PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO DO
COLÉGIO ANCHIETA EM 2009.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO
CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
1. O segmento AB possui, no sentido de A para B, os pontos C, P e D, nesta ordem.
Sabe-se que AB = 20, AD = 10 e CD = 6.
Calcule PC sabendo que a razão entre PA e PB é igual a dois terços.
01) 2
02) 2,5
03) 3
04) 3,5
05) 4
RESOLUÇÃO:
AP 2
  que pode-se considerar AP = 2x e PB = 3x. Assim 2x + 3x = 20 
PB 3
5x = 20  x = 4.
Logo AP = 2x = 8 e PB = 3x = 12.
De AD = 10 e CD = 6, temos que AC = 4.
Logo: 4 + CP = 8  CP = 4
Sendo
RESPOSTA: Alternativa 05
2. O comprimento do círculo equatorial da Terra, suposta esférica, é aproximadamente igual a 40.000km.
Imagine uma corda em volta desse círculo. Se esta corda aumenta 1m em seu comprimento, ela se afasta x
centímetros do círculo equatorial em toda a sua extensão. O valor de x é aproximadamente.
01) 0,01
02) 0,1
03) 1
04) 4
05) 16
RESOLUÇÃO:
O comprimento de um círculo qualquer é determinado pela expressão: C = 2R.
Então considerando como R o raio da Terra, o comprimento do círculo equatorial, bem como da corda que
supostamente o contorna, é C = 2R.
Se o comprimento dessa corda aumenta de 1, então o comprimento do raio do círculo formado por ela, aumenta
de x, e o comprimento desse novo círculo será: C1 = 2(R+x).
Tem-se então: 2R + 1 = 2(R+x)  2R + 1 = 2R + 2x  2x = 1  x 
x
 0,1592  16.
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RESPOSTA: Alternativa 05
1

2

3. O raio da roda dianteira de uma bicicleta excede em 10 cm o raio da roda traseira.
Ao percorrer a distância de x metros, a roda dianteira dá 50 voltas enquanto a traseira dá 75 voltas.
Considerando  = 3,14 o valor de x em metros é:
01) 72,2 02) 75,4
03) 81,6 04) 94,2
05) 198,2
RESOLUÇÃO:
A roda dianteira ao percorrer a distância x dá 50 voltas e seu raio é 10 + Rt:
x =50.[2..(10 + Rt )].
A roda traseira ao percorrer a distância x dá 75 voltas e seu raio é Rt:
x = 75.[2..Rt].
Desta forma: 50.[2..(10 + Rt )]=75.2.. Rt  2(10 + Rt)= 3 Rt  20 + 2 Rt = 3 Rt  Rt = 20.
O valor numérico de x = 50.2.3,14.(10 + 20)  x = 9420cm  x = 94,20m.
RESPOSTA: Alternativa 04.
4. Na figura CD é diâmetro do círculo.
e
têm medidas
menores que 180o.
Sabendo que
e
, a medida do ângulo
AĈB é aproximadamente
01)51o
02)58o
03)62o
04)65o
05)68o
RESOLUÇÃO:
Considerando o arco BD igual a x, o arco AC será 4x, o arco AD será 180o–4x e o arco BC medirá
360o-8x.
Pela figura acima tem-se: 360o -8x + x = 180o  x =
180o
.
7
O arco AB mede então: 180o- 4x+x = 180o-3x = 180o 
AĈB 
540o 720o


7
7
1 720o 360o


 51,4
2
7
7
RESPOSTA: Alternativa 01.
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2

5. Na figura, os triângulos ABC e CDE são isósceles de
bases, respectivamente, BC e CE .
Calcule a medida do ângulo BÂC sabendo que ela
excede em 30o a do ângulo CD̂E e que AB // CD
01)50o
02)60o
03)70o
04)75o
05)80o
RESOLUÇÃO:
Sendo med( BÂC )= 30o + m( CD̂E ), considerando med( BÂC )= x, tem-se m( CD̂E )= x – 30o.
Como AB // CD , med( BÂC ) = med( EĈD ), que é igual á med( CÊD ) por ser o triângulo CDE isósceles.
Logo: x – 30o + x+ x = 180o  3x = 210o  x = 70o.
RESPOSTA: Alternativa 03.
6. (Olimpíada de Matemática) A figura mostra dois
quadrados sobrepostos.
Qual é o valor de x + y em graus?
01)200o 03)300o 05)340o
02)270o 04)320o
RESOLUÇÃO:
No pentágono ABCDE acima, os ângulos de vértices A, C e D são
retos (ângulos de quadrados) e os assinalados nos vértices E e B
são, respectivamente congruentes (OPV).
A soma dos ângulos de um pentágono é dada por 180o(5–2)=540o.
Então: 3  90o + (x + y) = 540o  x + y = 270o.
RESPOSTA: Alternativa 02.
7. Na figura, a medida do arco
excede em 10o a medida do ângulo .
Calcule a medida do arco
, menor que 180o, sabendo que a sua medida é o quádruplo da medida do ângulo .
o
01)20
02)30o
03)40o
04)50o
05)60o
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3

RESOLUÇÃO:
De acordo com os dados da questão tem-se:
m( ) =  +10o, m( )= 4.
Sendo o ângulo CP̂D excêntrico externo, tem-se:
4α  (α  10o )
 α  3α  10o  2α  α  10o  4α  40o .
2
Assim a m( )= 40o.
RESPOSTA: Alternativa 03.
8. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC e M é o
ponto médio de AB .
Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é igual a 16cm e
que AB = 3NC, calcule a medida, em centímetros, de AB .
01)2
02)3
03)4
04)5
05)6
RESOLUÇÃO:
AB = 3NC, CN = CP = x (segmentos tangentes a um círculo a
partir de um mesmo ponto C, AB=3x, AM=BM=3x/2, BM = BN
e AM = AP).
 3x 
Logo, 2x  4   16  8x  16  x  2 
 2 
AB = 6cm.
RESPOSTA: Alternativa 05.
9. Na figura temos: r // s, BC // r, AB // DE
A soma das medidas dos ângulos CD̂E e DÊF é igual a 60o . Qual o valor de x?
01)12o
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02)15o
03)20o
04)25o
4
05)30o

RESOLUÇÃO:
Prolongando o segmento AB até encontrar o segmento CD no ponto G e traçando paralelas às retas r e s pelos
pontos G e D.
BC com a transversal AB );
 BĈD  IĤD  2x (ângulos correspondentes formados pelas paralelas t e BC com a transversal CD );

GÂ B  C B̂H  x (ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e

IĤD  HD̂J  2x (ângulos alternos internos formados pelas paralelas t e u com a transversal CD );
 JD̂E  D ÊF  a (ângulos alternos internos formados pelas paralelas u e s com a transversal DE ).
No triângulo BCG tem-se: 2x + a = x + 2x (a medida de um ângulo externo a um triângulo qualquer é igual à
soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes).
Logo: a = x.
Sendo m(CD̂E)  m(DÊF)  60o (dado da questão), tem-se:
2x + 2a = 60o  4x = 60o  x = 15o.
RESPOSTA: Alternativa 02
10. Na figura acima, AB // CD e a distância entre esses
segmentos é igual a 8u.C.
O valor de x é:
01)1u.c.
02)1,5u.c
03)2u.c.
04)2,5u.c.
05)3u.c.
RESOLUÇÃO:
De acordo com os dados da questão foi construída a figura acima. Os
triângulos ABE e CDE são semelhantes (os seus três ângulos são,
respectivamente, congruentes) e, portanto os seus lados e suas cevianas
correspondentes, são proporcionais.
2x
x
Então:

 16x  2x 2  x 2  10x  3x 2  6x  0  x  2 .
x  10 8  x
RESPOSTA: Alternativa 03.
11. Dentre os candidatos inscritos num concurso, 40% são homens e 60% são mulheres. Destes já tem emprego
30% dos homens e 10% das mulheres. Sabendo que o número de candidatos empregados é 90, determine quantas
mulheres desempregadas se inscreveram no concurso.
01) 135 02) 180 03) 225 04) 270 05) 315
RESOLUÇÃO:
Preenchendo uma tabela com as informações da questão:
Candidatos
%
% de empregados
MULHERES
60%
10% de 60% = 6%
HOMENS
40%
30% de 40% = 12%
TOTAL
100%
18%
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5
% de desempregados
60% - 6% = 54%
40% - 12% = 28%
82%

Consultando a tabela, vê-se que o percentual de candidatos empregados é 18%, o que corresponde a 90 pessoas.
Logo, considerando x
o número total de candidatos, podemos escrever: 18% de
x = 90 ·
90
9000
0,18x = 90  x 

 500  O número total de candidatos é 500.
0,18
18
Como 54% dos 500 candidatos é o número de mulheres desempregadas, tem-se:
M = 0,54 500 = 270.
RESPOSTA: Alternativa 04.
12. Em um aquário, há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa
doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificou-se
que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo-se que nenhuma outra alteração foi feita no
aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi de:
01) 20% 02) 25% 03) 37,5%
04) 62,5%
05) 75%
RESOLUÇÃO:
Como antes da doença, 80% dos peixes do aquário eram amarelos e 20%, vermelhos, considere-se 80 o número
de peixes amarelos e 20 o de peixes vermelhos.
Pode-se então construir a tabela:
Peixes
Amarelos
Vermelhos
TOTAL
80
20
100
Mortos
x
0
x
Sobreviventes
80 – x
20
100 – x
Sendo 60% dos peixes sobreviventes, no aquário, amarelos:
0,6(100 – x) = 80 – x  60 – 0,6x = 80 – x  0,4x = 20  x = 50  que morreram 50 peixes amarelos.
50
Então o percentual de peixes amarelos que morreram foi de:
 0,625  62,5%.
80
RESPOSTA: Alternativa 04.
13. Sabendo que, no ano de 2008, o dólar teve uma valorização de 40% em relação ao real e o euro teve uma
desvalorização de 20% em relação ao dólar, podemos afirmar que:
01) o euro teve uma valorização de 12% em relação ao real.
02) o euro teve uma valorização de 20% em relação ao real.
03) o euro teve uma desvalorização de 12% em relação ao real.
04) o euro teve uma desvalorização de 20% em relação ao real.
05) o euro se manteve estável em relação ao real.
RESOLUÇÃO:
Representando dólar por d, real por r, euro por e, pelos dados temos as igualdades:
d  1,4r
0,8d  1,12r
.Multiplicando os dois membros da primeira equação por 0,8: 

e

0,8d

e  0,8d
Na segunda equação substituindo 0,8d por seu valor na primeira equação:
e = 1,12r  que o euro teve uma valorização de 12% em relação ao real.
RESPOSTA: Alternativa 01.
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6

14. Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 30% ao semestre no regime de juros compostos e a outra
metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano um montante de
R$ 4.200,00. Qual o capital inicial desta pessoa?
01) 2400
02) 2500
03) 2600
04) 2700
05) N.R.A.
RESOLUÇÃO:
 Como a pessoa aplicou metade do seu capital, considere-se como 2C o capital aplicado.
 A primeira metade, ou seja, C, foi aplicada à taxa de 30% ao semestre no regime de juros compostos,
durante o período de um ano, daí:
 M1 = (1+0,3)2.C.
 A outra metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples, também por 1 ano, assim:
 M2 = C + 3.0,27.C.
 Como ao final de um ano o montante resultante das duas aplicações foi de R$ 4.200,00:
(1,3)2.C + C + 3.0,27.C = 4 200  1,69C + C + 0,81C = 4 200  3,5C = 4 200  C = 1 200  2C =
2400(capital aplicado).
RESPOSTA: Alternativa
15. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros compostos de 2% ao mês. No ato da compra, fez
o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00,
respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra,
quanto deverá pagar, em reais?
01) 110,00
02) 108,00
03) 106,00
04) 104,00
05) 102,00
RESOLUÇÃO:
 Como no ato da compra fez o pagamento de R$150,00, restou para financiar a 2% ao mês:
(600 – 150) reais = 450 reais.
 30 dias após o ato da compra pagou 159 reais, logo ainda ficou devendo:
450(1+0,02) – 159 = 300 reais.
 60 dias depois de contraída a dívida fez um pagamento de 206 reais então ainda ficou devendo:
 300(1,02) – 206 = 100.
 90 dias depois de contraída a dívida para quitá-la pagará:
 100(1,02) = 102 reais
P1
P2
P3


 ......
(1  i) (1  i)2 (1  i)3
Sendo o valor da compra 600 reais e o comprador tendo dado uma entrada de 150 reais, o valor atual (VA) a ser
financiado é de 450 reais.
Utilizando a relação acima:
Outro modo de resolver exata questão é aplicar a relação:: VA 
159
206
x


 450.1.023  1.022.159  1.02.206  x  477,5436 - 165,4236  210,12  x 
1.02 1.022 1.023
477,5436  165,4236  210,12  x  x  477,5436 - 375,5436  x= 102.
450 
RESPOSTA: Alternativa 05.
16. Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros compostos de 60% ao ano, resulta em um
certo montante.
Qual a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo
montante?
01) 30%
02) 66% 03) 69%
04) 75%
RESOLUÇÃO:
Considerando C como o capital aplicado:
1) Juros compostos: M = (1+0,6)2 C.
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7
05) 78%

2) Juros simples: M = C + 2.x.C.
3) Como os montantes devem ser iguais:
(1+0,6)2 C = C + 2.x.C  2,56 = 1 + 2x  x = 0,78.
RESPOSTA: Alternativa 05.
17. Na figura, os círculos se tangenciam externamente no
ponto D.
Sendo A e B os pontos de contacto de uma tangente comum
a esses círculos, demonstre que o ângulo AD̂B é reto.
RESOLUÇÃO:
Fazendo um recorte da figura dada, destacando seus elementos e utilizando o dado:
med(BÂD)  x e med(AB̂D)  y , tem-se a figura acima da qual pode-se concluir:
1.
Os triângulos ACD e DEB são isósceles (apresentam dois lados congruentes), logo
m(CÂD)  med(CD̂A) = 90o – x e med(BD̂E)  med(DB̂E)  90 o  y
2. Do triângulo ADB vem x + y +  = 180o (I)
3.
med(CD̂A)  med(AD̂B)  med(BD̂E)  180o  90o–x +90o–y+ = 180o (II)
4. Comparando as igualdades (I) e (II) tem-se que:
x + y +  = 90o–x +90o–y+  2x + 2y = 180o 
x + y = 90o   = 90o
RESPOSTA: = O ângulo AD̂B é reto cqd.
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8