Didático 2010, do 1º ao 5º ano do ensino fundamental, pelo fato de o
livro didático ser uma importante fonte de consulta para professores e muitas vezes, único material de
apoio à aprendizagem para os alunos.
Será considerado o conceito matemático e discussão do significado atribuído nos textos dos livros
didáticos que serão investigados.
O percurso metodológico utilizado está de acordo com Moraes (1999), em Análise do Conteúdo,
fornecendo subsídios para organizar os dados do trabalho em três etapas: preparação das informações;
categorização e análise.
Palavras chave: matemática, conceito, simetria, livro didático.
Justificativa
Este trabalho trata de alguns aspectos relativos ao conteúdo simetria nos livros didáticos
de matemática. Algumas questões são abordadas, tais como: se o conceito de simetria
ocupa um lugar privilegiado no conhecimento científico; se as recomendações
curriculares nacionais referem-se ao conceito de simetria e de que modo; se as matrizes
de avaliações institucionais, como o ENEM, o SAEB, a Prova Brasil ou o PISA,
referem-se ao conceito de simetria e que papel os livros didáticos ocupam no ensino
escolar atual.
Na Matemática, como se sabe, é reservado um lugar de inegável importância à
geometria e não se concebe um bom ensino sem que se dedique uma atenção
privilegiada a esse campo do saber matemático (Carvalho & Lima, 2010).
Ainda com a preocupação de contribuir para a melhoria do ensino da geometria na
educação básica, por ser fundamental na construção dos saberes matemáticos. E
considerando também que estamos inseridos num mundo de formas, as ideias
geométricas aparecem ao nosso redor, seja na natureza, arquitetura, artes e em diversas
áreas do conhecimento. A partir dessas considerações gerou-se um norte para o
problema seguinte:
1
Mestrando em Educação Matemática e Tecnológica pela UFPE, Recife – PE.
e-mail: [email protected] ou [email protected]
1
Problema
Como é abordado o conceito de simetria nos livros didáticos de matemática para o
ensino fundamental aprovados no PNLD 2010 do 1º ao 5º ano do ensino fundamental.
Objetivos:
Objetivo Geral
Investigar, nos livros didáticos de Matemática aprovados no PNLD 2010, a abordagem
do conceito de simetria.
Objetivos Específicos

Identificar que tipos de simetria são abordados nos livros citados.

Investigar quais são e como são tratados os elementos constitutivos do conceito
matemático de simetria.

Investigar como se distribuem, em cada livro e ao longo das coleções, os textos
que tratam do conceito de simetria.
Algumas ideias sobre livros didáticos
Considerando que o livro didático é uma importante fonte de consulta para muitos
professores e, muitas vezes, único material de apoio à aprendizagem para os alunos,
diversos pesquisadores, especialmente os que trabalham com instrumentos de ensino e
aprendizagem, apontam várias concepções sobre esses recursos didáticos.
Segundo Molina (1988, p. 17), um livro didático é uma obra escrita (ou organizada,
como acontece tantas vezes), com a finalidade específica de ser utilizada numa situação
didática, o que a torna, em geral, anômala em outras situações. Parece que para esse
pesquisador, o livro didático é um material único e exclusivamente usado em sala de
aula.
Segundo Rojo (2005, p. 3), o conceito de livro didático proposto por Molina implica
uma sala de aula regida basicamente pelo manual, pelo livro didático.
Goldberg (1983, p. 7) considera que o livro didático tem a intenção de fazer com que o
aluno aprenda, razão pela qual apresenta conteúdos selecionados, simplificados e
sequenciados.
Esses estudos, assim, apontam para a relevância do livro didático no ensino escolar,
considerando evidentemente que a referência do Guia do Programa Nacional do Livro
2
Didático (PNLD) é de suma importância, pois atendem a uma rigorosa avaliação para
sua adequação como instrumento de ensino e aprendizagem.
De acordo Guia do PNLD:
O livro didático é um importante material de apoio ao processo de ensino e
aprendizagem, pois contribui, ao mesmo tempo, para o trabalho do professor
e para o estudo do aluno. Embora a prática pedagógica do professor envolva
diversas dimensões, como sua pesquisa constante para o aprimoramento de
seu trabalho em sala de aula, um livro didático com textos adequados,
ilustrações pertinentes e informações atualizadas auxilia no planejamento de
ensino. Para que suas possibilidades sejam aproveitadas ao máximo, o livro
didático deve estar adequado às necessidades da escola, do aluno e do
professor.
Convém acrescentar que no ensino fundamental em nosso país, em especial, a partir dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (Brasil, 1997 e 1998), ganhou corpo a ideia
de que os conceitos matemáticos são adquiridos ao longo de um extenso período de
aprendizagem. Decorre dessa concepção, entre outras consequências, a de que o ensino
deve adotar o que se convencionou chamar de “abordagem em espiral”, em que muitos
tópicos matemáticos são estudados desde o início da escolaridade e retomados, nos anos
seguintes, em graus crescentes de abrangência e de complexidade.
Conforme os PCN os conteúdos de natureza conceitual, que envolvem a abordagem de
conceitos, fatos e princípios, referem-se à construção ativa das capacidades intelectuais
para operar com símbolos, signos, ideias, imagens que permitem representar a realidade.
O Conceito de Simetria
A simetria é um dos princípios básicos na formulação de modelos matemáticos para os
fenômenos naturais, além de sua ligação com as artes. A sua ideia é uma das mais ricas
na matemática e está associada às transformações geométricas, designadamente às
isometrias2, fato que justifica o seu estudo já no ensino fundamental.
No ensino escolar atual o termo simetria, na maioria das vezes, é tomado como
sinônimo de simetria de reflexão. Contudo, no plano há quatro tipos de transformações
que preservam distâncias, isto é, há quatro tipos de isometrias: reflexão, translação,
rotação e reflexão seguida de translação. Cada uma dessas isometrias gera figuras
simétricas a outras figuras e também figuras simétricas a si mesmo.
2
Uma isometria entre os planos ∏ e ∏’ é uma função T: ∏ → ∏’ que preserva distâncias. Isto
significa que, para quaisquer pontos ,
∏, pondo
e
, tem-se
(Lima, E.L., 1996, p. 13)
3
Podemos demonstrar que toda isometria
é uma bijeção, cuja inversa
é ainda uma isometria3.
Vejamos alguns exemplos de isometrias:
Reflexão em torno de uma reta – Seja
reta
é a função
uma reta no plano ∏. A reflexão em torno da
assim definida:
para todo
é tal que a mediatriz do segmento
baixada de
e,
,
é a reta . ( é o pé da perpendicular
sobre )
Translação – Sejam
e
pontos distintos do plano
função assim definida: dado
. A translação
, sua imagem
éa
é o quarto vértice do
paralelogramo que tem
e
como lados.
Esta definição de
se aplica apenas quando
,
e
não são colineares. Pois,
caso contrário, teremos uma isometria na reta.
Rotação – Sejam
um ponto tomado no plano
A rotação do ângulo
em torno do ponto
e, para todo
4,
.(
3
4
em
,
e
um ângulo de vértice
é a função
.
assim definida:
é o ponto do plano ∏ tal que
e o sentido de rotação de
para
é o mesmo
para
)
A prova encontra-se em Lima, E.L., 1996, p. 15.
Distância euclidiana.
4
Reflexão seguida de translação (ou reflexão com deslizamento) – Sejam
vetor não-nulo
uma reta paralela a
no plano
.
A reflexão com deslizamento, determinada pelo vetor
, obtida fazendo a translação
com deslizamento, como a translação
um
e pela reta , é a isometria
seguida da reflexão
. A reflexão
não possui ponto fixo. Tanto faz transladarmos
e depois refletirmos a figura como refletirmos e depois transladarmos.
O quadro a seguir resume de forma mais simples as isometrias:
Isometria
Reflexão em torno de uma reta
(produzir sua imagem no “espelho”)
Translação (mover sem girar ou
refletir)
Figura
Pontos
Orientação
Fixos
do Plano5
Infinitos
Inverte
Nenhum
Preserva
5
Para cada ponto
da figura original existe um correspondente ponto
na figura transformada.
Considere que o ponto se movimente sobre a figura original. À medida que o ponto percorre a figura
original, o seu correspondente , percorre a figura transformada. Dizemos que uma isometria preserva a
orientação do plano quando o ponto
percorre a figura transformada mantendo o mesmo sentido de
percurso determinado pelo ponto , ao percorrer a figura original.
5
Rotação (girar ao redor de um ponto)
Um
Preserva
Nenhum
Inverte
Reflexão seguida de translação
(combinar uma reflexão com uma
translação)
A ação de uma isometria T sobre uma figura
diz isométrica a
(ou simétrica a
produz uma figura
, que se
).
Por exemplo: Translação
Quando a figura
obtida pela ação da isometria T sobre
é igual a
dizemos que
é simétrica a si mesma em relação à isometria .
Por exemplo: Rotação em torno de um ponto.
,
e
, temos que
. E considerando que a figura
é invariante pela rotação de 90° em torno do ponto
. Obtemos então uma simetria de rotação. Verificamos também que a figura
tem
simetria relativa às rotações de
6
Se considerarmos, analogamente, a rotação no sentido horário, representado pelo ângulo
,
a
figura
terá
então,
simetria
em
relação
às
rotações
de
Concluímos que o conceito de simetria se fundamenta no conceito de:

Isometria;

Invariância de uma figura por isometrias.
Então, podemos dizer que uma figura
isométrica , se a figura
é simétrica relativamente a uma transformação
é invariante por , isto é, a transformação aplicada à figura
tem como imagem a própria figura .
O conceito matemático de simetria aqui discutido será utilizado na investigação do
significado atribuído nos textos dos livros que serão investigados.
Devemos tratar com cautela as atividades que apresentam inadequações conceituais e
que podem dificultar a aprendizagem dos alunos.
Considerando as orientações sobre o ensino de simetria, destacamos nos PCN que:
Os estudos das transformações isométricas (transformações do plano
euclidiano que conservam comprimento, ângulos e ordem de pontos
alinhados) é um excelente ponto de partida para a construção das noções de
congruência. As principais isometrias são: reflexão numa reta (ou simetria
axial), translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central),
identidade. Desse modo as transformações que conservam propriedades
métricas podem servir de apoio não apenas para o desenvolvimento do
conceito de congruências de figuras planas, mas também para a compreensão
das propriedades destas.
E, de acordo com Carvalho & Lima, (2011):



No ensino da simetria de reflexão nos anos iniciais da escolaridade tem sido
propostas atividades apropriadas para a introdução do conceito de simetria.
Elas incluem, entre outras:
Produzir figuras simétricas por meio de dobraduras em papel. Uma das
modalidades é dobrar uma folha, uma ou mais vezes, e efetuar cortes de
papel dobrado. Ao desdobrá-lo teremos no papel uma figura, vazada, com
simetria de reflexão em torno do eixo constituído pelo vinco no papel. Outra
maneira é espalhar tinta num papel e dobrá-lo em dois. Ao desdobrá-lo
teremos uma figura simétrica em relação ao vinco no papel;
Fornecer uma parte de uma figura e um eixo de simetria em malha
quadriculada e solicitar do aluno completar a figura por simetria;
Identificar um ou mais eixos de simetria em figuras geométricas desenhadas.
Algumas vezes, escolhem-se letras do alfabeto para estas atividades.
Percurso Metodológico
A metodologia descrita por Moraes (1999), em Análise do Conteúdo, fornece subsídios
para organizar os dados do trabalho em três etapas:
7

preparação das informações
Na preparação das informações, irei utilizar as coleções aprovadas no PNLD 2010
do 1º ao 5º ano, como se segue:
Título
Autoria
Editora
A escola é nossa
Vieira, F. & Pessoa K.
Scipione
Projeto Buriti
Gastaldi, M. R. & Gay, M. R. G.
Moderna
Ler o Mundo
Aidar, M.
Scipione
Hoje é dia de
Matemática
Tosatto, C. M. & Peracchi, E. F. & Tosatto,
C. C.
Positivo
Projeto Conviver
Milani, E. & Imenes, L. M & Lellis, M.
Moderna
Ponto de partida
Cerullo, M. I. & Shirahige, M. T. & Chacur,
R.
Sarandi
Asas para voar
Souza, M. H. & Spinelli, W.
Ática
Pode contar comigo
Bonjorno, J. R. & Azenha, R. & Gusmão, T.
FTD
Fazendo e
compreendendo
Sanchez, L. B. & Liberman, M. P.
Saraiva
Linguagens da
Matemática
Reame, E. & Montenegro, P.
Saraiva
Projeto Pitanguá
Barroso, J. M. & Corá, A.
Moderna
Pendendo Sempre
Luiz Roberto Dante
Ática
Porta aberta
Centurión, M. & Rodrigues, A & Neto, M.
FTD

categorização ou escolha das categorias de análise dos dados
As categorias de análise a serem obtidas se originarão pelo processo dinâmico entre
o quadro teórico adotado na pesquisa e as coletas de dados nos livros didáticos.

análise
Referências
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