Escoamento adiabático com atrito em
tubos de secção constante

Matéria





05-11-2015
Equações do escoamento adiabático com atrito
Condições de referência do escoamento
adiabático com atrito
Exemplo
Estrangulamento da conduta em regime
subsónico
Ocorrência de ondas de choque com escoamento
supersónico no tubo
MF II - Prof. António Sarmento DEM/IST
Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Análise quantitativa
V , p, 
V  dV
p  dp,   d
D
p

Equação da Q. Movimento:


4
D 2 dp   pDdx  AVdV
f 1
p 
V 2
4 2
p 2
V 2 
V  pM 2
RT
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dp M 2 f
2 dV
 
dx  M
p
2 D
V
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Análise quantitativa
V , p, 
V  dV
p  dp,   d
p

Equação da Q. Movimento:

Equação dos G.P.:

Equação da continuidade:

Equação da energia:

Definição do no. de Mach:
05-11-2015
dp M 2 f
dV
 
dx  M 2
p
2 D
V
dp d dT


p

T
dV d

0
V

dT
dV
   1M 2
T
V
dM 2
dV dT

2

2
V
T
M
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Análise quantitativa
M=1
V , p, 
p
V  dV
p  dp,   d
L
Lmax
1
f
1  M 2    1 2  dM 2
dx 
1
M 
2 
2
D
2
M 
 M

Resultado:

Integrando entre a secção em estudo (x=0) e o comprimento máximo
a jusante dessa secção (onde M=1):
Lmax 1 1  M 2    1 2  dM 2
f

M 
1 
2
2
D
2
M
M


M
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Lmax 1  M 2   1

  1M 2
f


ln
D
2
M 2
2    1M 2
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Análise quantitativa

Soluções:
Lmax 1  M 2   1

  1M 2
f


ln
2
D
2
M
2    1M 2

2    1M 2

  1M 2

com
 
p
1 V
T
 1
M



M V
p
T
2    1M 2
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  1  m 
 
2RT0  A 
p0
1  2    1M 



p0 M 
 1

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2
 1
2  1
Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Análise quantitativa

Representação
gráfica
p
p
V
V
T
T
Nota: a figura (curvas de
flmax/D) mostra que a
evolução é tanto mais
rápida quanto maior M.
f
Lmax
D
1.0
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M
Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Tabelas de escoamento adiabático em TSC

M
…
fLmax/D
0,38 2,7054
p/p* T/T* V/V*=*/
2,8420 1,1663
0,4104
…
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p0/p0*
1,6587
Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Exemplo 1

Escoamento isentrópico na tubeira convergente e adiabático no tubo de
secção constante: qual o afastamento L entre as duas secções?
D=0,20 m
f=0,025
61,7 psia
80 F
2
1
?
60 psia
15 psia
 Lmax 
f
  14,533
D

1
Lmax1  465 cm
05-11-2015
Resposta:
 p0 
61,7
  
60
 p 1
M1  0,20
esc. isentrópico
p0    1 2 
 1 
M 
p 
2

 1

Lmax 1  M 2   1

  1M 2
f


ln
2
D
2
M
2    1M 2
A secção crítica está a 465 cm da entrada do tubo
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Exemplo 1

Escoamento isentrópico na tubeira convergente e adiabático no tubo de
secção constante: qual o afastamento L entre as duas secções?
D=0,20 m
f=0,025
61,7 psia
80 F
2
1
Continuação:
M1  0,20
?
60 psia
15 psia
Lmax 1  M 2   1

  1M 2
f


ln
2
D
2
M
2    1M 2
 Lmax 
f
  0,127
D

2
05-11-2015
Lmax2 = 4 cm
Lmax1  465 cm
p
 1
M

p
2    1M 2
 p 
15
   
 p  2 11
 p 
    5,455
 p 1
M2 =0,75
p*=11 psia
L =Lmax1-Lmax2= 464 – 4 = 461 cm
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: Exemplo 2

Escoamento isentrópico na tubeira convergente e adiabático no tubo de
secção constante: Qual o comprimento máximo do tubo compatível com
um caudal de 13,8 kg/s? Qual a gama de pressões exteriores compatível
com esse comprimento e esse caudal?
f=0,025
250 kPa
293 K
D=0,2 m
1
Resposta: quando na extremidade do
tubo existir escoamento crítico Ms=1
05-11-2015
T*=244 K
V*=313 m/s
*=1,407 kg/m3
p*=98,5 kPa
p0*=186,6 kPa
p0/p0*=1,340
M1=0,5
fLmax/D=1,069
Lmax=8,552 m
pextps=p*=98,5 kPa
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Escoamento adiabático com atrito em
TSC: exemplo

Qual a pressão no reservatório para que ocorra uma onda de
choque normal a 0,705 m da saída? A tubeira convergente –
divergente tem uma relação de áreas de 2.
D=20 cm
f=0,02
pres
e
T0
1
Resposta:
Ae/Ag=Ae/A*=2
0,705 m
s
2
pext=100 kPa
L = 3,665 m
pe/p0=0,094 e
 Lmax 
f
  0,361
D

e
3,655 0,705
 Lmax 
 0,065
f
  0,361 0,02
D
0
,
2

1
Tab. Ad.
05-11-2015
M1=1,30
pe p  0,355
Tab. O.C.
M2=0,786
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Tab. Isent.
Me=2,20
Tab. Ad.
Escoamento adiabático com atrito em
TSC: exemplo

Qual a pressão no reservatório para que ocorra uma onda de choque
normal a 0,705 m da saída? A tubeira convergente –divergente tem
uma relação de áreas de 2.
pres
T0
Resposta:
D=20 cm
f=0,02
0,705 m
M2=0,786
e
1
s
2
pext=100 kPa
 Lmax 
f
  0,0855
D 2

L = 3,665 m
pext =100 kPa
pe = 31,4 kPa
pe/p0=0,094
p*= 88,6 kPa
pe p  0,355
p0 = 334,5 kPa
05-11-2015
Tab. Ad.
ps p  1,129
Ms= 0,90
0,705
 Lmax 
 0,015
f
  0,0855 0,02
D
0
,
2

s
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Escoamento adiabático com atrito em
tubos de secção constante

Matéria






Equações do escoamento adiabático com atrito
Condições de referência do escoamento adiabático com
atrito
Exemplo
Estrangulamento da conduta em regime subsónico
Ocorrência de ondas de choque com escoamento
supersónico no tubo
Bibliografia

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05-11-2015
Secção 9.9 do Fluid Flow, Sabersky
Secção 9.7 do Fluid Mechanics, White
MF II - Prof. António Sarmento DEM/IST